Pesquisa Operacional
ADMINISTRAÇÃO - 2º SEM 2019
Introdução à Pesquisa Operacional:
•
A pesquisa Operacional surgiu na Inglaterra durante a segunda guerra mundial, para
resolver problemas complexos de ordem logística, estratégica e tática.
•
“Pesquisa Operacional consiste em um método científico (modelos matemáticos,
estatísticos e algoritmos computacionais) usado para as tomadas de decisões.”
(
RAGSDALE, 2009; SILVA et al., 2008; ANDRADE, 2009; BELFIORE; FÁVERO, 2012)..
•
O objetivo é melhorar e otimizar o comportamento de uma organização no contesto
competitivo ao qual esta inserido. São desenvolvidas no curto prazo e utilizadas no
planejamento futuro.
Introdução à Pesquisa Operacional:
“É um método científico ou ramo da ciência administrativa que fornece
instrumentos para a análise de tomada de decisão das empresas
(
RAGSDALE, 2009; SILVA et al., 2008; ANDRADE, 2009).“
Introdução à Pesquisa Operacional:
•
Ela envolve alocação dos fatores de produção, ou seja, utilizar da melhor forma
possível os recursos disponíveis de uma determinada empresa.
•
Ela pode ser aplica para resolver diversos problemas como: alocação dos
fatores de produção, localização, alocação dos recursos humanos, previsão de
planejamento, determinação de mix de produtos, planejamento de produção,
carteiras de investimentos, analise de projetos, etc.
Pesquisa Operacional
: - Processo de
tomada de decisão
•
A Pesquisa Operacional é um instrumento de tomada de decisão.
•
Programação linear surgiu no após a 2ª Guerra Mundial (1947).
•
Utilizada para melhorar eficiência no setor civil após a guerra
.
É o processo de identificar um problema específico e selecionar uma
linha de ação para resolvê-lo.
•
É um processo complexo que envolve diversos fatores endógenos (internos de
empresa) e exógenos (externo desconhecido).
Tomada de decisão
• Um Problema ocorre quando o estado atual de uma situação é diferente do estado desejado.
• Uma Oportunidade ocorre quando as circunstâncias oferecem a chance do indivíduo/organização ultrapassar seus objetivos e/ou metas.
Fatores relevantes:
• Tempo disponível para tomada de decisão
• A importância da decisão
• O ambiente
• Certeza/incerteza e risco
• Agentes decisores
Tomada de decisão
Classificação:
1. Nível hierárquico 2. Tipo de Informação 3. Nº de Decisores
• Tomada de Decisão Individual
• Tomada de Decisão em Grupo
operacional
Gerencial
Estraté-gico
Tomada de decisão
Classificação:
1. Nível hierárquico 2. Tipo de Informação 3. Nº de Decisores
• Tomada de Decisão Individual
• Tomada de Decisão em Grupo
Não estruturada
Semi-estruturada
Tomada de decisão
Classificação:
1. Nível hierárquico 2. Tipo de Informação 3. Nº de Decisores
• Tomada de Decisão Individual
• Tomada de Decisão em Grupo
Tomada de decisão
Classificação:
1. Nível hierárquico 2. Tipo de Informação 3. Nº de Decisores
• Tomada de Decisão Individual
• Tomada de Decisão em Grupo
Maior
Complexidade
Comunicação
Conflito
Pesquisa Operacional
:
- Processo de tomada de decisão
•
Resolva um Problema:
•
Um novo produto orgânico. Diretoria reunida para escolher o produto para o
próximo lançamento. Os diretores de finanças, operações e marketing, junto ao
presidente do grupo, têm 10 minutos para resolver o assunto, já que o
presidente irá viajar e tem que levar consigo a decisão para discussão com os
clientes potenciais.
Pesquisa Operacional:
- Processo de tomada de decisão
•
Modelo Racional:
•
Decisor
•
Consistente
•
Racional
•
Maximizador de utilidade
•
Método de Resolução do Problema
•
Identificar o problema
•
Gerar alternativas
Pesquisa Operacional:
- Processo de tomada de decisão
Pesquisa Operacional
:
- Processo de tomada de decisão
Temos dois modelos:
Mental simples
que consiste em decidir pela melhor opção
a partir do peso que atribuir a cada consequência, ou seja, a cada resultado. Já no
modelo formal
serve para resolver problemas de operacionalização enfrentados
pelos administradores, que consiste em maximizar os lucros ou minimizar os
custos, e ao mesmo tempo satisfazer as restrições dos fatores de produção e
demanda de mercado..
