PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
AMANDA CORREIA TEIXEIRA PEREIRA
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS: O ESTUDO DA BISSETRIZ EM PESQUISAS PRODUZIDAS NO BRASIL DE 2010 A 2020
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
SÃO PAULO 2021
AMANDA CORREIA TEIXEIRA PEREIRA
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS: O ESTUDO DA BISSETRIZ EM PESQUISAS PRODUZIDAS NO BRASIL DE 2010 A 2020
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva.
PUC-SP 2021
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação de Mestrado por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Assinatura:__________________________________________________________
Data:______________
Email: amanda.teixeira.pereira@gmail.com
AMANDA CORREIA TEIXEIRA PEREIRA
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS: O ESTUDO DA BISSETRIZ EM PESQUISAS PRODUZIDAS NO BRASIL DE 2010 A 2020
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
Aprovado em: 05/02/2021
BANCA EXAMINADORA
____________________________________
Prof.ª Dra. Maria José Ferreira da Silva – PUC-SP
____________________________________
Prof.ª Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho – PUC-SP
____________________________________
Pref.º Dr. Rogério Ferreira da Fonseca - IFSP
Esta pesquisa foi desenvolvida por meio do financiamento oferecido pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES, Brasil.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus e a Jesus Cristo, Senhor da minha vida que me deu essa oportunidade conforme Sua soberana vontade, me capacitando em todo tempo.
Agradeço ao meu esposo William por todo apoio e amor demonstrado e ao meu filho Samuel pela compreensão em todos os momentos em que estive ausente para me dedicar a pesquisa.
Aos meus pais Aldenicio e Creusa, minha gratidão por sempre me apoiarem e me aconselharem em todos os momentos da minha vida.
À Prof.ª Dra. Maria José Ferreira da Silva, admiro sua trajetória e a maneira como utilizou todo o seu conhecimento para ajudar no meu desenvolvimento como pesquisadora e professora. Sou profundamente grata pelas orientações, contribuições, críticas e pela confiança depositada.
À Prof.ª Dra. Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, que sempre me acolheu com carinho e estava sempre pronta a esclarecer minhas dúvidas, além de seus valiosos apontamentos na minha qualificação, sou extremamente grata.
Ao Prof.º Dr. Rogério Ferreira da Fonseca, pela paciência em ler minha pesquisa e pelos apontamentos valiosos na minha qualificação, sou extremamente grata.
A todos os professores do Mestrado Acadêmico em Educação Matemática da PUC-SP, seus ensinamentos foram primordiais para o meu desenvolvimento profissional.
Por fim, agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela concessão da bolsa de estudos, que permitiu financiamento para o desenvolvimento dessa pesquisa científica.
PEREIRA, Amanda Correia Teixeira. Construções Geométricas: o estudo da
bissetriz em pesquisas produzidas no Brasil de 2010 a 2020. Dissertação (mestrado em Educação Matemática). PUC-SP, São Paulo, Brasil, 2021, 128p.
RESUMO
Este estudo tem o objetivo de apresentar o mapeamento das pesquisas produzidas no Brasil, entre os anos de 2010 a 2020, em relação a construções geométricas e mais especificamente a bissetriz de um ângulo. Para a constituição do nosso corpus de pesquisa foram selecionados 18 trabalhos acadêmicos encontrados no banco de Teses e Dissertações da CAPES, no Google Acadêmico e no banco de Teses e Dissertações da PUC. A pesquisa busca responder a seguinte questão: “Quais as contribuições e as lacunas observadas nas pesquisas no período de 2010 a 2020 no Brasil para o ensino de bissetriz?”. Foram encontrados trabalhos em duas grandes áreas: Educação Matemática e Matemática. Nesse sentido, fizemos as análises das pesquisas da área de Matemática, apenas considerando o aspecto matemático, e nas pesquisas de Educação Matemática foram considerados os aspectos matemático e didático. Verificamos que a área de Educação Matemática tem dado pouca ênfase as pesquisas de construções geométricas e respectivamente a bissetriz de um ângulo no período observado. Os resultados mostram que mesmo que o conhecimento a respeito de bissetriz esteja relacionado a um ângulo, poucas pesquisas apresentam a definição de ângulo e algumas abordam ângulo como medida, o que pode comprometer na compreensão da bissetriz de um ângulo. Outro ponto importante é a falta de justificativa da construção da bissetriz, pois nela, são evidenciadas as características e propriedades do objeto matemático. Muitas pesquisas aplicam atividades que enfatizam apenas a construção em si, não explorando situações problemas em que a bissetriz seja a solução. Apenas uma pesquisa buscou na sequência aplicada explorar a construção da bissetriz em situações problemas e solicitar as justificativas, preocupando-se em desenvolver nos alunos as apreensões perceptiva, sequencial, discursiva e operatória de acordo com Duval (2004).
Sugerimos que novas pesquisas sanem essas lacunas, a fim de ampliar as contribuições no âmbito da Educação Matemática.
Palavras-chave: Mapeamento. Construções Geométricas. Bissetriz.
ABSTRACT
This study aims to present the mapping of research produced in Brazil, between the years 2010 to 2020, in relation to geometric constructions and more specifically the bisector of an angle. For the constitution of our research corpus, 18 academic papers found in the CAPES Thesis and Dissertations bank, in Google Scholar and in the PUC Theses and Dissertations bank were selected. The research seeks to answer the following question: "What are the contributions and gaps observed in the research between 2010 and 2020 in Brazil for the teaching of bisector?". Work was found in two major areas: Mathematical Education and Mathematics. As we verified that the works in the area of Mathematics were the majority (14 surveys), we could not exclude them.
In this sense, we made the analysis of the research in the area of Mathematics, only considering the mathematical aspect, and in the Mathematics Education researches, the mathematical and didactic aspects were considered. We found that the area of Mathematics Education has given little emphasis to research on geometric constructions and respectively the bisector of an angle in the observed period. The results show that even though the knowledge about bissector is related to na angle, few researches present the definition of angle and most approach angle as a measure, which may imply in understanding the bissector of an angle. Another important point is the lack of justification for the construction of the bisector, as it highlights the characteristics and properties of the mathematical object. Many researches apply activities that emphasize only the construction itself, not exploring problem situations in which the bisector is the solution. Only one research sought in the applied sequence to explore the construction of the bisector in problem situations and to request justifications, concerned with developing in students the perceptual, sequential, discursive and operative apprehensions according to Duval (2004). We suggest that new researches fill these gaps, in order to expand the contributions in Mathematics Education.
Keywords: Mapping. Geometric Constructions. Bisector.
