OS MODELOS PARA A DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO DOS CORPOS NO SISTEMA SOLAR Notas para estudo (M. F. Barroso)

OS MODELOS PARA A DESCRIÇÃO DO MOVIMENTO DOS CORPOS NO SISTEMA SOLAR

Notas para estudo (M. F. Barroso)

1. OS MOVIMENTOS NO SISTEMA SOLAR

1.1) O Sistema Solar

A observação do mundo ao nosso redor constitui uma das atividades mais antigas da humanidade. Os movimentos do Sol e da Lua, os dois astros mais importantes para o ser humano, são acompanhados desde sempre, pois eles trazem efeitos importantes sobre a vida na Terra. O dia e a noite, as estações, os aspectos diferentes da Lua durante um mês, as marés, a posição das estrelas, os eclipses, todos estes fenômenos desempenharam papéis muito importantes – para plantar, para se orientar nos mares, para viver de uma maneira geral.

No céu não se vê apenas o Sol e a Lua. Há infinitos pontos luminosos, com diferentes características, agrupando-se de forma diferenciada (e, usando a imaginação, assumindo formas de diferentes animais e figuras mitológicas).

Há objetos nos céus que são “errantes” – cujo movimento aparente é diferente, muito “maior” do que o de outros, que estão se movendo de uma forma mais lenta, ao longo dos dias, dos meses e dos anos. Esses objetos foram denominados “planetas” – há cinco planetas visíveis a olho nu, e que são registrados desde a mais remota antigüidade: Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno.

Os desenvolvimentos dos estudos permitiram a compreensão de que nos céus há estrelas e planetas. As estrelas agrupam-se formando galáxias, que se agrupam formando conglomerados, que se agrupam... E em torno de nossa estrela, o Sol, uma estrela menor da Via Láctea, há (pela nova definição dos astrônomos) oito planetas, observados com auxílio de lunetas, telescópios, sondas e satélites espaciais.

Assistir ao vídeo "Jornada no Sistema Solar". Alternativa: ver os capítulos no YouTube:

Sol: http://www.youtube.com/watch?v=u_W3r8ffv7M Mercúrio: http://www.youtube.com/watch?v=hsJeEepbyUE Vênus: http://www.youtube.com/watch?v=R2GGzJ0x-8o Terra: http://www.youtube.com/watch?v=vcp76cj0JZ8 Marte: http://www.youtube.com/watch?v=Xgzaqss8-Dg Asteróides: http://www.youtube.com/watch?v=yLPHP_084hI Júpiter: http://www.youtube.com/watch?v=icljqcXkZ8c Saturno: http://www.youtube.com/watch?v=ZLeUpe0oEFk Urano: http://www.youtube.com/watch?v=93u2qibkda4 Netuno: http://www.youtube.com/watch?v=cvmI1pMQIu0

A descrição da produção deste vídeo pode ser encontrada no artigo “Jornada no Sistema Solar, na Revista Brasileira de Ensino de Física, ano 2010, número 2, artigo 2502, disponível em

http://www.sbfisica.org.br/rbef/pdf/322502.pdf

O Sistema Solar, então, é composto pela estrela (Sol, uma estrela normal, uma enorme bola de gás incandescente com 1,4 milhões de quilômetros de diâmetro e temperatura superficial de cerca de 6000 K) e muitos outros objetos menores: os planetas, seus satélites e anéis, e outros corpúsculos, como os asteróides, os cometas e a poeira interplanetária.

O Sol1_.

Na Tabela 1, indicamos a parcela da massa do Sistema Solar que corresponde a cada um dos principais corpos2_.

Tabela 1

Objeto % da massa total do Sistema Solar

Sol 99,80

Júpiter 0,10

Cometas 0,05

Todos os demais planetas 0,04

Satélites e anéis 0,00005

Asteróides 0,000002

Poeira cósmica 0,0000001

Os planetas do Sistema Solar são: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano e Netuno (Plutão teve seu status de planeta questionado: foi “rebaixado” para a categoria de “planeta anão”). Eles giram em torno do Sol numa única direção, em órbitas quase circulares (elípticas) e aproximadamente coplanares (exceções: Mercúrio e Plutão, com órbitas um pouco excêntricas e inclinadas). Cada planeta também gira em torno de um eixo que o atravessa e a direção desta rotação é a mesma de seu movimento de translação em torno do Sol (exceto Vênus, que faz uma rotação retrógrada).

Os quatro planetas mais próximos do Sol (Mercúrio, Vênus, Terra e Marte) são denominados planetas internos ou planetas terrestres – são pequenos, aquecidos por sua proximidade com o Sol, e compostos basicamente por rochas e metais. (As imagens não estão em escala.)

