MODELOS DE ARMADURA E PERDA DE ADERÊNCIA PARA ANÁLISE
DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
REINFORCEMENT MODELS AND BOND LOSS FOR ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES
Saulo Silvestre de Castro ¹, Anderson Renato Vobornik Wolenski ¹, Roque Luiz da Silva Pitangueira ², Samuel Silva Penna ²
(1) Mestre em Engenharia de Estruturas – Universidade Federal de Minas Gerais, UFMG (2) Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas – Universidade Federal de Minas Gerais, UFMG UFMG - Av. Antônio Carlos, 6627, Pampulha - PROPEEs, Sala 4125 - CEP 31270-901, Belo Horizonte-MG
Resumo
O conhecimento acumulado após anos de estudo sobre o comportamento do concreto com e sem armadura permitiu o desenvolvimento de modelos diversos para análise não linear de estruturas de concreto armado. Dentre os vários modelos desenvolvidos, os baseados no Método dos Elementos Finitos (MEF) se mostraram uma poderosa ferramenta. Para se levar em conta a armadura e a perda de aderência nestas estruturas, três tipos de modelos podem ser usados: Modelos de Armadura Discreta, Modelos de Armadura Embutida e Modelos de Armadura Distribuída. Nos dois primeiros, a perda de aderência é incluída e possibilita modelos mais realistas. Este trabalho apresenta os Modelos de Armadura Discreta e Embutida inseridos no sistema INSANE (INteractive Structural ANalysis Environment). Para representar o concreto, um Modelo Constitutivo de Degradação Elástica é adotado. Já para o aço, é empregado um Modelo Elastoplástico. Nos Modelos de Armadura Discreta, a perda de aderência é representada de duas formas. Na primeira, é representada ao introduzir molas ortogonais para conectar o elemento de concreto ao elemento de armadura. Na segunda, a representação da perda de aderência é realizada por elementos finitos de contato. Nos Modelos de Armadura Embutida, a perda de aderência é definida por um grau de liberdade adicional em cada nó da camada de armadura. O comportamento da interface concreto-armadura é descrito por relações da tensão aderência-escorregamento. Resultados de simulações numéricas são apresentados, discutidos e comparados com resultados experimentais existentes na literatura.
Palavra-Chave: Método dos Elementos Finitos, modelagem constitutiva, Sistema Computacional INSANE.
Abstract
The knowledge accumulated after years of study on the concrete behavior with and without armor allowed the development of several models for nonlinear analysis of reinforced concrete structures. Among the several models developed, those based on the Finite Element Method (FEM) has proved to be a powerful tool. To take into account the reinforcement and the bond loss in this structures, three kinds of models can be used: Discrete Reinforcement Models, Embedded Reinforcement Models and Distributed Reinforcement Models. In the first two, the bond loss is included and enables more realistic models. This work presents the Discrete and Embedded Reinforcement Models added into in the INSANE system (INteractive Structural
ANalysis Environment). In order to represent the concrete, a Constitutive Model of Elastic Degradation is
used. As for steel, is adopted an Elastoplastic Model. In Discrete Reinforcement Models, the bond loss problem is addressed in two ways. At first, the bond loss is represented by the introduction of orthogonal springs connecting the concrete and reinforcement nodes. At second, the representation of the bond loss is defined by contact finite elements. In Embedded Reinforcement Models, the bond loss is represented by an additional degree of freedom in each reinforcement layer node. The behavior of the concrete-reinforcement interface is described by appropriate relationship of bond-slip stress. Results of numerical simulations are presented, discussed and compared with experimental results available.
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Introdução
Com o advento dos computadores digitais, juntamente com conhecimento acumulado após anos de estudo sobre o comportamento do concreto, com e sem armadura, vários modelos numéricos surgiram. Dentre os vários modelos desenvolvidos, os modelos baseados no Método dos Elementos Finitos (MEF) têm se mostrado uma poderosa ferramenta para a análise de estruturas de concreto armado, protendido e simples.
A evolução do uso do MEF para a análise de estruturas de concreto armado foi acompanhado do desenvolvimento de vários modelos constitutivos para o concreto, para a armadura, bem como modelos para representar a interface destes dois materiais.
Especialmente para estruturas de concreto armado, os modelos existentes podem ser agrupados em: Modelos de Armadura Distribuída, Modelos de Armadura Discreta e Modelos de Armadura Embutida.
Os Modelos de Armadura Distribuída possuem uma série de limitações que restringem seu uso tornando-o pouco difundido. Sendo assim, estes modelos não serão discutidos no âmbito do presente trabalho.
