DEFINIÇÃO : as raízes da equação característica são denominadas de raízes latentes,

1.3 – AUTOVALORES. AUTOVETORES. FORMA CANÔNICA DE JORDAN No que segue serão apresentados conceitos importantes sobre autovalores e autovetores de uma matriz quadrada. A interpretação física para autovalores e autovetores ocorrerá no Capítulo 3 onde veremos, entre outras coisas, que os autovalores de um sistema governam a resposta livre.

AUTOVALORES :

DEFINIÇÃO : Seja A_n.n. Definimos como polinômio característico da matriz A o

polinômio mônico : n _o

n n

n n

n A a a a a

I      



    _   _  2 ₁

2 1

1 ...

)

( .

DEFINIÇÃO : a equação : () I_n A 0 é denominada de equação característica associada a matriz A.

DEFINIÇÃO : as raízes da equação característica são denominadas de raízes latentes, raízes características, valores próprios ou autovalores da matriz A.

DEFINIÇÃO : o conjunto dos autovalores de uma matriz A_n.n é denominado de espectro, simbolizado por (A).



n



A   

( ) ₁, ₂,..., ; _iC ; i1,2,...n ; C conjunto dos complexos. EXEMPLOS : dadas as matrizes abaixo, determine seus polinômios característicos e seus espectros.

   

 

  

1 1

2 1

A ; _

  

 

  

2 2

1 0

B ;

    

     

2 2 0

1 2 0

3 1 1

C ;

    

    

 

3 4 2

1 0 0

0 1 0 D

SOLUÇÃO :

1 0 1

1

2 1 1

1 2 1 0

0 )

( ₂  2 

       

 

           

  

  

 

 I A

A







j j



A) , ,..., _n  ;

( ₁ ₂ 

 ; j 1

2 2 2

2 1 )

( ₂  2 

  

 

  

  

 I B

B ; (B)



1 j;1 j



3 7 5 2

2 0

1 2 0

3 1

1 )

( ₃  3 2 

 

 

 

   

   

 

 

 I C

C ; (C)



1;1;3



2 4 3 3

4 2

1 0

0 1 )

( ₃  3 2 

 

  

 

   

   

 I D

PROPRIEDADES :

1) No caso geral o polinômio característico de uma matriz, (), pode ser escrito :

p

n p n

n

n A

I ( ) .( ) ...( )

)

( 1 2

2

1    

  

      

 , onde n_i é a multiplicidade

de _i, i1;2;...p e n₁n₂...n_p n.

2) Os autovalores de uma matriz triangular superior ou inferior são os elementos da diagonal principal.

EXEMPLO : determinar os espectros das matizes M, N , e T :

   

 

   

  

0 0 0 0

8 0 0 0

7 5 3 0

6 4 2 1

M ;

   

 

   

  

9 8 7 6

0 0 5 4

0 0 3 2

0 0 0 1

N ;

   

 

   

 

  

j j T

1 0 0 0

0 1

0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

SOLUÇÃO : a matriz Mé triangular superior, N é triangular inferior e T é uma matriz diagonal. Sendo assim temos :



1;3;0;0



) (M 

 ; (N)



1;3;0;9



;



( )

T





1; 2 ;1



j

;1



j



3) Se uma matriz M pode ser subdividida como indicado abaixo :

      

C O

B A

M ou _

     

C B A

M 0 , onde A, B, 0 e C são submatrizes, sendo A e C quadradas, então o polinômio característico _M() será dado por :

) ( ). ( )

( _A  _C 

M  

 . Observe que isto implica em (M)(A)(C).

EXEMPLO : determinar os espectros das matrizes M e N .

a)

   

 

   

  

3 2 0 0

0 1 0 0

2 4 5 0

4 3 2 1

M ; b)

   

 

   

  

1 0 5 0

2 3 3 0

0 0 4 0

1 3 1 5 N

SOLUÇÃO :

a) Observe que a matriz M pode ser subdividida como :

     

 

     

 

       

3 2 0

0

0 1 0

0

2 4 5

0

4 3 2

1

0

 

    

 

C B A

b) A matriz N pode ser subdivida como :

     

 

     

 

    

  

1 0 5 0

2 3 3 0

0 0 4 0

1 3 1 5

0

  

    



F E D N

sendo que a matriz F pode também ser subdividida como :

1 2 3

0

F

F

F

F





 







4

0

0

3

3

2

5

0

1



























significando que





1 3

( )

N

( )

D

( )

F

( )

D

( )

F

( )

F

5 ; 4 ; 3 ;1

























4) Seja A_n.n e () I_n A na_n1n1a_n2n2...a₁a_o o seu polinômio característico. Então temos :

A

a_o (1)n ; A  determinante de A.

