DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA INFORMÁTICA DA FCTUC
2003-2004 COMPUTAÇÃO ADAPTATIVA Exame de Recurso 12 Fev 2004 Duração: 2 horas
(Uma resolução)
Nome: __________________________________________ Nº: ________________
Leia atentamente o enunciado das questões. Não responda ao acaso. Se não tiver um grau elevado de convicção da sua resposta, deixe em branco. As respostas erradas, quando de escolha SIM ou NÃO têm uma cotação negativa.
1. Pretende-se um neurónio que para duas entradas da figura dê a saída da figura.
Quais das seguintes configurações permitem resolver o problema:
Neurónio
1,4-1 2 -0,3
Sim:___ Não: _x__
a) Um neurónio hardlim com polarização unitária
Sim:_x__ Não: ___
b) Um neurónio purelin com polarização 1,4
Justifique: __basta encontrar um conjunto de pesos wi tal que w1x(-1) + w2x2+w3x(- 0,3)+1,4=1,4; há infinitas soluções (ex.: 1; 0,5; 0).
Sim:___ Não: _x__
c) Um neurónio tansig com polarização igual a -0,4
Justifique: __a tansig tem saídas em [-1 1] e por isso nunca pode ter uma saída igual a 1,4.
d) Um neurónio RBF gaussiano
Sim:___ Não: _x__
Justifique: __a gaussiana tem saídas em [0 1] e por isso nunca pode ter uma saída igual a 1,4.
2. Considere o seguinte perceptrão. Qual (ou quais) dos seguintes valores das polarizações permitem obter a classificação indicada na figura.
a) [b1 b2]=[1 1]
b) [b1 b2]=[2 0]
Justifique: _ -1x(-1)+1x(-2)+b1=0 b1<1
c) [b1 b2]=[0,5 1]
Justifique : __-1x(-1)+1x(-2)+0,5=0-0,5, hardlim(-0,5)=0 -1x1+1x2+1=2 , hardlim(2)=1 d) b1 com qualquer valor em [-10, 0]
e b2 com qualquer valor em [2, 8]
Resolução: -1x(-1)+1x(-2)+b1<0 b1<1 OK -1x1+1x2+b2>0 b2>-1 OK
3. Considere o seguinte problema de classificação: tem 4 objectos-protótipos classificados segundo duas características às quais foram atribuídas os seguintes valores:
O1=(2,1) O2=(0,1) O3=(0,-2) O4=(-1,2).
Projecte um neurónio, ou uma rede neuronal, para classificar os 4 objectos em duas classes.
Use para isso a representação gráfica do problema na folha anexa:
(i) trace a ou as linhas de fronteira -1
-2 2 1
b1
Entrada Saída
N1
N2
b2-1 0
1 1
Sim:___ Não: _x__
Sim:___ Não: _x__
Sim:_x__ Não: ___
Sim:_x__ Não: ___
(ii) trace os vectores de pesos e polarizações e defina a codificação da classificação
(iii) calcule todos os pesos necessários (iv) desenhe a rede resultante.
Use o papel quadriculado anexo.
4. Sobre as regras de aprendizagem de uma Rede Neuronal pode afirmar-se:
a) Se a característica da matriz dos padrões de entrada for igual ao número de padrões de entrada, no caso de uma rede com uma só camada, então pode-se encontrar uma solução exacta para o problema de classificação quando o número de características é superior ao número de padrões de treino.
Sim:_x__ Não: ___
Justifique a): __de facto nesse caso o sistema de equações resultante (mais incógnitas do que equações) tem uma solução exacta desde que caract(P)=Q que se pode encontrar pelo método da pseudo-inversa.
Sim:___ Não: _x__
b) Introduzindo um coeficiente de aprendizagem na regra do perceptrão obtém-se a regra de Hebb.
c) Se aplicarmos o método da retropropagação a uma RN com uma só camada linear (purelin) obtém-se a regra de Widrow-Hoff.
