Guias de Onda e Cavidades

Faculdade de Engenharia

Guias de Onda e Cavidades

Faculdade de Engenharia

Propagação guiada

z y dieléctrico 2 dieléctrico 2 guia metálico y z dieléctrico 1 guia dieléctrico 2 1

n

n 

c i







estudo dos guias de onda

equações de Maxwell condições fronteira 0 0              H E E j H H j E





0 0 2 2 2 2       H H E E









campos harmónicos meios LHI

reflexão interna total

0 ,

0 

 _v

Faculdade de Engenharia

Guias de onda cilíndricos

x

y

z

podem estar limitados por condutor ideal

propagação segundo +

z





,





secção transversal não varia com

z

guias preenchidos com meio sem perdas

comprimento infinito









z

e

y

x

H

z

y

x

H

,

,



0

,











z

e

y

x

E

z

y

x

E

,

,



0

,



Faculdade de Engenharia

Guias de onda cilíndricos – determinação dos campos

x y z









z

e

y

x

H

z

y

x

H

,

,



0

,











z

e

y

x

E

z

y

x

E

,

,



0

,



0

0

2 2 2 2













H

H

E

E









0

0

0 2 0 2 0 2 0 2













H

h

H

E

h

E

xy xy 2 2 2 h     2 2 2 2 2 y x xy        2 eqs. vectoriais 6 eqs. escalares

0

0

0

0

0

0

0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2





































z z xy z z xy y y xy y y xy x x xy x x xy

H

h

H

E

h

E

H

h

H

E

h

E

H

h

H

E

h

E

não independentes

Faculdade de Engenharia

Guias de onda cilíndricos – componentes transversais

x y z H j E 



  H  j



E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z x y y x z x y z

H

j

y

E

x

E

H

j

E

x

E

H

j

E

y

E















































0 0 0 0 0 0 0 0 0 z x y y x z x y z

E

j

y

H

x

H

E

j

H

x

H

E

j

H

y

H













































z e y x H H  0 , 





z e y x E E  0 , 

































































































H

j

E

E

y

H

j

x

E

h

E

x

E

j

y

H

h

H

y

E

j

x

H

h

H

z z z z x z z y z z x 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0

1

1

1

1

















componentes transversais à custa das componentes longitudinais

Faculdade de Engenharia

Determinação dos campos no interior do guia

x y z









































































































x

H

j

y

E

h

E

y

H

j

x

E

h

E

x

E

j

y

H

h

H

y

E

j

x

H

h

H

z z y z z x z z y z z x 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0

1

1

1

1

















se h0 2. determinar

0

0

0 2 0 2 0 2 0 2













z z xy z z xy

H

h

H

E

h

E







2 2 2





h

1. resolver 3. obter

















z z e y x H z y x H e y x E z y x E       , , , , , , 0 0

aplicação de condições fronteira

Nota  ondas TE  ondas TEM  ondas TM 0 e 0 0 0   _z z H E 0 e 0 0 0   _z z E H 0 e 0 0 0   _z z E H

Faculdade de Engenharia

Frequência de corte

x y z







2 2 2





h

frequência de corte  1 2 2  









h







 h2  2





2

h

f

_c



1 2         f f_c















z

e

y

x

H

z

y

x

H

,

,



0

,











z

e

y

x

E

z

y

x

E

,

,



0

,

 c f f 

_

_

_

c f f 

_

_{ j}

_

modo evanescente modo em propagação

Faculdade de Engenharia

Características dos modos em propagação

x y z



f  f_c



   j 1 2         f f_c







modo em propagação: constante de fase 





_























_m c _m

f

f

,

1

2 comprimento de onda  m m c m f f











, 2 1 2             2 se f_c 0







m

constante de fase num meio infinito de parâmetros



_

,

_



Faculdade de Engenharia

Características dos modos em propagação

x y z



f  f_c



   j 1 2         f f_c







modo em propagação: velocidade de fase  2 1 _        f f_c m   velocidade de grupo     f v se f_c 0 v _f v_m

velocidade de fase num meio infinito de parâmetros



_

,

_





1 , 1 2          _m c m f v f f v v

se guia preenchido com ar, v_m c c v_f  2

1

_















f

f

v

v

c m g se f_c 0 v _g v_m   d d v_g  1 2 m g fv v v 

Faculdade de Engenharia

Impedância de onda

x

y

z

ondas TEM propagando-se segundo +

z

num meio ilimitado com







z H



E E z H      ˆ ˆ 1      

ondas propagando-se segundo +

z

num guia







z

H



Z

E

E

z

Z

H











ˆ

ˆ

1

: TE ou TEM ondas TM ou TEM ondas :







