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Gráficos compactos com curvatura média de segunda ordem constante sobre a esfera

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(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

A

CENTRO DE CIˆ

ENCIAS

CURSO DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

MESTRADO EM MATEM ´

ATICA

JO ˜

AO FRANCISCO DA SILVA FILHO

GR ´

AFICOS COMPACTOS COM

CURVATURA M´

EDIA DE SEGUNDA ORDEM

CONSTANTE SOBRE A ESFERA

(2)

JO ˜

AO FRANCISCO DA SILVA FILHO

GR ´

AFICOS COMPACTOS COM

CURVATURA M´

EDIA DE SEGUNDA ORDEM

CONSTANTE SOBRE A ESFERA

Disserta¸c˜ao submetida `a Coordena¸c˜ao do

Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da

Universidade Federal do Cear´a, como

re-quisito parcial para a obten¸c˜ao do Grau de

Mestre em Matem´atica.

´

Area de Concentra¸c˜ao: Geometria Diferencial

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de

Barros

(3)

Silva Filho, Jo˜ao Francisco da

S58g Gr´aficos compactos com curvatura m´edia de segunda ordem

constante sobre a esfera / Jo˜ao Francisco da Silva Filho -

For-taleza, 2009.

66 f.

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros

Disserta¸c˜ao(Mestrado) - Universidade Federal do Cear´a,

Depto de Matem´atica, Fortaleza, 2009.

1 - Geometria Diferencial

(4)
(5)

Agradecimentos

Inicialmente, agrade¸co a Deus por ter me dado for¸ca para superar mais

esse desafio. Agrade¸co a minha m˜ae Maria de Nazareth e minhas irm˜as Paula

e Poliana pelo apoio e incentivo dado ao longo dessa caminhada.

Ao meu orientador Professor Abdˆenago Alves de Barros por ter aceitado

me orientar, pelos conselhos, ensinamentos, pela paciˆencia e prestatividade

que teve durante o desenvolvimento desse trabalho.

Aos professores Antˆonio Caminha Muniz Neto e Jos´e Nelson Bastos

Bar-bosa por terem aceitado o convite de participar da banca examinadora e pelas

contribui¸c˜oes dadas a esse trabalho atrav´es das sugest˜oes e corre¸c˜oes.

Aos meus professores da Universidade Regional do Cariri, M´ario de Assis

Oliveira, Liane Mendes Feitosa Soares e Carlos Humberto Soares J´unior, pela

amizade, pelos conselhos, apoio e incentivo que me deram durante e ap´os a

Gradua¸c˜ao.

Agrade¸co aos grandes amigos, Andr´e Luiz, Maria Cl´audia e Rob´erio

Gutem-berg pela amizade e pelo apoio dado mesmo estando longe. Aos amigos de

turma da Gradua¸c˜ao, Allan Oliveira, Luciˆe Macedo, Maria Auxiliadora,

Sa-brina Alves e Tiago da Silva.

Aos amigos Dami˜ao J´unio, Fl´avio Fran¸ca e Jocel Faustino pelo apoio

du-rante o Curso de Ver˜ao dos anos de 2006 e 2007.

Aos amigos Aurineide Fonseca, Fl´avio Fran¸ca e Marco Antˆonio,

princi-palmente pelo apoio e pelos conselhos no momento mais dificil que enfrentei

(6)

Aos amigos que contribuiram direta ou indiretamente com a realiza¸c˜ao e

apresenta¸c˜ao desse trabalho, Adam Oliveira, Dami˜ao J´unio, Halyson Baltazar,

Kelton Silva, Marco Antˆonio e Nazareno Gomes, atrav´es de dicas, sugest˜oes e

indica¸c˜ao de fonte de pesquisa.

Aos demais amigos caririenses do Mestrado e Doutorado e aos outros

ami-gos que fiz aqui na UFC durante esses dois anos de caminhada.

N˜ao poderia deixar de agradecer `a secret´aria Andr´ea Costa Dantas pela

de-licadeza e paciˆencia mesmo quando estava t˜ao atarefada, sempre se mostrando

disposta a ajudar.

(7)

Resumo

O objetivo dessa Disserta¸c˜ao ´e apresentar uma f´ormula para o operador

Lr(g) = div(Pr∇g) de uma nova fun¸c˜ao suporte g, definida sobre uma

hiper-superf´ıcieMn em uma forma espacial RiemannianaMn+1

c , bem como mostrar

que uma hipersuperf´ıcie diferenci´avel estrelada compacta Σn, com segunda

fun¸c˜ao sim´etrica S2 constante positiva na esfera Euclidiana Sn+1, deve ser

uma esfera geod´esicaSn(ρ). Isso generaliza um resultado obtido por Jellett [9]

em 1853 para tais tipos de superf´ıcies no espa¸co EuclidianoR3.

(8)

Abstract

The purpose of this dissertation is to desire a formula for the operator

Lr(g) = div(Pr∇g) of a new support function g, defined over a hypersurface

Mn in a Riemannian space form Mcn+1 and to show that a compact smooth

starshaped hypersurface Σn in the Euclidean sphere Sn+1, whose second

sym-metric function S2 is positive and constant must be a geodesic sphere Sn(ρ).

This generalizes a result obtained by Jellett [9] in 1853 for such surfaces in the

Euclidean space R3.

(9)

Conte´

udo

1 Preliminares 11

1.1 Gradiente, Divergente e Laplaciano . . . 11

1.2 Imers˜oes Isom´etricas . . . 15

1.2.1 A segunda forma fundamental . . . 15

1.2.2 As equa¸c˜oes fundamentais de uma imers˜ao isom´e-trica 20

2 Campos de Vetores conformes 25

3 As r-´esimas curvaturas m´edias 29

4 O operador Lr de uma fun¸c˜ao suporte 38

5 Gr´aficos Radiais Compactos 60

(10)

Introdu¸

ao

Os resutados centrais aqui apresentados, foram obtidos por A. Barros e P.

Souza e est˜ao presentes no artigo [5], o qual foi a principal referˆencia dessa

disserta¸c˜ao. Esse trabalho encontra-se dividido nos seguintes cap´ıtulos:

Pre-liminares, Campos de Vetores Conformes, As r-´esimas curvaturas m´edias, O

operadorLr de uma fun¸c˜ao suporte e Gr´aficos radiais compactos.

O primeiro cap´ıtulo traz as preliminares, onde introduzimos as principais

nota¸c˜oes, apresentamos defini¸c˜oes e resultados importantes a serem utilizados

nos demais cap´ıtulos. Nesse momento, definimos alguns operadores, tais como

gradiente, divergente, laplaciano, hessiano e tra¸co. Apresentamos tamb´em

um pouco sobre imers˜oes isom´etricas entre variedades Riemannianas, segunda

forma fundamental e equa¸c˜oes fundamentais de uma imers˜ao isom´etrica.

O segundo cap´ıtulo destaca os campos de vetores conformes, apresentando

defini¸c˜oes, exemplos e um resultado envolvendo derivada de Lie em rela¸c˜ao ao

tensor m´etrica de uma variedade Riemanniana M. O terceiro cap´ıtulo trata

das fun¸c˜oes sim´etricasSr associadas ao operador de WeingartenA, as r-´esimas

fun¸c˜oes de curvatura m´ediaHr e os tensores de Newton Pr.

O quarto cap´ıtulo apresenta um dos principais resultados do trabalho, o

qual fornece uma f´ormula para o operador Lr(g) = div(Pr∇g) de uma nova

fun¸c˜ao suporte g definida sobre uma hipersuperf´ıcie Mn em uma forma

espa-cial RiemannianaMn+1

c , bem como aplica¸c˜oes desse resultado.

Por fim, o ´ultimo cap´ıtulo trata de gr´aficos radiais e apresenta o resultado

central desse trabalho, o qual mostra que uma hipersuperf´ıcie diferenci´avel

es-trelada compacta Σn na esfera EuclidianaSn+1, cuja segunda fun¸c˜ao sim´etrica

(11)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

1.1

Gradiente, Divergente e Laplaciano

Nesse trabalho vamos considerar Mn uma variedade Riemanniana de

di-mens˜aon e classe C∞

, D(M) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C∞

definidas

em M, X(M) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞

em M e D a

conex˜ao RiemannianadeM. SepM ent˜aoTpM denotar´a oespa¸co tangente

aM em p e T M o fibrado tangente deM.

Agora vamos introduzir algumas defini¸c˜oes e apresentar alguns resultados

que ser˜ao utilizados no decorrer do trabalho.

Defini¸c˜ao 1.1 O gradiente de f ∈ D(M), denotado por ∇f, ´e o campo de

vetores em M, definido pela seguinte condi¸c˜ao:

h∇f, Xi=X(f), ∀X T M.

Decorrem da defini¸c˜ao de gradiente, as propriedades

1. ∇(f +g) =∇f+∇g,

2. ∇(f g) =fg+gf,

(12)

Defini¸c˜ao 1.2 Odivergente deX T M ´e a fun¸c˜ao divX :M R, definida por

divX(p) =tr[Y(p)7→(DYX)(p)],

onde tr denota o tra¸co da aplica¸c˜ao.

Decorrem da defini¸c˜ao de divergente, as propriedades

1. div(X+Y) = divX+divY,

2. div(f X) = f divX+h∇f, Xi,

para quaisquer X, Y T M e qualquerf ∈ D(M).

Teorema 1.1(Teorema da Divergˆencia) Sejam M uma variedade

Riemanni-ana compacta com bordo e X C1(M), ent˜ao

Z

M

divX dM =

Z

∂Mh

X, ηidS,

onde η´e o campo unit´ario normal a ∂M apontando para o exterior deM.

