V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p,, q, r,..., p1,...,

(1)

RACIOCÍNIO LÓGICO RACIOCÍNIO LÓGICO

1 Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições;

valores lógicos das proposições; sentenças abertas;

número de linhas da tabela verdade; conectivos; pro- número de linhas da tabela verdade; conectivos; pro- posições simples; proposições compostas.

posições simples; proposições compostas.

2 Tautologia.

3 Operação com conjuntos.

4 Cálculos com porcentagens.

Conceito de raciocínio lógico Conceito de raciocínio lógico Ra

Raciocínio Lógiciocínio Lógi coco

Ao procurarmos a solução de um problema quando dis- Ao procurarmos a solução de um problema quando dis- pomos de dados como um ponto de partida e temos um pomos de dados como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não esse objetivo temos um problema. Se soubéssemos não haveria problema.

haveria problema.

É necessário, portanto, que comece por explorar as pos- É necessário, portanto, que comece por explorar as pos- sibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num sibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se con- caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se con- formem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se formem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e

ajustam a estrutura total da questão e organizar-se.organizar-se.

Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se melhor caminho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver problemas difíceis.

trata de resolver problemas difíceis.

Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando.

estivemos raciocinando.

Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito ló- Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito ló- gico.

gico.

Nova teoria científica Nova teoria científica

A ciência é bàsicamente a combinação do raciocínio lógi- A ciência é bàsicamente a combinação do raciocínio lógi- co bom com o conhecimento prático bom de fenômenos co bom com o conhecimento prático bom de fenômenos naturais reais. Todos os seres humanos fazem algum racio- naturais reais. Todos os seres humanos fazem algum racio- cínio lógico e têm algum conhecimento prático de alguns cínio lógico e têm algum conhecimento prático de alguns fenômenos naturais reais, mas na maior parte têm que com- fenômenos naturais reais, mas na maior parte têm que com- binar

binar ciência ciência com com sobrevivência. sobrevivência. Alguns Alguns povos povos puderampuderam devotar muito de seu tempo ao raciocínio e/ou a ganhar o devotar muito de seu tempo ao raciocínio e/ou a ganhar o conhecimento melhor da natureza e com isso nos legaram conhecimento melhor da natureza e com isso nos legaram contribuições pequenas ou grandes ao desenvolvimento da contribuições pequenas ou grandes ao desenvolvimento da ciência.

ciência. http://wwwracimate.blogspot.com.br/ http://wwwracimate.blogspot.com.br/

Em lógica, pode-se distinguir três tipos de

Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio ló-raciocínio ló- gico

gico: dedução, indução e abdução. Dada uma: dedução, indução e abdução. Dada uma premissapremissa,, uma

umaconclusãoconclusão, e uma, e umaregraregrasegundo segundo a a qual qual aapremis-premissa

sa implica a implica aconclusãoconclusão, eles podem ser explicados da se-, eles podem ser explicados da seguinte forma:

guinte forma:

Dedução

Dedução corresponde a determinar a corresponde a determinar a conclusãoconclusão. Utiliza-. Utiliza- se da

se daregraregrae e suasuapremissapremissa para chegar a uma para chegar a uma conclusãoconclusão..

Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveu Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada." É comum associar hoje. Portanto, a grama está molhada." É comum associar os matemáticos com este tipo de

os matemáticos com este tipo de raciocínio.raciocínio.

Indução

Indução é determinar a é determinar aregraregra. É aprender a. É aprender aregraregra a partir a partir de diversos exemplos de como a

de diversos exemplos de como a conclusãoconclusão segue segue da

dapremissapremissa. Exemplo: "A grama ficou molhada todas as. Exemplo: "A grama ficou molhada todas as vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama ficará molhada." É comum associar os cientistas com este ficará molhada." É comum associar os cientistas com este estilo de raciocínio.

estilo de raciocínio.

Ab

Abduduçãoção significa significa determinar determinar aa premissapremissa. . Usa-seUsa-se aa conclusãoconclusão e e aaregraregra para defender que a para defender que a premissapremissa poderia poderia explicar a

explicar aconclusãoconclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. A grama está molhada, então pode ter chovido."

molhada. A grama está molhada, então pode ter chovido."

