Análise amortizada

(1)

Análise de Algoritmos

Parte destes slides são adaptações de slides

do Prof. Paulo Feofiloff e do Prof. José Coelho de Pina.

(2)

Análise amortizada

Notas de aula de um curso do Robert Tarjan

“Amortized Analysis Explained”

por Rebecca Fiebrink, Princeton University

(3)

Move to front

Considere uma lista ligada.

Custo do acesso ao i-ésimo elemento: i.

(4)

Move to front

Custo de trocar dois elementos consecutivos de lugar:

constante, descontado o tempo de acessar um deles.

(5)

Move to front

Heurística MTF:

ao acessar o elemento x, mova-o para o ínicio da lista.

(6)

Move to front

Heurística MTF:

a b c

a c b

c a b

(7)

Move to front

Heurística MTF:

Com MTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i − 1.

(8)

Move to front

Heurística MTF:

Com MTF, custo do acesso ao i-ésimo elemento: 2i − 1. Considere uma sequência de acessos à lista.

(9)

Move to front

Lista ligada e sequência de acessos a ela.

Heurística MTF:

Acesso ao i-ésimo elemento custa 2i − 1. Qual é o custo de MTF se comparado

com um algoritmo ótimo de acesso?

(10)

Move to front

Lista ligada e sequência de acessos a ela.

Heurística MTF:

Acesso ao i-ésimo elemento custa 2i − 1. Qual é o custo de MTF se comparado

com um algoritmo ótimo de acesso?

A: algoritmo arbitrário de acesso à lista.

Análise amortizada:

(11)

Operações sobre a lista

Acesso e troca com anterior.

Função potencial φ: 2 vezes o número de inversões da lista de MTF em relação à lista de A.

(12)

Operações sobre a lista

Seja x o elemento acessado.

(13)

Operações sobre a lista

Seja k a posição de x na lista de MTF.

Seja i a posição de x na lista de A.

(14)

Operações sobre a lista

Seja k a posição de x na lista de MTF.

Seja i a posição de x na lista de A.

Suponha que A não troca ninguém de lugar.

(15)

Custo amortizado do acesso

k: posição de x na lista de MTF.

i: posição de x na lista de A.

(16)

Custo amortizado do acesso

i: posição de x na lista de A. Em MTF, depois do acesso,

pares com x e um dos k − 1 elementos trocaram de posição.

(17)

Custo amortizado do acesso

Existem i − 1 elementos na lista de A na frente de x.

(18)

Custo amortizado do acesso

≤ min{k−1, i−1} inversões a mais depois do acesso

(19)

Custo amortizado do acesso

(20)

Custo amortizado do acesso

(21)

Custo amortizado do acesso

∆Φ ≤ 4 min{k−1, i−1} − 2(k − 1).

(22)

Custo amortizado do acesso

∆Φ ≤ 4 min{k−1, i−1} − 2(k − 1). Custo amortizado:

ˆ

c = c + ∆Φ

≤ 2k − 1 + 4 min{k−1, i−1} − 2(k − 1)

≤ 1 + 4 min{k−1, i−1}

≤ 4i.

(23)

Custo amortizado do acesso

∆Φ ≤ 4 min{k−1, i−1} − 2(k − 1). Custo amortizado:

ˆ

c = c + ∆Φ

≤ 2k − 1 + 4 min{k−1, i−1} − 2(k − 1)

≤ 1 + 4 min{k−1, i−1}

≤ 4i.

Logo o custo amortizado por acesso de é no máximo .

(24)

Custo amortizado

O custo amortizado por acesso é menor que 4

em relação ao custo de A... se A não fizer trocas...

(25)

Custo amortizado

E se A fizer trocas também?

(26)

Custo amortizado

Com uma troca, o custo de A sobe de 1.

(27)

Custo amortizado

E o potencial, como se altera? Sobe ou desce de 2.

