Notas de aula prática de Mecânica dos Solos II
(parte 14)
Hélio Marcos Fernandes Viana
Conteúdo da aula prática
1.o) Determinar empuxo ativo atuante em um murro de arrimo conforme a Figura 1.1, através do método gráfico direto de Coulomb para solo com coesão e atrito, e sendo o barranco inclinado; Ainda, tem-se que:
a) O muro tem 8 m de altura;
b) O ângulo de atrito entre o solo e o muro é = 20o;
c) O terrapleno ou barranco de solo apresenta uma inclinação i de 1: 4; d) O peso específico do solo é = 1,80 ton/m3; e
e) A resistência ao cisalhamento do solo é S = 1 + .Tan (25o) (ton/m2).
OBS. Para resolver este exercício são necessários: régua, esquadros, transferidor papel e borracha.
Figura 1.1 - Processo de obtenção do empuxo ativo pelo método gráfico direto de Coulomb para solo com coesão e atrito, e sendo o barranco inclinado
Resposta:
O exercício é resolvido de forma ordenada de acordo com seguintes passos:
1.o (primeiro) passo: Desenhar em um papel o problema de campo, com o muro e o
barranco de solo inclinado, utilizado a escala de 1 cm no desenho igual a 1 m (ou 100 cm) no campo, ou seja, um desenho na escala 1 : 100.
2.o (segundo) passo: Prolongar a reta de inclinação do terreno, e também a partir
do ponto A, no pé do muro, traçar uma reta que seja perpendicular à reta prolongada da superfície do terreno. Onde, a reta traçada a partir do ponto A cruzar a reta, que é o prolongamento da superfície do terreno, é o ponto K, e a reta AK corresponde altura h das cunhas que serão geradas para resolução do exercício.
3.o (terceiro) passo: Prolongar a reta AB até uma certa distância do muro, e traçar
uma reta perpendicular a este prolongamento. Então, para cima, com o transferidor determina-se o ângulo de atrito muro-solo , entre a reta que é perpendicular ao prolongamento da reta AB e a direção que atua a força de empuxo no muro como é mostrado na Figura 1.1.
OBS. Inicialmente, apenas se conhece a direção da força de empuxo e não o seu valor.
4.o (quarto) passo: Desenhar na figura possíveis cunhas de ruptura ativa do solo
(ou cunhas hipotéticas de ruptura), no mínimo 4 (quatro) cunhas, como ilustra a Figura 1.1. Na Figura 1.1, as cunhas desenhadas foram ABD1, ABD2, ABD3 e ABD4.
5.o (quinto) passo: Determinação da escala de forças.
Como o peso da cunha ABD1, em duas dimensões ou no plano, é igual a:
) BD .( . h . 2 1 ). cunha da altura ).( cunha da base .( 2 1 W1 (1.1) E como .h. 2 1
é uma constante para determinar o peso de qualquer cunha desenhada na Figura 1.1; Então, adota-se .h.
2 1
como sendo a escala de forças do exercício. Assim sendo, tem-se que o peso da cunha 1 (ou cunha ABD1) em escala
métrica será: ) m ( BD h . . 2 1 ) BD .( h . . 2 1 W 1 1 1 (1.2)
Então, com base na escala de forças, tem-se que o peso da cunha é igual ao comprimento da base da cunha, logo:
O peso da cunha 1 será W1 = BD1 = 2,9 m;
O peso da cunha 2 será W2 = BD2 = 4,9 m;
O peso da cunha 3 será W3 = BD3 = 6,9 m; e
O peso da cunha 4 será W4 = BD4 = 8,9 m.
6.o (sexto) passo: Determinação do eixo dos pesos.
Pelo ponto A traça-se uma vertical perpendicular à horizontal (ou a 90o
da horizontal), que passa pelo pé do muro, como ilustra a Figura 1.1. A vertical, em questão, é denominada eixo dos pesos das cunhas.
Sobre a vertical, ou sobre ou eixo dos pesos das cunhas, define-se os seguintes pontos a partir do ponto A.
O ponto Q1 = 2,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso
da cunha 1 (ABD1);
O ponto Q2 = 4,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso
da cunha 2 (ABD2);
O ponto Q3 = 6,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso
da cunha 3 (ABD3); e
O ponto Q4 = 8,9 m, a partir do ponto A, que em escala corresponde ao peso
da cunha 4 (ABD4).
7.o (sétimo) passo: Determinação da coesão, que atua em cada cunha de ruptura
do exercício em escala métrica.