Conceitos-Chave e Termos Utilizados
Em linhas gerais, a programação linear trata do problema de alocação ótima de
recursos escassos para a realização de atividades. Por ótimo entendemos que haja
uma outra solução que seja melhor do que a oferecida.
Os recursos escassos representam nossa realidade de existência finita de recursos,
por mais abundante que sejam.
Conceitos-Chave e Termos Utilizados
MODELO:
é uma representação simplificada do comportamento da realidade
expressa na forma de equação matemática que serve para simulara realidade.
Variáveis de Decisão:
São variáveis utilizadas no modelo que podem ser
controladas pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada
testando-se diversos valores das variáveis de decisão.
Parâmetros: São variáveis utilizadas no modelo que não podem ser controladas
pelo tomador de decisão. A solução do problema é encontrada admitindo como
fixos os valores dos parâmetros.
Conceitos-Chave e Termos Utilizados
Função-objetivo:
é uma função matemática que representa o principal objetivo
do tomador de decisão. Ela é dois tipos: ou
de minimização,
ou de
maximização.
RESTRIÇÕES:
São regras que dizem o que podemos (ou não) fazer e/ou quais as
limitações dos recursos ou das atividades que estão associadas ao modelo.
FUNÇÃO LINEAR:
Uma função f(x1, x2, ..., xn) das variáveis x1, x2,..., xn é uma
função linear se for tipo f(x1, x2, ..., xn) = c1x1 + c2x2 + .... Cnxn, sendo c1, c2,...,
cn valores constantes.
Conceitos-Chave e Termos Utilizados
INEQUAÇÃO LINEAR:
para um numero qualquer b e uma função linear f(x1, x2,
..., xn), defini-se uma inequação linear como as inequações do tipo f(x1, x2, ...,
xn) ≤
b
e f(x1, x2, ..., xn) ≥
b.
ALGORITMO:
é uma sequencia de instruções que para uma determinada
entrada gera um determinado resultado
Programação Linear
•
A programação linear é uma ferramenta utilizada para resolver problemas de
otimização. Para tanto, ela utiliza um modelo geral que contempla, de forma geral:
•
As variáveis as quais temos poder para alterar, ou seja, variáveis de decisão;
• Os parâmetros, que são variáveis e os quais não temos poder para alterar;
• A função-objetivo, que define e mensura o principal objetivo;
• As restrições que combinam varáveis e parâmetros para estabelecer regras, relações e limites do modelo;
• Uma “montagem” ou modelo que contempla parâmetros, variáveis, função-objetivo e restrições e que representa o problema real em análise utilizando somente funções lineares.
Formulação Matemática de um Modelo Geral de Programação
•
Imagine que você tenha que se alimentar com vitaminas e proteínas, dispondo
de certos alimentos para suprir as necessidades diárias.
•
Para solucionar este problema de tomada de decisão fazemos 3 perguntas:
• Quais são as alternativas para decisão?
• Qual o critério objetivo para avaliar as alternativas?
Formulação Matemática de um Modelo Geral de Programação
•
A otimização envolve:
•
Variáveis de decisão ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , ...)
•Função objetivo (Max ou Min)
Formulação Matemática de um Modelo Geral de Programação
•
Força os decisores a tornarem explícitos seus objetivos.
•
Força a identificação e armazenamento das diferentes decisões que influenciam
os objetivos.
•
Força a identificação e armazenamento dos relacionamento entre as decisões.
•
Força a identificação das variáveis a serem incluídas e em que termos elas serão
quantificáveis.
•
Força o reconhecimento de limitações.
•
Permitem a comunicação de suas ideias e seu entendimento para facilitar o
trabalho de grupo.
Suposições da Programação LINEAR
•
Quatro Características são necessárias aos problemas de programação
linear:
Proporcionalidade,
adtividade,
divisibilidade,
certeza
e
terminologia.
