MAE0317 - Planejamento e Pesquisa I

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DIMENSIONAMENTO DE AMOSTRAS - ANOVA - 1 ou MAIS FATORES

18 de maio de 2014

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INTRODU ¸ C˜ AO

Importˆancia

Prote¸c˜ao contra erros dos tipos I e II;

Estimativas de interesse devem ser precisas.

Situa¸c˜oes de uso: estudos observacionais e experimentais.

Finalidade

Amostras devem ser grandes o suficiente para que diferen¸cas importantes (em termos pr´aticos) sejam detectadas com alta probabilidade;

Amostras não devem ser exageradamente grandes de modo que o custo para obtê-las seja alto e diferen¸cas de pouca importância prática sejam estatisticamente significantes com alta probabilidade.

Suposi¸c˜oes

Caso univariado;

Vamos considerar o mesmo tamanho de amostra para cada tratamento.

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Consequˆencias

Os tratamentos tˆem a mesma importˆancia;

Quando o interesse é comparar todas as médias, duas a duas, a precisão das compara¸cões é maximizada;

Certos desvios das suposi¸c˜oes associadas ao modelo de ANOVA causam menos problemas.

Procedimento: controle das probabilidades dos erros de tipo I e de tipo II.

Planos utilizados: completamente casualizados.

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PODER DO TESTE F - PLANOS COM 1 FATOR FIXO

Poder: probabilidade de rejeitar a hip´otese nula quando ela ´e falsa.

Poder do teste F:1−β=P[F^∗> F(1−α;r−1, n−r)|φ,] onde

β: probabilidade do erro tipo II;

α: probabilidade do erro tipo I;

r: n´umero de n´ıveis do fator;

n: tamanho total da amostra;

φ: parâmetro de não-centralidade (medida do quanto as médias

populacionaisµ_i da vari´avel resposta sob os tratamentos s˜ao diferentes).

Temos

φ= 1 σ

r P ni (µi−µ)² r

e

µ=

P n_i µ_i

n .

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Quando n₁ =. . .=n_r=m temosn=mr,

φ= 1 σ

rmP

(µ_i−µ)² r e

µ= P µi

r .

A Tabela B.11 de Neter et al. (1996) fornece valores de 1−β. Para um fator fixo, temosν1=r−1 e ν2=r(m−1).As entradas da tabela s˜ao ν₁,ν₂,α eφ.

Coment´arios

Parar,n_i eα fixos, v´arias combina¸c˜oes dosµ_i conduzem ao mesmo valor deφ e, consequentemente, ao mesmo valor de1−β.

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PODER DO TESTE F - PLANOS COM 1 FATOR FIXO

Quanto maior φ, maior1−β e menorβ, mantidoα fixo. Quanto menorα, menor1−β e maior β, mantidoφfixo. Observar que esta ´e uma justificativa para o uso deα= 0,05 ou 0,10 ao inv´es de 0,01.

Valores de 1−β paraν₁ = 1 não estão reproduzidos na Tabela B.11, pois este caso corresponde à compara¸cão de duas médias

populacionais. Neste caso, o teste F corresponde ao testetbilateral e valores de 1−β são obtidos da Tabela B.5 de Neter et al. (1996), utilizando-se o parâmetro de não-centralidade

δ = |µ₁−µ2| σ

q 1 n1 +_n¹

2

e graus de liberdade iguais a n₁+n₂−2.

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Tabela B.11: tentativa e erro Tabela B.12

O tamanho da amostra para cada tratamento ´e o mesmo;

Todos os fatores s˜ao fixos.

Planos com um fator

∆: menor intervalo entre as médias da variável resposta sob os n´ıveis do fator para o qual é importante detectar diferen¸cas entre os µ_i com grande probabilidade.

Entradas da Tabela B.12

∆/σ (o valor de∆é expresso em múltiplos do desvio padrão), r, α e 1−β.

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Dimensionamento da amostra - Controle de α e β

Observa¸c˜ao: O valor de σ pode ser estimado a partir de um experimento piloto (σˆ=√

QM R, supondo que o modelo é homocedástico). Uma estimativa deσ pode também ser obtida a partir de alguma informa¸cão sobre a amplitude dos valores da variável resposta. Temos que

ˆ

σ = amplitude/6.