Associa-se este tipo de raciocínio

aos diagnosticistas e detetives.

Lógica

Lógica MateMatemáticamática

Imagine que você foi convocado a participar de um júri Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos:

os seguintes argumentos:

“Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta.

Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca.

Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente.

meu cliente é inocente.

Pergunta:

Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Co-O argumento do advogado esta correto? Co- mo você deveria votar o destino do

mo você deveria votar o destino do réu?réu?

E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concen- palavrório que causa confusão e permite que nos concen- tremos na argumentação subjacente.

tremos na argumentação subjacente.

A lógica formal fornece as bases para o método de pen- A lógica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer ativida- sar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer ativida- de racional.

de racional.

""LógicaLógica:: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de ra-Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de ra- ciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coe- ciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coe- rente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas rente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas."."

(dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a ciência do raciocínio.

ciência do raciocínio.

1.

1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATE-PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATE- MÁTICA

MÁTICA 1.1

1.1CONSIDERAÇÕES PRELIMINARESCONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciên- Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciên- cia do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes cor- cia do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes cor- rentes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal.

rentes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal.

Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em pro- Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em processos não matemáticos, processos não analíticos, sendo cessos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo.

dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo.

Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas.

e técnicas matemáticas.

(2)

22

A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo- Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo- lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins- lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins- tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segun- tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico.

do operações e ralações de cálculo específico.

1.2

1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOSCÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS:

PREDICADOS:

A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo propo- A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e sicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais.

proposicionais.

No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso.

no segundo caso.

Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional.

proposicional.

1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO 1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO

É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos

apenas um dos dois atributosverdadeiroverdadeiroououfalsofalso..

São exemplos de proposições:

- Quatro e maior que cinco.

- Ana e inteligente.

- São Paulo e uma cidade da região sudeste.

- Existe vida humana em Marte.

- A lua é um satélite da Terra - A lua é um satélite da Terra - Recife é capital de Pernambuco - Recife é capital de Pernambuco Exemplos de não proposições:

Exemplos de não proposições:

- Como vai você?

- Como isso pode acontecer!

1.3

1.3PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:

A Lógica Matemática constitui um sistema científico regi- A Lógica Matemática constitui um sistema científico regi- do por três leis principais, consideradas princípios fundamen- do por três leis principais, consideradas princípios fundamentais:

tais:



Princípio da não-contradição:Princípio da não-contradição: uma proposição nãouma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.



Princípio do terceiro excluído:Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou étoda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

casos e nunca um terceiro.

Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão so- Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não mente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema biva- verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema bivalente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade ser- lente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade ser- vem para caracterizar todas as situações possíveis sendo vem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda).

exclui a existência da segunda).

Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será corres- apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será correspondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não pondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade

ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente.simultaneamente.

2.

2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMEN-PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMEN- TAÇÃO DO CÁL

TAÇÃO DO CÁL CULO PROPOSICULO PROPOSICIONCIONALAL 2.1

2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ-CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ- MICO OU BIVALENTE:

MICO OU BIVALENTE:

A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sis- A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se baseia em estados biva- tema científico de raciocínio, que se baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer lentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsi- de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma dade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalen- a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de te estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo infor- raciocínio que objetiva analisar a validade do processo infor- mal a partir das denominadas primeiras verdades, “primí- mal a partir das denominadas primeiras verdades, “primí- cias”.

cias”.

2.2

2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NODEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO

CÁLCULO PROPPROPOSICOSICIONAL:IONAL:

Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fun- Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as damentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas).

de sentido completo e não elípticas (não ambíguas).

Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sen- Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um determinado pensamento tido completo que expressão um determinado pensamento são denominado

são denominado predicadospredicados ouou enunciadosenunciados, as quais de, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sem- acordo com o universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.

pre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.

São exemplos de proposições em lógica:

“A filosofia é a lógica dos contrários”

“Bananas solitárias são aves volares se e somente se,

“Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz”.

um logaritmo vermelho é um abacate feliz”.