H

x

H

y



Z

z

E

y

E

x

E

y

E

x

E

Z

z

H

y

H

x

H

x y z y x x y z y x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

ˆ

ˆ

ˆ























H

_z



0

0  z E ondas TM ou TEM ondas TE ou TEM impedância de onda  x y y x

H

E

H

E

Z







Faculdade de Engenharia

Potência média propagada

x y z potência média  x y y x

H

E

H

E

Z













A med med

S

d

A

P

z

dA

A

d



ˆ



*



2

1

H

E

S

_med



Re













A x y y x med

E

H

*

E

H

*

dA

2

1

Re

P



      _        A y x med E E dA Z 2 2 1 2 1

P

Re

_

 

      _  A y x H dA H Z 2 2 2 1 Re

Faculdade de Engenharia

Energia média armazenada e velocidade de transporte de energia

x

y

z

energia média armazenada  por unidade de comprimento











A med m med e med

w

w

dA

W

'

_{, ,}



2 2 2



,

4

*

4 x y z med e

E

E

E

E

E

w

















2 2 2



,

4

*

4 x y z med m

H

H

H

H

H

w















med med en

W

v

'

P



Faculdade de Engenharia

Ondas TEM

x y z ondas TEM 

E

_z



H

_z



0









































































































x

H

j

y

E

h

E

y

H

j

x

E

h

E

x

E

j

y

H

h

H

y

E

j

x

H

h

H

z z y z z x z z y z z x 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0

1

1

1

1

















0

2



h





2

h

f

_c



m g f m m v v v j     

















1 2         f f_c    2 1 _        f f_c m   usar equações   _m 

0



Faculdade de Engenharia

Ondas TEM – impedância de onda

x y z ondas TEM:

E

_z



H

_z



0

equações de Maxwell:

0

0 0 0 0 0 0























y

E

x

E

H

j

E

H

j

E

x y y x x y









0

0 0 0 0 0 0



















y

H

x

H

E

j

H

E

j

H

x y y x x y









H j E    E j H    





j Z_TEM  x y y x

H

E

H

E

Z











j 





 _

_









 j

Faculdade de Engenharia

Ondas TM – impedância de onda

x y z ondas TM  H_z0 0 e E_z0 0



2_xy

E

_z0



h

2

E

_z0



0

y

E

h

E

x

E

h

E

x

E

h

j

H

y

E

h

j

H

z y z x z y z x































0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0









x y y x H E H E Z  





j Z_TM  ₁ 2          f f j



c 1 2         f fc   



      _        A y x med E E dA Z 2 2 1 2 1

P

Re

modos evanescentes  f  fc ZTM é imaginário

P

_med 0

f f 

modos em propagação 

_

_

2

1 f f

Faculdade de Engenharia

Ondas TE – impedância de onda

x y z ondas TE  E_z0 0 e H_z0 0 x y y x H E H E Z  

0

0 2 0 2







_xy

H

_z

h

H

_z

x

H

h

j

E

y

H

h

j

E

y

H

h

H

x

H

h

H

z y z x z y z x































0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0













j Z_TE  1 2         f f j c 

modos evanescentes  f  fc ZTE é imaginário

P

med 0 c

f f 

modos em propagação  (real e superior a )