Justifique c) __ de facto, escrevendo a fórmula da retropropagação para uma camada obtém-se a regra de Widrow Hoff, tendo em conta que a derivada de F é um, sm=-2e, vem
1 1
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) (-2.1.( ))( )
( ) +2 ( )
M T M T M M T M T M T
N N N N N
T T
N N N
t a e
α α
α
+ +
+ +
+1
= − = − −
=
X X s z X z
X z
=
Sim:_x__ Não: ___
Sim:_x__ Não: ___
d) No caso das RBF, o treino é mais eficiente se for decomposto em duas etapas independentes.
5. Quais das redes neuronais descritas pelas seguintes equações de diferenças são estáveis:
2
( 1) 0,5 ( ) 3 ( )
( ) 3
( ) 0,5 ( ) 3 ( )
( ) 0,5
0,5 ( 2) 2 ( 1) ( ) 3 ( 1) ( )
( ) 2 (
y k y k u k
qy k y k u k y k
u k q q
y k y k y k u k u k
q y k qy k + = − +
+ = ⇔ =
+
= − + = − + − + + −
+ a)
Justifique:
pólo em na zona de estabilidade b)
Justifique:
2 2
) ( ) 3 ( ) ( )
( ) 3 1 3 1
( ) 2 1 ( 1)
y k qu k u k
y k q q
u k q q q
+ = − ⇔
− −
= =
+ + +
pólo duplo em q=-1,
por isso instável (com uma entrada limitada a saída pode ser ilimitada).
c)
2
1 2
1
( ) 0,6 ( 1) 5 ( 2)
( ) 5
( ) 0,6 ( ) 5 ( )
( ) 1 0,6 0,6
y k y k u k
y k q
y k q y k q u k
u k q
q
− − −
−
= − + −
− = ⇔ =
−
= Justifique:
pólo em na zona de estabilidade.
Sim:_x__ Não: ___
Sim:___ Não: _x__
Sim:_x__ Não: ___
6. Sejam os conjuntos
~ ~
1 0,8 0, 3 0, 4 0, 5 1
2 4 6
4 6 8
A=⎧⎨ + + ⎫⎬ B=⎧⎨ + +
⎩ ⎭ ⎩
⎫⎬
⎭ definidos no Universo de discurso U={0, 2, 4, 6, 8}
Calcule os conjuntos difusos a)
~ ~
A A
−
∪
b)
__
~ ~
( A ∪ B )
~ ~ ~ ~
~ ~
0 1 0,8 0, 3 0 1 0 0, 2 0, 7 1 0 0 0, 4 0,5 1 1 1 0, 6 0, 5 0
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 2 3 4 8
(0;1) (0; 0) (0,8; 0, 2) (0, 7; 0, 3) (0;1) 1 1 0,8 0, 7
0 2 4 6 8 0 2 4 6
A A B B
máx máx máx máx máx
A A
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧
=⎨ + + + + ⎬ =⎨ + + + + ⎬ =⎨ + + + + ⎬ =⎨ + + + +
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩
⎧ ⎫
∪ =⎨ + + + + ⎬= + + + +
⎩ ⎭
⎫⎬
⎭
~ ~ ~ ~
1 8
(1; 0) (0; 0) (0, 2; 0, 4) (0, 7; 0, 5) (1;1) 0 0 0 , 2
0, 5 1
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8
mín mín mín mín mín
A B A B
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
⎧ ⎫ ⎧
∪ = ∩ =⎨ + + + + ⎬ ⎨= + + + +
⎩ ⎭ ⎩
⎫⎬
⎭
)
c) comente o resultado de a) c) Em a)
~ ~
(
A A E Universo
−
∪ ≠
. Trata-se de uma diferença fundamental entre os conjuntos difusos e os conjuntos clássicos (cuja função característica á binária). Nos clássicos a união de um conjunto com o seu complemento é o universo.7. Considere os conjuntos difusos definidos por
~
0,1 0,9 0,3
= 1 2 4
A ⎧ ⎨ + + ⎫ ⎬
⎩ ⎭
~
0, 6 1 0, 5
= 10 11 12 B ⎧ ⎨ + + ⎫ ⎬
⎩ ⎭
Sendo x e y números reais definidos respectivamente pelos conjuntos difusos A e B, calcule o conjunto difuso C representando o número real definido por
z = 2x + y
Sug.: use o Princípio da Extensão, se necessário.
