3.7.1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem com coeficientes 3.7.1.1. Solução de EDOL Homogêneas de 2ª Ordem com coeficientes 3.7.1.2. Solução de EDOL não-Homogênea de 2ª Ordem com coeficientes - 050 Equações Diferenciais Ordinárias - Ayrton Barboni

(1)

1

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

Prof. Me. Ayrton Barboni

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 2

2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) ... 2

2.1. Ordem de uma Equação Diferencial Ordinária ... 2

2.2. Grau de uma Equação Diferencial Ordinária ... 3

2.3. Solução geral e particular de uma EDO ... 3

3. ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS ... 4

3.1. Equações Diferenciais Imediatas ... 4

3.2. Equações Diferenciais Autônomas ... 4

3.3. Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis ... 5

3.4. Equações Diferenciais Exatas ... 6

3.5. Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem ... 7

3.5.1. Solução de uma EDO Linear de 1ª Ordem ... 7

3.6. Equações Diferenciais de Bernoulli ... 9

3.7. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem ... 9

3.7.1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem com coeficientes constantes ... 10

3.7.1.1. Solução de EDOL Homogêneas de 2ª Ordem com coeficientes constantes ...10

3.7.1.2. Solução de EDOL não-Homogênea de 2ª Ordem com coeficientes constantes ...11

(2)

2

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

1. INTRODUÇÃO

Estamos apresentando apenas um resumo sobre algumas Equações Diferenciais. Deve-se consultar, para maiores informações, o livro indicado na bibliografia desta apostila.

Vamos introduzir o estudo das equações diferenciais apresentando o seguinte problema: Suponhamos que f sejauma função real de variável real x, onde y = f (x). Se conside- rarmos a equação y  x 1, queremos obter y que a satisfaça.

Solução:

Esta equação pode ser escrita na forma: dy x 1 dx   ou

 ₁

d y x dx.

Integrando, membro a membro, obtemos

2

x

y  x c, c .

Observação: Podemos verificar que

2

2 x

y  x c é, de fato, solução da equação dada, pois substituindo

2 2

1 0 x

y    , tem-se a identidade: x  1 x 1,  x . 2. EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO)

Chamamos de EquaçãoDiferencial Ordinária a toda equação que envolve uma função

 

y f x de uma variável, assim como também algumas de suas derivadas ,y y, y, Notação:

y

( )n



F( , , , , ...,

x y y y

 

y

( 1)n

)

o u

F( , , , , ...,

x y y y

 

y

( 1)n

,

y

( )n

) 0



Solução da equação diferencial é uma função incógnita, onde y f x

 

, que

substituída, juntamente com as suas derivadas, na equação diferencial, resulta em identidade. Exemplos de equações diferenciais:

a) dy x 1

dx   b) y  y 2 c)

2 " 7y xy 21 0    

d) y 5x1 e)

dy x dx



2 f)

 

y 3



x21



y4( ')y 5 y'' 1 Nota: Uma equação diferencial que apresenta derivadas parciais de uma função incógnita é chamada de Equação Diferencial Parcial.

Exemplo: x y t y y

x t

 

  

  , sendo y f x t

 

, .

2.1 Ordem de uma Equação Diferencial Ordinária

Ordem de uma equação diferencial é a maior ordem das derivadas de y f x  que comparecem na equação.

(3)

3

2.2. Grau de uma Equação Diferencial Ordinária

O grau de uma equação diferencial é o maior expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação. Vemos, nos exemplos, que (a), (b), (c), (d) e (e) são de primeiro grau e (f) é de terceiro grau.

Nota: Os conceitos de Ordem ou Grau de uma equação diferencial devem ser entendidos diante de um conhecido intervalo de variáveis, pois, caso contrário, algumas situações desconfortáveis podem ocorrer.

Exemplificando:

Pede-se o Grau e a Ordem da equação diferencial (x x y) ''x y2( ')35. Veja que:

a) Se x ]0, [, então (x x) 2 x e a equação 2 ''x y x y2( ') 53 é de segunda ordem e primeiro grau.

b) Se x  ] , 0[, então (x x) 0 e a equação 0. ''y x y2( ') 53 é de primeira ordem e terceiro grau.

c) Se x0, então não teremos equação diferencial.

