Medidas de Gibbs e Teorema de Aizenman-Higuchi

(1)

Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´atica

Medidas de Gibbs

e

Teorema de Aizenman-Higuchi

por

Elias da Costa

(2)

Instituto de Ciˆencias Exatas

Departamento de Matem´atica

Medida de Gibbs

e

Teorema de Aizenman-Higuchi

por

Elias da Costa

Disserta¸cão apresentada ao Departamento de Matemática da Universi-dade de Bras´ılia, como parte dos requisitos para obten¸cão do grau de

MESTRE EM MATEM ´ATICA

Bras´ılia, 7 de Mar¸co 2013.

Comiss˜ao Examinadora:

Leandro Martins Cioletti - MAT/UnB (Orientador)

Rodrigo Bissacot Proen¸ca - IME/USP - Membro

(3)

Na primeira parte deste trabalho, apresentamos a teoria geral das medidas de Gibbs. A abordagem é baseada nas equa¸cões DLR e no formalismo termodinâmico. Em seguida, estudamos o modelo de Ising ferromagnético bidimensional. Mos-tramos que este modelo possui a propriedade forte de Markov e também algumas desigualdades de correla¸cão, por exemplo a desigualdade de FKG.

Por último provamos o Teorema de Aizenman-Higuchi o principal resultado desta disserta¸cão. Este teorema sobre decomposi¸cão extremal foi provado inde-pendentemente, no in´ıcio dos anos oitenta, por Michael Aizenman e Atsushi Hi-guchi, ambos baseados nos trabalhos de Lucio Russo. A prova dada aqui, devido a Aizenman, se baseia na investiga¸cão das simetrias dos espa¸cos de configura¸cões duplas e na aplica¸cão sistemática da desigualdade de FKG e das equa¸cões DLR.

Palavras-chave: Medidas de Gibbs, Modelo de Ising, transi¸c˜ao de fase, condi¸c˜ao de unicidade de Dobrushin, teorema de Aizenman-Higuchi.

(4)

(5)

In the first part of this work, we present the general Gibbs measure theory. The approach is based on the DLR equations and the Thermodynamical Formalism.

Next we study the ferromagnetic Ising model on the square lattice. We prove that this model satisfy the strong Markov property and also prove some correlation inequalities, as for example FKG.

In the end we prove the Aizenman-Higuchi’s theorem which is the main result of this master thesis. This theorem is about extremal decomposition and it was proved independently by Michael Aizenman and Atsushi Higuchi, both based on the work of Lucio Russo. The proof given here is due to Aizenman and is made by the investigation of the double configuration space symetries and systematic application of the FKG inequality and the DLR equations.

Keywords: Gibbs measures, Ising model, phase transition, Dobrushin’s unique-ness condition, Aizenman-Higuchi theorem.

(6)

Introdu¸c˜ao 1

I

Sobre a existˆ

encia de Medidas de Gibbs

3

1 Medida e especifica¸c˜ao DLR 5

1.1 Campo aleat´orio . . . 6

1.1.1 Defini¸c˜oes . . . 6

1.2 Nota¸c˜ao e terminologia . . . 7

1.2.1 Proje¸c˜oes . . . 7

1.2.2 A σ-´algebra dos cilindros . . . 8

1.2.3 Produto de medidas. . . 9

1.2.4 Campo aleat´orio canˆonico. . . 10

1.3 Equa¸c˜oes de Dobrushin-Lanford-Ruelle . . . 11

1.3.1 N´ucleo de medidas . . . 12

1.3.2 Nota¸c˜oes especiais . . . 13

1.4 Especifica¸c˜ao DLR . . . 15

1.4.1 Especifica¸c˜ao local . . . 15

1.4.2 A especifica¸c˜ao independente. . . 17

1.5 λ-modifica¸c˜ao e λ-especifica¸c˜ao . . . 18

2 Medida e especifica¸c˜oes de Gibbs 23 2.1 λ-modifica¸c˜ao na forma exponencial . . . 23

2.1.1 λ-modifica¸cão dadas por pré-modifica¸cão . . . 24

2.1.2 Pr´e-modifica¸c˜oes dadas por hamiltonianos . . . 24

2.1.3 Hamiltonianos dados por potenciais de intera¸c˜ao. . . 27

2.2 Medidas de Gibbs . . . 31

2.3 Grupos de simetrias e especifica¸c˜oes de Gibbs . . . 32

3 Existˆencia de medidas de Gibbs 35

(7)

3.2 Topologia da convergˆencia local . . . 37

3.3 Podemos identificar as topologias da convergˆencia local e da convergˆencia fraca-∗? . . . 38

3.4 A topologia da convergência local é metrizável? . . . 39

3.5 O limite Termodinˆamico . . . 41

II

Modelo de Ising

43

4 Circuitos e Propriedades Extremais das Medidas de Gibbs 45 4.1 M´etricas em redes. . . 45

4.2 Caminhos em redes . . . 46

4.3 Mergulhos de Z2 _em _C _{. . . 46}

4.4 Conexidade em redes . . . 47

4.4.1 Clusters . . . 47

4.4.2 Circuitos . . . 47

4.5 Medidas extremais . . . 47

5 Propriedades Estoc´asticas 49 5.1 Modelo de Ising em Zd _{. . . 49}

5.1.1 Preliminares . . . 49

5.1.2 O Modelo de Ising em Z2 _{de primeiros vizinhos . . . 50}

5.2 A Desigualdades de FKG . . . 52

III

Transi¸

c˜

ao de fase

55

6 O Teorema de Aizenman-Higuchi 57 6.1 Resultados Cl´assicos . . . 57

6.1.1 O Lema de Messager e Miracle-Sole . . . 57

6.1.2 M´etodo dos clusters infinitos . . . 58

6.1.3 Identifica¸c˜ao de Interfaces . . . 58

6.2 Preliminares . . . 58

6.3 Instabilidade de faces singulares . . . 59

(8)

IV

Apˆ

endices

71

A Topologia Geral 73

A.1 Espa¸co Topol´ogico. . . 73

A.2 Topologia gerada. . . 74

A.2.1 Base e sub-base. . . 74

A.2.2 Topologia induzida e convergˆencia. . . 75

A.3 Compacidade . . . 75

B Teoria da Medida 77 B.1 Mensurabilidade . . . 77

B.2 Teoremas de convergˆencia. . . 77

B.3 Teoremas de integra¸c˜ao multipla. . . 78

B.4 Derivadas de Radon-Nikodym . . . 79

C An´alise Funcional 81 C.1 Representa¸c˜ao de Riez-Markov . . . 81

C.2 Convexidade e Decomposi¸c˜ao extremal . . . 82

D Probabilidade 83 D.1 Probabilidade e esperan¸ca Condicional . . . 83

D.2 Kolmogorov: extens˜oes de medidas de probabilidade . . . 84

D.3 Convergˆencia e convergˆencia fraca . . . 84

(9)

O teorema de Aizenman-Higuchi descreve a estrutura das medidas de Gibbs asso-ciadas ao modelo de Ising bidimensional ferromagnético de alcance um em todas as temperaturas. Mas a sua grande importância está em descrever o conjunto das medidas de Gibbs para temperaturas menores que a temperatura cr´ıtica nas quais o modelo apresenta trasi¸cão de fase. O modelo foi proposto a Ernst Ising por seu supervisor de Doutorado, o f´ısico Wilhelm Lenz em 1920, como um modelo teórico para estudar a transi¸cão de fase em materiais ferromagnéticos. Inicialmente o modelo se mostrou pouco promissor pois as investiga¸cões de Ising mostraram que o modelo não apresenta transi¸cão de fase para o caso unidimensional levando a comunidade cient´ıfica a suspeitar que o modelo dificilmente apresentasse transi¸cão de fase no caso bidimensional e tridimensional.

Mas em 1944 o f´ısico-qu´ımico Lars Onsager mostrou que acima de uma tem-peratura cr´ıtica o modelo de Ising bidimensional apresenta transi¸cão de fase na ausência de campo magnético externo. Uma caracter´ıstica do modelo de Ising é que em raros casos admite solu¸cões explicitas ou mesmo os potenciais termo-dinâmicos relevantes não podem ser exibidos explicitamente. Por outro lado, esses aspectos do modelo levaram ao desenvolvimento de muitas técnicas matemáticas de alto n´ıvel para obter resultados de grande importância em diversos outros campos que não a Matemática. Assim, em 1968 o Premio Nobel de Qu´ımica é concedido a Onsager pelo cálculo da temperatura cr´ıtica no modelo de Ising Bidimensional e por outras contribui¸cões à F´ısica-Estat´ıstica.

Nas décadas de 60 e 70 do século XX, o matemático Roland Dobrushin intro-duziu na mecânica estat´ıstica (simultaneamente com O. Lanford e D. Ruelle) as equa¸cões DLR para as medidas de Gibbs o que possibilitou um tratamento pro-babil´ıstico rigoroso do modelo de Ising. Dobrushin também provou a existência de transi¸cão de fase para os modelos de Ising bidimensional e tridimensional e posteriormente para modelos de gás sobre rede em um contexto mais geral.

Os estudos de Dobrushin despertaram definitivamente o interesse de f´ısicos e matemáticos pelo modelo. Esse interesse culminou com o premio Nobel de F´ısica concedido a Kenneth G. Wilson por seus estudos do grupo de renormaliza¸cão no modelo de Ising e, do ponto de vista matemático, em um dos mais celebrados teoremas da Mecânica Estat´ıstica do Equil´ıbrio: o Teorema de Aizenman-Higuchi. Este resultado foi provando independentemente por Michael Aizenman e

(10)

sushi Higuchi no final da última década de 70. Ambos se basearam em resultados de Lúcio Russo obtidos por métodos de Geometria Estocástica.

