Noções gerais 18 Interseção de uma reta com poliedros de base(s) regular(es) situada(s) em plano(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil 19

(1)

Representação diédrica

10.º ano | Paralelismo e perpendicularidade

entre retas e planos

5

Paralelismo de retas e de planos 6

Retas paralelas 6

Reta paralela a um plano 7

Reta paralela a dois planos 8

Planos paralelos 8

Representar retas paralelas e reta paralela a um plano 9

Perpendicularidade de retas e de planos 11

Retas perpendiculares e retas ortogonais 11

Reta perpendicular a um plano 12

Planos perpendiculares 14

Representar uma reta horizontal ou frontal perpendicular a uma reta oblíqua aos planos de projeção.

Representar uma reta perpendicular a um plano 15

11.º ano | Interseções de retas com sólidos

17

Noções gerais 18

Interseção de uma reta com poliedros de base(s) regular(es) situada(s) em plano(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil 19

Interseção de uma reta com pirâmides 19

Representar a interseção de uma reta com pirâmides 20

Interseção de uma reta com prismas 22

Representar a interseção de uma reta com prismas 23 Interseção de uma reta com cones e cilindros de base(s) circular(es)

situada(s) em plano(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil 25

Interseção de uma reta com cones 25

Representar a interseção de uma reta com cones 26

Interseção de uma reta com cilindros 29

Representar a interseção de uma reta com cilindros 30

Interseção de uma reta com a esfera 32

Representar a interseção de uma reta com a esfera 32

Representação diédrica e axonométrica

11.º ano | Fichas de revisão com exercícios globais

77

Exames Nacionais

Enunciados e propostas de resolução do Exame Final Nacional

de Geometria Descritiva A – 2019 (1.ª e 2.ª fases)

151

(2)

Repr esentação diédrica N AGD1011 © P ort o E di tora

Interseções de retas com sólidos

Noções gerais

A interseção de uma reta com um sólido tem por base o estudo desenvolvido no tema Secções. O processo para a determinação dos pontos de interseção de uma reta com um sólido compreende: – um plano auxiliar que contenha a reta;

– a determinação da figura de secção produzida pelo plano auxiliar no sólido;

– os pontos comuns à reta e à figura de secção, neste estudo designados por X e Y, que correspon-dem aos pontos de interseção da reta com o sólido.

A figura ao lado mostra a aplicação do mé-todo geral enunciado na determinação dos pontos de interseção de uma reta r com uma pirâmide.

Conduz-se pela reta r um plano α que inter-seta a pirâmide segundo o triângulo [PQR]. Os pontos X e Y, comuns à reta r e à figura de secção (contidas no plano _{α), são os pontos} de interseção da reta r com a pirâmide.

A figura ao lado mostra a interseção de uma reta s com um paralelepípedo. Uma observa-ção atenta das duas figuras permite concluir: – o segmento [XY] da reta, situando-se no

interior do sólido, é sempre invisível; – no exterior do sólido, a reta pode

apresen-tar, em relação ao observador, outras invisi-bilidades provocadas pela interposição do sólido entre a reta e o observador.

Visibilidades e invisibilidades da reta

Determinados os pontos X e Y, há ainda que identificar as visibilidades e invisibilidades da reta, que, no plano do desenho, devem ser representadas a traço forte, de acordo com as convenções gráficas usuais.

De notar a estreita relação existente entre a visibilidade ou invisibilidade da reta no exterior do sólido e a visibilidade ou invisibilidade dos pontos de interseção da reta com o sólido:

– na figura de cima, os pontos X e Y são ambos visíveis, pelo que, no exterior da pirâmide, a reta r é visível;

– no paralelepípedo, o ponto X é visível e o ponto Y é invisível. Assim, para a esquerda do ponto X, a reta s é visível. O segmento da reta compreendido entre o ponto Y e a aresta [CC’] do contorno

$ % & 5 3 4 9 ; < U G $ % & 3 4 5 ' 6 $ % & ' ; < V G

(3)

etas com sólidos N AGD1011 © P or to E di to ra

Embora seja possível utilizar como auxiliar qualquer plano que contenha a reta, deve-se sempre optar por um plano que produza no sólido uma secção de fácil determinação e de traçado rigoroso. Salienta-se que a figura de secção, sendo um procedimento auxiliar para a resolução do problema, deve ser representada no plano do desenho a traço leve e atendendo à visibilidade e invisibilidade de cada um dos seus lados, para um melhor entendimento da visibilidade ou invisibilidade dos pontos de interseção da reta com o sólido.

Interseção de uma reta com poliedros de base(s) regular(es)

situada(s) em plano(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil

Interseção de uma reta com pirâmides

Conforme referido, os pontos de interseção de uma reta com uma pirâmide são determinados recor-rendo ao método geral, utilizando como auxiliar um plano que contenha a reta e determinando a figura de secção produzida pelo plano na pirâmide.