5) Seja A_n.n e

( )

(

₁

) .(

n1 ₂

) ...(

n2

)

nr

n r

I

A





 

 

 





 







onde n₁n₂ ... n_r n , então temos :

1 2

1

.

2

...

r

n n n

r

A



 



Observe que esta propriedade permite concluir que uma matriz A é singular se e somente se pelo menos um de seus autovalores é nulo.

6) As matrizes A e ATtêm os mesmos autovalores. (AT  matriz A transposta ). 7) Se k é um escalar e A uma matriz quadrada então a matriz kA tem autovalores

i

k onde _i (A).

8) Se k é um número inteiro positivo e A uma matriz quadrada então a matriz Ak tem autovalores k

i

 onde _i (A).

9) Se k é um escalar e A_n.n então a matriz (AkI_n) tem autovalores _i k onde )

(A i    .

10) Se A_n.n é inversível então A1 tem autovalores i

 1

AUTOVETORES :

DEFINIÇÃO : autovetor à direita, vetor próprio à direita ou simplesmente autovetor de uma matriz A_n.n, é qualquer vetor V 0 tal que :

V V

A. .

Observe que se A.V .V então (I A)V 0, o que significa que

) ( I A Ker

V   .

TEOREMA : existe pelo menos um autovetor associado a cada autovalor.

TEOREMA : o polinômio característico de uma matriz A_n.n, é invariante sob mudança de base.

EXEMPLO : calcule (A) e os respectivos autovetores :

      

3 4

2 1

A

SOLUÇÃO : cálculo do espectro da A :

) 5 )( 1 ( 8 ) 3 )( 1 ( 3 4

2 1 )

(       

 

    

    

  

 I A (A)



1;5



Cálculo do autovetor V₁ associado a : ₁1: a) usando a definição : (A.V₁₁.V₁) :

Seja _

     

b a

V₁ . Então temos : _

    

3 4

2 1

. _

     b a

 _

     

b a

1 ; _

           

 

  

b a b

a b a

3 4

2

Logo :

2

2

0

4

4

0

a

b

a

b









ab. Então       

a a

V₁ ; a0.

b) usando o fato de que V₁Ker(₁I A): cálculo do

Ker

(



₁

I



A

)

: (₁I A) _

     

0 0 1

V :

temos : _

               

 

 

   

0 0 4

4 2 2 )

( _{1 1}

b a V

A I

 ;  _

         

 

 

 

0 0 4

4 2 2

b a

b a

; ab

Então

        

a a A I

Ker(₁ ) ; a 0.

Como V₁Ker(₁IA) então _

      

a a

Cálculo do autovetor V₂ associado a : ₂ 5 : a) usando a definição : (A.V₂ ₂.V₂)

Seja _

      b a

V₂ . Então temos : _

     3 4 2 1 . _      b a  _      b a

5 ; _

               b a b a b a 5 5 3 4 2 Logo : 0 2 4 0 2 4      b a b a

b2a. Então _

      a a V 2

2 ; a 0.

b) usando o fato de que V₂Ker(₂IA) ou seja : (₂I A) _       0 0 2 V

temos : _

                      0 0 2 4 2 4 )

( _{2 2}

b a V A I  ;  _                0 0 2 4 2 4 b a b a

; b2a

Então         a a A I Ker 2 )

(₂ ; a0. Logo _

      a a V 2

2 ; a0.  que é o

resultado encontrado no item a) acima.

DEFINIÇÃO : um vetor V é denominado de AUTOVETOR GENERALIZADO - AVG - de ordem k de uma matrizA_n.n, associado a um autovalor (A), se e somente se :

a) (AI)kV 0 e b) (AI)k1V 0.