O modelo de Ising é o protótipo de todos os modelos da Mecânica Estat´ıstica. Muitos estudos sobre transi¸cão de fase em Mecânica Estat´ıstica, Movimento Brow-niano, Mecânica Estat´ıstica Quantica e Geometria Estocástica está ligado aos métodos matemáticos que surgiram para estudar a transi¸cão de fase no modelo de Ising. Para se ter uma ideia do sucesso deste modelo, observamos que de 1974 até 2013, de acordo com a base de dados Scopus, existem quase dezoito mil pu-blica¸cões cient´ıficas que versam sobre ao modelo de Ising. Do ponto de vista de publica¸cões cient´ıficas indexadas apenas pela da American Mathematical Society, da segunda metade do século XX até o presente, existem quase quatro mil pu-blica¸cões envolvendo o modelo de Ising.

Estudos inspirados no modelo de Ising foram razão em duas ocasiões distintas para matemáticos receberem a Medalha Fields no século XXI. A mais distinta honraria que um matemático pode receber. Em 2006, Wendelin Werner recebe a Medalha Fields por suas contribui¸cões ao desenvolvimento de leis estocásticas de evolu¸cão e Geometria Estocástica do movimento browniano bidimensional. E em 2010, Stanislav Smirnov recebe a Medalha Fields pela prova de invariância conformal de percola¸cão e estudos do modelo de Ising planar.

A primeira parte desta disserta¸cão trata da existência de medidas de Gibbs. O cap´ıtulo 1 introduz o aparato de Teoria da Medida necessário para discutir as equa¸cões DLR. O Cap´ıtulo 2 discute as medidas de DLR definidas por potenciais de intera¸cão entre s´ıtios, O cap´ıtulo 3 apresenta a topologia da convergência local que define o limite termodinâmico. Para a medidas de Gibbs para o modelo de Ising a topologia da convergência local coincide com a topologia fraco*. Poder´ıamos, assim ter evitado tratarmos da topologia da convergência local. Mas preferimos aborda-la por entendermos que o leitor merece uma visão global sobre o problema da existência das medidas de Gibbs em diversos contextos.

A segunda parte constitu´ıda dos cap´ıtulos 4 e 5 é um compêndio das principais propriedades estocásticas que usamos no último cap´ıtulo. O Cap´ıtulo 4 introduz as diversas no¸cões de métricas e circuitos nas redes Z2 _e _Z2∗ _{e propriedades} es-tocásticas gerais das medidadas de Gibbs. O cap´ıtulo 5 introduz propriedades estocásticas espec´ıficas do modelo de Ising.

A terceira e última parte, constitu´ıda do último cap´ıtulo, trata da descri¸cão da transi¸cão de fase do modelo de Ising. O teorema de Aizenman-Higuchi é apre-sentado como a seguinte afirma¸cão: abaixo da temperatura cr´ıtica ( onde ocorre a transi¸cão de fase) todas as medidas de Gibbs do modelo de Ising ferromagnético bidimencional de alcance um são da forma

α·µ+_β + (1−α)·µ−_β, α∈[0,1]

(11)

Sobre a existˆ

encia de Medidas de

Gibbs

(12)

(13)

Medida e especifica¸

c˜

ao DLR

Introdu¸

c˜

ao

O objetivo deste cap´ıtulo é apresentar três conceitos cuja motiva¸cão advém da constru¸cão da chamada medida DLR. Assim chamada em honra a três eminen-tes matemáticos; Dobrushin, Lanford e Ruelle por suas contribui¸cões seminais à Mecânica Estat´ıstica do Equil´ıbrio na última metade do século XX.

O primeiro conceito apresentado na Se¸cão 1.1 é o de campo aleatório cuja de-fini¸cão depende do conhecimentoa priori de outras defini¸cões: espa¸co de estados, espa¸co de configura¸cões e rede. Em seguida, mostramos que todo campo aleatório pode ser identificado com seu campo aleatório canônico. Tal identifica¸cão lida com produto de espa¸cos mensuráveis e com proje¸cões envolvendo o produto cartesiano.

Na Se¸cão1.3 as medidas DLR são introduzidas como um campo aleatório que é caracterizado pela condi¸cão DLR. Condi¸cão que nos leva a tratar na Se¸cão 1.4 de núcleos de medida, especifica¸cões, especifica¸cões DLR e especifica¸cões independen-tes. É precisamente em especifica¸cões independentes que a condi¸cão DLR coincide com a condi¸cão de consistência de Kolmogorov. Nas diversas caracteriza¸cões da condi¸cão DLR é preciso estabelecer alguma terminologia e nota¸cão.

Uma λ-modifica¸cão, como introduzida na Se¸cão 1.5, permite construir uma especifica¸cão DLR não trivial transformando uma especifica¸cão independente em umaλ-especifica¸cão. O principal resultado deste cap´ıtulo é o Teorema 1.1 que ca-racteriza umaλ-modifica¸cão em termos das propriedades operatórias da se¸cão1.3.2.

O outro objetivo deste cap´ıtulo é estabelescermos o necessário para mostrarmos a existência de medidas de Gibbs no Cap´ıtulo 3, uma vez que Medidas de Gibbs, como veremos no Cap´ıtulo 2, serão um caso particular de medidas DLR.

(14)

1.1 Campo aleat´

orio

1.1.1 Defini¸

c˜

oes

Em toda esta se¸cão seguimos as defini¸cões e nota¸cões da referência [15] com ligeiras modifica¸cões visando uma apresenta¸cão rápida do problema da transi¸cão de fase em Mecânica Estat´ıstica. Os modelos da Mecânica Estat´ıstica podem ser estabelecidos a partir da seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 1.1. SejaTum conjunto não vazio e uma fam´ılia de variáveis aleatórias

σ = (σi)i∈T definidas sobre um espa¸co de probabilidades (Ω,F, µ)e tomando

valo-res no espa¸co mensur´avel (E,E₎_{. Chamamos o par} _µ,₍_σ_i₎_i_∈_T_{de campo aleat´orio.}

Na terminologia da Mecânica Estat´ıstica E é chamado de espa¸co de estados e Ω é chamado de espa¸co de configura¸cões. Contudo, a menos de men¸cão em contrário, designaremos respectivamente (E,E_{) e (Ω}_,F_{) também por espa¸co de}

estados e espa¸co de configura¸cões por uma questão de comodidade. Esta defini¸cão nos remete a pergunta a seguir.

Questão 1.1. Dada uma fam´ılia {σi}i∈T de variáveis aleatórias σi : (Ω,F) →

(E,E₎ _{existe uma medida de probabilidade} _µ _sobre _(Ω_,F₎ _{tal que} _µ,₍_σ_i₎_i_∈T _´e um campo aleat´orio?

O primeiro passo à solu¸cão desta questão é a rela¸cão de equivalência a seguir.

Defini¸c˜ao 1.2. Dizemos que dois campos aleat´orios µ,(θt)t∈T

e ν,(σt)t∈T

s˜ao equivalentes, e denotamos por µ,(θt)t∈T

∼ ν,(σt)t∈T

se ambos tem o mesmo espa¸co de estados e as medidas de probabilidade ν(θt−1(·))e µ(σ−1t (·))induzidas

por cada σi s˜ao idˆenticas para todo t ∈T.

Esta rela¸cão nos permite uma classifica¸cão de modo que campos aleatórios de uma mesma classe são do ponto de vista probabil´ıstico essencialmente os mes-mos. Explorando a Defini¸cão 1.2, gostar´ıamos de trabalhar com campos aleatórios mais tratáveis poss´ıveis do ponto de vista construtivo. Mais precisamente temos a seguinte questão.

Questão 1.2. Seja (E,E₎ _{um espa¸co mensurável. Dado um campo aleatório}

µ,(σi)i∈T

com espa¸co de estados(E,E₎_{é poss´ıvel construir uma fam´ılia} _{_θ_i_}_i_∈T de fun¸cões mensuráveis θi : (Ξ,A) → (E,E) e uma medida ν : Ξ → [0,1] tal que

ν,(θi)i∈T

∼ µ,(σi)i∈T

?

A resposta é sim. E mais, podemos construir um campo aleatório a partir de qualquer espa¸co de mensurável (E,E_{) como será feito no cap´ıtulo 3 sob hipóteses}

(15)

1.2 Nota¸

c˜

ao e terminologia

1.2.1 Proje¸

c˜

oes

Em todo este texto, a menos de men¸cão em contrário, T denota um conjunto enumerável. Para cadaV ⊂T seja EV _{o conjunto das fun¸cões de} _V _em _E_, _i.e._{, o}

conjunto das fam´ılias ωV , (ωi)i∈V com ωi ∈ E. Se V = A∪B, a justa posi¸c˜ao

ωAωB tamb´em denota ωV. Na terminologia da Mecˆanica Estat´ıstica os ´ındices

i que moram em T são denominados s´ıtios o conjunto T é denominado rede ou conjunto de parâmetros.

Ainda como acima, para V ⊂ T denominamos cada ωV = (ωi)i∈V de

confi-gura¸c˜aoem EV_{. Para o caso espec´ıfico de} _V ₌_T _{fixamos a nota¸c˜ao} _ω₌_ω

T. E o valorωi ∈Eatribu´ıdo a cada s´ıtio por uma fun¸c˜aoω :T→Eque mora em

ET _{´e chamado de estado da configura¸c˜ao} _ω _{no s´ıtio} _i_{. Isto, sugere a terminologia}

espa¸co de configura¸cõespara o conjunto Ω e espa¸co de estadospara o conjunto E. Seguiremos usando a nota¸cão V ⋐ _{T, que atualmente é usual em Mecânica}

Estat´ıstica clássica, para designar um subconjunto V deT que é finito. Se vale a rela¸cãoV ⋐_T _então _V _{é chamado de} _{volume finito}_.

