Cap 3 - Atualizado.v03

Cap´ıtulo

3

Introdução à Análise de Sinais

Intro.: videAulaIntrodutória-Slides 1

.

3.1 Tipos de Sinais

VideAulaIntrodutória-Slides.

3.2 Potên ia e Energia de um Sinal

Paraaintroduçãodestes on eitos,tomaremosemprestadosos on eitosde EnergiaePotên iaElétri a.

Sabe-se queapotên iaelétri ainstantânea onsumidaporumresistor(

R

) édadapor:

p(t) = v(t)i(t) =

1

R

v

2

_(t).

(3.1)

Dessa forma, aenergia onsumida poresse resistor no intervalo [

t

1

,

t

2

℄ edada por:

E

[t

1

,t

2

]

=

Z

t

2

t

1

p(t)dt =

Z

t

2

t

1

1

R

v

2

_(t).

(3.2)

Ainda,apotên iamedia onsumidaporesseresistoredadapor:

P

[t

1

,t

2

]

=

E

[t

1

,t

2

]

t

1

− t

2

=

1

t

1

− t

2

Z

t

2

t

1

p(t)dt =

1

t

1

− t

2

Z

t

2

t

1

1

R

v

2

_(t).

(3.3)

Agora,revistosos on eitosdeEnergiaePotên iaElétri a,podemosdenir aEnergiaeaPotên iadeumsinal.

1

Osexemplosreferen iados aolongodestetexto,os quaissãoapresentadosaseguir,são exemplosdolivro:OPPENHEIM,A.,WILLSKYA.Signal&Systems,2ndEd.,Prenti e-Hall,

Denição 3.1 AEnergiade um sinal edenida omo:

E

∞

, lim

T →∞

E

[−T,T ]

= lim

T →∞

Z

T

−

T

|x(t)|

2

_dt.

(3.4)

Denição 3.2 APotên ia deum sinal edenida omo:

P

∞

, lim

T →∞

E

[−T,T ]

2T

= lim

T →∞

1

2T

Z

T

−T

|x(t)|

2

_dt.

(3.5)

Exemplo3.2Cal uleaEnergiaeaPotên iadosinal

x(t) = e

−|t|

.Solução:Energia

E

[−T,T ]

=

Z

T

−T

|x(t)|

2

dt

=

Z

T

−T







e

−|t|







2

dt

=

Z

T

−T

e

−2|t|

dt

=

Z

0

−T

e

2t

dt

+

Z

T

0

e

−2t

dt

=

1

2

e

2t









0

−T

−

1

2

e

2t









T

0

=

1

2

(1 − e

2t

_{) −}

1

2

(e

−2T

_{− 1)}

⇒ E

[−T,T ]

= 1 − e

2t

,

logo,

E

∞

, lim

T→∞

E

[−T,T ]

= lim

T→∞

(1 − e

2t

_{) = 1.}

Potên ia

P

∞

, lim

T→∞

E

[−T,T ]

2T

= lim

T→∞

1 − e

2t

2T

= 0.

⋄

3.3 Classi ação dos sinais segundo a Energia e

a Potên ia

•

Energia Finita:

E

∞

< ∞

. Vide Exemplo3.2.

•

Potên ia Finita:

E

∞

= ∞

,

P

∞

< ∞

.

Exemplo3.3Cal uleaEnergiaeaPotên iadosinal

x(t) = 4

. Solução: Energia

E

[−T,T ]

=

Z

T

−T

|x(t)|

2

dt

=

Z

T

−T

|4|

2

dt

=

Z

T

−T

16dt

= 16t|

T

−T

= 32T

⇒ E

[−T,T ]

= 32T,

logo,

E

∞

, lim

T→∞

E

[−T,T ]

= lim

T→∞

32T = ∞.

Potên ia

P

∞

, lim

T→∞

E

[−T,T ]

2T

= lim

T→∞

32T

2T

= 16.

⋄

•

Potên ia Innita ePotên ia Innita:

E

∞

= ∞

,

P

∞

= ∞

.