Já os Modelos de Armadura Discreta e Embutida são mais robustos e, portanto, estão entre os mais difundidos. Uma discussão mais detalhada de cada um destes modelos será apresentada nas seções seguintes.
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Modelos De Armadura Discreta
Os modelos de armadura discreta foram os primeiros a serem usados para a análise de estruturas de concreto armado. O princípio fundamental dos modelos de armadura discreta é o uso de elementos planos, conforme ilustra a Figura 1(a), ou tridimensionais, de acordo com a Figura 1(b), para representar a matriz de concreto e elementos de treliça, ou de viga, para representar a armadura.
A rigidez total deste conjunto é obtida da sobreposição da rigidez da armadura discreta com a rigidez do elemento de concreto, nos respectivos graus de liberdade. A grande limitação destes modelos é o condicionamento da posição da camada de armadura à geometria da malha. Como consequência, em modelos cuja geometria da armadura é irregular, um maior número de elementos é necessário.
A maior vantagem destes modelos é a possibilidade de inclusão dos efeitos de perda de aderência da armadura. Contudo, para introduzir este efeito, faz-se necessário o uso de elementos especiais para conectar os elementos da armadura aos elementos de concreto. No presente trabalho serão apresentados os elementos de mola e os elementos de contato.
Figura 1: Modelo de Armadura Discreta (de Castro, 2013).
2.1 Modelo de Perda de Aderência de Molas
O modelo de molas é o mais simples dos elementos desenvolvidos para representar a perda de aderência e o escorregamento da armadura. Este modelo foi proposto por Ngo e Scordelis (1967) para modelos bidimensionais, formado por molas ortogonais que não possuem dimensões físicas.
Este elemento liga os nós do segmento de armadura aos nós do concreto e o comportamento na interface aço-concreto é representado através da relação Tensão de Aderência-Escorregamento, escolhida apropriadamente para cada uma das molas. Desta forma, o problema da perda de aderência é tratado de forma pontual. A Figura 2 ilustra esta problemática.
A relação entre as tensões e os deslocamentos relativos para o elemento é dada por: , 0 0 0 0 0 0 = t s r t s r t s r k k k (Equação 1)
onde 𝑘𝑟, 𝑘𝑠 e 𝑘𝑡 são os coeficientes de rigidez de mola nas direções 𝑟, 𝑠 e 𝑡, respectivamente (Ver Figura 2).
A obtenção dos valores de 𝑘𝑟, 𝑘𝑠 e 𝑘𝑡 é feita a partir de curvas Tensão-Escorregamento, representativas de resultados experimentais.
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Modelos de Armadura Embutida
O Modelo de Armadura Distribuída baseia-se em uma distribuição uniforme da armadura segundo uma orientação qualquer. Neste enfoque, não são introduzidos os fenômenos de perda de aderência e não é possível alterar a geometria da armadura ao longo da espessura do elemento. Desta forma, deve-se empregar uma relação válida de tensão-deformação para o material composto aço-concreto.
Já os Modelos de Armadura Discreta e Embutida são mais robustos e empregados com frequência. Ambos apresentam a vantagem de possibilitar a inclusão da perda de aderência e neste trabalho será utilizado o Modelo de Armadura Embutida.
Os Modelos de Armadura Embutida são formados por elementos compostos onde o segmento de armadura é considerado como um elemento unidimensional (comumente chamado de “layer”) incorporado ao elemento de concreto (comumente chamado de “parent element” ou elemento pai) que pode ser bidimensional ou tridimensional. Esta premissa implica que os deslocamentos do segmento de armadura devem ser consistentes com os deslocamentos internos do elemento de concreto.
Os primeiros elementos de armadura embutida desenvolvidos consideravam a aderência perfeita entre a armadura e o concreto. Esta consideração resulta em sérias limitações para o modelo, mas vários trabalhos surgiram com o intuito de contornar esse problema. Balakrishna e Murray (1987) propuseram incluir os efeitos da aderência através da introdução de nós extras ao longo do elemento que representa o segmento de armadura. Os nós adicionais devem possuir características de aderência prescritas. Obviamente, a introdução dos mesmos implica em aumento do número de graus de liberdade do modelo. Outra técnica para introduzir a aderência em Modelos de Armadura Embutida foi proposta no trabalho de Allwood e Bajarwan (1989). Este trabalho considera uma generalização do elemento que representa a camada de armadura. Nesta generalização, os efeitos da aderência são introduzidos na formulação do elemento de armadura.
