L ÓGICA DEP REDICADOS – V OCABULÁRIO

P

RINCIPAIS

C

ONCEITOS DE

L

ÓGICA

PRÁTICA DEENSINO DELÓGICA Millena de Andrade Almeida Gomes milliandrade@gmail.com

A

RGUMENTAÇÃO

Modo de expor ou apresentar raciocínios de modo a concordar ou refutar determinado ponto de vista, ideia, hipótese.

P

ROPOSIÇÃO

Aplicação da lógica para expressões que podem tomar dois valores distintos: VERDADEIRO ou FALSO.

Raiz quadrada de dois é um número irracional. (V) Buenos Aires é a capital do Brasil. (F)

Podemos formar expressões mais complexas utilizando operadores derivados da linguagem natural. Por exemplo, iremos introduzir os operadores “e” (˄), “ou” (˅), “implica” (→)), entre

outros.

S

ILOGISMO

Tipo de argumento composto por três proposições: duas premissas e uma conclusão.

Exemplo:

Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Logo Sócrates é mortal.

A → B

B → C

A → C

P

RINCÍPIOS

L

ÓGICOS Princípio da Identidade

Conceituar logicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência

O conceito deve ser mantido em todo o raciocínio

Princípio da Não-Contradição

Algo só pode ter um significado ou estado sob o mesmo aspecto e tempo

Princípio da Exclusão do Terceiro Termo

Não existe um meio termo entre falso e verdadeiro

T

IPOS DE

R

ACIOCÍNIO Analogia

Comparação de situação já conhecida com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência.

A é N, L, Y, X;

B, tal como A, é N, L, Y, X; A é, também, Z

T

IPOS DE

R

ACIOCÍNIO Indução

A partir de uma série de casos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral.

B é A e é X; C é A e também é X; D é A e também é X; E é A e também é X; logo, todos os A são X

T

IPOS DE

R

ACIOCÍNIO Dedução

Inverso ao raciocínio indutivo

As inferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a premissa

Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. universal Premissa menor: Pedro é homem.

Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular

L

ÓGICA

P

ROPOSICIONAL

Proposição

Aplicação da lógica para expressões que podem tomar dois valores distintos: VERDADEIRO ou FALSO. Na representação do conhecimento, ela representa um fato e é suposta verdadeira no mundo que representa. Exemplo:

Raiz quadrada de dois é um número irracional. (V) Buenos Aires é a capital do Brasil. (F)

L

ÓGICA

P

ROPOSICIONAL

Podemos formar expressões mais complexas utilizando operadores derivados da linguagem natural. Por exemplo, iremos introduzir os operadores “e” (˄), “ou” (˅), “implica” (→)), entre

outros.

Não é suficiente para representar o conhecimento humano, não tem a capacidade de representar relações entre os objetos, só determina V ou F de sentenças.

L

ÓGICA

P

ROPOSICIONAL

Tabela Verdade

Tabela verdade ou tabela de verdade são um tipo de tabela matemática usada em lógica para determinar se uma expressão é verdadeira e válida

P Q P˄Q P˅Q P→Q P↔Q

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

L

ÓGICA

P

ROPOSICIONAL

Traduzindo fatos do mundo real para proposições

Exemplo: Encontrar a proposição que traduz a seguinte declaração do mundo real:

“Você não pode andar de patins se você tem menos do que 1,20 m a não ser que você tenha mais do que 16 anos”.

Definindo:

P = você pode andar de patins Q = você tem menos de 1,2 metros R = você tem mais de 16 anos

L

ÓGICA

P

ROPOSICIONAL

Como expressar argumentos como??

Todo rubro negro é um campeão. Renato é rubro negro. Logo Renato é um campeão.

A adição de dois números ímpares quaisquer é um número par.

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

Extensão da lógica proposicional com mais informações que apenas as proposições para analisarmos argumentações.

Novos conectivos (quantificadores)

Novos símbolos para funções, variáveis, predicados, etc

Utiliza o predicado como base lógica

Predicado: função que retorna um valor verdadeiro ou falso de acordo com o argumento

Lógica de Primeira Ordem (FOL - First-Order Logic)

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

oExemplo:

oPredicado: é_denso

oSe avaliamos o argumento chumbo, é_denso retorna verdadeiro.

oSe avaliamos o argumento algodão, é_denso retorna falso.