Tratando-se de um poliedro, o recurso a um dos planos projetantes da reta simplifica a resolução dos problemas, porque a determinação de uma das projeções da figura de secção é imediata – nas figu-ras acima, utilizou-se como auxiliar o plano projetante frontal de cada reta.

Em alternativa, e porque a complexidade da figura de secção que um plano projetante da reta produz na pirâmide depende do número de arestas do sólido que são intersetadas, pode-se recorrer a um plano auxiliar que, em qualquer situação, produza na pirâmide uma secção triangular – esse plano contém a reta e o vértice da pirâmide.

As figuras seguintes mostram a aplicação deste processo, em duas etapas.

A B C V D X Y r a A B C V D r X Y d A B C V D X Y r n

O plano auxiliar α contém a reta r dada e o vértice V da pirâmide.

Determina-se a interseção do plano _{α com o} plano da base da pirâmide. Para o efeito, recorre-se a uma reta s do plano α que con-tém o vértice V e um ponto P da reta r. As interseções das retas r e s com o plano ν da base da pirâmide, respetivamente, pontos I e J, definem a reta i de interseção do plano α com o plano da base.

B C D I i s a A J V n P r

(4)

Repr esentação diédrica N AGD1011 © P ort o E di tora

Representar a interseção de uma reta com cilindros

A reta dada deve ser representada a traço forte, identificando as suas invisibilidades a traço interrompido.

60 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta r com um cilindro

de revolução, sabendo que:

– as bases do cilindro têm 4 cm de raio e estão contidas em planos horizontais; – o ponto O (–1; 6; 2) é o centro da base de menor cota;

– o centro da outra base pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares; – a reta r contém os pontos A (1; 5; 4) e B do eixo x, com 7 cm de abcissa.

61 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta frontal f com um

cilindro oblíquo de bases circulares, sabendo que:

– uma das bases do cilindro tem centro no ponto O (0; 7; 3,5) e é tangente ao plano horizontal de projeção;

– o ponto O’, com zero de abcissa e 7 cm de cota, é o centro da outra base que pertence ao plano frontal de projeção;

– a reta f tem 5 cm de afastamento e faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção;

– o traço horizontal da reta f tem – 4,5 cm de abcissa.

62 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta horizontal h com

um cilindro oblíquo de bases circulares, sabendo que: – as bases do cilindro têm 3,5 cm de raio;

– uma das bases pertence ao plano frontal de projeção e tem centro no ponto O (– 2; 0; 3,5); – o centro da outra base tem 3 cm de abcissa;

– o eixo do cilindro é paralelo ao _β1,3 e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 45º, de

aber-tura para a esquerda, com o eixo x;

– a reta h contém o ponto P (– 2; 5; 6) e é perpendicular ao eixo do cilindro.

63 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta s com um cilindro

oblíquo de bases circulares, sabendo que:

– o ponto O (4; 0; 5) é o centro da circunferência com 3,5 cm de raio da base que pertence ao plano frontal de projeção;

– o centro da outra base do cilindro tem – 4,5 cm de abcissa;

– as geratrizes do cilindro são horizontais e fazem ângulos de 40º, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;

– a reta s contém o ponto L (– 2,5; 0; 0);

– as projeções horizontal e frontal da reta s fazem, com o eixo x, respetivamente, ângulos de 40º e 60º, ambos de abertura para a esquerda.

(5)

etas com sólidos N AGD1011 © P or to E di to ra

64 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta vertical v com um

– as bases do cilindro têm 3,5 cm de raio e estão contidas em planos frontais; – o ponto O (2; 2; 8) é o centro da base de menor afastamento;

– o eixo do cilindro pertence a uma reta paralela ao β2,4 cuja projeção horizontal faz um ângulo

de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x;

– a outra base do cilindro é tangente ao plano horizontal de projeção; – a reta v tem zero de abcissa e 5 cm de afastamento.

oblíquo de bases circulares contidas em planos horizontais, sabendo que: – as bases do cilindro têm 4 cm de raio;

– os pontos O (– 2; 4; 1) e O’ (2,5; 6,5; 9) são os centros das bases; – a reta r contém os pontos R (7; 3; 7,5) e S (– 2; 6; 3,5).

66 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta de perfil p com um

cilindro de revolução, sabendo que:

– uma das bases do cilindro pertence ao plano horizontal de projeção e tem centro no ponto O (0; 6; 0);

– o ponto A’ (4; 6; 6) pertence à circunferência da outra base do cilindro;

– a reta p é definida pelo ponto R (– 2,5; 7; 4) e pelo seu traço horizontal com 12 cm de afasta-mento.

