A Matemática da Tomografia

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0. 5 se tg ra y 0 0. 5 se tg ra y 1

A Matemática da Tomografia

R. Cipolatti Instituto de Matem´atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

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O que é a tomografia?

• _{Tomografia = tomos + graphein}_,

• tomos = corte, talho; graphein = escrita, grafia

• _{Processo pelo qual se obtém uma representação}

gráfica de seções de um corpo tridimensional.

ω

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O que é a tomografia?

• _{“Qualquer técnica de geração de imagens que}

simule a estrutura interna de um corpo a partir de dados colhidos externamente”.

• _{O problema da reconstruc¸˜ao do interior de um}

objeto através de projeções surge em várias áreas das ciências, tais como diagnósticos médicos,

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Técnicas para Geração de

Imagens em Medicina

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Técnicas para Geração de Imagens para Medicina

• _Radiografia;

• _{Tomografia por Transmiss˜ao – CT;}

• _{Tomografia por Emiss˜ao – ECT (}SPECT, PET);

• _{Ultra-sonografia}_;

• _{Electrical Impedance Tomography – EIT;} • _{Ressonˆancia Magn´etica – MRI.}

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Técnicas para Geração de Imagens em Medicina Nuclear

• _{Single Photon Emission Tomography – SPECT}_, • _{Positron Emission Tomograpy – PET}_;

• Medicina Nuclear – Material radioativo é introduzido no paciente e metabolizado pelo órgão sob investigação. A

radiação gama emitida é registrada por uma câmera SPECT que gira em torno do paciente. O técnica PET funciona de modo análogo, sendo o agente metabolizado um emissor de pósitrons.

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CT: Tomografia por Transmissão

Gerador de Raios-X

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Um “ε” de história

Nada disso existiria se . . .

• _{Ondas elétromagnéticas não tivessem sido}

previstas por James Clark Maxwell em 1862 e observadas experimentalmente por Heinrich Hertz em 1887;

• _{Os Raios-X n˜ao tivessem sido descobertos}

acidentalmente por W. K. Roentgen, em 1895. Por esta descoberta, ele ganhou o Prˆemio Nobel em 1901;

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Nada disso existiria se . . .

• _{As primeiras técnicas de reconstrução não}

tivessem sido desenvolvidas por Bracewell (1956), em r´adio-astronomia;

• _{Essas t´ecnicas n˜ao tivessem sido aplicadas na}

microscopia eletrônica, para a reconstrução da estrutura de moléculas.

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Uma etapa fundamental para o desenvolvimento dos processos de reconstruc¸˜ao de imagens foi atingida em 1963, a partir do trabalho de Allan Cormack, da

Universidade de Tufts, quando desenvolveu

MODELOS MATEM ´ATICOS que permitiram obter imagens muito mais precisas.

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Esses modelos foram utilizados no primeiro

equipamento de tomografia por Raios-X, constru´ıdo em 1972, por Hounsfield, nos laborat´orios EMI,

Inglaterra.

Por esses desenvolvimentos, Cormack e Hounsfield receberam o Prˆemio Nobel de medicina em 1979.

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Tipos de interação de Raios-X com a matéria

• _{Efeito Fotoel´etrico (raios-X de alta energia – CT);} • _{Espalhamento de Compton (raios-X de alta}

energia – CT);

• _{Produc¸˜ao de Pares (raios-X de alt´ıssima energia –}

ECT);

• _{Foto-desintegrac¸˜ao (raios-X de alt´ıssima energia}

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Efeito fotoelétrico

foton incidente

eletrofoton

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Espalhamento de Compton

foton incidente

foton espalhado

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O Modelo Matemático para CT

O f´oton, considerado como part´ıcula, pode ser caracterizado por:

• _{sua localizac¸˜ao} _x = (x₁_{, x}₂_{, x}₃)_;

• _{sua direc¸˜ao de deslocamento} _ω = (ω₁_{, ω}₂_{, ω}₃)_; • _{a energia de seu movimento.}

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A função ϕ(t, ω, x) denota a densidade de radiação em x, na direção ω e no instante t. A quantidade de fótons que se deslocam na direção ω e que no instante

t se encontram em uma regi˜ao V _⊂ R3 ´e dada por

Z

V

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Para estabelecer a equação que descreve a dinâmica da radiação, precisamos introduzir o conceito de

Densidade de Fluxo de Radiac¸˜ao:

J(t, ω, x) = v₀ϕ(t, ω, x)ω.