Mercúrio Vênus Terra Marte

Os quatro planetas seguintes (Júpiter, Saturno, Urano e Netuno) são bem maiores, compostos de materiais mais leves (gás, gelo e líquido) – são chamados de planetas gigantes (gasosos). Cada um deles possui um sistema de anéis, compostos de um enorme número de pequenos corpos de tamanhos diversos. O sistema de anéis mais brilhante (e mais famoso) é o de Saturno, que também foi o primeiro a ser descoberto.

Io satélite seu e Júpiter

Saturno Urano Netuno

1 Todas as imagens aqui apresentadas foram obtidas do site da Nasa.

Plutão foi classificado como planeta de 1930 (quando foi descoberto) a 2006, quando passou a ser considerado um planeta anão, o maior membro de uma população de corpos. Ele não é nem terrestre nem gigante – parece mais com os maiores satélites dos gigantes.

Caronte e Plutão

No Sistema Solar, há outros corpos além do Sol e dos planetas. Cada planeta possui (só Mercúrio e Vênus são exceção) um ou mais satélites – e alguns desses satélites são grandes! A Lua, os satélites galileanos de Júpiter, Titã (de Saturno) e Tritão (de Urano) são consideravelmente grandes. Há muito mais de 100 satélites catalogados, e cada vez mais são descobertos, com as sondas e telescópios espaciais.

Existem também os chamados asteróides e cometas. Na parte interna do Sistema Solar, em sua maioria entre Marte e Júpiter, Saturno, há um grande número de asteróides, um “cinturão”, às vezes chamado de cinturão de asteróides. Após Netuno, nos confins do sistema solar, imagina-se haver uma região de onde se considera que originem-se os cometas que de tempos em tempos se aproximam da Terra – a nuvem de Oort. Os cometas são compostos de gelo e água, de dióxido e monóxido de carbono (a cauda é formada quando, ao passar próximo do Sol, o gelo é volatizado).

. Dactyl satélite seu e Ida asteróide O

OcometaHale Bopp

1.2) Um pouco sobre a história da descrição dos movimentos dos planetas do Sistema Solar Os movimentos dos corpos no céu são observados desde a antiguidade. Observações do céu a olho nu nos mostram que o Sol, a Lua e as estrelas seguem movimentos aparentemente circulares em torno da Terra. O círculo, para os antigos, era considerada “a forma perfeita” – nada mais razoável, então, que imaginar que os planetas também tinham órbitas similares, todos girando em torno da Terra. O sistema planetário geocêntrico – uma descrição do movimento dos planetas com órbitas circulares em torno da Terra – foi formulado detalhadamente pelo grego Claudius Ptolomeu em 200 aC, e seu modelo permaneceu aceito por mais de 1000 anos.

Pense: estamos na Terra. É difícil a princípio raciocinar que o centro das órbitas dos planetas não é a Terra. Para fazer esta mudança, há necessidade de trocar de sistema de referência, fazer uma abstração e mudar de ponto de vista, o que muitas vezes não é simples (em termos dos processos matemáticos envolvidos).

Em 1543, o astrônomo polonês Nicholas Copérnico (1473-1543) propôs um modelo heliocêntrico, deslocando o Sol para o centro dos do modelo – isso simplificava o número de círculos necessários para descrever as observações existentes na época. No entanto, o trabalho não era conclusivo, pois os dados e os fundamentos ainda não permitiam a comprovação de que este modelo seria mais correto do que o geocêntrico.

Tycho Brahe (1546-1601, um dinamarquês), conseguiu montar um grande observatório com apoio de um rei. Fez durante muitos anos (toda a sua vida) observações (a olho nu) incrivelmente precisas a respeito dos movimentos dos planetas. Que foram usadas por Kepler para formular as primeiras leis relativas aos movimentos dos planetas no Sistema Solar. 1.3) As leis de Kepler

Johanes Kepler (1571-1630) foi assistente de Tycho Brahe, e o sucedeu no trabalho do laboratório, herdando todas as suas observações. Após alguns anos de trabalho, conseguiu elaborar três leis que descreviam todas as observações disponíveis.

Primeira lei de Kepler – Lei das Órbitas

As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses, com o Sol em um dos focos.

Segunda lei de Kepler – Lei das Áreas

O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais. Terceira lei de Kepler – Lei dos Períodos

Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como o cubo de suas distâncias médias ao Sol.

