Podemos escrever a força entre dois circuitos como: µ 0 I dr (r r ) B (r) = µ 0 I dr (r r ) Idr = ρ v Adr

(1)

A indução magnética

Podemos escrever a força entre dois circuitos como: FC0_→C = ˛ C Idr × " µ0 4π ˛ C0 I0dr0× (r − r0) |r − r0_|3 # .

Sendo assim, denimos o campo indução magnética produzido pelo circuito C0

como: B (r) = µ0 4π ˛ C0 I0_dr0_{× (r − r}0₎ |r − r0_|3 .

A unidade do campo indução magnética é o tesla, que equivale a um weber por metro quadrado, onde um weber é equivalente a um joule por ampere. Agora podemos escrever a força sobre o circuito C, devida ao circuito C0 _como:

FC0_→C =

˛

C

Idr × B (r) .

Podemos agora perguntar: qual a força magnética que um circuito exerce sobre uma carga pontual? Usemos um argumento heurístico aqui; consideremos a corrente de uma só carga pontual. Então,

Idr = J Adr,

onde I = JA em um o no, por onde uma densidade de corrente J atravessa uma seção transversal de área A. Mas, como vimos anteriormente, J = ρ |v| e podemos escrever:

Idr = ρ |v| Adr = ρvA |dr| ,

já que v e dr têm a mesma direção e mesmo sentido. Como A |dr| pode ser visto como o volume onde a carga está, temos que ρA |dr| = q e obtemos:

Idr = qv.

Assim, perguntamos se a força magnética sobre uma só carga é dada por

F = qv × B (r) .

Com muitos experimentos os cientistas concluíram que essa é, de fato, a força que uma carga q experimenta na presença de um campo indução magnética B (r). Mais do que isso, os experimentos têm mostrado que a força eletromagnética sobre uma carga q é dada pela chamada força de Lorentz:

(2)

Campo indução magnética para uma distribuição

contínua de corrente

Começamos com a fórmula:

B (r) = µ0 4π ˛ C0 I0dr0× (r − r0₎ |r − r0_|3 .

Considerando que essa fórmula é apenas uma aproximação para um o que, na verdade, não é innitamente no, escrevemos:

I0dr0 = J0A0dr0 = J0A0|dr0| = J (r0) d3r0

e a integral é, então, uma soma sobre os elementos de volume d3r0 = A0|dr0|

do o que tem área transversal A0 _{no ponto r}0_:

B (r) = µ0 4π ˆ V d3r0J (r 0_{) × (r − r}0₎ |r − r0_|3 .

Inferimos que essa expressão vale para qualquer distribuição J (r0₎_{, o que tem}

sido vericado exaustivamente por experimentos.

Divergência do campo indução magnética

Notemos a expressão para o campo B:

B (r) = µ0 4π ˆ V d3r0J (r 0_{) × (r − r}0₎ |r − r0_|3 = −µ0 4π ˆ V d3r0J (r0) × ∇ 1 |r − r0_| = µ0 4π ˆ V d3r0∇ × _{J (r}0₎ |r − r0_| = ∇ × µ0 4π ˆ V d3r0 J (r 0₎ |r − r0_| . Dessa forma, podemos denir o potencial vetorial A:

A = µ0 4π ˆ V d3r0 J (r 0₎ |r − r0_|

e o campo B pode ser expresso como um rotacional: B (r) = ∇ × A (r) .

(3)

Assim, segue que a divergência do campo indução magnética é nula: ∇ · B (r) = ∇ · [∇ × A (r)] = 0.

O signicado dessa equação é que não há monopólos magnéticos, já que o uxo do campo indução magnética sobre qualquer superfície fechada é sempre nulo, não havendo, portanto, pontos de onde as linhas do campo divergem ou para onde convergem.

