Técnicas de Integração
Substituição
Karla Lima
Sumário
1. Substituição: Integrais Indefinidas 2. Exercícios
3. Substituição: Integrais Definidas 4. Exercícios
5. Gabarito
Substituição: Integrais Indefinidas
Quando usá-la?
Observe as seguintes integrais:
a) Z
2xp
1+x2dx;
b) Z
4x3cos (x4+2)dx.
Você consegue encontrar alguma primitiva para cada uma das integrais (de memória ou usando tabelas de integrais ou derivadas)?
Quando usá-la?
▶ As nossas fórmulas de primitivação não mostram como calcular integrais desse tipo.
▶ Aqui, usamos a estratégia de resolução de problemas deintroduzir alguma coisa extra: um nova variável.
Quando usá-la?
▶ Usamos o método de substituição quando uma integralcontém alguma função e sua derivada. Use quando puder fatorar/manipular o integrando em uma multiplicação e você vir uma função interna cuja derivada está próxima.
▶ Esse método desfaz a regra da cadeia.
Como aplicar o método?
Vamos retornar ao nosso primeiro exemplo:
Z 2xp
1+x2dx.
No integrando 2x√
1+x2, você consegue identificar uma multiplicação envolvendo a derivada de alguma função conhecida?
Como aplicar o método?
▶ O produto é formado por 2xe a raiz√
x2+1. Devemos sempre começar pelo que parece ser mais fácil. Nesse caso, o 2x.
▶ Sabemos que 2xé a derivada de qualquer função da formax2+C.
▶ E olha só: temos dentro da raiz uma função desse tipo!
▶ Fazemos a seguinte mudança de variável:
▶ denotamosu=x2+1;
▶ relacionamos a sua diferencialducom a diferencialdx u=x2+1⇒du=2x dx;
▶ substituímosx2+1 porue 2x dxpor du, e resolvemos a integral emu.
▶ Após resolver a integral emu, retorne à variávelx, usando novamente queu=x2+1.
Exemplo 1
Exemplo 1
Usando o método de substituição, calcule a integral Z
2xp
1+x2dx.
Solução:Sejau=x2+1. Entãodu=2x dxe a integral fica Z
2xp
1+x2dx= Z p
1+x22x dx= Z √
u du= Z
u1/2du
= u1/2+1
1/2+1 +C= u3/2
3/2 +C= 2u3/2 3 +C
= 2(x2+1)3/2
3 +C.
Regra da Substituição
Definição 1
Se u=g(x)for uma função derivável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então
Z
f(g(x))g′(x)dx= Z
f(u)du.
Ou seja, queremos encontrar uma primitivaFdef, tal que d
dxF(u) =F′(g(x))g′(x) =f(g(x))g′(x).
Consegue reproduzir?
Agora é a sua vez.
Exemplo 2 Seja
Z
4x3cos (x4+2)dx.
a) No integrando4x3cos (x4+2), você consegue identificar uma multiplicação envolvendo a derivada de alguma função conhecida?
b) Resolva a integral usando o método da substituição.
Exemplo
Às vezes, é necessário trabalhar algumas constantes para obter a forma desejada da substituição. Por exemplo, para resolver a integral
Z √
2x+1dx,
devemos usar a substituição dentro da raiz, fazendou=2x+1. Com isso, obtemos du=2dx.
Observe que na integral aparece apenasdx, e não 2dx.
Exemplo
Porém, uma constante não atrapalha o cálculo da integral, então podemos reescrever Z √
2x+1dx= Z √
2x+1 1
2· 2
dx
= 1 2
Z √
2x+1· 2dx.
Exemplo
Usando a substituiçãou=2x+1, obtemos Z √
2x+1dx= 1 2
Z √
2x+1· 2dx
= 1 2
Z √ u du
= 1 2
u3/2
3/2 +C= 1 2·2
3u3/2+C
= 1
3(2x+1)3/2+C.
Exercícios
Integrais Indefinidas
Exercício 1 Encontre
Z x
√
1+4x2dx.
Exercício 2 Encontre
Z
e5xdx.
Integrais Indefinidas
Exercício 3 Encontre
Z
tan(x)dx.
Exercício 4 Encontre
Z p
1+x2x5dx.
Substituição: Integrais Definidas
Método 1
▶ Consiste em calcular primeiro a integral indefinida e então usar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Por exemplo, seja Z 1
0
2xp
1+x2dx. Vimos que Z
2xp
1+x2dx= 2
3(x2+1)3/2+C.
Método 1
Usando a primitivaF(x) = 2
3(x2+1)3/2e o TFC, obtemos Z 1
0
2xp
1+x2dx=F(1)−F(0) = 2
3(12+1)3/2−2
3(02+1)3/2
= 2
3(23/2−1).
Método 2
▶ É geralmente o método preferível, o qual consiste em alterar os limites de integração ao se mudar a variável.
▶ Trocamos o limitante inferioraporu(a); já o limitante superiorbé trocado poru(b).
Método 2
No exemplo anterior, trocamos 0 poru(0) =1 e 1 poru(1) =1+12 =2. Assim, obtemos Z 1
0
2xp
1+x2dx= Z 1
0
p1+x22x dx= Z u(1)
u(0)
√u du= Z 2
1
u1/2du
= u1/2+1 1/2+1
2
1
= 23/2
3/2 − 13/2 3/2
= 2 3
23/2−1 .
Método 2
Definição 2
Se g′for contínua em[a,b]e f for contínua na imagem de u=g(x), então
Z b
a
f(g(x))g′(x)dx= Z g(b)
g(a)
f(u)du.
Exercícios
Integrais Definidas
Usando o método 2 de substituição para as integrais definidas, resolva as integrais abaixo.
Compare o resultado com o encontrado através do método 1, usando a seção anterior de exercícios.
Exercício 5 Encontre
Z 1
−1
√ x
1+4x2 dx.
Exercício 6 Encontre
Z 3 0
e5xdx.
Integrais Definidas
Exercício 7 Encontre
Z π/3
0
tan(x)dx.
Exercício 8 Encontre
Z 1
−1
p1+x2x5dx.
Gabarito
Respostas
1. 14√
1+4x2+C 2. 15e5x+C 3. −ln|cosx|+C
4. 17(1+x2)7/2−25(1+x2)5/2+13(1+x2)3/2+C 5. 0
6. 15(e15−1) 7. ln(2) 8. 0