1.3.a) A primeira lei de Kepler

A primeira lei de Kepler faz duas afirmações bastante importantes: ao dizer que as órbitas são elípticas, estamos dizendo que o movimento de cada planeta está contido num plano; a segunda, o círculo não é a figura descrita pela órbita (imaginária) dos planetas.

A órbita é porém quase circular. Observe na Tabela 2 os valores das excentricidades das órbitas. Lembre que uma elipse é caracterizada pelo seu eixo maior a, pelo semi-eixo menor b e pela distância do centro ao foco, c. (Leia o complemento “A elipse”). Há uma relação entre essas grandezas:

_a

2

_b

2

_c

2_{. A excentricidade é definida como sendo}

a c / .

Tabela 2 - Características das órbitas dos planetas Planeta Semi-eixo

maior (UA) Período _(anos) Excentricidade Inclinação ₍o₎

Mercúrio 0,39 0,24 0,21 7,00 Vênus 0,72 0,62 0,01 3,39 Terra 1,00 1,00 0,02 0,0 Marte 2,77 1,88 0,09 1,85 Júpiter 5,20 11,86 0,05 1,30 Saturno 9,54 29,46 0,06 2,49 Urano 19,19 84,07 0,05 0,77 Netuno 30,06 164,80 0,01 1,77 Plutão3 _{39,60 248,60 0,25 17,15}

Desta tabela, notamos que a órbita de todos os planetas tem baixa excentricidade, ou seja, são todas quase circulares; as mais excêntricas são as de Mercúrio e Plutão. A órbita dos planetas tem outra característica em comum: pequenas inclinações em relação ao plano da eclíptica (o plano da órbita da Terra em torno do Sol). De novo, apenas Plutão – que não é mais considerado um planeta - se diferencia, com uma inclinação de cerca de 20o_{. Essas duas}

características das órbitas planetárias, ou seja, baixas excentricidades e inclinações, serão fundamentais na hora que tentarmos responder a outra pergunta: como se formaram os planetas?

1.3.b) A segunda lei de Kepler

Se os raios vetores dos planetas varrem áreas iguais em tempos iguais, isto significa que quando ele está na posição da órbita mais próxima do Sol (o periélio) ele se desloca mais rapidamente do que quando está na posição mais afastada do Sol (o afélio).

Esta lei tem uma explicação muito simples, em termos de uma grandeza conservada. Vamos discuti-la em breve; adiantamos dizendo que a área está relacionada com o momento angular do planeta em sua órbita, e que esta grandeza momento angular é uma grandeza conservada – é constante no tempo.

1.3.c) A terceira lei de Kepler

A terceira lei pode ser comprovada, nos dias de hoje, facilmente, fazendo-se o cálculo da razão entre

_T

2

_R

3_.

Podemos demonstrá-la para órbitas circulares de maneira simples (supondo conhecidas a lei da gravitação universal de Newton e o valor da aceleração num movimento circular).

E podemos também usar um “truque” muito utilizado: representar de forma gráfica os valores da tabela. Nesta Tabela 3, os valores do raio médio são dados em função da unidade astronômica, definida como a distância entre a Terra e o Sol:

1 U.A.=distância Terra-Sol =

₁

_,

₄₈

₁₀

8_km

Tabela 3 - Os períodos e os raios médios dos movimentos dos planetas4

Planeta valores de Copérnico valores atuais

T(anos) R (U.A.) T2_/R3 _{T(anos) R (U.A.) T}2_/R3

Mercúrio 0,241 0,38 1,06 0,241 0,387 Vênus 0,614 0,72 1,01 0,615 0,723 Terra 1,000 1,00 1,00 1,000 1,000 Marte 1,881 1,52 1,01 1,881 1,524 Júpiter 11,8 5,2 0,99 11,862 5,203 Saturno 29,5 9,2 1,12 29,457 9,539

Se representarmos num papel log-log (um papel que “tira o logaritmo” do número) os valores do período versus raio, obteremos uma linha reta. Se a terceira lei de Kepler é válida,

T

2

R

3

const

_{. Então, tomando os logaritmos dos dois lados} desta equação (em qualquer base) escrevemos

log

T

2

R

3

log

const

_{, ou seja} (manipulando os logaritmos)

T

log

R

const

2

3

log

. Se fizermos

y

log

T

e

4 _{Tabela de H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, volume 1, quarta edição, página 195.}

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

R

x

log

teremos uma relação linear entre y e x:

y

x

const

2

3

. Num papel log-log, a curva que melhor se ajusta aos dados é uma linha reta... (Neste procedimento, estamos linearizando uma curva.)