Demonstra¸c˜ao: Pode ser encontrada em [10].

Defini¸c˜ao 1.3 OLaplaciano def ∈ D(M) ´e o operador ∆ :D(M)→ D(M)

definido por:

∆f =div(∇f).

Usando as propriedades do gradiente e divergente, temos

1. ∆(f +g) = ∆f + ∆g,

2. ∆(f g) =f∆g+g∆f+ 2h∇f,gi,

(13)

Observa¸c˜ao 1.1(Referencial m´ovel) SejaMn uma variedade Riemanniana de

dimens˜ao n e p M. Ent˜ao existe uma vizinhan¸ca U M dep e n campos de vetores linearmente independentesE1, ..., En∈ X(U) ortonormais.

Proposi¸c˜ao 1.1 Se {E1, . . . , En} ´e um referencial ortonormal local em M,

ent˜ao

∇f =

n

X

i=1

Ei(f)Ei.

Demonstra¸c˜ao: Escrevendo ∇f =

n

X

i=1

aiEi, temos que

Ej(f) =h∇f, Eji=

* n X

i=1

aiEi, Ej

+

=aj

e assim

∇f =

n

X

i=1

Ei(f)Ei.

Proposi¸c˜ao 1.2 SeX=Pn

i=1XiEi, onde{E1, . . . , En}´e um referencial local

em M, ent˜ao

divX =

n

X

i=1

(Ei(Xi)− hDEiEi, Xi).

Demonstra¸c˜ao: Usando a defini¸c˜ao, temos

divX =

n

X

i=1

hDEiX, Eii

=

n

X

i=1

*

DEi

n

X

j=1

XjEj

!

, Ei

+

=

n

X

i,j=1

[hEi(Xj)Ej, Eii+hXjDEiEj, Eii]

e comohEi, Eji=δij, tem-se que

(14)

ou seja,

hDEiEj, Eii=−hDEiEi, Eji.

Da´ı, obtemos

divX =

n

X

i=1

Ei(Xi)− n

X

i,j=1

XjhDEiEi, Eji

=

n

X

i=1

Ei(Xi)− n

X

i=1

hDEiEi, Xi

=

n

X

i=1

(Ei(Xi)− hDEiEi, Xi).

Defini¸c˜ao 1.4 Definimos o hessiano de f ∈ D(M) em p M como sendo o

operador linearHessf :TpM →TpM, dado por:

(Hessf)Y =DY(∇f), ∀Y ∈T M.

Observa¸c˜ao 1.2 : Prova-se que ∆f =tr(Hessf).

Observa¸c˜ao 1.3 : Podemos considerar o hessiano de f como um tensor tal

que para cada par de camposX, Y T M, temos

(hessf)(X, Y) = h(Hessf)(X), Yi.

Defini¸c˜ao 1.5 Definimos a curvatura R de uma variedade Riemanniana M,

como sendo uma correspondˆencia que associa a cada parX, Y ∈ X(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y) :X(M)→ X(M), dada por

R(X, Y)Z =DYDXZ −DXDYZ+D[X,Y]Z,

(15)

1.2

Imers˜

oes Isom´

etricas

Seja ϕ : Mn Mn+m uma imers˜ao de uma variedade diferenci´avel M

de dimens˜ao n em uma variedade Riemanniana M de dimens˜ao n+m, isto

´e, dado p Mn temos que

p : TpM → Tϕ(p)M ´e injetiva. A m´etrica

Rie-manniana de M induz de maneira natural uma m´etrica Riemanniana em M:

se v1, v2 ∈TpM, define-se hv1, v2ip =hdϕp(v1), dϕp(v2)iϕ(p). Nessas condi¸c˜oes,

dizemos que ϕ ´e uma imers˜ao isom´etrica deM em M.

1.2.1

A segunda forma fundamental

Seja ϕ : Mn Mn+m uma imers˜ao. Dado p M, existe um aberto

U M contendoptal que ϕ(U)⊂M ´e uma subvariedade mergulhada de M. Isto quer dizer que existem uma vizinhan¸ca U M de ϕ(p) e um difeomor-fismo φ : U M V Rn+m em uma aberto V de Rn+m, tal que φ aplica

difeomorficamenteϕ(U)∩U em um aberto do subespa¸coRn× {0} ⊂Rn+m.

Para simplificar a nota¸c˜ao, identificamos U com ϕ(U) e cada vetor v TqM, q ∈ U, com dϕq(v) ∈ Tϕ(q)M. Usaremos tais identifica¸c˜oes para

esten-der, por exemplo, um campo local (isto ´e, definido emU) de vetores de M a

um campo local (isto ´e, definido em U) de vetores em M; se U ´e

suficiente-mente pequeno, tal extens˜ao ´e sempre poss´ıvel, como se vˆe facilsuficiente-mente usando

o difeomorfismoφ.

Para cada p M, o produto interno em TpM decomp˜oe TpM na soma

direta

TpM =TpM ⊕(TpM)

,

onde (TpM)⊥ ´e o complemento ortogonal de TpM em TpM. Se v ∈ TpM,

pM, podemos escrever

v =vT +vN, vT T M, vN (T M)⊥

(16)

ondevT ´e denominada acomponente tangencialdev evN acomponente normal

de v. Essa decomposi¸c˜ao ´e evidentemente diferenci´avel no sentido que as

aplica¸c˜oes deT M em T M dadas por

(p, v)→(p, vT) e (p, v)→(p, vN)

s˜ao diferenci´aveis.

Denotando a conex˜ao Riemanniana de M por D, se X e Y s˜ao campos

locais de vetores emM e X, Y s˜ao extens˜oes locais a M, definimos

DXY = (DXY)

.

Observa¸c˜ao 1.4 : Prova-se queD´e a conex˜ao Riemanniana relativa `a m´etrica

induzida deM por ϕ.

Queremos definir a segunda forma fundamental da imers˜ao ϕ : M M. Para isto conv´em introduzir previamente a seguinte defini¸c˜ao. Se X, Y s˜ao

campos locais emM, ent˜ao

B(X, Y) =DXY DXY

´e um campo local em M normal a M. Al´em disso,B(X, Y) n˜ao depende das

extens˜oesX, Y. Com efeito, se X1 ´e uma outra extens˜ao de X, teremos

(DXY DXY)−(DX1Y − ∇XY) =DX−X1Y,

que se anula em M, pois XX1 = 0 em M. Por outro lado, se Y1 ´e outra

extens˜ao de Y, ent˜ao

(DXY DXY)−(DXY1−DXY) =DX(Y −Y1) = 0,

pois Y Y1 = 0 ao longo de uma trajet´oria de X. Portanto B(X, Y) est´a

(17)

Observa¸c˜ao 1.5 No que se segue, indicaremos por X(U)⊥

os campos

difer-enci´aveis emU de vetores normais a ϕ(U)U.

Proposi¸c˜ao 1.3 Se X, Y ∈ X(U), a aplica¸c˜ao B : X(U)× X(U) → X(U)⊥

dada por

B(X, Y) =DXY DXY

´e bilinear e sim´etrica.

Demonstra¸c˜ao:Usando propriedades de linearidade de uma conex˜ao,

conclui-se imediatamente que B ´e aditiva em X e Y e que B(f X, Y) = f B(X, Y),

f ∈ D(U). Falta mostrar que B(X, f Y) = f B(X, Y), f ∈ D(U). Indicando porf uma extens˜ao de f aU, teremos

B(X, f Y) = DX(f Y)−DX(f Y)

= f DXY f DXY +X(f)Y −X(f)Y.

Sabendo que emM, f =f e X(f) = X(f), ent˜ao as duas ´ultimas parcelas se

anulam, dondeB(X, f Y) =f B(X, Y), isto ´e, B ´e bilinear. Para mostrar que

B ´e sim´etrica, utilizaremos a simetria da conex˜ao Riemanniana, obtendo

B(X, Y) = DXY DXY =DYX+ [X, Y]− ∇YX−[X, Y],

no entanto [X, Y] = [X, Y] em M, segue ent˜ao queB(X, Y) = B(Y, X).

Observa¸c˜ao 1.6 Como B ´e bilinear, exprimindo B em um sistema de

coor-denadas, pode-se concluir que o valor deB(X, Y)(p) depende apenas deX(p)

eY(p).

Agora podemos definir a segunda forma fundamental, ent˜ao seja p M e η(TpM)

. A aplica¸c˜aoHη :TpM ×TpM →Rdada por

Hη(x, y) = hB(x, y), ηi, x, y ∈TpM,

(18)

Defini¸c˜ao 1.6 A forma quadr´aticaIIη definida em TpM por

IIη(x) = Hη(x, x)

´e chamada a segunda forma fundamentaldeϕem psegundo o vetor normalη.

Observa¸c˜ao 1.7 As vezes se utiliza tamb´em a express˜ao segunda forma

fun-damental para designar a aplica¸c˜ao B que em cada p M ´e uma aplica¸c˜ao bilinear, sim´etrica, tomando valores em (TpM)

.

Observe que `a aplica¸c˜ao bilinear Hη fica associada a uma aplica¸c˜ao linear

auto-adjunta Aη : TpM → TpM, chamada operador de Weingarten, definida

por

hAη(x), yi=Hη(x, y) =hB(x, y), ηi.

Proposi¸c˜ao 1.4 Seja pM, xTpM e η∈ (TpM)

. Seja N uma extens˜ao

local de η normal a M, ent˜ao

Aη(x) =−(DxN)T.

