UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

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Grafo de Conflitos: Constru¸

c˜

ao e

Aplica¸

c˜

oes em Problemas de

Programa¸

c˜

ao Inteira

Samuel Souza Brito

Universidade Federal de Ouro Preto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

Orientador: Haroldo Gambini Santos

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Ciência da Com-puta¸cão da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Ciência da Computa¸cão.

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Grafo de Conflitos: Constru¸

c˜

ao e

Aplica¸

c˜

oes em Problemas de

Programa¸

c˜

ao Inteira

Samuel Souza Brito

Universidade Federal de Ouro Preto

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Catalogação: www.sisbin.ufop.br

B862g Brito, Samuel Souza.

Grafo de conflitos [manuscrito]: construção e aplicações em problemas de programação inteira / Samuel Souza Brito. - 2015.

81f.: il.: grafs; tabs.

Orientador: Prof. Dr. Haroldo Gambini Santos.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Instituto de Ciências Exatas e Biológicas. Departamento de Computação. Programa de Pós-Graduação em Ciência da Computação.

Área de Concentração: Ciência da Computação.

1. Grafo (Sistema de computador). 2. Programação Inteira. 3. Programação heuristica. I. Santos, Haroldo Gambini. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Titulo.

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`

A minha m˜ae, Maria, pelo apoio e amor incondicional durante toda a minha trajet´oria de vida.

`

A Tamara, por acreditar no meu potencial e me incentivar desde o in´ıcio.

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Resumo

Este trabalho explora a informa¸cão estrutural de rela¸cões entre variáveis binárias em problemas de Programa¸cão Inteira por meio de grafos de conflitos. Tal estrutura possui um papel fundamental na constru¸cão de métodos exatos e heur´ısticos de resolu¸cão. Nesse sentido, o presente trabalho propõe e desenvolve técnicas baseadas na análise de grafos de conflitos para obten¸cão de solu¸cões fact´ıveis e limites duais fortes para problemas de Programa¸cão Inteira. Foram desenvolvidas otimiza¸cões nas técnicas de deteçcão de conflitos, que permitiram a constru¸cão rápida de grafos densos mediante a análise de restri¸cões. A obten¸cão de limites duais fortes para programas inteiros é realizada por uma rotina desenvolvida para gera¸cão de desigualdades válidas. Essa rotina é responsável por gerar cortes de clique e ciclo ´ımpar e inseri-los na relaxa¸cão linear, refor¸cando os limites duais e acelerando a convergência para a solu¸cão ótima. Para obter solu¸cões fact´ıveis para programas binários foi desenvolvido um resolvedor heur´ıstico, que utiliza as rela¸cões lógicas entre variáveis para construir uma solu¸cão inicial e melhorá-la por meio de uma busca local. A busca local executa uma cadeia de movimentos a cada itera¸cão, que permite corrigir a infactibilidade de uma solu¸cão ou, até mesmo, saltar de uma solu¸cão fact´ıvel para outra. Considerando a produ¸cão de limites duais fortes, os resultados obtidos pela rotina de gera¸cão de desigualdades desenvolvida mostraram uma convergência mais rápida em rela¸cão à rotina de separa¸cão de cortes do resolvedor COIN-OR Branch-and-Cut. Em rela¸cão à obten¸cão de factibilidade, o resolvedor heur´ıstico foi apto a gerar solu¸cões para um número significativo de problemas de Programa¸cão Inteira Binária, considerando tempos restritos de execu¸cão.

Palavras-chave: Grafo de Conflitos, Programa¸cão Inteira, Programa¸cão Binária, Heur´ısticas, Plano de Cortes, Cliques, Ciclos Ímpares.

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Abstract

This work explores the structural information of relations between binary variables in Integer Programming problems using conflict graphs. Such structure has a fundamen-tal role in the construction of exact and heuristic solving methods. In this sense, the present work proposes and develops techniques based on the analysis of conflict graphs to obtain feasible solutions and strong dual bounds for Integer Programming problems. Optimizations were developed in the conflict detection techniques that allowed the fast construction of dense graphs through the constraints analysis. The obtaining of strong dual bounds for integer programs is performed by a routine developed for the generation of valid inequalities. This routine is responsible for generating clique and odd hole cuts and insert them into the linear relaxation, strengthening the dual bounds and accele-rating the convergence to the optimal solution. To obtain feasible solutions for binary programs it was developed a heuristic solver, which uses the logical relations between variables to build an initial solution and improve it through a local search. Local search performs chains of movements at each iteration, which allows to fix infeasibilities of a solution or even jump from a feasible solution to another. Considering the production of strong dual bounds, the results obtained by the developed routine for generating inequalities showed a faster convergence compared with the cut separation routine of COIN-OR Branch-and-Cut solver. Regarding the production of feasible solutions, the heuristic solver was able to generate solutions to a significant number of Integer Binary Programming problems considering restricted runtimes.

Keywords: Conflict Graph, Integer Programming, Binary Programming, Heuristics, Cutting Planes, Cliques, Odd Holes.

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Declara¸

c˜

ao

Esta disserta¸cão é resultado de meu próprio trabalho, exceto onde referência explici-tatória é feita ao trabalho de outros, e não foi submetida para outra qualifica¸cão nesta nem em outra universidade.

Samuel Souza Brito

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente à minha mãe, Maria, que por muitas vezes abriu mão de seus sonhos para que os meus tornassem realidade. E, também, por ser meu maior exemplo de vida. Ao meu pai, Elias, pela motiva¸cão durante essa jornada. Ao meu irmão, Thalles, pelo apoio cont´ınuo e união.

`

A minha namorada, Tamara, pela dedica¸cão, incentivo e carinho. Pelos belos mo-mentos e também pela paciência e companheirismo nos momo-mentos mais dif´ıceis desta caminhada.

Aos amigos e familiares, em especial minha av´o, Maria das Gra¸cas, pessoa admir´avel que foi minha grande fonte de incentivo e perseveran¸ca.

Ao professor Haroldo, por todos estes anos de orienta¸cão, desde o meu terceiro per´ıodo de gradua¸cão. Pela confian¸ca, paciência e dedica¸cão durante todo esse tempo, me proporcionando um imensurável conhecimento, que vai além da simples forma¸cão acadêmica.

`

A UFOP e aos professores do DECOM pela oportunidade oferecida e pelos ensina-mentos passados.

`

A todos que ajudaram direta ou indiretamente neste trabalho.

(18)

(19)

Sum´

ario

Lista de Figuras xix

Lista de Tabelas xxi

Nomenclatura 1

1 Introdu¸c˜ao 3

1.1 Objetivos . . . 5

1.1.1 Objetivos Gerais . . . 5

1.1.2 Objetivos Espec´ıficos . . . 6

1.2 Estrutura do Trabalho . . . 6

2 Grafo de Conflitos 7 2.1 Constru¸c˜ao de Grafos de Conflitos . . . 8

2.2 Deteçcão de Cliques em Restri¸cões Menos Estruturadas . . . 10

2.2.1 Cliques Envolvendo Ativa¸c˜ao de Vari´aveis . . . 11

2.2.2 Cliques Envolvendo Complementos de Vari´aveis . . . 12

2.2.3 Exemplo de Detec¸c˜ao de Cliques . . . 12

3 Planos de Corte 15 3.1 Separa¸c˜ao de Cortes de Clique . . . 16

(20)

3.2 Separa¸c˜ao de Cortes de Ciclo ´Impar . . . 18

4 Uma Abordagem Heur´ıstica Baseada em Grafos de Conflitos para a Solu¸cão de Programas Binários 21 4.1 Restri¸cões Comuns em Programas Binários . . . 22

4.2 Fase Construtiva . . . 23

4.3 Busca Local . . . 25

5 Experimentos Computacionais 29 5.1 Caracteriza¸c˜ao das instˆancias . . . 29

5.2 Constru¸c˜ao de Grafos de Conflitos . . . 31

5.3 Separa¸c˜ao de Cortes . . . 32

5.4 Resolvedor Heur´ıstico para Problemas de Programa¸c˜ao Bin´aria . . . 34

6 Considera¸c˜oes Finais 37 6.1 Trabalhos Futuros . . . 38

Referências Bibliográficas 39 A Detalhamento dos Experimentos Computacionais 43 A.1 Informa¸cões Sobre as Instâncias Utilizadas e seus Grafos de Conflitos . . 43