(28)

Custo amortizado

Ou seja, o custo de A é i + t,

onde t é o número de trocas de A após o acesso de x, e ∆Φ ≤ 4 min{k−1, i−1} − 2(k − 1) + 2t.

(29)

Custo amortizado

(30)

Custo amortizado

(31)

Splay trees

ABB: árvore de busca binária

Operação SPLAY(x, S), onde S é uma splay tree:

quando x é acessado, move-se x para a raiz por rotações.

Para a análise, olhamos duas rotações de cada vez.

(32)

Splay trees

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

(33)

Splay trees

2

1

B

C

A

A D

D

x

y y z

z

(34)

Splay trees

Eventualmente no final uma rotação simples é necessária.

1

A

A B B C

C

x

x y

y

Acima, o r splay step.

(35)

Splay trees

1

A

A B B C

C

x

x y

y

(36)

Splay trees

1

A

A B B C

C

x

x y

y

(37)

Splay trees

(38)

Splay trees

Custo de pior caso do SPLAY: Θ(n),

onde n é o número de elementos na splay tree.

(39)

Splay trees

Queremos mostrar que uma splay tree tem um

comportamento mais parecido com o de uma ABBB.

(40)

Splay trees

Queremos mostrar que uma splay tree tem um

comportamento mais parecido com o de uma ABBB.

(ABBB: ABB balanceada)

(41)

Splay trees: pior caso

SPLAY(1, S)

2 3

4 5

6 7

8 9

10

(42)

Splay trees: pior caso

SPLAY(1, S)

primeiro splay step

4 5

6 7

8 9

10

2

1

(43)

Splay trees: pior caso

SPLAY(1, S)

segundo splay step

6 7

8 9

10

2 3 4

5

1

(44)

Splay trees: pior caso

SPLAY(1, S)

terceiro splay step

8 9

10

7 6 2

3 4

5

1

(45)

Splay trees: pior caso

SPLAY(1, S)

quarto splay step ¹⁰

8 9 7 6 2

3 4

5

1

(46)

Splay trees: pior caso

SPLAY(1, S)

quinto splay step

8 9 7 6 2

3 4

5

10

1

(47)

Splay trees: pior caso

SPLAY(1, S)

quinto splay step

8 9 7 6 2

3 4

5

10

1

Total de rotações: 9

Em geral, é _Θ(n), onde n é o número de nós.

(48)

Splay trees: mais um exemplo

SPLAY(2, S)

8 9 7 6 2

3 4

5

10

1

(49)

Splay trees: mais um exemplo

SPLAY(2, S)

primeiro splay step

8 9 10 2

4

5 6

7 3

1

(50)

Splay trees: mais um exemplo

SPLAY(2, S)

segundo splay step

2 8

10 9 4

5 6

7 3

1

(51)

Splay trees: mais um exemplo

SPLAY(2, S)

terceiro splay step

8 2

4

5 6

7 3

10 9

1

(52)

Splay trees: mais um exemplo

SPLAY(2, S)

terceiro splay step

8 2

4

5 6

7 3

10 9

1

Árvore bem mais balanceada após estes dois SPLAYs.

(53)

Splay trees: mais um exemplo

SPLAY(2, S)

terceiro splay step

8 2

4

5 6

7 3

10 9

1

Árvore bem mais balanceada após estes dois SPLAYs.

(54)

Splay trees

S: splay tree

(55)

Splay trees

S: splay tree

S_i(x): subárvore de S enraizada em x no instante i s_i(x) = |S_i(x)|

(56)

Splay trees

S: splay tree

Tome r_i(x) = lg s_i(x).

r_i(x) indica o potencial local no nó x.

(57)

Splay trees

S: splay tree

r_i(x) indica o potencial local no nó x. Seja Φ_i = P

x r_i(x).

(58)

Splay trees

S: splay tree

x r_i(x).

Mostraremos que o custo amortizado por SPLAY é O(lg n).

(59)

Splay trees

S: splay tree

x r_i(x).