Demonstra¸c˜ao: Seja y TpM e X, Y extens˜oes locais de x, y,

respectiva-mente, e tangentes a M. Ent˜ao

hAη(x), yi = hB(X, Y)(p), Ni=hDXY −DXY, Ni(p)

= hDXY, Ni(p) =−hY, DXNi(p) =h−DxN, yi,

para todoyTpM, onde usamos que hN, Yi= 0.

Agora sejam K e K as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente,

definidas por

(19)

e

K(X, Y) = hR(X, Y)X, Yi kXk2kYk2− hX, Yi2,

onde R e R denotam as curvaturas de M e M.

Teorema 1.2(Gauss) Sejam pM ex, y vetores ortonormais deTpM, ent˜ao

K(x, y)K(x, y) =hB(x, x), B(y, y)i − kB(x, y)k2.

Demonstra¸c˜ao: Pode ser encontrada em [7].

Defini¸c˜ao 1.7 Uma imers˜aoϕ :M M ´e geod´esica empM, se para todo

η (TpM)

a segunda forma fundamental IIη ´e identicamente nula em p. A

imers˜aoϕ ´e totalmente geod´esica se ela ´e geod´esica para todo pM.

Proposi¸c˜ao 1.5 Uma imers˜ao ϕ : M M ´e geod´esica em p M se, e

somente se, toda geod´esicaγ de M partindo de p´e geod´esica de M em p.

Demonstra¸c˜ao: Sejam γ(0) = p e γ′

(0) = x. Sejam N uma extens˜ao local,

normal a M, de um vetor normal η em p e X uma extens˜ao local, tangente a

M, de γ′

(t). Como hX, Ni= 0, obteremos em p,

Hη(x, x) = hAη(x), xi=−hDXN, Xi

= XhN, Xi+hN, DXXi=hN, DXXi,

decorre da´ı que ϕ ´e geod´esica em p se, e somente se, para todo x TpM, a

geod´esica γ de M que ´e tangente a x em p satisfaz a condi¸c˜ao: DXX(p) n˜ao

tem componente normal. Portanto,ϕ ´e geod´esica em pse, e somente se, toda

(20)

Defini¸c˜ao 1.8 Uma imers˜ao ϕ : M M ´e m´ınima se para todo p M e todoη (TpM)

tem-se quetr(Aη) = 0.

Escolhendo um referencial ortonormalη1, η2, . . . , ηm de vetores emX(U)

,

onde U ´e uma vizinhan¸ca de pem que ϕ ´e um mergulho, podemos escrever

B(x, y) = X

i

Hηi(x, y)ηi, x, y ∈TpM, i= 1, . . . , m,

em rela¸c˜ao a um pontop.

N˜ao ´e dif´ıcil verificar que o vetor normal dado por

H = 1 n

X

i

(trAηi)ηi

n˜ao depende do referencial ηi escolhido. O vetor H ´e chamado o vetor

cur-vatura m´edia de ϕ e al´em disso ϕ ´e m´ınima se, e somente se, H(p) = 0 para todopM.

1.2.2

As equa¸

oes fundamentais de uma imers˜

ao isom´

e-trica

No que se segue, usaremos sistematicamente as letras latinas X, Y, Z, etc.,

para indicar os campos diferenci´aveis de vetores tangentes e as letras gregas

ξ, η, ζ, etc., para indicar os campos diferenci´aveis de vetores normais.

Dados X e η, j´a vimos que a componente tangente de DXη ´e dada por

(DXη)T =−AηX. A componente normal de DXη, chamada conex˜ao normal

D⊥

da imers˜ao ´e dada por

(21)

Podemos facilmente verificar que a conex˜ao normal D⊥

possui as

pro-priedades usuais de uma conex˜ao, isto ´e, ´e linear em X, aditiva em η e al´em

disso

D⊥X(f η) =f D

Xη+X(f)η, f ∈ D(M).

De maneira an´aloga ao caso do fibrado tangente, introduz-se a partir deD⊥

uma no¸c˜ao de curvatura no fibrado normal que ´e chamada curvatura normal R⊥

da imers˜ao e definida por

R⊥(X, Y)η=DY⊥D⊥XηD⊥XD⊥Yη+D[X,Y]η.

Proposi¸c˜ao 1.6 As seguintes equa¸c˜oes se verificam

(a) Equa¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y)Z, Ti = hR(X, Y)Z, Ti − hB(Y, T), B(X, Z)i

+hB(X, T), B(Y, Z)i,

(b) Equa¸c˜ao de Ricci

hR(X, Y)η, ζi − hR⊥

(X, Y)η, ζi=h[Aη, Aζ]X, Yi,

onde [Aη, Aζ] indica o operador Aη ◦Aζ−Aζ◦Aη.

Demonstra¸c˜ao: Pode ser encontrada em [7].

Admita que o espa¸co ambienteM tem curvatura seccional constante, ent˜ao

a equa¸c˜ao de Ricci se escreve

hR⊥(X, Y)η, ζi=−h[Aη, Aζ]X, Yi.

decorre da´ı que R⊥

= 0 se, e s´o se, [Aη, Aζ] = 0 para todo η, ζ, isto ´e, se e

somente se, para todo pM existe uma base de TpM que diagonaliza

(22)

Dada uma imers˜ao isom´etrica, conv´em indicar por X(M)⊥

o espa¸co dos

campos diferenci´aveis de vetores normais aM. A segunda forma fundamental

da imers˜ao pode ent˜ao ser considerada como um tensor

B :X(M)× X(M)× X(M)⊥

→ D(M),

definido por

B(X, Y, η) =hB(X, Y), ηi

e a defini¸c˜ao de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira

natural:

(DXB)(Y, Z, η) = X(B(Y, Z, η))−B(DXY, Z, η)

− B(Y, DXZ, η)−B(Y, Z, D

Xη).

Proposi¸c˜ao 1.7 (Equa¸c˜ao de Codazzi) Com a nota¸c˜ao acima

hR(X, Y)Z, ηi= (DYB)(X, Z, η)−(DXB)(Y, Z, η).

Demonstra¸c˜ao: Pode ser encontrada em [7].

Observa¸c˜ao 1.8 Se o espa¸co ambienteM tem curvatura seccional constante,

a equa¸c˜ao de Codazzi se escreve como

(DXB)(Y, Z, η) = (DYB)(X, Z, η).

Se al´em disto, a codimens˜ao da imers˜ao ´e 1, D⊥

Xη= 0 e assim

DXB(Y, Z, η) = XhAηY, Zi − hAη(DXY), Zi − hAηY, DXZi

= hDX(AηY), Zi − hAη(DXY), Zi,

neste caso, a equa¸c˜ao de Codazzi se escreve

(23)

Defini¸c˜ao 1.9 Sejaϕ :MnMn+1 uma hipersuperf´ıcie eA:T Mn T Mn

o tensor de Weingarten. A derivada covariante de A ´e a aplica¸c˜ao DA :

T Mn×T Mn T Mn dada por:

DA(X, Y) =DY(AX)−A(DYX).

Proposi¸c˜ao 1.8 Seja A : T Mn T Mn o tensor de Weingarten, ent˜ao a

derivada covariante DA´e bilinear.

Demonstra¸c˜ao: DadosX, Y, Z T Mn e f ∈ D(M), temos

DA(X+f Y, Z) = DZ(A(X+f Y))−A(DZ(X+f Y))

= DZ(AX) +DZ(f AY)−A(DZX)−A(DZ(f Y))

= DZ(AX)−A(DZX) +f DZ(AY) +Z(f)AY

− f A(∇ZY)−Z(f)AY

= DA(X, Z) +f(DZ(AY)−A(DZY))

= DA(X, Z) +f DA(Y, Z)

e

DA(X, Z+f Y) = DZ+f Y(AX)−A(DZ+f YX)

= DZ(AX)−A(DZX) +f(DY(AX)−A(DYX))

= DA(X, Z) +f DA(X, Y).

Proposi¸c˜ao 1.9 Seja ϕ :Mn Mn+1 uma hipersuperf´ıcie, onde Mn+1 tem

curvatura seccional constante. Ent˜aoDA ´e sim´etrica, isto ´e,

DA(X, Y) =DA(Y, X),

(24)

Demonstra¸c˜ao:Desde que Mn+1 tem curvatura seccional constante eϕ tem

codimens˜ao um, segue-se da equa¸c˜ao de Codazzi que

DX(AY)−DY(AX) = A([X, Y]) = A(DXY)−A(DYX),

para X, Y T Mn.

Defini¸c˜ao 1.10 Dado um tensor sim´etrico T :T Mn×T MnT Mn,

defini-mos o tra¸co de T como sendo

tr(T) =

n

X

i=1

T(Ei, Ei),

onde {E1, . . . , En}´e um referencial ortonormal.

Observa¸c˜ao 1.9 N˜ao ´e dif´ıcil verificar que o tra¸co de um tensor sim´etrico,

(25)

Cap´ıtulo 2

Campos de Vetores conformes

Dado um campo de vetoresV ∈ X(M) em uma variedade RiemannianaM e um tensorr-covariante ω, a derivada de Lie de ω com rela¸c˜ao aV ´e definida

por

(LVω)(X1, ..., Xn) = V(ω(X1, ..., Xn)) − r

X

i=1

ω((X1, ...,[V, Xi], ..., Xn)).

