EXPERIÊNCIAS DE INVESTIGAÇÃO/EXPLORAÇÃO DE TAREFAS MATEMÁTICAS EM SALA DE AULA

XVIII Encontro Baiano de Educação Matemática A sala de aula de Matemática e suas vertentes

UESC, Ilhéus, Bahia de 03 a 06 de julho de 2019

EXPERIÊNCIAS DE INVESTIGAÇÃO/EXPLORAÇÃO DE TAREFAS MATEMÁTICAS EM SALA DE AULA

Célia Barros Nunes Adelmo Ribeiro de Jesus Gilson Bispo de Jesus

Resumo: O tema a que se propõe esta mesa tem uma sinergia harmoniosa que se reflete

positivamente no ensino-aprendizagem da Matemática. Ela destaca experiências na formação inicial do professor de Matemática pautadas em tarefas de natureza investigativa/exploratória composta por três autores que trazem suas experiências matemáticas. Para isso, eles utilizam, como material de apoio, suas experiências metodológicas com as Tecnologias Digitais, a Teoria das Situações Didáticas e a Resolução de Problemas, buscando abordar conceitos relacionados e explorar as diferentes estratégias de resolução.

Palavras-chave: Experiências Matemáticas. Tarefas de Investigação/Exploração. Resolução

de Problemas. Teoria das Situações Didáticas. Tecnologias Digitais.

INTRODUÇÃO

A experiência matemática, como qualquer outra experiência não se transmite. Cabe a nós, professores, proporcionar condições para que os nossos alunos vivam, adquiram e desenvolvam essa experiência com a finalidade, é claro, de que resolvam tarefas matemáticas, mais especificamente de natureza investigativa/exploratória, sejam elas com a mediação da Resolução de Problemas, das Tecnologias Digitais ou da Teoria das Situações Didáticas. Uma condição necessária, em se tratando da aquisição do saber, é o professor estimular o aluno a construir o seu próprio conhecimento, de modo que ele seja o centro do processo educativo.

As tarefas de natureza investigativa/exploratória ajudam os alunos a trazerem para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, em que ele mesmo assume a postura de um matemático ao formular questões e conjecturas, ao realizar provas e refutações, bem como ao apresentar resultados e poder discutir e argumentar com os colegas e professores. Tudo isso, se configura para nós como um poderoso processo de construção do conhecimento e que, consequentemente favorecerá o envolvimento do aluno na aprendizagem (PONTE; BRO-CADO; OLIVEIRA, 2006).

Os autores referenciados anteriormente, acreditam que o professor tem um papel determinante numa aula de investigação e representa um desafio adicional à sua prática. Ele é chamado a assumir diversos papeis no decorrer de uma investigação: desafiar os alunos, avaliar o seu progresso, raciocinar matematicamente e apoiar o trabalho deles.

O momento de reflexão do professor e o momento de investigação são elementos importantes e necessários aos professores em formação inicial. Portanto, é preciso envolver o licenciando em matemática em atividades que o faça questionar a própria ação docente. Em particular, os futuros professores deverão viver experiências matemáticas que lhes permitam ter uma vivência alargada das diferentes características da matemática enquanto ciência (ALBUQUERQUE et al, 2006), sobretudo aquelas tarefas de natureza investigativa e exploratória.

Neste sentido, o texto aqui apresentado traz experiências de Investigação/Exploração compartilhadas por três autores que as utilizam em suas salas de aula com a finalidade de abordar conceitos matemáticos relacionados e explorar as diferentes estratégias.

AS EXPERIÊNCIAS MATEMÁTICAS

Buscando promover o pensamento matemático de futuros professores através da investigação e da exploração, os trabalhos que se seguem dão uma ideia de como o professor formador pode bem conduzir suas aulas. Maiores discussões e reflexões sobre as experiências aqui relatadas serão dadas no decorrer da apresentação da Mesa de Experiência.

