A quadr at ur a das Lunas
De Hi pocr at es de Chi os
Nome: Kleber Gomes
A quadr at ur a das Lunas de Hi pocr at es de Chi os
Introdução
Muitos foram os problemas e grandes foram os trabalhos desenvolvidos por matemáticos nos meandros da história antiga.
Dentre tantos problemas que envolveram tantas cabeças podemos destacar o problema da quadratura1 do circulo.
Os gregos estavam a par do problema antes de 400 AC, pois Aristófanes referiu-se a ele em seu livro “Os Pássaros”, escrito por volta de 414 AC. Toda via o problema foi seriamente estudado por Anaxágoras (c.440 AC), Hipocrates (c.440AC), Hípias (c.425AC), e Arquimedes (c.287-212 AC).
Hipocrates foi capaz de realizar a quadratura de certa lunas e Antífona pensou ter resolvido o problema inscrevendo polígonos regulares nesse circulo. Hípias desenvolveu a “quadratis” para resolver o problema e Arquimedes uso a espiral de Arquimedes para obter uma solução.
Hipocrates
Hipocrates de Chios ensinou em Atenas e trabalhou nos problemas clássicos de quadratura do círculo e duplicar o cubo.
Iamblicus escreveu:
“Um infortúnio acontecido na vida de Hipocrates foi à perda de sua propriedade, dessa maneira ele teve que ganhar dinheiro ensinando geometria”.
Brejo reconta duas versões desta história:
“Uma versão da história é que Hipocrates era um comerciante, mas perdeu todos sua propriedade ao ser capturado por uma tripulação de piratas. Ele veio então para Atenas para perseguir os ofensores e, durante uma permanência longa, permaneceu estudando, atingindo tal proficiência em geometria que ele tentou quadrar o círculo”.
Brejo também reconta uma versão diferente da história como contada por Aristóteles: 1
“... ele se permitiu ser defraudado de uma soma grande através de oficiais dos impostos em Bizâncio, assim, provando, na opinião de Aristóteles que, entretanto um geômetra bom, ele era estúpido e incompetente nos negócios do dia a dia”.
A sugestão é que isto tenha ocorrido em Atenas entre aproximadamente 450 AC e 430 AC. Nas tentativas de quadrar o círculo, Hipocrates pôde achar as áreas de certas lunas, figuras que são compostas pela intersecção de duas circunferências, usando o seu teorema que a relação das áreas de dois círculos está igual à relação dos quadrados de seus diâmetros.
Hipocrates também mostrou que um cubo pode ser dobrado se puderem ser determinadas duas proporções entre um número e seu dobro. Isto teve uma influência principal em tentativas para duplicar o cubo, todos os esforços depois disto são dirigidos para o problema de proporções. Ele foi o primeiro a escrever uma obra sobre Elementos de Geometria e embora o trabalho dele esteja agora perdido, sua obra deve ter contido muito do que Euclides incluiu depois em seus
Livros 1 e 2 dos Elementos. Proclus, o último grande filósofo grego que viveu perto de 450 DC escreveu:
“Hipocrates de Chios, o descobridor da quadratura das lunas,... foi o primeiro de quem é registrado que tenha compilado um livro sobre os” Elementos "“.
Eudemus de Rhodes que era um aluno de Aristóteles escreveu em sua “História de Geometria” no qual ele descreveu a contribuição de Hipocrates em lunas. Este trabalho não sobreviveu, mas Simplicius de Cilicia, escrevendo por volta de 530 DC, tendo acesso ao trabalho de Eudemus, citou a passagem sobre o lunas de Hipocrates palavra por palavra com exceção de algumas adições dos Elementos de Euclides para deixar mais claro as demonstrações.
A quadratura de lunas, que era considerada pertencente a uma classe incomum de proposições em conta de sua relação íntima entre lunas e o círculo, foi investigada primeiramente por Hipocrates.
Porém, Hipocrates foi mais adiante que isto estudando lunas. A prova que nós examinamos em detalhes é onde o exterior da circunferência do luna é o arco de um semicírculo. Ele também estudou os casos donde o arco exterior era menor que esse semicírculo e também o caso onde o arco exterior era maior que um semicírculo, mostrando em cada caso que o luna poderia ser quadrada. Esta era uma realização notável e um passo fundamental em tentativas para quadrar o círculo. Como Brejo escreveu:
“... ele desejou a espetáculo que, se círculos não pudessem ser quadrados por estes métodos, eles poderiam ser empregados para achar a área de algumas figuras rodeadas por arcos de círculos, isto é certo lunas, e até mesmo a soma de determinados círculos e determinadas lunas”.
Eudoxus nasceu alguns anos após a morte de Hipocrates, permanecendo assim a pergunta intrigante de como Hipocrates provou este teorema. Desde que Eudemus parece completamente satisfeito de que Hipocrates tem uma prova correta, podemos deduzir que Hipocrates desenvolveu uma variante do método de esgotamento pelo menos.
As Quadraturas
A quadratura de Lunas também foi objeto de pesquisa de alguns matemáticos da antiguidade, os quais propuseram alguns métodos.
Veremos aqui uma quadratura efetuada por Alexander e outras duas quadraturas efetuadas por Euclides, seguindo passo a passo seus procedimentos.
Alexander
O método proposto por Alexander para se quadrar uma luna baseia-se em três resultados preliminares:
1.) O Teorema de Pitágoras.
2.) Um ângulo inscrito em um semicírculo é reto.