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1-GRÁFICO DA QUANTIDADE DE PESQUISAS QUE TRATAM DO ENSINO E DA APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA ...17
FIGURA 2-REPRESENTAÇÕES FIGURAIS PARA ÂNGULO...23
FIGURA 3-REPRESENTAÇÕES FIGURAIS PARA BISSETRIZ ...24
FIGURA 4-JUSTIFICATIVA DA BISSETRIZ ...25
FIGURA 5-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...25
FIGURA 6-REPRESENTAÇÃO DO PROBLEMA ...26
FIGURA 7-MODIFICAÇÃO ÓTICA DE UMA FIGURA ...27
FIGURA 8-MODIFICAÇÃO POSICIONAL DA BISSETRIZ ...27
FIGURA 9-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ COM ORIGEM INACESSÍVEL ...28
FIGURA 10-FIGURA GEOMÉTRICA ...29
FIGURA 11-VISUALIZAÇÃO ...29
FIGURA 12-DEMONSTRAÇÃO DE PROPRIEDADE DA BISSETRIZ ...30
FIGURA 13-UNIDADES FIGURAIS ELEMENTARES ...31
FIGURA 14-REPRESENTAÇÃO DE ÂNGULO COMO REGIÃO ...33
FIGURA 15-REPRESENTAÇÃO DE ÂNGULO POR SEMIRRETAS ...33
FIGURA 16-REPRESENTAÇÃO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO PLANO ...34
FIGURA 17-REPRESENTAÇÃO DA BISSETRIZ EM UM ÂNGULO POR SEMIRRETAS ...34
FIGURA 18-REPRESENTAÇÃO DA BISSETRIZ POR LUGAR GEOMÉTRICO ...35
FIGURA 19-REPRESENTAÇÃO DE BISSETRIZ DE ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS CONCORRENTES ...36
FIGURA 20–EXISTÊNCIA E UNICIDADE DA BISSETRIZ ...37
FIGURA 21-FIGURA DE APOIO À DEMONSTRAÇÃO DE PROPRIEDADE (PARTE 1) ...38
FIGURA 22-FIGURA DE APOIO À DEMONSTRAÇÃO DE PROPRIEDADE (PARTE 2) ...38
FIGURA 23–BISSETRIZES DE ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE ...39
FIGURA 24–BISSETRIZES DE ÂNGULOS REPLEMENTARES ...39
FIGURA 25-BISSETRIZES DE ÂNGULOS REPLEMENTARES ...40
FIGURA 26-ÂNGULOS SUPLEMENTARES ...40
FIGURA 27-BISSETRIZES DE ÂNGULOS SUPLEMENTARES ...41
FIGURA 28-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ SEGUNDO EUCLIDES ...42
FIGURA 29-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ POR DOBRADURA ...42
FIGURA 30-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ COM RÉGUA E COMPASSO ...43
FIGURA 31-OUTRA CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO COM RÉGUA E COMPASSO ...43
FIGURA 32-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ COM ORIGEM INACESSÍVEL...44
FIGURA 33-OUTRA CONSTRUÇÃO PARA BISSETRIZ DE ORIGEM DE ORIGEM DESCONHECIDA...44
FIGURA 34-PROPRIEDADE REFLETORA DA ELIPSE ...46
FIGURA 35-PROPRIEDADE REFLETORA DA ELIPSE ...46
FIGURA 36- ÂNGULO DE INCIDÊNCIA E REFLEXÃO ...47
FIGURA 37-ESPELHO PARABÓLICO ...48
FIGURA 38-PROPRIEDADE REFLETORA DA PARÁBOLA ...48
FIGURA 39–ESPELHO HIPERBÓLICO ...48
FIGURA 40-PROPRIEDADE REFLETORA DA HIPÉRBOLE ...49
FIGURA 41-REFLEXÃO DE UM FEIXE DE LUZ...49
FIGURA 42-REFRAÇÃO DE UM FEIXE DE LUZ ...50
FIGURA 43-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ DE ORIGEM DESCONHECIDA ...51
FIGURA 44-BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ...64
FIGURA 45-BISSECÇÃO DO ÂNGULO ...64
FIGURA 46-COMPROVAÇÃO DA CONGRUÊNCIA DOS TRIÂNGULOS DAF E EAF ...65
FIGURA 47–BISSETRIZ ...65
FIGURA 48-BISSETRIZ DO ÂNGULO AÔB ...66
FIGURA 49-BISSETRIZ DO ÂNGULO AÔB ...67
FIGURA 50-BISSETRIZ ...67
FIGURA 51-LUGAR GEOMÉTRICO BISSETRIZ ...68
FIGURA 52-PROPRIEDADE DE EQUIDISTÂNCIA DA BISSETRIZ 1 ...68
FIGURA 53-PROPRIEDADE DE EQUIDISTÂNCIA DA BISSETRIZ 2 ...68
FIGURA 54-REPRESENTAÇÃO DA BISSETRIZ ...69
FIGURA 55-BISSETRIZES EM RETAS CONCORRENTES ...69
FIGURA 56-PROBLEMA RESOLVIDO 1 ...70
FIGURA 57-PROBLEMA RESOLVIDO 2 ...70
FIGURA 58-SITUAÇÃO PROBLEMA - BISSETRIZ ...71
FIGURA 59-PROBLEMA RESOLVIDO 3 ...71
FIGURA 60-SITUAÇÃO PROBLEMA - BISSETRIZ DO ÂNGULO DE VÉRTICE INACESSÍVEL ...71
FIGURA 61-PROBLEMA RESOLVIDO 4 ...72
FIGURA 62-ÂNGULO AÔB ...73
FIGURA 63-BISSETRIZ DE AÔB ...74
FIGURA 64-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...74
FIGURA 65-BISSETRIZ ...75
FIGURA 66-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...75
FIGURA 67–ÂNGULO CONVEXO E NÃO CONVEXO ...76
FIGURA 68-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...76
FIGURA 69-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...77
FIGURA 70-CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ...77
FIGURA 71-JUSTIFICATIVA DA CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...78
FIGURA 72-ÂNGULOS CONVEXO E NÃO-CONVEXO ...82
FIGURA 73-BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ...82
FIGURA 74-BISSETRIZ ...83
FIGURA 75-JUSTIFICATIVA DA CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...85
FIGURA 76-BISSETRIZ ...86
FIGURA 77-JUSTIFICATIVA DA CONSTRUÇÃO DA BISSETRIZ ...91
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1-TRABALHOS ENCONTRADOS ...57QUADRO 2-PESQUISAS DA ÁREA DE MATEMÁTICA -PROFMAT ...59
QUADRO 3-PESQUISAS DA ÁREA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ...60
QUADRO 4-PESQUISAS CATEGORIA 1 ...61
QUADRO 5-PESQUISAS CATEGORIA 2 ...61
QUADRO 6-PESQUISAS CATEGORIA 3 ...61
QUADRO 7-PESQUISAS CATEGORIA 4-EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ...62
QUADRO 8-PESQUISAS CATEGORIA 5-EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ...62
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ...13
2 PROBLEMÁTICA...15
2.1JUSTIFICATIVA ...15
2.2QUESTÕESEOBJETIVOS ...19
2.3METODOLOGIAEPROCEDIMENTOS ...20
3 ESTUDOS PRELIMINARES...23
3.1ESTUDODIDÁTICODABISSETRIZ ...23
3.2ESTUDOMATEMÁTICODABISSETRIZ ...32
3.2.1 DEFINIÇÕES DE BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ...33
3.2.2 PROPRIEDADES DA BISSETRIZ ...37
3.2.3 CONSTRUÇÕES POSSÍVEIS PARA A BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ...41
3.2.4 ALGUMAS APLICAÇÕES DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ...46
3.3ABISSETRIZEMDOCUMENTOSOFICIAIS ...52
4 MAPEAMENTO DAS PESQUISAS ...57
4.1SELEÇÃODASPESQUISAS ...57
4.2ORGANIZAÇÃODOSDADOS ...58
4.3ANÁLISEDOSDADOS ...62
4.3.1 CATEGORIA 1 - ÁREA MATEMÁTICA – ESTUDO MATEMÁTICO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO ...63
4.3.2 CATEGORIA 2 – ÁREA MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DA QUAL A BISSETRIZ FEZ PARTE ...72
4.3.3 CATEGORIA 3 – ÁREA MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DA QUAL A BISSETRIZ NÃO FEZ PARTE ...81
4.3.4 CATEGORIA 4 – ÁREA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DA QUAL A BISSETRIZ FEZ PARTE...84
4.3.5 CATEGORIA 5 – ÁREA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - ESTUDO DA BISSETRIZ DE UM ÂNGULO E APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DA QUAL A BISSETRIZ NÃO FEZ PARTE...90
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...93
REFERÊNCIAS ...97
APÊNDICE A – FICHAMENTO E RESENHA DOS TRABALHOS ... 103
1 INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, observamos que não foi dada uma ênfase ao ensino da bissetriz de um ângulo, muito pelo contrário, as pesquisas mostram que cada vez menos esse objeto matemático tem sido abordado. Embora a bissetriz de um ângulo tenha sua importância e seja aplicada em diversas áreas do conhecimento e na própria matemática, percebemos a necessidade de explorar mais sua relevância.
