A utilização da teoria de valores extremos na área financeira: um estudo de
caso
Using the extreme value theory in the financial area: a case study
DOI:10.34117/bjdv6n1-033
Recebimento dos originais: 30/11/2019 Aceitação para publicação: 06/01/2020
Daiane De Souza Oliveira
Graduada em Estatística pela Universidade Federal Fluminense - UFF UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – UFF
Rua Professor Marcos Waldemar de Freitas Reis, s/n, Blocos G e H – Campus do Gragoatá, Niterói – RJ, Brasil
daiane.dso@gmail.com
Marco Aurélio Dos Santos Sanfins
Doutor em Estatística pela Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE – UFF
Rua Professor Marcos Waldemar de Freitas Reis, s/n, Blocos G e H – Campus do Gragoatá, Niterói – RJ, Brasil
marcosanfins@id.uff.br
Daiane Rodrigues Dos Santos
Doutora em Engenharia Elétrica pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro – PUC-RIO
UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES – UCAM Rua da Assembleia, 10, Centro – RJ, Brasil
daianesantoseco@gmail.com
RESUMO
A Teoria de Valores Extremos (TVE) foi utilizada para modelar a série PETR4.SA (Petróleo Brasileiro S.A. – Petrobras), usada como estudo de caso para exemplificar o processo de modelagem. O teste de adequação a distribuição Gumbel, o teste de Ljung-Box e o teste de Kupiec foram empregados para testar a validade do modelo. Para a modelagem dos dados o software R e seu editor R-Studio foram utilizados. O modelo obtido pode ser empregado para estudar os eventos de perdas extremas, contribuindo na melhoria da gestão de riscos e evitando perdas adicionais.
Palavras-chaves: Valores Extremos; Petrobras; Mercado Financeiro; Bolsa de Valores.
ABSTRACT
The Extreme Values Theory (EVT) was used to model the series PETR4.SA (Petróleo Brasileiro S.A. - Petrobras), used as a case study to exemplify the modeling process. The Gumbel distribution adequacy test, the Ljung-Box test and the Kupiec test were employed to test the validity of the model. For data modeling the software R and its R-Studio editor were used. The obtained model can be employed to study extreme losses events, contributing to the improvement of risk management and avoiding additional losses.
1 INTRODUÇÃO
A Teoria de Valores Extremos (TVE) é considerada um ramo probabilístico de suporte à estatística que lida com uma melhor forma de quantificar as probabilidades de ocorrência de eventos infrequentes (raros), ou até mesmo nunca observados, desempenhando um papel fundamental na modelagem desses eventos. Os fundamentos da Teoria de Valores Extremos foram inicialmente expostos por Fisher e Tippett (1928), que introduziram os três tipos possíveis de distribuições assintóticas dos valores extremos,
conhecidas como Gumbel, Fréchet e Weibull. No entanto, o primeiro a estudar e formalizar a aplicação estatística das distribuições supracitadas foi Gumbel (1954), cuja a metodologia tem sido amplamente aplicada. Outras contribuições importantes para o estudo de valores extremos foram dadas por Gnedenko (1943), que mostrou as condições necessárias para a existência das distribuições assintóticas dos valores extremos e que estabeleceu a distribuição de valores extremos generalizada.
De acordo com Mendes (2004), a TVE é um ramo da probabilidade que estuda o comportamento estocástico de extremos associados a um conjunto de variáveis aleatórias (ou vetores aleatórios) com distribuição comum F. Dentro da denominação geral de extremos inclui-se o máximo e o mínimo,
estatísticas de ordem extremas e excessos acima (ou abaixo) de limiares altos (ou baixos). O importante é que as características e propriedades das distribuições desses extremos aleatórios são determinadas pelas caudas extremas (inferior e superior, no caso univariado) da distribuição subjacente F.
As primeiras aplicações dos resultados formais da TVE apareceram com a modelagem de
fenômenos naturais, contudo a abrangência de suas aplicações é bem diversificada, podendo ser utilizada em diversos campos de estudo, tais como: engenharia, atuária e finanças. Na área financeira a Teoria de Valores Extremos tem sido empregada principalmente na gestão de riscos, tornando-se uma ferramenta de grande valia para o mercado financeiro, visto que os principais métodos de cálculo de medidas de risco desconsideram os eventos extremos e devido a este fato acabam subestimando as perdas adicionais. Há inúmeras aplicações da TVE na área financeira, por exemplo, McNeil (1998) estudou a estimação do índice de cauda e calculou quantis utilizando máximos coletados em blocos e Embrechts (2000) explorou as limitações da utilização do VaR (Value-at-Risk) como uma ferramenta na gestão de riscos financeiros.