Exemplo3.4Cal uleaEnergiaeaPotên iadosinal

x(t) = t

. Solução:Energia

E

[−T,T ]

=

Z

T

−T

|x(t)|

2

dt

=

Z

T

−T

|t|

2

dt

=

Z

T

−T

t

2

dt

=

1

3

t

3









T

−T

=

1

3

T

3

_{− (−T}

3

₎



⇒ E

[−T,T ]

=

2

3

T

3

_,

logo,

E

∞

, lim

T→∞

E

[−T,T ]

= lim

T→∞

2

3

T

3

_{= ∞.}

Potên ia

P

∞

, lim

T→∞

E

_{[−T,T ]}

2T

= lim

T→∞

2

3

T

3

2T

= lim

T→∞

1

3

T

2

_{= ∞.}

⋄

3.4 TransformaçõesnaVariável Independente(v.i.)

Transformações, de forma geral, é um on eito de extrema relevân ia na Análise de Sinais e Sistemas. Geralmente, quando pro uramos alguma infor-mação de interesseem umsinal (ou sistema) e esta não nos saltaaos olhos estandoosinal(ouosistema)emsuaformanatural(porexemplo: notempo e/ounoespaço),fazemosusodeferramentasmatemáti asparatransformareste sinal,deformaquepossamosextrairmaisinformaçõessobreomesmo.

Além disso, outras apli ações fazem uso de transformaçõessobre o sinal, porexemplo: nosistema Hi-Fi osinal de áudioétratado - remoçãode ruído, balançode omponentesdosinal(graveeagudo).

3.4.1 Exemplo de transformações sobre a v.i.

•

Deslo amento:

y(t) = x(t − t

0

)

.

•

Es alonamento:

y(t) = x(αt)

.

Exemplo3.5Exemplo1.1dolivrotexto. Roteiro:

•

Deslo ade

t

0

(

←−

t

0

<0

ou

−→

t

0

>0

);

•

Reverte(se

α <

0

);

•

Es alonade

|α|

(Compressão

|α| > 1

ouExpansão

|α| < 1

).

⋄

3.5 Sinais Pares e Ímpares

Exemplo3.6

x(t) = t

2







x(t) = t

2

x(−t) = (−t)

2

_{= t}

2

⇒ x(t) = x(−t).

⋄

•

SinalÍMPAR:

x(t) = −x(−t)

,

∀t

. Osinalrevertidoeseuoposto.

Exemplo3.7

x(t) = t

3







x(t) = t

3

x(−t) = (−t)

3

_{= −t}

3

⇒ x(t) = −x(−t).

⋄

Todo sinal pode ser de omposto em uma parte par e outra ímpar. Dessa forma,pode-sees rever:

x(t) = x

E

(t) + x

O

(t),

(3.6) emque

x

E

(t)

éapartepar(doinglês,even)e

x

O

(t)

éaparteímpar(doinglês, odd)dosinal x(t).

ApartirdaExpressão(3.11),podemosdizerque:

x(t) = x

E

(t) + x

O

(t),

x(−t) = x

E

(−t) + x

O

(−t);

omo,

x

E

(t) = x

E

(−t)

x

O

(t) = −x

O

(−t)

⇒

x(t) = x

E

(t) + x

O

(t)

x(−t) = x

E

(t) − x

O

(t)

;

Operandoasduaslinhas daequação,tem-se:

x(t) = x

E

(t) + x

O

(t)

(+)

x(−t) = x

E

(t) − x

O

(t)

⇒ x

E

(t) =

x(t)+x(−t)

2

.

Damesmaforma,podemos:

x(t) = x

E

(t) + x

O

(t)

(−)

x(−t) = x

E

(t) − x

O

(t)

⇒ x

O

(t) =

x(t)−x(−t)

2

.

Figura3.1: Sinal periódi o,deperíodo

T

.

3.6 Sinais Periódi os

Umsinalperiódi oserepeteaolongodesuavariávelindependente. Matem-ati amenteumsinalperiódi oobede eàseguinte igualdade:

x(t) = x(t + T ), ∀t

e

T 6= 0.

(3.7) emque

T

édenido omooperíododosinal

x(t)

.

A Figura3.1ilustraumsinalperiódi o.

Per ebe-seque sedeslo armosde

T

osinal a ima ele permane e omesmo, ilustrandoassim,aapli açãodaigualdadea ima.

Observa-setambémquesedeslo armosde

mT

osinalemquestão,sendo

m

uminteiro,tambémobtemosomesmo. Dessaforma,podemosdeduzirque:

x(t) = x(t + mT ), ∀t

e

m ∈ Z;

(3.8) o que nos leva a armar que se

x(t)

é periódi o de período

T

, ele também é periódi odeperíodo

−T, ±2T, ±3T, ±4T, . . .

.

Denição 3.3 Período fundamentaléomenorvalorpositivode

T

quesatisfaz aigualdade

x(t) = x(t + T )

,

∀t

.

T

0

, min |T | | x(t) = x(t + T ), ∀t

e

T 6= 0.

(3.9)

Exemplo3.8Exemplo1.4dolivrotexto.