Observe que se k 1 a definição acima corresponde à de autovetor já apresentada. DEFINIÇÃO : seja V um AVG de ordem k associado a (A). Sejam :

2 1 1 3 2 2 2 2 3 3 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( V I A V I A V V I A V I A V V I A V I A I A V I A I A I A V I A V V I A V I A I A V I A V V I A V I A V V V k k k k k k k k k                                                        

onde V_i, i1;2;...;k, é um AVG de ordem i.

NOTA : observe que multiplicando ambos os membros da expressão de V₁ acima , temos :

0 )

( )

)( (

)

(AI V₁ AI AI k1V  AI kV  , significando que :

) (

1 Ker A I

V   e que VKer (AI)k.

TEOREMA : o conjunto de AVG ,



V V

₁

;

₂

; ...;

V

_k



, é linearmente independente sobre C. ( C conjunto dos complexos. )

Todos os conceitos aqui apresentados serão utilizados para obtenção da denominada forma canônica de Jordan, que é o próximo assunto.

FORMA CANÔNICA DE JORDAN – FCJ - Autovalores distintos.

Abordaremos neste item uma forma canônica especial para os operadores lineares e muito importante no estudo da Teoria de Controle. Esta forma é a denominada Forma Canônica de Jordan – FCJ. Vejamos alguns resultados preliminares.

TEOREMA 1: sejam ₁, ₂,..., _n os autovalores distintos de uma matriz A_n.n. O conjunto



V₁,V₂ ,...,V_n



onde V_i, i1,2,...,n, é um autovetor associado a _i, é linearmente independente, l. i., sobre C - conjunto dos complexos. ( Prova – pode ser feita por contradição).

Seja então a matriz Q:



V₁ V₂  V_n



onde V_i, i1,2,...,n está definido no teorema acima.

Efetuando uma mudança de base, AQ1AQ, teremos : AQQA ou



V V V

 

V V V



A

A _{1 2}  _n  _{1 2}  _n ou



AV₁ AV₂  AV_n

 

 V₁ V₂  V_n



A

Ocorre da definição de autovetor que : 1

1

1 V

AV  ; AV₂ ₂V₂ ; ... ; AV_n _nV_n ; então, por substituição, temos :



 



  

 

  

 

 

   

 

 

A

n n n

n

n n

n n

n

a a

a

a a

a

a a

a

V V

V V V

V

    

 

    

  

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1 2

2 1

1  

 ; ou

n nV a V

a V a

V_{1 11 1 21 2 1}

1   ...

 .

Lembrando que os autovetores V₁ , V₂ ,..., V_n são linearmente independentes, temos : 1

11 

a e a₂₁a₃₁ ...a_n10; de modo análogo temos :

n n V a V

a V a

V_{2 12 1 22 2 2}

2   ...



e portanto

2 22 

a e a₁₂ a₃₂ ...a_n2 0; e assim :

n nn n

n n

nV a1 V1a2 V2...a V

 , que como já vimos implica em :

n nn

a  e a_1n a_2n ...a_n(n1) 0.

Deste modo vemos que a matriz A terá a forma :

   

 

   

   

n Jordan

A A

 



0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

2 1

 .

EXEMPLO : dado a matriz A determine a forma canônica de Jordan – FCJ.              2 1 0 0 1 0 1 0 1 A SOLUÇÃO :

a) cálculo do espectro de A : ( use propriedade ) : ) 2 )( 1 )( 1 ( ) (      

  I A    ;

b) cálculo do autovetor associado a ₁ 1 :

1 1

1 V

V

A  

                                 c b a c b a 2 1 0 0 1 0 1 0 1                           c b a c b b c a 2  0 0   c b Então            0 0 1 a

V ; com a0

c) cálculo do autovetor associado a ₂ 1:

2 2

2 V

V

A  

                                    c b a c b a 2 1 0 0 1 0 1 0 1                              c b a c b b c a 2  c b c a 3 2 1    Então                c c c V 32

1

2 ; com c0

d) cálculo do autovetor associado a ₃ 2:

3 3

3 V

V

A  

                                 c b a c b a 2 2 2 2 1 0 0 1 0 1 0 1                           c b a c b b c a 2 2 2 2  0   b c a Então            c c

V₃ 0 ; com c0.