Defini¸c˜ao 1.3(Produto cartesiano). SejaV ⊂Tum conjunto qualquer de ´ındices. Definimos o produto cartesiano Q_i_∈_V Ei _{de uma fam´ılia} _{_Ei_}

i∈V de conjuntos n˜ao

vazios Ei _{sendo o conjunto de todas as fun¸c˜oes} _ω_{= (}_ω

i)i∈V dadas por

V ∋i7→ωi ∈

[

i∈V

Ei

tal queωi ∈Ei. No caso particular deEi =Epara qualquer ´ındicei∈V denotamos

o produt´orio por EV

Defini¸cão 1.4 (Proje¸cão). Seja Λ⊂Γ⊂T. Denotamos, por ΠΓ,Λ, a proje¸cão

EΓ ∋ωΓ 7→ωΛ∈EΛ.

(16)

1.2.2 A

σ

-´

algebra dos cilindros

A partir de agora estabelecemos as no¸cões de mensurabilidade que precisamos. Mais precisamente, definiremos usando a nota¸cão t´ıpica da Mecânica Estat´ıstica a

σ-´algebra dos cilindros.

Defini¸c˜ao 1.5. Seja V′ _⊂_V _⊂_T_{. Um conjunto} _C _em _EV _{´e chamado de cilindro}

com base B em EV′

ou simplesmente um V′-cilindro em EV _se

C = Π−1_V,V′(B) = {ωV ∈EV : ΠV,V′(ω_V)∈B}=B×EV\V ′

.

Observa¸c˜ao 1.1. Observe que para todo Γ ⋐ _T _{temos que} EΓ _{coincide com a}

σ-´agebra em EΛ _{gerada pelos retˆangulos} _B1 _×_{. . .}_×_B|Λ| _com _B1_{, . . . , B}|Λ|_∈_E_.

Defini¸cão 1.6 (σ-álgebra dos cilindros). Sejam (E,E₎ _{um espa¸co mensurável e}

V ⊂ T. Denotamos por σ(ΠT,Γ)_Γ⋐V ou FV a σ-´algebra sobre ET gerada pelos

cilindros em ET _{com base}_B _∈_EΛ _onde_Λ_{percorre todos os volume finitos contidos}

em V.

Para Λ⋐_T _{denotamos por} _J_Λ _a_σ_-´algebra _F_{T\Λ. Chamamos}_J_Λ _de_σ_-´algebra

dos eventos externos a Λ e J ,_∩_Λ_⋐_T_J_Λ _de_σ_{-´algebra caudal. Por fim, fazemos a}

conven¸c˜ao F∅ ={∅,ET}.

Defini¸cão 1.7 (σ-álgebra dos cilindros-caso geral). Sejam um espa¸co mensurável

(E,E₎ _e _V′ _⊂ _V _⊂ T. Denotamos por σ(ΠV,Γ)_Γ⋐V′ a σ-´algebra sobre EV gerada

pelos cilindros em EV _{com base} _B _∈ _EΛ _onde _Λ _{percorre todos os volume finitos}

contidos em V′.

´

E f´acil ver ent˜ao que para todoV ⊂Te todo parA, B ⊂V tal que A∪B =V

e A∩B = ∅ que temos σ(ΠVΓ)Γ⋐V = σ(ΠAΓ)Γ⋐A⊗σ(ΠBΓ)Γ⋐B. Em particular,

para todo Λ⋐_T _temos _F ,_σ_(Π_TΓ)Γ_⋐_T ₌_F_Λ_{⊗ J}_Λ.

Defini¸cão 1.8. Uma fun¸cão f : ET _→ _R _{é chamada de fun¸cão} _V_{-cil´ındrica se}

para todo I ⊂R existe um BI ∈EV

f−1(I) = Π−1_V (BI),

isto ´e, se a imagem inversa de qualquer I ⊂R por f ´e um V-cilindro em ET_.

Proposi¸cão 1.1. Seja V ⊂ T. Uma fun¸cão f : ET _→ _R _{é uma fun¸cão} _V

-cil´ındrica, se e somente se,

f(ωVηT\V) =f(ωVζT\V) (1.1)

(17)

Demonstra¸cão. Suponha que f seja uma fun¸cão V-cil´ındrica. Então para todo

r∈Rexiste para algum Br ⊂EV tal quef−1(r) = Π−1_V (Br) =Br×ET\V . O que

´e equivalente ao fato de que para todo par de configura¸c˜oesωΓηT\V ∈B×ET\V e

ωVζT\V ∈B×ET\V temos

ωVηT\V ∈f−1(r) e ωVζT\V ∈f−1(r),

ou seja, f(ωVηT\V) = f(ωVζT\V) = r para todo η, ζ ∈ ET. A rec´ıproca ´e

con-sequˆencia direta da defini¸c˜ao.

Proposi¸cão 1.2. Toda fun¸cão f : ET _→ _R _{mensurável com respeito a} _σ_-álgebra

FV ´e uma fun¸c˜ao V-cil´ındrica.

Demonstra¸cão. Todos os conjuntos finitos Γ que determinam as proje¸cões ΠTΓque geram a σ-álgebra FV estão variando apenas em V. Logo, todos os conjuntos de

FV s˜ao da formaA×ET\V para algum A⊂EV. Logo para qualquerω∈ET com

f(ωVωT\V) = r temos f−1(r) = A×ET\V. Portanto, para qualquerηT\V, ζT\V ∈

ET\V _temos

f(ωVηT\V) = f(ωVζT\V) = r.

1.2.3 Produto de medidas.

SejaP₍_Ei_,_Ei_{) o conjunto das medidas de probabilidade sobre (}_Ei_,_Ei_{). Para cada}

Γ ⋐ _T _{e cada} _λi _∈ _P₍_Ei_,_Ei_{) defina a medida} _λΓ _sobre _EΓ _{inicialmente para a} ´algebra dos retˆangulosB =Q_i_∈ΓBi_{, com}_B

i ∈EicomoλΓ(B) =

Q

i∈Γλ

i₍_Bi_{). Em}

seguida, usando o Teorema da extensão de medidas de Carathéodory, estendemos de maneira única λΓ _{para toda a sigma-álgebra} _EΓ_{. Se para todo ´ındice} _i _∈ _T temos (Ei,Ei) = (E,E) e λi =λ estabelecemos a seguinte recorrência,

λΛ=

(

λi_, _{se Λ =}_{_i_}_;

λΛ\{i}_⊗_λi_, _{se Λ}_!_{_i_}_.

Proposi¸c˜ao 1.3. Seja λ∈P₍_E_,E₎_{. Para cada}_i_∈_T _fixemos ₍_Ei_,_Ei_{) = (}_E_,_E₎ _e

λi ₌_λ_{. Ent˜ao}

λΛ · =λΓ Π−1_Γ_,_Λ(·)

para quaisquer Λ⊂Γ⋐_T_.

Demonstra¸c˜ao. Note que λΓ _Π−1 ΓΛ(· )

∈ P₍_EΛ_,_EΛ_{). Al´em disso, as} probabilida-des λΛ _e _λΓ _Π−1

ΓΛ( · )

coincidem na ´algebra dos retˆangulos B = Q_i_∈ΛBi de EΛ.

(18)

Proposi¸cão 1.4. Seja Γ ⋐ _T_{. As proje¸cões canônicas} _Π_i _: _EΓ _→ _E_{, com} _i _∈ Γ, são variáveis aleatórias independentes com respeito a probabilidade λΓ _sobre (EΓ_,_EΓ₎_.

Demonstra¸c˜ao. Por defini¸c˜ao, devemos provar que para quaisquer conjuntos Ai ∈

EΓ _{tais que} _A

i ∈ σ(ΠΓ{i}) com i ∈ Γ temos λΓ(T_i_∈ΓAi) = Q_i_∈ΓλΓ(Ai).

Ob-servemos que para todo i ∈ Γ existe Bi ∈ E tal que Ai = Bi ×EΓ\{i}.

Por-tanto, T_i_∈ΓAi =

Q

i∈ΓBi e consequentemente λΓ

T

i∈ΓAi

= λΓ Q

i∈ΓBi

=

Q

i∈Γλi(Bi).

1.2.4 Campo aleat´

orio canˆ

onico.

De posse das nota¸cões adequadas podemos definir o que vem a ser campo aleatório canônico. Esta no¸cão simplifica bastante a boa defini¸cão dos modelos da Mecânica Estat´ıstica do ponto de vista matemático.

Defini¸c˜ao 1.9. Um campo aleat´orio (ν,(σi)i∈T) com espa¸co de estados (E,E)

é chamado campo aleatório canônico se seu espa¸co de configura¸cões (Ω,F₎ _{é o} espa¸co produto (ET_,_ET₎ _e _σ

i = Πi.

Proposi¸c˜ao 1.5. Seja (µ,(σi)i∈T) com espa¸co de estados (E,E). Ent˜ao existe

ν ∈P₍_ET_,_ET₎ _´_{unica tal que} ₍_µ,₍_σ

i)i∈T)∼(ν,(Πi)i∈T).

Demonstra¸c˜ao. Defina λi₍ _· ₎ _∈ _P₍_E_,_E_{) como idˆentica a} _{µ σ}−1

i ( · )

para todo

i ∈ T. Seja λΛ _{a medida produto como na se¸c˜ao (1.2.3). Pela Proposi¸c˜ao 1.3} podemos verificar que a fam´ılia {λΛ_}

Λ⋐_T satisfaz a condi¸c˜ao de consistˆencia de

Kolmogorov como na Defini¸cão (D.6) do Apêndice D. Pelo Teorema da Extensão de Kolmogorov existe uma única ν ∈P₍_ET_,_ET_{) com}_ν _Π−1

i (·)

=λi_._{Por outro}

lado, µ σi−1(·)

=λi _{para todo}_i_∈ _{T. Logo} _ν _Π−1

i (·)

=µ σi−1(·)

para todo

i∈T.

Logo, pelo que discutimos acima, podemos tratar sem perda de generalidade as σi’s como proje¸c˜oes de ET sobre Ei = E. E mais ainda, podemos identificar

a medida de probabilidade µ : ET _→ _[0_,_{1] com o campo aleat´orio} _µ,_(Π

i)i∈T

. Portanto fixamos a nota¸c˜ao a seguir.