A.2 Melhoria dos Limites Duais por Instˆancia . . . 48

(21)

Lista de Figuras

2.1 Um exemplo de grafo de conflitos. . . 8

2.2 Um grafo de conflitos para P. . . 13 3.1 Exemplo de um grafoK₃em que oliftingpoderia ser aplicado,

transformado-o em um K₄. . . 18

3.2 Exemplo de ciclo ´ımpar e poss´ıvel extens˜ao para uma roda. . . 19

4.1 Grafo de conflitos para PB e seu grafo complementar ponderado. . . 25 5.1 Melhoria do limite dual para instˆancias da MIPLIB, usando as rotinas

lnpsep, npsep e cgl. . . 33 5.2 Melhoria do limite dual para instˆancias da INRC, usando as rotinas

lnp-sep, npsep ecgl. . . 33 5.3 Melhoria do limite dual para instˆancias do Telebus, usando as rotinas

lnpsep, npsep e cgl. . . 34

(22)

(23)

Lista de Tabelas

5.1 Resumo das caracter´ısticas dos conjuntos de instˆancias. . . 30

5.2 Resumo dos resultados obtidos na constru¸c˜ao dos grafos de conflitos. . . 31

5.3 Produ¸c˜ao de solu¸c˜oes fact´ıveis em 60 e 300 segundos. . . 35

A.1 Dados das instˆancias da MIPLIB, incluindo grafos de Conflitos. . . 43

A.2 Dados das instˆancias da INRC, incluindo grafos de Conflitos. . . 46

A.3 Dados das instˆancias do Telebus, incluindo grafos de Conflitos. . . 48

A.4 Melhoria dos limites duais para instˆancias da MIPLIB. . . 50

A.5 Melhoria dos limites duais para instˆancias da INRC. . . 53

A.6 Melhoria dos limites duais para instˆancias do Telebus. . . 56

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Nomenclatura

CBC COIN-OR Branch-and-Cut

CGL COIN-OR Cut Generation Library

COIN-OR COmputational INfrastructure for Operations Research

GLPK GNU Linear Programming Kit

GUB Generalized Upper Bound

INRC International Nurse Rostering Competition

LHS Left-Hand Side - Lado Esquerdo da Restri¸c˜ao MIPLIB Mixed Integer Problem Library

OC Otimiza¸c˜ao Combinat´oria

PB Programa Linear Bin´ario

PI Programa¸c˜ao Inteira

PO Pesquisa Operacional

RHS Right-Hand Side - Lado Direito da Restri¸c˜ao RNA Randomized Non-Ascendent Method

SPP Set Packing Polytope - Politopo de Empacotamento de N´os

(26)

(27)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Em sua forma geral, um problema de otimiza¸cão tem como objetivo maximizar ou minimizar uma fun¸cão definida sobre um certo dom´ınio. Especificamente, a Otimiza¸cão Combinatória (OC) trata do caso em que esse dom´ınio é finito. Tais problemas surgem numa infinidade de aplica¸cões da vida real, como o roteamento de ve´ıculos, aloca¸cão de trabalhadores ou máquinas a tarefas (Allahverdi et al., 2008), Biologia Computacional (Lancia, 2004), escalonamento de projetos (Pritsker et al., 1969), entre outros.

Uma forma de resolver problemas de OC seria simplesmente enumerar todas as poss´ıveis solu¸cões e guardar aquela de melhor valor da fun¸cão objetivo. Porém, essa abor-dagem se torna inviável na prática, pois frequentemente o número de solu¸cões poss´ıveis cresce exponencialmente em fun¸cão do tamanho do problema. Dessa forma, surge a necessidade de desenvolver ou aprimorar técnicas mais apuradas.

No campo dos modelos matemáticos destaca-se a Programa¸cão Linear Inteira, também referida como Programa¸cão Inteira (PI) (Wolsey, 1998). Um problema de PI pode ser visto como um problema de programa¸cão matemática em que a fun¸cão objetivo, bem como as restri¸cões, são lineares, porém uma ou mais variáveis de decisão podem apenas assumir valores inteiros. O modelo formal de um problema de PI pode ser expresso como:

(28)

4 Introdu¸c˜ao

Minimize:

cTx+hTy (1.1)

Sujeito a:

Ax+Gy ≤b (1.2)

x≥0, y ≥0 (1.3)

x∈_Zn_{, y} _∈

Rp (1.4)

onde x representa um conjunto de variáveis de decisão inteiras de dimensão n, sujeitas a um vetor de custos c, e y um conjunto de variáveis de decisão cont´ınuas de dimensão p, sujeitas a um vetor de custos h.

Uma informa¸cão impl´ıcita dispon´ıvel na modelagem de problemas de PI e fundamen-tal para sua resolu¸cão é o grafo de conflitos. Um grafo de conflitos representa rela¸cões lógicas entre variáveis de decisão binárias. Mais precisamente, vértices representam variáveis e seus complementos, enquanto uma aresta entre dois vértices indica que a ativa¸cão simultânea de ambas as variáveis, representadas pelos vértices em questão, pro-duz uma solu¸cão infact´ıvel. A constru¸cão do grafo se concentra em analisar as restri¸cões do problema para encontrar rela¸cões do tipo “se x_i = 1, então x_j = 0”, ou seja, x_i e x_j não podem ser ativadas ao mesmo tempo em uma solu¸cão fact´ıvel. Assim, essa rela¸cão lógica seria representada no grafo de conflitos por uma aresta entre os vértices que representem as variáveis x_i e x_j.

O modo tradicional de constru¸c˜ao de grafos de conflitos, constitu´ıdo de t´ecnicas

probing (Savelsbergh, 1994), realiza a explora¸cão sistemática em cada restri¸cão, anali-sando pares de variáveis e as poss´ıveis combina¸cões de valores para elas. Desse modo, o processo de constru¸cão tende a ser lento para problemas de médio a grande porte. Nesse sentido, o presente trabalho explora a rápida deteçcão de conflitos como forma de acelerar o processo de constru¸cão do grafo. Para isso, é utilizada uma estratégia de deteçcão de cliques em restri¸cões. Assim, o processo de análise de uma restri¸cão que an-teriormente possu´ıa complexidade computacional quadrática (O(n2)) pode ser reduzida a complexidade O(nlogn), onden representa o número de variáveis não-nulas contidas na restri¸cão.

(29)

Introdu¸c˜ao 5

delas constitui de um rotina de gera¸cão de desigualdades válidas, também denominadas como cortes. Essa rotina visa a melhoria dos limites duais fornecidos pela relaxa¸cão linear do programa inteiro, permitindo a acelera¸cão da convergência para a solu¸cão ótima. Devido à sua grande importância, a gera¸cão e inser¸cão de cortes está presente nos atuais resolvedores de PI baseados emBranch-and-Bound (Land e Doig, 1960), tais comoIBM ILOG CPLEX,Gurobi Optimizer,COmputation INfrastructure for Operations Research

(COIN-OR) Branch-and-Cut (Lougee-Heimer, 2003), entre outros.

A segunda abordagem desenvolvida consiste de um resolvedor heur´ıstico para pro-blemas de Programa¸cão Inteira Binária (ou Programa¸cão Binária). Esse resolvedor foi constru´ıdo com o objetivo de encontrar uma solu¸cão fact´ıvel em tempos computacionais restritos. Para isso, utiliza as rela¸cões lógicas entre variáveis, contidas no grafo de con-flitos, para construir uma solu¸cão inicial. Em seguida, a solu¸cão é melhorada por meio de uma busca local, que executa uma cadeia de movimentos a cada itera¸cão, também gerada a partir da análise do grafo associado ao problema. A execu¸cão de cadeias de movimentos permite corrigir a infactibilidade de uma solu¸cão ou, até mesmo, saltar de uma solu¸cão fact´ıvel para outra. A necessidade de realizar cadeias de movimentos se dá devido ao grande número de variáveis de decisão e de variáveis auxiliares presentes em programas binários, de modo que é bem provável que a altera¸cão do valor de uma variável por vez produzirá somente solu¸cões infact´ıveis.

