O Problema do Shortest Path 1 PROBLEMA DO SHORTEST PATH O QUE E? GRAFO (orientado, sem perda de generalidade)

Ernesto de Queiros Vieira Martins

eqvm@mat.uc.pt

http://www.mat.uc.pt/eqvm/eqvm.html

Departamento de Matematica

Faculdade de Ci^encias e Tecnologia

PROBLEMA DO SHORTEST PATH

O QUE



E?

GRAFO

Linear Programming and Network Flows

M. S. Bazaraa, J.J. Jarvis and H.D. Sherali

John Wiley and Sons, 1990

(segunda edic~ao)

Pagina 572

`Suppose that we are given a network G with m

nodes, n arcs, and a cost c

ij

associated with each

arc (i;j) in G. The shortest path problem is: Find

the shortest (least costly) path from node 1

to node m in G. The cost of the path is the

sum of the costs on the arcs in the path.'

PATH ?

Pagina 422

`A path (from node i

0 to node i p ) is a sequence of arcs P = f(i o ;i 1 );(i 1 ;i 2 );:::;(i p 1 ;i p )g in which the

initial node of each arc is the same of the

preced-ing arc in the sequence and i

0 ;:::;i p are all distinct nodes.' CONCLUS ~ AO:

N~ao ha restric~oes nos custos dos arcos

...The mathematical formulation becomes: Minimize m X i=1 m X j=1 c ij x ij Subject to m X j=1 x ij m X j=1 x ji = 8 < : 1 if i = 1 0 if i 6= 1 or m 1 if i = m x ij = 0 or 1 i;j = 1;2;:::;m Contra Exemplo . . .. . . . . . . . . . . . . . . ... .. .... .... . ... . ... ... .... ... . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . ... . ... ... .... ... .... . .. ... .. .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . .. .... ... ... ... ... . .. .. . .. .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .. .... ... ... .... . .. ... . .. ... . .. .... ... . .. .... . . . ... . .. .... ... . .. ... . ... . .. ... . .. ... .... ... . .. ... . ... . .. ... . ... . .. ... . .. . . . ... . ... . .. ... . ... . .. ... . .. .... ... . .. . ... . .. ... . .. ... . .. .... ... . .. .... ... ... . .. .... ... . .. ... . ... . .. ... . .. ... . ... ... . .. ... . ... . .. ... . ... . .. ... ... .... . . . ... . .. ... . ... . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . .. .. . .. . . . . . . 1 Minimize x 12 + x 13 + x 23 + x 32 x 12 + x 13 = 1 x 12 + x 23 x 32 = 0 x 13 x 23 + x 32 = 1 x 12 ; x 13 ; x 23 ; x 32 2 f0; 1g Soluc~ao  Optima: x 12 = 0; x 13 = x 23 = x 32 = 1

Network Flows

Theory, Algorithms, and Applications

R. K. Ahuja, T. M. Magnanti and J. B. Orlin

Prentice Hall, New Jersey, 1993

Pagina 94

...`The shortest path problem is to determine for

every nonsource node i 2 N a shortest directed

path from node s to node i.'

Directed PATH ?

Pagina 26

`A directed path is a directed walk without any

repetions of nodes.'

`A directed walk is a sequence of nodes and arcs

i 1 a 1 i 2 a 2 :::i r 1 a r 1 i r

satisfying the

prop-erty that for all 1  k  r 1;a

k = (i k ;i k+1 ) 2 A: 0 CONCLUS ~ AO: PATH | N~ao existem nos repetidos

HIP 

OTESES ASSUMIDAS:

Todos os custos s~ao inteiros

EXISTE

`directed path' do no s para todos os outros

N~ao existem

ciclos de custo negativo

pag. 95

Various Types of Shortest Path Problems

Researchers have studied several types of

(di-rected) shortest path problems:

1 | Finding shortest paths from one node to

all others when arc lengths are

nonnega-tive

2 | Finding shortest paths from one node to

all others for networks with arbitrary arc

lengths

3 | Finding shortest paths from every node

to every other node

4 | Various generalizations of the shortest

Pagina 94

.