2.3. Solução geral e particular de uma EDO.

A sentença

y c e

 

x, c , é chamada de solução geral da equação y  y 0 (visto que [–ce–x] + [ce–x]

=

0, é uma identidade, 0 x 0

e

  , x ), pois representa o conjunto de todas as suas soluções.

Ao estabelecermos, por exemplo, os valores c2, c1 ou c 1, na solução geral, teremos as soluções

y



2 e

x,

y e



x ou

y

 

1 e

x, chamadas de soluções particulares da EDO.

Se quisermos a solução particular que contenha, por exemplo, o ponto (0, ½), basta substituirmos x0 e y = 1/2 na solução geral, 1/2 = c.e–0, e obtermos a constante c = 1/2 correspondente. Neste caso, a solução particular que tem o ponto (0, ½) é y = e–x/2.

y = 0

2

x

1

-1

-2

y -x

-x

-x -x

y = 2e

y = - 2e y = ce , c > 0

y = ce , c < 0 y = e

-x

(4)

4 Se pedirmos uma solução que atenda a condição y(0) = 1/2, então estaremos solicitando a mesma solução particular y = e–x/2.

3. ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Uma equação diferencial de 1ª ordem e 1º grau y F ,

 

x y pode ser escrita na forma diferencial P x y dx Q x y dy

 

, 

 

, 0, onde as funções de duas variáveis P e Q são contínuas numa mesma região do plano.

 

F ,

y  x y



( , ) ( , ) P x y Q x y

dy

dx 





P x y dx Q x y dy

 

, 

 

, 0

Apresentaremos, agora, apenas as seguintes equações diferenciais:

3.1. Equações Diferenciais Imediatas

As equações diferenciais ordinárias que podem ser reduzidas à forma

y

 n



g x

 

são chamadas de equações diferenciais imediatas.

Exemplo:

A equação y 2x 6 0 pode ser colocada na forma y 2x6, logo, é imediata. Solução:

Integrando y 2x6, sucessivamente, em relação a x, obtemos y:

  2

1

2 6 6

y 



x dxx  xc ,

c

₁



.



2



3 2

1 1 2

6 3

3 x

y



x  x c dx  x c x c ,

c

₂



.

A função

3 2

1 2

3 3 x

y  x c x c ,

c c

₁

,

₂



é a solução geral da equação diferencial.

3.1.1. Exercícios Propostos

Encontre a solução geral das EDO

1) y 12x22 R.

y

  

x

4

x

2

c x c

₁



₂,

c c

₁

,

₂



2) y sen( ) 2x  R. y cos ( ) 2x  xc, c Encontre a solução particular das EDO

3)

y

 

e

x, sendo y 0 4 e y 0 2 R.

y e

  

x

3

4) y ' 6, sendo y

 

0 1 , y 0 5 e y" 0 2 R.

y

   

x

3

x

2

5 1

x

3.2. Equações diferenciais Autônomas

As equações diferenciais autônomas podem ser colocadas na forma dy f y( ) dx

 _. Exemplo:

Pedro depositou R$20 000,00 na poupança que paga 6% de juros ao ano. Pede: a) saldo ao final de 3 anos

(5)

5 Solução:

Temos que a rapidez de crescimento do saldo é proporcional ao saldo presente:

dS t( ) k S t( )

d t



(no caso, k = 0,06) Resolvendo a equação, tem-se que

S t

( )



c

e

0,06t

,

c



*_

No instante t = 0 o saldo da conta é S (0) = 20 000,00, daí, S t( )  20000e0,06t. a) Ao final do terceiro ano, temos

S

(3)



20000

e

0,06(3)



23944,35

reais. b) O valor aplicado é dobrado: 40000



20000

e

0,06( )t



t

= 11,55 anos. 3.2.1. Exercícios propostos:

1) A taxa de crescimento da cultura de bactérias é proporcional ao número N(t) presente a cada instante. Se N(0) = 100 unidade e sua quantidade dobra a cada 3 horas, pede a estimativa da quantidade ao final de 9 horas. ( ln2 0,6932 ) R. 800