No presente trabalho, adotou-se a formulação proposta por Elwi e Hrudey (1988), generalizada para elementos tridimensionais pelos autores Barzegar e Maddipudi (1997). Na formulação proposta por Elwi e Hrudey (1988), o incremento de deformação normal na direção tangente ao segmento de armadura é dado pela soma de duas componentes. A primeira é oriunda da deformação do concreto na direção tangente ao segmento de armadura (∆𝜀). A segunda componente decorre do escorregamento da armadura (∆𝑤𝑏):
ds w d b s = , (Equação 23)
O incremento de deformação é obtido diretamente dos incrementos do campo de deslocamentos do elemento pai. O incremento do escorregamento da camada de armadura é interpolado por:
} { ) ( = ) ( b* b w w , (Equação 24) onde 〈𝜓(𝛾)〉 é o vetor linha das funções de interpolação do segmento de armadura e {∆𝑤𝑏∗}
é o vetor de incrementos de escorregamento nos nós do segmento de armadura. O campo de deformação do elemento de concreto pode ser obtido a partir dos deslocamentos nodais do elemento pai, de acordo com a Equação (25):
u Bc
=[ ] , (Equação 25) onde
B é a matriz que correlaciona os deslocamentos nodais do elemento pai e o seu campo de deformações e
u é o vetor de deslocamentos nodais do elemento pai.De posse da Equação (25) e do vetor de cossenos diretores,
T , em um determinado ponto do segmento de armadura, pode-se estabelecer uma correlação direta entre a parcela no referido ponto e os deslocamentos nodais do elemento pai:∆𝜀 = 〈𝐵𝑠〉 ∙ {∆𝑢}, (Equação 26) em que Bs = T [B].
Por fim, a equação (23) pode ser reescrita como:
* = Bs q Bb w s (Equação 27) onde:
, = * w B ds w d b b e ds d d d Bb = ( ) . (Equação 28) A matriz de rigidez do segmento de armadura e o vetor de cargas nodais equivalentes às tensões internas ao segmento são determinados com a aplicação do princípio dos trabalhos virtuais em sua forma incremental. Desta forma, tem-se que:
b b
b s s S s s s s s v int dV w dS W = ( ) ( )
, (Equação 29)onde 𝜎𝑠 é a tensão axial na camada de armadura; 𝜏𝑏 é tensão de aderência ao longo do segmento de armadura; 𝑑𝑉𝑠 é o elemento diferencial de volume do segmento de armadura e 𝑑𝑆𝑠 é o elemento diferencial de superfície do segmento de armadura.
As formas incrementais das relações constitutivas dos segmentos de armadura são: ,
= s s
s E
e s =Ebb , (Equação 30)
onde 𝐸𝑠 é o módulo tangente da relação tensão-deformação do aço da armadura e 𝐸𝑏 é o módulo tangente da relação tensão-escorregamento da lei de aderência. Desenvolvendo a equação (7), tem-se que:
, } { } { } { } { ] [ ] [ ] [ ] [ = * * s b b ss sb bs bb b Q Q u w K K K K q w W (Equação 31)
{ } { }
, = ] [ d d ds A B E B O E Kbb
b s b s b s (Equação 32) , } { = ] [ = ] [ d d ds A B E B K Kbs sb T
b s s s (Equação 33) , } { = ] [ d d ds A B E B Kss
s s s s (Equação 34)
{ } { }
, = } { d d ds O A B Qb
b s s b s (Equação 35) , } { = } { d d dS A B Qs
s s s (Equação 36)onde Os é o perímetro da armadura por unidade de espessura; As é a área da armadura por unidade de espessura e t é a espessura do elemento.
As submatrizes [𝑘𝑠𝑠], [𝑘𝑏𝑠] e [𝑘𝑏𝑏] representam as contribuições do aço e da aderência na rigidez do elemento composto e os vetores {𝑄𝑏} e {𝑄𝑠} são forças internas associadas às
tensões 𝜎𝑠 e 𝜏𝑏 respectivamente.
Combinando o incremento do trabalho virtual interno da camada de armadura com o incremento do elemento de concreto tem-se que:
{ } { } { } } { } { } { ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ * F F Q Q u w k k k k k s b b cc ss sb bs bb , (Equação 37) onde {𝐹} é o carregamento nodal equivalente ao estado corrente de tensão e {∆𝐹} é seu incremento no elemento pai e [𝐾𝑐𝑐] a rigidez do elemento pai na ausência de armadura. Os detalhes da formulação são obtidos em Elwi e Hrudey (1988) e em de Castro (2013).
