A soma algébrica das correntes que entram num nó é nula em qualquer instante do tempo:

(1)

Sessão 8

Sessão 8 –– Leis de Kirchhoff

Leis de Kirchhoff

Objectivos Específicos

No final da formação o formando deverá ser capaz de, utilizando o material didáctico fornecido e sem erros:

• Definir o conceito de leis de Kirchhoff das correntes; • Identificar um ramo ou um nó num circuito;Identificar um ramo ou um nó num circuito;

• Estabelecer uma superfície de corte;

• Enumerar três conceitos relativos a grafos de um circuito; • Definir o conceito de leis de Kirchhoff das tensões; • Definir o conceito de grafo planar;

• Definir os conceitos de malha e circulaçãoDefinir os conceitos de malha e circulação.

Lei de Kirchhoff das

Correntes (KCL)

A soma algébrica das correntes que entram num nó é nula em qualquer instante do tempo:

- ia+ ib- ic+ id= 0

l d d

Em qualquer instante do tempo, a soma das correntes entrando num nó é igual à soma das correntes saindo do nó:

das correntes saindo do nó: ia+ ic= ib+ id

Noções de Grafos

--ramos e nós

ramos e nós

• O que é um ramo?

Um ramo é a abstracção de um elemento representado apenas por uma linha com a indicação de sentido de referência e do

ú d l t

número do elemento. • O que é um nó?

Um nó é um ponto do circuito em que dois elementos têm uma ligação ou o ponto de

elementos têm uma ligação ou o ponto de confluência entre dois ou mais ramos (ou elementos eléctricos).)

(2)

Superfícies de Corte

• Corte ou superfície de corte - é uma superfície (de Gauss a três

di õ ) f h d i t t d f t

dimensões) fechada que intersecta os ramos do grafo e tem um sentido positivo de referência associado, por exemplo de fora para dentro;

dentro;

• Corte nodal - é um corte queq contém um nó, representado a verde na figura;

• Feixe de corte - é o conjunto dos ramos interceptados pelo corte.

KCL Aplicada a um Corte

• A soma algébrica das correntes que atravessam um corte nodal de

d t f ( d f d t ) é l

dentro para fora (ou de fora para dentro) é nula:

Corte nodal b  i0+ i1+ i2= 0

Corte nodal a  - i0- i1- i2= 0

Dois nós – duas equações

Exemplo 1 (com uma

circulação)

v_s= 3 V

R₁, R₂e R_Ltêm valores conhecidos

i_s, v₁, i₁, v_c, i_c, v_L, i_L= ?

Quais os valores para as correntes e tensõesp desconhecidas?

Exemplo 1

Exemplo 1 solução (I)

solução (I)

Exemplo 1

Exemplo 1 –– solução (I)

solução (I)

Lei de Ohm KCL   v1  R1.i1         b Nó 0 a Nó 0 1 s i i i i       L L L c c c i R v i R v . . 1 1 1                 d Nó 0 c Nó 0 b Nó 0 L c c s i i i i i i is  iL  0  Nó d

(3)

Lei de Kirchhoff das Tensões

(KVL)

A soma algébrica das quedas de tensão ao A soma algébrica das quedas de tensão ao longo de qualquer circulação (caminho fechado) é nula em qualquer instante do tempo.

v22− v33− v11= 0 Há uma única circulaçãoç

O Que É um Grafo Planar?

Os grafos permitem representar de forma simples as leis topológicas associadas aos circuitos.

• Um grafo é um conjunto de ramos ligados através de nós, onde a cada ramo corresponde um elemento (uma corrente eléctrica);

• Entre cada par de nós existe uma tensão aplicada • Entre cada par de nós existe uma tensão aplicada.

O Que É uma Circulação?

Uma circulação é qualquer caminho fechado que é possível traçar seguindo os ramos do grafo (independentemente da sua orientação):

• Inicia-se e termina no mesmo nó, sem percorrer duas vezes um mesmo ramo ou elemento;

• Uma circulação diz-se exterior quando não tem ramos por fora; • Por sua vez, uma malha é uma circulação sem ramos por dentro.

Exemplo 1

Exemplo 1 solução (II)

solução (II)

Exemplo 1

Exemplo 1 –– solução (II)

solução (II)

Agora há que obter as equações para as tensões (KVL):

KVL v v v vL  c  1  s  0             1 1 1 KCL d KCL de KVL de . . . i i i i v i R i R i R L s c c L L         1 1 de KCL i i i i s c

(4)

Exemplo 1

Exemplo 1 solução (III)

solução (III)

Exemplo 1

Exemplo 1 –– solução (III)

solução (III)

Resistências em série



R R R



i

v

s c c L L

i

R

i

R

i

v

R

.



.



1

.

1





RLRcR1



i1vs 1 1

R

v

i

C L s





1

R

v

i

C L s L



_

Exemplo 2

Exemplo 2 KVL

KVL

Exemplo 2

Exemplo 2 -- KVL

KVL

is, R1, R2e R3têm valores conhecidos; iss, v, 11,, i11,, vcc, i, 22,, v33,, i33= ?

Quais os valores para as correntes e tensões desconhecidas?

Exemplo 2

Exemplo 2 solução (I)

solução (I)

Exemplo 2

Exemplo 2 –– solução (I)

solução (I)

1. Escrever as KVL: v v   0  1 v v v v v v v v v            0 1 2 3 3 2 2 1 1 0

É igual a tensão dos terminais de todos os elementos Os elementos estão em paralelo

Fonte Associação em paralelo de i tê i

+

resistências

Exemplo 2

Exemplo 2 solução (II)

solução (II)

Exemplo 2

Exemplo 2 –– solução (II)

solução (II)

2. Como determinar v ? 0     i i i i0  i1  i2  i3  0 i  i i is  i0 3 2 1 i i i is    s G v G v G v i 1 2 3 1 . . .    s i G G G v 3 2 1 1    

(5)

Exemplo 2

Exemplo 2 solução (III)

solução (III)

Exemplo 2

Exemplo 2 –– solução (III)

solução (III)

3. Determinar a corrente em cada resistência, utilizando o divisor de corrente.

s eq s i G G i G G G G v G i 1 3 2 1 1 1 1  .  _ _  s eq s i G G i G G G G v G i 2 3 2 1 2 2 2  .  _ _  s eq s i G G i G G G G v G i 3 3 2 1 3 3 3  .  _ _ 

Exemplo 2

Exemplo 2 solução (IV)

solução (IV)

Exemplo 2

Exemplo 2 –– solução (IV)

solução (IV)

4. Circuito equivalente 3 2 1 G G G Geq   

Em suma

Em suma…

• Estabeleceram-se os conceitos de leis de Kirchhoff das correntes e das tensões (KCL e KVL respectivamente);

e das tensões (KCL e KVL, respectivamente);

• Apresentaram-se as noções de ramo e nó dum circuito;

• Realçou-se o conceito de superfície de corte e de superfície de corte nodal em particular;

• Estabeleceu-se o conceito de grafo planar; • Definiram-se os conceitos de malha e circulação;

• Deram-se exemplos numéricos representativos da aplicação das KCL e KVL.