10.4.2. Notação Matricial Um sistema linear pode ser representado por uma matriz. Dado o sistema, alinhando os coeficientes de cada variável em colunas, teremos a matriz que é chamada de matriz dos coeficientes (ou matriz associada) do sistema, e será a matriz completa do sistema. Na segunda linha colocamos um zero porque a segunda equação pode ser escrita como . A matriz completa de um sistema é a matriz dos coeficientes com uma coluna a mais que contém os resultados das equações. O tipo de uma matriz diz quantas linhas e quantas colunas ela tem. A matriz completa, acima, tem 3 linhas e 4 colunas e é chamada de matriz 3 × 4 (leia "três por quatro"). Se m e n são inteiros positivos, uma matriz m × n é uma matriz de números com m linhas e n colunas (o número de linhas sempre vem primeiro). é uma matriz 3 × 2. é uma matriz 2 × 4. é uma matriz 3 × 3.
10.4.3. Representação de uma matriz Um elemento qualquer de uma matriz é representado por uma letra minúscula acompanhada de um duplo índice: a ij . O primeiro índice ( i ) mostra a linha em que está o elemento, e o segundo ( j ) mostra a coluna. O “nome” de uma matriz é uma letra maiúscula. Genericamente uma matriz A, do tipo 2 × 3, será a 11 (lêse: a um um) é o elemento que está na 1ª linha e na 1ª coluna; a 12 (lêse: a um dois) é o elemento que está na 1ª linha e na 2ª coluna; ... a 23 (lêse: a dois três) é o elemento que está na 2ª linha e na 3ª coluna. Abreviadamente, podemos representar essa matriz da seguinte forma: A=(a ij ) 2×3 Observe que essa representação indica que i ∊ {1, 2} e j ∊ {1, 2, 3}, isto é, a matriz tem duas linhas e três colunas. 10.4.4. Matriz linha e matriz coluna Matrizes formadas por apenas uma linha ou por apenas uma coluna. é uma matriz linha 1 × 4. é uma matriz coluna 3 × 1. 10.4.5. Matriz quadrada O número de linhas é igual ao número de colunas. A matriz quadrada n×n é chamada de matriz quadrada de ordem n . Assim: é uma matriz quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada de ordem n , a diagonal formada pelos elementos a ij com i=j , isto é, a 11 , a 22 , a 33 , …, a nn , é chamada de diagonal principal, e a outra é chamada de diagonal secundária. Assim, na matriz os elementos da diagonal principal são: 2, 6 e 11, e os elementos da diagonal secundária são: 3, 6 e 10. 10.4.6. Matriz Triangular Os elementos abaixo, ou acima, da diagonal principal são iguais a 0. ou 10.4.7. Matriz Diagonal Matriz quadrada de ordem n que tenha na diagonal principal pelo menos um elemento diferente de zero e todos os elementos que não pertencem à diagonal principal iguais a zero. ou 10.4.8. Matriz Identidade Se os elementos da diagonal principal de uma matriz diagonal de ordem n forem iguais a 1, então ela será chamada de matriz identidade de ordem n e indicada por I n . 10.4.9. Matriz nula Todos os elementos são iguais a zero e sua representação é feita pela letra O.
10.4.10. Matriz Transposta A transposta de uma matriz A , do tipo m×n , é a matriz do tipo n×m . Suas linhas coincidem ordenadamente com as colunas da matriz A . Indicamos a matriz transposta de A por A t . , então . , então . 10.4.11. Matrizes Iguais Se duas matrizes são do mesmo tipo m×n , então os elementos com o mesmo índice são chamados elementos correspondentes.
Considerando as matrizes e , os elementos
correspondentes de A e B são: a 11 e b 11 , a 12 e b 12 , a 21 e b 21 , a 22 e b 22 .