1.1 Objetivos

Nesta se¸c˜ao s˜ao apresentados os principais objetivos deste trabalho.

1.1.1 Objetivos Gerais

(30)

6 Introdu¸c˜ao

1.1.2 Objetivos Espec´ıficos

Para alcan¸car o objetivo geral faz-se necess´ario a obten¸c˜ao dos seguintes objetivos es-pec´ıficos:

• analisar e estudar formas de constru¸c˜ao de grafos de conflitos;

• propor e implementar mecanismos para acelerar a constru¸c˜ao de grafos de conflitos;

• desenvolver uma rotina de gera¸cão de desigualdades válidas, que utiliza as rela¸cões lógicas representadas no grafo;

• desenvolver um resolvedor heur´ıstico para Programa¸c˜ao Bin´aria baseado em busca local e grafo de conflitos, capaz de resolver problemas em tempos computacionais restritos;

• realizar experimentos computacionais utilizando conjuntos de instˆancias relevantes presentes na literatura.

1.2 Estrutura do Trabalho

O restante deste trabalho est´a organizado da seguinte maneira:

• Cap´ıtulo 2: apresenta em detalhes o conceito de grafo de conflitos, sua constru¸c˜ao tradicional e mecanismos propostos para acelerar o processo de constru¸c˜ao;

• Cap´ıtulo 3: descreve a rotina de separa¸c˜ao de cortes constru´ıda a partir da an´alise de grafo de conflitos;

• Cap´ıtulo 4: apresenta um resolvedor heur´ıstico baseado em grafo de conflitos e busca local para problemas de Programa¸c˜ao Bin´aria;

• Cap´ıtulo 5: apresenta os experimentos computacionais realizados;

(31)

Cap´ıtulo 2

Grafo de Conflitos

Um grafo de conflitos representa rela¸cões lógicas entre variáveis binárias: vértices re-presentam variáveis (e seus complementos) e arestas são usadas para indicar que duas variáveis não podem assumir o valor 1 simultaneamente. Essas arestas são conhecidas como conflitos ou arestas de adjacência. Para duas variáveis binárias existem quatro poss´ıveis rela¸cões lógicas (Atamtürk et al., 2000):

xi = 1 ⇒xj = 0 ⇐⇒ xi + xj ≤1

x_i = 0 ⇒x_j = 0 ⇐⇒ (1−x_i) + x_j ≤1

x_i = 1 ⇒x_j = 1 ⇐⇒ x_i + (1−x_j) ≤1

x_i = 0 ⇒x_j = 1 ⇐⇒ (1−x_i) + (1−x_j) ≤1 A Figura 2.1 apresenta um grafo de conflitos para as seguintes inequa¸c˜oes:

x_i + (1−x_j) ≤1

x_i + x_j ≤1

(1−x_j) + x_k ≤1

(1−x_j) + (1−x_k) ≤1

Nessa figura, o vértice i representa a variável x_i e o vértice ¯i representa (1 − x_i), o

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8 Grafo de Conflitos

i

j

k

j

i

k

Figura 2.1: Um exemplo de grafo de conflitos.

complemento binário de x_i. A rela¸cão entre uma variável e seu complemento é forte: exatamente uma delas deve ser igual a 1 em qualquer solu¸cão fact´ıvel. Assim, existe uma aresta envolvendo cada variável e seu respectivo complemento, representada por uma linha pontilhada no grafo de exemplo.

Dado um problema de PI é poss´ıvel construir um grafo de conflitos G = (V, A), com um conjunto de vérticesV e um conjunto de arestas A, usando técnicas de probing

baseadas em considera¸cões de factibilidade. Tais técnicas são apresentadas nas se¸cões a seguir. Visando a facilitar a apresenta¸cão, são considerados problemas de PI cujas variáveis de decisão são todas binárias (Programa¸cão Binária). Vale ressaltar que as técnicas podem ser aplicadas em qualquer problema de PI com variáveis binárias.

2.1 Constru¸

c˜

ao de Grafos de Conflitos

A constru¸cão de grafos de conflitos é tipicamente realizada por meio de técnicas de

probing (Savelsbergh, 1994). A ideia básica é analisar o impacto da atribui¸cão de valores para cada par de variáveis em cada restri¸cão. Cada restri¸cão i∈ {1, ..., m}, onde m é o número de restri¸cões do problema, pode ser reescrita como:

X

j∈N

a_ijx_j ≤b_i (2.1)

onde N é o conjunto de ´ındices das variáveis binárias x, aij é o coeficiente da variável

(33)

Grafo de Conflitos 9

serem analisadas em rela¸cão à restri¸cãoi, atribu´ıdas com valoresuev, respectivamente. Seja:

Lxˆj=u, xˆk=v

i =

X

j∈N_i−\{ˆj,ˆk}

a_ij +a_iˆju+aiˆkv (2.2)

onde N_i− = {j ∈ N : a_ij < 0}. Dessa forma, Lxˆj=u, xˆk=v

i ´e um limite inferior para o

lado esquerdo (LHS) da restri¸c˜ao i, considerando as atribui¸c˜oes xˆ_j = u e xˆ_k = v. Se

Lxˆj=u, xˆk=v

i > bi, ent˜ao existe um conflito entre as atribui¸c˜oes de xˆ_j e xˆ_k.

Realizando esse cálculo para cada combina¸cão de valores de duas variáveis binárias, considerando cada par de variáveis em cada restri¸cão, é poss´ıvel criar um grafo de con-flitos para qualquer problema de PI em O(m×n2).

Uma caracter´ıstica comum observada em programas inteiros é a repeti¸cão de valo-res de coeficientes de variáveis em uma mesma valo-restri¸cão. A partir dessa informa¸cão, foi poss´ıvel desenvolver uma otimiza¸cão simples, mas eficiente, que no momento do desenvol-vimento deste trabalho não havia sido abordada na literatura. Tal otimiza¸cão consiste em agrupar variáveis com coeficientes iguais em cada restri¸cão, visando a diminuir o tamanho do problema a ser tratado. Por exemplo, a restri¸cão:

x₁+ 3x2 + 3x3+x4+x5+ 3x6 ≤5 (2.3)

pode ter suas variáveis agrupadas em dois grupos: g′ ={x₁, x₄, x₅} e g′′ ={x₂, x₃, x₆}. Assim, ao invés de realizar cálculos para cada par de variáveis, o limite para LHS é calculado apenas uma única vez para cada par de coeficientes diferentes (e uma única análise com pares de coeficientes iguais para cada grupo gerado).

(34)

X

j∈S(N)

xj ≤1 (2.4)

onde S(N) é um subconjunto dos ´ındices das variáveis binárias x. Todas as variáveis contidas em restri¸cões desse tipo apresentam conflitos entre si, gerando um clique no grafo. Assim, não é necessário aplicar probing.

A deteçcão de cliques também pode ser realizada em restri¸cões menos estruturadas, isto é, restri¸cões que não apresentem conflitos de forma expl´ıcita. A se¸cão seguinte apresenta propostas desenvolvidas neste trabalho para detectar cliques em restri¸cões, objetivando a acelera¸cão do processo de constru¸cão de grafos de conflitos.

2.2 Detec¸

c˜

ao de Cliques em Restri¸

c˜

oes Menos

Estrutu-radas

Cliques podem ser detectados percorrendo cada restri¸cão uma única vez, utilizando uma ordena¸cão dos coeficientes das variáveis de decisão. Desse modo, apenas pares de variáveis consecutivas são analisadas. Considerando n_i como o número de variáveis com coeficientes não-nulos da restri¸cão i, o processo de deteçcão de cliques é feito em O(nilogni).