Coment´arios

1. A Tabela B.12 baseia-se emφ(parˆametro de n˜ao-centralidade).

Exemplo:

Caso µ₁ µ₂ µ₃ µ₄ P

(µ_i−µ)²

1 24 27 25 26 5,00

2 25 25 26 23 4,75

3 25 25 25 28 6,75

4 25 25 26,5 23,5 4,50

µ= 25

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P (µi−µ)² varia em cada caso, ou seja, φvaria em cada caso.

P (µ_i−µ)² assume o menor valor no Caso 4.

E poss´ıvel mostrar que, fixado´ ∆,P

(µ_i−µ)² é minimizada quando todos os µi, exceto dois deles, são iguais aµ e estes dois são igualmente

espa¸cados de µ. Neste caso, min X

(µ_i−µ)²= (∆/2)²+ (−∆/2)²+ 0 +. . .+ 0 = ∆²/2. (1) Embora 1−β varie comφ, o uso de (1) na constru¸cão da Tabela B.12 assegura que o poder é pelo menos1−β para qualquer combina¸cão dos µi, fixado ∆(lembrar que quanto maiorφmaior é1−β).

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Dimensionamento da amostra - Controle de α e β

2. Consideremosr = 3,α= 0,05 eβ = 0,10.Da Tabela B.12 temos

∆/σ m

1,0 27

1,5 13

2,0 8

2,5 6

Quanto menor for o valor de ∆/σ maior ´e sua influˆencia sobre m.

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3. Consideremosr = 5,α= 0,05, β = 0,10e ∆ = 3.Da Tabela B.12 temos

σ ∆/σ m

1 3,0 5

2 1,5 10

3 1,0 32

Quanto maior σ maiorm.

4. O valor dem pode ser obtido no pacote MINITAB, por exemplo.

5. Conv´em publicar tabelas com v´arios pares (σ, m) para cada valor de ∆.

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Aplica¸c˜ ao

Consulta realizada no Centro de Estat´ıstica Aplicada - CEA do IME-USPem 17/08/2004

T´ıtulo: Potencial antioxidante e caracter´ısticas f´ısico-qu´ımicas do tomate orgˆanico em compara¸c˜ao ao convencional.

Institui¸cão: Faculdade de Saúde Pública - USP

Objetivo: Avaliar a caracter´ıstica antioxidante de tomates orgânicos e convencionais preparados de 5 maneiras distintas. Para essa avalia¸cão serão utilizados três solventes diferentes: etéreo, aquoso e alcoólico.

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Descri¸cão do Estudo: Serão coletados tomates cultivados de forma convencional e de forma orgânica. As unidades amostrais nas quais serão medidas a atividade antioxidante serão obtidas a partir de lotes de 20 kg de tomates. A partir de cada lote são preparados os 5 produtos em questão e cada um deles é dilu´ıdo nos solventes aquoso, etéreo e alcoólico para a coleta das informa¸cões sobre a atividade antioxidante. Ao menos dois lotes de cada tipo de cultivo devem ser analisados, visto que com um número menor não haveria variabilidade suficiente para serem realizadas as compara¸cões desejadas.

Deseja-se avaliar os efeitos dos seguintes fatores na atividade antioxidante:

1. Tipo de Cultivo (TC): 2 n´ıveis;

2. Produtos (P): 5 n´ıveis;

3. Tipos de solventes (TS): 3 n´ıveis.

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Aplica¸c˜ ao

Dimensionamento Amostral

Há interesse na obten¸cão do número de lotes necessários para que se consiga detectar, com um n´ıvel de significância α e um poder 1−β, uma diferen¸ca ∆ = 10(% - unidade de medida da atividade antioxidante) entre as atividades antioxidantes médias do mesmo produto obtido de tomates do mesmo tipo de cultivo e submetidos a solventes diferentes.

m: n´umero de lotes para cada tipo de cultivo r: n´umero de n´ıveis do fator TS (r= 3) ˆ