Em Matemática, a bissetriz de um ângulo é utilizada para demonstrar propriedades, não apenas do incentro em um triângulo, mas da elipse, hipérbole e parábola. Esses conhecimentos permitiram, em outras áreas, verificar a bissetriz de um ângulo em Física, na refração e reflexão de um feixe de luz; na Odontologia em radiográficas tiradas dos dentes ou instrumento de iluminação eficiente; na Arquitetura para achar o raio de um terreno; além de tantas outras aplicações, como na construção de telescópios, refletores, faróis de carros.
Devido a sua importância, decidimos então pesquisar a bissetriz de um ângulo e percebemos que muitos aspectos talvez não sejam considerados quando tratamos de seu ensino. Verificamos que esse objeto matemático pode ser definido de duas maneiras distintas: Sangiorgi (1963, p. 105): “chama-se a bissetriz de um ângulo a semirreta que, a partir do vértice, o divide em dois ângulos iguais”. Observamos que em algumas pesquisas o termo “iguais” é trocado por “congruentes” o que diferencia a abordagem de ângulos ou como medida ou como grandeza. Para Corrêa Júnior (2014, p. 87) bissetriz é “o lugar geométrico dos pontos 𝑃, de um plano, equidistantes de duas retas concorrentes 𝑟 e 𝑠 desse plano.”
Além das definições de bissetriz, por se tratar de um conhecimento a respeito de um ângulo, buscamos as definições de ângulo e verificamos duas maneiras distintas: Para Sangiorgi (1963, p. 102): “ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas que tem mesma origem” e para Quintella (1962, p. 75): “ângulo é a figura formada por duas semirretas que têm a origem comum”.
Diante disso, realizamos um estudo para entender melhor todos os aspectos levantados e buscamos, por meio do mapeamento das pesquisas brasileiras de 2010 a 2020, verificar se as diferentes abordagens são apresentadas e se essas pesquisas consideram todos esses aspectos no ensino da bissetriz de um ângulo.
Delineamos então a seguinte questão de pesquisa: “quais as contribuições e as lacunas observadas nas pesquisas no período de 2010 a 2020 no Brasil para o ensino de bissetriz?” Dessa forma, após o mapeamento e análise das pesquisas selecionadas, apontamos as semelhanças, diferenças e contribuições desses trabalhos, a fim de que o nosso estudo possa embasar futuras pesquisas em Educação Matemática e proporcionar uma visão mais profunda e crítica do que já foi produzido e do que ainda é deficiente em relação a bissetriz de um ângulo.
Assim, apresentamos nossa dissertação, apresentando no Capítulo 2 o detalhamento da problemática do trabalho, constituída de justificativa; questões e objetivos; a metodologia e os procedimentos utilizados. No capítulo 3, fizemos os estudos preliminares, constituído do estudo didático da bissetriz baseado na Teoria de Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval; do estudo matemático da bissetriz em que apresentamos definições, propriedades, construções e aplicações e do estudo da bissetriz em documentos oficiais. O capítulo 4 é destinado à apresentação do mapeamento das dissertações e dele consta a seleção das pesquisas, a organização e a análise dos dados realizado em categorias. No último capítulo fizemos nossas considerações finais.
2 PROBLEMÁTICA
Este capítulo tem por objetivo apresentar a justificativa do tema de pesquisa, bem como a delimitação da questão norteadora e os objetivos, além da metodologia e procedimentos adotados para sua realização.
2.1 JUSTIFICATIVA
O ensino de geometria no Brasil, por algum tempo, apresentou muitos problemas, sejam relacionados ao currículo em que a geometria ficou em segundo plano ou a formação de professores e as possíveis dificuldades em abordar os conteúdos em sala de aula.
Pavanello (1993) já tratava do assunto, quando escreveu um artigo sobre o abandono do ensino da geometria no Brasil apontando suas causas e consequências.
A autora comenta que a lei 5692/71 permitia aos professores a elaboração do programa de acordo com as necessidades de seus alunos que conduziu muitos professores a sentirem insegurança em trabalhar com geometria e não a incluírem na programação ou a deixarem para o final do ano letivo, o que consequentemente prejudicou seu ensino. Lorenzato (1995) alerta para o círculo vicioso criado, pois, a partir do momento em que os professores não possuem conhecimentos geométricos necessários para a prática pedagógica, também não ensinam, o que os conduziu a conteúdos que privilegiam o raciocínio algébrico.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN, (BRASIL, 1998), abordam o ensino de geometria e tendo em vista essa problemática afirmam que:
[...] tem tido pouco destaque nas aulas de matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Em que pese seu abandono, ela desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (BRASIL, 1998, p. 122).
Quanto à formação de professores a respeito de conceitos geométricos Manrique, Silva e Almouloud (2000, p. 1) afirmam que:
- Apresentam uma formação muito precária em Geometria;
- Os cursos de formação inicial não integram suficientemente uma reflexão profunda a respeito do ensino de Geometria;
- As modalidades de formação contínuada não estão ainda atendendo os objetivos em relação a Geometria. (MANRIQUE, SILVA e ALMOULOUD, 2000, p. 1).
Podemos ver que as pesquisas dessa época evidenciam preocupação com relação ao ensino de geometria decorrentes do pouco ensino ou de sua ausência e propõem, também, o retorno do ensino de construções geométricas com régua e compasso.