2) A taxa de variação da quantidade Q(t) de uma substância radioativa é proporcional a quantidade presente da substância em cada instante. Pede determinar a constante de proporcionalidade, ao final de 1000 anos resta a metade da inicial. R. 0,000693 Qual é a porcentagem restante da substância inicial ao final de 2000 anos? R. 25%

3.3. Equações Diferenciais Variáveis Separáveis (1ª ordem e 1º grau: y  f x y( , )₎

Uma EDO separável pode ser escrita na forma: P x y dx Q x y dy

 

, 

 

, 0, onde se tem P x y



,



P x P y₁( ). ( )₂ e Q x y



,



Q x Q y₁( ). ( )₂ .

Vamos mostrar uma solução particular utilizando o exemplo:

Resolva a equação (x xy dx ) (xy y dy ) 0

,

x

 

1

e

y

 

1

, que satisfaça a condição y 0 1.

Solução:

Fatorando P x y



,



e Q



x y,



e separando as variáveis em cada membro da equação,

temos:

1 1

y x

dy dx

y x

 

  . Integrando os termos: yln y   1 x ln x1c, c .

Aplicando a condição inicial na equação obtida, isto é, x0 e y1, obtemos 1 ln 2   0 ln 0 1



c

e, daí, c  1 ln 2  lneln 2  ln( / )e 2 .

Portanto, yln y   1 x ln x1ln( / )e 2 é a solução particular.

3.3.1

.

Exercícios Propostos

(6)

6 1) cos( )x y dx e xsen( )y dy0, cosy



0 R. ln cos y

 

xe

x



e

x



c

, c

2)

2 2

1 x y

y

 

 , y





1 R.

3 3

y x

y  c, c

3) (x–y2x) dx + e-x(1–y) dy = 0 , y≠ ±1 R. ln ǀ1 + yǀ + ex(x– 1) = c, c

Encontre a solução particular das EDO

4) x ydxdy, x>0, y>0 , onde

y

 

4 9



R. 3 yx x1

5)ydx   (1 y x xy dy) 0,x



1, y



0, onde

y

 

0 

e

R. ln y  y ln 1  x e 1

6) Um recipiente contém 10kg de sal em 100 litros de água. Despeja-se no recipiente água pura na razão de 10 l/min e libera a mistura na mesma quantidade que entra no recipiente. Qual a quantidade de sal que escoa ao final de 30 min?

Observação:

S(t) é a quantidade de sal que sai ao final de t minutos.

10 – S(t) é quantidade de sal que permanece no recipiente com 100 litros de mistura 10 S( )

100 t



é a concentração de sal no reservatório após t minutos.

[10 S( )].10 100

t



= é a velocidade de variação de sal que sai por minuto = dS( )t

dt . Isto é: S( ) [10 S( )].10

100

d t t

dt





R. S(30) = 10 (1e3) kg 9,5019 kg

3.4. Equações Diferenciais Exatas

É conveniente lembrar que a diferencial total dF x y( , ) de uma função de duas variáveis, com derivadas F x y( , )

x 

 e

( , ) F x y

y



 contínuas numa região do plano xy, é

( , ) ( , )

( , ) F x y F x y

dF x y dx dy

x y

 

 

  .

Se F x y( , ) k, k , então dF x y( , ) 0 . Daí, temos a equação diferencial:

( , ) ( , )

0

F x y F x y

dx dy

x y

 _  _

  ou, de outro modo, ( , )P x y dx Q x y dy( , )  0.

Clairaut: “F(x,y) tem derivadas parciais contínuas até 2ª ordem, então Fxy(x,y) = Fyx(x,y)” .

Proposição: Se P e Q são funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa região R, então

“P x y dx( , )  Q x y dy( , )  0 é exata  P x y( , ) Q x y( , )

y x

 

   ”

Exemplo:

Resolver a equação ₍₂ ₁₎ ₍ 2 ₎ ₀

xy y dx  x x dy 

(7)

7 Temos que P x y( , ) ₂_x ₁ Q x y( , )

y x

 

 

   . Logo, a equação é exata.