“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio-

“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio- nais são homens solitários”.

nais são homens solitários”.

No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real.

mundo real.

Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú- Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú- mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten- mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten- ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições com- às denominadas proposições simples ou proposições compostas.

postas.

2.3

2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃOCARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:

DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:

Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro- Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro- posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como:

latinas minúsculas tais como:

p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn...

As quais são denominadas letras proposicionais ou variá- As quais são denominadas letras proposicionais ou variá- veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional

proposicional ppdesigna a sentença: “A Matemática é atributodesigna a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, adota-se a seguinte notação:

da lógica”, adota-se a seguinte notação:

p:

p: A matemática é atributo da lógica.A matemática é atributo da lógica.

Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição.

possui como parte integrante de si outra proposição.

2.4

2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DECARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:

PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:

Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti- sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti- tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu- ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu- em como parte integrante de si própria pelo menos uma em como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição.

outra proposição.

ApostilasBrasil.com

ApostilasBrasil.com Seu Futuro Seu Futuro o Nosso Presente!o Nosso Presente!

Ra

Raciciococ ninio Lo L gigicoco

(3)

A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo- Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo- lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins- lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins- tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segun- tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segundo operações e ralações de cálculo específico.

do operações e ralações de cálculo específico.

1.2

1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOSCÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS:

PREDICADOS:

A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo propo- A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo proposicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e sicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais.

proposicionais.

No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso.

no segundo caso.

Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional.

proposicional.

1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO 1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO

É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos

apenas um dos dois atributosverdadeiroverdadeiroououfalsofalso..

São exemplos de proposições:

- Quatro e maior que cinco.

- Ana e inteligente.

- São Paulo e uma cidade da região sudeste.

- Existe vida humana em Marte.

- A lua é um satélite da Terra - A lua é um satélite da Terra - Recife é capital de Pernambuco - Recife é capital de Pernambuco Exemplos de não proposições:

Exemplos de não proposições:

- Como vai você?

- Como isso pode acontecer!

1.3

1.3PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS:

A Lógica Matemática constitui um sistema científico regi- A Lógica Matemática constitui um sistema científico regi- do por três leis principais, consideradas princípios fundamen- do por três leis principais, consideradas princípios fundamentais:

tais:



Princípio da não-contradição:Princípio da não-contradição: uma proposição nãouma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.



Princípio do terceiro excluído:Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou étoda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

casos e nunca um terceiro.

Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão so- Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão somente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não mente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema biva- verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema bivalente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade ser- lente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade ser- vem para caracterizar todas as situações possíveis sendo vem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira mutuamente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda).

exclui a existência da segunda).

Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será corres- apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será correspondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não pondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade

ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente.simultaneamente.

2.

2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMEN-PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMEN- TAÇÃO DO CÁL

TAÇÃO DO CÁL CULO PROPOSICULO PROPOSICIONCIONALAL 2.1

2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ-CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ- MICO OU BIVALENTE:

MICO OU BIVALENTE:

A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sis- A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sistema científico de raciocínio, que se baseia em estados biva- tema científico de raciocínio, que se baseia em estados bivalentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer lentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsi- de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma dade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalen- a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de te estabelecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo infor- raciocínio que objetiva analisar a validade do processo infor- mal a partir das denominadas primeiras verdades, “primí- mal a partir das denominadas primeiras verdades, “primí- cias”.

cias”.

2.2

2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NODEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO

CÁLCULO PROPPROPOSICOSICIONAL:IONAL:

Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fun- Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fundamentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as damentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas).

de sentido completo e não elípticas (não ambíguas).

Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sen- Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sentido completo que expressão um determinado pensamento tido completo que expressão um determinado pensamento são denominado

são denominado predicadospredicados ouou enunciadosenunciados, as quais de, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sem- acordo com o universo relacional onde se encontram é sempre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.

pre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”.

São exemplos de proposições em lógica:

“A filosofia é a lógica dos contrários”

“Bananas solitárias são aves volares se e somente se,

“Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz”.

um logaritmo vermelho é um abacate feliz”.