Duas matrizes do mesmo tipo são iguais se e somente seus elementos correspondentes forem iguais. 10.4.12. Adição de matrizes Dadas duas matrizes A e B, do mesmo tipo m×n , chamase soma de A com B, indicada por A+B, a matriz do mesmo tipo m×n que se obtém somando os elementos correspondentes de A e B. Assim, se , teremos: 10.4.12.1. Matrizes opostas Quando os elementos correspondentes de duas matrizes são números opostos,
A diferença entre duas matrizes, do mesmo tipo m×n , é definida como a soma da matriz A com a matriz oposta de B. − ) A + ( B 10.4.12.2. Propriedades da adição de matrizes Considerando que as matrizes A, B e C, são do mesmo tipo m×n , valem, para a adição de matrizes, as seguintes propriedades: 1ª) Comutativa: A + B = B + A . 2ª) Associativa: A + ( + C = ( + B + C B ) A ) . 3ª) Elemento neutro: Existe uma matriz nula O, do tipo m×n , tal que: . A + O = O + A = A 4ª) Elemento Oposto: Existe a matriz − A = (−aij mxn) , de modo que: − ) A + ( A = O 10.4.13. Multiplicação de um número real por uma matriz A matriz que se obtém multiplicandose todo elemento de A por k , sendo A uma matriz, do tipo m×n , e k um nº real, é chamada produto de k por A, indicado por k ⋅A
Assim, temos: Valem as propriedades (A e B matrizes, O matriz nula e k e p números reais): * ∙ A1 = A * − 1) ∙ A( = − A * ∙ Ok = O * ∙ A0 = O * ∙ (Ak + B = k) ∙ A+ k ∙ B * k( + p) ∙ B = k ∙ B+ p ∙ B * ∙ (p ∙ A)k = (k ∙ p) ∙ A 10.4.14. Multiplicação de matrizes Para entendermos as noções que envolvem a multiplicação de matrizes, propomos a seguinte situação: Novamente vamos pensar nos jogos do Brasileirão até o dia 02/08/14. A tabela de vitórias, empates e derrotas dos 5 times mais bem colocados do campeonato está representada abaixo:
Sabendo que o sistema de pontuação do campeonato se resume em ganhar 3 pontos por vitória, 1 ponto por empate e nenhum ponto por derrota, podemos escrever esses dados numa tabela: Podemos calcular a pontuação desses times da seguinte forma: Cruzeiro: 9 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = 28 Corinthians: 6 ⋅ 3 + 5 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = 23 Fluminense: 7 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 0 = 22 Internacional: 6 ⋅ 3 + 4 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = 22 Sport: 6 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 = 21 Organizando esses dados em uma tabela, temos: A matriz C, associada à tabela acima, corresponde ao produto da matriz A pela matriz B, que indicaremos por AB ou por A ⋅ B. Logo, o que fizemos foi calcular o produto da matriz A pela matriz B. Então:
Observe que cada elemento c ij , da matriz AB, é calculado multiplicandose ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j de B somandose os produtos obtidos.
Assim, o elemento c 11 da matriz AB foi obtido multiplicandose ordenadamente os elementos da 1ª linha A pelos elementos da 1ª coluna de B e somandose os
resultados:
c 11 = a 11 ⋅ b 11 + a 12 ⋅ b 21 + a 13 ⋅ b 31 = 9 ⋅ 3 + 1⋅1 + 2 ⋅ 0 = 28 Observe ainda que: O produto das matrizes A e B existe quando o nº de colunas de A é igual ao número de linhas de B e tem o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B, isto é, se A é do tipo m×n e B do tipo n ×p , então AB é do tipo m×p . Assim: a) Se A é do tipo 3×4 e B é do tipo 4×2, então existe a matriz AB, pois o nº de colunas de A é igual ao nº de linhas de B. A matriz AB é do tipo 3×2.
b) Se A é do tipo 3×4 e B é do tipo 3×2, não existe a matriz AB, pois o número de colunas de A é diferente do número de linhas de B. Note que no exemplo AB≠BA (aliás, BA nem existe). Assim, podemos concluir que o produto de matrizes não possui a propriedade comutativa. 10.4.14.1. Matriz inversa Considere uma matriz quadrada A de ordem n . Se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, tal que: AB=I n então a matriz B será chamada de inversa da matriz A, sendo indicada por A 1 . Nesse caso dizemos que a matriz A é inversível. Se não existir a matriz B, dizemos que a matriz A não tem inversa (não é inversível). Se a matriz inversa existir, ela é única. 10.4.14.2. Sistemas lineares (continuação): Resolvendo um sistema linear Uma solução do sistema é uma lista (s 1 , …, s n ) de números que torna cada equação uma afirmação verdadeira quando os valores s 1 , …, s n são substituídos por x 1 , …, x n , respectivamente. Por exemplo, (5; 6,5; 3) é uma solução para o sistema porque quando esses valores são substituídos no sistema, no lugar de x 1 , x 2 , x 3 , as equações são simplificadas para 8 = 8 e 7 = 7. O conjunto de todas as soluções possíveis é chamado de conjunto solução do sistema linear. Dois sistemas lineares são chamados equivalentes se eles têm o mesmo conjunto solução. Isto é, cada solução do 1º sistema é uma solução do 2º sistema, e cada solução do 2º é uma solução do 1º. Um sistema de equações lineares tem: 1) Nenhuma solução, ou 2) Exatamente uma solução, ou 3) Infinitas soluções. Dizemos que um sistema linear é possível (ou compatível) se ele tem uma solução ou infinitas soluções; um sistema é impossível (ou incompatível) se ele não tem solução. Quando um sistema é possível e tem uma solução, dizemos que ele é determinado. Se tiver infinitas, é indeterminado. Quando todos os termos de um sistema forem nulos, o sistema é chamado de homogêneo e a nupla (0, 0, ..., 0) é uma solução desse sistema (conhecida como nula ou trivial). Um procedimento sistemático para resolver sistemas lineares é, basicamente, substituir um sistema por outro equivalente que seja mais fácil de resolver.