Clement et al (2015) realizaram uma pesquisa documental, a partir de artigos publicados nos periódicos mais antigos da área de Educação Matemática Bolema, GEPEM e Zetetiké, para investigar o ensino de Geometria. Analisaram 18 artigos publicados nesses periódicos, no período de 2000 a 2014, e observaram relações entre geometria e álgebra, entre aritmética e geometria, figuras planas e não planas, área e perímetro, altura de triângulos, circunferência e geometria analítica, transformações geométricas e geometrias não-euclidianas. Os pesquisadores observaram que a maioria dos trabalhos (11) foram publicados depois de 2010, o que indica um aumento no interesse pela temática ensino e aprendizagem de geometria, inclusive quanto ao ensino de geometrias não-euclidianas que, normalmente, não são abordadas em sala de aula. Ressaltam que, embora procurem apresentar o conteúdo de maneira prática, de alguma forma, se apoiam no viés teórico de uma abordagem axiomática o que influencia diretamente nos processos de ensino e de aprendizagem.
Como a pesquisa anterior realizou o levantamento até 2014, decidimos buscar nos mesmos periódicos, a partir de 2015, os artigos referentes ao ensino e à aprendizagem de Geometria, incluindo também o periódico Educação Matemática Pesquisa como espaços de divulgação científica na área de Educação Matemática reconhecidas internacionalmente. Após o levantamento realizado nesses periódicos de 2015 a 2020 encontramos 33 artigos na Educação Matemática Pesquisa, 22 na Bolema, 11 na Zetetiké e 9 nas publicações do GEPEM, como mostra a Figura 1.
Considerando apenas os periódicos Bolema, GEPEM e Zetetiké observamos que as pesquisas que tratam de Geometria de 2015 a 2020 (42 artigos) aumentaram significativamente com relação as pesquisas de 2000 a 2014 (18 artigos). Podemos observar também que a Revista Educação Matemática Pesquisa da PUC-SP foi o periódico que mais divulgou artigos referentes ao tema nos últimos seis anos.
Figura 1 - Gráfico da quantidade de pesquisas que tratam do Ensino e da Aprendizagem de Geometria
Fonte: Produção da Pesquisadora
A respeito das pesquisas que focaram na formação continuada de professores para o ensino de geometria Rosa, Souza e Santos (2020), após realizarem um mapeamento, no período de 2003 a 2019 observaram que:
Neste contexto, se inserem as políticas públicas de formação continuada, buscando propiciar aos professores, espaços para refletirem sobre sua prática, construindo e reconstruindo seus saberes docentes, podendo ser identificados dentre eles, programas destinados especificamente a formação docente quanto aos objetos geométricos, bem como, o surgimento de diferentes pesquisas realizadas nesses espaços. (ROSA, SOUZA e SANTOS, 2020, p. 652).
Entendemos que o cenário com relação aos anos 1990 mudou e, se antes, a Geometria era pouco mencionada ou ausente, agora se faz presente em pesquisas e nas salas de aula o que mostra uma preocupação na maneira como esses conteúdos podem ser abordados o que permeia a formação do professor e seu desenvolvimento profissional.
Quanto às construções geométricas observamos que no artigo de Clement et al (2015) apenas uma pesquisa tratava do assunto, enquanto em nosso levantamento nos mesmos periódicos (Bolema, GEPEM e Zetetiké) no período de 2015 a 2020, foram 12 artigos. Considerando também a Revista Educação Matemática Pesquisa, encontramos 19 artigos.
Embora tenha ocorrido um aumento nas publicações sobre Geometria verificamos que, nos últimos seis anos, apenas um quarto das pesquisas se referem as construções geométricas considerando os quatro periódicos citados.
A respeito do ensino de Geometria, a Base Nacional Comum Curricular - BNCC (BRASIL, 2019, p. 271) ressalta que “as ideias matemáticas fundamentais associadas a essa temática são, principalmente, construção, representação e interdependência.”
Já Oliveira e Gonçalves (2018) afirmam que:
[...] estudar este domínio da Matemática ocorre por meio das chamadas construções geométricas, que podem ser vistas como maneiras de expressar graficamente a forma de determinados entes geométricos, ou seja, representações dos mesmos. Subentende-se, assim, à realização de construções desta natureza, o conhecimento das propriedades e definições matemáticas do objeto em questão. Isto implica dizer, em outras palavras, que uma construção geométrica não se reduz a um simples desenho despretensioso, mas pressupõe a mobilização dos conhecimentos prévios a respeito dos objetos matemáticos, dos domínios de validade dos entes geométricos e de suas propriedades. (OLIVEIRA e GONÇALVES, 2018, p.
101).
As construções geométricas são importantes pois, a compreensão das representações construídas e a observação de suas propriedades estão relacionadas diretamente à formação do pensamento geométrico e à demonstração. Nesse sentido, Passos (2006, p. 81) entende que: “[...] atividades de construção, desenho, visualização, comparação, transformações, discussão de ideias, conjecturas e elaboração de hipóteses podem facilitar o acesso à estrutura lógica e à demonstração [...]”.
Quanto ao papel dos materiais manipuláveis Passos (2006, p. 81) os caracteriza como representações de conceitos geométricos. Sendo assim, os materiais manipuláveis são caracterizados “pelo envolvimento físico dos alunos em uma situação de aprendizagem ativa. Dessa maneira, esses materiais funcionam como uma primeira forma de representação de conceitos.” Já para Fassio (2011):
[...] a utilização de materiais manipuláveis no ensino de geometria, destaca a importância do uso de desenhos, materiais e imagens mentais para o desenvolvimento das ideias geométricas, principalmente nas séries do ensino fundamental. Eles funcionam como recursos didáticos auxiliares e representativos do processo de construção dos conceitos geométricos, em suas correlações com os aspectos intuitivo, experimental e teórico da geometria. (FASSIO, 2011, p. 9).
Diante do exposto percebemos a importância do trabalho com construções geométricas para a aprendizagem em Geometria e, entre seus conteúdos, a bissetriz.
Observando os estudos apresentados vemos que apenas 3 artigos tratam de bissetriz nos últimos 20 anos o que mostra insuficiência de pesquisas nesse tema.
A BNCC (BRASIL, 2019, p. 315) apresenta para a unidade temática Geometria, para o 8º ano, os objetos de conhecimento “mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas” para que seja desenvolvida a habilidade
“aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.” Em nossa prática trabalhamos com esse conteúdo por 10 anos e temos dificuldades em encontrar atividades em que a bissetriz seja a solução de um problema, em geral, envolvem a construção, passo a passo, ou expressões algébricas para que os alunos descubram a medida de algum ângulo. Sendo assim, buscamos compreender melhor a bissetriz do ponto de vista matemático e didático, nas pesquisas realizadas no período de 2010 a 2020 e no currículo proposto.
A nossa hipótese para o ensino da bissetriz é que existe a necessidade de uma abordagem matemática que apresente as características e propriedades do objeto e uma abordagem didática em que a bissetriz seja a solução ideal para problemas propostos supondo que haverá um potencial para a construção de significado para esse objeto de estudo.