Devemos obter F( , )x y :

Temos que F ( , )_x x y P( , )x y 2xy y 1 e, daí,

_{F( , )} _{P( , )} ₍₂ ₁₎ 2 _{( )}

x y 



x y dx



xy y dx  x yxy x  y ( I )

Por outro lado, F ( , )_y x y Q( , )x y .

Logo, 2 _{'( )} 2 _{'( ) 0} _{( )} ₀ _ccte

x  x  y  x x   y    y 



dx  ( II ) Substituindo ( II ) em ( I ), tem-se _{F( , )} 2 _ccte

x y x yxy x k Portanto, 2 _{C, C}

x yxy x  , é a solução geral. 3.4.1

.

Exercícios Propostos

1) ₂ ₍ 2 ₁₎ ₀

xy dx  x  dy  R. x y2   y C 0, C

2) y' x y₂

x y

 

 R.

3

2

C C

+ 0,

2 3

x y

xy

   

3) _{y e}xy_dx__{x e}xy_dy_0_R. _exy __k_, _k_ 4) _{[2 sen( )} x_{cos( )]} _[ 2_{cos( )} x_{sen( )]} ₀

x y  e y dx  x y e y dy 

R _x2_sen_y__ex_cos_y__k _{, k}_

5) ₃ 2 2 ₍₂ 3 ₄ 3₎ ₀

x y dx x y y dy  , y(0) = 2. R. x y3 2y4 16 3.5. Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem

Uma equação diferencial que pode ser colocada na forma

     

1 0

g x y g x yh x , com as funções g₀, g₁ e h contínuas num mesmo intervalo I, no qual g x1( )



0

, é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem.

Se h x 0,  x I, então g x y1   g0 x y0 é denominada equação

diferencial linear de primeira ordem homogênea.

Exemplo:

a) y 2 y 0 x

   , x > 0. (homogênea)

b) 3

y

 

xy x

3. (não homogênea)

3.5.1. Solução de uma EDO linear de 1ª ordem

Temos que

g x y

₁

 

'



g x y h x

₀

 



( )

,

g x

₁

 



0

e

x

 

I

.

Dividindo os termos da equação por

g x

₁

 



0

, obtemos y P x y  Q x  (I)

Multiplicando ( I ) por

e



P x dx( ) , segue que:

(8)

8 logo,

d

y e

P x dx( )

e

P x dx( ) Q x( )

dx







_











e, daí,

( ) ( )

( )

P x dx P x dx

Q x dx d

dx

y e

e







_













Integrando, temos

y e



P x dx( )





e



P x dx( ) Q x dx( )



k

, k

Fazendo

I x

( )



e



P x dx( ) , segue que ( ). ( ) ( )

,

I x Q x dx k

I x

k

y









.

Resumindo:

A solução incógnita

y



f x

 

, da equação diferencial

y



P x y Q x

 



 

é obtida pelas sentenças:

a) I x eP x dx 

b)       I x Q x dx k y

I x

 





, k , é a solução geral da equação diferencial.

Exemplo:

Resolva a equação diferencial y 2xy2x3.

Solução:

A equação é linear de 1ª ordem, sendo P x 2x e Q x 2x3. Logo,

a)   P x dx  2xdx x2

I x e e e e, substituindo em (b), temos:

b)    

  2 2

3 2

2 2

x x

I x Q x dx k e x dx k e x xdx k y

I x e e

     













, k .

Daí, a solução geral



2



2 2

1

x

e x c

y

e  

 ou, então,



2 ₁



x2

y x   c e , c .

3.5.1

.

1 Exercícios Propostos

1)

y

' 2



y



4 x

R.

y c e



2x

 

2 1

x

, c 2)

y

' ( / )



3

x y



x x

4

,



0

R. 3



2_{/ 2}



yx _ x c_, c

3)

xy x y x

'



2



2

,

x



0

R.