1ª Experiência: Tarefas de Geometria Plana utilizando Tecnologias Digitais

Neste relato é apresentado duas experiências realizadas na Universidade Católica do Salvador (UCSAL), na disciplina Softwares para o Ensino de Matemática na Educação Básica (LAPE II), ministrada para alunos recém ingressos no Curso de Matemática. Como o código já indica, LAPE II é um componente curricular eminentemente prática e mediada pelo professor, quase sempre em um Laboratório de Informática. Neste caso específico será discutido as experiências de naturezas investigativas na turma de 2018.1, com 29 alunos iniciantes, onde é explorado, principalmente, tarefas que trabalham os conceitos fundamentais da Geometria Plana com o Geogebra e Winplot. Além disso, a plataforma Google Classroom foi utilizada como suporte/apoio para compartilhamento de arquivos, vídeos e postagens de várias atividades com esses softwares. Procedendo desta forma – presencial e também a distância – o trabalho com LAPE II tem sido semelhante aos que se tem realizado em algumas das disciplinas do

Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade do Estado da Bahia - UNEB, e gerenciada pela UNEAD/UAB.

As atividades que se apresentam a seguir abordam a relação entre prática e teoria nesta ordem, ou seja, prática → teoria. Em alguns casos, tivemos atividades da forma teoria  prática, semelhantes a uma equivalência lógica, onde teoria e prática se confundiam. Os resultados do nosso trabalho foram bastante satisfatórios, tendo em vista que a grande maioria dos alunos nunca tinham tido contato com programas computacionais.

ATIVIDADE 1: O problema apresentado aos alunos era o de determinar a localização de um Posto (ou uma torre de transmissão de dados), que por razões divisão de despesas, ficasse situado a uma mesma distância das três cidades:

A

lagoinhas,

B

uracica e

C

atu. Os dados do problema eram apenas os pontos A, B, C, que representariam as cidades, e o software Geogebra para plotar o ponto P (posto) e tentar encontrar a solução.

Pelo que se pode ver na figura 2, as tentativas poderiam ser melhoradas, ao ponto de se conseguir uma solução aproximada bem satisfatória. Após algumas tentativas alguns alunos perceberam que o ponto P deveria estar “no meio” dos segmentos que ligam as três cidades. Essa noção imprecisa, dita por alguns alunos, é o que hoje chamamos de “circuncentro”, ou “ponto de encontro das mediatrizes”. Mais tarde apresentamos a solução matemática dessa tarefa, descrita na figura 3a.

É importante destacar que a solução desse problema independe da posição das cidades, ou melhor, quaisquer que sejam os pontos A, B e C do plano, o ponto P é obtido pela interseção das mediatrizes, como podemos ver na figura 3b.

Figura 2 – Problema do Posto e as três Cidades: simulações pelos alunos no Geogebra.

Fonte: Autor.

Fonte: Autor.

ATIVIDADE 2: Dado um triângulo ABC, no formato de um telhado, a tarefa seria colocar um triângulo no seu interior, de forma a proteger essa estrutura. Essa proteção é semelhante à da tesoura de um telhado, utilizada nas construções. Pelo que se vê, a solução do problema seria então uma circunferência que tangenciasse simultaneamente os três lados desse triângulo.

Analogamente à atividade anterior, as simulações realizadas ficam bastante distantes da ideal, mas podem se tornar bem mais aceitáveis, desde que o ponto P seja movimentado convenientemente para uma posição “intermediária” (ver figura 4). Após diversas tentativas, conclui-se que a posição ideal de P é obtida quando conseguimos que esse ponto esteja “entre os ângulos” do triângulo, ou melhor, o ponto esteja na interseção das bissetrizes do triângulo. A figura 5 mostra a Matemática envolvida na solução do problema, onde o incentro é obtido pela interseção das bissetrizes. Além disso, o ponto de tangência pode ser obtido pela interseção da reta que passa pelo centro (incentro) e é perpendicular a reta suporte de um dos lados e o lado.

Figura 4 – Simulações dos alunos no Geogebra.

Figura 5 – Resolução do Problema do Círculo Inscrito e o Incentro.

Fonte: Autor.

2ª Experiência: A Teoria das Situações Didáticas em atividades de Geometria com a mediação do GeoGebra.