•
Divisibilidade:
indica que as variáveis podem ter valores fracionados, ou
seja, as variáveis podem ser divididas em qualquer nível fracional.
•
Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades
totalmente independentes, não permitindo que haja interdependência
entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados,
tanto na função-objetivo como nas restrições
.
Suposições da Programação LINEAR
•
A suposição da
aditividade
indica que os relacionamentos entre as variáveis
são sempre adições e subtração, mas nunca outras operações.
•
A aditividade
implica a suposição que, não pode haver relacionamentos de
dependência (funcionais) entre as variáveis.
•
A necessidade da
Proporcionalidade
indica que as contribuições de cada
variável de decisão são proporcionais ao valor da variável de decisão.
•
O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade de cada
variável de decisão, isto é, o valor da função-objetivo se altera de um valor
constante dada uma variação constante da variável de decisão;
Suposições da Programação LINEAR
•
A suposição de
certeza
indica que todos os parâmetros utilizados nos
modelos são conhecidos com certeza.
•
Em problemas reais quase nunca satisfeita
•
as constantes são estimadas.
•
Requer uma análise de sensibilidade.
•
Terminologia.
Solução
•
No campo de Programação Linear é qualquer especificação de valores
para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se
trata de uma escolha desejável ou permissível.
Suposições da Programação LINEAR
•
Terminologia.
•
Solução Viável
•
É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas;
•
Solução Inviável
•
É uma solução em que alguma das restrições ou as condições de
não-negatividade não são atendidas;
•
A
Solução Ótima
é uma solução
viável especial.
•
Dentre todas as soluções viáveis, aquela(s) que produzir(em) o valor da
função-objetivo otimizado é chamada de ótima;
Solução de Problemas de Programação LINEAR
•
A solução dos problemas de programação linear é feita por meio
de algoritmos, e em especial pelo algoritmo simplex.
O método simplex é uma importante ferramenta destinada a resolver problemas de PL. Esse método consiste em buscar, caso existam, uma ou mais soluções a partir de uma solução básica factível, gerando uma sequência de soluções factíveis. Quando essa sequência é completada, a solução ótima é obtida.
Nesse sentido, Lisboa (2002, p.15) afirma que esse método “caminha pelos vértices da região viável até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela. Esta é a solução ótima”
Solução de Problemas de Programação LINEAR
•
A solução dos problemas de programação linear é feita por meio
de algoritmos, e em especial pelo algoritmo simplex.
Há duas situações em que não é possível chegar à solução ótima. Esses casos ocorrem quando:
• Não há uma solução que devamos ou possamos executar por apresentar restrições de incompatibilidade;
• Não encontramos um máximo ou mínimo – caso em que uma das variáveis pode se
estender ao infinito (apresentar essa tendência), embora as restrições sejam satisfeitas; consequentemente, teremos um valor sem limites para a função objetivo.
Solução de Problemas de Programação LINEAR
•
A solução dos problemas de programação linear é feita por meio
de algoritmos, e em especial pelo algoritmo simplex.
Conceitos Preliminares do Algoritmo Simplex
O algoritmo simplex utiliza uma série de definições e conceitos associados, é interessante desenvolvermos parte desses conceitos em separado para que o entendimento do algoritmo seja mais fácil. Iremos explorar três das definições mais importantes associadas ao algoritmo: 1- solução básica, 2 – variável básica e não-básicae 3 – solução básica viável.
Solução de Problemas de Programação LINEAR
Conceitos Preliminares do Algoritmo Simplex
• 1- solução básica: Uma solução básica para um problema de programação linear na forma padrão é obtida atribuindo-se valor zero a n – m variáveis e resolvendo-se o sistema de equação para as demais m variáveis ( que é exatamente o número de equações, ou restrições, excluindo-se as de não-negatividade).
Um sistema de m equações com m variáveis tem solução única e pode ser resolvido por métodos algébricos.