(60)

Splay trees

S: splay tree

x r_i(x).

(61)

Análise amortizada dos splay steps

Caso do rr splay step.

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

(62)

Análise amortizada dos splay steps

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial:

Φ_i − Φ_i₋₁ = P

w r_i(w) − P

w r_i₋₁(w) = P

w(r_i(w) − r_i₋₁(w))

(63)

Análise amortizada dos splay steps

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Φ_i − Φ_i₋₁ = P

w r_i(w) − P

w r_i₋₁(w) = P

w(r_i(w) − r_i₋₁(w))

(64)

Análise amortizada dos splay steps

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Φ_i − Φ_i₋₁ = P

w r_i(w) − P

w r_i₋₁(w) = P

w(r_i(w) − r_i₋₁(w))

(65)

Análise amortizada dos splay steps

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Φ_i − Φ_i₋₁ = P

w r_i(w) − P

w r_i₋₁(w) = P

w(r_i(w) − r_i₋₁(w))

(66)

Análise amortizada dos splay steps

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial: _Φ_i ₋ _Φ_i₋₁ _≤ r_i(y) + r_i(z) − 2r_i₋₁(x)

(67)

Análise amortizada dos splay steps

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial: _Φ_i ₋ _Φ_i₋₁ _≤ r_i(y) + r_i(z) − 2r_i₋₁(x) Custo amortizado:

(68)

Análise amortizada dos splay steps

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Custo real: 2

Alteração no potencial: _Φ_i ₋ _Φ_i₋₁ _≤ r_i(y) + r_i(z) − 2r_i₋₁(x)

(69)

Caso do rr splay step

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

Temos que ^log^a+log₂ ^b ≤ log(^a+b₂ ). Logo

(70)

Caso do rr splay step

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

r_i₋₁(x) + r_i(z) = lg s_i₋₁(x) + lg s_i(z)

≤ 2 lg s_i₋₁(x) + s_i(z)

(71)

Caso do rr splay step

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

r_i₋₁(x) + r_i(z) < 2 lg s_i(x) − 2 = 2 r_i(x) − 2.

(72)

Caso do rr splay step

1 2

A

B

B C

C D

D

x

y y

z

r_i₋₁(x) + r_i(z) < 2 lg s_i(x) − 2 = 2 r_i(x) − 2. Então

ˆ

c ≤ 2 + r (y) + r (z) − 2r (x)

(73)

Análise amortizada dos splay steps

Analogamente podemos mostrar que ˆ

c_i < 3(r_i(x) − r_i₋₁(x))

para rl splay steps, lr splay steps, e ll splay steps.

(74)

Análise amortizada dos splay steps

c_i < 3(r_i(x) − r_i₋₁(x))

Para l splay steps e r splay steps, vale que ˆ

c_i ≤ 3(r_i(x) − r_i₋₁(x)) + 1.

(75)

Análise amortizada dos splay steps

c_i < 3(r_i(x) − r_i₋₁(x))

Para l splay steps e r splay steps, vale que ˆ

c_i ≤ 3(r_i(x) − r_i₋₁(x)) + 1.

Se m é o número de splay steps e n o número de nós,

m

X ˆc_i ≤ 3

m

X(r_i(x) − r_i₋₁(x)) + 1

(76)

Análise amortizada dos splay steps

Lembre-se que _Φ_i ₌ P

x r_i(x). Ou seja, _Φ_i _≥ ₀ para todo i.

(77)

Análise amortizada dos splay steps

Então vale que o custo do SPLAY(x, S) é

m

X

i=1

c_i =

m

X

i=1

ˆ

c_i − Φ_m + Φ₀ ≤ 3 lg n + 1 − Φ_m + Φ₀.

(78)

Análise amortizada dos splay steps

m

X

i=1

c_i =

m

X

i=1

ˆ

c_i − Φ_m + Φ₀ ≤ 3 lg n + 1 − Φ_m + Φ₀.

É possível mostrar algo semelhante para inserções em splay trees.