Em particular, se ω=h ,i, ou seja, ω ´e a m´etrica Riemanniana de M, ent˜ao

(LVh ,i)(X, Y) = hDXV, Yi+hX, DYVi

De fato, por um c´alculo direto, obtemos

(LVh ,i)(X, Y) = VhX, Yi − h[V, X], Yi − hX,[V, Y]i

= VhX, Yi − hDVX, Yi+hDXV, Yi

− hX, DVYii+hX, DYVi

= hDVX, Yi +hX, DVYi − hDVX, Yi+hDXV, Yi

− hX, DVYii+hX, DYVi

= hDXV, Yi+hX, DYVi.

Defini¸c˜ao 2.1 Dizemos que V ∈ X(M) ´e um campo de vetores conforme se

existeψ ∈ D(M), chamado fator conforme de V, tal que

(26)

Exemplo 2.1 Um campo de Killing V∈ X(M) em uma variedade Rieman-niana M ´e um exemplo de campo conforme, cujo fator conforme ´eψ 0.

Observa¸c˜ao 2.1 Lembre-se que V ∈ X(M) ´e um campo de Killing, se e

somente se,V satisfaz a equa¸c˜ao de Killing, ou seja,hDXV, Yi+hX, DYVi= 0

para todosX, Y ∈ X(M).

Um campo de vetores conforme frenquentemente usado em uma forma

es-pacial Mnc+1 ´e o campo determinado pelo vetor posi¸c˜ao com origem em um ponto x0 ∈ M

n+1

c fixado. Ele foi introduzido para espa¸cos n˜ao Euclidianos

por Heintze [8] da forma como segue: seja ρ : Mnc+1 R a fun¸c˜ao distˆancia definida porρ( .) =dist(. , x0). O campo vetor posi¸c˜ao ´e dado pela express˜ao

V = (s◦d)∇d, onde s(t) ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial y′′+cy = 0, com as

condi¸c˜oes iniciaisy(0) = 0 ey′

(0) = 1.

Lema 2.1 Sejam x0 ∈ Sn+1 um ponto arbitr´ario e ρ : Sn+1 → R a fun¸c˜ao

distˆancia definida por ρ( , ) = dist(. , x0), ent˜ao vale a igualdade

senρ Hessρ(X, Y) = cosρ[hX, Yi −Xρ Y ρ], (2.1)

onde X eY s˜ao campos de vetores em Sn+1.

Demonstra¸c˜ao: Sendo ρ : Sn+1 R dada por ρ(x) = distSn(x, x0), ent˜ao

ρ=θ, onde θ ´e o ˆangulo formado pelos vetoresx ex0 em Rn+2. Logo

cosρ(x) = hx, x0i |x||x0|

=hx, x0i,

pois|x|=|x0|= 1. Dessa forma, temos por um lado que

X(cosρ) =−senρ Xρ,

e por outro,

(27)

da´ı

hX, x0i=−senρ Xρ.

Agora derivando em rela¸c˜ao a Y, obtemos

Y X(cosρ) = Y(−senρ Xρ)

= senρ Y Xρcosρ Y ρ Xρ,

no entanto

YhX, x0i = hDYX, x0i

= hDYX+B(X, Y), x0i,

onde Ddenota a conex˜ao do Rn+2 eB(X, Y) ´e a segunda forma fundamental (vetorial) deSn+1, vista como hipersuperf´ıcie de Rn+2.

Al´em disso, sabemos que B(X, Y) =−hX, Yi e da´ı temos

−senρ Y XρcosρXρ Y ρ = hDYX− hX, Yix, x0i

= hDYX, x0i − hX, Yihx, x0i

= hDYX, x0i − hX, Yi(cosρ).

Observe que hDYX, x0i = (DYX)hx, x0i = (DYX)(cosρ) = −senρ(DYX)ρ,

de modo que, substituindo na express˜ao acima, obtemos

−senρ Y Xρcosρ Y ρ Xρ =senρ(DYX)ρ−cosρhX, Yi,

segue ent˜ao que

cosρ[hX, Yi −Xρ Y ρ] = senρ[Y Xρ(DYX)ρ]

= senρ[XY ρ(DXY)ρ].

ComoHessρ(X, Y) =hDX∇ρ, Yi=XY ρ−(DXY)ρ, ent˜ao

senρ Hessρ(X, Y) = cosρ[hX, Yi −Xρ Y ρ],

(28)

Proposi¸c˜ao 2.1 O campo de vetores posi¸c˜ao V em rela¸c˜ao a um ponto x0

sobre a esfera Sn+1 ´e um campo conforme, cujo fator conforme ´e ψ = cosρ, onde ρ´e a distˆancia intr´ınseca de Sn+1.

Demonstra¸c˜ao: Sabendo que a curvatura de Sn+1 ´e c = 1, temos que s(t)

´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial y′′

+y = 0 e satisfaz as condi¸c˜oes iniciais

s(0) = 0 e s′

(0) = 1, logo s(t) = sent. Nessas condi¸c˜oes, V ´e dado por

V = senρρ, onde ρ ´e a distˆancia intr´ınseca ao pontox0 ∈Sn fixado.

Observe ent˜ao o seguinte

(LVh ,i)(X, Y) = hDXV, Yi+hX, DYVi

= hDX(senρ∇ρ), Yi+hX, DY(senρ∇ρ)i,

com

hDX(senρ∇ρ), Yi = hsenρ DX∇ρ+X(senρ)∇ρ, Yi

= senρhDX∇ρ, Yi+X(senρ)h∇ρ, Yi

= senρ Hessρ(X, Y) + cosρ Xρ Y ρ.

Substituindo (2.1) na express˜ao anterior, segue que

hDX(senρ∇ρ), Yi = cosρ[hX, Yi −Xρ Y ρ] + cosρ Xρ Y ρ

= cosρhX, Yi,

analogamente, obtemos

hX, DY(senρ∇ρ)i= cosρhX, Yi,

e da´ı conclu´ımos que

(LVh ,i)(X, Y) = 2 cosρhX, Yi,

portanto V = senρρ ´e um campo conforme, onde ψ = cosρ ´e o seu fator

(29)

Cap´ıtulo 3

As r-´

esimas curvaturas m´

edias

Considere uma imers˜ao ϕ : Mn # Mn+1

c de uma variedade Riemanniana

M em uma forma espacial Mnc+1. Sendo N um campo de vetores unit´ario

normal sobre M, podemos considerar sobre M o operador de Weingarten A

com respeito a N e denotar por λ1, . . . , λn os autovalores de A, ou seja, as

curvaturas principais de M, sendo E1, . . . , En os seus respectivos autovetores

associados.

Definimos a r-´esima fun¸c˜ao sim´etrica Sr associada ao operador A, dizendo

queS0 = 1 e

Sr =

X

i1<...<ir

λi1. . . λir,

para r= 1,2, . . . , n.

Nessas condi¸c˜oes, definimos a r-´esima curvatura m´edia deϕ por

Hr =

1

"n r

Sr,

onde r= 0,1, . . . , n.

Observa¸c˜ao 3.1 : Para r = 1, H1 = H ´e a curvatura m´edia da imers˜ao e

(30)

Agora se Ai ´e a restri¸c˜ao do operador A ao espa¸co normal a Ei, ent˜ao

definimos ar-´esima fun¸c˜ao sim´etrica associada aAi, dizendo queS0(Ai) = 1 e

Sr(Ai) =

X

i1<...<ir

i1,...,ir6=i

λi1. . . λir,

para r = 1,2, . . . , n1. Definimos tamb´em o r-´esimo tensor de Newton Pr

pela recorrˆencia

Pr =

    

I, se r= 0

SrI−A◦Pr−1, ser = 1,2, . . . , n

,

onde I denota a aplica¸c˜ao identidade.

Observa¸c˜ao 3.2 A partir desse momento, usaremos ∂Sr+1

∂λi no lugar deSr(Ai) para denotar a r-´esima fun¸c˜ao sim´etrica associada a Ai.

Proposi¸c˜ao 3.1 Considerando as nota¸c˜oes acima, valem as seguintes

igual-dades:

(a) Pr(Ei) =

∂Sr+1

∂λi

Ei, em particular Pr ´e auto-adjunto;

(b) tr(Pr) = (n−r)Sr;

(c) tr(APr) = (r+ 1)Sr+1;

(d) tr(A2 P

r) =S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2.

Demonstra¸c˜ao: (a) A prova ´e feita por indu¸c˜ao sobre r. Para r = 1, temos

que

P1(Ei) = (S1Id−A◦P0)(Ei) = (S1Id−A)(Ei)

= S1Id(Ei)−A(Ei) =S1Ei−λiEi

= (S1−λi)Ei

= ∂S2 ∂λi

(31)

Supondo v´alido para r1, obtemos

Pr(Ei) = (SrId−A◦Pr−1)(Ei) =SrEi−A(Pr1(Ei))

= SrEi−A

∂Sr

∂λi

Ei

=SrEi−

∂Sr

∂λi

A(Ei)

= SrEi−

∂Sr

∂λi

λiEi =

Sr−λi

∂Sr

∂λi

Ei

= ∂Sr+1 ∂λi

Ei.

(b) Calculando o tra¸co de Pr, obtemos

tr(Pr) = n

X

i=1

hPr(Ei), Eii,

pelo ´ıtem (a), segue que

tr(Pr) = n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

Ei, Ei

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi h

Ei, Eii

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi = n X i=1 X

i1<...<ir

i1,...,ir6=i

λi1. . . λir

= (nr) X

i1<...<ir

λi1. . . λir

= (n−r)Sr.