⋄

3.6.1 Energia e Potên ia de Sinais Periódi os

Pensando rapidamente, per ebe-se que todo sinal periódi o, ontínuo ou se ionalmente ontínuo, temenergia,segundoaDenição 3.1, innita. Dessa forma, para sinais periódi os utilizaremos um novo par de denições para a determinaçãodaEnergiaedaPotên ia.

Denição 3.4 AEnergiade um sinal periódi o édenida omo:

E

T

0

,

Z

T

0

|x(t)|

2

dt;

(3.10)

Denição 3.5 APotên ia de umsinal periódi oédenida omo:

P

T

0

,=

E

T

0

T

0

=

1

T

0

Z

T

0

|x(t)|

2

dt;

(3.11)

onde

T

0

éoperíodo fundamental do sinal.

Exemplo3.9Cal uleaEnergiaeaPotên iadosinalperiódi o

x(t) = e

jt

,

T

0

= π

.Solução: Energia

E

T

0

=

Z

T

0

|x(t)|

2

_dt

₌

Z

T

0



e

jt





2

dt

=

Z

T

0

1

2

_dt

= t|

0

_T

₀

= T

0

.

Potên ia

P

∞

,=

E

T

0

T

0

=

T

0

T

0

= 1.

⋄

3.7 Senóides e Exponen iais Complexas

3.7.1 Senóides

Por denição:

x(t) = A cos (ω

0

t + φ) ;

(3.12)

emque:

• A

-AmplitudedoSinal

• ω

0

-Frequên iadoSinal(velo idadedeos ilação)

• φ

-Fasedosinal

Sinal periódi o, al ulemosseuperíodo. Vamos assumir (atéporque ele é) queosinalsejaperiódi o. Dessaforma,aigualdade deveserobede ida:

x(t) = x(t + T ), ∀t

e

T 6= 0;

Seen ontrarmos umasolução para

T

(

6= 0

), nossapremissa deque osinal é periódi o esta verdadeirae os valoresen ontrados são os períodos do sinal. Contudo,seen ontrarmosumabsurdo,nossapremissadequeosinaléperiódi o nãoestaverdadeira,ouseja,nossosinaleaperiódi o.

x(t) = x(t + T );

A cos (ω

0

t + φ) = A cos (ω

0

(t + T ) + φ) ;

cos (ω

0

t + φ) = cos ((ω

0

t + φ) + ω

0

T ) .

Figura3.2: Sinalsenoidal,deperíodo

T

0

.

Lembrandoque:

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(q)

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b);

podemosdesenvolveroladodireito daequação:

cos ((ω

0

t + φ) + ω

0

T ) = cos(ω

0

t + φ) cos(ω

0

T ) − sin(ω

0

t + φ) sin(ω

0

T ).

Como a ondição é em relação a

T

, e deve valer para qualquer valor de

t

, on lui-sequeaigualdade

cos (ω

0

t + φ) = cos ((ω

0

t + φ) + ω

0

T ) ,

éobtidafazendo-se:







cos(ω

0

T ) = 1

e

sin(ω

0

T ) = 0

⇒







ω

0

T = k2π

e

ω

0

T = nπ

, k, n ∈ Z ⇒ ω

0

T = k2π

T =

k2π

ω

0

, k ∈ Z

∗

.

Considerando

ω

0

T > 0

temosqueoperíodofundamental dosinale

T

0

= min |T | ⇒ T

0

= min









k2π

ω

0









T

0

=

2π

ω

0

(3.13) 3.7.2 Exponen iais Complexas Pordenição:

x(t) = Ce

at

, C, a ∈ C;

(3.14)

Figura3.3: Exponen iais Complexas: CasoReals.

Figura3.4: Exponen iais Complexas. CasoPeriódi o.

Caso Real Por denição:

x(t) = Ce

at

, C, a ∈ R;

(3.15) Caso Periódi o Pordenição:

x(t) = Ce

at

_{, a = jω}

0

, C, ω

0

∈ R;

(3.16)

Sem perda da generalidade,analisemos oseguinte sinal:

x(t) = e

jω

0

t

_{, ω}

0

> 0

. Depossedosinalperiódi o, al ulemosseuperíodo

x(t) = x(t + T ),∀t

e

T 6= 0;

e

jω

0

t

_{= e}

jω

0

(t+T )

_;

e

jω

0

t

_{= e}

jω

0

t

_e

jω

0

T

_;

e

jω

0

T

= 1 ⇒ ω

0

T = k2π ⇒ T =

k2π

ω

0

.