Usamos o termo x 1 da 1ª equação do sistema para eliminar os termos x 1 das outras equações. Depois, usamos o termo x 2 da 2ª equação para eliminar os termos em x 2 das outras equações, e assim por diante, até obtermos um sistema equivalente mais simples.
Três operações básicas, que podem ser aplicadas a qualquer matriz (chamadas de operações elementares de linhas) são usadas para simplificar um sistema linear sem alterar o conjunto solução do sistema: 1) Substituir uma equação pela soma dela mesma com um múltiplo de outra equação; 2) Trocar entre si duas equações; 3) Multiplicar todos os termos de uma equação por uma constante nãonula (reescalonar). Para mantermos x 1 na 1ª equação e eliminálo das outras, somaremos 4 vezes a equação 1 com a equação 3. Colocando esse resultado no lugar da terceira equação original, temos: Vamos multiplicar por ½ a equação 2 para facilitar os próximos cálculos e criar o número 1 nessa linha. (É o mesmo que dividilá por 2) Somando 3 vezes a equação 2 com a equação 3. Colocando esse resultado no lugar da terceira equação original: Eliminando 4x 3 da equação 2 e x 3 da equação 1.
Colocando esse resultado no sistema: Nossos cálculos indicam que (29, 16, 3) é a única solução do sistema. Para confirmar, vamos substituir esses valores nas equações do sistema. (29) 2(16) + (3) = 29 32 + 3 = 0 2(16) 8(3) = 32 24 = 8 4(29) + 5(16) +9(3) = 116 + 80 + 27 = 9 Ok, nossos procedimentos nos auxiliaram a resolver o sistema. Dizemos que duas matrizes são equivalentes por linhas se existe uma seqüência de operações elementares de linhas que transforma uma matriz na outra. É importante observar que as operações elementares são reversíveis. Se duas linhas são trocadas, elas podem retomar às suas posições originais através de outra toca. Se uma linha é reescalonada por uma constante nãonula k, então multiplicando a nova linha por obtemos a linha original. Finalmente,1k considere uma operação de substituição envolvendo duas linhas, digamos, as linhas 1 e 2, e suponha que c vezes a primeira linha é somada à linha 2 de modo a obter uma nova linha 2. Para "reverter" essa operação, some c vezes a linha 1 à (nova) linha 2 para obter a linha 2 original. Suponha que um sistema é transformado em um novo por operações elementares. É fácil ver que qualquer solução do sistema original continua sendo uma solução do novo sistema. Reciprocamente, como o sistema original pode ser obtido do novo sistema através de operações elementares, cada solução do novo sistema também é uma solução do sistema original. Essa discussão justifica que se as matrizes completas de dois sistemas lineares são linhaequivalentes, então os dois sistemas tem o mesmo conjunto solução. Essa forma de resolver sistemas, quando aplicada a matrizes, recebe o nome de escalonamento. O processo consiste em quatro passos e produz uma matriz em forma escalonada. Exemplo: Vamos escalonar a matriz: PASSO 1: Inicie com a primeira coluna nãonula, da esquerda para a direita. PASSO 2: Escolha um elemento nãonulo da 1ª coluna para servir de primeiro elemento da matriz. Se necessário, troque linhas de modo a deslocar esse elemento para a primeira posição. Troque as linhas 1 e 3 entre si. (Poderíamos também ter trocado as linhas 1 e 2.) PASSO 3: Use as operações de substituição de linha para criar zeros em todas as posições abaixo do primeiro elemento da primeira linha e coluna. Como um passo preliminar, poderíamos dividir a primeira linha pelo valor 3. Mas com dois 3 na coluna 1 fica igualmente fácil somar a linha 1 multiplicada por 1 à linha 2.
PASSO 4: Cubra a 1ª linha e todas as linhas, se é que existem, acima dela. Aplique os passos 13 na submatriz restante. Repita o processo até que não existam mais linhas nãonulas a serem modificadas. Com a linha 1 coberta, o passo 1 mostra que a coluna 2 é a próxima a ser modificada. Para o passo 3, poderíamos realizar um passo adicional que consiste em dividir a linha “de cima” da submatriz por 2. Em vez disso, vamos somar 3/2 vezes a linha "de cima" à linha abaixo. Isso nos dá Quando cobrimos a linha 2 para o passo 4, restanos uma nova submatriz que tem somente uma linha: Os passos 13 não exigem qualquer trabalho para essa submatriz, e, assim, atingimos uma forma escalonada da matriz inicial. Se quisermos uma matriz com menos elementos diferentes de zero, então realizamos mais um passo. PASSO 5: Iniciando com o primeiro elemento, da direita para a esquerda, e prosseguindo para cima e para a esquerda, crie zeros acima de cada primeiro elemento diferente de zero das linhas. Se um desses elementos não for igual a 1, façao assumir o valor 1 através de uma operação de reescalonamento.