σ: estimativa do desvio padr˜ao da atividade antioxidante

∆: diferen¸ca que se espera encontrar entre as m´edias da atividade antioxidante sob dois dos solventes(∆ = 10)

α: n´ıvel de significˆancia global(α= 0,05)

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Tabela 2. Valores dem

β α σˆ ∆ m

0,05 0,05 5% 10% 9

0,1 0,05 5% 10% 8

0,05 0,05 10% 10% 32 0,1 0,05 10% 10% 27

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Planos com dois fatores

Fatores: C (c n´ıveis) e D (dn´ıveis)

Caso 1. Escolher o fator mais importante e dimensionar a amostra supondo que temos um plano com um fator. Vamos supor que o fator C seja o mais importante. O tamanho da amostram obtido pela Tabela B.12 é o número de unidades experimentais para cada n´ıvel de C. Assim, o tamanho da amostra para cada tratamento é dado por m/d (ver tabela abaixo).

D/C C1 C2 . . . Cc

D1 m/d m/d . . . m/d D2 m/d m/d . . . m/d ... ... ... ... ... Dd m/d m/d . . . m/d

m m . . . m

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O uso da Tabela B.12 neste caso ´e apropriado desde quec(m−1)>20.

Caso 2. Se n˜ao sabemos qual o fator mais importante, dimensionamos o n´umero de unidades experimentais para cada tratamento usando primeiro o fator C e depois o fator D, respeitando quec(m−1)>20e

d(m−1)>20. Se os tamanhos das amostras diferem muito, a escolha do valor final deve ser discutido com o pesquisador.

Trˆes Fatores: C, D e Frepetir o procedimento como para dois fatores.

No Caso 1, se o fator C ´e o mais importante, temos a restri¸c˜ao d(m−1);

no Caso 2, temos as restri¸c˜oesc(m−1)>20(para o fator C), d(m−1)>20 (para o fator D) ef(m−1)para o fator F.

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Aplica¸c˜ ao 1 - Consulta CEA em 17/08/2004

T´ıtulo: Potencial antioxidante e caracter´ısticas f´ısico-qu´ımicas do tomate orgˆanico em compara¸c˜ao ao convencional.

Institui¸cão: Faculdade de Saúde Pública - USP

Objetivo: Avaliar a caracter´ıstica antioxidante de tomates orgânicos e convencionais preparados de 5 maneiras distintas. Para essa avalia¸cão serão utilizados três solventes diferentes: etéreo, aquoso e alcoólico.

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Descri¸cão do Estudo: Serão coletados tomates cultivados de forma convencional e de forma orgânica. As unidades amostrais nas quais serão medidas a atividade antioxidante serão obtidas a partir de lotes de 20 kg de tomates. A partir de cada lote são preparados os 5 produtos em questão e cada um deles é dilu´ıdo nos solventes aquoso, etéreo e alcoólico para a coleta das informa¸cões sobre a atividade antioxidante. Ao menos dois lotes de cada tipo de cultivo devem ser analisados, visto que com um número menor não haveria variabilidade suficiente para serem realizadas as compara¸cões desejadas.

Deseja-se avaliar os efeitos dos seguintes fatores na atividade antioxidante:

1. Tipo de Cultivo (TC): 2 n´ıveis;

2. Produtos (P): 5 n´ıveis;

3. Tipos de solventes (TS): 3 n´ıveis.

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Aplica¸c˜ ao 1

Há interesse na obten¸cão do número de lotes necessários para que se consiga detectar, com um n´ıvel de significância α e um poder 1−β, uma diferen¸ca ∆ = 10(% - unidade de medida da atividade antioxidante) entre as atividades antioxidantes médias do mesmo produto obtido de tomates do mesmo tipo de cultivo e submetidos a solventes diferentes.

m: n´umero de lotes para cada tipo de cultivo a: n´umero de n´ıveis do fator TS (a= 3) ˆ

σ: estimativa do desvio padr˜ao da atividade antioxidante

∆: diferen¸ca que se espera encontrar entre as m´edias da atividade antioxidante sob dois dos solventes(∆ = 10)

α: n´ıvel de significˆancia global(α= 0,05)

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β α σˆ ∆ m

0,05 0,05 5% 10% 9

0,1 0,05 5% 10% 8

0,05 0,05 10% 10% 32 0,1 0,05 10% 10% 27

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Aplica¸c˜ ao 2 - Consulta CEA em 06/11/2001

T´ıtulo: Estudoin vitro da integridade da membrana plaquetária humana quando submetida à criopreserva¸cão e descongelamento.