(c) Inicialmente, temos que

tr(Pr+1) = tr(Sr+1Id−A◦Pr)

= tr(Sr+1Id)−tr(A◦Pr)

= nSr+1−tr(A◦Pr),

ou ainda,

tr(APr) = nSr+1−tr(Pr+1), (3.1)

ent˜ao usando o ´ıtem (b), obtemos

tr(APr) = nSr+1−[n−(r+ 1)]Sr+1

(32)

(d) Sabendo quePr =SrI−A◦Pr−1, temos

Pr+2 = Sr+2Id−A(Sr+1Id−A◦Pr)

= Sr+2Id−Sr+1A+A2◦Pr,

logo

A2 ◦Pr =Pr+2−Sr+2Id+Sr+1A.

Aplicando o tra¸co na express˜ao acima, obtemos

tr(A2Pr) = tr(Pr+2−Sr+2Id+Sr+1A)

= tr(Pr+2)−tr(Sr+2Id) +tr(Sr+1A),

ent˜ao usando o ´ıtem (b), segue que

tr(A2 ◦Pr) = [n−(r+ 2)]Sr+2−tr(Sr+2Id) +tr(Sr+1A)

= [n−(r+ 2)]Sr+2−nSr+2+Sr+1tr(A)

= S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2.

SendoMn uma variedade Riemanniana de dimens˜aon, vamos denotar por

M0, o subconjunto constitu´ıdo pelos pontos de M, nos quais o n´umero de

curvaturas principais ´e localmente constante, ent˜ao temos que M0 ´e aberto e

denso emM e al´em disso, para todopM0, existe um referencial ortonormal

local {E1, . . . , En} em uma vizinhan¸ca de p, tal que A(Ei) = λiEi, com λi

diferenci´avel para cada 1≤in.

Observa¸c˜ao 3.3 As informa¸c˜oes apresentadas no par´agrafo acima, ser˜ao

im-portantes na demonstra¸c˜ao da pr´oxima Proposi¸c˜ao, bem como na

demons-tra¸c˜ao de alguns resultados do Cap´ıtulo 4. Para maiores esclarecimentos sobre

(33)

Proposi¸c˜ao 3.2 Considerando as mesmas nota¸c˜oes da Proposi¸c˜ao anterior,

temos que

tr(Pr ◦DXA) =hX,∇Sr+1i.

Demonstra¸c˜ao:Usando um referencial ortonormal{E1, . . . , En}, como o que

descrevemos acima, temos em cada ponto deM0 que

tr(Pr◦DXA) = n

X

i=1

h(Pr◦DXA)(Ei), Eii

=

n

X

i=1

h(DXA)(Ei), Pr(Ei)i

=

n

X

i=1

(DXA)(Ei),

∂Sr+1

∂λi

(Ei)

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi h

(DXA)(Ei), Eii,

onde usamos o ´ıtem (a) da Proposi¸c˜ao 3.1 em uma das passagens acima.

Sabendo que (DXA)(Ei) =DX(A(Ei))−A(DXEi), ent˜ao

tr(Pr◦DXA) = n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi h

(DXA)(Ei), Eii

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

[hDX(A(Ei))−A(DXEi), Eii]

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

[hDX(A(Ei)), Eii − hA(DXEi), Eii]

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

[hDX(λiEi), Eii − hA(DXEi), Eii].

no entanto,DX(λiEi) = λiDXEi+X(λi)Ei e A´e auto-adjunto, logo

tr(Pr◦DXA) = n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

[hλiDXEi +X(λi)Ei, Eii − hDXEi, A(Ei)i]

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

[λihDXEi, Eii+X(λi)−λihDXEi, Eii]

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

X(λi) =X(λ1λ2· · ·λn)

(34)

portanto a igualdade se verifica para todos os pontos deM0e por continuidade,

vale para todos os pontos deM, j´a que M0 ´e denso em M.

Observa¸c˜ao 3.4 : Uma outra demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao acima, pode ser

encontrada em [6, Lema 3.9].

A pr´oxima Proposi¸c˜ao foi obtidos por A. Caminha em [6]. Apresentaremos

aqui um esbo¸co da demonstra¸c˜ao, mas para isso precisamos do Lema a seguir:

Lema 3.1 Se f R[x] ´e um polinˆomio com k 1 ra´ızes reais, contadas

as multiplicidades, ent˜ao f′

tem pelo menos k 1 ra´ızes reais, contadas as multiplicidades. Em particular, se todas as ra´ızes de f s˜ao reais, o mesmo

ocorre com f′

.

Demonstra¸c˜ao: Seja r R uma raiz de multiplicidade k 1 de f, isto ´e,

f(x) = (x−r)kg(x), com g(r)6= 0. Derivando f, obtemos

f′(x) = k(xr)k−1

g(x) + (xr)kg′(x) = (x−r)k−1(kg(x) + (x−r)g′(x)) e comokg(r)+(rr)g′

(α)6= 0, segue quer´e raiz de multiplicidadek1 def′

.

Agora sejamr1, ..., rl∈R as ra´ızes distintas de f, isto ´e,

f(x) = (xr1)k1 · · ·(x−rl)klg(x),

ondek1, ..., kl s˜ao inteiros positivos eg(ri)6= 0,i= 1, ..., l. Como vimos acima,

ri´e raiz de multiplicidadeki−1 def

, ent˜ao contadas as multiplicidades,

pode-mos afirmar quef possui k =k1+...+kl ra´ızes reais.

(35)

ra´ızes distintas dosri para f

, aplicando o Teorema do Valor M´edio aos

inter-valos [ri, ri+1]. Portanto, conclu´ımos que f′ tem pelo menos

(k1−1) +...+ (kl−l) + (l−1) =k−l+l−1 =k−1

ra´ızes reais.

Proposi¸c˜ao 3.3 Sejam n > 1 inteiro e λ1, . . . , λn n´umeros reais. Para 0 ≤

r n, defina Sr = Sr(λi) como polinˆomio sim´etrico associado aos n´umeros

reais λi’s e Hr =Hr(λi) =

"n r

−1

Sr(λi).

(a) Para 1 r < n, tem-se Hr2 ≥ Hr−1Hr+1. Al´em disso, se a igualdade

ocorre para r = 1 ou para algum 1 < r < n, com Hr+1 6= 0 neste caso,

ent˜ao λ1 =...=λn.

(b) Se H1, H2, ..., Hr >0 para algum 1< r≤n, ent˜ao H1 ≥

H2 ≥ 3

√ H3 ≥

... √rH

r. Mais ainda, se a igualdade ocorre para algum 1 ≤ j < r,

ent˜ao λ1 =...=λn.

Demonstra¸c˜ao:(a) Usaremos indu¸c˜ao sobre a quantidaden >1 de n´umeros

reais. Paran = 2, temos apenas r= 1 e a desigualdade segue de

H12H0H2 = (

1 2S1)

2

−S2

= (1

2(λ1+λ2))

2

−λ1λ2

= 1

4(λ1−λ2)

2

≥0,

valendo a igualdade, se e somente se, λ1 =λ2.

Suponha agora que as desigualdades sejam verdadeiras para n1 n´umeros reais, com igualdade para r = 1 ou 1 < r < n e Hr+1 6= 0, se e somente

se, todos os λi’s s˜ao iguais. Nessas condi¸c˜oes, dados n ≥ 3 n´umeros reais

λ1, ..., λn, seja

f(x) = (x+λ1)...(x+λn) = n

Xn

r

Hr(λi)xn

r

(36)

ent˜ao

f′(x) =

n−1

X

r=0

(nr)

n r

Hr(λi)xn

r1

.

Como as ra´ızes de f s˜ao todas reais, ent˜ao pelo Lema 3.1, o mesmo ocorre

com f′

, logo existem n´umeros reais γ1, ..., γn−1 tais que

f′(x) = n(x+γ1)...(x+γn−1),

mas por outro lado

f′(x) = n

n−1

X

r=0

Sr(γi)xn

r1

=

n−1

X

r=0

n

n1 r

Hr(γi)xn

r1

.

Sabendo que n"n−1

r

= (n r)"n r

e comparando os coeficientes, temos que

Hr(λi) =Hr(γi) para 0≤ r≤n−1. Portanto segue por hip´otese de indu¸c˜ao

que

Hr2(λi) = Hr2(γi)≥Hr−1i)Hr+1i) =Hr1i)Hr+1i),

para 1r n2.

Al´em disso, se a igualdade ocorre para os λi’s com r = 1, respectivamente

1< r < n1 e Hr+1(λi)6= 0, o mesmo ocorre para os γi’s comr= 1,

respec-tivamente 1 < r < n1 e Hr+1(γi) 6= 0. Dessa forma, segue da hip´otese de

indu¸c˜ao que γ1 =...=γn−1, portanto λ1 =...=λn.

Falta mostrar que Hn2−1(λi) ≥ Hn−2i)Hni), com igualdade para Hn 6= 0,

se e somente se, todos os λi’s s˜ao iguais. Se λi = 0 para algum 1 ≤ i ≤ n,

ent˜ao Hn(λi) = 0 e a desigualdade ´e ´obvia. Caso contr´ario, teremos Hn 6= 0 e

al´em disso

Hn2−1 ≥Hn−2Hn,

se e somente se,

#

n n1

−1 n X

i=1

λ−i 1Hn

$2

#

n n2

−1 X

i<j

λ−i 1λ−j1Hn

$

(37)

ou equivalentemente

(n−1)

n

X

i=1

λ−i 1

!2

≥2nX

i<j

λ−i1λ

1

j .