(35)

2.2.1 Cliques Envolvendo Ativa¸

c˜

ao de Vari´

aveis

Cliques envolvendo a ativa¸cão de variáveis podem ser detectados por meio da análise de restri¸cões com coeficientes ordenados de forma crescente. A seguinte nota¸cão será usada:

˜

a_ik _: _{k-´esimo menor coeficiente da restri¸c˜ao} _i;

´

aik : ´ındice do k-´esimo menor coeficiente da restri¸c˜ao i;

S_i− _{: soma de todos os coeficientes negativos da restri¸c˜ao} _i_;

n_i _{: n´}_{umero de variáveis com coeficientes não-nulos da restri¸cão} _i.

Sejamkek+ 1 as posi¸cões de duas varáveis consecutivas a serem analisadas. A soma de todos os coeficientes negativos excluindo essas variáveis é dada por:

Dx´aik,x´aik+1

i =S

−

i −min(0,˜aik)−min(0,a˜ik+1) (2.5)

Assim, um limite inferior para o lado esquerdo da restri¸cão iquando as variáveis com k e k+ 1 menores coeficientes são ativadas (atribu´ıdas com o valor 1) pode ser calculado como:

LHSx´aik=1,x´aik+1=1

i =D

x_aik´ ,x´_aik₊₁

i + ˜aik+ ˜aik+1 (2.6)

Como os coeficientes est˜ao ordenados de forma crescente, LHSx´aik=1,xaik´ +1=1

i ´e

mo-notonicamente crescente `a medida que o valor dek aumenta. Dessa forma, se o valor de LHSx´aik=1,xaik´ +1=1

i ´e maior do que o valor debi, ent˜ao existe um clique envolvendo todas

as variáveis da posi¸cão k até a posi¸cão n_i. Além disso, é poss´ıvel descartar a existência de tais cliques na restri¸cão, checando se o valor deLHS

x´_ain

i−1=1,xain´ _i=1

i ´e menor ou igual

a bi, ou seja, verificando se a ativa¸cão simultânea das duas variáveis com os maiores

(36)

2.2.2 Cliques Envolvendo Complementos de Vari´

aveis

Uma ideia semelhante à subse¸cão anterior pode ser usada para detectar cliques que envolvam o complemento de variáveis binárias. Para isso, os coeficientes devem estar em ordem decrescente. A seguinte nota¸cão será usada:

¨

aik : k-´esimo maior coeficiente da restri¸c˜ao i;

`

aik : ´ındice do k-´esimo maior coeficiente da restri¸c˜ao i;

S_i− _{: soma de todos os coeficientes negativos da restri¸c˜ao} i;

n_i _{: n´}_{umero de variáveis com coeficientes não-nulos da restri¸cão} _i.

Sejam k e k+ 1 as posi¸cões de duas varáveis consecutivas a serem analisadas. Um limite inferior para o lado esquerdo da restri¸cão i quando o complemento das variáveis com k ek+ 1 maiores coeficientes são ativadas pode ser calculado como:

LHSxaik` =0,x`aik+1=0

i =S

−

i −min(0,¨aik)−min(0,¨aik+1) (2.7)

Como os coeficientes est˜ao ordenados de forma decrescente,LHSxaik` =1,x`aik+1=1

i ´e

mo-notonicamente crescente `a medida que o valor dek aumenta. Dessa forma, se o valor de LHSx`aik=1,xaik` +1=1

i ´e maior do que o valor debi, ent˜ao existe um clique envolvendo todos

os complementos das variáveis da posi¸cãok até a posi¸cãon_i. Além disso, é poss´ıvel des-cartar a existência de tais cliques na restri¸cão, checando se o valor deLHS

x_ain`

i−1=1,xain` _i=1 i

é menor ou igual a b_i, ou seja, verificando se a ativa¸cão simultânea dos complementos das duas variáveis com os menores coeficientes dessa restri¸cão não gera infactibilidade.

2.2.3 Exemplo de Detec¸

c˜

ao de Cliques

(37)

Minimize: x₁ +x₂+x₃+x₄

Sujeito a:

x₁+x₂+x₃ ≥2 (2.8)

−2x1+ 3x2+ 4x3+ 5x4 ≤4 (2.9)

x₁, . . . , x₄ ∈ {0,1}

A Figura 2.2 mostra um grafo de conflitos para o Programa Binário P. Arestas representam conflitos entre variáveis e/ou complementos de variáveis.

x

1

x

2

x

3

x

2

x

1

x

3

x

4

x

4

Figura 2.2: Um grafo de conflitos para P.

A constru¸cão do grafo inicia inserindo as arestas triviais, entre variáveis e seus com-plementos (linhas pontilhadas). Em seguida é analisada a restri¸cão da equa¸cão 2.8. É necessário convertê-la para o formato padrão utilizado (P_j_∈_Na_ijx_j ≤b_i), resultando na seguinte restri¸cão:

−x₁−x₂−x₃ ≤ −2 (2.10)

Como os coeficientes são iguais não é necessário executar um algoritmo de ordena¸cão. A próxima etapa é calcular os limites inferiores para o LHS dessa restri¸cão. Para cada par de variáveis consecutivas, o valor de Lxˆj=1, xˆj+1=1

2.10 ser´a sempre menor ou igual a -2

(38)

coeficientes. Nesse caso, como todos s˜ao iguais, qualquer par pode ser escolhido, por exemplo x₂ e x₃, calculando Lx2=1, x3=1

2.10 e verificando que o valor ´e igual a -3, menor

do que o lado direito da restri¸cão. O próximo passo é investigar cliques que envolvam complementos de variáveis. Calculando Lxˆj=0, xˆj+1=0

2.10 para o primeiro par de vari´aveis

subsequentes (x1 e x2) obtem-se o valor -1, que ´e maior do que o RHS. Dessa forma,

é detectado um clique que envolve todos os complementos de variáveis dessa restri¸cão. Assim, cada par de conflitos desse clique é inserido no grafo.

A análise prossegue para a restri¸cão da equa¸cão 2.9. Essa restri¸cão está ordenada em ordem crescente, podendo iniciar a busca por cliques com variáveis ativas. Calculando Lxˆj=1, xˆj+1=1

2.9 para cada par de vari´aveis consecutivas, ´e poss´ıvel detectar um clique

en-volvendo a ativa¸cão das variáveis x₂ até x₄ (Lx2=1, x3=1_2.9 = 5). Cada par de conflitos é então inserido no grafo. Em seguida, cliques envolvendo complementos de variáveis são testados. Para isso, é necessário ordenar os coeficientes em ordem decrescente (sendo necessário apenas percorrer a restri¸cão em ordem inversa). É poss´ıvel detectar a ine-xistência de cliques envolvendo complementos de variáveis calculando Lxˆj=0, xˆj+1=0

2.8 para

as duas vari´aveis de menor coeficiente (x1 e x2). Para essas vari´aveis, o valor do limite

(39)

Cap´ıtulo 3

Planos de Corte

Uma aplica¸cão primária para grafos de conflitos é a gera¸cão de desigualdades válidas (cortes) derivadas de um empacotamento de nós (SPP) (Padberg, 1973) para refor¸car a relaxa¸cão da programa¸cão linear. Diversos trabalhos apresentam a gera¸cão e aplica¸cão de desigualdades válidas aplicadas a problemas modelados por PI. Entre eles, Atamtürk et al. (2000) utilizaram o grafo de conflitos constru´ıdo por probing, e estendido por meio de heur´ısticas baseadas em factibilidade e otimalidade, para gerar desigualdades de clique. Experimentos computacionais demonstraram que a melhoria do limite in-ferior contribuiu para aprimorar o desempenho do resolvedor MINTO 3.0 (Nemhauser et al., 1994). Analogamente, Hoffman e Padberg (1993) utilizaram grafos de conflitos para gerar desigualdades válidas para problemas de escalonamento de tripula¸cões aéreas, considerando desigualdades de cliques, ciclos ´ımpares e anti-holes. Achterberg (2007) apresentou heur´ısticas compostas de técnicas SAT para resolvedores de Programa¸cão Inteira Mista, gerando desigualdades válidas a partir da análise de solu¸cões infact´ıveis e de informa¸cões associadas ao branching. A mesma ideia foi desenvolvida em paralelo por Sandholm e Shields (2006).