O rotacional do campo indução magnética. A Lei

de Ampère

Calculemos:

∇ × B (r) = ∇ × [∇ × A (r)]

= ∇ [∇ · A (r)] − ∇2_{A (r) .}

Comecemos pela divergência do potencial vetorial: ∇ · A (r) = µ0 4π∇ · ˆ V d3r0 J (r 0₎ |r − r0_| = µ0 4π ˆ V d3r0∇ · _{J (r}0₎ |r − r0_| = µ0 4π ˆ V d3r0J (r0) · ∇ 1 |r − r0_| = −µ0 4π ˆ V d3r0J (r0) · ∇0 1 |r − r0_| = −µ0 4π ˆ V d3r0∇0· _{J (r}0₎ |r − r0_| + µ0 4π ˆ V d3r0∇ 0_{· J (r}0₎ |r − r0_| = −µ0 4π ˛ S(V ) da0nˆ 0_{· J (r}0₎ |r − r0_| + µ0 4π ˆ V d3r0∇ 0_{· J (r}0₎ |r − r0_| ,

onde usamos o teorema da divergência de Gauss na última igualdade. A integral ˛

S(V )

da0nˆ

0_{· J (r}0₎

|r − r0_|

é sobre a superfície fronteira do volume onde há corrente. Sobre essa superfície, Jdeve ser tangente, caso contrário haveria corrente saindo do volume que, por denição, contém toda a corrente. Logo,

ˆ

(4)

sobre S (V ) e a integral acima é nula. Consideremos agora a integral de volume: ˆ V d3r0∇ 0_{· J (r}0₎ |r − r0_| .

Como sempre vale a equação da continuidade, temos: ∇0· J (r0) = −∂ρ (r

0_{, t)}

∂t .

Como estamos considerando o caso estático, onde as correntes são todas esta-cionárias, temos:

∂ρ (r0, t)

∂t = 0

e, portanto,

∇0· J (r0) = 0 no integrando da integral acima. Portanto,

∇ · A (r) = 0. Logo,

∇ × B (r) = −∇2_{A (r) .}

Calculemos agora o laplaciano do potencial vetorial: ∇2_{A (r)} ₌ µ0 4π∇ 2 ˆ V d3r0 J (r 0₎ |r − r0_| = µ0 4π ˆ V d3r0∇2 J (r0) |r − r0_| = µ0 4π ˆ V d3r0J (r0) ∇2 1 |r − r0_|.

Na aula 5, discutimos o seguinte resultado: ∇ · " r − r0 |r − r0_|3 # = 4πδ(3)(r − r0) , ou seja, ∇ · " r − r0 |r − r0_|3 # = ∇ · −∇ 1 |r − r0_| = −∇2 1 |r − r0_|,

(5)

isto é, ∇2 1 |r − r0_| = −4πδ (3)_{(r − r}0_{) .} Assim, ∇2_{A (r)} ₌ ₋µ0 4π ˆ V d3r0J (r0) 4πδ(3)(r − r0) = −µ0J (r) .

Logo, o rotacional do campo indução magnética ca: ∇ × B (r) = µ0J (r) ,

que é a chamada lei da Ampère.

Campo indução magnética de um o innito de

corrente

Consideremos que a corrente I percorra um o innito ao longo do sentido positivo do eixo z. Resolvamos a equação

∇ × B (r) = µ0J (r) .

Em virtude da simetria cilíndrica deste problema, escolhamos coordenadas cilín-dricas:

B (r) = %Bˆ %(%, ϕ, z) + ˆϕBϕ(%, ϕ, z) + ˆzBz(%, ϕ, z) .

Usando o fato de que esse o de corrente é invariante por translações ao longo e rotações em torno do eixo z, podemos simplicar a expressão acima:

B (r) = %Bˆ %(%) + ˆϕBϕ(%) + ˆzBz(%) .