Institui¸c˜ao: Faculdade de Medicina - USP Introdu¸c˜ao.

Pacientes submetidos à transfusão de plaquetas desenvolvem anticorpos que diminuem a vida média das plaquetas transfundidas.

Alternativa: Criopreserva¸c˜ao de concentrados de plaquetas do pr´oprio indiv´ıduo. No entanto, as plaquetas sofrem dano celular durante a

criopreserva¸cão, apresentando uma redu¸cão funcional. Assim, é importante desenvolver técnicas de criopreserva¸cão que mantenham a viabilidade, atividade e capacidade funcional das plaquetas pós-descongelamento.

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laboratorial dos concentrados plaquet´arios criopreservados e descongelados.

Descri¸c˜ao do Estudo.

Foram utilizadas 10 al´ıquotas de concentrado plaquetário de cada paciente, com 20ml cada. Uma das al´ıquotas (Al´ıquota 10) não foi criopreservada (controle). As demais 9 al´ıquotas foram criopreservadas cada uma em uma de 9 solu¸cões obtidas combinando três n´ıveis de um agente crioprotetor (DMSO) com três estabilizadores de citoesqueleto.

Temos ent˜ao 9 tratamentos.

Todas as al´ıquotas criopreservadas foram descongeladas e analisadas 3 meses após o congelamento, a fim de se avaliar a a¸cão das solu¸cões utilizadas sobre a integridade da membrana plaquetária (variáveis resposta:

citometria de fluxo (%), teste de agrega¸c˜ao plaquet´aria (%), etc.).

Para a an´alise dos dados foi indicado um modelo de medidas repetidas.

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Aplica¸c˜ ao 2

Para o dimensionamento da amostra considerou-se um fator fixo com 10 n´ıveis (9 solu¸c˜oes criopreservantes mais o controle).

Como não havia uma amostra piloto, foi considerado o desvio padrão da variável teste de agrega¸cão plaquetária (maior desvio padrão). Segundo a literatura ele é igual a 24%.

Fixados α= 0,05 e1−β= 0,95, foram obtidos os tamanhos de amostras apresentados na Tabela 3.

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∆ ∆/σ N´umero de Pacientes

24 1,00 48

30 1,25 31

36 1,50 22

42 1,75 17

48 2,00 13

60 2,50 9

72 3,00 7

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Aplica¸c˜ ao 3 - Consulta CEA em 10/09/2002

T´ıtulo: Influência de algumas substâncias associadas à escova¸cão dental na integridade superficial de diferentes materiais indicados para restaurar lesões cervicais não-cariosas.

Institui¸c˜ao: Faculdade de Odontologia - USP

Objetivo: Verificar de que maneira as bebidas ácidas ou alcoólicas associadas à escova¸cão dental afetam diferentes tipos de materiais restauradores, com o intuito de identificar o mais resistente.

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rugosidade (µm), peso (g) e perfil (mm). Em seguida, as amostras foram imersas nas solu¸cões coca-cola, whisky, suco de limão e água deionizada por 60 dias a 37ôC. Após o per´ıodo de imersão as três variáveis resposta foram avaliadas novamente. Temos dois fatores cruzados (8 tratamentos) e um fator com dois n´ıveis de medidas repetidas.

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Aplica¸c˜ ao 3

A maior variabilidade encontrada foi para a diferen¸ca entre os valores da vari´avel rugosidade quando as amostras foram constru´ıdas com o Material 1 e imersas no whisky (desvio padr˜ao igual a 0,581µm).

Foram fixados∆ = 1µm (diferen¸ca esperada entre as m´edias da rugosidade antes e depois do tratamento ser aplicado ), α= 0,05 e β = 0,05.

Como dimensionar a amostra?