.

.

This view point gives rise to the following linear

programming formulation of the shortest path

prob-lem: Minimize X (i;j)2A c ij x ij Subject to X j:(i;j)2A x ij X j:(j;i)2A x ji = 8 < : n 1 for i = s 1 forall i 2 N fsg x ij

 0 for all (i;j) 2 A:

CORRECTO | CUIDADO

desde que n~ao existam ciclos negativos na

rede e S  O SE CONSIDEREM SOLUC ~ OES B  ASICAS

Contra Exemplo . . . . . . . . .. . . .. . . .. .. . . . . . .. . .. . ... . ... . ... ... . .. . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. .. ... . . . .... ... . ... . ... . ... .. ... .. ... .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. .. ... ... ... ... . .... ... ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .... . ... . ... . .. . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . ... . . . ... . . . ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. .... .. .... ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. .... .. .... .. .... .. .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .. .. .... ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. .... .. .... ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . ... . . . ... . . . ... . . . ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . ... . . . ... . . . ... . . . ... . . . ... . .. ... . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . .. .... . . .... .. .... .. .... . . . . .. ... . .. ... . .. . . . . .. ... . .. ... . .. . . . . .. ... . .. ... . .. . . .. .. .... .. .... .. . . .. .. .... ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. .... .. .... ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . ... . . . ... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . .. ... ... ... . ... . . . ... . . .... . . . ... . . . ... . .. . . . . .. ... . .. ... . .. . . . . .. ... . .. ... . .. . . . . .. ... . .. ... . ... . . . ... . . . ... . . . ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. .... .. .... ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. ... . .. .... .. .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Minimizar x 12 + x 13 + x 24 + x 34 x 12 + x 13 = 3 x 12 + x 24 = 1 x 13 + x 34 = 1 x 24 + x 34 = 1 x 12 ; x 13 ; x 24 ; x 34  0 Soluc~oes  Optimas (basicas): x 12 = 2; x 13 = x 24 = 1;x 34 = 0 x 13 = 2; x 12 = x 34 = 1;x 24 = 0 Soluc~oes  Optimas (n~ao basicas):

Qualquer combinac~ao convexa das soluc~oes optimas basicas

Exemplo: x 12 = 3 2 ;x 13 = 3 2 ;x 24 = x 34 = 1 2

Graphs and Algorithms

M. Gondran and M. Minoux

Wiley{Interscience

Series in Discrete Mathematics

John Wiley & Sons, 1984

Pagina 42

.

.

.

`The problem of the shortest path between two

ver-tices i and j is that of nding a path (i;j) from i

to j whose total length

`() = X u2(i;j) `(u) is a minimum.' PATH ? N~ao denida mas ... Pagina 42/43

`Existence of a solution to the shortest path

problem: Consider a path (i;j) from i to j

con-taining a circuit w: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . .. ... .. . . . . ... .... ... . ... . ... ... . .... .... . ... . .. ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i    k j w Denote by  0

the path from i to j associated with

, but not containing the circuit w.

.

.

.

CONCLUS ~

AO:

PATH | PODEM EXISTIR nos repetidos

E... Pagina 43 ` . . . We thus have `() = `( 0 ) + `(w);

where `(w) is the length of the circuit w.

If `(w) < 0, then there is no shortest path from

i to j, because the circuite can be used an innite

number of times.

If `(w)  0, then `( 0

)  `(): Hence when looking

for the shortest path, we can restrict ourselves to

elementary paths between i and j.

In what follows, we shall therefore assume that

the graph has no circuit of negative lenght.

.

.

.

'

CUIDADO

Podem existir ciclos NULOS!!