(79)

Análise amortizada dos splay steps

m

X

i=1

c_i =

m

X

i=1

ˆ

c_i − Φ_m + Φ₀ ≤ 3 lg n + 1 − Φ_m + Φ₀.

É possível mostrar algo semelhante para inserções em splay trees.

(80)

Inserções em splay trees

A inserção em splay trees é igual à inserção em ABB,

seguida de uma chamada a SPLAY no elemento inserido.

Seja y₁ o pai de x após a inserção, e y_i o pai de y_i₋₁ para i = 1, . . . , k, onde y_k é a raiz da árvore.

(81)

Inserções em splay trees

Considere a variação do potencial causado pela inserção.

r: potencial local antes da inserção r^′: potencial local depois da inserção

(82)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

(r^′(y_j) − r(y_j))

(83)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

(r^′(y_j) − r(y_j)) =

k

X

j=1

(lg(s(y_j) + 1) − lg(s(y_j)))

(84)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

(r^′(y_j) − r(y_j)) =

k

X

j=1

(lg(s(y_j) + 1) − lg(s(y_j)))

(85)

Inserções em splay trees

(86)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

(r^′(y_j) − r(y_j)) =

k

X

j=1

(lg(s(y_j) + 1) − lg(s(y_j)))

=

k

X

j=1

lg s(y_j) + 1

s(y_j) = lg

k

Y

j=1

s(y_j) + 1 s(y_j)

(87)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

(r^′(y_j) − r(y_j)) =

k

X

j=1

(lg(s(y_j) + 1) − lg(s(y_j)))

=

k

X

j=1

lg s(y_j) + 1

s(y_j) = lg

k

Y

j=1

s(y_j) + 1 s(y_j)

(88)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

lg s(y_j) + 1

s(y_j) = lg

k

Y

j=1

s(y_j) + 1 s(y_j)

≤ lg s(y₂)

s(y₁) · s(y₃)

s(y₂) · · · s(y_k)

s(y_k₋₁) · s(y_k)+1 s(y_k)

(pois s(yj)+1 ≤ s(yj+1

= lg s(y_k) + 1

(89)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

lg s(y_j) + 1

s(y_j) = lg

k

Y

j=1

s(y_j) + 1 s(y_j)

= lg s(y₂)

s(y₁) · s(y₃)

s(y₂) · · · s(y_k)

s(y_k₋₁) · s(y_k)+1 s(y_k)

= lg s(y_k) + 1

≤ lg(n + 1).

(90)

Inserções em splay trees

∆Φ =

k

X

j=1

lg s(y_j) + 1

s(y_j) = lg

k

Y

j=1

s(y_j) + 1 s(y_j)

= lg s(y₂)

s(y₁) · s(y₃)

s(y₂) · · · s(y_k)

s(y_k₋₁) · s(y_k)+1 s(y_k)

= lg s(y_k) + 1

≤ lg(n + 1).

(91)

Concluindo a análise

Lembre-se que Φ_i ≥ 0 para todo i e agora Φ₀ = 0. (Começamos da árvore vazia.)

(92)

Concluindo a análise

Então o custo total de m operações é

m

X

i=1

c_i =

m

X

i=1

ˆ

c_i − Φ_m + Φ₀

≤

m

X

i=1

(3 lg n_i + 1) − Φ_m + Φ₀

≤ 3m lg m + m − 0

(93)

Concluindo a análise

m

X

i=1

c_i =

m

X

i=1

ˆ

c_i − Φ_m + Φ₀

≤

m

X

i=1

(3 lg n_i + 1) − Φ_m + Φ₀

≤ 3m lg m + m − 0

≤ 4m lg m.

(94)

Concluindo a análise

m

X

i=1

c_i =

m

X

i=1

ˆ

c_i − Φ_m + Φ₀

≤

m

X

i=1

(3 lg n_i + 1) − Φ_m + Φ₀

≤ 3m lg m + m − 0