FazendoF(λ−1

i ) = (n−1)(

Pn

i=1λ

1

i )2 −2n

P

i<jλ

1

i λ

1

j , temos que

F(λ−i 1) = n( n

X

i=1

λ−i 1)2−(

n

X

i=1

λ−i 1)2−2nX

i<j

λ−i 1λ−j1 = n[(

n

X

i=1

λ−1

i )2−2

X

i<j

λ−1

i λ

1

j ]−( n

X

i=1

λ−1

i )2

= n

n

X

i=1

(λ−1

i ) 2 −( n X i=1

λ−i 1)2 0,

onde usamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz para u = (λ−11, . . . , λ−1

n ) e

v = (1, . . . ,1). Ent˜ao vale a igualdade, se e somente se, existe tR tal que u=tv, isto ´e, se e somente se, todos os λi’s s˜ao iguais.

(b) Como H1, H2 >0, ent˜ao pelo ´ıtem (a), temos H1 ≥ H

1 2

2 . Agora suponha

queH1 ≥H

1 2

2 ≥...≥H

1

k

k para algum 2≤k < r, ent˜ao

Hk2 Hk−1Hk+1 ≥H

k−1

k

k Hk+1.

Agora dividindo por H k−1

k

k , obtemos H

1

k

k ≥ H

1

k+1

k+1. Segue diretamente das

desigualdades acima que se H

1

k

k = H

1

k+1

k+1 para algum 1 ≤ k < r, ent˜ao

H2

(38)

Cap´ıtulo 4

O operador

L

r

de uma fun¸

ao

suporte

Nesse cap´ıtulo vamos calcular o operador Lr de uma nova fun¸c˜ao

su-porte definida sobre uma hipersuperf´ıcie orient´avel Mn em uma forma

espa-cial Mcn+1. Dado um campo de vetoresV em Mcn+1 e uma imers˜ao isom´etrica

ϕ:Mn#Mn+1

c , tal fun¸c˜ao suporte ´e definida sobre M por

g(p) =hV, Ni(x(p)),

onde N ´e um campo normal unit´ario definido sobre Mn. Al´em disso,

identifi-camos pMn com a sua imagem ϕ(p)Mn+1 c .

Defini¸c˜ao 4.1 Se D(M) ´e o conjunto das fun¸c˜oes reais de classe C∞

sobre

M, definimos o operador Lr :D(M)→ D(M) por

Lr(f) =tr(Pr◦Hessf),

onde r∈ {0,1, . . . , n}.

Observa¸c˜ao 4.1 Em particular, para r = 0, temos que

L0(f) = tr(P0◦Hessf) =tr(Hessf) = ∆f,

(39)

Lema 4.1 Sejamϕ:Mn#Mn+1uma imers˜ao isom´etrica entre as variedades

RiemannianasMn eMn+1, N um campo normal unit´ario a M eY T M um

campo qualquer. Ent˜ao em todos os pontos de M0, vale a igualdade

h(DEiPr)Y, Eii = Ei(Sr)hY, Eii −Pr−1(Y)(λi) +hR(Ei, Pr−1Y)N, Eii −λih(DEiPr−1Y, Ei)i,

onde M0 e {E1, . . . , En} s˜ao como na Proposi¸c˜ao 3.2, R ´e o tensor curvatura

deM e r∈ {1,2, . . . , n1}.

Demonstra¸c˜ao: Fazendo uso das propriedades de deriva¸c˜ao covariante de

tensores e da conex˜ao Riemanniana D deM, temos que

(DEiPr)Y = (DEiSrI)Y −(DEiA◦Pr−1)Y, (4.1) e tamb´em

(DEiSrI)Y = DEi(SrI(Y))−SrI(DEiY)

= DEi(SrY)−SrDEiY

= Ei(Sr)Y +SrDEiY −SrDEiY

= Ei(Sr)Y,

da´ı obtemos

h(DEiSrI)Y, Eii = Ei(Sr)hY, Eii. (4.2)

Por outro lado, note que

(DEiA◦Pr−1)Y =DEiA◦Pr−1(Y)−A◦Pr−1(DEiY) (4.3) e al´em disso

(DEiA)Pr−1(Y) = DEiA◦Pr−1(Y)−A(DEiPr−1(Y)), (4.4) ent˜ao das igualdades (4.3) e (4.4), obt´em-se

(40)

mas (DEiPr−1)Y =DEiPr−1(Y)−Pr−1(DEiY), logo

(DEiA◦Pr−1)Y = (DEiA)Pr−1(Y) +A((DEiPr−1)Y), e assim, temos

h(DEiA◦Pr−1)Y, Eii = h(DEiA)Pr−1(Y), Eii+hA((DEiPr−1)Y), Eii = h(DEiA)Pr−1(Y), Eii+h(DEiPr−1)Y, A(Ei)i = h(DEiA)Pr−1(Y), Eii+λih(DEiPr−1)Y, Eii, isto ´e,

h(DEiA◦Pr−1)Y, Eii=h(DEiA)Pr−1(Y), Eii+λih(DEiPr−1)Y, Eii. (4.5) Substituindo as igualdades (4.2) e (4.5) em (4.1), obtemos

h(DEiPr)Y, Eii=Ei(Sr)hY, Eii −λih(DEiPr−1)Y, Eii

− h(DEiA)Pr−1(Y), Eii (4.6) e usando a equa¸c˜ao de Codazzi, chegamos em

h(DEiA)Pr−1(Y), Eii=h(DPr−1(Y)A)Ei, Eii − hR(Ei, Pr−1(Y))N, Eii. (4.7)

Agora, observe que em todos os pontos deM0, tem-se que

(DPr−1(Y)A)Ei = DPr−1(Y)A(Ei)−A(DPr−1(Y)Ei)

= DPr−1(Y)(λiEi)−A(DPr−1(Y)Ei)

= Pr−1(Y)(λi)Ei+λiDPr−1(Y)Ei−A(DPr−1(Y)Ei),

no entanto,A ´e um operador auto-adjunto, portanto

h(DPr−1(Y)A)Ei, Eii = Pr−1(Y)(λi),

ent˜ao substitu´ındo em (4.7), obtemos a igualdade

(41)

e finalmente, substituindo em (4.6), conclu´ımos que

h(DEiPr)Y, Eii = Ei(Sr)hY, Eii+hR(Ei, Pr−1Y)N, Eii −Pr−1Y(λi) −λih(DEiPr−1)Y, Eii,

em todos os pontos deM0.

Lema 4.2 Nas mesmas condi¸c˜oes do lema acima, temos em todos os pontos

deM0, a igualdade

∇Sr = r

X

j=1

(1)j−1

j Sr−j∇αj, (4.8) onde αj =

Pn

i=1λ

j

i e r∈ {1,2, . . . , n}.

Demonstra¸c˜ao: Faremos a prova por indu¸c˜ao sobre r, ent˜ao para r = 1,

temos que a igualdade (4.8) ´e claramente satisfeita. Agora suponha que a

mesma igualdade vale parak ∈ {1, . . . , r−1}e usando a identidade de Jacobi, dada por

Sr =

1 r

r

X

j=1

(1)j−1

αjSr−j, (4.9)

obtemos

∇Sr =

1 r

r−1

X

j=1

(−1)j−1αj∇Sr−j +

1 r

r

X

j=1

(−1)j−1Sr−j∇αj, (4.10)

vale observar que sej =r, temosSr−j =S0 = 1 e com isso∇Srj = 0.

Pela hip´otese de indu¸c˜ao, segue-se que

1 r

r−j

X

j=1

(1)j−1

αj∇Sr−j =

1 r

r−1

X

j=1

(1)j−1

αj

#rl

X

k=1

(1)k−1

k Sr−j−k∇αk

$

= 1 r

r−1

X

j=1

r−j

X

k=1

(−1)j+k

k αjSr−j−k∇αk, reordenando os termos, obtemos

1 r

r−1

X

(1)j−1

αj∇Sr−j =

1 r

r

X(−1)j

1

(42)

ent˜ao substituindo na igualdade (4.10), temos que

∇Sr =

1 r

r

X

j=1

(−1)j−1

j (r−j)Sr−l∇αj+ 1 r

r

X

j=1

(1)j−1

Sr−j∇αj

= 1 r

r

X

j=1

(1)j−1

rj j + 1

Sr−j∇αj

=

r

X

j=1

(1)j−1

j Sr−j∇αj, ou seja,

∇Sr = r

X

j=1

(1)j−1

j Sr−j∇αj,

como quer´ıamos provar.

Lema 4.3 Sejamϕ:Mn#Mn+1uma imers˜ao isom´etrica entre as variedades

RiemannianasMn eMn+1, N um campo normal unit´ario a M eY T M um

campo qualquer, ent˜ao vale a igualdade

tr[X 7→(DXPr)Y] = n X i=1 r X j=1

(−1)j−1λji−1hR(Ei, Pr−jY)N, Eii,

onde{E1, . . . , En}´e um referencial ortonormal como no Lema 4.1,R´e o tensor

curvatura de M e r∈ {1,2, . . . , n1}.

Demonstra¸c˜ao:Inicialmente, provaremos por indu¸c˜ao sobre r, que em todos

os pontos deM0, vale a igualdade

h(DEiPr)Y, Eii =

r

X

j=1

(−1)j−1λij−1Ei(Sr−j+1)Yi+ r

X

j=1

(−1)j

j Pr−j(Y)

"

λji

+

r−1

X

j=1

(−1)j−1λji−1hR(Ei, Pr−j(Y))N, Eii,

onde Yi =hY, Eii.