LOGO, podem existir soluc~oes optimas que

PROBLEMA DO SHORTEST PATH O QUE  E AFINAL ? CASO PARTICULAR DO PROBLEMA DO TRAJECTO  OPTIMO

DEFINIC ~ OES: (N; A) grafo N = fv 1 ;:::;v n g conjunto dos nos (ou vertices) A = fa 1 ;:::;a m

g conjunto dos arcos

N = f1;:::;ng A  N  N = f(i; j) j i; j 2 N e i 6= jg p ij trajecto de i 2 N para j 2 N p ij = hi; (i;v 0 k ); v 0 k ; :::; v 0 ` ; (v 0 ` ;j); ji trajecto  path

caminho () trajecto sem nos

repetidos, excepto,

possivelmente, o

ini-cial que pode

coin-cidir com o terminal

ciclo () caminho de um no

para ele mesmo

PROBLEMA DO TRAJECTO  OPTIMO DADOS: (N; A; c; s; t) rede (orientada) (N; A) grafo

c custo associado aos arcos

(c 2 IR k

; k  1)

s;t vertices inicial e terminal

P ij ftrajectos de i 2 N para j 2 Ng P P st c : S i;j2N P ij ! IR r : p ! c(p) custo de p (r  1) (r > 1 Problema Vectorial) P ?

 P domnio (restringido) de c(p)

PRETENDE{SE: Determinar p ? 2 P ? tal que: c(p ? )  c(p); 8p 2 P ? (assume{se a minimizac~ao de c(p) em P ? )

HIP 

OTESES ADMITIDAS:

(N; A; c; s; t) rede (ORIENTADA)

P si 6= ; P it 6= ; 9 > > > = > > > ;

qualquer que seja i 2 N:

QUALQUER DELAS

EXEMPLOS | Domnio n~ao Restringido

Problema do Trajecto Mais Curto

ou

Problema do Shortest Path

k = 1 i.e. (i; j) 2 A c ij (custo, tempo,...) P ? = P domnio de c(p) c(p) = X p c ij PRETENDE{SE: Determinar p ? 2 P ? j c(p ? )  c(p); 8p 2 P ?

Problema do Trajecto de Capacidade Maxima k = 1 i.e. (i; j) 2 A u ij (> 0) (capacidade) P ? = P domnio de u (p) u (p) = minfu ij j (i; j) 2 A \ pg PRETENDE{SE max p2P ? u(p) i.e. Determinar p ? 2 P ? j u(p ? )  u(p); 8p 2 P ?

Problema do Trajecto

de menor

Custo / Unidade de Tempo

k = 2 (i; j) 2 A c ij ; t ij (custo, tempo) P ? = P domnio de f (p) c(p) = X p c ij ; t(p) = X p t ij ; f (p) = c(p) t(p) PRETENDE{SE minff(p) j p 2 P ? g i.e. Determinar p ? 2 P ? j c(p ? ) t(p ? )  c(p) t(p) ; 8p 2 P ? Admite{se que t(p) > 0; 8p 2 P ?

Problema do Trajecto

de menor

Custo / Unidade de Capacidade

k = 2 (i; j) 2 A c ij ; u ij (> 0) (custo, capacidade) P ? = P domnio de f (p) c(p) = X p c ij ; u(p) = min p fu ij g f (p) = c(p) u (p) PRETENDE{SE minff(p) j p 2 P ? g i.e. Determinar p ? 2 P ? j c(p ? ) u(p ? )  c(p) u(p) ; 8p 2 P ?

EXEMPLOS | Domnio Restringido

Problema do Caminho



Optimo

ou

Problema do Optimal Elementary Path

P ?  P P ? = fcaminhos de s para tg Problema do Trajecto  Optimo com

passagem por dados nos

Ex: Caixeiro Viajante

EXEMPLOS | Domnio Finito

Caminho 

Optimo



Arvore dos Caminhos



PROBLEMA DO TRAJECTO  OPTIMO DEFINIC ~ OES:

Um problema particular do trajecto



optimo diz{se:

FINITO se e so se existe um trajecto



optimo constitudo por um numero nito de

vertices (e de arcos).