“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio-

“Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio- nais são homens solitários”.

nais são homens solitários”.

No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real.

mundo real.

Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú- Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú- mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten- mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten- ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições com- às denominadas proposições simples ou proposições compostas.

postas.

2.3

2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃOCARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:

DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:

Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro- Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro- posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como:

latinas minúsculas tais como:

p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn...

As quais são denominadas letras proposicionais ou variá- As quais são denominadas letras proposicionais ou variá- veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional

proposicional ppdesigna a sentença: “A Matemática é atributodesigna a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, adota-se a seguinte notação:

da lógica”, adota-se a seguinte notação:

p:

p: A matemática é atributo da lógica.A matemática é atributo da lógica.

Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição.

possui como parte integrante de si outra proposição.

2.4

2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DECARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:

PROPOSIÇÒES COMPOSTAS:

Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti- sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti- tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu- ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu- em como parte integrante de si própria pelo menos uma em como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição.

outra proposição.

(4)

33

As proposições compostas serão designadas pelas letras As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como:

latinas maiúsculas tais como:

P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn ...

Considere as proposições simples:

p:

p: A filosofia é arteA filosofia é arte q:

q: A dialética é ciência.A dialética é ciência.

Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”.

embora a dialética é a ciência”.

Para se indicar que a dada sentença é designada pela le- Para se indicar que a dada sentença é designada pela letra proposicional

tra proposicional PP, sendo constituída de p e q componentes, sendo constituída de p e q componentes adota-se a notação

adota-se a notaçãoP (p, q):P (p, q): A filosofia é arte embora a dialé-A filosofia é arte embora a dialé- tica é a ciência.

tica é a ciência.

Observe que uma fórmula proposicional pode ser consti- Observe que uma fórmula proposicional pode ser consti- tuída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma tuída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo.

num dado universo.

Sejam as proposições:

p:

p: A lógica condiciona a MatemáticaA lógica condiciona a Matemática q:

q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo.A dialética fundamenta o pensamento ambíguo.

P (p, q):

P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialéti-A lógica condiciona a Matemática, mas a dialéti- ca fundamenta o pensamento ambíguo.

ca fundamenta o pensamento ambíguo.

Q (p, q):

Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialéti-A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialéti- ca fundamenta o pensamento ambíguo.

ca fundamenta o pensamento ambíguo.

Sejam ainda proposições compostas:

S (P, Q):

S (P, Q):Se a lógica condiciona a Matemática mas a dia-Se a lógica condiciona a Matemática mas a dia- lética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica lética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pen- condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pensamento ambíguo.

samento ambíguo.

De forma simbólica tem-se que;

P (p, q):

P (p, q):p mas qp mas q Q (p, q):

Q (p, q):p e/ou qp e/ou q S (P, Q):

S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou qSe p mas q, então p e/ou q Observe que:

Observe que:S (P, Q)S (P, Q)é análoga aé análoga a S (p, q).S (p, q).

2.5

2.5VERDVERDADE E VAADE E VALIDADE:LIDADE:

(Valor lógico ou valor verdade das proposições) (Valor lógico ou valor verdade das proposições)

Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sis- Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sistema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em tema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a con- a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a con- tradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade tradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro”

ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro”

ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as de- ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as de- terminadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um terminadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional.

dado universo relacional.

Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido.

é a negação do fato estabelecido.

Dada uma proposição simples qualquer, designar, por Dada uma proposição simples qualquer, designar, por exemplo, pela letra proposicional

exemplo, pela letra proposicional pp, tem-se pelos princípios, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, por- pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, portanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simboliza- tanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simboliza- ção:

ção:

V ( p ) = V

V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou(valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p )V ( p )

= F .