• 2 – variável básica e não-básica: Variáveis não-básicas são as n – m variáveis às quais foi atribuído o valor zero numa solução básica, ao passo que as variáveis básicas são as outras
Solução de Problemas de Programação LINEAR
Conceitos Preliminares do Algoritmo Simplex
Observe: se, uma variável tem o valor zero, ela pode ou não ser uma variável não-básica. Em outras palavras, todas as variáveis não-básicas têm valor zero, mas nem todas as variáveis que têm valor zero são variáveis não-básicas.
• 3 – solução básica viável: Solução básica viável é uma solução básica em que todas as m variáveis básicas são não-negativas.
Uma solução viável é uma solução que pode ser implementada tendo em vista que os valores das variáveis de decisão estão de acordo com as restrições. Uma básica viável é um ponto de vértice do problema. O ponto de vértice é um ponto em que há a intersecção de duas ou mais restrições.
Solução de Problemas de Programação LINEAR
Conceitos Preliminares do Algoritmo Simplex
Algoritmo Simplex: Para um problema colocado em forma padrão, o algoritmo simplex caminha de uma solução viável para outra, de modo que o valor da função-objetivo é diminuído até o ponto ótimo ser alcançado.
O algoritmo pode ser definido como contendo, três partes: inicialização ( o algoritmo prepara os dados de entrada), interação ( o algoritmo repete diversas vezes o procedimento e faz com que a otimização do modelo seja alcançada) e regra de parada (o algoritmo avalia se a solução ótima foi obtida, ou se é impossível obtê-la).
Solução de Problemas de Programação LINEAR
Algoritmo Simplex:
• Passo da inicialização: Inicie com qualquer solução viável no ponto de vértice, o que é representado pelo ponto de origem, em que todas as variáveis originais assumem o valor zero (x1,x2, ... Xn) = ( 0, 0, ...,0)1 . Vá para o passo da regra de parada.
• Passo de Interação:
• a) Substitua2 uma variável básica (chamada de variável básica sainte) por outra (chamada
de variável básica entrante)3
• b) Como é necessário que o valor da função-objetivo aumente,4 identifica-se a variável
não-básica que permitirá o maior incremento líquido da função-objetivo para ser a variável básica entrante.
1Isso quer dizer que escolhemos as variáveis originais como as avariáveis não-básicas e as variáveis de folga e de excesso como as variáveis básicas para a solução básica viável inicial.
2Em cada interação, o método simplex faz um movimento, partindo da solução básica atual para uma solução básica viável adjacente. Em termos geométricos, significa que o método vai caminhando pelos vértices do poliedro (ou planos no caso bidimensional) que representa a região viável do problema.
3Qualquer variável básica é candidata a ser uma variável básica sainte e qualquer variável não-básica é uma candidata a ser uma variável básica entrante.
Solução de Problemas de Programação LINEAR
Algoritmo Simplex:
b) Matematicamente estamos interessados em encontrar a coluna K, denominada coluna
pivô, em que k = arg min (cj : j = 1, ..., n). Se min (cj : j = 1, ..., n) ≥ 0, então pare porque a solução básica atual é ótima5.
c) Sabemos apenas a coluna da variável básica entrante e por esse motivo precisamos definir
sua linha, denominada de pivô. Cada uma das linhas (ou restrições) é avaliada de modo que aquela que permitir o menor valor de incremento para a variável básica entrante é a que será escolhida para sair. Se aik ≤ 0 ( k = 1, ..., m) então pare por que o problema é ilimitado, indicando um erro na formulação do problema. A linha pivô p é definida como
Solução de Problemas de Programação LINEAR
Algoritmo Simplex:
c) O coeficiente que pertencer tanto à linha como à coluna pivô será o coeficiente pivô.
Conhecendo as variáveis básicas entrante e sainte, devemos redefinir a nova solução básica viável fazendo com que os coeficientes das variáveis não-básicas sejam iguais a zero e os coeficientes das variáveis básicas sejam iguais a um6.
Passo da regra de parada: Avalie7 se a função-objetivo (reformulada em termos das variáveis
básicas atuais) possui algum coeficiente negativo. Se todos os coeficientes são não-negativos (≥0), pare pois a solução é ótima. Caso contrário, vá para o passo iterativo.
6Operacionalmente isso é feito utilizando-se o método de eliminação de Gauss, normalmente estudado em nível de graduação em disciplinas com Álgebra Linear.