2.2 QUESTÕES E OBJETIVOS
Diante do exposto definimos a seguinte questão de pesquisa: “quais as contribuições e as lacunas observadas nas pesquisas no período de 2010 a 2020 no Brasil para o ensino de bissetriz?”
Nosso objetivo geral foi realizar um mapeamento de teses e dissertações nos principais bancos de dados para identificar as contribuições e as lacunas nos trabalhos brasileiros encontrados no período de 2010 a 2020. Para atingir tal objetivo destacamos os seguintes objetivos específicos:
✓ identificar os objetivos das pesquisas selecionadas;
✓ identificar o tipo de pesquisa (com ou sem sujeitos);
✓ evidenciar se a definição de bissetriz abordada e seu significado foram explorados nas atividades aplicadas aos sujeitos ou presentes nos materiais, conforme o tipo de pesquisa;
✓ identificar qual definição de bissetriz foi abordada nas pesquisas;
✓ verificar se as construções geométricas do objeto matemático são propostas apenas como passo a passo ou se existem situações problemas em que é necessário mobilizar as características e propriedades da bissetriz;
✓ evidenciar os resultados apresentados nas pesquisas.
Ao evidenciar a definição de bissetriz e seu significado nas atividades propostas pretendemos analisar se as pesquisas apontam para um ensino significativo, ou se, as atividades propostas podem gerar obstáculos para a construção desse conhecimento.
Apresentada a questão de pesquisa, o objetivo geral e os objetivos específicos, a seguir, abordaremos os procedimentos metodológicos que permitirão atingí-los.
2.3 METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS
Nossa pesquisa se enquadra no tipo “mapeamento” definida por Fiorentini e Lorenzato (2012) como:
[...] a modalidade de estudo que se propõe a realizar análises históricas e/ou revisão de estudos ou processos tendo como material de análise documentos escritos e/ou produções culturais garimpados a partir de arquivos e acervos.
Essa modalidade de estudo compreende tanto os estudos tipicamente teóricos ou estudos analítico-descritivos de documentos ou produções culturais, quanto os do tipo “pesquisa do estado da arte”, sobretudo quando
“procura inventariar, sistematizar e avaliar a produção científica numa determinada área ou (ou tema) de conhecimento”. (FIORENTINI e LORENZATO, 2012, p. 70 e 71).
Para os autores apesar das críticas com relação a esse tipo de pesquisa, devido a amostra ou análise subjetiva, a análise dos documentos poderá ser bastante útil se o pesquisador construir categorias das semelhanças e diferenças que emergem dos dados. No que concerne ao mapeamento, Fiorentini et al (2016) entendem esse tipo de pesquisa como:
[...] um processo sistemático de levantamento e descrição de informações acerca das pesquisas produzidas sobre um campo específico de estudo, abrangendo um determinado espaço (lugar) e período de tempo. Essas informações dizem respeito aos aspectos físicos dessa produção (descrevendo onde, quando e quantos estudos foram produzidos ao longo do período e quem foram os autores e participantes dessa produção), bem como aos seus aspectos teórico-metodológicos e temáticos. (IBID, p.18).
Para a realização do mapeamento fizemos a revisão de literatura a partir de um levantamento no banco de Teses e Dissertações da CAPES, no Google Acadêmico e
no Banco de Teses e Dissertações da PUC dos trabalhos publicados no período de 2010 a 2020 a respeito da Bissetriz.
Na sequência, realizamos o fichamento das dissertações para destacar seus aspectos constitutivos: título, instituição, autor, titulação, ano de publicação, metodologia, referencial teórico, sujeitos e a abordagem dada à bissetriz tendo como base o texto completo das pesquisas. Além do fichamento realizamos breves resenhas mencionando os objetivos, questão de pesquisa e principais resultados a fim de compreendermos melhor o âmbito de cada pesquisa.
Para verificar a abordagem dada para o ensino da bissetriz e embasar a análise das pesquisas que compõem o nosso corpus, realizamos alguns estudos preliminares para a compreensão desse objeto do ponto de vista didático e matemático, além da proposta para seu ensino em documentos oficiais. São esses estudos que apresentamos no que segue.
3 ESTUDOS PRELIMINARES
Apresentamos neste capítulo um estudo didático e matemático da bissetriz e sua apresentação nos documentos oficiais, entendendo que esses estudos são fundamentais para as análises das pesquisas encontradas.
3.1 ESTUDO DIDÁTICO DA BISSETRIZ
A Didática da Matemática permite identificar e compreender os fenômenos que interferem nos processos de ensino e de aprendizagem dos conteúdos matemáticos.
Nesse sentido, realizamos o estudo didático da bissetriz com base na Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval que é dedicada a analisar os registros de representação semiótica de um objeto matemático e suas possíveis transformações (tratamento e conversão) para a aprendizagem matemática. Como a Geometria é um campo da matemática que possui particularidades devido ao registro figural, o autor dedica parte de sua teoria a esse campo. Além disso, a escolha da teoria está de acordo com nossos objetivos, no sentido de analisarmos as representações no registro figural e verificarmos suas diferentes apreensões.
Assim, considerando as definições de ângulo e de bissetriz podemos ter diferentes representações figurais. Quanto ao ângulo podemos ter duas representações, como mostra a Figura 2, em que a primeira representa o ângulo como região e a segunda a partir de semirretas.
Figura 2 - Representações figurais para ângulo
Fonte: Produção da Pesquisadora
Quanto às definições de bissetriz teríamos, para cada uma dessas representações de ângulos três representações possíveis, como mostra a Figura 3 para a definição por semirretas: a que considera a congruência de ângulos, a
igualdade de medidas e a bissetriz como lugar geométrico, respectivamente, que poderiam também ser apresentadas para a definição de ângulo por região.
Figura 3 - Representações figurais para bissetriz
Fonte: Produção da Pesquisadora
Ver uma figura exige uma percepção mais complexa do que apenas reconhecê- la, por este motivo, uma parte importante da teoria de Duval (2004) são as apreensões, identificadas como: perceptiva, sequencial, discursiva e operatória.
A apreensão perceptiva tem a função de identificação de uma figura e, sendo individual, pode ser entendida como uma apreensão gestáltica1 que seria a maneira como a figura é entendida pelo sujeito. As representações apresentadas na Figura 3 favorecem a apreensão perceptiva de bissetriz, pois a primeira permite ao sujeito interpretar que a semirreta divide o ângulo em dois ângulos congruentes; a segunda, que a semirreta divide o ângulo em dois ângulos que têm mesma medida e, a terceira, que os pontos da semirreta são equidistantes aos lados do ângulo.
A apreensão discursiva corresponde a explicitação de propriedades matemáticas. Observando a representação figural e a legenda, apresentada na Figura 4, podemos desenvolver um discurso que identifica a semirreta 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ como sendo a bissetriz do ângulo CAB. Pela interpretação das circunferências que aparecem na construção podemos afirmar, ainda, que os triângulos ADF e AEF são congruentes, pois 𝐴𝐷 = 𝐴𝐸 (porque são raios da mesma circunferência); 𝐷𝐹 = 𝐸𝐹 (porque são raios de circunferências congruentes) e possuem o lado AF comum aos dois triângulos.