Uma possível escolha numérica é :

           0 0 1 1

V ;

             2 6 1 2

V e

           1 0 1 3 V .

Sendo assim a matriz de mudança de base , Q, será :





              1 2 0 0 6 0 1 1 1 3 2 1V V V

Q ;

A forma canônica de Jordan será obtida fazendo –se :

    

    

   

2 0 0

0 1 0

0 0 1 1_AQ Q

A_J

FORMA CANÔNICA DE JORDAN – FCJ - Autovalores repetidos Vejamos agora como proceder para obter a matriz Q de mudança de base que permitirá determinar a FCJ de qualquer matriz A_n.n.

Com objetivo de eliminar o excesso de simbologia e sem perda de validade das conclusões que serão obtidas vejamos os exemplos numéricos que seguem.

EXEMPLO 1 : determinar a FCJ da matriz A:

    

     

6 0 0

5 4 0

3 2 1 A

SOLUÇÃO : (A)



1;4;6



 autovalores distintos. Sabemos que :

3 3

3

2 2

2

1 1

1

) (

6

) (

4

) (

1

V I A Ker

V I A Ker

V I A Ker

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Q



V₁ V₂ V₃



Q1AQ A_J

Observe que a existência dos autovetores está garantida pelo Teorema 1. Numericamente temos : ( confirme as escolhas abaixo ) :

    

      

0 0 1 ) (A ₁I

Ker  

    

     

0 0 1 1

V ;

    

      

0 3 2 ) (A ₂I

Ker  

    

     

0 3 2 2

V ;

    

      

10 25 16 ) (A ₃I

Ker  

    

     

10 25 16 3 V

Sendo assim temos :

    

     

10 0 0

25 3 0

16 2 1

Q ;

     

 

     

 

 





10 1 0 0

30 25 3

1 0

15 1 3

2 1

1

Q ;

    

       

6 0 0

0 4 0

EXEMPLO 2 : determinar a FCJ da matriz A:

    

   

 



2 0 0

0 1 0

1 0 1

A

SOLUÇÃO : (A)



1;1;2



 autovalores repetidos – tentaremos usar a mesma solução do exemplo 1 :

3 3

3

2 2

2

1 1

1

) (

2

) (

1

) (

1

V I A Ker

V I A Ker

V I A Ker

 

 

 

 

 

 

 

 

 

₁₂ então Ker(A₁I) = Ker(A₂I).

Vejamos inicialmente o cálculo do autovetor V₃ associado ao autovalor simples 2

3   .

    

    

  

1 0 1 ) 2 (A I

Ker  uma escolha é :

    

    

 

1 0 1 3 V

Vejamos agora o cálculo dos autovetores V₁ e V₂ associados ao autovalor repetido 1

2 1 

 . Sabemos que V₁ e V₂ pertencem ao subespaço Ker(A₁I) que é igual a Ker(A₂I) . Será que neste Kernel cabem 2 vetores V₁ e V₂, linearmente independentes ? Vejamos :

) (A ₁I

Ker  = Ker(A₂I) =

    

          

   

 

0 0

1 0

0 1

1 0 0

0 0 0

1 0 0

Ker  vemos que este

Kernel tem dimensão 2 então cabem 2 vetores V₁ e V₂, linearmente independentes.

A matriz Q de mudança de base será, como no exemplo anterior, é dada por :



V₁ V₂ V₃



Q e então Q1AQ A_J. Numericamente temos :

    

      

 

0 0

1 0

0 1 ) (

)

(A ₁I Ker A ₂I

Ker   .

Então uma possível escolha é :

    

     

0 0 1 1

V e

    

     

0 1 0 2

V .

Sendo assim temos :

    

    

 

1 0 0

0 1 0

1 0 1

Q ;

    

    

 



1 0 0

0 1 0

1 0 1 1

Q ;

    

       

2 0 0

0 1 0

Vemos então que neste caso, apesar dos autovalores repetidos, ( ₁ ₂ 1 ), a forma canônica de Jordan é uma matriz diagonal.