Usando o Lema 4.1, temos que a igualdade acima ´e v´alida para r = 1,

(43)

4.1, obtemos

h(DEiPr)Y, Eii = Ei(Sr)Yi−Pr−1(Y)(λi) +hR(Ei, Pr−1(Y))N, Eii − λih(DEiPr−1)Y, Eii,

pela hip´otese de indu¸c˜ao, segue que

h(DEiPr)Y, Eii = Ei(Sr)Yi −Pr−1(Y)(λi) +hR(Ei, Pr−1Y)N, Eii − λi

r−1

X

j=1

(1)j−1

λji−1Ei(Sr−j)Yi

− λi r−1

X

j=1

(−1)j

j Pr−j−1(Y)

"

λji

− λi r−1

X

j=1

(−1)j−1

λji−1hR(Ei, Pr−j−1(Y))N, Eii,

ou ainda

h(DEiPr)Y, Eii =

r

X

j=1

(−1)j−1λij−1Ei(Sr−j+1)Yi+

r

X

j=1

(1)j

j Pr−j(Y)

"

λji

+

r

X

j=1

(−1)j−1

λji−1hR(Ei, Pr−j(Y))N, Eii. (4.11)

Usando a defini¸c˜ao do tra¸co, temos que

tr[X (DXPr)Y] = n

X

i=1

h(DEiPr)Y, Eii,

ent˜ao substituindo (4.11) na igualdade acima, obt´em-se

tr[X →(DXPr)Y] = n X i=1 r X j=1

(−1)j−1

λji−1Ei(Sr−j+1)Yi

+ n X i=1 r X j=1

(1)j

j Pr−j(Y)

"

λji

+ n X i=1 r X j=1

(1)j−1

λji−1hR(Ei, Pr−j(Y))ξ, Eii, (4.12)

Como{E1, . . . , En} ´e um referencial ortonormal, podemos escrever

∇Sr+1−j =

n

X

(44)

logo

h∇Sr+1−j, Eii =

n

X

k=1

Ek(Sr+1−j)hEk, Eii

= Ei(Sr+1−j),

no entanto, escrevendoY =

n

X

l=1

YlEl, temos ainda

n X i=1 r X j=1

(1)j−1

λji−1Ei(Sr−j+1)Yi =

r

X

j=1

(1)j−1

h∇Sr+1−j, Aj −1

Yi,(4.13)

onde usamos o fato de que Aj−1

(Ei) =λj

1

i Ei.

Por outro lado, observe que

n X i=1 r X j=1

(−1)j

j Pr−j(Y)(λ

j i) =

r X j=1 n X i=1

(−1)j

j hPr−j(Y),∇λ

j ii = r X j=1

(1)j−1

*

Pr−j(Y),

1 j∇

n

X

i=1

λji

!+ , ou simplesmente, n X i=1 r X j=1

(1)j

j Pr−j(Y)(λ

j i) =

r

X

j=1

(1)j−1

Pr−j(Y),

1 j∇αj

, (4.14)

onde αj = n

X

i=1

λji.

Substituindo as igualdades (4.13) e (4.14) em (4.12), segue-se que

tr[X (DXPr)Y] = r

X

j=1

(1)j−1

h∇Sr−j+1, Aj −1 Yi + r X j=1

(1)j

Pr−j(Y),

1 j∇αj

+ n X i=1 r X j=1

(1)j−1

λji−1hR(Ei, Pr−jY)N, Eii, (4.15)

mas usando a defini¸c˜ao do tensorPr, tem-se a express˜ao

Pr−j =

r−j+1

X

k=1

(1)k−1

Sr−jk+1Ak −1

(45)

ent˜ao considerando as nota¸c˜oes

T1 =

r

X

j=1

(1)j−1

h∇Sr−j+1, Aj −1

Yi

e

T2 =

r

X

j=1

(−1)j

Pr−j(Y),

1 j∇αj

,

obtemos

T2 =

r

X

j=1

(1)j

*r−j+1

X

k=1

(1)k−1

Sr−jk+1Ak −1

(Y),1 j∇αj

+

=

r

X

j=1

r−j+1

X

k=1

(1)j+k−1

Sr−jk+1

Ak−1(Y),1 j∇αj

.

Fazendo uma mudan¸ca de ´ındices, chegamos em

T2 =

r

X

k=1

r−k+1

X

j=1

(1)j+k−1

Sr−jk+1

Ak−1(Y),1 j∇αj

=

r

X

k=1

(1)k

*

Ak−1(Y),

r−k+1

X

j=1

(1)j−1

j Sr−k−j+1∇αj

+

,

ent˜ao usando o Lema anterior, temos ainda

T2 =

r

X

k=1

(1)k

Ak−1(Y),Sr−k+1

=

r

X

k=1

(1)k−1

∇Sr−k+1, Ak −1

(Y)

=T1,

ou seja,

r

X

j=1

(−1)j

Pr−j(Y),

1 j∇αj

=−

r

X

j=1

(−1)j−1

h∇Sr−j+1, Aj

1

Yi,

por fim, substituindo na igualdade (4.15), conclu´ımos que

tr[X 7→(DXPr)Y] = n X i=1 r X j=1

(−1)j−1λji−1hR(Ei, Pr−jY)N, Eii,

em todos os pontos de M0 e por continuidade em todos os pontos de M, j´a

(46)

Lema 4.4 SeMn+1´e uma variedade Riemanniana de curvatura seccional con-stante igual a c, ent˜ao o tensor curvatura R de M satisfaz:

R(X, Y)Z =c[hZ, XiY − hZ, YiX], ∀X, Y, Z T M

Demonstra¸c˜ao: Pode ser encontrada em [7, Lema 3.4].

A seguinte proposi¸c˜ao foi demonstrada inicialmente por Rosenberg em [11].

Proposi¸c˜ao 4.1 Se M ´e uma hipersuperf´ıcie em uma forma espacial Mn+1

c ,

ent˜ao o operadorLr pode ser escrito na forma de divergente, ou seja, Lr(f) =

div(Pr∇f).

Demonstra¸c˜ao: Inicialmente, temos que

div(Pr∇f) = n

X

i=1

hDEi(Pr∇f), Eii.

ComoDEi(Pr∇f) = (DEiPr)∇f+Pr(DEi∇f), segue que

div(Pr∇f) = n

X

i=1

h(DEiPr)∇f +Pr(DEi∇f), Eii

=

n

X

i=1

[h(DEiPr)∇f, Eii+hPr(DEi∇f), Eii]

=

n

X

i=1

h(DEiPr)∇f, Eii+

n

X

i=1

hPr(DEi∇f), Eii,

logo, obtemos a igualdade

div(Pr∇f) = n

X

i=1

h(DEiPr)∇f, Eii+

n

X

i=1

hPr(DEi∇f), Eii. (4.16)

Por outro lado, temos

Lr(f) = tr(Pr◦Hessf)

=

n

X

i=1

(47)

e como (Hessf)(Ei) =DEi∇f, segue que

Lr(f) = n

X

i=1

hPr(DEi∇f), Eii. (4.17)

Substituindo (4.17) em (4.16), obtemos

div(Pr∇f) = Lr(f) + n

X

i=1

h(DeiPr)∇f, eii

= Lr(f) +tr[(DXPr)∇f],

ou seja,

div(Pr∇f) =Lr(f) +tr[(DXPr)∇f]. (4.18)

Usando o Lema 4.3, obtemos a igualdade

tr[(DXPr)∇f] = n

X

i=1

r

X

j=1

(1)j−1

λji−1hR(Ei, Pr−j∇f)N, Eii, (4.19)

onde R ´e o tensor curvatura deMn+1

c e N ´e um campo normal unit´ario a M.

ComoMcn+1 tem curvatura secional constante c, segue do Lema 4.17 que

R(Ei, Pr−j∇f)N = c[hN, EiiPrj∇f)− hN, Prj∇f)iEi] = 0,

de maneira que

tr[(DXPr)∇f] = 0.

Por fim, substituindo em (4.18), conclu´ımos que

Lr(f) = div(Pr∇f),

(48)

Teorema 4.1 Seja ϕ : Mn # Mn+1

c uma imers˜ao isom´etrica orientada com

um campo de vetores unit´ario normal N. Se V ´e um campo de vetores em

Mn+1

c e g =hV, Ni representa a fun¸c˜ao suporte sobre Mn, ent˜ao

Lr(g) = −(S1Sr+1−(r+ 2)Sr+2)g−c(n−r)Srg

−1

2(r+ 1)Sr+1LN,N +

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

Ei(Li,N)

−12

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

N(Li,i)− hV,∇Sr+1i,

onde LN,N = (LVh,i)(N, N), Li,i = (LVh,i)(Ei, Ei) e Li,N = (LVh,i)(Ei, N).

Demonstra¸c˜ao: Dado p ϕ(Mn), sejam {E

1(p), ..., En(p)} ⊂ TpM uma

base ortonormal que diagonalizaA emp eλ1, ..., λn os respectivos autovalores

associados. Denote tamb´em por por h,i a m´etrica Riemanniana de Mcn+1 e

por {E1, ..., En} o referencial geod´esico que estende a base acima para uma

vizihan¸ca de pem ϕ(Mn), com D

NEi(p) = 0 e DEiEi(p) = λiN(p).