1 2         f f_c   



      _        A y x med E E dA Z 2 2 1 2 1

P

Re





2

1

f

f

Z

_TE







_c

Faculdade de Engenharia

Impedância de onda vs frequência

x y z

1



Z

região

evanescente

c

f

f

2

1





2

1

f

f

Z

_TE







_c





2

1

f

f

Z

_TM







_c





TEM

Z

Faculdade de Engenharia

Guias de placas paralelas

guia preenchido com material sem perdas b y z x W





,





placas condutoras ideais









comprimento infinito  propagação segundo +

z

b

W 



0





x

Faculdade de Engenharia

Guias metálicos – condições fronteira

guias metálicos  limitados por condutores ideais

0

cond cond

 B



E

contínuo

tan

E

e

B

_norm

contínuo

condições fronteira

H

B





0

norm tan

 H



E

junto aos condutores

b y z x W

0





_z x

E

E

0



y

H

b

y

y



0

e



em

Faculdade de Engenharia

Guias de placas paralelas – determinação dos campos

b y z x W









































































































x

H

j

y

E

h

E

y

H

j

x

E

h

E

x

E

j

y

H

h

H

y

E

j

x

H

h

H

z z y z z x z z y z z x 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0

1

1

1

1

















(se )h0 2. determinar

0

0

0 2 0 2 0 2 0 2













z z xy z z xy

H

h

H

E

h

E







2 2 2





h

1. resolver 0    x 0 0 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2     z z z z H h dy H d E h dy E d dy dE h E dy dH h j E dy dH h H dy dE h j H z y z x z y z x 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0             ondas TE  ondas TEM  ondas TM 0 e 0 0 0   _z z H E 0 e 0 0 0   _z z E H 0 e 0 0 0   _z z E H

















z z e y x H z y x H e y x E z y x E       , , , , , , 0 0 0    x

Faculdade de Engenharia

Ondas TEM

b y z x W ondas TEM  H_z0 0 e E_z0 0 equações de Maxwell:

0

0 0 0 0 0 0























y

E

x

E

H

j

E

H

j

E

x y y x x y









0

0 0 0 0 0 0



















y

H

x

H

E

j

H

E

j

H

x y y x x y









H j E    H  j E e h0 método anterior não funciona

0





 x

0

0 0





dy

dH

dy

dE

_{x x 0} x

E

e

H

_x0 são constantes

Faculdade de Engenharia

Ondas TEM

b y z x W 0 x

E

e

H

_x0 são constantes

0

)

(

)

0

(

0 0





E

b

E

_{x x} 0 0 y x ZH E 

0

0



y

H

0 0 x y ZH E 



0 y

E





TEM

Z

constante 0 0  x E y E E0  ₀ˆ condições fronteira 0   _z x E E 0  y H em y 0 e y b impedância de onda x y y x H E H E Z   x E H0 0 ˆ



  Z E H_x y 0 0  

Faculdade de Engenharia

Ondas TM – componente longitudinal

b y z x W solução geral: 0 e 0 0 0   _z z E H ₂ 2 0

0

0 2





_z z

E

h

dy

E

d

 

y

A

 

hy

B

 

hy

E

_z0



sin



cos

 

0 0 0 _ z E 0  B , 3 , 2 , 1 ,   n b n h



 

0 sin hb  A















y

n

A

E

n

b

n

h

n z





sin

,

2

,

1

,

0 ondas TM  condições fronteira 0   _z x E E 0  y H em y 0 e y b

 

0 0 _ b E_z

 

y A

 

hy E_z0  sin

Faculdade de Engenharia

Ondas TM – componentes transversais

b y z x W          b y n A E n b n h n z   sin , 3 , 2 , 1 , 0 dy dE h E dy dH h j E dy dH h H dy dE h j H z y z x z y z x 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0                           b y n A n b E b y n A n b j H n y n x













cos cos 0 0 0  0 

Faculdade de Engenharia

Ondas TM – modo TM

_n b y z x W modo TM_n                       b y n A n b E b y n A n b j H b y n A E n y n x n z















cos cos sin 0 0 0 , 3 , 2 , 1 ,   n b n h  Nota: modo TM_npara

n

=0 é modo TEM 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Ez 0 /A n n=1 n=2 n=3

Faculdade de Engenharia

Ondas TE – componente longitudinal

b y z x W ondas TE  E_z0 0 e H_z0 0 2 0 ₀ 2 0 2   _z z _{h H} dy H d

 

y A

 

hy B

 

hy H_z0  sin  cos

nota: não existe condição fronteira para H_z0

é necessário determinar as componentes transversais para se poder aplicar as condições fronteira

condições fronteira 0   _z x E E 0  y H em y 0 e y b solução geral:

Faculdade de Engenharia

Ondas TE – componentes transversais

b y z x W

 

y A

 

hy B

 

hy H_z0  sin  cos dy dE h E dy dH h j E dy dH h H dy dE h j H z y z x z y z x 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0            0 0 

 

 





 

 



A hy B hy



h j E hy B hy A h H x y sin cos sin cos 0 0         condições fronteira 0   _z x E E 0  y H b y y 0 e  em

 

0 0

 

0 0 0   _y x H E

 

, 3 , 2 , 1 ,   n n h



0  A

 

 

 

hy B h j E hy B h H hy B H x y z sin sin cos 0 0 0     

 

0

 

0 0  H b b E_{x y}

Faculdade de Engenharia

Ondas TE – modo TE

_n b y z x W                      b y n B n b j E b y n B n b H b y n B H n x n y n z















sin sin cos 0 0 0 modo TE_n , 3 , 2 , 1 ,   n b n h



Nota:

Não existe modo TE₀

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y/b E z 0 /A n n=1 n=2 n=3 n z B H0

Faculdade de Engenharia

Guias de placas paralelas – frequência de corte

b y z x W





2

h

f

_c



0

TEM



h

,

3

,

2

,

1

,

TE TM,



n



b

n

h



 

f

_{c TEM}



0

 



b

n

f

_c

2

TE TM,



modo dominante  modo com menor frequência de corte

guias de placas paralelas  modo dominante é o modo TEM

para uma dada frequência

f

 só se propagam os modos com

f

_c



f

como , modo TEM está sempre presente

 

f



0

Faculdade de Engenharia

A componente longitudinal do campo eléctrico de uma onda TM de frequência 15 GHz que se propaga num guia preenchido com um material dieléctrico de parâmetros é dada por

Exercício





₀,4



₀



Determine a) o parâmetro característico ; b) a frequência de corte; c) a constante de propagação;

d) os fasores dos campos eléctrico e magnético;

e) o vector médio de Poynting ;

f) a impedância de onda. h



100





V/m



sin 50 z z y e E 



 formulário:

Faculdade de Engenharia

Exercício

Um guia de placas paralelas com b = 1 cm está preenchido com ar. Determine a) que modos se propagam se a frequência de operação for f = 35 GHz;

b) a frequência de operação máxima para que o guia esteja em regime monomodo.

Faculdade de Engenharia

Exercício

Para o modo TEM num guia de placas paralelas, determine

formulário

a) as expressões para as densidades superficiais de carga e de corrente nas placas;

Faculdade de Engenharia

Resolução de exercício – densidade de carga nas placas

b y z x W

x

E

H

y

E

E

ˆ

ˆ

0 0 0 0













 j _H E _{e x} y e E E z j z j ˆ ˆ 0 0  



    



1 2



ˆ D D a_n s   



1 2 n aˆ 0 2  D y e E D₁ 



₀ jzˆ

densidade de carga nas placas:

placa superior: y aˆ_n ˆ interior do guia:





j z s y b E e 





  ₀  0 2  D y e E D 



jzˆ placa inferior: y aˆ _n ˆ





j z s y E e 





0  ₀  1 2 n aˆ

Faculdade de Engenharia

Resolução de exercício – densidade de corrente nas placas

b y z x W x e E H y e E E z j z j ˆ ˆ 0 0  



     1 2 n aˆ

densidade de corrente nas placas:

placa superior: y aˆ_n ˆ interior do guia: placa inferior: y aˆ _n ˆ 1 2 n aˆ



1 2



ˆ H H a J_s  _n  0 2  H x e E H 0 j zˆ 1 



  



y b



E e z J_s 0 jzˆ



    0 2  H x e E H 0 j zˆ 1 



  



y



E e z J_s 0 0 jzˆ



  

Faculdade de Engenharia

Resolução de exercício – tensão e corrente nas placas

b y

z

x

W

tensão entre as placas: bE₀ejz











2 1 1 2 P P

l

d

E

V

V

corrente na placa superior:



  A s d J I z j e E W 



   0 x e E H y e E E z j z j ˆ ˆ 0 0         interior do guia:



y b



E e z J_s 0 jzˆ



    z j y E e E  ₀  

 



_

b ydy E z V 0 corrente  tensão 

 



_

 W s dxz J z I ˆ

Faculdade de Engenharia

Nota – equações das linha de transmissão

b y z x W

 

j z e bE z V  ₀  

 

j z e E W z I 



   0 j z z j e E W j dz dI e bE j dz dV  







    0 0          V b W j dz dI I W b j dz dV









    _W



H/m



b L 



F/m



b W C  j CV dz dI I L j dz dV





    0 0 2 2 2 2 2 2     LCI dz I d LCV dz V d





eqs. para

V

e

I

numa linha de transmissão sem perdas

Faculdade de Engenharia

Guias rectangulares

guia preenchido com material sem perdas





,





placas condutoras ideais









comprimento infinito  propagação segundo +

z

b

y

z

x

Faculdade de Engenharia

Guias rectangulares – condições fronteira

0

cond cond

 B



E

contínuo

tan

E

e

B

_norm

contínuo

condições fronteira

H

B





0

norm tan

 H



E

junto aos condutores

b y z x a a x x H E E b y y H E E x z y y z x           e 0 em 0 e 0 em 0 0 0 0 0 0 0

Faculdade de Engenharia

Guias rectangulares – determinação dos campos









































































































x

H

j

y

E

h

E

y

H

j

x

E

h

E

x

E

j

y

H

h

H

y

E

j

x

H

h

H

z z y z z x z z y z z x 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0

1

1

1

1

















(se )h0 2. determinar

0

0

0 2 0 2 0 2 0 2













z z xy z z xy

H

h

H

E

h

E







2 2 2





h

1. resolver

















z z e y x H z y x H e y x E z y x E       , , , , , , 0 0 b y z x a

Faculdade de Engenharia

Ondas TEM

b y z x a 0 0 0   _z z H E E e H estão no plano xy

















S P

S

d

t

E

I

l

d

H

_int



0    H H

linhas de são percursos fechados na secção transversal do guia

0

cond  H

linhas de são fechadasH

corrente no interior do guia superfície limitada por P

0

int



I

fluxo de através de S é nuloE

não existem ondas TEM em guias rectangulares

0







P

l

d

H

_H

_

₀

E



0

Faculdade de Engenharia

Ondas TM e TE – determinação das componentes longitudinais

b y z x a

0

0

0 2 0 2 0 2 0 2













z z xy z z xy

H

h

H

E

h

E

resolver 0 2 2   _xy



h





x,y



   2 2 2 2 2 y x xy        0 2 2 2 2 2       







h y x



x

,

y





X

   

x

Y

y



método da separação das variáveis 

0 2 2 2 2 2    h XY dy Y d X dx X d Y 0 1 1 ₂ 2 2 2 2    h dy Y d Y dx X d X

Faculdade de Engenharia

Método da separação das variáveis

b y z x a

 

 

 

 

0

1

1

2 2 2 2 2







h

dy

y

Y

d

y

Y

dx

x

X

d

x

X

função de

x

função de

y

equação anterior é satisfeita apenas quando

 

 

constante

1

2 2



dx

x

X

d

x

X

 

 

constante

1

2 2



dy

y

Y

d

y

Y

 

 

2 2 2

1

x

k

dx

x

X

d

x

X





 

 

2 2 2

1

y

k

dy

y

Y

d

y

Y





0

2 2 2









k

_x

k

_y

h

h

2



k

x2



k

2y

Faculdade de Engenharia

Método da separação das variáveis

b y z x a

 

 

2 2 2 1 x k dx x X d x X 

 

 

2 2 2 1 y k dy y Y d y Y  2 2 2 y x k k h  

 

 

2 2 2 1 x k dx x X d x X 

 

 

2 2 2 1 y k dy y Y d y Y 

 

 

0 2 2 2  k X x dx x X d x

 