A coesão que atua na cunha ABD1 é igual a:
C1 =c.AD1 (1.3)
em que:
C1 = coesão total que atua na base da cunha 1 (ABD1) (em ton/m);
c = coesão do solo (ton/m2); e
AD1 = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D1 e é medido
na própria Figura 1.1 (em m).
a) S1 = coesão total da cunha de ruptura ABD1 em escala métrica:
Para transformar a coesão total da cunha 1 (ou cunha ABD1) para a escala
métrica, divide-se a coesão total da cunha 1 (ou cunha ABD1) pela escala de forças
. h . 2 1
do exercício; Então, a coesão total da cunha 1 (ou cunha ABD1) em escala
m 44 , 1 2 40 , 7 . 80 , 1 . 1 ) 60 , 9 .( 1 m . m ton m . m ton h . . 2 1 ) AD .( c S 3 2 1 1 em que:
S1 = coesão total que atua na base da cunha 1 (ABD1) (m);
c = coesão do solo (ton/m2);
AD1 = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D1 e é medido
na própria Figura 1.1 (m); h = altura da cunha (m); e
= peso específico do solo (ton/m3).
b) S2 = coesão total da cunha de ruptura ABD2 em escala métrica:
Para transformar a coesão total da cunha 2 (ou cunha ABD2) para a escala
métrica, divide-se a coesão total da cunha 2 (ou cunha ABD2) pela escala de forças
. h . 2 1
do exercício; Então, a coesão total da cunha 2 (ou cunha ABD2) em escala
métrica será: m 65 , 1 2 40 , 7 . 80 , 1 . 1 ) 0 , 11 .( 1 m . m ton m . m ton h . . 2 1 ) AD .( c S 3 2 2 2 em que:
S2 = coesão total que atua na base da cunha 2 (ABD2) (m);
c = coesão do solo (ton/m2);
AD2 = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D2 e é medido
na própria Figura 1.1 (m); h = altura da cunha (m); e
= peso específico do solo (ton/m3).
c) S3 = coesão total da cunha de ruptura ABD3 em escala métrica:
Seguindo-se o mesmo raciocínio anterior, tem-se que a coesão total da cunha de ruptura 3 (ou cunha ABD3) em escala métrica será:
m 88 , 1 2 40 , 7 . 80 , 1 . 1 ) 5 , 12 .( 1 m . m ton m . m ton h . . 2 1 ) AD .( c S 3 2 3 3
em que AD3 = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D3 e é
d) S4 = coesão total da cunha de ruptura ABD4 em escala métrica:
Seguindo-se o mesmo raciocínio anterior, tem-se que a coesão total da cunha de ruptura 4 (ou cunha ABD4) em escala métrica será:
m 13 , 2 2 40 , 7 . 80 , 1 . 1 ) 2 , 14 .( 1 m . m ton m . m ton h . . 2 1 ) AD .( c S 3 2 4 4
em que AD4 = comprimento em metros da reta, que vai do ponto A ao ponto D4 e é
medido na própria Figura 1.1 (em m);
Determinados os valores das coesões totais em escala métrica: S1, S2, S3 e S4;
Então, sobre as retas AD1, AD2, AD3 e AD4 da Figura 1.1 marcam-se,
respectivamente, os pontos correspondentes às coesões S1, S2, S3 e S4 em escala
métrica, os quais são medidos a partir do ponto A, como ilustra a Figura 1.1.
Finalmente, pelos pontos S1, S2, S3 e S4 situados, respectivamente, sobre as
retas AD1, AD2, AD3 e AD4 é traçada uma reta que cruza a reta AK no ponto R como
é mostrado na Figura 1.1. Esta reta é importante, pois através dela é possível determinar graficamente a coesão total de qualquer cunha que seja traçada.
8.o (oitavo) passo: Determinação da direção das forças de atrito das cunhas.
Traça-se uma perpendicular a reta AD4 e em seguida com o uso do transferidor e
com base na reta AD4 e na perpendicular, traça-se para baixo uma nova reta com
ângulo correspondente ao ângulo de atrito do solo (); Então, sobre esta nova reta no sentido para cima atua a força de atrito do solo, a qual se conhece a direção. A Figura 1.1 ilustra a determinação da direção da força de atrito F4, a qual atua sobre a
reta AD4 da cunha ABD4.
De modo similar, ao descrito anteriormente, determina-se as direções das forças de atrito F3, F2 e F1, que atuam, respectivamente, sobre as retas AD3, AD2 e AD1,
que pertencem às cunhas ABD3, ABD2 e ABD1 respectivamente.
9.o (nono) passo: Determinação dos empuxos das cunhas de ruptura e do empuxo
máximo.