LIMITADO se e so se existe um trajecto



optimo cujo valor e nito, isto e, se e so se

existe um trajecto optimo p ? tal que c(p ? ) e nito. TEOREMA 1:

Um problema particular do trajecto mais

curto e

nito e limitado se e so se n~ao existem

ciclos negativos na rede, isto e, se e so se

X

C c

ij

 0, qualquer que seja o ciclo C da

Um problema particular do CAMINHO mais

curto ou da



Arvore dos Caminhos mais

cur-tos e sempre nito e limitado.

Um problema particular do trajecto de

menor custo / unidade de tempo pode ser

limitado e n~ao nito. EXEMPLO . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . .. ... . .... ... ... ... .... .... . . . . .. .. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... .. .. . . . .. ... . .. ... ... ... . .... . ... .... ... . . . . . . . .. .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . ... .. ... . .. ... . ... . ... ... ... . ... . .. . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2;1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2;1) . . ... . .. ... . ... . .. ... . .. .... ... . .. .... . . . ... . .. .... .. .... ... . .. .... ... . .. . . . .... ... . .. .... ... . .. ... . ... . . . ... . .. . . . .... ... . .. ... . ... . .. ... . .. .... ... . .. . . .. . .. ... . .. ... . .. .... ... . .. .... ... . .. . .. . ... ... . .. .... ... . .. ... . ... . . . ... . .. ... . ... ... . .. ... . ... . .. ... . .. .... ... ... .... . .. ... . .. ... . .. .... ... . .. .... ... ... ... .... ... . .. .... ... . .. ... . ... . . . ... ... ... .... ... . .. ... . ... . .. ... . .. .... . . . ... . . .. . . . ... . .. ... . .. .... ... . .. .... . . . . .. . . . .... ... . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2;2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . ... . . . . . . . . . .. . . . (3;3) p 1 = h1; 3i; C = h3; 2; 3i; C k = C  :::  C | {z } k vezes p 1 = lim k !1 fp 1  C k g c(p 1 ) t(p 1 ) = lim k !1 2 + k  (2+ 3) 1 + k  (2+ 3) = 5 5 = 1 c(p) t(p) > c(p 1 ) t(p 1 ) ; 8pnito

Problema do Trajecto Mais Curto

e

Problema do CAMINHO Mais Curto

S ~

AO DIFERENTES

SEMELHANCAS ?

Teorema:

Existe um trajecto mais curto que e

nito se e so se existe um trajecto mais

curto que e caminho.

Logo :

N~ao existem ciclos negativos em

(N; A; c; s; t) se e so se existe um

tra-jecto mais curto que e caminho.

O caminho mais curto existe sempre.

Pode existir caminho mais curto e o

Problema do Trajecto Mais Curto n~ao

PROBLEMA DO TRAJECTO  OPTIMO RESOLUC ~ AO:

Princpio da Optimalidade FORTE:

Qualquer trajecto optimo p ?

de s para t e

constitudo por subtrajectos optimos de s

para i, qualquer que seja o no intermedio i

de p ?

.

Princpio da Optimalidade FRACA:

Existe um trajecto optimo p ?

de s para t

constitudo por subtrajectos optimos de s

para i, qualquer que seja o no intermedio i

de p ?

.

Qualquer problema particular do

trajec-to optimo que satisfaca ao Princpio da

Optimalidade Fraca e resoluvel pelo

ALGORITMO DE ROTULAC ~ AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... .. ... . .. ... . .... ... .... . ... .... ... . .. . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s . . . . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . .. ... . ... . ... ... ... . .. . . . ... .. ... .. . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. ... . .. .... .... ... . .... ... . .. . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ? ? ! ? ! trajecto conhecido Teste p si

 (i;j) melhor do que p

sj ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . ... . .. . ... .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . ... . . . . ... . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. .. .. . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . ... .. . . ... .. . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. .. . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. .. . . . . . .. . .. . ... .. .. . . . .. .. . . . . .. . . . . . ... . . .. . . . .. .. . . . . .. . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. .. . . . . . . .. . . . .. .. . .. . . . . . .. . . . . . . .. . . . .. .. . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teorema:

O Problema do Trajecto Mais Curto satisfaz ao

Princpio da Optimalidade Forte (e Fraca) se e

so se n~ao existem ciclos negativos na rede.