2 TEORIA DE VALORES EXTREMOS
As definições e principais resultados presentes nesta seção podem ser vistos em Mendes (2004), e as demonstrações dos teoremas estão disponíveis em Embrechts et al. (1997).
2.1 DISTRIBUIÇÃO EXATA DO MÁXIMO
Sejam 𝑋1, 𝑋2, … . , 𝑋𝑛 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com função de distribuição F. Ao ordenar os termos desse conjunto em ordem crescente, tem-se:
𝑋(1) = 𝑚𝑖𝑛(𝑋1, … , 𝑋𝑛) (2)
Definição 2.1.1
São denominadas de estatísticas de ordem associadas à amostra aleatória 𝑋1, … , 𝑋𝑛 as variáveis aleatórias 𝑋(1), … , 𝑋(𝑛) obtidas de um reordenamento de 𝑋1, … , 𝑋𝑛.
Teorema 2.1.2
É intitulada função de distribuição do máximo a
𝐹𝑋(𝑛)(𝑥) = [𝐹𝑋(𝑥)]𝑛 , 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑛 ∈ ℕ. (3)
Observação 2.1.3
Para obter a distribuição do mínimo usa-se a relação:
𝑚𝑖𝑛(𝑋1, … , 𝑋𝑛) = − 𝑚𝑎𝑥(−𝑋1, … , −𝑋𝑛). (4)
É intuitivo que os valores dos máximos estão localizados próximos ao limite superior do suporte (𝑥𝐹𝑋) da distribuição de x. Logo, conclui-se que o comportamento assintótico do máximo está diretamente relacionado com a cauda superior de 𝐹𝑋, ou seja, a cauda de 𝐹𝑋 perto do 𝑥𝐹𝑋. Tem-se então os seguintes resultados:
Se 𝑥 < 𝑥𝐹𝑋, então
Se 𝑥 ≥ 𝑥𝐹𝑋, considerando 𝑥𝐹𝑋 < ∞, obtém-se
Conclui-se que o máximo converge em probabilidade para o limite superior do suporte, ou
melhor, 𝑋(𝑛) 𝑃
→ 𝑥𝐹𝑋 quando n é suficientemente grande e considerando 𝑥𝐹𝑋 < ∞.
Como a sequência (𝑋(𝑛)) é não decrescente em n, outro resultado importante é que,
2.2 DISTRIBUIÇÕES LIMITE PARA O MÁXIMO
Fisher e Tippett (1928) determinaram que a distribuição dos máximos, após estes serem padronizados, converge para algumas distribuições limite, intituladas distribuições de valores extremos. O teorema fundamental de Fisher-Tippett (1928) fornece esse resultado.
Teorema 2.2.1
Seja (𝑋𝑛) uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. Se existirem sequências de constantes normalizadoras 𝑐𝑛 > 0 e 𝑑𝑛 ∈ ℝ e uma distribuição não degenerada H tal que
onde →𝑑 significa convergência em distribuição, então as únicas formas possíveis de H são as distribuições Gumbel, Fréchet e Weibull.
As distribuições de valores extremos podem ser classificadas como sendo pertencentes ao tipo I (Gumbel), tipo II (Fréchet) e tipo III (Weibull). Parâmetros de locação (µ) e escala (σ) também podem ser adicionados as distribuições.
• Gumbel
• Fréchet
• Weibull
2.3 MAX-ESTABILIDADE
Definição 2.3.1
Sejam 𝑋1, 𝑋2, . .. variáveis aleatórias i.i.d. com função de distribuição F, e sejam 𝑑𝑛 ∈ ℝ e 𝑐𝑛 constantes positivas. Enuncia-se que F é max-estável se cumpre a seguinte igualdade em distribuição
Teorema 2.3.2
A classe das distribuições que apresentam max-estabilidade coincide com a classe de todas as distribuições limite possíveis (não degeneradas) para o máximo padronizado de variáveis aleatórias i.i.d.