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Leis de Aderência
Para introduzir a perda de aderência no modelo de armadura embutida, faz-se necessário um modelo constitutivo que se utiliza de uma Lei Tensão de Aderência-Escorregamento. Ao longo dos anos, vários pesquisadores empregaram resultados experimentais para propor modelos matemáticos, buscando simular o comportamento da perda de aderência. Neste trabalho será usado os modelos propostos por Eligehausen et al. (1983), Doeer (1988) e Hawkins et al. (1982).
4.1 Lei proposta por Eligehausen et al. (1983)
Eligehausen et al. (1983) realizou um estudo experimental da relação tensão de aderência escorregamento para barras ancoradas em concreto confinado e sujeitas a carregamentos monotônicos e cíclicos.
A representação matemática do modelo proposto é dada pela seguinte equação: 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥(𝑤𝑏 𝑤𝑏1) 𝛼 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑤𝑏 ≤ 𝑤𝑏 𝑚𝑎𝑥 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑤𝑏1≤ 𝑤𝑏< 𝑤𝑏2 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 − (𝜏𝑚𝑎𝑥− 𝜏𝑓) (𝑤𝑤𝑏−𝑤𝑏2 𝑏3−𝑤𝑏2) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑤𝑏2≤ 𝑤𝑏≤ 𝑤𝑏3 𝜏 = 𝜏𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑤𝑏> 𝑤𝑏3 . (Equação 38)
Ao final deste estudo, os autores propuseram um modelo analítico, apresentado na Figura 4, para o caso de carregamentos monotônicos.
Figura 4 – Lei constitutiva proposta por Eligehausen et al. (1983).
Eligehausen et al. (1983) e em de Castro (2013) a formulação apresentada é detalhada.
4.2 Lei proposta por Doeer (1988)
Assim como Eligehausen et al. (1983), Doeer (1988) realizou uma série de estudos experimentais e propôs a lei apresentada na Figura 4.
sendo ainda representada pela Equação (39). 1 1 3 1 2 1 1 9 , 1 4 , 1 5 , 4 5 b b ct b b b b b b b b ct w w para f w w para w w w w w w f . (Equação 39)
Doeer (1988) e em de Castro (2013) a formulação apresentada é detalhada.
4.3 Lei proposta por Hankins (1982)
Após vários estudos experimentais Hankins (1982) propôs uma Lei Trilinear, conforme apresentado na Figura 6.
Figura 6 – Lei constitutiva proposta por Hankins (1982).
Para utilizar o modelo proposto por Hankins (1982) é necessário determinar os deslocamento relativos 𝑤𝑏1, 𝑤𝑏2, 𝑤𝑏 𝑢𝑙𝑡 e da tensão de aderência máxima 𝜏𝑚𝑎𝑥. Para tal, é necessário confrontar a curva proposta com dados experimentais para ensaios Pull-Out.
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Simulações Numéricas para o Ensaio de Arrancamento
O ensaio de arrancamento direto (Pull-Out Test) é normalizado pelo RILEM/CEB/FIB (1983) e consiste em arrancar uma barra de aço solidarizada a um corpo-de-prova de concreto. Neste trabalho, objetivou-se simular numericamente este ensaio e comparar tais resultados com aqueles obtidos experimentalmente por Silva (2010).
Como este ensaio objetiva estudar a relação entre a tensão de aderência e o escorregamento da barra, as duas extremidades da barra de aço são projetadas para fora do corpo-de-prova, para que seja possível aplicar a força de arrancamento em uma extremidade enquanto o escorregamento é medido na extremidade oposta (Figura 7).
Figura 7 - Caracterização do ensaio de arrancamento.
O modelo elaborado fez uso de 132 elementos quadrilaterais de 4 nós de Estado Plano de Tensões (EPT) e 15 elementos de armadura embutida de EPT, onde o elemento pai é representado por um quadrilátero de 4 nós e a barra de armadura é representada por 2 nós para cada elemento (Figura 8). Para realizar a integração numérica dos elementos, foram utilizados 2x2 pontos de Gauss para integração o elemento pai e 2 pontos de Gauss para a barra de armadura.
Os parâmetros experimentais para o Concreto e Aço, respectivamente, foram: Módulo de Elasticidade: 𝑬𝒄 = 𝟑𝟔𝟏𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂 e 𝑬𝒂= 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑴𝑷𝒂; Coeficiente de Poisson 𝝂𝒄 = 𝟎, 𝟏𝟓 e
𝝂𝒂 = 𝟎, 𝟑𝟎 e uma Tensão Limite de Ruptura 𝒇𝒚= 𝟓𝟎𝟎 𝐌𝑷𝒂 para o aço.