As classes mais comuns de cortes para SPP s˜ao os cortes de clique e de ciclos ´ımpares (odd holes). Uma desigualdade de clique para um conjunto C de vari´aveis conflitantes pode ser definido como:

X

j∈C

x_j ≤1 (3.1)

(40)

16 Planos de Corte

Uma desigualdade de ciclo ´ımpar envolvendo um conjunto C de vari´aveis conflitantes pode ser definida como:

X

j∈C

x_j ≤ ⌊|C|

2 ⌋ (3.2)

´

E importante notar que, quando um vértice x_j representar o complemento de uma variável, os termos x_j das equa¸cões 3.1 e 3.2 devem ser substitu´ıdos por 1−x_j.

Na prática, os cortes de clique apresentam um papel mais importante (Borndorfer, 1998) do que os cortes de ciclo ´ımpar. O impacto de tais cortes foi avaliado em alguns problemas dif´ıceis de timetabling (Avella e Vasil’ev, 2005; Burke et al., 2012). A con-tribui¸cão para a melhoria do limite inferior de problemas de PI obtida pela inser¸cão de desigualdades de ciclo ´ımpar é pequena (Borndorfer, 1998; Méndez-D´ıaz e Zabala, 2008). Entretanto, sua inclusão em procedimentosbranch-and-cut é pouco custosa, uma vez essas desigualdades podem ser separadas em tempo polinomial usando algoritmos de caminhos m´ınimos (Grotschel et al., 1993; Rebennack, 2009).

3.1 Separa¸

c˜

ao de Cortes de Clique

O algoritmo aqui proposto para gera¸cão de cortes considera uma rotina de separa¸cão de cliques agressiva: o objetivo não é encontrara desigualdade de clique mais violada, mas

todas as desigualdades de clique violadas. Alguns trabalhos indicam que essa é a melhor estratégia. Por exemplo, no trabalho de Burke et al. (2012) os resultados computacionais motivaram a inclusão de cortes não maximamente violados, encontrados durante a busca do clique mais violado em um algoritmo debranch-and-bound. O resultado é consistente com relatos de aplica¸cões de outros cortes em diferentes modelos, tais como cortes de Chvàtal-Gomory (Fischetti e Lodi, 2007). A op¸cão de inserir um grande número de desi-gualdades violadas ao mesmo tempo é também responsável para refor¸car a importância dos cortes de Gomory (Cornuéjols, 2007).

A rotina de separa¸c˜ao de cliques tem dois principais componentes:

(41)

Planos de Corte 17

2. um m´odulo de lifting, que estende os cliques gerados pelo m´odulo anterior consi-derando o grafo de conflitos completo.

O módulo de separa¸cão de cliques foi implementado usando uma versão melhorada do algoritmo Bron-Kerbosch (Bron e Kerbosch, 1973). Essa versão implementa uma regra de pivoteamento otimizada (Brito e Santos, 2011) para acelerar a descoberta de cliques maximais com altos pesos. Tal regra atribui prioridade maior para visitar primeiramente nós com alto grau modificado, isto é, soma do grau do nó e de seus vizinhos, e com pesos maiores. Embora esse algoritmo tenha um desempenho exponencial em seu pior caso, a regra de pivoteamento heur´ıstica se torna apropriada não somente para execu¸cão no contexto de enumera¸cão mas também para execu¸cão com tempos restritos, já que os cliques mais violados tendem a ser descobertos primeiro. Apesar disso, nos experimen-tos realizados, todas as desigualdades de cliques violadas puderam ser enumeradas em fra¸cões de segundos usando essa abordagem. Vale ressaltar que mesmo se apenas um subconjunto de cliques for inserido durante a execu¸cão de um algoritmo de branch-and-cut, a melhor solu¸cão não seria perdida, apenas resultaria em uma convergência mais lenta.

Após gerar um clique, o módulo delifting é executado. Trata-se de um método guloso que seleciona a cada itera¸cão a variável com menor custo reduzido e verifica se ela pode ser inserida no clique, ou seja, se ela tem conflito com todas outras contidas no clique atual. Para isso, é considerado o grafo de conflitos completo, incluindo variáveis com valores inteiros na relaxa¸cão linear.

A importância da realiza¸cão dolifting em desigualdades de clique pode ser explicada com o grafo de conflitos da Figura 3.1. Vértices dentro da área cinza indicam variáveis com valores não-nulos na solu¸cão fracionária. Nesta solu¸cão, somente os nós x₂, x₃ e x₄ poderiam contribuir para definir a desigualdade de clique máximo violada. Apesar

(42)

18 Planos de Corte

x

2

x

3 x4

x

1

Figura 3.1: Exemplo de um grafo K₃ em que o lifting poderia ser aplicado, transformado-o em um K₄.

3.2 Separa¸

c˜

ao de Cortes de Ciclo ´Impar

A separa¸cão de cortes de ciclo ´ımpar é feita da mesma forma que a desenvolvida no trabalho de Rebennack (2009), utilizando um grafo auxiliar G′ = (V′, A′). Esse grafo é criado a partir do grafo de conflitos original (G= (V, A)), da seguinte forma: para cada vértice x_v ∈V são criados dois vértices x′_v e x_v′′ em V′. Para cada arco (x_u, x_v)∈A são criados dois arcos (x′_u, x′′_v) e (x′′_u, x′_v) em A′, com pesos calculados da seguinte forma:

peso(u, v) = 1−x

∗

u −x

∗

v

2 (3.3)

onde x∗_u e x∗_v representam os valores das vari´aveis x_u ex_v na relaxa¸c˜ao linear.

Após a cria¸cão do grafo auxiliar, a busca por desigualdades válidas é dada da seguinte forma: para cada vértice x_u ∈ V é encontrado o caminho mais curto de x′_u para x′′_u no grafo auxiliar, utilizando o algoritmo de Dijkstra. As variáveis representadas pelos vértices contidos nesse caminho m´ınimo formam um ciclo ´ımpar, uma vez que o grafo auxiliar é um grafo bipartido. Para saber se a desigualdade gerada por esse ciclo ´ımpar é uma desigualdade válida basta verificar se o valor do caminho m´ınimo é menor do que 0,5. Em caso positivo, um corte de ciclo ´ımpar foi encontrado.

(43)

Planos de Corte 19

x

8

x

5

x

2

x

1

x

4

x

3

x

7

x

6

Figura 3.2: Exemplo de ciclo ´ımpar e poss´ıvel extens˜ao para uma roda.

da Figura 3.2. O módulo de extensão desenvolvido para desigualdades de ciclo ´ımpar consiste em encontrar um centro de roda mediante a sele¸cão de variáveis ordenadas em ordem crescente de custo reduzido. Para um ciclo ´ımpar com variáveisC e um conjunto W de candidatos a serem inclu´ıdos no centro da roda de C, a seguinte desigualdade é

v´alida:

X

j∈W

⌊|C|

2 ⌋xj +

X

j∈C

x_j ≤ ⌊|C|

(44)

(45)

Cap´ıtulo 4

Uma Abordagem Heur´ıstica Baseada

em Grafos de Conflitos para a Solu¸

c˜

ao

de Programas Bin´

arios

Um Programa Linear Bin´ario, ou simplesmente Programa Bin´ario (PB), pode ser ex-presso como:

Minimize:

cTx (4.1)

Sujeito a:

Ax≤b (4.2)

x∈ {0,1}n (4.3)

onde x representa um conjunto de variáveis de decisão binárias de cardinalidade n, sujeitas a um vetor de custos c.

Apesar de sua simplicidade, a Programa¸cão Binária é uma das mais importantes técnicas em Pesquisa Operacional (PO). A constante melhoria dos pacotes de otimiza¸cão tem feito da Programa¸cão Binária uma ótima escolha para resolver problemas dessa área. Entretanto, a obten¸cão de solu¸cões válidas em problemas cujo tempo é um fator limitante pode ser uma tarefa dif´ıcil. Assim, resolvedores também são avaliados considerando sua

(46)

22

Uma Abordagem Heur´ıstica Baseada em Grafos de Conflitos para a Solu¸c˜ao de Programas Bin´arios

habilidade de produzir rapidamente uma solu¸c˜ao inteira fact´ıvel.