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

– V

OCABULÁRIO

Símbolos de pontuação: (,)

Símbolos de verdade: false, true

Variáveis: x, y, z, w, x1, y1, x2, z2...

Funções: f, g, h, f1, g1, f2, g2...

Predicados: p, q, r, s, p1, q1, p2, q2...

Conectivos proposicionais: ¬, _˄,v

Quantificadores: ∀∀∀∀, ∃∃∃∃

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

- T

ERMOS

Termos são sentenças que representam objetos

Variáveis são termos

Funções cujo argumentos são termos também são termos

Exemplos:

x, a (constante, função zero-ária) f(x,a) se e somente se f é binária g(y, f(x,a), c) se e somente se g é ternária

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

Variáveis

Designam objetos “desconhecidos” do Universo. “Alguém”. São normalmente representados por letras minúsculas de “u” a “z”.

Letras Nominais

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

- F

ÓRMULAS Expressões atômicas ou não

Todo átomo é uma fórmula da Lógica de Predicados Se H é fórmula então (¬H) também é

Se H e G são fórmulas, então (HvG) também é Se H é fórmula e x variável, então ((∀∀∀∀x)H) e ((∃∃∃∃x)H) são fórmulas

Exemplos:

((¬p(x)) v R)

(p(x) R) ((∀∀∀∀x) p(x) R)

O

RDEM DE PRECEDÊNCIA DA

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

¬

∀ ∀ ∀ ∀, ∃∃∃∃

→, ↔ ^,v

G=(∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)p(x,y)→(∃∃∃∃z)¬q(z)^r(y) representa H=((((∀∀∀∀x)((∃∃∃∃y)p(x,y)))→(∃∃∃∃z)(¬q(z))^ r(y))

C

ORRESPONDÊNCIA ENTRE

QUANTIFICADORES

((∀∀∀∀x)H)= ¬((∃∃∃∃x)(¬H)) ((∃∃∃∃x)H)= ¬((∀∀∀∀x)(¬H))

Qualquer quantificador pode ser definido a partir do outro!

O

CORRÊNCIA LIVRE E LIGADA

Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é:

Ligada, se x está no escopo de um quantificador (∀∀∀∀x) ou (∃∃∃∃x) em E

Livre, se não for ligada

Exemplo:

G=(∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)

(

(∀∀∀∀z)p(x,y,w,z)→(∀∀∀∀y)q(z,y,x,z1)

)

F

ÓRMULAS FECHADAS

Fórmulas ditas fechadas não possuem variáveis livres

Livres

G=(∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)

(

(∀∀∀∀z)p(x,y,w,z)→(∀∀∀∀y)q(z,y,x,z1)

)

Fechadas

G=(∀∀∀∀w) (∃∃∃∃z) (∀∀∀∀z1) (∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)

(

(∀∀∀∀x)p(x,y,w,z)→

(∃∃∃∃y)q(z,y,x,z1)

)

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

- S

EMÂNTICA

Extensão da interpretação proposicional Há interpretações para termos e expressões

Se U é um conjunto não-vazio, uma interpretação I na Lógica de Predicados é uma função tal que:

O domínio de I é o conjunto de símbolos de função, predicados e expressões

Para toda variável x, se I[x]=xI, então xI∈U

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

- S

EMÂNTICA Analogamente, para todo símbolo de predicado n-ário p, se I[p]=pI, então pI é um predicado n-n-ário em U

pI: U**n {T,F}

A interpretação de um predicado zero-ário é igual à interpretação de seu símbolo

Se I[P] = PI, então PI ∈{T,F}

A interpretação de uma função zero-ária é igual à interpretação de uma constante

Se I[b] = bI, então bI∈U

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

- I

NTERPRETAÇÃO

DE

E

XPRESSÕES

Dados H=(¬p(x,y,a,b)) r(f(x),g(y)) e G= p(x,y,a,b)

(q(x,y)^r(y,a))

A interpretação I, onde U=[0,∞) I[x]=3,I[y]=2,I[a]=0,I[b]=1 I[p(x,y,z,w)]=T xI*yI>zI*wI I[q(x,y)]=T xI<yI, I[r(x,y)]=T sse xI>yI I[f(x)]=xI+1, I[g(x]=xI-2,

