Disciplina: Matemática Professora: Samara Gomes Bernardes Rosario Turmas: AVANÇADO I – A, B e C
MATERIAL DE APOIO PARA ATIVIDADE PROGRAMADA COMPLEMENTAR DE RECUPERAÇÃO - APC 8/ REC
Porcentagem com regra de três
Algumas situações envolvendo porcentagem podem ser resolvidas por meio de uma regra de três simples. Entendemos por porcentagem uma razão centesimal (fração com denominador igual a 100) que é denominada de taxa percentual e é representada pelo símbolo % (por cento). Por exemplo, se temos 45%, podemos representá-lo das seguintes formas
45% = 45 100 ou
9 20 ou 0,45
Sempre que utilizarmos a regra de três no intuito de determinar porcentagens, devemos relacionar a parte do todo com o valor de 100%.
Obs.: Nas situações envolvendo uma porcentagem, realizamos a multiplicação cruzada por ser uma grandeza diretamente proporcional.
Exemplos
1º) Determine o valor de 95% de R$ 105,00
100x = 95·105 100x = 9975
x = 9975 100 x = 99,75 reais Portanto, 95% de R$ 105,00 é igual a R$ 99,75.
2º) Em uma sala de 40 alunos, foi realizada uma pesquisa, a qual apontou que 30 alunos gostam de praticar esportes. Qual é a porcentagem de alunos que gostam de esportes?
40x = 100 * 30 40x = 3000
x = 3000 40 x = 75%
Temos que 75% dos alunos dessa classe gostam de esportes.
3º) Pedro acertou 21 questões de uma prova, que correspondem a 70% do total de questões. Quantas questões tinha a prova?
70x = 21*100 70x = 2100
x = 2100 70 x = 30 A prova tinha 30 questões.
4º) Em uma promoção, o preço de um objeto foi reduzido de R$ 76,00 para R$
57,00. Calcule o valor do desconto em porcentagem.
Devemos primeiramente determinar o valor real do desconto: 76 – 57 = 19. Ao compararmos o valor do desconto com o valor sem o desconto, obtemos o valor percentual.
76x = 100 * 19 76x = 1900
x = 1900 76 x = 25%
O desconto dado foi de 25%.
5º) Uma conta de restaurante, incluindo os 10% de serviço, ficou em R$ 143,00.
Qual o valor da conta sem a taxa de serviço?
110x = 143 * 100 110x = 14300
x = 14300 110 x = 130 A conta sem o valor do serviço é de R$ 130,00.
6º) Um produto que custava R$ 80,00 foi reajustado em 25%. Determine o novo valor do produto.
100x = 125 * 80 100x = 10000
x = 100 O preço do produto após o reajuste é de R$ 100,00.
7º) O preço de um computador é de R$ 2.200,00. Qual será o preço do computador caso ele sofra um reajuste de 18%?
100x = 2200 * 118 100x = 259600 x = 259600 100 x = 2 596
Caso aconteça o reajuste de 18%, o computador passará a custar R$ 2 596,00.
FUNÇÃO DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA
A função do 2º grau (também chamada de função quadrática) traz o expoente 2 em sua incógnita, sendo escrita por meio da função f(x) = ax² + bx + c.
Para que essa função seja válida, é necessário que a, b e c pertençam ao conjunto dos números reais e a deve ser diferente de zero.
Definição:
A equação do 2º grau é determinada pelo expoente 2 que estiver na incógnita. Por exemplo:
x² + 5x + 8 = 0 (equação do 2º grau) x² + 9 = 0 (equação do 2º grau)
A forma de encontrar o valor da incógnita x na equação de 2º grau é mediante a fórmula de Bhaskara.
A fórmula de Bhaskara é utilizada para resolver a função do 2º grau.
Para saber as aplicações práticas de equação do 2°grau no dia a dia acesse o link:
https://www.youtube.com/watch?v=iMTcN--jfHM
Bhaskara foi um matemático (professor, astrólogo, astrônomo) muito dedicado, depois de vários estudos ele nos trouxe, de forma bem resumida, a solução geral da equação do 2º grau, que se resume basicamente em:
x = – b ± √Δ 2a Δ = b2 – 4·a·c
Mas de onde vieram as letras a, b e c que estão descritas na fórmula? É só analisar a equação em si:
ax² + bx + c = 0
Assim, a representa qualquer número que esteja multiplicando x², b é o número que multiplica a incógnita x e c é o número sozinho.
A equação do 2º grau é classificada como completa quando todos os coeficientes são diferentes de 0, ou seja, a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0.
A equação do 2º grau é classificada como incompleta quando o valor dos coeficientes b ou c são iguais a 0, isto é, b = 0 ou c = 0.