3.) As áreas de dois círculos estão entre si como os quadrados de seus diâmetros.
d D
2 2 ) 2 (
) 1 (
D d o semicircul Área
o semicircul
Essa terceira proposição, usada também por Hipocrates, sobre as áreas de círculos parece ser a mais antiga proposição sobre mensuração curvilínea no mundo grego. Eudemus, em seu relato, acreditou que Hipocrates tivesse conseguido demonstrar esse Teorema, e Euclides no livro XII dos Elementos também se refere a essa proposição. No entanto, sem uma teoria de proporções, uma demonstração rigorosa parece impossível.
Consideremos:
AB diâmetro do semicírculo ACB AC diâmetro do semicírculo AEC.
Consideremos o quadrado inscrito no circulo de centro D. Logo por construção o triangulo ACB é isósceles e reto em C.
Aplicando Pitágoras teremos
( ) ( ) ( )
AB 2 = AC 2 + BC 2 =2⋅( )
AC 2Podemos agora aplicar o resultado 3 aos semicírculos ABC e AEC logo:
( )
( )
( )
( )
2 1 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 = ⋅ = = AC AC AB AC oACB semicircul Áre oAEC semicircul ÁreaOu seja, o semicírculo AEC tem a metade da área do semicírculo ACB. Dessa maneira vemos que o primeiro quadrante tem a área do semicírculo AEC, então, observando na figura, se subtraímos a interseção dessas duas regiões teremos:
) (
)
(LunaAEFC Área ACO
Agora passaremos a ver duas, das varias quadraturas, feitas por Hipocrates.
Hipocrates
Para efetuar suas quadraturas Hipocrates se utilizou o teorema acima citado sobre a relação de proporção entre duas circunferências distintas. Para tanto, Heath diz que Hipocrates efetuou uma prova desse teorema para então prosseguir com a quadratura da luna.
Passaremos agora a quadratura das lunas.
Consideremos então a circunferência com um quadrado inscrito.
Consideremos então o triangulo ABC reto em B por construção (vértice do quadrado). Então
novamente por Pitágoras desde que AB2 +BC2 = AC2 e como AB=BC temos que AC2 =2AB2. Logo
2 1
2 2
2 2
2
= =
=
AB AB AC
AB AC AB
, agora desde que a área do arco de segmento 2 seja o dobro da área
dos arcos de segmento 1 ou seja Área2=2Área1 temos que a área do triangulo é
Luna Áreas
Área Área
Então como vimos que podemos achar uma luna com a área de um triangulo, podemos a partir daí quadra-la facilmente.
A segunda quadratura de uma luna feita por Hipocrates, e que apresentaremos aqui, é a seguinte:
Consideremos dois círculos concêntricos em K, tal que, o quadrado do diâmetro do circulo maior seja 6 vezes o quadrado do diâmetro do circulo interno.
Consideremos agora o hexágono regular ABCDEF inscrito no circulo interno, e também os segmentos KA, KB, KC que intersecionam a circunferência maior nos pontos G, H, I. Ligando os pontos GH, HI, IG. Observando que GH e HI são os lados do hexágono inscrito na circunferência maior.
Agora da mesma forma, podemos intersecionar outra circunferência para criar o arco GI na circunferência maior.
Então novamente por Pitágoras nos triângulos definidos por GHI, teremos que:
2 2 3 GH
GI = ⋅ . Além disso, como GH2=6AB2, teremos que:
2 2
2 2
2
2 3 GH 2 GH GH 2 GH 6 AB
Recorrendo novamente ao teorema das proporções nos círculos teremos dessa forma que Área do Arco GHI = 2 Áreas do Arco GH + 6 Áreas do arco AB.
Da mesma forma que na quadratura anterior temos que a área do Arco GI é duas vezes a área do arco GH. Então se somarmos a ambos os lados da igualdade acima à área do triangulo GHI teremos que ∆GHI = Luna GHI + Área dos 6 arcos AB e se ainda somarmos a área o hexágono
circunscrito ABCDEF teremos que ∆GHI + Hexágono ABCDEF = Luna GHI + circunferência interior.
Conclusões
Vemos que para todas as quadraturas efetuadas ambos autores, Hipocrates e Alexander, se valeram de teoremas de razões e proporções que não foram aqui mostrados por não ser esse o objetivo desse trabalho, mas que, no entanto se mostra a grande questão desse trabalho, pois sabemos que tanto Hipocrates como Alexander não dispunham ainda naquela época de uma teoria de razões e proporções que pudessem dar base a suas demonstrações. Vemos, no entanto, que suas demonstrações se mostram consistentes ainda assim.
O problema de quadrar um círculo não pode ser resolvido através dos métodos das lunas, fato esse que não chegou a ser vislumbrado por Hipocrates, levando-o a acreditar que pode quadrar o circulo.
Bibliografia
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/ The Mac Tutor History of Mathematics
http://www.britanica.com/ Enciclopédia Britânica - Versão WWW.
Dunham, W – Journey Through Genius – The Great Theorems of Mathematics – Ed. Wiley – 1990
Gow, James – A Short History of Greek Mathematics – Ed. Chelsea Publishing Company – 1884.
Eves, H. – Tópicos de História da Matemática – Ed. Atual – 1992.
Eves, H. – Introdução a História da Matemática –Ed. Unicamp – 1995.
Heath, T.L.– A History of Greek Mathematics – Oxford - 1921.