2 2 1

x

y c e



  , c 4)

x y

'

(2x21)

y x x



,



0

R. 1 2



2



2

x x

x

y e e c , c Encontre a solução particular das EDO

5)

x y

' 2

  

y x

2

x x

,



0, (1) 1/ 4

y



R.

2

1

4 3 3

x x

y

x

  

6) ' 2y ysen ,x y(0) 1 R. 1 6 2

5 (2sen cos ) 5

x

y  x x  e

(9)

9 8) Um circuito elétrico possui uma resistência R = 8 ohm e está sujeito a uma força eletro motriz E = 4 volts. Sendo o coeficiente de autoindução L = 0,2 henry, pede a intensidade da corrente i (em amperes) decorrido 0,01 segundos.

R Lembrar das leis:

Faraday L

d ( )

U L.

d i t

t



E _ L Ohm

U

_R



R. ( )

i t

Kirchoff

E = U

_L



U

_R i

R. i = 0,167 amper

3.6. Equações Diferenciais de Bernoulli

São equações do tipo y P x y

 

 Q x y

 

n, onde n0 e n1 Observação: É imediato ver que y = 0 é solução da equação de Bernoulli.

Procedimento para solução:

a) Dividir a equação dada por _yn_:

1

' 1

( ). ( ) (I)

n n

y

P x Q x

y  y  

b) Considerar z 1_n ₁ y 

 (II) e, daí, z' (1 n) y_n' (III) y

 

c) Substituir (III) em (I): ' ( ).

 

1

z

P x z Q x

n  



z' (1 n P x z) ( )  (1 n Q x) ( ) (IV) d) Resolvendo (IV), obtemos z

e) Substituindo z em (II), teremos

1 1 n

y z  que é a solução geral da equação.

Exemplo:

1) y  y x y5 R. y = 0 e

1

4 ₄

4

(4 1) 4

x

e

e x k

y

  





 







, k ,

4x₍₄ ₁₎ ₄

e x k

  

2) y

1

y 4y2

x

   _R._y_{= 0 e} ₂

2 x

y

x

k







, k , 2x2 k

3) y 2xy  x y4 R. y = 0 e 2 1 3

3

2

x

1 y

k e





 













, k ,

2 3

2_{k e} x _1

3.7. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem

(10)

10 num mesmo intervalo (vamos nos restringir a intervalos onde sejam contínuas).

As funções P_eQ são chamadas de coeficientes da equação diferencial.

Se ,  x I, então a equação diferencial será chamada de homogênea. Se f x( ) 0 , x I, a equação diferencial é chamada de não homogênea.

Exemplo:

a) yxy2y0, x (homogênea) b) y 3 y x y senx

x

   , x *__{(não homogênea)}

3.7.1. Equações Diferenciais Lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes Suponhamos que os coeficientes P x( ) e Q x( )_{sejam constantes e,} respectivamente, iguais a p e q. Assim, y'' p y ' + y = ( )q f x

Apresentaremos a seguir modo prático de resolução destas equações nos casos que sejam homogêneas ou não-homogêneas.

3.7.1.1. Solução de EDOL Homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes

Consideremos a equação diferencial homogênea y'' p y ' + y = 0q _{e sua} equação característica

r

2



p

r + = 0.

q

1º ) A equação característica possui duas raízes reais distintas:

r

1 e

r

2.

Neste caso, a solução da homogênea é 1 2

1 2

h

r x r x

y c e c e ,

c c

1

,

2



.

2º ) A equação característica possui duas raízes reais iguais:

r

1=

r

2=

r

Neste caso, a solução da homogênea é y_h c e₁ r xc x e₂ r x,

c c

1

,

2



.

Isto é, h [ ₁ ₂ ] r x

y  c c x e ,

c c

1

,

2



.

O “reforço” x apresentado em

y

h é devido a igualdade das raízes.

3º ) A equação característica possui raízes complexas:

r

1

  

i

e

r

2

  

i

Neste caso, a solução da homogênea é h

[ cos( )

1 2

sen( )]

x

y



e



c



x



c



x

,

1

,

2

e

c c



  ,



*_

.

3.7.1.1.1. Exercícios Propostos

1) y4y3y0 R. 1 2 3

h

x x

y



c e



c e

,

c c

₁

,

₂



.