_{ }

0 2 2 2  k Y y dy y Y d y

 

x A



k x



B



k x



X  sin _x  cos _x

 

y C

 

k y D



k y



Y  sin _y  cos _y solução geral de é:



x,y



 X

   

x Y y  0 2 2 2 2 2       







h y x



x

,

y







A

sin



k

_x

x





B

cos



k

_x

x







C

sin

 

k

_y

y



D

cos

 

k

_y

y





Faculdade de Engenharia

Ondas TM – componente longitudinal

b y z x a ondas TM  H_z0 0 _xy2 E_z0 h2E_z0 0











A

k

x

B

k

x





C



k

y



D



k

y





E

_z0



sin

_x



cos

_x

sin

_y



cos

_y

 

x X Y

 

y condições fronteira b y y a x x E_z      e 0 e 0 em 0 0



0,



0 0  y E_z



,



0 0  b x E_z



,



0 0  y a E_z 0  B

 

x A



k x



X  sin _x inteiro , m a m k_x 



, n inteiro b n k_y 





,0



0 0  x E_z 0  D

 

y C

 

k y Y  sin _y              b y n a x m E E_z0 _0,mnsin



sin



Faculdade de Engenharia

Ondas TM – componentes transversais

b y z x a              b y n a x m E E_z0 _0,mnsin



sin



y

E

h

E

x

E

h

E

x

E

h

j

H

y

E

h

j

H

z y z x z y z x































0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0









0 0, 2 0 0, 2 0 0, 2 0 0, 2

sin

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

x mn y mn x mn y mn

j

n

m x

n y

H

E

h

b

a

b

j

m

m x

n y

H

E

h

a

a

b

m

m x

n y

E

E

h

a

a

b

n

m x

n y

E

E

h

b

a

b

 















_

_

_

_

























 

_

_

_

_

























 

_

_

_

_

























 

_

_

_

_









2 2    m



n



2 2 2 k k h  

estas componentes satisfazem as condições fronteira para as componentes transversais

a x x H E b y y H E x y y x         e 0 em 0 e 0 em 0 0 0 0 0 nota

Faculdade de Engenharia

Modo TM

_mn b y z x a              b y n a x m E E_z0 _0,mnsin



sin



0 0, 2 0 0, 2 0 0, 2 0 0, 2

sin

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

x mn y mn x mn y mn

j

n

m x

n y

H

E

h

b

a

b

j

m

m x

n y

H

E

h

a

a

b

m

m x

n y

E

E

h

a

a

b

n

m x

n y

E

E

h

b

a

b

 















_

_

_

_

























 

_

_

_

_

























 

_

_

_

_

























 

_

_

_

_









2 2 2               b n a m h   notas 2. 0  h _{m0 ou n0} 1. 0 0   n m ou E  H 0 1 1   n m e 0   n m

Faculdade de Engenharia

Modo TE

_mn b y z x a 2 2 2               b n a m h





notas 2. 0  h _{m0 ou n0} 1. 0 0   n m ou 0 0,

cos

cos

z mn

m x

n y

H

H

a

b















_

_

_

_









0 0, 2 0 0, 2 0 0, 2 0 0, 2

sin

cos

cos

sin

cos

sin

sin

cos

x mn y mn x mn y mn

m

m x

n y

H

H

h

a

a

b

n

m x

n y

H

H

h

b

a

b

j

n

m x

n y

E

H

h

b

a

b

j

m

m x

n y

E

H

h

a

a

b



















_

_

_

_



























_

_

_

_









 















_

_

_

_

























 

_

_

_

_









é possível ter 0   n m

Faculdade de Engenharia

Guias rectangulares – frequência de corte





2

h

f

_c



modo dominante nos guias rectangulares é o modo TE₁₀ 2 2 TE TM,               b n a m h





2 2

2

1





























b

n

a

m

f

_c



b y z x a

modos TM_mn m1 e n1 modo TM_mndominante é o modo TM₁₁

modos TE_mn  m  0 ou n  0 se modo TE

a 

b

_mn dominante é o modo TE₁₀

 

 

11 10 c TM TE c

f

f



Faculdade de Engenharia

Guias circulares

guia preenchido com material sem perdas





,





superfície condutora ideal









comprimento infinito  propagação segundo +

z

z