Com o objetivo de obter solu¸cões em tempos computacionais aceitáveis, foi desen-volvida uma abordagem heur´ıstica para resolver Programas Binários. Esta abordagem é caracterizada por duas fases: uma fase construtiva, que envolve a resolu¸cão de um problema de Conjunto Independente Máximo, e uma fase de busca local, que envolve a descoberta de cadeias de movimentos. Ambas as fases trabalham com informa¸cões providas por um grafo de conflitos, constru´ıdo com as técnicas apresentadas neste tra-balho. Apenas uma pequena altera¸cão é feita nesse grafo: complementos de variáveis e seus conflitos são descartados, uma vez que a abordagem em questão, especialmente a fase construtiva, considera apenas a satisfa¸cão de restri¸cões por meio da ativa¸cão de variáveis. Vale ressaltar que nenhum resolvedor linear caixa-preta ou métodos da fam´ılia

branch-and-bound s˜ao utilizados.

Na literatura existem trabalhos que utilizam grafos de conflitos na resolu¸cão de pro-blemas binários. LocalSolver, desenvolvido por Benoist et al. (2011), é um exemplo. Trata-se de um resolvedor comercial caracterizado por uma busca local composta por movimentos autônomos, movimentos similares a Cadeias de Eje¸cão gerados a partir de um grafo de conflitos previamente constru´ıdo. Além do LocalSolver, outros resolve-dores utilizam internamente grafos de conflitos, que são combinados com técnicas de Programa¸cão por Restri¸cões para gerar desigualdades válidas ou até mesmo solu¸cões fact´ıveis (Achterberg, 2009; Van Hentenryck e Michel, 2005; Walser, 1997).

4.1 Restri¸

c˜

oes Comuns em Programas Bin´

arios

(47)

Uma Abordagem Heur´ıstica Baseada em Grafos de Conflitos para a Solu¸c˜ao

de Programas Bin´arios 23

Set Covering:X

i∈N

xi ≥1 , xi ∈ {0,1} (4.4)

Set Packing:X

i∈N

x_i ≤1 , x_i ∈ {0,1} (4.5)

Set Partition:X

i∈N

x_i = 1 , x_i ∈ {0,1} (4.6)

Ainda que para alguns Problemas Binários uma solu¸cão fact´ıvel é trivial, por exem-plo problemas com todas as restri¸cões do tipo Set Covering ou Set Packing, diferentes restri¸cões podem complicar significativamente esse passo inicial. A satisfa¸cão de apenas uma restri¸cão pode ser um problema NP-Completo se ele representa, por exemplo, o problema de Parti¸cão de Números (Garey e Johnson, 1979; Johnson et al., 1991). Além disso, os problemas tendem a ser mais dif´ıceis quando somente alguns, e ocultos, sub-conjuntos de todos os poss´ıveis vetores de incidência, são fact´ıveis. Problemas de Set Partition são exemplos t´ıpicos desse tipo de situa¸cão.

4.2 Fase Construtiva

Dado um Problema Binário, uma solu¸cão inicial é constru´ıda considerando a resolu¸cão do subproblema induzido pelas restri¸cões deSet Covering, Set Packing e Set Partition. Resolver esse subproblema corresponde a encontrar um conjunto independente ponde-rado no grafo de conflitos, isto é, encontrar um conjunto de variáveis que não possuem conflitos entre si, cujo somatório de seus pesos é maior ou igual a um limiar. Por sua vez, o problema de encontrar um conjunto independente corresponde a encontrar um clique no grafo complementar ao grafo de conflitos.

Assim, o subproblema é modelado como um grafo ponderado que é complementar ao grafo de conflitos. O peso de cada vértice é o número de restri¸cões do tipoSet Partition,

Set Packing eSet Covering que a variável representada por ele satisfaz quando ativada. Um algoritmo baseado em Busca Tabu desenvolvido por Wu et al. (2012) é utilizado para encontrar cliques com peso acima de um limiar. A implementa¸cão utilizada é a mesma disponibilizada pelos autores1. O limiar utilizado para a busca de cliques

1_{Detalhes sobre implementa¸c˜}_{ao (em} _C/C++_{) e parˆ}_{ametros podem ser obtidos no artigo e no}_site_:

(48)

24

é o número total de restri¸cões do tipo Set Partition, Set Packing e Set Covering do problema. Quando o algoritmo termina, uma solu¸cão é criada para o problema original, ativando apenas as variáveis retornadas pela Busca Tabu. Dessa forma, somente um subconjunto de variáveis que não apresentam conflitos entre si são ativadas na fase construtiva. Qualquer algoritmo que encontre cliques ponderados pode ser utilizado.

Esta fase foi desenvolvida para obter um conjunto inicial de variáveis que podem ser ativadas ao mesmo tempo sem gerar infactibilidade no problema. No caso de instâncias que contenham somente esses três tipos de restri¸cões, o resultado da fase construtiva é uma solu¸cão fact´ıvel para o problema original. Caso contrário, a solu¸cão retornada pode ser infact´ıvel. Dessa forma, restri¸cões que deixam o problema infact´ıvel são enviadas para a fase de busca local para serem tratadas.

Para ilustrar, considere PB como o seguinte Programa Bin´ario a ser resolvido: Minimize:

10x1+ 12x2+ 4x3+ 7x4 + 5x5

Sujeito a:

x₁+x₂ ≤1 (4.7)

x₁+x₃+x₅ = 1 (4.8)

x₂+x₄ ≥1 (4.9)

x₂+x₄+x₅ ≤1 (4.10)

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ ∈ {0,1}

(49)

x

1

x

3

x

4

x

5

x

2

x

1

x

3

x

4

x

5

x

2

1

2

3

2

Figura 4.1: Grafo de conflitos para PB e seu grafo complementar ponderado.

4.3 Busca Local

Como Benoist et al. (2011) notaram, o maior obstáculo encontrado na execu¸cão de uma busca local para Programas Binários é a deteçcão automática de relacionamentos entre as variáveis de decisão. Programas Binários são normalmente modelados com um grande número de variáveis de decisão e de variáveis auxiliares, de modo que é bem provável que a altera¸cão do valor de uma variável por vez produzirá somente solu¸cões infact´ıveis. Dessa forma, é necessário desenvolver métodos para detectar variáveis relacionadas e alterar seus valores simultaneamente, de modo que seja poss´ıvel corrigir uma solu¸cão in-fact´ıvel ou saltar de uma solu¸cão in-fact´ıvel para outra. A deteçcão e altera¸cão de variáveis relacionadas é chamada de cadeia de movimentos.

(50)

26

anterior. Essa cadeia de movimentos gerada produz uma solu¸c˜ao melhor, de custo 16.

O Algoritmo 4.1 descreve a implementa¸cão desenvolvida para detectar uma cadeia de movimentos. Esse algoritmo realiza um backtracking com profundidade d e largura limitada f. Em cada recursão, um conjunto ˆJ de variáveis têm seus valores inverti-dos: a variável atual j e todas as variáveis conflitantes a ela, se j for ativada. Essas variáveis são colocadas em um estado “congelado” (conjunto S) nesta e nas itera¸cões seguintes. Variáveis que devem ter seus valores invertidos são escolhidas de um con-junto ˜J. Somente as variáveis que aparecem no conjunto de restri¸cões C podem ajudar a corrigir novas infactibilidades. Essas são as variáveis candidatas a compor a cadeia de movimentos, denotadas por ˜j, que são avaliadas em rela¸cão à quantidade de infac-tibilidade que conseguem diminuir ao terem seus valores invertidos. Os valores obtidos pela avalia¸cão das variáveis candidatas são armazenados nas variáveis e˜j. As variáveis

mais promissoras são avaliadas recursivamente nas linhas 18 a 22 e se o efeito final for positivo (diminui¸cão da infactibilidade), elas são inseridas no conjuntoJ∗ de cadeias de movimentos recomendados, atualizando a melhor cadeia de movimentos encontrada até o momento. A computa¸cão eficiente dee˜j é a chave para o sucesso do método, uma vez

que valores grandes para d e f poderiam resultar em tempos computacionais proibiti-vos. Nesse sentido, observou-se que também é necessário incluir, nessa avalia¸cão, uma prioridade maior para as variáveis que diminuam infactibilidades em restri¸cões com um número reduzido de candidatos.