2.4 DOMÍNIO DE ATRAÇÃO
O Teorema de Fisher-Tippett tem a seguinte implicação direta: se [𝐹𝑋(𝑐𝑛𝑥 + 𝑑𝑛)]𝑛 é não
degenerada quando n é suficientemente grande, para certas constantes positivas 𝑐𝑛 e 𝑑𝑛 ∈ ℝ, então
para alguma H pertencente ao conjunto de distribuições de valores extremos, ou seja, 𝐻 ∈ {𝐻𝐼, 𝐻𝐼𝐼, 𝐻𝐼𝐼𝐼}. Efetivamente, este fato permite que seja definido uma coleção de 𝐹𝑋′𝑠 que dispõem de uma mesma distribuição limite.
Definição 2.4.1
Posto que (13) se confirma, então enuncia-se que a 𝐹𝑋 em questão pertence ao domínio de atração do máximo da distribuição de valores extremos H e utiliza-se a notação 𝐹𝑋 ∈ 𝑀𝐷𝐴(𝐻) para qualquer 𝐻 ∈ {𝐻𝐼, 𝐻𝐼𝐼, 𝐻𝐼𝐼𝐼}.
2.5 DISTRIBUIÇÃO DE VALORES EXTREMOS GENERALIZADA (GEV)
Os três tipos de distribuições, Gumbel, Fréchet e Weibull, são integrantes de uma única família de distribuições: a distribuição de valores extremos generalizada (generalized extreme value) padrão, que refere-se as distribuições de valores extremos dentro de uma única família, parametrizadas somente pelo parâmetro ξ. A GEV é denotada por 𝐻𝜉 e é apresentada na equação a seguir.
Quando 𝜉 = 0, que ocorre na condição de 𝜉 → 0, a 𝐻𝜉 adequa-se à distribuição Gumbel. Na ocorrência de 𝜉 < 0 ou 𝜉 > 0, a 𝐻𝜉 coincide com as distribuições Weibull e a Fréchet, nesta ordem.
A família de locação e escala, equivalente a 𝐻𝜉,𝜇,𝜎 , é alcançada ao substituir x por , com
. A densidade da distribuição generalizada (GEV) é denotada por
3 ESTIMAÇÃO
É imprescindível a utilização de métodos para a estimação dos parâmetros ξ, µ e σ da
distribuição Para tanto, considera-se variáveis aleatórias i.i.d. que representam os máximos (ou mínimos transformados) coletados em blocos de tamanho n e
uma amostra de m máximos. e uma amostra de m máximos.
3.1 ESTIMAÇÃO VIA MÉTODO DE MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA
Os estimadores de máxima verossimilhança (EMV) dos parâmetros, ξ, μ e σ da GEV, podem ser alcançados de maneira numérica ao se maximizar a função de verossimilhança a seguir,
E refere-se a uma amostra de m máximos.
4 TESTES ESTATÍSTICOS
4.1 TESTE DE ADEQUAÇÃO A DISTRIBUIÇÃO GUMBEL
Se as estimativas dos parâmetros da GEV foram obtidas por máxima verossimilhança, a seguinte estatística de teste pode ser utilizada para testar a suposição de que os dados seguem realmente a distribuição Gumbel: a estatística de Kolmogorov-Smirnov, D (ver Chandra et al. (1981)). Esta é definida como,
onde refere-se aos máximos ordenados e representa a distribuição Gumbel com os parâmetros estimados pelo método de máxima verossimilhança.
As seguintes hipóteses precisam ser testadas:
a) Hipótese nula: a distribuição dos extremos é Gumbel;
b) Hipótese alternativa: a distribuição dos extremos não é Gumbel.
A Tabela 1 exibe os valores críticos para amostras de m=10, m=20, m=50 e m=∞. Os níveis de significância abordados foram de 10%, 5%, 2,5% e 1%.
O teste é realizado comparando a estatística de teste obtida, multiplicada pela √𝒎, com os valores apresentados na Tabela 1. Dado que o valor da estatística de teste excede o valor proposto na tabela, a hipótese nula é rejeitada ao nível de significância α adotado.
4.2 TESTE DE LJUNG-BOX Hipóteses a serem testadas:
a) Hipótese nula: os são i.i.d.
b) Hipótese alternativa: os não são i.i.d.