1 Moretti e Brandt (2015) definem que gestáltica vem de gestalt ou psicologia da forma, que procura entender como as figuras organizam-se e são percebidas pelo sujeito.
Figura 4 - Justificativa da bissetriz
Fonte: Baseada em Girotto (2016, p. 24)
A apreensão sequencial é solicitada em atividades de descrição de uma construção para que seja reproduzida. O indivíduo não desenvolverá a apreensão sequencial apenas quando for capaz de seguir o passo-a-passo para representar uma construção, mas também, quando fizer uma construção por si próprio e for capaz de descrever sequencialmente o passo-a-passo para que outro a reproduza.
Figura 5 - Construção da bissetriz
Fonte: Produção da Pesquisadora
Na Figura 5 apresentamos a construção da bissetriz de um ângulo a partir da apreensão sequencial dos seguintes passos:
1º passo: construir um ângulo definido pelos pontos A, B e C, sendo A seu vértice.
2º passo: construir a circunferência com centro em A e que passa por um ponto D qualquer em um dos lados do ângulo.
3º passo: determinar o ponto E de intersecção da circunferência com o outro lado do ângulo.
4º passo: construir a circunferência com centro em D que passa pelo ponto E, e a circunferência com centro em E que passa pelo ponto D.
5º passo: determinar o ponto F de intersecção das duas circunferências na região interior ao ângulo.
6º passo: determinar a semirreta com origem no ponto A e que passa pelo ponto F.
Essa semirreta é chamada de bissetriz do ângulo BAC.
O exemplo acima propõe que o aluno siga os passos para a construção da bissetriz, mas ele pode ter que aplicá-la para resolver um problema, como por exemplo: temos dois fios em um campo que terminam na beira de um lago (Figura 6).
O problema consiste em colocar um terceiro fio, entre esses dois, de modo que tenha a mesma distância aos outros dois. Mais à frente na seção que trata de aplicações apresentamos a solução desse problema.
Figura 6 - Representação do problema
Fonte: Produção da Pesquisadora
Nessa atividade o aluno tem que mobilizar seus conhecimentos de bissetriz à medida que percebe seus pontos equidistantes aos lados de um ângulo, prolonga os segmentos que representam os fios para encontrar o vértice desse ângulo e realiza a construção. Se o aluno for capaz de descrever os passos da construção que soluciona o problema então, conforme Duval (2004), terá sido desenvolvida a apreensão sequencial.
Com relação a apreensão operatória ela possui uma função heurística que permite a compreensão das modificações possíveis sobre as figuras para fins de resolução de problemas, como a necessária para resolver o problema anteriormente citado, por exemplo. Duval (2004) diferenciou três tipos de modificações: ótica,
posicional e mereológica que podem ser realizadas diretamente nas figuras ou mentalmente.
A modificação ótica permite aumentar, diminuir ou deformar uma figura por meio da produção de uma imagem da figura dada que permite explorar informações sobre homotetia, por exemplo, como mostra a Figura 7. Nela vemos a ampliação no triângulo ABC por homotetia no triângulo A1B1C1 sendo identificado os pontos D e D1
de encontro das bissetrizes de ambos os triângulos.
Figura 7 - Modificação ótica de uma figura
Fonte: Produção da Pesquisadora
A modificação posicional desloca a figura dada, sem modificar suas medidas e forma, como as rotações, translações e reflexões, ou seja, mantém a congruência, como podemos ver na Figura 8 que mostra a rotação do ângulo ABC e de sua bissetriz em 90° no sentido anti-horário.
Figura 8 - Modificação posicional da bissetriz
Fonte: Produção da Pesquisadora
Na modificação mereológica uma figura pode ser dividida em partes ou subfiguras de várias formas que podem ser combinadas para formar outra figura e se baseia na relação parte-todo. Esta operação, própria da modificação mereológica é chamada reconfiguração e se caracteriza por ser um tratamento no registro figural. A apreensão perceptiva favorece a visualização de como essas modificações poderão ser feitas para se obterem novos elementos que levarão a solução de um determinado problema. Um exemplo dessa modificação pode ser a construção da bissetriz de um ângulo de vértice inacessível como mostra a Figura 9.
Figura 9 - Construção da bissetriz com origem inacessível
Fonte: Produção da Pesquisadora
Dadas a representação de duas semirretas sem suas origens e que são identificadas como lados de um ângulo qualquer, podemos visualizar que elas se intersectam em um ponto V que seria o vértice desse ângulo. Podemos determinar os pontos A e C e B e D, respectivamente, em cada uma delas. Depois, traçar a reta por C e D, imaginando um triângulo CDV, e as bissetrizes dos ângulos ACD e BDC, respectivamente, que têm como intersecção o ponto E. Por um ponto F na reta AC traçamos a reta FG paralela à reta CD, imaginando um triângulo FGV, e as bissetrizes dos ângulos AFG e FGB que se intersectam no ponto H. Assim, sabemos que o ponto V, vértice do ângulo considerado, pertence à reta EH.
Vemos que para resolver o problema foram traçadas retas auxiliares para a construção de bissetrizes de ângulos de triângulos que foram visualizados e que permitiu encontrar a solução do problema. Quando inserimos as retas auxiliares
estamos realizando uma reconfiguração, uma modificação que não é solicitada no enunciado, mas é necessária para a solução do problema.
As apreensões não aparecem de forma isolada, mas são articuladas para a resolução de um problema que pode solicitar a articulação entre dois ou mais tipos de apreensões. Duval (1997, apud Moretti e Brandt, 2015, p. 5) cita quatro delas:
“Figura geométrica é o resultado da conexão entre as apreensões perceptiva e discursiva: é preciso ver a figura geométrica a partir das hipóteses e não das formas que se destacam ou das propriedades evidentes”. Nessa articulação a apreensão discursiva é subordinada à apreensão perceptiva, como mostra a Figura 10, em que o discurso de que os segmentos PD e QD têm mesma medida porque AD é bissetriz do ângulo BAC que resulta da percepção de que os ângulos BAD e CAD têm mesma medida e que os ângulos APD e AQD são retos.
Figura 10 - Figura geométrica
Fonte: Produção da Pesquisadora
A “visualização é o resultado da conexão entre as apreensões perceptiva e operatória. A visualização não exige nenhum conhecimento matemático, mas ela pode comandar a apreensão operatória”. É utilizada para a exploração heurística de uma situação problema.