Nota¸c˜ao 1.1. Para Λ,Γ⋐_T _com _Λ_⊂_Γ _{denotamos por:}

1. σi :ET →Ei a proje¸c˜ao canˆonica ET ∋(ωi)i∈T 7→ωi ∈Ei

2. σΛ :ET →EΛ a proje¸c˜ao ET ∋ω= (ωi)i∈T 7→ωΛ= (ωi)i∈Λ∈EΛ,

3. σΓ,Λ:EΓ →EΛ, a proje¸c˜ao EΓ ∋ωΓ= (ωi)i∈Γ7→ωΛ = (ωi)i∈Λ∈EΛ,

4. Fixado Ω =ET _{temos então} _F ₌_F _{onde a} _σ_-álgebra _F _sobre _{Ω =} _ET _{é a}

(19)

1.3 Equa¸

c˜

oes de Dobrushin-Lanford-Ruelle

As equa¸cões de Dobrushin-Lanford-Ruelle (DLR) tratam de uma propriedade que se pede aos campos aleatórios afim de equipa-los com as bem conhecidas proprie-dades de probabilidade condicional. Do ponto de vista f´ısico, pedir a um modelo da Mecânica estat´ıstica que satisfa¸ca as equa¸cões (DLR) é o mesmo que supor que o modelo satisfa¸ca certas condi¸cões ideais.

Defini¸cão 1.10 (Dobrushin-Lanford-Ruelle). Seja um campo aleatório canônico

µ,(Πi)i∈T

sobre uma rede enumer´avel T. Dizemos que µ,(Πi)i∈T

satisfaz as equa¸c˜oes de Dobrushin-Lanford-Ruelle (DLR) se para qualquer Λ⋐_T

µΠΛ(A)×{ΠT\Λ(ω)}

=µ(A|JΛ)(ω) (1.2)

com igualdade µ|JΛ-q.t.p. para todo A∈ F.

Essas equa¸c˜oes, nos remete a um sistema prescrito de probabilidades condicio-nais. Mais precisamente temos a observa¸c˜ao a seguir.

Observa¸c˜ao 1.2. Para cada volume finito Λ ⋐ _T _{a equa¸c˜ao} _1.2 _{exige que a}

aplica¸c˜ao

F ×Ω∋(A, ω)7−→µΠΛ(A)×{ΠT\Λ(ω)}

seja a probabilidade condicional de A∈ F, com respeito `a σ-´algebra JΛ, avaliada

no ponto ω ∈ Ω. De acordo com a defini¸cão de probabilidade condicional na observa¸cão D.1 do Apêndice D a medida de probabilidade µ satisfaz a equa¸cão

(1.2) se, e somente se, para quaisquer Λ⋐_T_, _A_{∈ F} _e _B _{∈ J}_Λ _{temos que}

µ(A∩B) =

Z

B

µ ΠΛ(A)× {ΠT\Λ(ω)}dµ|JΛ(ω). (1.3)

Para que esta equa¸c˜ao fa¸ca sentido ´e suficiente que µ(ΠΛ(A)× {ΠT\Λ(ω)})

satisfa¸ca para todo ω∈Ω e todo A∈ F as seguintes condi¸c˜oes

µΠΛ(A)×{ΠT\Λ(·)}: Ω→[0,1] seja JΛ-mensur´avel,

µΠΛ(·)×{ΠT\Λ(ω)}:F →[0,1] ´e uma probabilidade.

(1.4)

Seguindo [15] o nosso ponto de partida para obter uma medida de probabilidade µ

satisfazendo a equa¸cão (1.2) ou equivalentemente a equa¸cão (1.3) come¸ca com a constru¸cão de uma fam´ılia γ ={γΛ}Λ⋐_T de aplica¸cões γ_Λ: Ω× F →R tais que

γΛ(A| ·)Ω→R ´eJΛ-mensur´avel

(20)

Em seguida, ajustamos a constru¸c˜ao para obtermos a propriedade adicional

γΓ(A∩B|ω) =

Z

B

γΛ(A∩B| ·)dγΓ(· |ω) (1.6)

para todo A ∈ F, B ∈ JΛ com Λ ⊂ Γ ⋐ T. Finalmente, depois de

metrizar-mos P_(Ω_,_F₎ _{escolhemos uma sequˆencia se medidas de probabilidade}_γ_Γ_n₍_{· |}_ω_n₎_∈ P_(Ω_,_F₎ _{convergindo para uma medida de probabilidade} _µ _∈ P_(Ω_,_F₎ _que sa-tisfa¸ca a equa¸c˜ao (1.3).

Na literatura, da Mecânica Estat´ıstica a equa¸cão(1.6) é chamada de condi¸cão de consistência de Lanford-Ruelle (DLR) ou equa¸cão de Dobrushin-Lanford-Ruelle (DLR).

A partir das equa¸cões DLR vamos definir o que vem a ser uma especifica¸cão DLR. Mas antes precisamos revisitar a defini¸cão de núcleo de medidas e suas propriedades.

1.3.1 N´

ucleo de medidas

As ideias da observa¸cão 1.2 descritas nas equa¸cões (1.4) e (1.5) são formalizadas na seguinte defini¸cão.

Defini¸cão 1.11. Sejam (X,X₎ _e ₍_Y_,Y₎ _{espa¸cos mensuráveis. Uma aplica¸cão}

κ :Y×X _→_R _{chama-se n´}_{ucleo de medida de} ₍_Y_,Y ₎ _para ₍_X_,X₎ _{se para todo}

A ∈X _{e todo} _y_∈_Y _{esta aplica¸c˜ao satisfaz:}

1. κ( |y) :X _→_R_{´e uma medida sobre} ₍_X_,X₎_.

2. κ(A| ) :Y→R é uma fun¸cão Y_{-mensurável.}

Usamos as expressõesnúcleo de probabilidade emy,núcleoσ-finito emy,núcleo de Borel em y, núcleo de Borel regular em y, núcleo de Radon em y, para indicar que a medida κ(·|y) tem a propriedades de ser uma medida de probabilidade, σ -finita, de Borel ( c.f. Defini¸cão C.2), de Borel regular ( c.f. Defini¸cão C.2 item a) e de Radon ( c.f. Defini¸cão C.2 item b), respectivamente.

Quando a medida κ(·|y) possui estas propriedades sem depender de uma par-ticular escolha de y ∈ Y então usamos as expressões ‘núcleo de probabilidade’, ‘núcleo σ-finito’, ‘núcleo de Borel’, ‘núcleo de Radon’.

Observa¸c˜ao 1.3. Podemos olhar para qualquer medida de probabilidadeµ:X _→

[0,+∞]sobre um espa¸co mensur´avel como um n´ucleo de probabilidadeκde(X,{∅,X})

para (X,X₎ _{definido para todo} _A _∈ X _{e todo} _x _∈ _X _como _κ₍_A_|_x_{) =} _µ₍_A₎_{. A} mensurabilidade de κ com respeito a {∅,X}´e consequˆencia do seguinte fato: para todo A∈X_{, temos:}

κ(A| ·)−1(B) =

X se µ(A)∈B;

∅ se µ(a)∈/ B.

(21)

Defini¸cão 1.12. Um núcleo de medida κde (Y,Y₎_para₍_X_,X₎_{é chamado n´}_ucleo próprio com respeito a uma σ-álgebra B _⊂X _{se para todo} _B _∈B_,

κ(B∩A|ω) = 1B(ω)·κ(A|ω).

Proposi¸cão 1.6. Seja κ um núcleo de medida de (Y,Y₎ _para₍_X_,X₎_{. Então} _κ _é um núcleo próprio com respeito à σ-álgebra B _⊂X _{se, e somente se,}

κ(B|y) = 1B(y) (1.7)

para todo B ∈B _{e todo} _y _∈_Y_.

Demonstra¸c˜ao. Sejam B ∈ B _⊂ X _e _A _∈ X_{. Para todo} _y _∈ _Y _{obtemos das}

propriedades elementares de probabilidade e da igualdade 1B(y) + 1Bc(y) = 1, as

seguintes identidades:

κ(A|y) =κ(A∩B|y) +κ(A∩Bc|y)

κ(A|y) =κ(A|y)·1B(y) +κ(A|y)·1Bc(y).

(1.8)

Al´em disso, para todoC ∈B_{, temos}

κ(A∩C|y)≤min{κ(A|y), κ(C|y)}

min{κ(A|y),1C(y)}=κ(A|y)·1C(y)

(1.9)

A ´ultima igualdade ´e obtida verificando-se que min{κ(A|y),1C(y)} =κ(A|y) ≤1

se 1C(y) = 1 e min{κ(A|y),1C(y)}= 0 se 1C(y) = 0. J´a que por hip´otese temos,

1C(y) = κ(C|y) para todo C ∈B ent˜ao

κ(A∩B|y)≤κ(A|y)·1B(y),

κ(A∩Bc_|_y₎_≤_κ₍_A_|_y₎_·₁c B(y).

Se pelo menos um das igualdades não é atingida acima então pela equa¸cão (1.8) temos κ(A|y)< κ(A|y). A rec´ıproca segue diretamente da defini¸cão.

1.3.2 Nota¸

c˜

oes especiais

Antes de prosseguirmos para a demonstra¸cão de um dos principais teoremas deste cap´ıtulo, vamos fixar mais algumas nota¸cões para facilitar a exposi¸cão.