~n ~ ω

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• _{Os f´otons que N ˜}_{AO est˜ao interagindo com o}

corpo satisfazem a equac¸˜ao do transporte:

∂ϕ

∂t (t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) = 0

• _{cuja solução expl´ıcita é:}

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• _{No caso da interac¸˜ao com o corpo, mas}

desconsiderando-se o espalhamento, temos a equação do transporte com termo de absorção:

∂ϕ

∂t (t, ω, x)+ω·∇xϕ(t, ω, x)+q(x)ϕ(t, ω, x) = 0,

• _{cuja solução expl´ıcita é:}

ϕ(t, ω, x) = ϕ₀_{(x − tω)}e −

R t

0 q(x−sω)ds

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• _{No caso da interac¸˜ao com o corpo}

considerando-se o espalhamento, temos a equac¸˜ao linear de Boltzmann:

∂ϕ ∂t (t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) + eq(x)ϕ(t, ω, x) = Z S f(x, ω, ω′)ϕ(t, ω′, x) dω′

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• _{No caso da interac¸˜ao com o corpo}

considerando-se o espalhamento, a soluc¸˜ao tem a forma:

ϕ(t, ω, x) = ϕ₀_{(x − tω)}e − R t

0 q˜(x−sω)ds + R(t, ω, x)

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• _{Densidade de radiação emitida de} _x _{na direção} _ω_:

I_e(x) = ϕ₀(x)

• _{Densidade de radiac¸˜ao detectada:}

I_d(x) = ϕ₀(x)e−R ∞ −∞ q(x−sω)ds • _{Valor calculado:} ln Ie(x) I_d(x) = Z _∞ −∞ q_{(x − sω)ds}

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O problema se reduz à questão de determinar q(x) a partir do conhecimento de suas integrais de linha que passam pela região Ω

y v ω x J1 J2 ω⊥

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A Transformada Raio-X

• _Problema: _{E poss´ıvel determinar uma func¸˜ao}´

q(x) com dom´ınio em Ω a partir de suas integrais de linha?

P_ω[q](x) =

Z _∞

−∞ e

q_{(x − sω) ds}

• _{A soluc¸˜ao deste problema foi obtida em 1917}

pelo matemático austr´ıaco J. Radon, nos seus estudos de reconstrução de imagens para as equações do campo gravitacional.

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A Transformada Raio-X em _R2 • _{No caso bi-dimensional,} _x = (x₁_{, x}₂)_, ω = (cos θ, sen θ) P_θ[q](x) : = Z _∞ −∞ q(x₁ + t cos θ, x₂ + t sen θ) dt

• _Problema: _{E poss´ıvel determinar}´ q(x)

conhecendo-se a sua Transformada Raio-X,

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Funções radiais: exercício

• _{No caso de func¸˜oes radiais} _q : B → _R • _B = (x₁_{, x}₂) ; x2₁ + x2₂ ≤ 1 _. • _q(x₁_{, x}₂) = ρ(r) = ρ(p_x2 + y2) • _{Neste caso} g(r) = Pθ[q](r) = 2 Z √_1−r2 0 ρ pr2 + t2 dt

• _{E f´acil inverter a f´ormula acima (exerc´ıcio):}´

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Problemas matemáticos

• _{Densidade de radiação emitida de} x _{na direção} ω_:

I_e(x) = ϕ₀(x)

• _{Densidade de radiac¸˜ao detectada:}

I_d(x) = ϕ₀(x)e−R ∞ −∞ q(x−sω)ds • _{Valor calculado:} ln Ie(x) I (x) = Z _∞ q_{(x − sω)ds}

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Problemas Matemáticos

Neste caso, o problema se reduz `a quest˜ao de

determinar q(x) a partir do conhecimento de suas

integrais de linha que passam pela regi˜ao Ω, problema que foi resolvido por J. Radon em 1917.