Considere uma proposição composta P, constituída das Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para

indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula pro- indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula proposicional adotar-se-á as notações:

posicional adotar-se-á as notações:

V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V

V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = VououV [ P ( pV [ P ( p , q, r,..., p1,...,, q, r,..., p1,..., pn)] = F

pn)] = F

É oportuno salientar-se que a lógica matemática não ca- É oportuno salientar-se que a lógica matemática não ca- be a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade be a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimen- lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimen- tos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão tos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constitu- sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constitu- ídas de

ídas dennproposições eproposições emm raciocínios (sobre o ponto de vistaraciocínios (sobre o ponto de vista da analiticidade de tais processos). A de se observar tam- da analiticidade de tais processos). A de se observar tam- bém, que validade em lógica matemática corresponde, tão bém, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferên- somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferên- cia de argumentos, não tendo sentido associar validade ou cia de argumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimidade a proposições ou enunciados.

legitimidade a proposições ou enunciados.

De forma resumida, a validade esta associada à coerên- De forma resumida, a validade esta associada à coerên- cia ou a consistência do raciocínio analítico.

cia ou a consistência do raciocínio analítico.

2.6

2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DECARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS:

CONECTIVOS LÓGICOS:

(ou conectivos proposicionais) (ou conectivos proposicionais) Vejam os exemplos:

Vejam os exemplos:

“A matemática é a juventude da lógica

“A matemática é a juventude da lógica eea lógica é a ma-a lógica é a maturidade da matemática”

turidade da matemática”

“A matemática é a juventude da lógica ouou a lógica é aa lógica é a maturidade da matemática”

maturidade da matemática”

“A matemática é a juventude da lógica ouou a lógica é aa lógica é a maturidade da matemática

maturidade da matemática e não ambose não ambos””

““SeSea matemática é a juventude da lógicaa matemática é a juventude da lógica, então, então a lógicaa lógica é a maturidade da matemática”.

é a maturidade da matemática”.

“A matemática é a juventude da lógica se, e somente sese, e somente se,, a lógica é a maturidade da matemática”.

a lógica é a maturidade da matemática”.

““Não é fato queNão é fato quea matemática é a juventude da la matemática é a juventude da lógica”ógica”

Designamos as proposições simples:

p:

p: A matemática é a juventude da lógicaA matemática é a juventude da lógica q:

q: A lógica é a maturidade da matemáticaA lógica é a maturidade da matemática Tem-se que:

Tem-se que:

P (p, q): p P (p, q): peeq.q.

Q (p, q): p Q (p, q): pouou q.q.

R (p, q): p

R (p, q): pouou q,q,e não ambos.e não ambos.

S (p, q):

S (p, q):SeSep,p,entãoentãoq.q.

W (p, q): p

W (p, q): pse, e somente sese, e somente se q.q.

P1 (p):

P1 (p):nãonãopp

Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicio- denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicionais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais nais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas.

específicas.

Prof.a Paula Francis Benevides Prof.a Paula Francis Benevides Símbolos

Símbolos

não não

∧

∧ ^ee

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Ra

Raciciococ ninio Lo L gigicoco

(5)

∨ ^ou

→ se ... então

se e somente se

| ^{tal que}

implica equivalente

existe

existe um e somente um

qualquer que seja

Valor lógi -

co Símbolo Expressão

Negação , ¬ , ~

ou ' não, é falso, não é verdade que Conjunção e, mas , também, além disso

Disjunção ou

Condicional se...então, implica, logo, somente se Bi -

condicional ...se, e somente se...; ...é condição necessária que ...

ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA Antóni o Aníb al Padrão

Introdução

Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objeto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina estuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, inferências e raciocínios são termos equivalentes.

Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o in- teresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sus- tentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, também temos de aceitar discutir os nossos argumentos.

Os argumentos constituem um dos três elementos cen- trais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teorias. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procu- rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em argumentos.

Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é importante, isto é, por que é que a lógica é importante. É importante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns

são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correc- tamente. E isto é fundamental para a filosofia.

O que é um argumento?

Um argumento é um conjunto de proposições que utilizamos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A proposição que queremos justificar tem o nome de conclu- são; as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justificam têm o nome de premissas.

Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da

"mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a razões, não é? Dirás qualquer coisa como:

Os preços no bar da escola subiram;

como eu lancho no bar da escola, o lanche fica me mais caro. Portanto, preciso de um aumento da "mesada".

Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão?

Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu argumento, são as razões que utilizas para defender a conclu- são.

Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte conjunto de proposições não é um argumento:

Eu lancho no bar da escola, mas o João não.

A Joana come pipocas no cinema.

O Rui foi ao museu.

Neste caso, não temos um argumento, porque não há nenhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um conjunto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já vimos, um conjunto de proposições em que se pre- tende que uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o que não acontece no exemplo anterior.

Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só pode ter uma conclusão.

Exemplos de argumentos com uma só premissa:

Exemplo 1

Premissa: Todos os portugueses são europeus.

Conclusão: Logo, alguns europeus são portugueses.

Exemplo 2

Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano.

Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.

Exemplos de argumentos com duas premissas:

Exemplo 1

Premissa 1: Se o João é um aluno do 11.º ano, então estuda filosofia.

Premissa 2: O João é um aluno do 11.º ano.

Conclusão: Logo, o João estuda filosofia.

∃ |

(6)

5

Exemplo 2

Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte, então a vida não faria sentido.

Premissa 2: Mas a vida faz sentido.

Conclusão: Logo, há vida para além da morte.

Exemplo 3:

Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses.

Premissa 2: Todos os portugueses são europeus.

Conclusão: Todos os minhotos são europeus.

É claro que a maior parte das vezes os argumentos não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicidade, tal como é apresentado por Aires Almeida et al.

(2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar:

"De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicidade de cada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial e não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Da- do que cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial."

Neste argumento, a conclusão está claramente identifica- da ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto acontece. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perce- ber qual é a conclusão do argumento e quais são as premissas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa do argumento. Também há indicadores de conclusão: dois dos mais utilizados são "logo" e "portanto".

Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta alguns indicadores de premissa e de conclusão:

Indicadores de premis-

sa Indicadores de conclu-

são

pois porque dado que como foi dito visto que devido a a razão é que admitindo que sabendo-se que assumindo que

por isso

por conseguinte implica que logoportanto então daí que segue-se que pode-se inferir que consequentemente

É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento:

O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ganham mais de 100000 euros por mês.

A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as premissas não têm nenhum indicador.

Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres- sões) podem aparecer em frases sem que essas frases sejam premissas ou conclusões de argumentos. Por exemplo,

se eu disser:

Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto.

Admitindo que não morreu, onde estará?

O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de nenhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não de forma automática.

Proposições e frases

Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento são proposi- ções. Mas o que é uma proposição?

Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente.

Não deves confundir proposições com frases. Uma frase é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma"

não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido gramatical.

Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, imperativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas exprimem proposições. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor de verdade.

Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposi- ções, porque não têm valor de verdade, isto é, não são verdadeiras nem falsas:

1. Que horas são?

2. Traz o livro.

3. Prometo ir contigo ao cinema.

4. Quem me dera gostar de Matemática.

Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ainda que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas:

1. Braga é a capital de Portugal.

2. Braga é uma cidade minhota.

3. A neve é branca.

4. Há seres extraterrestres inteligentes.

A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4? Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verdadeira ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição.

Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white".

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Ambigu id ade e vagu eza

Para além de podermos ter a mesma proposição expressa por diferentes frases, também pode acontecer que a mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto pode querer dizer que existe um homem português (sempre o mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a sua).

Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo"

é uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo.

Quinhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o seguinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filoso- fia". Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos evitar as frases vagas, pois, se não comunicarmos com exac- tidão o nosso pensamento, como é que podemos esperar que os outros nos compreendam?

Validade e verdade

A verdade é uma propriedade das proposições. A validade é uma propriedade dos argumentos. É incorrecto falar em proposições válidas. As proposições não são válidas nem inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou falsas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são ver- dadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são verda- deiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou invá- lidos.

Quando é que um argumento é válido? Por agora, referi- rei apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedutivo é válido quando é impossível que as suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um argumento ser válido, não basta que as premissas e a conclusão sejam verdadeiras. É preciso que seja impossível que sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa.