Figura 11 - Visualização
Fonte: Rezende e Queiroz (2008, p. 130)
Na Figura 11 a apreensão perceptiva evidencia a falta do vértice, V, necessário para o traçado da bissetriz com compasso e orienta para uma estratégia de resolução que consiste em traçar uma reta r paralela ao lado VB⃗⃗⃗⃗⃗ que será auxiliar na construção da bissetriz. Essa reta irá intersectar VA⃗⃗⃗⃗⃗ num ponto denominado C. Utilizando o compasso, com o centro em C e raio arbitrário, traçar um arco DE, que intersectará a reta r no ponto E e a semirreta VA no ponto D. Com a régua, unir os pontos D e E, prolongando até intersectar a semirreta VB, obtendo o ponto F e a semirreta DF. Com o compasso construa dois arcos de centro em D e mesmo raio que estejam entre as semirretas VA e VB. Com o mesmo raio e centro em F, construa outros dois arcos que estejam entre as semirretas. A intersecção dos arcos originará dois pontos que pertencem a bissetriz desse ângulo de vértice inacessível. A construção pode ser justificada pela semelhança dos triângulos isósceles CDE e VDF que emergem.
Esse processo se refere a apreensão operatória como um tratamento realizado em uma representação figural, ou seja, uma modificação mereológica na figura dada, o que permitirá a construção da mediatriz do segmento 𝐷𝐹̅̅̅̅ que também será a bissetriz do ângulo de vértice inacessível.
“A heurística e demonstração é o resultado da conexão entre as apreensões operatória (que é subordinada pela apreensão perceptiva) e discursiva”. Como exemplo, apresentaremos a demonstração da propriedade que afirma que os pontos da bissetriz de um ângulo são equidistantes aos lados desse ângulo, aqui sendo considerado ângulo determinado por semirretas. Dado o ângulo apresentado na Figura 12, queremos provar que se o ponto D pertence à bissetriz do ângulo 𝐵Â𝐶, então 𝑑(D, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑑(D, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Figura 12 - Demonstração de propriedade da bissetriz
Fonte: Produção da Pesquisadora
Considerando o ponto P, projeção ortogonal do ponto D na semirreta AB e o ponto Q, projeção ortogonal do ponto D na semirreta AC então os ângulos APD e AQD são retos e, assim, podemos considerar que os segmentos PD e QD representam a distância do ponto D às duas semirretas. Considerando os triângulos retângulos APD e AQD podemos observar que AD é lado comum aos dois triângulos. Como a semirreta AD é bissetriz do ângulo BAC então os ângulos PAD e QAD são congruentes. Assim, podemos dizer que os dois triângulos são congruentes pelo caso LAAo e, portanto, os segmentos PD e QD têm mesma medida, ou seja 𝑑(D, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑑(D, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ).
Assim, a heurística e a demonstração articulam as apreensões operatórias e discursivas que envolvem o raciocínio como um processo que conduz para a prova ou a explicação. Duval (2004) apresenta como uma articulação desse tipo a desconstrução dimensional que ocorre quando transformamos, de alguma maneira, as figuras geométricas em esquemas que consideram o formato (curva aberta, fechada, redonda, oval, reta, ponto, arco etc.) e a dimensão (D0, D1, D2, D3) são as unidades figurais elementares, como mostra a Figura 13. Para o autor:
Mesmo uma figura aparentemente reduzida a uma só unidade figural de dimensão 2 (um quadrado, por exemplo), só é uma figura, em matemática, se for considerada como uma configuração de unidades figurais de dimensão 1 (os segmentos formando os lados) uma vez que são as relações (paralelismo, simetria, tangência...) entre as unidades figurais elementares que constituem o conteúdo pertinente de uma figura geométrica. (DUVAL, 2004, p. 159, tradução nossa).
Figura 13 - Unidades figurais elementares
Fonte: Adaptado de Duval (2004, p. 159)
Conforme o autor as figuras que estão na dimensão D3, por exemplo, contém elementos das dimensões inferiores, ou seja, figuras planas (D2), segmentos (D1) e pontos (D0), o mesmo acontece para D2, que contém elementos de D1 e D0.
Podemos ver essa desconstrução nos exemplos anteriormente apresentados. Para Duval (2004), o que causaria o fracasso em problemas de geometria seria justamente a dificuldade de olhar uma figura nas dimensões inferiores e voltar, em alguns momentos, para a dimensão original.
A respeito da construção geométrica Duval (1997 apud MORETTI e BRANDT, 2015, p. 5) expõe que “é o resultado da conexão entre as apreensões discursiva e sequencial que também requerem a apreensão perceptiva”, em que as ações realizadas e os resultados observados conduzem a representação de objetos matemáticos. Ela não ocorre apenas em seguir passos para realizar uma construção, mas, principalmente, em realizar construções para solucionar problemas, como o exemplo que apresentamos para determinar a bissetriz de um ângulo com vértice inacessível e outros que veremos mais à frente. Para Duval:
Não importa qual a figura desenhada no contexto de uma atividade matemática, ela é objeto de duas atitudes geralmente contrárias: uma imediata e automática, a apreensão perceptiva de formas; e outra controlada, que torna possível a aprendizagem, a interpretação discursiva dos elementos figurais. (DUVAL, 2012, p. 120).
As articulações mencionadas nos mostram que a apreensão perceptiva é a primeira que ocorre, porque é imediata, o que faz com que as outras apreensões se subordinem a ela. Isso mostra a importância em trabalhar as apreensões que não são imediatas, e ainda, suas articulações para que efetivamente ocorra a construção de conhecimentos geométricos. A coordenação da apreensão perceptivas com as outras, além dos tratamentos possíveis no registro figural são atividades matemáticas que, segundo Duval (2004), são fundamentais para a análise de cada uma das apreensões, pois, a resolução de problemas exige que os alunos possam passar de um tipo de apreensão a outro naturalmente e por conta própria.
3.2 ESTUDO MATEMÁTICO DA BISSETRIZ
Dividimos este estudo em: possíveis definições de bissetriz de um ângulo, propriedades, possíveis construções geométricas e algumas aplicações da bissetriz
em resolução de problemas da realidade possíveis de serem tratados no ensino básico.
3.2.1 DEFINIÇÕES DE BISSETRIZ DE UM ÂNGULO
Para definir bissetriz de um ângulo abordaremos primeiro algumas definições de ângulos na geometria plana. Para Sangiorgi (1963, p. 102) “ângulo é a região do plano limitada por duas semirretas que têm a mesma origem” (Figura 14) o que implica em configurar ângulo como uma região plana, ou seja, bidimensional que de acordo com Duval (2004) estaria na dimensão D2 e que poderia ser interpretado como uma figura geométrica formada por infinitas semirretas que partem do vértice e passam pelos infinitos pontos da região.
Figura 14 - Representação de ângulo como região
Fonte: Sangiorgi (1963, p. 103)
Quintella (1962, p. 75) define que “ângulo é a figura formada por duas semirretas que têm a origem comum” (Figura 15) que abordaria ângulo de forma unidimensional de acordo com Duval (2004) D1.
Figura 15 - Representação de ângulo por semirretas
Fonte: Quintella (1962, p. 75)
A partir dessas definições buscamos saber como esses autores definem bissetriz. Segundo Sangiorgi (1963, p.105) “chama-se bissetriz de um ângulo a semirreta que, a partir do vértice, o divide em dois ângulos iguais” (Figura 16).