Como a divergência de B é nula, segue:

∇ · B (r) = 1 % ∂ [%B%(%)] ∂% + 1 % ∂Bϕ(%) ∂ϕ + ∂Bz(%) ∂z = 1 % ∂ [%B%(%)] ∂% = 0. Logo, %B%(%) = C1,

(6)

Façamos agora uma circuitação do campo indução magnética sobre uma circunferência de raio % sobre o plano xy, com centro na origem:

ˆ 2π 0 %dϕˆϕ · B (r) = ˛ S da ˆn · [∇ × B (r)] = µ0 ˛ S da ˆn · J (r) = µ0I,

onde usamos o teorema de Stokes. Mas, ˆ 2π 0 %dϕˆϕ · B (r) = ˆ 2π 0 %dϕBϕ(%) = 2π%Bϕ(%) , levando ao resultado: Bϕ(%) = µ0I 2π%.

O campo indução magnética, até agora, pode ser escrito como: B (r) = ˆ%C1

% + ˆϕ µ0I

2π% + ˆzBz(%) .

Como J = 0 para pontos que não estão sobre o eixo z, segue da lei de Ampère que, nesses pontos,

∇ × B (r) = 0. Em coordenadas cilíndricas: ˆ % ∂Bz(%) %∂ϕ − ∂Bϕ(%) ∂z + ˆϕ ∂B%(%) ∂z − ∂Bz(%) ∂% + ˆz ∂ [%Bϕ(%)] %∂% − ∂B%(%) %∂ϕ = 0, ou seja, ˆ % 1 % ∂Bz(%) ∂ϕ − ∂µ0I 2π% ∂z ! + ˆϕ ∂ C1 % ∂z − ∂Bz(%) ∂% ! + ˆz   1 % ∂h%µ0I 2π% i ∂% − 1 % ∂C1 % ∂ϕ   = 0, ou ainda, 0ˆ% + −ˆϕ∂Bz(%) ∂% + 0ˆz = 0. Assim, Bz(%) = C2,

(7)

onde C2 é outra constante a ser determinada.

O campo indução magnética, até agora, pode ser escrito como: B (r) = %ˆC1

% + ˆϕ µ0I

2π%+ ˆzC2.

Se tivéssemos tomado o eixo z com o sentido oposto ao da corrente, teríamos obtido exatamente o mesmo campo físico acima, exceto que, nesse sistema de coordenadas diferente, teríamos:

B (r) = %ˆC1 % − ˆϕ

µ0I

2π%− ˆzC2,

simplesmente por consistência. Podemos pensar, então, em superpor dois os: um com corrente subindo o eixo z e outro, com a corrente descendo. Pelo princí-pio de superposição, devemos somar os campos acima e obtemos o resultado:

Bsup(r) = %ˆ

2C1

% .

Mas, nesse caso, a corrente total ao longo do o deve ser nula e, portanto, o campo indução magnética também deve ser nulo, resultando

C1 = 0.

Até este ponto, portanto, o campo de um o de corrente innito é dado por B (r) = ϕˆµ0I

2π%+ ˆzC2.

Como a densidade de corrente é um vetor e o operador nabla também troca o sinal por inversão dos eixos do sistema de coordenadas, segue da lei de Ampère que o campo indução magnética deve ser um pseudo-vetor. Isto é, por inversão de coordenadas, a lei de Ampère deve ser a mesma, pois a física não pode mudar em virtude de escolha do sistema de coordenadas. Ora, como J e ∇ mudam de sinal por inversão de coordenadas, para a lei de Ampère permanecer a mesma, B não pode mudar de sinal. Na expressão acima para o campo indução magnética, vemos que, sicamente, uma inversão de coordenadas apenas diz que a corrente desce o eixo z e, como vimos, a física consistente para esse caso dá

B−I(r) = −ˆϕ

µ0I

2π%− ˆzC2.

Para vericarmos se o campo muda ou não de sinal por inversão espacial, deve-mos, além de inverter a corrente, checar se

B−I(−r) = B (r) . Assim, B−I(−r) = ϕˆ µ0I 2π%− ˆzC2 = ϕˆµ0I 2π%+ ˆzC2 = B (r) .

(8)

Logo,

C2 = 0

e o campo indução magnética de um o innito de corrente é dado por: B (r) = ϕˆµ0I