Temosqueoperíodofundamental dosinalé

T

0

= min |T | ⇒ T

0

= min









k2π

ω

0









T

0

=

2π

ω

0

(3.17)

Omesmoperíodofundamental en ontradoparaasenoidedefrequên ia

ω

0

.

Relaçãoentre SenóideseExpone iaisPeriódi as PelarelaçãodeEuler,tem-se:

e

jθ

= cos (θ) + j sin (θ) .

(3.18)

Atravésdaigualdade,pode-sededuzirfa ilmenteque:

cos (θ) =

e

jθ

_{+ e}

−jθ

2

;

sin (θ) =

e

jθ

_{− e}

−jθ

2j

Diantedoexposto,estabele e-seasseguintesrelações:

A cos (ω

0

t + φ) = ℜ

n

Ae

j(ω

0

t+φ)

o

;

(3.19)

e

jω

0

t

= cos (ω

0

t) + j sin (ω

0

t) .

(3.20) Observação

Considere a Figura ??. Na bus a do valor

θ

, através do ar o-tangente (

tan

−1

(·)

), deve-se levarem onsideraçãoo quadrante em que onúmero está, poisessafunçãotemsuaimagemlimitadaaointervalo

−

π

2

,

π

2

.

Figura3.5: Exponen iaisComplexas: CasoGeral.

Caso Geral Por denição:

x(t) = Ce

at

, a, C ∈ C;

(3.21)

Paravisualizarmosmelhorestesinal, façamosasseguintes onsiderações:



C = re

jφ

_{, r, φ ∈ R}

a = σ + jω

0

.

Agora,vejamos omo anossosinal:

x(t) = re

jφ

e

(σ+jω

0

)t

x = re

σ

_e

j(ω

0

t+φ)

_.

Pode-sedesta ar:

x(t) =

re

σ

|{z}

CasoReal

e

j(ω

0

t+φ)

|

{z

}

CasoPeriódi o

,

ouainda

x(t) = re

σ

[cos(ω

0

t + φ) + j sin(ω

0

t + φ)] ;



ℜ{x(t)} = re

σ

_cos(ω

0

t + φ)

ℑ{x(t)} = re

σ

_sin(ω

0

t + φ)

.

3.7.3 Relação Harmni a

Sinaisperiódi ossemelhantes,perten entesaumamesmafamiliadesinais, emquetodostemumperíodo omum

T

0

sãoditosharmoni amenterela ionados. Para exempli aro on eito, montemos um onjunto de sinais baseadono sinalexponen ialperiódi o:



x

n

(t) = e

jω

n

t

∞

Figura3.6: Sinal Degrau.

familiatenhamperíodo

T

0

ene essárioavaliaraseguinte ondição:

x

n

(t) = x

n

(t + T ), ∀t ⇒ e

jω

n

t

= e

jω

n

t

e

jω

n

T

0

;

⇔ e

jω

n

T

0

= 1 ⇒ ω

n

T

0

= k2π, k ∈ Z;

ω

n

= k

2π

T

0

, k ∈ Z.

Comasfrequên iasdeterminadas, amos omaseguintefamíliadesinais har-moni amenterela ionados:

n

x

n

(t) = e

jn

2π

T0

t

o

∞

n=−∞

Sedenirmosafrequên iafundamentaldafamilia omosendo

ω

n

=

2π

T

0

, pode-mos on luirqueasoutrasfrequên iassaomúltiplasdafundamental,

ω

n

= nω

0

:



x

n

(t) = e

jnω

0

t

∞

n=−∞

. Umaúltima onstataçãoquepodemosfazer,porhora, ede queasfrequên iasdossinais dafamilia estão rela ionadasatravésde um númerora ional. Porexemplo:

ω

3

= 3ω

0

e

ω

11

= 11ω

0

,relação

ω

3

ω

11

=

3

11

.

CURIOSIDADE:OtermoHarmni o é onsistente omoutilizadoem músi a. Refere-se a tons, resultantes da variação da pressão, em frequên ias múltiplasdeumafrequên iafundamenta.

3.8 Sinais Degrau e Impulso Unitários

3.8.1 Degrau Pordenição:

u(t)

,



1,

t > 0

0,

t < 0

,

(3.22) verFigura3.6.

Pela sua ara terísti a, ele é bastante utilizado para representar sinais de amplitudedis reta.

Figura3.7: Exemplo3.8.1.

Exemplo3.10Es revaosinal

x(t)

,Figura3.7,emfunçãodesinaisdegraus. Solução:Atentemosparaastransições. Hátrêstransições:

1.

t

= 0

:sobe1nível

→ (u(t))

; 2.

t

= 1

:sobe1nível

→ (u(t − 1))

; 3.

t

= 2

:des e2níveis

→ (−2u(t − 2))

; ObservandoastrêstransiçõesdaFigura3.8.