Exemplos 1: Determine o valor de a, b e c.
a) f(x) = 3 x² - 4x + 1, onde a = 3, b = -4 e c = 1;
b) f(x) = x² - 1, onde a = 1, b = 0 e c = -1; incompleta porque b=0 c) f(x) = 2 x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5;
d) f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0; incompleta porque c=0 e) f(x) = -4 x², onde a = -4, b = 0 e c = 0; incompleta porque b=0 e c=0
Exemplo 2: Dado a seguinte equação do segundo grau (x² + 2x – 4 = 0), identifique o valor de a, b e c, e as raízes da função:
Resposta:
Passo 1: Identificar a, b e c:
a = 1 b = +2 c = –4
Passo 2: Achar o valor de Δ na fórmula:
Δ= b² – 4ac Δ= 2² – 4.2.(–4)
Δ = 4 – 8.(–4) Δ = 4 + 32
Δ = 36
Passo 3: Encontrar os valores de x (as raízes da função):
x = – b ± √Δ 2a x = – (+2) ± √36
2.1 x = – 2 ± 6
2 x’= – 2 + 6
2 x’= 4 2 x’= 2
x”= – 2 –6 2 x’’= – 8
2 x”= – 4
CONCAVIDADE
Ao construir o gráfico de uma função polinomial do 2º grau, 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, notaremos sempre que:
Se 𝑎 > 0 parábola tem a concavidade voltada para cima;
Se 𝑎 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;
Exemplo 3: Determine a concavidade das seguintes parábolas.
a) f(x) = 3 x² - 4x + 1
Como a = 3 e 3 > o, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
b) f(x) = x² - 1
Como a= 1 e 1 > o, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
c) f(x) = 2 x² + 3x + 5
Como a = 2 e 2 > o, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
d) f(x) = - x² + 8x
Como a = -1 e -1< o, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
e) f(x) = -4 x²
Como a= -4 e -4 < o, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
RAÍZES OU ZEROS DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA.
Raízes de f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x que satisfazem a equação de 2.º grau ax2 + bx + c = 0.
As raízes de f(x) = ax2 + bx + c podem ser calculadas pela conhecida fórmula de Báskara:
O número de raízes reais da função do 2.º grau é determinado pelo discriminante ∆.
Há três casos a considerar:
1.º) ∆ > 0→ a função possui duas raízes reais e distintas, o gráfico intercepta x em dois pontos distintos:
2.º) ∆ = 0 →a função possui duas raízes reais e iguais. Nesse caso, também dizemos que a função possui uma raiz dupla, o gráfico tangencia o eixo x:
3.º) ∆ < 0 → a função não possui raízes reais, o gráfico não intercepta o eixo x:
VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA.
É o ponto de maior ou menor valor que a função y = 𝑎𝑥2 + bx + c pode atingir e coincide com a intersecção do eixo de simetria com o gráfico:
Sendo xv e yv as coordenadas do vértice, temos:
Exemplo:
1) Dada a função , determine:
a) Os coeficientes de a, b e c:
b) Qual a concavidade da parábola.
c) O número de raízes que intercepta o eixo x.
d) Qual as raízes da parábola.
e) O vértice da parábola.
f) O gráfico da parábola.
Resposta:
a) Os coeficientes de a, b e c:
O coeficiente a=2
O coeficiente b=2
O coeficiente c=-4
b) Qual a concavidade da parábola.
Como a= 2 e 2 > 0 , a concavidade da parábola está voltada para cima, Com estas informações já podemos ter uma ideia do gráfico da função:
c) O número de raízes que intercepta o eixo x.
O número de raízes reais da função do 2.º grau é determinado pelo ∆.
Portanto vamos achar o valor de ∆.
∆= 𝑏2− 4. 𝑎. 𝑐
Sabemos que a=2, b=2 e c=-4, agora só substituir na formula acima.
∆= 22− 4.2. (−4)
∆= 4 − 8. (−4)
∆= 4 + 32
∆= 36
Como ∆= 36 𝑒 36 > 0→ a função possui duas raízes reais e distintas, o gráfico intercepta x em dois pontos distintos:
d) Qual as raízes da parábola.
Utilizando a formula de bhaskara descobrimos qual é as duas raízes dessa parábola.
X=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
X=−2±√36
2.2
X=−2±64
X’= −2+6
4 = 4
4 = 1
X’’= −2−6
4 = −8
4 = -2
Portanto as raízes que interceptam o eixo x é 1 e -2.
e) O vértice da parábola.
Como tem-se uma parábola voltada para cima, o vértice desta uma função do 2 grau é um ponto de mínimo. Este ponto é dado por:
Xv = - 2.𝑎𝑏 = - 2.22 = - 24 = - 14 = -0,5
Yv= - ∆
4.𝑎 = - 36
4.2 = - 36
8 = - 9
2 = - 4,5
f) O gráfico da parábola.