Nota¸c˜ao 1.2. Seja κ um n´ucleo de medida de (Y,Y₎ _para ₍_X_,X₎_{. Suponha}

f :X→R uma fun¸cão integrável com respeito à medida κ( |y) para todo y∈Y. Então a integral de Lebesgue de f com respeito a medida mencionada acima será denotada por

κ(f|y), Z

X

(22)

Quandoµfor uma medida sobre(X,X₎_{, a integral de Lebesgue de}_f _{ser´a denotada} tamb´em por

µ(f), Z

X

f(u)dµ(u). (1.11)

Defini¸cão 1.13 ( a¸cão de fun¸cão sobre núcleo). Seja κ um núcleo de medida de

(Y,Y₎ _para ₍_X_,X₎_{. Suponha} _ρ _: _X _→ _R _{uma fun¸c˜ao integr´avel com respeito a}

κ( |y) para todo y ∈ Y. Então a a¸cão de ρ sobre o núcleo κ, é o núcleo ρκ de

(Y,Y₎ _para ₍_X_,X₎ _{definido por :}

X _×_Y_∋₍_{A, y}₎_7−→_ρκ₍_A_|_y₎,_κ₍_ρ_·₁_A_|_y₎

=

Z

X

ρ(u)·1A(u)dκ(u|y)∈R

(1.12)

Defini¸cão 1.14 ( a¸cão de núcleo sobre fun¸cão). Seja π um núcleo de medida de

(Y,Y₎_para₍_X_,X₎_{. Suponha que}_g _:_X_→_R_{é uma fun¸cão integrável com respeito} respeito a π( |y) para todo y∈Y. Então a a¸cão do núcleo π sobre g é a fun¸cão

πg ´e definida da seguinte maneira:

Y∋y7−→πg(y),_π₍_g_|_y₎

=

Z

X

g(u)dπ(u|y)∈R (1.13)

Defini¸cão 1.15 ( convolu¸cão de núcleos de medida). Sejam κ um núcleo de me-dida de (Y,Y₎ _para ₍_X_,X₎ _e _τ _{um n´}_{ucleo de medida de} ₍_Z_,Z₎ _para ₍_Y_,Y₎_{. A} convolu¸cão de τ e κnessa ordem, denotado porτ κé o núcleo de medida de(Z,Z₎ para (X,X₎_:

X _×_Z_∋₍_{A, z}₎_7→_{τ κ}₍_A_|_z₎,_κ_τ₍_A_{| ·}₎_z ₌ Z

τ(A|v)dκ(v|z) (1.14)

Como uma medida também pode ser vista como um núcleo, em todos os casos acima, podemos fixar os núcleos κ e τ como sendo uma medida µ e a partir dai obter duas medidas f µ eµκ bem definidas.

Observa¸c˜ao 1.4. Por ´ultimo, para uma fam´ılia finita {(Xi_,_Xi_{, µ}i₎_}

i∈I, com I =

{1, . . . , N}, de espa¸cos de medida(Xi_,_Xi_{, µ}i₎_escrevemos_x_, _X_,_X _e_µ_{para indicar}

(x1, . . . , xN), X1×. . .×XN, X1⊗. . .⊗XN e µ1⊗. . .⊗µN.

Proposi¸cão 1.7. Seja (X,X₎ _{um espa¸co mensurável e} B _{é uma sub-}_σ_-álgebra de B_{. Seja} _κ _{um n´}_{ucleo de probabilidade de} ₍_X_,B₎ _para₍_X_,B₎ _e _µ _{uma medida} de probabilidade em (X,X₎_{. Então as seguintes condi¸cões para qualquer} _A_∈X_,

B ∈B _e _x_∈_X_{, s˜ao equivalentes:}

(23)

2. µ(A) = R_Aκ(A|x)dµ(x)

3. µ(A) = µκ(A)

Demonstra¸c˜ao. Pela observa¸c˜ao D.1 a probabilidade condicional deA ∈X _dada

a sub-σ-álgebra B _{é a ´}_{unica fun¸cão} _µ₍_A_|B₎_∈_L₍_ν_{) tal que}

Z

B

1A(x)dµ(x) =

Z

B

µ(A|B₎₍_x₎_dµ_|B(x); ∀A ∈X, ∀B ∈B. (1.15)

Provemos que (1) implica (2). Como B ∈ B _{´e qualquer podemos fazer} _B ₌ _X

e obter R_X1A(x)dµ(x) =

R

Xµ(A|B)(x)dµ(x). Usando (1) na equa¸c˜ao ao lado

ficamos com R_X1Xdµ(x) =

R

Xκ(A|x)dµ(x). Por defini¸c˜ao temos que µ(A) =

R

X1A(x)dµ(x), o que nos permite concluir a validade de (2). Apelando

nova-mente para a defini¸cão podemos escrever µκ(A) = R_Xκ(A|x)dµ(x). Mas desta igualdade é imediato verificar que (2) é equivalente a (3). Para ver que (2) im-plica (1) basta usar a unicidade da probabilidade condicional em (1.15) e que

µ(A) = R_X1A(x)dµ(x). Isto nos fornece uma igualdade ´e µ|B-q.t.p., mas como

µ|B ≪µ temos finalmente a igualdadeµ-q.t.p..

1.4 Especifica¸

c˜

ao DLR

´

E nesta se¸cão que formalizamos a rela¸cão entre a no¸cão de núcleo de probabilidade e as equa¸cões DLR. Expressamos as propriedades DLR de um campo aleatório em termos de uma fam´ılia de núcleos de probabilidade.

1.4.1 Especifica¸

c˜

ao local

Na literatura de Mecânica Estat´ıstica, a propriedade DLR que um campo aleatório satisfaz por uma fam´ılia γ ={γV} de núcleos de medidas γV indexados por

con-juntos V ⊂ T não necessariamente finitos. Por isso, a no¸cão de especifica¸cões DLR como apresentamos na Defini¸cão1.16 são chamadas de especifica¸cões locais em referência ao fato de que os núcleosγΛ são indexados por volumes finitos Λ, o que dá a ela um caráter local. Daqui por diante, também usaremos a terminologia especifica¸cão local.

Defini¸cão 1.16 (Especifica¸cão DLR). Seja γ = {γΓ} uma fam´ılia de núcleos de

medida de (Ω,JΓ) para (Ω,F) indexada por volumes finitos Γ⋐T. Dizemos que

γ ´e uma especifica¸c˜ao DLR se para quaisquerΓ⋐_T_, _ω _∈_Ω_, _A_{∈ F} _e _B _{∈ J}_Γ

1. γΓ(A∩B|ω) = 1B(ω)·γΓ(A),

(24)

Observa¸cão 1.5. A condi¸cão descrita no item 2da Defini¸cão1.16é simplesmente a condi¸cão de consistência DLR, escrita na nota¸cão de produto de núcleos de probabilidade conforme a Defini¸cão1.15. Explicitamente,

γ∆γΛ(A|ω) =γ∆(γΛ(A| ·)|ω) =

Z

Ω

γΛ(A| ·)dγΓ(· |ω) =γΛ(A|ω).

Observa¸cão 1.6. O item 1 da Defini¸cão 1.16 garante a seguinte propriedade: qualquer especifica¸cão satisfaz o reverso da condi¸cão descrita no item 2 da De-fini¸cão1.16. Mais precisamente, γΛγ∆(A|ω) = γ∆(A|ω) com Λ,∆ ⋐ T e Λ ⊂ ∆.

Isso se deve às seguintes implica¸cões: Λ ⊂ ∆⇒ J∆ ⊂ JΛ ⇒ ∀ A ∈ F a fun¸cão

λ∆(A| ) ´eJΛ-mensur´avel. Portanto,

γΛγ∆(A|ω) =γΛ(γ∆(A|)|ω) =γ∆(A|ω)λΛ(1|ω) =γ∆(A|ω).

(1.16)

Em todo este texto vamos nos referir `a identidade 1.16como equa¸c˜ao DLR reversa.

Defini¸c˜ao 1.17. Dizemos que µ ∈ P_(Ω_,_F₎ _{´e especificada por} _γ _se _µ _{∈ G}₍_γ₎_, onde

G(γ),  

µ∈P(Ω,F)

∀Λ⋐_T_,_∀_A_{∈ F}_,

µ(A|JΓ)(ω) =γΓ(A|ω)

µ−q.t.p.ω∈Ω.

  .

Defini¸c˜ao 1.18. Denotamos por S ₌_{_{Λ : Λ}⋐_T_} _{a cole¸c˜ao dos volumes finitos}

de T. Dizemos que uma sub-cole¸c˜ao S_o _⊂S _{´e cofinal se para todo} _Γ_∈S_{, existe}

Γo ∈So tal que Γ⊂Γo.

Proposi¸cão 1.8. Sejaγ = (γΛ)Λ⋐_Tuma especifica¸cão local. As seguintes condi¸cões

s˜ao equivalentes:

1. µ∈G₍_γ₎_.

2. µγΓ =µ ∀Γ∈S.

3. Existe um conjunto cofinal S_o _⊂S _{tal que} _µγ_Γ

o =µ ∀Γo ∈So.

Demonstra¸cão. A equivalência de (1) e (2) vem do Lema (1.7). A condi¸cão (2) claramente implica (3). Para a rec´ıproca, note que dado qualquer Γ⋐_{T, existe um}

∆o ∈So com Γ⊂∆o. Assim aplicando, nessa ordem, o item 2 da Defini¸c˜ao1.16

e o item 3 da Proposi¸c˜ao 1.8 obtemos as seguintes igualdades µγΓ = µγΓγ∆o =

(25)

1.4.2 A especifica¸

c˜

ao independente.

Para a pr´oxima defini¸c˜ao seja δω_T\Λ( · ) a medida de Dirac sobre o espa¸co

men-sur´avel ET\Λ_{, σ}_(Π(T\Λ)

,Γ)Γ⋐T\Λ

concentrada no ponto ωT\Λ, i.e.

δω_T_\Λ(A) =

(

1, seωT\Λ∈A;

0, caso contr´ario. (1.17)

Para cada medida λ sobre (E,E_{) e cada Λ}⋐T nos temos queλΛ _:_σ_(Π

Λ,Γ)Γ⋐_Γ →

[0,1] ´e uma medida sobre EΛ_{. Para todo} _A _{∈ F} _e _ω _∈ _{Ω defina a aplica¸c˜ao}

λΛ: Ω× F →R como

λΛ(A|ω) = λΛ⊗δω_T\Λ(A) =λ

Λ₍_Aω_T\Λ),

onde Aω_T_\Λ ={ζ ∈EΛ :ζω

T\Λ ∈A}.