Lembrar que I[x]=xI

o objeto xI é o significado de x em I e xI∈N

L

ÓGICA DE

P

REDICADOS

- I

NTERPRETAÇÃO DE

E

XPRESSÕES

Sintaxe x y a b p(x,y,a,b) f(x) g(y) q(x,y) r(y,a) H G

Semântica 3 2 0 1 T 4 0 F T T F

Observe que I[x]=3,..., I[H]=T,I[G]=T

As interpretações de f e g são elementos do domínio de I (N)

As interpretações de H e G e dos átomos p(x,y,a,b), q(x,y) e r(y,a) são valores de verdade

P

ROVA

Problema dos lógicos é demonstrar a validade dos argumentos

Provar que Sócrates às vezes preocupa-se com a morteé uma consequência lógica das quatro premissas Sócrates é um homem,

Todos os homens são mortais, Nenhum mortal vive para sempre,

Todos os que virão a morrer às vezes preocupam-se com isso. Dado que Sócrates é um homem e todos os homens são mortais, segue-se que Sócrates é mortal. Daqui e da premissa de que nenhum mortal vive para sempre, conclui-se que Sócrates acabará por morrer. Pela última premissa, às vezes preocupa-se com isso.

Prova: demonstração de que uma conclusão decorre das premissas, estabelecendo conclusões intermédias

Passo de uma prova: evidência irrefutável de que uma conclusão intermédia é consequência das premissas e conclusões anteriores

P

ASSO IRREFUTÁVEL

Um passo de uma prova tem que ser irrefutável

Não basta que seja verdadeiro na maior parte dos casos, porque:

Quase todos os canadenses falam inglês (~85%). Josh é canadense.

Então Josh fala inglês.

Se Josh for um dos outros 15%, não fala Inglês – contraexemplo, argumento inválido

As provas podem ter muitos passos e a sua credibilidade seria muito reduzida

Segundo passo com 85% daria 0.85*0.85=0.72 (72%) Terceiro passo: 0.85*0.85*0.85=0.614 (61.4%)

P

ROVAS FORMAIS E INFORMAIS

Diferença é no estilo, não no rigor Prova informal (ex: matemática)

expressa em língua natural, omite os passos mais óbvios De Cube(c) e c=b prova-se Cube(b)

...preferível para comunicação entre as pessoas

Prova formal

recorre a número fixo de regras e usa apresentação estilizada

1. Cube(c) 2. c=b

3. Cube(b) = Elim: 1,2 … permitem a validação mecânica

C

ARACTERÍSTICAS DA IDENTIDADE

Indiscernibilidade dos idênticos ou substituição (Eliminação do =)

Se provarmos b=c, o que é verdade para b é verdade para c

Reflexividade da identidade (Introdução do =)

Pode sempre provar-se a=a (nome refere 1 e 1 só objecto)

Simetria da identidade

Pode concluir-se b=a a partir de a=b

pode provar-se dos dois anteriores

Transitividade da identidade De a=b e b=c pode concluir-se a=c

pode provar-se a partir da indiscernibilidade dos idênticos

P

ROVAS QUE USAM A IDENTIDADE

Exemplo: prova da simetria da igualdade

= Elim: 2,1 e não 1,2 porque a primeira premissa P(a) é a=ae a segunda é a=b; esta é usada para substituir o primeiro apor b

1. a=b

2. a= a = Intro 3. b=a = Elim: 2,1

regra que justifica o passo

U

MA PROVA FORMAL

Provar Gosta(b,a) a partir de Gosta(a,a) e de b=a

1. Gosta(a,a) 2. b=a

…

Gosta(b,a)

Premissas

Conclusão

1. Gosta(a,a) 2. b=a

3. b=b = Intro 4. a=b = Elim: 3,2 5. Gosta(b,a) = Elim: 1,4

B

IBLIOGRAFIA

Nilsson, Ulf. and Luszynski, Jan Ma. Logic, Programming and Prolog. John Wiley and Sons. 2nd Edition, 2000.

P

RINCIPAIS

C

ONCEITOS DE

L

ÓGICA