(11)

11 2) y 16y0 R. 1 2

4 4

h

x x

y



c e



c e

 ,

c c

₁

,

₂



.

3) y4y4y0 R. 1 2

2

[

]

h

x

y

 

c

c x e

,

c c

₁

,

₂



.

4) y6y9y0 R.

y

_h

 

[

c

₁

c x e

₂

]

3x,

c c

1

,

2



.

5) y4y13y0 R.

y

_h



e

2x

[ cos( )

c

₁ 3

x



c

₂

sen( )]

3

x

,

c c

1

,

2



.

6) y  y 0 R.

y

_h



c

₁

cos( )

x



c

₂

sen( )

x

,

c c

₁

,

₂



.

7) y7y6y0, y

 

0 2 e y

 

0 3 R.

y

_h



[

e

6x



9 ] / 5

e

x 8) y8y9y0, y

 

1 1 e y 

 

1 0 R.

y

_h



[

e

9(1x)



9 e

x1

] /10

3.7.1.2. Solução de EDOL não-Homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes

Consideremos a equação diferencial não homogênea y'' p y ' + =q y f x( ). A solução geral

y

_G desta equação é dada pela soma das soluções da homogênea

h

y

e uma solução particular

y

_p da equação não homogênea, considerando as raízes da característica e as formas de f (x): y_G  y_h  y_p

Apresentamos, abaixo, algumas sugestões para obter yp:

* Equação característica (EC):

r

2



p r q

 

0

. ** P x_n

 

e

Q x

_n

( )

são polinômios de grau n, n .

*** P x_n

 

e Q_n

 

x são polinômios completos de grau n com coeficientes a determinar. ****



m bi



, m ,

b



*_ e i é a unidade imaginaria, são números complexos. *****

c



,

k

₁



e

k

₂



.

Obs: As sugestões para y_p nos modelos valem para EDOL não homogêneas de ordem n2. 1Modelo:

f x

 

cem x, c e m

Raízes da Equação característica Sugestão para

y

_p

-Se

m

não for raiz da EC

y

_P



Ae

m x

-Se

m

for raiz da EC uma só vez

y

_P



Axe

m x

-Se

m

for raiz da EC duas vezes

y

_P



Ax e

2 m x Nota : Se m = 0 recai no 2Modelo

(12)

12 2Modelo:

f x

 

P x_n( ), n

y

_p

-Se zero não for raiz da EC y_P P x_n

 

-Se zero for raiz da EC uma só vez y_P xP x_n

 

-Se zero for raiz da EC duas vezes y_P x P x2 _n

 

3Modelo:

f x

 

P x e_n

 

. mx, n e m

y

_p

-Se

m

não for raiz da EC y_P P x e_n

 

. m x

-Se

m

for raiz da EC uma só vez P n

 

.

m x y xP x e

-Se

m

for raiz da EC duas vezes P 2 n

 

.

m x y x P x e

Nota : Se n = 0 recai no 1Modelo Se m = 0 recai no 2Modelo

4Modelo:

f x

 

P x_n

   

sen bx , f x

 

P x_n

   

cos bx ou

 

n

 



1sen

 

2cos

 



f x P x k bx k bx

Raízes da Equação característica Sugestão para y_p

- Se



0bi



não forem raízes da EC. y_P P x_n

   

sen bx Q_n

   

x cos bx

- Se



0bi



forem raízes da EC. y_P x P x



_n

   

sen bx Q x_n

   

cos bx



5Modelo:

f x

 

emxsen

 

bx , f x

 

emxcos

 

bx ou

 

m x



₁sen

 

₂cos

 



f x e k bx k bx . Raízes da Equação característica Sugestão para y_p

- Se



m bi



não forem raízes da EC. y_P Aemxsen

 

b x B emxcos

 

b x

(13)

13 6Modelo:

 

_n

 

mxsen

 

f x P x e bx , f x

 

P x e_n

 

mxcos

 

bx ou f x

 