Como já destacado acima, a experiência de ensino de Matemática não pode ser transmitida, mas sim vivenciada, cabendo aos professores que atuam na formação inicial do professor de matemática criar condições para o desenvolvimento dessas experiências. A esse respeito, Pires (2002, p. 48) afirma que “[...] ninguém promove o desenvolvimento daquilo que não teve a oportunidade de desenvolver em si mesmo”. Assim, a contribuição que a Teoria das Situações Didáticas – TSD poderia trazer para as aulas de Matemática, infelizmente, em alguma medida, fica esquecida na formação inicial do professor de Matemática, o que pode levar ao futuro professor não promover com os seus alunos experiências de aulas em que a TSD poderia servir de base para o planejamento e desenvolvimento das aulas.

A partir dessa reflexão, pretende-se socializar uma experiência a partir de atividades desenvolvidas em um ambiente de Geometria Dinâmica, que foram planejadas e aplicadas com referência na TSD, com alunos da Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia – UFRB. As atividades são de natureza investigativa/exploratória, e visam à construção do conhecimento pelo próprio sujeito. Isto é, o saber não é “transmitido” ao aprendiz, mas ele, ao interagir com as atividades e com o GeoGebra, pode construir ou ampliar conceitos geométricos e, consequentemente, aprenderem a respeito de uma alternativa para ensinar matemática. Ratifica-se uma discussão didática das atividades, com referência na TSD, após a exploração e vivência delas.

Corroborando com este processo, a TSD fornece um embasamento teórico que deve ser lavado em conta ao se preparar e apresentar atividades sobre conteúdos matemáticos. Fizemos uso dessa teoria na concepção e aplicação das atividades, além de tomá-la como referência nas

discussões didáticas quando a execução das atividades eram encerradas. Segundo Brousseau (1986), o objetivo da TSD é caracterizar o processo de aprendizagem por uma série de situações reprodutíveis, que conduzem a uma modificação de um conjunto de comportamentos dos aprendizes. Esta modificação é que gera o conhecimento, isto é, a aprendizagem com significado.

Para analisar o processo de ensino e aprendizagem, a TSD o decompõe em quatro fases diferentes: ação, formulação, validação e institucionalização, sendo que as três primeiras caracterizam a fase adidática, ou seja, fase na qual a intenção de ensinar não é revelada ao aprendiz, porém foi planejada para lhe dar condições de se apropriar do novo saber que se deseja ensinar. Essa situação é caracterizada por um conjunto de atividades que faça o aprendiz agir, falar e refletir, de forma a adquirir novos conhecimentos por meio dessa situação, isto é, sem apelo a razões didáticas impostas.

Assim, o trabalho do professor se inicia com a escolha das atividades a serem trabalhadas com os alunos. Esta é uma etapa fundamental e deve ser realizada com bastante cuidado pelo professor, já que ele é quem conhece a realidade da turma e terá a capacidade de fazer escolhas adequadas para favorecer a aprendizagem dos alunos.

Nas três fases adidáticas o aluno é o ator principal do processo, ou seja, é ele quem age, formula e valida. É importante salientar que apesar dessas fases proporcionarem momentos de extrema importância na construção do conhecimento do aluno, elas podem deixar conhecimentos falsos, validados de forma incorreta, já que o aluno trabalha de forma mais livre e sem a interferência direta do professor. Logo, é necessário outro tipo de fase: a institucionalização.

Nesta fase o saber torna-se oficial, e os aprendizes podem incorporá-lo a seus esquemas mentais, tornando-o assim disponível para utilização na resolução de futuros problemas matemáticos. Além disso, nessa fase ocorre uma intervenção direta do professor, visando estabelecer o caráter do objeto e a universalidade do conhecimento, permitindo ao aluno criar uma linguagem própria ou um conhecimento mais individualizado. No entanto, este conhecimento precisa ser aceito tanto pelo meio social quanto pelo científico, extrapolando o contexto local em que foi gerado. Então, cabe ao professor, selecionar os pontos essenciais que devem passar a constituir um saber formal, oficial a ser incorporado como patrimônio cultural pronto para ser utilizado em novas ocasiões. Cabe destacar que essas fases estão extremamente interligadas, de forma que não percebemos seus limites, ou seja, onde termina uma e começa a outra.

Por fim, iremos socializar no decorrer da Mesa de Experiência, duas atividades que constam no Quadro 1, com o intuito de exemplificar como, em geral, ocorre as experimentações e as discutiremos com base na TSD.