Proposi¸c˜ao 1.9. Seja λ uma medida sobre (E,E₎_{. Para cada} _Λ⋐T a aplica¸c˜ao

λΛ:F ×Ω→[0,∞] ´e um n´ucleo de medida de (ET,F) para (ET,JΛ).

Demonstra¸c˜ao. Claramente para todo ω ∈ Ω, µΛ_⊗_δ

ω_T\Λ( · ) : F → [0,1] ´e uma

probabilidade. Provemos para todo A ∈ F que µΛ _⊗_δ

(·)_T\Λ(A) : Ω → [0,1] ´e

uma fun¸cão JΛ-mensurável. Pelo Teorema de Tonelli sabemos que a aplica¸cão

ET\Λ _∋ _ω

T\Λ 7→ λΛ(AωT\Λ) é σ(Π(T\Λ),Γ)Γ⋐_(T\Λ) mensurável. Por outro lado, a fun¸cão constanteEΛ _∋_ω

Λ7→1 é uma fun¸cão mensurável com respeito àσ-álgebra

σ(Π(T\Λ),Γ)Γ⋐T\Λ ={∅,E}. Como o produto de fun¸c˜oes Ω =ET\Λ×EΛ ∋ω_T\ΛωΛ7→λ(ωT\Λ)·1

é mensurável com respeito à σ-álgebra JΛ =σ(Π(T\Λ),Γ)× {∅,EΛ} segue o

resul-tado.

Proposi¸c˜ao 1.10. Para quaisquer Λ⊂Γ⋐_T

µΛ⊗δω_T_\Λ(A∩B) = 1B(ω)·µ

Λ_⊗_δ

ω_T_\Λ(A) filtra¸c˜ao

Z

Ω

[µ∆⊗δu_T_\Λ](A)d[µ

Λ_⊗_δ

ω_T_\Λ](u) = µ

∆_⊗_δ

u_T_\Λ(A) consistˆencia

(1.18)

Demonstra¸cão. Segue imediatamente das propriedades de fun¸cões cil´ındricas e do Teorema de Tonelli. Veja referência [15].

Defini¸c˜ao 1.19(especifica¸c˜ao independente). Sejaλuma medida de probabilidade sobre (E,E₎_{. Uma fam´ılia de n´}_{ucleos de probabilidade}_λ_Λ(_{· |}_ω_{) =}_δ_ω

T\Λ ⊗λ

Λ _com

Λ ⋐ _T _{é chamada de} _λ_{- especifica¸cão. Em referência à medida} _λ _indicaremos

(26)

Proposi¸cão 1.11. Seja λ∈P₍_E_,E₎ _e T uma rede enumerável. Então G(λ) ={λT_}

Demonstra¸c˜ao. Pelo do item 2 da Proposi¸c˜ao1.8, λT _{∈ G}₍_γ_{) se, e somente se,} para todo Λ ⋐ _T _temos _λTh_λ_⊗_δ

ω_T\Λ

i

(F) = µ(F) para todo F ∈ F. Para todo A ∈ FΛ n˜ao vazio, existe B ∈ EΛ n˜ao vazio tal que A = B ×ET\Λ. Logo

AωT\Λ

= B para todo B ∈ EΛ _e _λ

Λ(A|ω) =λ⊗δω_T\Λ(A) = λ(B). Pelo Teorema

de Fubini-Tonelli ( veja Teorema B.5 do apˆendice)

(λT_λ_Λ)(_A_{) =}

Z

λΛ(A|ω)dλT₍_ω_{) =}

Z

λΛ(B)dλT ₌_λΛ₍_B₎_.

Por outro lado, λΛ₍_B_{) =} _λΛ₍_B₎_·_λT\Λ₍_ET\Λ_{) =} _λT₍_A₎_. _{Observando que a classe} mon´otona M ₌ _{_M _: _λT_λ_Λ(_M_{) =} _λT₍_M₎_} _{satisfaz a propriedade} S

Λ⋐_TFΛ ⊂

M _{⊂ F} _{obtemos do Teorema da Classe Mon´otona que} M ₌_F_.

1.5 λ

-modifica¸

c˜

ao e

λ

-especifica¸

c˜

ao

A ideia de introduzir a no¸cão de λ-modifica¸cão é a de usar uma fam´ılia {ρΛ}Λ⋐_T

de fun¸c˜oes densidades ρΛ : Ω → R para perturbar a especifica¸c˜ao independente

λ = {λΛ}Λ⋐_T. Daqui por diante indicaremos que uma fun¸c˜ao f : Ω → R ´e FV

mensur´avel para V ⊂T escrevendo f ∈ FV.

Defini¸c˜ao 1.20. Sejam T uma rede enumer´avel, λ uma medida sobre (E,E₎ _e

λΛ _{como em} _1.2.3_{. Suponha que} _λ ₌ _{_λ

Λ}Λ⋐_T = {λΛ⊗δω_T\Λ} seja uma fam´ılia de núcleos de medida e ρ = {ρΛ}Λ⋐_T uma fam´ılia de fun¸cões JΛ-mensuráveis

ρΛ: Ω→[0,+∞). Se

ρλ,_{_ρ_Λ_λ_Λ_}_Λ_⋐_T _(1.19)

é uma especifica¸cão chamamos ρ de λ-modifica¸cão e ρλ de λ-especifica¸cão. Além disso, adicionamos o atributo ‘positiva’ a uma λ-modifica¸cão se cadaρΛ é positiva. Lema 1.1. Seja T uma rede enumerável e λ uma medida de probabilidade sobre

(E,E₎_{. Então} _ρλ _{= (}_ρ_Λ_λ_Λ)Λ_⋐_T _{é uma} _λ_{-especifica¸cão se, e somente se, para} qualquer par Λ,∆⊂S _com _Λ_⊂_∆ _temos

λΛ(ρΛ|ω) = 1 ∀ω ∈Ω, (1.20)

para toda fun¸c˜ao F-mensur´avel f : Ω→[0,+∞],

(ρ∆λ∆)

fω= (ρΛλΛ)(ρ∆λ∆)

fω (1.21)

e para toda fun¸c˜ao JΛ-mensur´avel g : Ω→[0,+∞] temos

(ρΛλΛ)

f·gω=g(ω)·(ρΛλΛ)

(27)

Demonstra¸c˜ao. Segue imediatamente da Defini¸c˜ao 1.16.

Teorema 1.1. Seja T uma rede enumerável e λ uma medida sobre (E,E₎ _{e uma} fam´ılia ρ={ρΛ}Λ⋐_T de fun¸cões não negativas tais que

λΛρΛ(ω) = 1, ∀ω∈Ω ∀Λ⋐T.

Ent˜ao s˜ao equivalentes:

(a) ρ= (ρΛ)Λ⋐_T é umaλ-modifica¸cão na rede enumerável T.

(b) para todo Λ,∆⋐_T _com _Λ _⊂_∆_{para todo} _ω _∈_Ω_.

ρ∆(η) = ρΛ(η)·[λΛρ∆](η) (1.23)

para λ∆(· |ω) - quase todo η ∈Ω.

(c) para todo Λ,∆ ⋐ _T _com _Λ _⊂ _∆ _{para todo} _α _∈ _Ω _e _λ_∆\Λ₍ _|_α₎_{-quase todo}

ω∈Ω,

ρ∆(η)·ρΛ(ζ) =ρ∆(ζ)·ρΛ(η) (1.24)

para λΛ(· |ω)⊗λΛ(· |ω)-quase todo par (η, ζ)∈Ω×Ω

Demonstra¸cão. Suponhamos que seja válido o item (a). Equivalentemente, isto significa que (ρλλλ)Λ⋐_T é uma especifica¸cão. Revisitando a Defini¸cão 1.16 temos

para todo Λ⋐T,

λΛf , λΛ(f | ·)∈ JΛ ∀f ∈ F

λΛ(· |ω) ∈ P_(Ω_,_F₎ _∀_ω _∈_Ω

(ρ∆λ∆)(ρΛλΛ) = (ρ∆λ∆) ∀∆⋐T Λ⊂∆ (ρΛλΛ)(g ·f| ·) = g(·)·(ρΛλΛ)(f| ·) ∀g ∈ JΛ

(1.25)

Multiplicando ambos os membros de 1.23 porf(η) com f ∈ F ef(η)≥0 para

λ∆(· |ω)-quase todoη∈Ω temos que o item (b) ´e equivalente a

λ∆

f ·ρ∆

ω =λ∆

f ·ρΛ·[λΛρ∆]

ω (1.26)

para todo ω ∈ Ω e qualquer ∆ ⋐ _T _{com Λ} _⊂ _{∆. Pelas equa¸c˜oes (1.25) temos}

λ∆

f ·ρ∆

ω= (ρ∆λ∆)

fω= (ρ∆λ∆)(ρΛλΛ)

fω . E portanto (1.26) fica

(ρ∆λ∆)(ρΛλΛ)

fω=λ∆

f·ρΛ·[λΛρ∆]

ω. (1.27)

(28)

Mas antes de provarmos (1.27) precisamos fazer algumas considera¸c˜oes. Sejam

h, g ∈ F com g(η) ≥ 0 e h(η) ≥ 0 para λ∆( · |ω)-quase todo η ∈ Ω. Logo as fun¸cões [λΛh] e [λΛg] ∈ JΛ são η-quase certamente, com respeito a λΛ(· |ω), não negativas. E assim,

λΛ

g·[λΛh]

(η),_λ_Λ_g _·_[_λ_Λ_h_]_η

=[λΛh](η)·λΛ

g η

=[λΛh](η)·[λΛg](η) =λΛ

h η·[λΛg](η)

=λΛ

h·[λΛg]

η,

onde as igualdades acima s˜ao validas paraλΛ(· |ω)-quase todoη∈Ω para qualquer que seja ω ∈ Ω. Como λ∆ = λ∆\ΛλΛ temos para λ∆( · |ω)-quase todo η ∈ Ω qualquer que seja ω ∈Ω a seguinte identidade:

λ∆

g·[λΛh]

(η) =λ∆

h·[λΛg]

η

Usando os fatos estabelecidos acima estamos agora em condi¸c˜oes de provar (1.27). Tomando g =f·ρΛ eh=ρ∆ na equa¸c˜ao acima ficamos com,

λ∆

f·ρΛ·[λΛρΛ]

(η) =λ∆

ρ∆·[λΛ(ρΛ·f)]

(η) (1.28)

para λΛ(· |ω)-quase todoη ∈Ω qualquer que sejaω ∈Ω. Manipulando o segundo membro da ´ultima equa¸c˜ao obtemos a igualdade (1.27).