De início é calculada uma estimativa para as autocorrelações do processo . Se o modelo for adequado, a estatística de teste será
4.3 TESTE DE KUPIEC
Um teste de razão de verossimilhança foi desenvolvido por Kupiec e será utilizado para testar a capacidade de previsão do modelo GEV obtido. Goorbergh e Vlaar (1999), utilizaram o teste de Kupiec para avaliar o Value-At-Risk (VaR) de um portfólio, determinando assim, quais modelos de VaR deveriam ser rejeitados ou não.
Seja N o número de vezes que um certo limiar é ultrapassado em uma amostra de tamanho T e p a probabilidade de se ultrapassar este limiar. Então, o número de violações deste limiar tem distribuição Binomial, com parâmetros T e p, ou seja, N ~ Binomial(T,p). Dessa forma, as seguintes hipóteses precisam ser testadas:
a) Hipótese nula:
b) Hipótese alternativa: A estatística de teste é dada por:
que é assintoticamente uma distribuição sob a hipótese nula.
Adotando um nível de confiança, , pode-se construir regiões de não rejeição que indicam se determinado modelo deve ser rejeitado ou não.
As probabilidades (cauda esquerda) foram escolhidas com base no artigo de Goorbergh e Vlaar (1999). Fixando , as regiões de não rejeição estão tabuladas abaixo.
TABELA 1 - Regiões de não rejeição de acordo com o Teste de Kupiec.
Probabilidade Tamanho da amostra de avaliação
(cauda esquerda) 250 500 750 1000 5% 7 ≤ N ≤ 19 17 ≤ N ≤ 35 27 ≤ N ≤ 49 38 ≤ N ≤ 64 1% 1 ≤ N ≤ 6 2 ≤ N ≤ 9 3 ≤ N ≤ 13 5 ≤ N ≤ 16 0,50% 0 ≤ N ≤ 4 1 ≤ N ≤ 6 1 ≤ N ≤ 8 2 ≤ N ≤ 9 0,10% 0 ≤ N ≤ 1 0 ≤ N ≤ 2 0 ≤ N ≤ 3 0 ≤ N ≤ 3 0,01% 0 ≤ N ≤ 0 0 ≤ N ≤ 0 0 ≤ N ≤ 1 0 ≤ N ≤ 1
5 RESULTADOS
5.1 DADOS
Os dados utilizados neste artigo foram obtidos através do serviço de dados do Yahoo Finance. Os dados são de cotações diárias das ações PETR4.SA (Petróleo Brasileiro S.A. - Petrobras) e foi considerado o período de 03 de janeiro de 2000 a 11 de janeiro de 2005, totalizando 1252 observações. A variável fixada para as análises foi o “fechamento”, isto é, o último valor atribuído a ação em um determinado dia.
A série PETR4.SA foi dividida em duas partes: uma amostra de estimação e uma amostra de avaliação. A amostra de estimação tem seu início em 03 de janeiro de 2000 e término na data de 08 de janeiro de 2004, com um total de 1001 observações. A amostra de avaliação se inicia em 08 de janeiro de 2004 terminando em 11 de janeiro de 2005, totalizando 251 observações. Foram usados os retornos logarítmicos das duas amostras. Para a modelagem foram testados blocos de tamanho 5, 10, 15 e 20.
Para a modelagem dos dados o Software R e seu editor R-Studio foram utilizados. 5.2 ANÁLISES
Para a estimação dos parâmetros ξ, µ e σ da GEV, foram utilizadas as funções gum.fit e gev.fit pertencentes ao pacote ismev. Este pacote procura o máximo da função de verossimilhança utilizando a função optim do pacote stats do Software R.
A Figura 1 representa as cotações diárias da ação PETR4.SA no período de 03 de janeiro de 2000 a 11 de janeiro de 2005.
O Teste de Ljung-Box foi realizado na amostra de estimação, foram consideradas as 8 primeiras observações como em Goorbergh e Vlaar (1999). A hipótese de independência é necessária
pelo fato da utilização do Teste de Kupiec para avaliar a capacidade de previsão do modelo GEV obtido.
A Tabela 3 apresenta os p-valores obtidos no Teste de Ljung-Box. TABELA 2 – Teste de Ljung-Box.
Observações P-Valor 1 0,154 2 0,359 3 0,241 4 0,091 5 0,144 6 0,206 7 0,236 8 0,229
Fonte: Criação própria.
Como todos os p-valores foram maiores que 0,05, nível de significância fixado, não há evidência para rejeitar a hipótese de que a amostra de estimação é i.i.d.