~ ~
~
0,1 0, 9 0, 3 0, 6 1 0, 5
= = z=2x+y
1 2 4 10 11 12
(0,1; 0, 6) (0,1;1) (0,1; 0, 5) (0, 9; 0, 6) (0, 9;1) (0, 9; 0, 5) (0, 3; 0, 6) (0, 3;
2.1 10 2.1 11 2.1 12 2.2 10 2.2 11 2.2 12 4.2 10
A B
mín mín mín mín mín mín mín mín
C
⎧ + + ⎫ ⎧ + + ⎫
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
= + + + + + + +
+ + + + + + +
1) (0, 3; 0, 5)
4.2 11 4.2 12
0,1 0,1 0,1 0, 6 0, 9 0, 5 0, 3 0, 3 0, 3
12 13 14 14 15 16 18 19 20
0,1 0,1 (0,1; 0, 6) 0, 9 0, 5 0, 3 0, 3 0, 3
12 13 14 15 16 18 19 20
0,1 0,1 0, 6 0, 9 0, 5 0, 3 0
12 13 14 15 16 18
mín
máx
⎧ + ⎫
⎨ + + ⎬
⎩ ⎭
⎧ ⎫
=⎨ + + + + + + + + ⎬
⎩ ⎭
⎧ ⎫
=⎨ + + + + + + + ⎬
⎩ ⎭
= + + + + + + , 3 0, 3
19 20
⎧ + ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
Nota: se interpretarmos 2x como x+x (o que acontece nos conjuntos crespos), então
~ ~
0,1 0, 9 0, 3 0, 6 1 0, 5
= = z=2x+y
1 2 4 10 11 12
0,1 0, 9 0, 3 0,1 0, 9 0, 3
2 1 2 4 1 2 4
(0,1; 0,1) (0,1; 0, 9) (0,1; 0, 3) (0, 9; 0,1) (0, 9; 0, 9) (0, 9; 0,
1 1 1 2 1 4 2 1 2 2
A B
x
mín mín mín mín min mín
⎧ + + ⎫ ⎧ + + ⎫
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
=⎨ + + ⎬ ⎨+ + + ⎬=
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
= + + + + +
+ + + + +
3) (0, 3; 0,1) (0, 3; 0, 9) (0, 3; 0, 3)
2 4 4 1 4 2 4 4
0,1 0,1 0,1 0,1 0, 9 0, 3 0,1 0, 3 0, 3 0,1 (0,1; 0.1) (0,1; 0,1) 0, 9 (0, 3; 0, 3) 0, 3
2 3 5 3 4 6 5 6 8 2 3 5 4 6 8
0,1 0,1 0, 9 0,1
2 3 4
mín mín mín
máx máx máx
⎧ + + + ⎫
⎨ + + + + ⎬
⎩ ⎭
⎧ ⎫ ⎧
=⎨ + + + + + + + + ⎬ ⎨= + + + + +
⎩ ⎭ ⎩
= + + +
⎫⎬
⎭ 0, 3 0, 3
5 6 8
⎧ + + ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
Agora soma-se este conjunto com B, obtendo-se o resultado pretendido.
~
0,1 0,1 0, 9 0,1 0, 3 0, 3 0, 6 1 0, 5
2 3 4 5 6 8 10 11 12
(0,1; 0, 6) (0,1;1) (0,1; 0, 5) (0,1; 0, 6) (0,1;1) (0,1; 0, 5)
...