Para determinar as forças de empuxo ativo que atuam sobre o muro de arrimo e do empuxo máximo atuante no murro de arrimo, procede-se do seguinte modo: i) Pelos pontos Q1, Q2, Q3 e Q4 são traçadas retas paralelas à direção do empuxo
ativo, como ilustra a Figura 1.1. A direção do empuxo ativo foi definida no início do exercício no 3o (terceiro) passo.
ii) Em seguida pelo ponto S4 é traçada uma reta paralela à força de atrito F4 até a
reta paralela, que passa por S4, cruzar a outra reta paralela que passa pelo Q4; O
ponto de cruzamento das retas paralelas é o ponto P4 como ilustra a Figura 1.1. A
distância entre os pontos Q4 e P4, na escala em metros, corresponde ao empuxo
ativo causado pela cunha de ruptura 4.
iii) Em seguida pelo ponto S3 é traçada uma reta paralela à força de atrito F3 até a
reta paralela, que passa por S3, cruzar a outra reta paralela que passa pelo Q3; O
ponto de cruzamento das retas paralelas é ponto P3 como ilustra a Figura 1.1. A
distância entre os pontos Q3 e P3, na escala em metros, corresponde ao empuxo
ativo causado pela cunha de ruptura 3.
iv) Em seguida, segue-se um procedimento similar aos descritos anteriormente para determinar os empuxos das cunhas 2 e 1.
v) Após, serem traçados os segmentos de retas correspondentes aos empuxos de cada cunha de ruptura hipotética; Então, é traçada pelos pontos P1, P2, P3 e P4 a
curva correspondente à envoltória dos empuxos ativos, como ilustra a Figura 1.1. vi) Finalmente, na Figura 1.1, a máxima distância em metros, paralela às forças de empuxo ativo, entre a reta vertical dos Q e a curva envoltória dos empuxos determina o empuxo ativo máximo atuante no muro, o qual para este exercício é:
PQmáx = 1,2 m (medido na própria Figura1.1)
Então com base na escala de forças do exercício determinada no 5.o (quinto) passo, tem-se que:
h . . 2 1 E forças de escala empuxo de Força PQ A máx Então: m / ton 99 , 7 m . m . m ton ) 20 , 1 .( 40 , 7 . 80 , 1 . 2 1 ) PQ .( h . . 2 1 EA máx 3 OBS(s).
a) A distâncias, em metros, das retas S4P4, S3P3, S2P2 e S1P1 representam
respectivamente as forças de atrito das cunhas de ruptura ativa 1, 2, 3 e 4; as quais podem ser obtidas, multiplicando-se as distâncias S4P4, S3P3, S2P2 e S1P1, em
metros, pela escala de forças do exercício
. .h 2 1 ;
b) A trajetória dos segmentos entre os pontos Q4AS4P4 define, em metros, o
fechamento do polígono de forças da cunha de ruptura ativa 4. Assim sendo, o mesmo raciocínio deve ser seguido para o fechamento dos polígonos de forças das cunhas de ruptura 1, 2 e 3; e
c) O empuxo máximo corresponde à cunha crítica do problema, e o peso da cunha crítica (ABDCRI), em escala, foi Q = 6,6 m; Assim sendo, tem-se que a cunha crítica
ABDCRI tem o comprimento da sua base igual a BDCRI = 6,6 m e está sobre o
alinhamento dos BD(s), e deste modo a cunha crítica corresponderá ao polígono ABDCRI.
Considerações finais: De acordo com Bueno e Vilar (2002), quando se utilizam construções gráficas
para determinação de empuxos, pode-se através de um procedimento empírico determinar o ponto de aplicação do empuxo ativo (Ea) da cunha crítica, que fornece o empuxo máximo. Assim sendo,
determina-se o centro de gravidade da cunha crítica, ou ponto G, e traça-se pelo ponto G uma reta paralela à superfície de escorregamento da cunha crítica; Então, a interseção da reta paralela que passa por G com o muro será o ponto K, onde atua o empuxo (Ea). A Figura 1.2 ilustra a
determinação do ponto K, onde atua o empuxo, quando se utilizam construções gráficas como a descrita anteriormente (método gráfico direto de Coulomb).
Figura 1.2 - Ponto de aplicação do empuxo ativo no muro, quando se utilizam processos gráficos para determinação de empuxos
De acordo com Kurt Gieck, as coordenadas do cento de gravidade de um triângulo são obtidas com base nas coordenadas dos vértices do triângulo como mostra a Figura 1.3.
Figura 1.3 - Determinação das coordenadas do centro de gravidade de um triângulo Referências Bibliográficas
BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Vol. 2. São Carlos - SP: Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 2002. 219p.
GIECK K. Manual de fórmulas técnicas. 3. edição. São Paulo - SP: Hemus Editora Ltda, Ano?. Paginação personalizada.