Quadro 1: Atividades de geometria mediadas pelo GeoGebra com foco na TSD. Fonte: Autor.

3ª Experiência: Um problema gerador do Teorema da Semelhança de Triângulos

Em geral, quando se utiliza a expressão resolução de problemas quer-se referir a tarefas matemáticas que têm o potencial de proporcionar desafios intelectuais que podem melhorar o desenvolvimento matemático dos alunos. Tais tarefas – isto é, problemas – podem promover o entendimento conceitual dos alunos, cultivar sua habilidade de raciocinar e se comunicar matematicamente, e despertar seu interesse e curiosidade. A Metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas é um caminho eficaz para isso. Ela permite aprender de uma forma ativa, ajudar os alunos a construírem conhecimento matemático novo e também testar seus conhecimentos sobre os diversos temas de ensino.

Um esquema de aula para trabalhar em sala de aula com essa metodologia é proposto por Onuchic (2013), cuja esquematização consiste na formação de grupos, de forma que o professor assuma uma nova postura de mediador, na exposição, discussão e análise dos resultados obtidos pelos alunos, objetivando concordância entre os alunos, a formalização do

ATIVIDADE 01

a) Crie uma circunferência de centro O e um de seus pontos A;

b) Construa um quadrilátero ABCD com os vértices pertencentes à circunferência; c) Qual o valor da soma das medidas dos ângulos não adjacentes desse quadrilátero?

d) Movimente os vértices do quadrilátero e verifique o que ocorre com o valor das somas determinadas anteriormente.

e) O que você pode conjecturar? Escreva. f) Justifique matematicamente essa conjectura.

ATIVIDADE 02

a) Construa um quadrilátero ABCD, tal que a soma de seus ângulos opostos tenha valor 180º. b) Crie uma circunferência a partir de três vértices do quadrilátero. O que você observou? c) Movimente qualquer um dos vértices do quadrilátero e observe o que ocorre. O que você pode

conteúdo e, por fim, a proposição de novos problemas. O esquema se apresenta em dez etapas1: (1) proposição do problema, (2) leitura individual, (3) leitura em conjunto, (4) resolução do problema, (5) observar e incentivar, (6) registro das resoluções na lousa, (7) plenária, (8) busca do consenso, (9) formalização do conteúdo, (10) proposição e resolução de novos problemas. (ALLEVATO; ONUCHIC, 2014, p.44-45).

Essa metodologia não valoriza a mecanização do conhecimento. Pelo contrário, tem por meta “ajudar os alunos a se tornarem investigadores diante de uma situação desafiadora, um problema, de forma a compreender e questionar os conceitos de que irão necessitar para resolvê-lo” (MENINO; ONUCHIC, 2017, p. 226).

Outro aspecto importante a considerar nessa metodologia é em relação ao planejamento e ao desenvolvimento da aula a ser trabalhada a partir da resolução de problemas. O Grupo de Trabalho e Estudos em Resolução de Problemas (GTERP) traz uma proposta de planejamento para o professor: primeiro é apresentado o problema, em seguida discute-se o nível de dificuldade desse problema, levando-se em conta o grau de escolaridade mínimo do aluno para resolvê-lo, depois são colocados os objetivos, as possíveis estratégias de resolução, a formalização e, no final, são feitos alguns comentários pertinentes (MENINO; ONUCHIC, 2017).

O problema proposto aos alunos - problema gerador - aquele conduzirá ao conteúdo que o professor planejou construir naquela aula se apresentou conforme Quadro 2

Quadro 2: Problema gerador do conceito de Triângulos Semelhantes

Desenhe um triângulo ABC e faça o que se pede:

1) Trace uma paralela B’C’ ao lado de BC e verifique se os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes. 2) Construa, usando régua e compasso, um triângulo PQR cujos lados medem respectivamente o dobro dos lados do triângulo ABC, e verifique se eles são semelhantes.

3) Que conclusões se pode tirar de (a) e (b) em relação aos ângulos e lados dos triângulos ABC, AB’C’ e PQR?