2 10 2 11 2 12 3 10 3 11 3 12
C
m ín m ín m ín m ín m ín m ín
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
=⎨ + + + + + ⎬ ⎨+ + + ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎧ ⎫
=⎨⎩ + + + + + + + + + + + + ⎬⎭
8. Sejam os conjuntos difusos e a relação de implicação
~
~
A e B
~
R
~ ~
~ ~ ~
0, 3 1 0, 5 1 0, 6 0, 2
= =
1 0 1
: A
A B
Vermelho Amarelo Azul
R B
⎧ + + ⎫ ⎧ + +
⎨− ⎬ ⎨
⎩ ⎭ ⎩
⇒
⎫⎬
⎭
2
2
5
Qual das seguintes matrizes é a matriz relacional da implicação, usando a implicação de Mamdani:
a): _x__ b): ___ c): ___ d) nenhuma: __
1 0, 3 0, 3 0, 2
0 1 0, 6 0,
1 0, 5 0, 5 0, 2
Verm Amar Azul
−
1 0, 3 0, 3 0, 2
0 1 1 1
1 0, 5 0, 5 0, 2 Verm Amar Azul
− 1 0, 3 0, 3 0, 2
0 1 0, 6 0,
1 1 0, 6 0,
Verm Amar Azul
−
Justifique:
~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
~
Pela implicação de Mamdani ( , ) ( ( ), ( )) aplicando par a par
( 1, ) ( ( 1), ( )) (0, 3;1) 0, 3
(0, ) ( (0), ( )) (1;1) 1
(1, )
R A B
R A B
R A B
R
x y mín x y
Vermelho mín Vermelho mín Vermelho mín Vermelho mín Vermelho
µ µ µ
µ µ µ
µ µ µ
µ
=
− = − =
= =
~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
( (1), ( )) (0, 5;1) 0, 5
(1, ) ( (1), ( )) (0, 5;1) 0, 5
(0, ) ( (0), ( )) (1; 0, 6) 0, 6
e o mesmo para os restantes, obtendo-se a matriz
A B
R A B
R A B
mín Vermelho mín
Vermelho mín Vermelho mín Amarelo mín Amarelo mín
µ µ
µ µ µ
µ µ µ
= =
= =
= =
relacional de a).
=
=
=
=
=
b) Para um novo antecedente
´ ´
~ ~
0, 3 1 0, 5
= calcule, usando o , o novo consequente
1 0 1
A ⎧⎨⎩− + + ⎫⎬⎭ modus ponens B
pela composição max-prod.
[ ]
´
~ ~
´
~ ~
1 0,3 0,3 0, 2
0,3 1 0,5
= R = pela composição
0 1 0, 6 0, 2
1 0 1
1 0,5 0,5 0, 2
0,3 0,3 0, 2
' R 0,3 1 0, 2 1 0, 6 0, 2 (0,3 0,3;1 1;0, 2 0,5) (0,3 0,3;1 0, 6;0, 2 0, 0,5 0,5 0, 2
Verm Amar Azul
A max - prod
B A máx máx
⎧ + + ⎫ −
⎨− ⎬
⎩ ⎭
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥= × × × × × ×
⎢ ⎥
⎣ ⎦
D D [ ]
[ ]
5) (0,3 0, 2;1 0, 2;0, 2 0, 2)
1 0, 6 0, 2
1 0,6 0, 2
donde '
máx
B Vermelho Amarelo Azul
× × ×
=
⎧ ⎫
=⎨ + + ⎬
⎩ ⎭
(nota: o conjunto A’ dado é igual a A, por lapso; será que por isso B´ é sempre igual a B, para qualquer caso análogo ? )
9.Um sistema tem três entradas e uma saída, com as seguintes gamas:
Entrada 1: [-10 10] Entrada 2: [0 5] Entrada 3: [-20 0] Saída: [-1 1]
Defina no intervalo normalizado [-1 1] dois conjuntos difusos triangulares, convenientes para uma cobertura adequada, para cada uma das variáveis (de entrada e de saída). Etiquete esses conjuntos difusos de Negativo (N) e Positivo (P)
Considere as regras tipo TSK:
Regra 1: Se Entrada 1 é Negativa e Entrada 2 é Positiva e Entrada 3 é Positiva então a Saída é -0,5 Regra 2: Se Entrada 1 é Positiva e Entrada 2 é Negativa e Entrada 3 é Positiva então a Saída é 0,5 Regra 3: Se Entrada 1 é Positiva e Entrada 2 é Negativa e Entrada 3 é Negativa então a Saída é 0
Sejam agora as entradas reais
Entrada 1=-5 Entrada 2= 4. Entrada 3= -10.
Calcule a saída correspondente, usando o mínimo para a conjunção lógica.Use papel quadriculado fornecido.
10. Considere a arquitectura ANFIS neuro-difusa. Desenha e rede necessária para implementar o equivalente do sistema difuso do problema 9. Anote na figura os cálculos que a rede ANFIS vai fazendo.
Compare com o que fez em 9.