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Problemas Matemáticos

Problema 1: E poss´ıvel determinar o coeficiente´ q(x)

sem desconsiderar os espalhamento?

Problema 2: E poss´ıvel determinar o coeficiente de´ espalhamento f(x, ω′ω)?

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• _Q = S × Ω_, Σ = S × ∂Ω_;

• Σ− = (ω, σ) ∈ Σ ; ω · ν(σ) < 0 _.

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• ∂u

∂t + ω · ∇xu + qu = Kf[u]

u(0, ω, x) = 0

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Problemas matemáticos • ∂u ∂t + ω · ∇xu + qu = Kf[u] u(0, ω, x) = 0 u_{(t, ω, σ) = ϕ(t, ω, σ), t ∈ (0, T ), (ω, σ) ∈ Σ}− • _Mede-se u(t, ω, σ) _sobre (ω, σ) ∈ Σ+ O operador Albedo _A_q,f_{[ϕ] = u|}_Σ+ Considera-se a func¸˜ao _{A : (q, f) 7→ A}_q,f.

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O Problema da Determinação de Parâmetros

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• _{Identificac¸˜ao:} _{injetividade de} A_;

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• _{Caracterização:} _{Descrição da imagem de} A_; • _{Estabilidade:} _{continuidade de} A−1_;

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• _{Caracterização:} _{Descrição da imagem de} A_; • _{Estabilidade:} _{continuidade de} A−1_;

• _{Reconstrução:} _{fórmula ou processo para}

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• _{O Problema de Identificac¸˜ao:}

Aq1,f1[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

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Aq1,f1[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);

• _{O Problema de Estabilidade:}

kq1 − q2k + kf1 − f2k ≤ Ψ kAq1,f1 − Aq2,f2k

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Aq1,f1[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2

Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);

• _{O Problema de Estabilidade:}

kq1 − q2k + kf1 − f2k ≤ Ψ kAq1,f1 − Aq2,f2k

Mathias-Roberty-Eu, Rev. Mat. Complut. (2006);

• _{Essas quest˜oes se referem a uma infinidade de}

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Número finito de medidas

• _{Problema 1:} _{E poss´ıvel determinar}´ _q(x) _{a partir}

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de um n´umero finito de integrais de linha?

• _Não!!! _Dadas _m _direções _ω₁_{, . . . , ω}_m_{, é poss´ıvel}

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encontrar uma func¸˜ao q(x) tal que P_ω_j[q] = 0.

• _{Problema 2:} _{E poss´ıvel determinar}´ q(x) _{a partir}

de um n´umero finito de integrais de linha,

sabendo-se que q pertence a um espac¸o vetorial de dimens˜ao finita?

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encontrar uma func¸˜ao q(x) tal que P_ω_j[q] = 0.

• _{Problema 2:} _{E poss´ıvel determinar}´ q(x) _{a partir}

de um n´umero finito de integrais de linha,

sabendo-se que q pertence a um espac¸o vetorial de dimens˜ao finita?

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Resolução numérica

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Resolução numérica • Ω = Sm_j₌₁ Q_j, θ₁, θ₂, . . . , θ_n, • _q(x) = Pm_j₌₁ _α_j_χ_Q_j(x), P_θ_i[q](x) = Pm_j₌₁ α_jP_θ_i[χQj](x) = Pm j=1 aijαj

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Resolução numérica

Tem-se n equações e m incógnitas;

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Referências

• _{K.K. Shung, M.B Smith, B. Tsui: “Principles of}

Medical Imaging”, Academic Press, 1992.

• _{G.T. Herman: “Image Reconstruction form}

Projections”, Academic Press, 1980.

• _{R. Cipolatti, Ivo F. Lopez: “Determination of}

Coefficients for a dissipative wave equations via boundary measurements”, J. Mathematical

Analysis and Appli., 2005.

• _{R. Cipolatti, C.M. Motta, N. Roberty: “Stability}

estimates for an inverse problem for the linear Boltzmann equation”, Rev. Compl. de Matem., 2006.