Para a análise não linear, adotou-se o método de controle de deslocamentos generalizados, fator de carga igual a 𝟎, 𝟓, tolerância para convergência em deslocamento de 𝟏 × 𝟏𝟎−𝟒 e uma carga de referência 𝑷 = 𝟑𝟓, 𝟎 𝒌𝑵 aplicada conforme ilustra a Figura 8.
Na modelagem do concreto adotou-se o Modelo Constitutivo de Microplanos formulado por LEUKART (2005), com uso da deformação equivalente proposta por de Vree et al. (1995) e Função de Dano Exponencial segundo Peerlings et al. (1998). Tal modelo foi implementado no sistema INSANE, no âmbito do Ambiente Teórico e Computacional para Modelos Constitutivos (PENNA, 2011), a partir do trabalho de Wolenski (2013).
Os parâmetros para o Modelo de Microplanos, acima descrito, são descritos na Tabela 1.
Tabela 1 – Parâmetros para o material concreto para as simulações. Função de dano Exponencial
𝛼𝑚𝑖𝑐 = 0,970 𝛽𝑚𝑖𝑐 = 2200,00 𝜅
0𝑚𝑖𝑐 = 0,000103
Na modelagem do aço novamente adotou-se um Modelo Elastoplástico com critério de escoamento de von Mises. Na consideração da perda de aderência a lei “Tensão de Aderência-Escorregamento” de Eligehausen et al. (1983), Hankins (1982) e Doeer (1988) foram adotadas, conforme parâmetros apresentados na Tabela 2.
Tabela 2 – Parâmetros adotados para as diferentes Leis de Escorregamentos.
Lei de Eligehausen et al. (1983)
𝑤𝑏1 = 0,500 𝑚𝑚 𝑤𝑏2 = 1,00 𝑚𝑚 𝑤𝑏3 = 5,00 𝑚𝑚 𝛼 = 0,400 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 21,00 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑓 = 6,00 𝑀𝑃𝑎 Lei de Hankins (1982) 𝑤𝑏1 = 0,500 𝑚𝑚 𝑤𝑏2 = 1,00 𝑚𝑚 𝑤𝑏3 = 5,00 𝑚𝑚 𝛼 = 0,400 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 21,00 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑓 = 6,00 𝑀𝑃𝑎 Lei de Doeer (1988) 𝛼1 = 1,025 𝛼2= 1,00 𝛼3 = 0,50 𝛼4 = 1,00 𝑓𝑐𝑡 = 21,56 𝑀𝑃𝑎 𝑤𝑏1= 0,500 𝑀𝑃𝑎
A curva Tensão de Aderência-Escorregamento do ponto de controle foi comparada com os resultados experimentais segundo Silva (2010), conforme pode ser visto na Figura 7.
Figura 7 – Resultados do Ensaio de Arrancamento realizado por Silva (2010) comparado com a simulação usando uma função de dano exponencial e deformação de Vree et al. (1995) e
diferentes leis de escorregamento.
Ao analisar a Figura 7, verifica-se uma boa concordância entre o resultado experimental e os obtidos numericamente, constatando assim a precisão do modelo implementado ao representar o fenômeno da perda de aderência para diferentes Leis de Escorregamento.
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Considerações Finais
Os resultados numéricos, obtidos a partir do uso do Modelo Constitutivo de Microplanos e do Modelo de Armadura com diferentes Leis de Escorregamento, quando comparados aos resultados experimentais fornecidos por Silva (2010), mostraram boa concordância. Verificou-se com o uso do modelo de armadura que, em regiões de maior ocorrência de dano, há picos de tensão de aderência, acompanhados de quedas bruscas de tensão, uma vez que há uma intensificação de transferência de esforço nas interfaces entre as zonas fissuradas e zonas íntegras.
Com a simulação do Ensaio de Arrancamento, seguindo a norma RILEM/CEB/FIB (1983), pode-se constatar uma boa representação do comportamento real deste ensaio por meio
do Modelo de Perda de Aderência aqui apresentado, quando simulado para diferentes Leis de Escorregamento.
Desta forma, pode-se verificar que o Modelo de Microplanos combinado com um Modelo de Armadura e diferentes Leis de Escorregamento possibilita a representação mais realista do comportamento da perda de aderência entre armadura e o concreto.
Agradecimentos
Os autores agradecem o importante suporte do Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Estruturas (PROPEEs), da FAPEMIG (Fundação de Amparo à Pesquisa de Minas Gerais - Grant PPM-00310-13) e do CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - Grant 486959/2013-9).
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