Fonte: Autor

Com este problema pretendia-se que a atividade desencadeasse atitudes de busca e investigação/exploração em uma turma de estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática da Universidade do Estado da Bahia (UNEB), de modo que a atividade trouxesse uma dimensão experimental ao trabalho quando recorressem aos instrumentos de desenho

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geométrico (régua, compasso e transferidor) e utilizassem a Metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação da Matemática através da Resolução de Problemas.

De fato, isto foi ocorrendo durante a resolução do problema, com a mediação e intervenção da professora-pesquisadora. Os alunos foram explorando intuitivamente as figuras obtidas, levantando conjecturas, discutindo e argumentando suas ideias e generalizando até chegarem ao Teorema Fundamental da Semelhança entre triângulos, conforme figura 6.

Figura 6: Triângulos Semelhantes

Fonte: Dados de pesquisa

É esperado que o ensino-aprendizagem do conceito e das propriedades de semelhança de triângulos, sendo trabalhado na perspectiva da Metodologia de Ensino-aprendizagem-avaliação de matemática através da Resolução de Problemas, por meio de uma ação refletida, pode permitir ao aluno significativos avanços na compreensão de conceitos, propriedades e conteúdos matemáticos, podendo até chegar à demonstração do Teorema da Semelhança de Triângulos, conforme a construção feita por um aluno (figura 6).

É importante destacar que conceitos e conteúdos foram reconstruídos pelos alunos, não de maneira convencional como já tinham visto, mas com sua participação ativa, sobretudo no momento da Plenária que gerou grandes discussões coletivas.

Outra possível resolução para este problema seria utilizar como recurso o software GeoGebra, no entanto, o professor deve assegurar-se de que o aluno tenha conhecimento da teoria desejada, para então fazer uso de um software geométrico específico, o qual possibilitará

sair de uma geometria estática para uma forma mais dinâmica, constituindo-se esse recurso como uma ferramenta poderosa na resolução de problemas, bem como nas atividades de exploração, investigação e descoberta em Geometria e na Matemática em geral.

REFLEXÕES FINAIS

Esperamos que as experiências matemáticas aqui apresentadas sirvam de estímulo aos estudantes (licenciandos), professores e pesquisadores a repensar suas posturas com relação às tarefas de ensino-aprendizagem investigativa/exploratória e a compreender a necessidade de constitui-las como um eixo estruturador das atividades matemáticas em sala de aula.

REFERÊNCIAS

ALBUQUERQUE, C; et all. A matemática na formação inicial de professores. Lisboa: APM, 2010.

ALLEVATO, N. S.; ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática: por que através da resolução de problemas? In L. R. Onuchic, N. S. Allevato, F. C. Noguti, & A. M. Justulin (Org.), Resolução de Problemas: teoria e prática. Jundiaí: Paco Editorial, 2014, p. 35–52. BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de la didáctique des mathématiques. Recherches en

Didactique des Mathématiques, v..7, n. 2,1986, p. 33-115.

CANAVARRO, A. P. Ensino exploratório da Matemática: práticas e desafios. Educação e

Matemática, Lisboa, n. 115, p. 11-17, 2011.

MENINO, F. ; ONUCHIC, L. R. O Problema da Calha e o uso da Metodologia de

Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática nos Cursos de Engenharia. In: ONUCHIC, L.R.; LEAL Jr., L.C., PIRONEL, M. (Orgs.) Perspectivas para a Resolução de Problemas. São Paulo, Editora Livra-ria da Física, 2017. p. 221-246.

ONUCHIC, L. R.. A resolução de problemas na educação matemática. Onde estamos? E para onde iremos? In: Espaço Pedagógico, v. 20, n. 01, Passo Fundo, jan./jun. 2013, p. 88-104, 2013. Disponível em: <http://www.upf.br/seer/index.php/rep.> Acesso em: 20 de janeiro 2019.

PIRES, C. M. C.. Reflexões sobre os cursos de Licenciatura em Matemática, tomando como referência as orientações propostas nas Diretrizes Curriculares Nacionais para a formação de professores da Educação Básica. Educação Matemática em Revista, São Paulo, n. 11a (abr.), 2002, p. 44 – 56. PONTE, J.P.; BROCADO J.; OLIVEIRA, H.. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. 1ª ed., Belo Horizonte: Autêntica, 2006.