P x e_n

 

m x



k₁sen

 

bx k₂cos

 

bx



y

_p

- Se



m bi



não forem raízes da EC. P

 

sen

 

cos

 

mx mx

n n

y P x e bx Q x e bx

-Se



m bi



forem raízes da EC y_P x P_ _n

 

x emxsen

 

bx Q_n

 

x emxcos

 

bx _

Nota: Se m = 0 recai no 4Modelo

Nota: Se f x

 

é uma soma de

n

parcelas, f x

 

 f x₁

 

 f₂

 

x   fn

 

x , onde

 

i

f x , i1, 2, ,n, corresponde a um dos modelos apresentados acima, então uma sugestão para

y

_P é que seja dado por

1 2 p

P P P n

y  y y  y , onde, para cada



1,2, ,



i n , y_{P i}_{é uma solução particular da equação para} _{f x}_i

 

_.

3.4.1.2.1. Exercícios Propostos

Encontre a solução geral das EDO (ver soluções – Bibliografia - pág 337-346) 1)

y





3 y



 

2 y

2 e

5x R. 2 5

1 2

1 6

x x x

G h p

y  y y c e c e  e ,

c c

1

,

2



.

2)

y





3 y





2 y



2 e

x . R. ₁ x ₂ 2x 2 x

G h p

y  y y c e c e  xe ,

c c

1

,

2



.

3)

y





4 y



 

4 y

8 e

2x .. R. ₁ 2x ₂ 2x 4 2 2x

G h p

y  y y c e c xe  x e ,

c c

1

,

2



.

4) y4y3y3x2 R. yG  yh yp c e₁ xc e₂ 3x x 2,

c c

1

,

2



.

5) y4y8x2 . R. y_G  y_hy_p c e₂ 4x  x2 x c₁,

c c

1

,

2



.

6)

y





6 y



 

8 y

8 x

2 R. 2 4 2

1 2

3 7

2 8

x x

G h p

y  y y c e c e x  x ,

c c

1

,

2



.

7)

y





6 y



 

8 y

3 xe

x R. 1 2 2 4

4 3

x x x

G h p

y  y y c e c e _x _e

  ,

c c

1

,

2



.

8)

y





6 y



  

8 y

8 xe

2x. R. 2 4



2



2

1 2 2 2

x x x

G h p

y  y y c e c e  x  x e ,

c c

1

,

2



.

9)

y





10 y





25 y

 

12 xe

5x.. R. ₁ 5x ₂ 5x 2 3 5x

G h p

y  y y c e c xe  x e ,

c c

1

,

2



.

10) 2y3y  y 85sen 2

 

x R. 2

 

1 2 7sen 2 6cos 2

x x G

y c e c e  x  x

11) y2y 8 sen 3x

 

x R. ₁cos

 

2 ₂sen

 

2 8 sen 3

_{ }

48cos 3

_{ }

7 49

G

y c x c x  x x  x

12) y 9y 24 sen 3x

 

x . R.

_{ }

2

_{ }

1 2

2

cos 3 sen 3 sen 3 3 cos 3

3

G c x c x x x x x

y    

(14)

14

R. 3

 

1 2 1 2

13 4

cos 2 sen 2 (2 ) 2cos 2 , ,

x x

G

y e _c x c x _ e _sen x  x _ c c 

14) 6 13 8 3xsen 2

 

y y y e x . R.



₁ 2 cos 2

  

₂sen 2

 

3x G

y _ c  x x c x _e

15) 2 2 x 2sen

 

3cos

 

y y yxe _ x  x _

R. ₁ 1



2



 

₂ 1



2



 

2 sen 2 cos

x x

G

y _c  x x e_ x _c  x x e_ x

   

16)

y

 

  

y

2 y

4 x

2, y

 

0 1 e y

 

0 4 R.

2

x

2

2x

2

3

G

y



e





e



x

 

x

17)

y





4 y



sen

x

, y

 

0 1 e y

 

0 1 R.

y

_G



cos(2 )

x



1/ 3

[sen( ) sen(2 )]

x



x

BIBLIOGRAFIA

Barboni, Ayrton e Paulette, Walter – Fundamentos de Matemática – Cálculo e Análise –