Vamos mostrar agora que (b) implica (c). Assumindo (b) podemos afirmar que para todo α∈Ω, a seguinte equa¸c˜ao ´e verdadeira

0 =λ∆ρ∆−ρΛ·[λΛρ∆]

(α)

=λ∆\Λ

λΛρ∆−ρΛ·[λΛρ∆]

α.

(1.29) Logo, λΛ ρ∆

ω =λΛ

ρΛ·[λΛρΛ]

ω

=[λΛρΛ](ω)·λΛ

ρΛ

ω

=λΛ

ρΛ·[λΛρΛ](ω)

ω

(1.30)

para λ∆\Λ( | α )-quase todo ω ∈ Ω qualquer que seja α ∈ Ω. Dessa igualdade segue que

(29)

paraλΛ( |ω)-quase todo η∈Ω com λ∆\Λ( |α)-quase todo ω∈Ω qualquer que sejaα ∈Ω. Note tamb´em que

ρΛ(ζ) =ρΛ(ζ)

ρ∆(ζ) =[λΛρΛ](ω)·ρΛ(ζ)

(1.32)

paraλΛ( |ω)-quase todo ζ ∈Ω com λ∆\Λ( |α)-quase todo ω∈Ω qualquer que sejaα ∈Ω. Portanto,

ρ∆(η)·ρΛ(ζ) =hρΛ(η)·[λΛρΛ](ω)

i

·ρΛ(ζ)

=ρΛ(η)·h[λΛρΛ](ω)·ρΛ(ζ)

i

=ρΛ(η)·ρ∆(ζ)

paraλΛ( |ω)⊗λΛ( |ω)-quase todo par (η, ζ)∈Ω×Ω eλ∆\Λ( |α)-quase todo

ω∈Ω qualquer que seja α ∈Ω.

Por ´ultimo, mostramos que (c) implica (b). Primeiro integramos o primeiro membro de (1.24) na vari´avelζ com respeito a medidaλ∆( |α) para mostrar que

λΛ( |α)-quase todo η ∈ Ω e λ∆\Λ( | α )-quase todo α ∈ Ω qualquer que seja

α∈Ω:

λ∆\ΛλΛ

ρ∆(η)·ρΛ

α=λ∆\Λ

ρ∆(η)·λΛ(ρΛ| )

α

=λ∆\Λ

ρ∆(η)

α.

Integrando o segundo membro de (1.24) na vari´avel ζ com respeito a medida

λ∆( |α) temos paraλΛ( |α)-quase todoζ ∈Ω e λ∆\Λ( |α )-quase todoα∈Ω qualquer que sejaα ∈Ω:

λ∆\ΛλΛ

ρ∆·ρΛ(η)

α=λ∆\Λ

ρΛ(η)·λ∆ρ∆

α. (1.33)

Fazendo α = η nas duas ´ultimas equa¸c˜oes e identificando o segundo membro de cada uma delas obtemos

λ∆\Λ

ρ∆−ρΛ·[λΛρ∆]

η= 0. (1.34)

Integrando na vari´avelηcom respeito a medidaλ∆( |ω) e observando queλ∆λ∆\Λ =

(30)

(31)

Medida e especifica¸

c˜

oes de Gibbs

Introdu¸

c˜

ao

No principal resultado do Cap´ıtulo 1, o Teorema1.1, vimos como especifica¸c˜oes (γΛ)Λ⋐_T podem ser definidas por meio de uma medida a prioriλ sobre um espa¸co

mensur´avel (E,E_{) e uma} _λ_{-modifica¸c˜ao} _ρ _{= (}_ρ_Λ)Λ_⋐_T_{. Vendo de outro modo o}

Teorema1.1 é uma maneira de caracterizar λ-modifica¸cões de uma especifica¸cão independente que se obtém de uma medidaλ sobre um espa¸co de estados(E,E_).

O objetivo do Cap´ıtulo 2 é abordar tipos de λ-modifica¸cões que são cada vez mais fáceis de se caracterizar no que diz respeito a mensurabilidade.

Um primeiro passo nessa dire¸cão é tratarmos um tipo especial deλ-modifica¸cões: as pré-modifica¸cões. Em seguida, lidamos com pré-modifica¸cões na forma expo-nencial. É nessa segunda etapa queλ-modifica¸cões são dadas em termos de fun¸cões que têm significado f´ısico: o fator de Boltzman que é dado por uma fun¸cão chamada Hamiltoniano, que por sua vez é dada em termos de uma fam´ılia de potenciais que a chamamos de intera¸cão. Esta última também tem sua interpreta¸cão probabil´ıstica em termos de correla¸cões de estados entre s´ıtios.

Finalmente na última se¸cão definimos o que vem as ser uma especifica¸cão de Gibbs ou simplesmente especifica¸cão Gibbsiana.

2.1 λ

-modifica¸

c˜

ao na forma exponencial

A partir de agora exploramos item (c) do teorema 1.1. As pr´e-modifica¸c˜oes de-finidas a seguir satisfazem este item independente do particular λ ∈ P₍_E_,E₎

escolhido.

(32)

2.1.1 λ

-modifica¸

c˜

ao dadas por pr´

e-modifica¸

c˜

ao

Defini¸cão 2.1 (pré-modifica¸cão). Uma fam´ıliah={hΛ}Λ⋐_T de fun¸cões h_Λ: Ω→

[0,∞) F-mensuráveis é chamada pré-modifica¸cão se

hΛ(ζ)·h∆(η) = hΛ(η)·h∆(ζ) (2.1)

para todo Λ,∆⋐_T _com _Λ_⊂_∆ _com _{ζ, η}_∈_Ω _{tais que}

ζ_T\Λ=ηT\Λ. (2.2)

Proposi¸c˜ao 2.1. Seja λ uma medida sobre (E,E₎ _e _h _{= (}_h_Λ)Λ⋐_T uma fam´ılia de

fun¸cões hΛ : Ω → [0,∞) F-mensuráveis. Se h = (hΛ)Λ⋐_T é uma pré-modifica¸cão

tal que 0< λΛhΛ <∞ para todoΛ ⋐T ent˜ao

ρ=

hΛ

λΛhΛ

Λ⋐_T

(2.3)

´e uma λ-modifica¸c˜ao.

Demonstra¸cão. Como λΛhΛ : Ω → (0,+∞) é para todo Λ ⋐ T uma fun¸cão F Λ-mensurável pela propriedade de filtra¸cão do núcleo λΛ

λΛρΛ(ω) =λΛ(ρΛ|ω)

=λΛ

_h_Λ

λΛhΛ

ω

= 1

λΛhΛ(ω)

λΛ

hΛ

ω= 1.

Al´em disso, para todo ω∈Ω temos que a medidaλΛ( |ω)⊗λΛ( |ω) ´e suportada pelo conjunto

{(ζ, η)∈Ω×Ω :ζT\Λ =ηT\Λ=ωT\Λ}.

Note que neste conjunto vale a identidade do item(c) do Teorema 1.1. Portanto, hΛ

λΛhΛ

satisfaz as exigˆencias do item (c) do Teorema1.1.

2.1.2 Pr´

e-modifica¸

c˜

oes dadas por hamiltonianos

Seρ= (ρΛ)Λ⋐_T umaλ-modifica¸c˜ao tal que 0< λ_Λh_Λ<∞ent˜ao para cada Λ⋐T

existe uma, e uma somente fun¸c˜ao, ZΛ : Ω→R tal que

1

ZΛ

·ρΛ λΛ

Λ⋐_T

(33)

é uma λ-especifica¸cão. A saber Z_Λ(·) =λΛρΛ(·). Se além disso para todo Λ⋐T,

ρΛé positiva então para cada Λ existe uma, e somente uma, fun¸cão F-mensurável

HΛ: Ω→R com ρΛ=eHΛ onde a fam´ılia de n´ucleos de probabilidade

1

ZΛ

·ρΛλΛ

Λ⋐_T

,

1

ZΛ

·e−βHΛ _λ

Λ

Λ⋐_T

(2.5)

é umaλ-especifica¸cão. Equivalentemente, dadoβ >0 podemos fazer uma mudan¸ca de escala na equa¸cão 2.5 pondo −βHβΛ =HΛ com ZβΛ =ZΛ,

1

ZΛ

·ρΛλΛ

Λ⋐_T

,

1

ZβΛ

·e−βHβΛ _λ

Λ

Λ⋐_T

. (2.6)

Formalizamos esta discuss˜ao na proposi¸c˜ao abaixo.

Proposi¸c˜ao 2.2. Seja λ uma medida sobre o espa¸co mensur´avel(E,E₎_e ₍_ρ_Λ)Λ⋐_T

uma λ-modifica¸c˜ao sobre a rede T. Se para todo Λ ⋐ _T _vale _ρ_Λ _> ₀ _e ₀_< _Z_Λ ,

λΛρΛ<+∞ ent˜ao existe uma fam´ılia H={HΛ}Λ⋐_T de fun¸c˜oes H_Λ : Ω→R tais

que para todo Λ ⋐_T

1

λΛρΛ

ρΛ

λΛ =

1

ZΛ

·e−βHΛ

λΛ. (2.7)

Defini¸cão 2.2. Nas mesmas condi¸cões da Proposi¸cão2.2 a fam´ılia H= (HΛ)Λ⋐_T

de fun¸c˜oes HΛ : Ω→R tais que (ρΛ)Λ⋐_T = (e−βHΛ)Λ⋐_T ´e chamada de

Hamiltoni-ano de ρ. Cada fun¸c˜ao HΛ ´e chamada de Hamiltoniano de ρΛ ou hamiltoniano a

volume Λ.