EXEMPLO 3 : determinar a FCJ da matriz A:

    

     

2 0 0

3 1 0

2 1 1 A

SOLUÇÃO : o espectro desta matriz é o mesmo da matriz do exemplo 2, isto é :



1;1;2



) (A 

  autovalores repetidos – tentaremos usar a mesma solução do exemplo 2 :

3 3

3

2 2

2

1 1

1

) (

2

) (

1

) (

1

V I A Ker

V I A Ker

V I A Ker

 

 

 

 

 

 

 

 

 

₁₂ então Ker(A₁I) = Ker(A₂I)

Vejamos inicialmente o cálculo do autovetor V₃ associado ao autovalor simples 2

3   .

    

      

1 3 5 ) 2 (A I

Ker  uma escolha é :

    

     

1 3 5 3 V

Vejamos agora o cálculo dos autovetores, V₁ e V₂, associados ao autovalor repetido₁₂ 1. Sabemos que V₁ e V₂, pertencem ao subespaço Ker(A₁I) que é igual a Ker(A₂I) . Será que neste Kernel cabem 2 vetores V₁ e V₂, linearmente independentes ? Vejamos :

) (A ₁I

Ker  = Ker(A₂I) =

    

          

    

0 0 1

1 0 0

3 0 0

2 1 0

Ker  vemos que este Kernel

tem dimensão 1 então não cabem 2 vetores, V₁ e V₂, linearmente independentes. COMO PROCEDER ENTÃO ?

Neste caso iremos usar os denominados autovetores generalizados – AVG.

Neste exemplo precisamos de uma cadeia de autovetores generalizados que nos forneça 2 vetores linearmente independentes. Isto significa que devemos ter uma cadeia de ordem k 2. Para isto faremos :

0 )

(A₂I kV  e (A₂I)k1V 0 ; ₁₂ 1 ; V é o gerador da cadeia. Vejamos o cálculo do gerador V : numericamente temos :

0 )

(AI 2V  

    

          

    

    

    

0 0 0

1 0 0

3 0 0

5 0 0

c b a

 

    

    

c c c 3 5

    

    

0 0 0

0 )

(AI V  

    

          

           

    

    

    

0 0 0 3

2

1 0 0

3 0 0

2 1 0

c c

c b

c b a

; como c0 então b0

Vemos então que um gerador V , para este exemplo é :

    

          

     

0 b a

c b a

V onde a é

qualquer e b0. Uma possível escolha para o gerador da cadeia é :

    

     

0 1 0

V .

De posse do gerador vamos determinar os dois vetores da cadeia : ( k 2) :

    

       

0 1 0 2 V V

V_k ;

    

          

    

    

         

0 0 1

0 1 0

1 0 0

3 0 0

2 1 0 ) ( 1

1 V A I V

V_k .

Sendo assim temos :



V₁ V₂ V₃



Q =

    

    

1 0 0

3 1 0

5 0 1

;

    

    

  



1 0 1

3 1 0

5 0 0 1

Q ; e portanto teremos :

   

 

   

    

2 0

0

0 1

0

0 1

1 1

    

 

AQ Q

A_J  Vemos então que neste caso, a forma canônica

de Jordan não é mais uma matriz diagonal como no exemplo 2 . Surgiu uma estrutura que será melhor definida a seguir, denominada bloco de Jordan que é a submatriz _

    

1 0

1 1

na expressão de A_J acima.

O que existe de diferente entre os exemplos 2 e 3 já que em ambos os autovalores são os mesmos e as respectivas formas canônicas de Jordan são diferentes ?

Antes de abordamos a resposta a esta questão, é importante deixar registrado o teorema e a observação que seguem :

TEOREMA 2 : os autovetores generalizados de uma matriz A_n.n associados a diferentes autovalores são linearmente independentes sobre C.

No exemplo 3 acima, este teorema garante que os autovetores V₁, V₂ e V₃ são l. i. o que garante que a matriz de mudança de base Q é inversível.

a) Q



V₁ V₂ V₃





    

       

2 0 0

0 1 0

0 1 1 1_AQ Q A_J

b) Q



V₂ V₁ V₃





    

       

2 0 0

0 1 1

0 0 1 1_AQ Q A_J

c) Q



V₃ V₁ V₂





    

       

1 0 0

1 1 0

0 0 2 1_AQ Q A_J

d) Q



V₃ V₂ V₁





    

       

1 1 0

0 1 0

0 0 2 1_AQ Q A_J

e) observe que se “ misturarmos” os autovetores generalizados V1 e V2 com o autovetor comum V₃ na matriz de mudança de base, Q, a estrutura de Jordan será destruída como mostra o exemplo abaixo :



V₁ V₃ V₂



Q 

    

       

1 0 0

0 2 0

1 0 1 1_AQ Q

A_J  Isto é FCJ ?