Figura 16 - Representação da bissetriz de um ângulo plano
Fonte: Sangiorgi (1963, p. 105)
Apesar de ter definido ângulo como uma região plana quando afirma que a bissetriz divide um ângulo em “dois ângulos iguais” nos leva a entender que a bissetriz divide um ângulo em dois ângulos de mesma medida, pela relação de igualdade que cita. Por outro lado, na Figura 16 a apreensão perceptiva nos leva a entender que entre as infinitas semirretas, que compõem o ângulo, existe uma que o divide “em duas partes iguais”. O autor entende por igualdade de ângulos o transporte do primeiro sobre o segundo de modo que seus lados se sobreponham.
Para Quintella (1962, p. 78) “bissetriz de um ângulo é a semirreta traçada do vértice, e que divide em dois ângulos adjacentes iguais” e a representa como na Figura 17 em que mostra os dois ângulos e a bissetriz, sem a identificação da igualdade citada na definição. Vemos que, como o autor anterior, fala em “igualdade de ângulos”
o que implica em observar suas medidas, mas não se referem à congruência que poderia ser comprovada sem a necessidade de medida, por exemplo por dobradura, considerando o ângulo como uma grandeza.
Figura 17 - Representação da bissetriz em um ângulo por semirretas
Fonte: (Quintella, 1962 p. 78)
Vemos então que para entender a bissetriz de um ângulo, por esses autores, é necessário entender como sugerem a medição de ângulos. Apenas Quintella (1962) apresenta três maneiras de medição de ângulos. As duas primeiras se referem a unidades de medida de ângulos planos, o grado (g ou gr) é a centésima parte da unidade de ângulo que é o ângulo reto e o grau (°) que equivale a 1
90 de um ângulo reto. O último sistema de medição denomina-se radiano que se refere a razão entre a medida do comprimento de um arco e a medida do raio da circunferência que determina tal arco.
Se assumirmos a definição de bissetriz apresentada por esses autores temos que demonstrar, como propriedade da bissetriz, que todos os seus pontos equidistam dos lados do ângulo. Por outro lado, podemos assumir essa propriedade como definição de bissetriz, como apresenta Sánchez (2001, p.7): “em um plano, dado o ângulo 𝐴Ô𝐵, o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , é a bissetriz de 𝐴Ô𝐵” associada à Figura 18.
Figura 18 - Representação da bissetriz por lugar geométrico
Fonte: Sánchez (2001, p. 7)
O “lugar geométrico” é entendido como o conjunto de infinitos pontos em um plano que satisfazem uma determinada propriedade, Para Almeida (2007):
[...] toda figura geométrica incorpora um conjunto de propriedades que a individualiza. Cada conjunto de propriedades, por sua vez, é um conjunto, em que todos os elementos desse conjunto gozam da mesma propriedade, que chamamos de ‘lugar geométrico’. (ALMEIDA, 2007, p. 67).
Embora o autor defina a bissetriz como lugar geométrico não mostra como seria sua construção, além disso a apreensão perceptiva da Figura 18 não sugere a equidistância citada, nem que vale para qualquer ponto, porque só apresenta um. A construção seria necessária para compreensão da definição e para articular as outras apreensões. Como a definição de bissetriz por lugar geométrico não faz referência a congruência dos ângulos formados ao traçá-la, então temos que demonstrar que a
bissetriz divide o ângulo em dois ângulos adjacentes e congruentes como uma propriedade da bissetriz.
Ainda tratando da bissetriz como lugar geométrico Corrêa Júnior (2014) a define como: o lugar geométrico dos pontos 𝑃, de um plano (Figura 19), equidistantes de duas retas concorrentes 𝑟 e 𝑠 desse plano.
Figura 19 - Representação de bissetriz de ângulos formados por retas concorrentes
Fonte: Corrêa Júnior (2014, p. 87)
Corrêa Júnior (2014) trata a bissetriz a partir dos quatro ângulos formados por duas retas concorrentes e não a partir de um ângulo específico formado por semirretas de mesma origem. O autor não apresenta a definição de ângulo adotada. Em termos de apreensão perceptiva, na Figura 19 é possível perceber o lugar geométrico representado por alguns de seus pontos, que seriam duas retas, mas mostra a perpendicularidade exigida pela distância de ponto à reta e os segmentos, que representam essa distância, identificados como sendo congruentes. No entanto, não deixa claro como fazer a construção desse lugar geométrico e menciona que se consideramos os quatro ângulos determinados por r e s, as bissetrizes daqueles que são opostos pelo vértice serão semirretas opostas.
As definições e representações da bissetriz permitem apreendê-las sob diferentes perspectivas sendo a apreensão perceptiva essencial para analisar os elementos de cada representação e desenvolver as outras apreensões.
Além das propriedades aqui tratadas, apresentaremos no que segue outras também importantes para a construção do conhecimento de bissetriz.
3.2.2 PROPRIEDADES DA BISSETRIZ
A primeira propriedade importante refere-se à existência e unicidade da bissetriz, isto é, todo ângulo tem uma bissetriz (Figura 20) e uma só que é demonstrada, de acordo com Rezende e Queiroz (2008, p. 34).
escolhemos os pontos 𝐵 e 𝐶, um em cada lado do ângulo Â, tais que 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶. Seja 𝑀 o ponto médio de 𝐵𝐶̅̅̅̅, que está no interior da região delimitada por Â. Pelo Teorema do Triângulo Isósceles aplicado ao triângulo 𝐴𝐵𝐶, obtemos a congruência dos ângulos 𝐴𝐵𝑀 e 𝐴𝐶𝑀. Pelo caso L.A.L. de congruência de triângulos, obtemos ∆𝐴𝐵𝑀 ≅ ∆𝐴𝐶𝑀. Como consequência temos 𝐵Â𝑀 ≅ 𝐶Â𝑀. Portanto 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é a bissetriz do 𝐵Â𝐶.
Para mostrar a unicidade da bissetriz, suponha que uma outra semirreta 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ , seja também uma bissetriz de Â. Então 𝑚𝐵Â𝐷 = 𝑚𝐵Â𝑀 =1
2𝑚𝐵Â𝐶, do que resulta que 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ coincide com 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , pelo Postulado da Construção do Ângulo.
Portanto 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ é a única bissetriz de Â.
Figura 20 – Existência e unicidade da bissetriz
Fonte: Rezende e Queiroz (2008, p. 34)
Como vimos anteriormente, se a definição de bissetriz é dada pela divisão de um ângulo em dois adjacentes e de mesma medida, então temos que mostrar a equidistância da bissetriz em relação aos lados do ângulo como lugar geométrico, como uma propriedade de bissetriz. Apresentamos essa propriedade nos baseando em Corrêa Júnior (2014). Dado o enunciado: o ponto D pertence ao lugar geométrico bissetriz de um ângulo se, e somente se, D equidista dos lados desse ângulo. Como esse enunciado representa uma condição necessária e suficiente temos que realizar a demonstração em duas partes.
Na primeira parte, condição suficiente, temos como enunciado, de acordo com a Figura 21, que se D pertence ao lugar geométrico bissetriz de um ângulo então D equidista dos lados desse ângulo, ou seja, temos que provar que 𝑑(𝐷, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑑(𝐷, 𝐴𝐶̅̅̅̅).