1.4) Galileu e a observação dos céus

Galileu Galilei começou a utilizar um instrumento recentemente descoberto (em cerca de 1600) para observar o céu. Com isso, “viu” vales e montanhas na Lua, muitas estrelas não visíveis a olho nu, observou os planetas de Júpiter – os 4 satélites “galileanos”, e verificou que Vênus também apresentava fases similares às da Lua. Publicou todas estas observações em um livro, em 1610, “O Mensageiro das Estrelas”, que provocou grande sensação e polêmica.

1.5) A lei da gravitação universal de Newton

Após os trabalhos de Kepler, Isaac Newton (nascido em 1642) trabalhou durante muitos anos e conseguiu uma lei física que expressava a interação gravitacional entre dois objetos. A partir dessa lei, todas as leis de Kepler podiam ser obtidas.

A lei da gravitação universal de Newton afirma que duas partículas de massas m₁ e m₂ separadas por uma distância r₁₂ r₁ r₂ são atraídas mutuamente por uma força proporcional ao produto das massas, e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A constante de proporcionalidade, chamada de constante gravitacional, pode ser medida:

_G

₆

_,

₆₇

₁₀

11

_N

_.

_m

2

_/

_kg

2_{. Em módulo,} 2 12 2 1 ) 2 ( 1

r

m

m

G

F

Observe que:

a) se você pensar num objeto nas vizinhanças da superfície da Terra, e usar os valores de

2 2 11

_.

_/

10

67

,

6

N

m

kg

G

,

m

_T

₅

_,

₉₈

₁₀

24

kg

_,

_R

₆₄₀₀

_km

₆

_,

₄

₁₀

6

_m

_{, obterá para a}

força de atração gravitacional da Terra sobre o objeto um valor igual a seu peso:

m

g

, com

2

/

8

,

9

m

s

g

.

b) se você considerar duas pessoas (ou dois objetos) de massas estimadas 100 kg cada, separadas por uma distância de 1,0 m, o valor da força de atração gravitacional entre as duas é muitas ordens de grandeza inferior ao peso de cada uma delas...

Finalmente, veja como a terceira lei de Kepler pode ser obtida a partir da lei da gravitação universal. Se supusermos que as órbitas dos planetas é circular (uma aproximação bastante razoável), e lembrarmos que um corpo em movimento circular uniforme tem uma aceleração centrípeta igual a

a

_c

v

2

R

_{, e que a velocidade pode ser escrita como}

T R

v 2 , onde T é o período da volta completa em torno do círculo, podemos escrever (lembrando que F ma) para cada um dos planetas (de massa m) e o Sol (de massa M)

R

T

R

m

R

v

m

R

M

m

G

F

_grav 2 2 2

/

2

const

G

R

T

2 3 2

₄

para todos os planetas. 1.6) Comentários finais

Fenômenos astronômicos básicos fazem parte da constituição do conhecimento em Física e Astronomia. Entender como ocorrem as fases da Lua, os eclipses, as marés, entre outros, faz parte da vida de pessoas ligadas à ciência. Sugerimos a consulta ao hipertexto sobre astronomia básica, disponível em

http://www.if.ufrj.br/~marta/caronte-hipertexto/

2. UMA NOVA OPERAÇÃO ENTRE VETORES, E O TORQUE DE UMA FORÇA

2.1) O produto vetorial entre dois vetores

Pode-se definir uma nova operação entre dois vetores de forma tal que a cada par de vetores a e b associamos um terceiro vetor c,

b a

c ,

o produto vetorial entre a e b (observe o símbolo utilizado para o produto escalar, em contraposição ao símbolo utilizado para o produto escalar). Este vetor c a b é definido como um vetor

de módulo

c

a

b

sen

, onde é o menor ângulo entre a e b ; e pode-se observar que c ab , onde b é a projeção de bna direção perpendicular a

a, cujo valor é o valor da área do paralelogramo definido por a e b; de direção perpendicular tanto à direção de a quanto à direção de b ;

de sentido (por convenção) obtido por meio da regra da mão direita: colocando a mão direita com a palma aberta na direção do vetor a, tente fechar a palma levando-a de a para b pelo meor ângulo; quando o movimento de ir de a para bfechar a mão, o sentido que o polegar apontar é o sentido de c. Esta definição está ilustrada nas figuras a seguir.