Corolário 2.1. Seja (ρλ)Λ⋐_T uma fam´ılia de fun¸cõesF-mensuráveis ρΛ: Ω→R,

tal que para todo Λ temos ρΛ > 0 e 0 < λΛρΛ < +∞. Ent˜ao (ρΛ)Λ⋐_T ´e uma

pr´e-modifica¸c˜ao se, e somente se, para cada Λ existe uma fam´ılia H ={HΛ}Λ⋐_T

de fun¸c˜oes HΛ : Ω→R tais que para todo Λ⋐T

1. HΛ ´e F-mensur´avel e ρΛ =eHΛ,

2. para quaisquer Λ,∆⋐_T _com_Λ _⊂_∆_{e quaisquer}_{ζ, η}_∈ET _com _η

T\Λ =ζT\Λ

tem-se

HΛ(ζ) +H∆(η) =H∆(η) +HΛ(ζ) (2.8)

Demonstra¸cão. Segue imediatamente da Defini¸cão2.1 e da Proposi¸cão2.2.

Defini¸c˜ao 2.3. Sejaλuma medida sobre(E,E₎_e_ρ_{= (}_ρ_Λ)Λ⋐_T umaλ-modifica¸c˜ao.

Chamamos Zω

βΛ , ZβΛ(ω) = λΛe−βHΛ(ω) de constante de normaliza¸c˜ao de ρΛ em

(34)

Observa¸cão 2.1. Uma forma mais expl´ıcita para a constante de normaliza¸cão é dada pelas equa¸cões,

ZΦ

βΛ(ω) =

Z

Ω

ρΦ_Λ(η)dλΛ(η|ω)

=

Z

Ω

e−βHΦ

Λ(η)dλΛ⊗δ

ω_T\Λ(η)

=

Z

ΩT\Λ

e−βHΦ

Λ(ηΛωT\Λ)_dλΛ₍_η_Λ)

Observa¸c˜ao 2.2. Seja ρΛ=e−β·HΛ. Observe que fixado ω∈Ω e B ∈ F temos

₁

ZΛ

·ρΛ λΛ

(B|ω) =

Z

Ω

1B(u)d

1

Zω βΛ

e−βHΛ_λ

Λ

!

(u|ω).

Como 1

ZβΛ(ω)

e−βHΛ_λ

Λ

(· |ω)<< λΛ(· |ω) segue pela unicidade do Teorema de Lebesgue-Radon-Nikodym ( Teorema B.7 do Apˆendice) que

₁

ZΛ

·ρΛ λΛ

(B|ω) = 1

ZβΛ(ω)

·

Z

Ω

1B(u)·e−βHβΛ(u) dλΛ(u|ω)

Observa¸c˜ao 2.3. Como λΛ( · ) , _λΛ _⊗_δ

ω_T\Λ temos pelo Teorema de Tonelli (Teorema B.5 do Apˆendice) as seguintes identidades:

₁

ZΛ

·ρΛ λΛ

(B|ω) = 1

ZβΛ(ω)

·

Z

ΩΛ

Z

Ω_T\Λ

1B(uΛωT\Λ)

·e−βHβΛ(uΛuT\Λ) _dδ

ω_T_\Λ(uT\Λ)dλ

Λ₍_u_Λ)

= 1

ZβΛ(ω)

·

Z

ΩΛ

Z

ΩT\Λ

1B_T\Λ(uT\Λ)·1BuT\Λ(uΛ) ·e−βHβΛ(uΛuT\Λ) _dδ

ω_T\Λ(uT\Λ)dλ

Λ₍_u_Λ)

= 1

ZβΛ(ω)

·1B_T_\Λ(ωT\Λ)·

Z

ΩΛ

1_Bω_T_\_Λ(uΛ)

(35)

Observa¸cão 2.4. A observa¸cão2.3nos proporciona uma forma mais explicita para para a medida de um B ∈ F por λ(· |ω). Para futuras referências destacamos:

λ(B|ω) =

  

₁

ZβΛ(ω)

·e−βHβΛ(·,ωT\Λ)

λΛ(BωT\Λ₎ _{, se} _ω

T\Λ ∈BT\Λ;

0 , caso contr´ario.

(2.9)

Se {η} ∈ F

λ(B|ω)({η}) =

  

1

ZβΛ(ω)

·e−βHβΛ(·,ωT\Λ)

λΛ₍_{_η

Λ}) , se ωT\Λ=ηT\Λ;

0 , caso contr´ario.

(2.10)

Se para todo η∈B verificamos η∈ F ent˜ao

λ(B|ω) =X

η∈B

λ({η}|ω) com B = [

η∈B

{η} (2.11)

Sintetizamos as observa¸c˜oes 2.2, 2.3, 2.4 na seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸c˜ao 2.4. Seja λ uma medida sobre (E,E₎ _e ₍_ρ_Λ)Λ⋐_T = (eH_Λ)Λ⋐_T uma λ

-modifica¸cão onde H ={HΛ}Λ⋐_T é uma fam´ılia de fun¸cões HΛ : Ω→ R tal como

na Proposi¸c˜ao 2.2. Chamamos µω

Λ de medida a volume finito Λ com condi¸c˜ao de

fronteiraω seµω

Λ´e uma medida de probabilidade sobre (Ω,F)definida por λΛ(· |ω).

2.1.3 Hamiltonianos dados por potenciais de intera¸

c˜

ao.

Agora vamos definir HΛ dependendo unicamente de uma fam´ılia Φ de fun¸c˜oes ΦA : Ω→R indexadas por cadaA⋐T. O objetivo ´e explicitar como o estado ηA

de cada configura¸cão η em cada parte finita A interfere no valor deHΛ(η). Essa rela¸cão de dependência obedece as seguintes propriedades:

• SeA={i}então ΦA(uΛωT\Λ) é o valor da contribui¸cão do estado ωi no s´ıtio

isobre o valor de HΛ(uΛωT\Λ).

• SeA={i1, . . . , i|A|}então ΦA(uΛωT\Λ) é o valor da contribui¸cão dos estados

ωi1, . . . , ωi|Λ| nos s´ıtiosi1, . . . , i|A|deAna configura¸c˜ao (uΛωT\Λ) sobre o valor deHΛ(uΛωT\Λ).

• apenas os valores de ΦA(uΛωT\Λ) nas sub-configura¸c˜oesuA∈ΠA(Ω) tais que

Λ∩A6=∅ contribuem para o valor de HΛ(uΛωT\Λ).

• SeA={i1, . . . , i|A|}, o valor de ΦA(uΛωT\Λ) n˜ao depende dos valores indivi-duais de Φ{i1}(uΛωT\Λ), . . . ,Φ{i|A|}(uΛωT\Λ).

(36)

Como temos o controle sobre os valores de ΦA(uΛωT\Λ) gostar´ıamos que essa de-pendência fosse de modo simples mas não trivial. Parece-nos que a dede-pendência que atende este quesito de forma natural seja a dependência linear.

• HΛ(uΛωT\Λ) depende linearmente de cada ΦA(uAωA\Λ). Assim devem existir

coeficientes aA ∈Rcom A ⋐T tais que

−β· HβΛ(uΛωT\Λ) =−β·

 

 X

A⋐_T

A∩Λ6=∅

aA·ΦA(uΛωT\Λ)

 

. (2.12)

Necessariamente o somatório acima deve ser convergente e finito, pois a imagem deHΛestá contida emR. É conveniente que os coeficientesaAsejam incorporados

a cada uma das fun¸c˜oes ΦA. De modo que tenhamos a igualdade,

−β· HβΛ(uΛωT\Λ) =−β·

 

 X

A⋐_T

A∩Λ6=∅

ΦA(uΛωT\Λ)

 

. (2.13)

Proposi¸c˜ao 2.3. Seja Φ = (ΦA)A⋐_T uma fam´ılia de fun¸c˜oes o ΦA : Ω → R tal

como em 2.13 satisfazendo:

(a) Para cada A⋐_T_, _Φ_A _´e _F_A_{-mensur´avel}

(b) HΦ Λ(u),

X

A⋐_T

A∩Λ6=∅

ΦA(u) converge para todo u∈Ω e Λ ⋐T.

Ent˜ao a fam´ılia de fun¸c˜oes eHΦ Λ(·)

Λ\T é uma pré-modifica¸cão positiva.

Demonstra¸c˜ao. De acordo com a Proposi¸c˜ao2.1 devemos provar primeiro, para todo Λ ⋐ _{T, que} _HΦ

Λ ´e F-mensur´avel. Mas isto segue imediatamente do fato de que FA ⊂ F para todo A ⋐ T. Segundo, para quaisquer subsistemas Λ,∆ ⋐ T

com Λ ⊂∆ e para quaisquer pontos de estados ζ, η∈ET _com _η

T\Λ=ζT\Λ temos

HΦ

Λ(ζ) +HΦ∆(η) = HΦ∆(η) +HΦΛ(ζ). Observe que

H_∆Φ − HΦ_Λ = X

A∈S, A∩∆6=∅

ΦA−

X

A∈S, A∩Λ6=∅

ΦA

= X

A∈S, A∩∆6=∅

A∩Λ=∅ ΦA+

X

A∈S, A∩∆6=∅

A∩Λ6=∅ ΦA−

X

A∈S, A∩Λ6=∅

A∩∆6=∅ ΦA−

X

A∈S, A∩Λ6=∅