(51)

Algoritmo 4.1: Algoritmo chainFlip para gerar cadeias de movimentos.

Entrada:

x: solu¸c˜ao atual;

j: variável cujo valor será invertido; J: variáveis com valores já invertidos; C: restri¸cões a serem verificadas; S: variáveis “congeladas”;

d: profundidade corrente; d: profundidade m´axima;

f: número máximo de inversões de valores por chamada recursiva (largura máxima);

Sa´ıda: (z∗, J∗): custo e vari´aveis da melhor cadeia de movimentos encontrada.

se d≥d ent˜ao retorne (∞,∅)

1

ˆ

J ={j};

2

se x_j = 0 ent˜ao

3

S ←S∪ {j′},∀j′ :j tem conflito comj′;

4

ˆ

J ←Jˆ∪ {j′},∀j′ :j tem conflito comj′ ex_j′ = 1; 5

x′ =x;

6

para j′ ∈Jˆfa¸ca

7

x′_j = 1−x′_j

8

J ←J∪Jˆ;

9

z∗ ←f(x′);

10

J∗ ←J;

11

C←C∪ {i},∀i: i é uma restri¸cão onde uma ou mais variáveis de ˆJ aparecem;

12

˜

J ←j,∀j: j é uma variável que aparece em alguma restri¸cão do conjunto C e não

13

est´a emS; e˜j = 0, ∀˜j ∈J˜;

14

para˜j ∈J˜fa¸ca

15

calcule o impacto e˜_j de inverter a vari´avel ˜j, considerando as restri¸c˜oes deC;

16

parak = 1 at´e min(f ,|J˜|) fa¸ca

17

˜

j ←vari´avel de ˜J com o k−´esimo melhor e˜_j;

18

(z′, J′)←chainFlip(x′,˜j, J, C, S, d+ 1, d, f);

19

se z′ < z∗ ent˜ao

20

z∗ ←z′;

21

J∗ ←J;

22

retorne (z∗, J∗);

(52)

(53)

Cap´ıtulo 5

Experimentos Computacionais

Todo o trabalho foi desenvolvido na linguagem de programa¸cão C/C++ e compilado com o GCC/G++ versão 4.6.3. Foram utilizadas as bibliotecas de código aberto do

COIN-OR, que permitem a leitura, cria¸cão e manipula¸cão de Problemas de Programa¸cão Inteira, além da integra¸cão com resolvedores para esse paradigma (Lougee-Heimer, 2003). Os experimentos foram executados em um computador Core i7 3.4GHz com 16 GB de

RAM sobre o sistema operacional Linux Ubuntu 12.04 64-bits. As próximas se¸cões apresentam as caracter´ısticas das instâncias trabalhadas, bem como os experimentos realizados.

5.1 Caracteriza¸

c˜

ao das instˆ

ancias

Foram utilizados três conjuntos de instâncias nos experimentos computacionais. O pri-meiro conjunto apresenta instâncias de benchmark da MIPLIB 2010 (Koch et al., 2011), contendo 87 instâncias. Desde a sua introdu¸cão em 1992, a MIPLIB tornou-se uma biblioteca padrão de testes, usada para comparar o desempenho dos resolvedores de PI. Ela contém uma cole¸cão de problemas reais, sendo na maior parte aplica¸cões industri-ais. O segundo conjunto de instâncias foi obtido da formula¸cão usada por Santos et al. (2014) para resolver problemas da International Nurse Rostering Competition (INRC) (Haspeslagh et al., 2014), contendo 60 instâncias. Trata-se de uma competi¸cão realizada para incentivar e comparar pesquisas relacionadas ao Problema de Escalonamento de Enfermeiras. O terceiro conjunto consiste de problemas de planejamento de rotas para o Telebus (Borndörfer et al., 1999), um servi¸co de transporte de pessoas com deficiência

(54)

30 Experimentos Computacionais

f´ısica localizado em Berlim, contendo 28 instˆancias. Esses problemas apresentam for-mula¸c˜oes de PI baseadas no problema de particionamento de conjuntos.

Todos os conjuntos de instâncias foram escolhidos com o intuito de diversificar a experimenta¸cão, utilizando instâncias que possam produzir desde grafos de conflitos ricos em informa¸cão (densos) até grafos com pouca informa¸cão (esparsos). Além disso, todas as instâncias representam problemas de minimiza¸cão. A Tabela 5.1 apresenta um resumo sobre as caracter´ısticas dos conjuntos de instâncias utilizados: a coluna Qtde Instâncias indica o número de instâncias presentes no conjunto, Restri¸cões o número de restri¸cões, Variáveis o número de variáveis de decisão, Binárias o número de variáveis de decisão binárias e Nzs o número de elementos não-nulos que aparecem na matriz de restri¸cões. As nota¸cões min, max e med indicam valores m´ınimos, máximos e médios para cada uma dessas caracter´ısticas. Uma descri¸cão mais detalhada das instâncias é dada no Apêndice A.1.

Tabela 5.1: Resumo das caracter´ısticas dos conjuntos de instˆancias.

Dimens˜ao Conjunto

MIPLIB INRC Telebus

Qtde Instˆancias 87 60 28

min 32 3.032 338

Restri¸c˜oes max 624.166 29.210 1.771

med 32.077,91 11.249,00 1.202,50

min 100 9.783 1.814

Vari´aveis max 164.547 63.620 146.715

med 13.755,10 28.785,45 44.709,11

min 0 9.783 1.814

Bin´arias max 129.180 63.620 146.715

med 8.682,79 28.785,45 44.709,11

min 666 201.123 3.119

Nzs max 27.678.735 1.068.150 545.337

(55)

Experimentos Computacionais 31

5.2 Constru¸

c˜

ao de Grafos de Conflitos

O primeiro experimento computacional realizado consiste em avaliar o desempenho da constru¸cão de grafos de conflitos e o ganho em velocidade de processamento obtido ao empregar as técnicas de deteçcão de cliques em restri¸cões. A Tabela 5.2 apresenta um resumo dos resultados obtidos na constru¸cão de grafos de conflitos. A coluna Conflitos

apresenta o número m´ınimo (min), máximo (max) e médio (med) de conflitos presente nos grafos constru´ıdos para os conjuntos de instâncias. A coluna Tempo indica o tempo total, em segundos, para constru¸cão dos grafos de todas instâncias de cada conjunto utilizando probing (Probing) e os procedimentos de deteçcão de cliques aqui propos-tos (Clique). Um detalhamento completo dos resultados pode ser visto no Apêndice A.1. Como dito na Se¸cão 2.2, quando não é poss´ıvel aplicar a deteçcão de cliques a técnicaprobing é utilizada. Apesar disso, é poss´ıvel notar um ganho considerável com a utiliza¸cão da deteçcão de cliques.

Tabela 5.2: Resumo dos resultados obtidos na constru¸c˜ao dos grafos de confli-tos.

Conjunto Conflitos Tempo (s)

min max med Probing Clique

MIPLIB 0 11.396.108 439.293,79 205,47 21,32

INRC 2.470.141 12.807.280 6.346.356,77 626,38 450,35

Telebus 13.812 1.935.532.747 129.464.942,93 13.829,46 478,65

(56)

5.3 Separa¸

c˜

ao de Cortes

O processo de separa¸cão de cortes (ou desigualdades válidas) tem como objetivo melhorar o limite inferior fornecido pela relaxa¸cão da Programa¸cão Linear e consequentemente provar a otimalidade de maneira mais rápida. Visando a verificar a melhoria desses limites, foi conduzido um experimento utilizando a rotina de separa¸cão proposta neste trabalho com o módulo de lifting ativado e desativado (nomeados aqui como lnpsep e

npsep, respectivamente), al´em da rotina de separa¸c˜ao de cortes inclusa na biblioteca COIN-OR (denotada como cgl).