CONCLUSÃO : os AVG e os autovetores comuns não devem ser misturados na matriz de mudança de base Q.

DEFINIÇÃO : bloco de Jordan superior, ( inferior ), de ordem k, associado a um autovalor , é uma matriz quadrada k.k, do tipo :

     

 

     

 

 

 

1 1

1

 

erior

Jordan de

bloco

sup ;

     

 

     

 

 

 

1 0 1

0 1

0



 erior

Jordan de

bloco

inf

IMPORTANTE : inversa de uma matriz bloco de Jordan . Considere como exemplo a matriz bloco de Jordan 4x4 onde a0 :

Seja

   

 

   

  

a a a a

J

0 0 0

1 0

0

0 1 0

0 0 1

então 

        

 

        

 

 

 





a a a

a a a

a a a a

J

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

2 3 2

4 3 2

De modo análogo :

Seja

   

 

   

  

a a a a

J

1 0 0

0 1

0

0 0 1

0 0 0

então 

        

 

        

 

 

 





a a a a

a a a

a a

a

J

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

2 3 4

2 3 2 1

CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE A FORMA CANÔNICA DE JORDAN Vimos até agora 3 exemplos sobre a obtenção da FCJ. No exemplo 1 a matriz A tinha todos os autovalores distintos e vimos que a FCJ era uma matriz diagonal. Nos exemplos 2 e 3 as matrizes, A, tinham autovalores repetidos e vimos que no exemplo 2 a FCJ é diagonal enquanto que no exemplo 3 a FCJ não é diagonal. No que segue iremos responder à pergunta já formulada :

O que existe de diferente entre os exemplos 2 e 3 já que em ambos os autovalores são os mesmos e as respectivas formas canônicas de Jordan são diferentes ?

Para responder a esta pergunta, vamos considerar a seguinte situação : Suponha que o espectro de uma matriz A seja : (A)



1;2;3;3;3;3



As 5 possíveis formas canônicas de Jordan desta matriz A são :

a)

       

 

       

 



3 3 3 3 2 1

J

A ; b)

       

 

       

 



3 3 3 1 3 2 1

J A

c)

       

 

       

 



3 1 3 3 1 3 2 1

J

A ; d)

       

 

       

 



3 0 3 1 3 1 3 2 1

J A

e)

       

 

       

 



3 1 3 1 3 1 3 2 1

Como saber qual delas é a correta ? ( a FCJ de uma matriz A_n.n é única ).

A FCJ será a do item a) se dim Ker(A3I)4  pois o autovalor  3 tem

multiplicidade igual a 4 e em um subespaço de dimensão 4 cabem 4 vetores l. i. Se dim Ker(A3I) 4 a FCJ será a do item b), a do item c), a do item d) ou a do

item e) ? A resposta a esta questão é dada por meio de dois resultados importantes : 1) PROPRIEDADE FUNDAMENTAL : o número de cadeias de AVGs, associadas a um autovalor _i é dado por : N_i (A_iI), onde :

 i

N número de cadeias ;  nulidade da matriz (A_iI)

Observe que se N_i n_i onde n_i é a multiplicidade do autovalor _i, não será necessário usar AVG e a parte da FCJ relativa a _i será diagonal.

2) MÉTODO DA ₂a_{DIFERENÇA : para saber a ordem de cada bloco de Jordan,} ( ordem de cada cadeia ) usaremos o denominado método da 2 diferença, a apresentado a seguir :

ROTEIRO PARA OBTENÇÃO DA FORMA CANÔNICA DE JORDAN MÉTODO DA 2a DIFERENÇA.