Nessas condi¸c˜oes, temos que

EiEi(g) = Ei(EihV, Ni)

= Ei(hDEiV, Ni) +hV, DEiNi)

= EihDEiV, Ni) +EihV, DEiNi

= (hDEiDEiV, Ni) + 2hDEiV, DEiNi) + (hV, DEiDEiNi),

ou seja,

EiEi(g) =hDEiDEiV, Ni+ 2hDEiV, DEiNi+hV, DEiDEiNi. (4.20)

ComoDEiN(p) = −A(Ei(p)) =−λiEi(p), temos

hDEiV, DEiNi(p) =−λihDEiV, Eii(p) = λi

2Li,i(p), (4.21)

substituindo em (4.20), segue que

(49)

Agora derivando a express˜aoLi,N =hDEiV, Ni+hEi, DNVina dire¸c˜ao deEi, obtemos

Ei(Li,N) = EihDEiV, Ni+EihEi, DNVi

= hDEiDEiV, Ni+hDEiV, DEiNi+hDEiEi, DNVi)

+ hEi, DEiDNVi,

usando (4.21), temos ainda

Ei(Li,N)(p) = hDEiDEiV, Ni(p)− λi

2Li,i(p) +hDEiEi, DNVi(p) + hEi, DEiDNVi(p). (4.23)

Sabendo que{E1, ..., En}´e um referencial geod´esico emp, tal queDEiEi(p) = λiN(p), logo

hDEiEi, DNVi)(p) = λihN, DNVi)(p) = λi

2LN,N(p), (4.24)

substituindo (4.24) em (4.23), segue que

Ei(Li,N)(p) = hDEiDEiV, Ni(p)− λi

2Li,i(p) + λi

2LN,N(p)

+ hEi, DEiDNVi(p), (4.25)

portanto

hDEiDEiV, Ni(p) = Ei(Li,N)(p) + λi

2Li,i(p)− λi

2LN,N(p)

− hDEiDNV, Eii(p). (4.26)

e como [N, Ei](p) = DNEi(p)−DEiN(p) = −DEiN(p) = λiEi(p), chegamos na igualdade

hD[N,Ei]V, Eii(p) =λihDEiV, Eii(p) = λi

2Li,i(p). (4.27)

Derivando agora a express˜aohDEiV, Eii= 1

2Li,i com rela¸c˜ao a N e aplicando o resultado em p, obtemos

(50)

e levando em considera¸c˜ao que DNEi = 0, conclu´ımos que

hDNDEiV, Eii(p) = 1

2N(Li,i)(p). (4.28)

Pela defini¸c˜ao do operador curvatura, temos que

hR(N, Ei)V, Eii(p) = hDEiDNV, Eii(p)− hDNDEiV, Eii(p)

+ hD[N,Ei]V, Eii(p),

substituindo (4.26) e (4.27) na express˜ao anterior, obt´em-se

hR(N, Ei)V, Eii(p) = hDEiDNV, Eii(p)− 1

2N(Li,i)(p) + λi

2Li,i(p)

e da´ı

hDEiDNV, Eii(p) =hR(N, Ei)V, Eii(p) + 1

2N(Li,i)(p)− λi

2Li,i(p).

Agora substituindo a ´ultima express˜ao acima em (4.26), obtemos a igualdade

hDEiDEiV, Ni(p) = Ei(Li,N)(p) +λiLi,i(p)− λi

2LN,N(p) − hR(N, Ei)V, Eii(p)−

1

2N(Li,i)(p),

a qual substitu´ıda em (4.22), implica em

EiEi(g)(p) = − hR(N, Ei)V, Eii(p) +hDEiDEiN, Vi(p) +Ei(Li,N)(p)

− 1

2N(Li,i)(p)− λi

2LN,N(p). (4.29)

Escrevendo V =

n

X

j=1

vjEj +gN, ondevj =hV, Eji, temos que

hDEiDEiN, Vi=hDEiDEiN,

n

X

j=1

vjEj+gNi,

ou ainda

hDEiDEiN, Vi=

n

X

j=1

(51)

Calculando a segunda derivada covariante dehN, Nina dire¸c˜ao deEi, obtemos

hDEiDEiN, Ni+hDEiN, DEiNi= 0

e assim

hDEiDEiN, Ni(p) =−hDEiN, DEiNi=−λ

2

i. (4.30)

Aplicando o mesmo procedimento para hN, Eji, segue-se que

hDEiDEiN, Eji(p) + 2hDEiN, DEiEji(p) +hN, DEiDEiEji(p) = 0,

al´em disso, o fato do referencial ser geod´esico emp nos d´a

hDEiN, DEiEji(p) = h−λiEi, DEiEji(p)

= −λihEi, NihDEiEj, Ni(p) = 0.

Portanto

hDEiDEiN, Eji(p) +hN, DEiDEiEji(p) = 0,

ou ainda

hDEiDEiN, Eji(p) = −hDEiDEiEj, Ni(p). (4.31)

Sabendo que [Ei, Ej](p) = 0, temos

DEiEj(p)−DEjEi(p) = 0

e assim

hDEiEj, Ni(p) =hDEjEi, Ni(p),

ent˜ao derivamos a express˜ao acima na dire¸c˜ao deEi, de modo que

(52)

mas como hDEiEj, DEiNi=hDEjEi, DEiNi= 0, logo

hDEiDEiEj, Ni=hDEiDEjEi, Ni,

consequentemente usando a igualdade (4.31), conclu´ımos que

−hDEiDEiN, Eji(p) = hDEiDEiEj, Ni(p) = hDEiDEjEi, Ni(p).

Por outro lado, tem-se que

EjhDEiEi, Ni(p) = hDEjDEiEi, Ni(p) +hDEiEi, DEjNi(p)

= hDEjDEiEi, Ni(p),

usando novamente o tensor curvatura, obtemos

hR(Ei, Ej)Ei, Ni(p) = hDEjDEiEi, Ni(p)− hDEiDEjEi, Ni(p)

+hD[Ei,Ej]Ei, Ni(p)

= hDEjDEiEi, Ni(p)− hDEiDEjEi, Ni(p)

= EjhDEiEi, Ni(p)− hDEiEi, DEjNi(p)

+hDEiDEiN, Eji(p),

onde levamos em considera¸c˜ao o fato de que [Ei, Ej](p) = 0.

ComoDEiEi(p) =λiN(p) e DEjN =−λjEj, podemos escrever

hR(Ei, Ej)Ei, Ni(p) = EjhDEiEi, Ni(p) +hDEiDEiN, Eji(p)

e assim

hDEiDEiN, Eji(p) = hR(Ei, Ej)Ei, Ni(p)−EjhDEiEi, Ni(p). (4.32)

Dessa forma, lembrando a express˜ao anteriormente obtida, temos que

hDEiDEiN, Vi(p) =

n

X

j=1

(53)

e substituindo (4.30) em (4.32), segue que

hDEiDEiN, Vi(p) =

n

X

j=1

vj(hR(Ei, Ej)Ei, Ni −EjhDEiEi, Ni(p)−g(p)λ

2 i = n X j=1

vjhR(Ei, Ej)Ei, Ni(p)− n

X

j=1

vjEjhDEiEi, Ni(p)−g(p)λ

2

i

= hR(Ei, n

X

j=1

vjEj)Ei, Ni(p)− n

X

j=1

vjEjhDEiEi, Ni(p)−g(p)λ

2

i

= hR(Ei, V −gN)Ei, Ni(p)− n

X

j=1

vjEjhDEiEi, Ni(p)−g(p)λ

2

i

= hR(Ei, V)Ei, Ni(p)−g(p)hR(Ei, N)Ei, Ni(p)

n

X

j=1

vjEjhDEiEi, Ni(p)−g(p)λ

2

i,

mas Mn+1

c tem curvatura constante, logo hR(Ei, N)Ei, Ni(p) =c e assim

hDEiDEiN, Vi(p) = hR(Ei, V)Ei, Ni(p)−cg(p)

n

X

j=1

vjEjhDEiEi, Ni(p)−g(p)λ

2

i.

Substituindo a express˜ao acima na igualdade (4.29), temos que

EiEi(g)(p) = Ei(Li,N)(p)−

1

2N(Li,i)(p)− λi

2LN,N(p)− cg(p)

− g(p)λ2i − n

X

j=1

vjEjhDEiEi, Ni(p),

no entanto

hDEiEi, Ni = EihEi, Ni − hEi, DEiNi=−hEi, DEiNi

= h−DEiN, Eii=hA(Ei), Eii

ent˜ao substituindo na igualdade anterior, obtemos

EiEi(g)(p) = Ei(Li,N)(p)−

1

2N(Li,i)(p)− λi

2LN,N(p)− cg(p)

− g(p)λ2i − n

X

j=1

(54)

vale observar tamb´em que

Lr(g)(p) = tr(Pr◦Hessg)(p) = n

X

i=1

h(Pr◦Hessg)(Ei), Eii(p)

=

n

X

i=1

hDEi∇g, Pr(Ei)i(p) =

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi h

DEi∇g, Eii(p)

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

(Eih∇g, Eii − h∇g, DEiEii)(p)

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

(Eih∇g, Eii − h∇g, λiNi)(p)

=

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

Eih∇g, Eii(p) = n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

EiEi(g)(p),

isto ´e,

Lr(g)(p) = n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

EiEi(g)(p).

Agora substituindo a igualdade (4.33) na express˜ao anterior, segue que

Lr(g)(p) = n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

Ei(Li,N)(p)−

1 2

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

N(Li,i)(p)

− 1

2LN,N(p)

n

X

i=1

λi

∂Sr+1

∂λi −

g(p)

n

X

i=1

λ2i∂Sr+1 ∂λi

− cg(p)

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi − n

X

i,j=1

∂Sr+1

∂λi

vjEjhA(Ei), Eii(p),

que pode ser reescrita da seguinte forma

Lr(g)(p) = n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

Ei(Li,N)(p)−

1 2

n

X

i=1

∂Sr+1

∂λi

N(Li,i)(p)

− 1

2tr(APr)LN,N(p)−tr(A

2P

r)g(p)

− c tr(Pr)g(p)− n

X

i,j=1

∂Sr+1

∂λi

vjEjhA(Ei), Eii(p).

Referências

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