O produto vetorial de dois vetores não é comutativo: a ordem dos fatores troca o sinal do resultado. Suas propriedades também podem ser verificadas (facilmente) a partir da definição:

a

b

b

a

c

a

b

a

c

b

a

b

a

b

a

, um escalar ( ) 0 a

a (o produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos é nulo). Em componentes,

z

b

a

b

a

y

b

a

b

a

x

b

a

b

a

b

a

_{y z z y}

ˆ

_{z x x z}

ˆ

_{x y y x}

ˆ

2.2) Torque e momento angular

Esta nova operação é utilizada pela primeira vez em cursos de física básica para a definição de torque de uma força e momento angular de uma partícula.

Considere uma partícula de massa mmovendo-se com velocidade vsob ação de forças cuja resultante é

_F

RES_{. Por exemplo, imagine um objeto (que possa ser tratado como uma}

partícula) preso por um fio ideal de comprimento a um ponto fixo O sobre uma mesa lisa.

A força resultante sobre a partícula é a tração na corda. A velocidade é tangente à trajetória, e tem módulo constante de valor

v

, onde é a velocidade angular (a taxa de variação do ângulo com o tempo).

Pode-se definir o torque F

O de uma força

F

em relação a um ponto O como sendo

F r

F O

onde

r

é o vetor que define a posição, em relação ao ponto O, do ponto de aplicação da força, como mostrado na figura.

No caso da partícula girando, a força é aplicada na posição em que a partícula está, e é antiparalela ao vetor posição, em relação ao ponto central, da partícula. Portanto, o torque da força resultante sobre a partícula, neste caso, é nulo.

v r m p r L_O

onde

p

m

v

é o momento linear da partícula.

No caso considerado, o momento angular desta partícula é um vetor perpendicular ao vetor velocidade e ao vetor posição (raio do círculo), isto é, é um vetor perpendicular ao plano de rotação da partícula e de módulo

_L

_m

_v

_sen

₉₀

_m

2

O . Esse vetor é constante,

em módulo, direção e sentido.

2.3) A “segunda lei de Newton para rotações” A segunda lei de Newton pode ser escrita como

a

m

t

d

p

d

F

RES

Para observadores em referenciais inerciais, pode-se observar que a taxa de variação do momento angular de uma partícula em relação a um ponto O varia no tempo segundo

RES RES O

_v

_m

_v

_r

_F

_r

_F

t

d

p

d

r

p

t

d

r

d

p

r

dt

d

t

d

L

d

0

Em outras palavras, podemos escrever que a taxa de variação temporal do momento angular em relação a um ponto é o torque da força resultante sobre o corpo em relação a este ponto: RES O RES O

_r

_F

t

d

L

d

Esta equação, obtida a partir da hipótese de que a segunda lei de Newton é válida, é muito semelhante à segunda lei de Newton, com a substituição do momento linear

p

pelo momento angular L_O e da força resultante

_F

RES _{pelo torque da força resultante} RES

O .

No caso do movimento de um objeto sobre uma mesa lisa, preso por um fio a um ponto fixo (que estava sendo estudado na seção anterior) observamos que o momento angular não varia com o tempo, e o torque da força resultante é nulo.

2.4) A órbita dos planetas no Sistema Solar é plana

A força de atração gravitacional entre um planeta e o Sol, formulada por Newton, é o que chamamos de uma “força central”: ela tem a direção sempre dada pela reta que une a partícula ao centro das forças (o Sol), um ponto que pode ser considerado fixo.

Sol planeta

O

GR

F

O torque da força gravitacional em relação ao ponto O, centro da órbita, é nulo, pois os vetores são antiparalelos:

0 GR RES

O r F

O momento angular, então, não varia com o tempo. Isso significa que no instante considerado na figura, ele é perpendicular ao plano definido pela velocidade no instante e pelo vetor posição do planeta em relação ao ponto O. Em qualquer momento posterior, terá que ter a mesma direção – e esta direção define um plano, o plano da órbita.

A força gravitacional é central, e isso nos permite afirmar que a órbita do planeta em torno do Sol ocorre num plano. Pode-se também, a partir da conservação do momento angular, demonstrar a lei das áreas.

Bibliografia para leitura complementar sobre a sessão 1:

H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica – vol. 1 – Mecânica, 4a. edição. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2002. Capítulo 10.

Daniela Lazzaro e Marta Feijó Barroso, Introdução às Ciências Físicas – vol. 2, Módulo 2: A evolução das idéias sobre o Sistema Solar. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2003.

Bibliografia para leitura complementar sobre a sessão 2:

H. Moysés Nussenzveig, Curso de Física Básica – vol. 1 – Mecânica, 4a. edição. São Paulo: Editora Edgard Blücher, 2002. Capítulo 11, seções 11.3 e 11.4.