Algoritmo de Rotulac~ao:

Problema do Trajecto Mais Curto

fInicializac~ao g X fsg;  s 0;  i 1, para todo i 2 N fsg;  i ; , para todo i 2 N; fAlgoritmog Enquanto X 6= ; faz: i elemento de X;

Para todo o arco (i;j) 2 A faz:

Se ( i + c ij <  j ) ent~ao:  j  i + c ij ;  j i; Se j 62 X ent~ao X = X [ fjg; Fim Se; Fim Para; X = X fig; Fim Enquanto;

Varias formas do Algoritmo dos Rotulos Rotulos N~ao Denitivos + Rotulos Denitivos Rotulos N~ao Denitivos X em FIFO | BFM X em LIFO | ineciente

X em DEQUE | Pape & Levit

.

.

.

Rotulos Denitivos

(custos n~ao negativos)

menor elemento de X | Dijkstra

Teorema:

O Problema do Trajecto de Capacidade

Maxima satisfaz sempre o Princpio da

Teorema:

Qualquer que seja o vertice i, admita{se que

existe um trajecto optimo p ?

si

, de s para i que

e constitudo por subtrajectos optimos de s

para qualquer vertice intermedio de p ?

si .

Ent~ao, o Algoritmo de Rotulac~ao determina

a 

Arvore dos Caminhos



Optimos com raiz

em s.

Corolarios:

1. O Algoritmo de Rotulac~ao determina a



Arvore dos Caminhos Mais Curtos com

raiz em s se e so se n~ao existem ciclos

ne-gativos na rede.

2. O Algoritmo de Rotulac~ao determina a



Arvore dos Caminhos de Capacidade

Maxima com raiz em s, qualquer que seja

a rede.

Teorema:

Os Problemas do Trajecto de Menor

Cus-to por Unidade de Tempo e do Trajecto

de Menor Custo por Unidade de Capacidade

n~ao vericam, em geral, o Princpio da

Exemplo para o Problema do Trajecto de

Menor Custo por Unidade de Tempo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . ... . . . . . ... ... .... .... ... ... ... .... .... ... . .. ... . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. ... . .. .... .... . ... ... ... .... .... ... ... ... . . . .. . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . .. .. . .. ... . .. .... . ... . ... ... ... .... . ... . .. ... . .. .. . .. .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. ... . .. ... . .. .... ... ... ... ... ... . .. .... ... . . . .. .. . .. .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (0,1) ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x,0) . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . .. . . .. . ... . . . .. . . .. . . .. . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . .. . .. . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . ... . .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1,1) . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . ... .. . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . ... . . . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . .. . . . . .. . . .. . . .. . . . . .. . ... . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1,1) (c ij ;t ij ) p 1 = hs;1;ti p 2 = hs;2;1;ti f(p) = P p c ij P p t ij =) 8 < : f(p 1 ) = x 1 f(p 2 ) = x+2 2 i:e: f(p 2 ) < f(p 1 ) () x + 2 2 < x 1 () x > 2 f(hs; 1i) = 0 1 = 0 < f(hs; 2; 1i) = 1+1 1+1 = 1 x = 2 PO FRACA; x < 2 PO FORTE

Dois Problemas do Trajecto 

Optimo

Trajecto de Capacidade Maxima no

Conjunto dos Trajectos Mais Curtos

Verica Princpio da Optimalidade FRACA.

Trajecto Mais Curto no Conjunto dos

Trajectos de Capacidade Maxima

N ~

AO verica Princpio da Optimalidade

FRACA.

The Optimal Path Problem

E. Martins, M. Pascoal, D. Rasteiro e J. Santos

Investigac~ao Operacional 19 (1999) 43{60

http://www.mat.uc.pt/eqvm/CISUC/cisuc.html

Algoritmo de Rotulac~ao 6= Algoritmo Simplex

Generalizac~oes

Enumerac~ao de Trajectos

Problema do Trajecto Vectorial



Optimo

Problema Estocastico do Trajecto 

Optimo

.

.