As rotinas foram aplicadas apenas no nó raiz da relaxa¸cão, com as execu¸cões limitadas pelo tempo de 300 segundos. Somente instâncias que possuem solu¸cões fact´ıveis e que no m´ınimo uma rotina de separa¸cão encontrou algum corte válido foram usadas. Nesse caso, foram usadas 30 instâncias da MIPLIB, 59 da INRC e 28 do problema do Telebus. Para medir as melhorias foi utilizado ogap closed (1−gap). Assim, quanto mais próximo ogap closed está de 1 (ou 100%, utilizando a nota¸cão de porcentagem), mais próximo o valor do limite inferior está do ótimo.

As figuras 5.1, 5.2 e 5.3 apresentam a evolu¸cão média do gap closed em rela¸cão ao tempo para os conjuntos de instâncias MIPLIB, INRC e Telebus, respectivamente. Resultados obtidos por instância podem ser vistos no Apêndice A.2. Para instâncias da MIPLIB, o gap closed médio obtido pelas rotinas de cortes foram: 51,06% para cgl, 52,71% para npsep e 53,39% para lnpsep. Em rela¸cão às instâncias da INRC, o gap closed médio obtido foi: 57,67% para cgl, 63,79% para npsep e 77,47% para lnpsep. Por fim, para instâncias do Telebus todas as rotinas obtiveram gap closed próximo de 74,25%.

(57)

30 40 50 60 70 80

0 50 100 150 200 250 300

Gap closed médio (%)

Tempo (s) MIPLIB

lnpsep npsep cgl

Figura 5.1: Melhoria do limite dual para instˆancias da MIPLIB, usando as rotinas lnpsep, npsep ecgl.

30 40 50 60 70 80

0 50 100 150 200 250 300

Tempo (s) INRC

lnpsep npsep cgl

Figura 5.2: Melhoria do limite dual para instˆancias da INRC, usando as rotinas

(58)

30 40 50 60 70 80

0 50 100 150 200 250 300

Tempo (s) Telebus

lnpsep npsep cgl

Figura 5.3: Melhoria do limite dual para instˆancias do Telebus, usando as rotinas lnpsep, npsep ecgl.

5.4 Resolvedor Heur´ıstico para Problemas de Programa¸

c˜

ao

Bin´

aria

O último experimento realizado avalia o resolvedor heur´ıstico desenvolvido neste tra-balho, que utiliza informa¸cões de grafos de conflitos para construir e melhorar solu¸cões de programas binários. A avalia¸cão é feita considerando a capacidade do resolvedor de produzir solu¸cões fact´ıveis em tempos computacionais restritos, sem considerar o valor da fun¸cão objetivo. Para isso, foram utilizadas as instâncias da MIPLIB que apresentam programas binários com solu¸cões fact´ıveis, totalizando 32 problemas. Os demais con-juntos de instâncias foram removidos desses experimentos por apresentarem os mesmos resultados para ambos os resolvedores avaliados.

O resolvedor implementado, aqui chamado de BPLS, é comparado com dois dos melhores resolvedores de Programa¸cão Inteira de código aberto: COIN-OR Branch-and-Cut1 (CBC) e GNU Linear Programming Kit2 (GLPK). Todos os resolvedores foram submetidos às instâncias mencionadas com tempos de execu¸cão limitados a 60 e 300 segundos. A Tabela 5.3 mostra os resultados obtidos. As colunas CBC e GLP K

(59)

cam, respectivamente, os experimentos realizados com os resolvedores CBC e GLP K. As colunas BP LS indicam os experimentos realizados com o resolvedor implementado. Em todas as colunas um check mark ´e usado para indicar que uma solu¸c˜ao fact´ıvel foi encontrada no tempo informado.

Tabela 5.3: Produ¸c˜ao de solu¸c˜oes fact´ıveis em 60 e 300 segundos.

Instance 60 segundos 300 segundos

GLPK CBC BPLS GLPK CBC BPLS

acc-tight5

air04 X X X X X X

bab5 X

bley xl1 bnatt350

cov1075 X X X X X X

eil33-2 X X X X X X

eilB101 X X X X X X

ex9

iis-100-0-cov X X X X X X

iis-bupa-cov X X X X X X

iis-pima-cov X X X X X X

m100n500k4r1 X X X X X X

macrophage X X X X X X

mine-166-5 X X X X X X

mine-90-10 X X X

mspp16

n3div36 X X X X X

n3seq24 X X X

neos-1109824 X X X X X

neos-1337307 X X X X

neos18 X X X X X X

neos-849702 netdiversion ns1688347

opm2-z7-s2 X X X X X X

reblock67 X X X X X

rmine6 X X X X X X

sp98ic X X X X X X

tanglegram1 X X

tanglegram2 X X X X X X

vpphard X

Total 17 19 20 19 23 21

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(61)

Cap´ıtulo 6

Considera¸

c˜

oes Finais

Este trabalho apresentou uma forma de acelerar a constru¸cão de grafos de conflitos aplicados a problemas de Programa¸cão Inteira. A deteçcão de cliques em restri¸cões permitiu que conflitos fossem descobertos sem a análise exaustiva de restri¸cões realizada por técnicas probing. Como consequência, a complexidade computacional envolvida na análise de cada restri¸cão reduziu de O(n2) paraO(nlogn), onde n representa o número de variáveis de decisão não-nulas contidas na restri¸cão. Com isso, foi poss´ıvel obter grafos de conflitos em tempos de execu¸cão dezenas de vezes menores.

A redu¸cão do tempo gasto na cria¸cão de grafos de conflitos facilitou a utiliza¸cão dessa estrutura na solu¸cão de problemas de PI. Assim, foi desenvolvida uma rotina de gera¸cão de desigualdades válidas, que são aplicadas no nó raiz da relaxa¸cão linear visando a melhorar o limite inferior obtido. Essa rotina gera desigualdades de clique e ciclos ´ımpares a partir de um grafo de conflitos e utiliza um módulo de lifting para estendê-las. Os resultados mostraram que a rotina desenvolvida foi mais eficiente na melhoria dos limites duais em rela¸cão à rotina de separa¸cão de cortes do COIN-OR.

Além da rotina de gera¸cão de desigualdades válidas, foi proposto e implementado um resolvedor heur´ıstico para problemas de Programa¸cão Binária, que também utiliza informa¸cões contidas nos grafos de conflitos. O resolvedor é baseado em heur´ısticas para prover uma solu¸cão inicial e melhorá-la por meio de uma busca local. A busca local utiliza cadeias de movimentos, que atuam invertendo um conjunto de variáveis relacionadas, com o objetivo de corrigir a infactibilidade ou saltar de uma solu¸cão fact´ıvel para outra. O resolvedor foi capaz de encontrar solu¸cões fact´ıveis para um número maior de instâncias considerando um tempo limitado, quando comparado com os resolvedores

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38 Considera¸c˜oes Finais

CBC e GLPK.

6.1 Trabalhos Futuros

Como dire¸c˜oes futuras, destacam-se as seguintes estrat´egias:

• Desenvolver abordagens para estender o grafo de conflitos, aplicando, por exemplo, técnicas de Programa¸cão por Restri¸cões (Jaffar e Maher, 1994) e/ou utilizando informa¸cões do grafo constru´ıdo para refor¸car o valor do limite inferior para o lado esquerdo das restri¸cões;

• Inserir novos tipos de cortes na rotina de separa¸c˜ao proposta e avaliar a contri-bui¸c˜ao de cada um;

• Utilizar outros conjuntos de instâncias para avaliar o resolvedor de Programa¸cão Binária;

• Considerar os complementos das vari´aveis de decis˜ao e seus conflitos em ambas as fases do resolvedor heur´ıstico;

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