Considera o seguinte argumento:

Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais de 100000 euros por mês.

Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol.

Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 euros por mês.

Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho é treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha muito acima de 100000 euros por mês, este argumento tem premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mouri- nho ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exemplo, o Mourinho como treinador de um clube do campeonato regional de futebol, a ganhar 1000 euros por mês), e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido.

Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente apresentado:

Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano.

Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano.

Este argumento é válido, pois é impossível que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrá- rio do argumento que envolve o Mourinho, neste não podemos imaginar nenhuma circunstância em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em que o João não é aluno do 11.º ano. Bem, isto significa que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa.

Repara, agora, no seguinte argumento:

Premissa 1: Todos os números primos são pares.

Premissa 2: Nove é um número primo.

Conclusão: Logo, nove é um número par.

Este argumento é válido, apesar de quer as premissas quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a no- ção de validade dedutiva anteriormente apresentada: é im- possível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. A validade de um argumento dedutivo depende da conexão lógica entre as premissas e a conclusão do argumento e não do valor de verdade das proposições que constituem o argumento. Como vês, a validade é uma propriedade diferente da verdade. A verdade é uma propriedade das proposições que constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a validade é uma propriedade dos argumentos (mas não das proposições).

Então, repara que podemos ter:

Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu- são verdadeira;

Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão falsa;

Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira;

Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con- clusão verdadeira;

Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con- clusão falsa;

Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão falsa; e

Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira.

Mas não podemos ter:

Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu- são falsa.

Como podes determinar se um argumento dedutivo é vá- lido? Podes seguir esta regra:

Mesmo que as premissas do argumento não sejam verdadeiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar alguma circunstância em que, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento não é válido. Se não, então o argumento é válido.

Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa.

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7

Argu mento s s ól idos e argument os bons

Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com con- clusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa).

Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras.

Por isso, precisamos de argumentos sólidos.

Um argumento sólido é um argumento válido com premissas verdadeiras.

Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadeiras e conclusão falsa.

O seguinte argumento é válido, mas não é sólido:

Todos os minhotos são alentejanos.

Todos os bracarenses são minhotos.

Logo, todos os bracarenses são alentejanos.

Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o argumento ser válido.

O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas verdadeiras):

Todos os minhotos são portugueses.

Todos os bracarenses são minhotos.

Logo, todos os bracarenses são portugueses.

Também podemos ter argumentos sólidos deste tipo:

Sócrates era grego.

Logo, Sócrates era grego.

(É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo grego e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a secretá- rio geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a con- clusão são verdadeiras.)

Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadeira e é impossível que, sendo a premissa verdadeira, a conclu- são seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, porque a conclusão se limita a repetir a premissa.

Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido persuasivo (persuasivo, do ponto de vista racional).

Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um bom argumento: a razão que apresentamos a favor da con- clusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o argumento não é persuasivo.

Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argumentos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que imaginas. Com certeza, já viveste situações semelhantes a esta:

— Pai, preciso de um aumento da "mesada".

— Porquê?

— Porque sim.

O que temos aqui? O seguinte argumento:

Preciso de um aumento da "mesada".

Logo, preciso de um aumento da "mesada".

Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu- são) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja,

"Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento muito mau, pois com um argumento deste tipo não consegues persuadir ninguém.

Mas não penses que só os argumentos em que a conclu- são repete a premissa é que são maus. Um argumento é mau (ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que a conclusão. É o que acontece com o seguinte argumen- to:

Se a vida não faz sentido, então Deus não existe.

Mas Deus existe.

Logo, a vida faz sentido.

Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, porque as premissas não são menos discutíveis do que a conclusão.

Para que um argumento seja bom (ou forte), as premissas têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acontece no seguinte exemplo:

Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos conti- nuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.

Ora, não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico.

Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário.

Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis do que a conclusão.

As noções de lógica que acabei de apresentar são ele- mentares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porven- tura, noutras.

Proposições simples e compostas

As proposições simples ou atômicas são assim caracteri- zadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t...

As proposições compostas ou moleculares são assim ca- racterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...

Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t.

Exemplo:

Proposições simples:

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