67 Determine as projeções dos pontos X e Y, resultantes da interseção da reta de perfil r com um

– uma das bases do cilindro, com centro no ponto O (4; 6; 0) e raio igual a 4 cm, está contida no Plano Horizontal de Projeção;

– as geratrizes do cilindro são frontais e fazem ângulos de 45º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;

– o cilindro tem 8 cm de altura;

– a reta r contém o ponto P (0; 8; 3) e o seu traço horizontal tem 11 cm de afastamento. Exame Nacional de Geometria Descritiva, 1998 (adaptado)

de revolução de bases de perfil, sabendo que: – as bases do cilindro têm 3,5 cm de raio;

– o ponto O (0; 5; 6) é o centro da base situada mais à direita; – o cilindro tem 7 cm de altura;

– a reta r contém o ponto R do eixo do cilindro, com 2 cm de abcissa, e é paralela ao β2,4;

(6)

Repr esentação diédrica

Soluções

Sendo a reta horizontal h paralela ao plano horizontal de projeção, a sua projeção horizontal é perpen-dicular à projeção horizontal do eixo do cilindro.

Para a determinação rigorosa das projeções dos pontos X e Y de interseção da reta h com o cilindro, utiliza-se como auxiliar o plano que, contendo a reta, é paralelo à direção do eixo e das geratrizes do cilindro. Recorde-se que este plano secciona o cilindro segundo um paralelogramo.

Para definir o plano secante auxiliar, representa-se uma reta s paralela ao eixo e às geratrizes do cilin-dro, concorrente com a reta h no ponto P. Determina-se a interseção do plano auxiliar com o plano de uma das bases do cilindro, na figura, a base que pertence ao plano frontal de projeção – a reta de inter-seção i é, portanto, definida pelos traços frontais das retas h e s.

Os pontos M e N de interseção da reta i com a circunferência dessa base determinam as geratrizes [MM’] e [NN’]. Estas geratrizes e as cordas das bases, [MN] e [M’N’], definem a secção [MNN’M’] pro-duzida pelo plano auxiliar no cilindro. Os pontos X e Y são definidos na interseção da reta h com o

(7)

A determinação das projeções dos pontos X e Y de interseção da reta s com o cilindro pro-cessa-se conforme exposto no exercício 62.

64

Neste caso particular, utiliza-se como auxiliar o plano projetante horizontal da reta v que é paralelo ao eixo do cilindro, pois a secção produzida por este plano no sólido é um pa-ralelogramo.

Soluções

Interseções de r

(8)

Fichas de r

evisão

Ficha

17

Determine as projeções do ponto I, resultante da interseção da reta a com o plano α.

Dados

– o plano α contém a reta horizontal h que faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano frontal de projeção;

– o traço frontal da reta h tem – 4 cm de abcissa e 3 cm de cota;

– o traço frontal do plano α define um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x; – a reta a contém o ponto A (2; 3; 3) e é perpendicular ao plano α.

Determine as projeções de um quadrado [ABCD] pertencente a um plano de rampa β e da sua sombra projetada nos planos de projeção.

Destaque, a traço mais forte, as projeções do quadrado e as linhas visíveis do contorno da sombra projetada.

Identifique, a traço interrompido forte, a porção invisível do contorno da sombra projetada. Identifique as áreas visíveis da sombra projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

Dados

– os vértices A (−1; 2; 6) e B, com −1 cm de abcissa e 1 cm de cota, definem o lado de menor abcissa do quadrado;

– a reta que contém o lado [AB] faz um ângulo de 40º com o plano frontal de projeção; – a direção luminosa é a convencional.

Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano fron-tal φ numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1.º diedro.

Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.

Dados

– a base da pirâmide [ABCD] pertence a um plano horizontal;

– o vértice A tem zero de abcissa e 2 cm de cota e pertence ao Plano Frontal de Projeção; – a aresta [AB] mede 7 cm e define um ângulo de 70º, de abertura para a direita, com o Plano

Frontal de Projeção;

– o vértice V da pirâmide tem – 5 cm de abcissa e 10 cm de cota; – a aresta [BV] é frontal;

– o plano φ tem 5 cm de afastamento.

Época Especial de Geometria Descritiva A, 2017

17.1

17.2

(9)

Ficha

17

Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas retos de bases regulares.

Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

Dados

Sistema axonométrico – isometria.

Prisma de bases quadradas

– os pontos A (7; 4; 11) e B (3; 4; 11) definem a aresta de maior afastamento de uma das bases do prisma;

– a outra base pertence ao plano coordenado xy. Prisma de bases hexagonais

– as bases são paralelas ao plano coordenado xz;

– a aresta [AB] é a de maior cota da base de menor afastamento deste prisma; – o prisma tem 2 cm de altura.