Inicialmente, utilizando a amostra de estimação, foi estimado um modelo GEV para os mínimos considerando ξ = 0. Para tal estimação, levando em consideração as características dos dados e o tamanho da amostra, foram considerados blocos de tamanho 10. Os parâmetros obtidos foram
e .
Foi feito uso do Teste de Adequação a Distribuição Gumbel, com o objetivo de testar se a distribuição Gumbel é apropriada para modelar os dados. A estatística de teste D foi calculada e seu
valor multiplicado por foi aproximadamente 0,813. Como o valor obtido não excede o valor proposto na Tabela 1, para um nível de significância de 5%, pode-se concluir que a distribuição Gumbel é adequada para representar os dados.
A Figura 2, a seguir, representa de forma gráfica o ajuste obtido. Na Figura 2(a) tem-se o histograma dos dados com a densidade do modelo ajustado sobreposta, evidenciando um bom ajuste. A Figura 2(b) representa um QQPlot dos dados, onde os pontos, em geral, seguem uma linha reta indicando que os dados foram bem ajustados.
Com a finalidade de testar a capacidade de previsão do modelo ajustado, o Teste de Kupiec foi realizado usando uma amostra de avaliação de tamanho N=250 e adotando α = 0,05. As regiões de não rejeição para o Teste de Kupiec podem ser vistas na Tabela 4.
TABELA 3 – Resultado do Teste de Kupiec. N = 250
Probabilidade (cauda esquerda)
Valor Observado
Limite Inferior Limite Superior Argumento de
Aprovação 5% 11 7 19 Aprovado 1% 2 1 6 Aprovado 0,05% 0 0 4 Aprovado 0,1% 0 0 1 Aprovado 0,01% 0 0 0 Aprovado
Fonte: Criação própria.
Como todos os valores observados estão compreendidos dentro das regiões de não rejeição do teste, para as diferentes probabilidades apresentadas para a cauda esquerda, a conclusão que se chega é que o modelo foi bem estimado.
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O principal objetivo deste artigo foi exemplificar a modelagem de séries financeiras com a utilização da Teoria de Valores Extremos. A série PETR4.SA foi dividida em uma amostra de estimação e uma amostra de avaliação. Inicialmente, utilizando a amostra de estimação, o Teste de
Ljung-Box foi realizado para testar a hipótese de independência, tendo a hipótese se confirmado, foi estimado um modelo GEV para os mínimos considerando ξ = 0 e blocos de tamanho 10. Posteriormente, o Teste de Adequação a Distribuição Gumbel evidenciou que essa distribuição é apropriada para modelar os dados. Com a finalidade de testar a capacidade de previsão do modelo ajustado, o Teste de Kupiec foi realizado sobre a amostra de avaliação, levando a conclusão que o modelo foi bem estimado. O modelo obtido pode ser empregado para estudar os eventos de perdas extremas, contribuindo na melhoria da gestão de riscos e evitando perdas adicionais.
REFERÊNCIAS
CHANDRA, M.; SINGPURWALLA, N. D.; STEPHENS, M. A. Kolmogorov statistics for tests of fit for the extreme value and Weibull distribution. Journal of the American Statistical Association, v.76, n.375, 1981.
EMBRECHTS, P. Extreme Value Theory: Potential and Limitations as an Integrated Risk Management Tool. Zurich, 2000.
EMBRECHTS, P.; KLUPPELBERG, C.; MIKOSCH, T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer, 1997.
FISHER, R.; TIPPETT, L. H. C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, n.24, p.180-190, 1928.
GNEDENKO, B. V. Sur la distribution limité du terme maximum d'une série al'eatoire. Annals of Mathematics, n.44, p.423-453, 1943.
GOORBERGH, R.; VLAAR, P. Value-at-risk analysis of stock returns historical simulation, variance techniques or tail index estimation? 1999.
GUMBEL, E. J. Statistics theory of extreme values and some pratical applications. National Bureau of Standards: Applied Mathematics Series, v.2, n.33, p.1-51, 1954.
MCNEIL, A. J. Calculating Quantile Risk Measures for Financial Return Series using Extreme Value Theory. Zurich, 1998.
MENDES, B. V. de M. Introdução à Análise de Eventos Extremos. Rio de Janeiro: E-papers Serviços Editoriais, 2004.