A determinação da forma canônica de Jordan de uma matriz

A

_n.n pode ser feita através do seguinte algoritmo, conhecido como método da 2a diferença:

1) calcule o espectro da matriz A;

2) para cada autovalor simples corresponde um bloco de Jordan de ordem 1; 3) para cada autovalor,



_i, com multiplicidade maior que 1 verifique se será

necessário usar AVG. Se não for, isto significa que a parte da FCJ relativa a



_i será diagonal. Se for, execute os próximos 2 passos:

3a) determine a matriz

[

A





_i

I

]

;

3b) para cada j = 0, 1, 2, ..., calcule



(

A





_i

I

)

j, (   posto ), até que

1

)

(

)

(







j

i j

i

I

A

I

A









e preencha as 2 primeiras colunas do quadro

abaixo. As 2 últimas serão preenchidas efetuando-se as diferenças como indicado. 4) escreva a FCJ usando a coluna ₂ que informa a ordem de cada bloco de Jordan

associado ao correspondente autovalor _i.

No exemplo que segue os dados são ilustrativos e a matriz A é suposta 10x10.

Índice - j j

iI)

A ( 

 1 2

j = 0 10

10 – 6 = 4

j = 1  6 4 – 3 = 1

6 – 3 = 3

j = 2  3 3 – 2 = 1

3 – 1 = 2

j = 3  1 2 – 0 = 2

1 – 1 = 0

A forma canônica de Jordan é obtida considerando-se que para cada autovalor,



_i, com multiplicidade maior que 1, a coluna



₂ fornece o número de blocos de Jordan de ordem igual ao correspondente valor do índice j. No quadro acima, usado como exemplo, teremos para o autovalor



₁





_i :

1 1 1

1 1

A

1 1 1 1

1 1 1

1 1

J

                   

 

                   

 



  

 

             

 

 

 

 

 

 

             

 

 

 

 

 

 

             

 

 

 

 

             

 

 

   

  

 

Observe que, neste exemplo, a FCJ acima apresenta para o autovalor ₁: 1 bloco de Jordan de ordem 1 ;

1 bloco de Jordan de ordem 2 ; 2 blocos de Jordan de ordem 3.

EXEMPLO : determinar a forma canônica de Jordan da matriz A:

           

 

           

 



5 0 0 0 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0 0 0 0

0 3 2 0 0 0 0 0 0

0 2 0 2 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1 1 0 1

SOLUÇÃO : de acordo com o ROTEIRO proposto temos ;

1) Cálculo do espectro de A: (A)



5;1;1;1;1;1;2 ;2;2;



;

2) Para o autovalor simples  5 corresponderá 1 bloco de Jordan de ordem 1; 3) Para o autovalor repetido  1,vejamos se será ou não necessário usar AVG ;

3a)

           

 

           

 

 

4 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 3 1 0 0 0 0 0 0

0 2 0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 0 0

I

A  (AI)7  (AI)2

Considerando que (AI)2 e portanto menor que a multiplicidade de 1,

que é 5, então será necessário usar AVG. Vemos ainda que serão 2 cadeias de AVG associados a  1.

Para sabermos a ordem de cada uma destas cadeias, usaremos o método da 2a diferença :  1:

3b)

Índice - j j

I A )

( 

 1 2

j = 0 9

2

j = 1 7 0

2

j = 2  5 1

1

j = 3  4 1

0

j = 4 4

O quadro acima informa que serão 2 blocos de Jordan associados ao autovalor 1



 .

Para o autovalor 2, procederemos de modo análogo : 3a)

           

 

           

 

    

 

3 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 3 0 0 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 1 1 0 1

2I

A  (A2I)7 (AI)2

Considerando que (A2I)2 e portanto menor que a multiplicidade de  2,

que é 3, então será necessário usar AVG. Vemos ainda que serão 2 cadeias de AVG associados a  2.

Como a multiplicidade de  2 é 3 então, neste caso não é necessário usar o método da 2ª diferença pois só podem ser uma cadeia de ordem 2 e uma de ordem 1.

Como o autovalor  5 é simples então a FCJ da matriz A será : 4)

                 

 

                 

 



5 2

2 1 2 1

1 1 1 1 1

1 1

 

 

            

 

 

            

 

 

 

 

            

 

 

 

 

 

 

            

 

 

 