Figura3.8: Exemplo3.8.1.

Somando-seastrêspar elas,obtemos:

x(t) = u(t) + u(t − 1) − 2u(t − 2)

⋄

Sinal sgn

(t)



O sinal sgn

(t)

(do inglês, signal de

t

) literalmente extrai osinal do argu-mento,ouseja,seoargumentoforpositivo,oresultadoé

+1

. Poroutrolado, seoargumentoénegativo,oresultadoé

−1

. Seguesuadeniçãomatemáti a:

sgn

(t)

,







1,

t > 0

1,

t = 0

−1,

t < 0

= u(t) − u(−t),

(3.23)

Figura3.9: Sinalsgn

(t)

.

Sinal Porta

O sinal porta, também referen iado omo pulso retangular, é denido da seguinteforma:

Π(t)

,



1,

|t| < 0, 5

0,

|t| > 0, 5

,

(3.24) verFigura3.10.

Figura3.10: SinalPorta,

Π(t)

.

Como exer í io,pede-se queoleitores revaosinal

Π(t)

emfunçãode

u(t)

.

Sinal Triângulo

Osinaltriângulo,tambémreferen iado omopulsotriangular,édenidoda seguinteforma:

Λ(t)

,



1 − |t|,

|t| < 1

0,

|t| > 1

,

(3.25) verFigura3.11.

Como exer í io,pede-se queoleitor:

•

es revaosinal

Λ(t)

omoauxiliodeversõesde

u(t)

;

•

es revaosinal

Λ(t)

omoauxiliodeversõesde

Π(t)

;

•

en ontre e esbo e osinal

d(t)

dt

Λ(t)

, es reva-o omo auxiliode versõesde

u(t)

e,posteriormente, omoauxiliodeversõesde

Π(t)

.

Figura3.11: Sinal Triângulo,

Λ(t)

.

Figura3.12: SinaisdeReferên ia

u

∆

(t)

e

δ

∆

(t)

.

3.8.2 Impulso Pordenição:

Z

t

−∞

δ(τ )dτ

,



1,

t > 0

0,

t < 0

= u(t).

(3.26)

Por indução dizemos que: Como a integral do impulso é o degrau, então a derivadododegrauéoimpulso.

d

dt

u(t) = δ(t).

(3.27)

Paravisualizarmosestenovosinal(

δ(τ )

),pre isamosrealizarumaanalise. Para isso,vamosdeniroseguintepardesinais:

u

∆

(t)

,







0,

t < 0;

t

∆

, t < 0 < ∆;

1,

t > ∆;

;

e

δ

∆

(t)

,

d

dt

u(t) =







0,

t < 0;

1

∆

, t < 0 < ∆;

1,

t > ∆;

;

Figura 3.13: Representação do limite gra amente de

lim

∆→0

u

∆

(t)

e

lim

∆→0

δ

∆

(t)

.

Figura3.14: SinalImpulso,

δ(t)

.

Avaliandoestessinaisnolimitequando

∆

tendeparazero:

lim

∆→0

u

∆

(t)

,



0, t < 0;

1, t > ∆;

= u(t)

e

lim

∆→0

δ

∆

(t) =







0,

t < 0;

∞, t = 0;

1,

t > 0;

.

Sobreosinal

δ

∆

aindapodemos on luiroseguinte:

lim

∆→0

δ

∆

(t) = lim

∆→0

d

dt

u

∆

(t) =

d

dt

∆→0

lim

u

∆

(t) =

d

dt

u(t) = δ(t).

Vejamosestelimite gra amentenaFigura3.13.

Um detalhe interessante e que a area abaixo da urva

δ

∆

(t)

e sempre a mesma1para qualquervalorde

∆

.

Diantedoexposto,tem-searepresentaçãoparaosinalimpulsonaFigura3.14.

Atenção: Ovalor1queapare enográ onãorepresentaovalordosinal parat=0,naverdade eledizqueosinaltemárea1.

Agora vamos interpretar aintegraldeste sinal. Sabemos quea seta repre-sentauma áreaunitária. Dessa forma, seintegrarmososinalem umintervalo detempoaoqualozeronãoperten e,aintegralseránula. Poroutroladosea integralfor al uladaemumintervaloque ontenhaozero,aintegralterávalor unitário, omopodeservisualizadonaFigura3.15.

Figura3.15: Representaçãográ adepossíveisIntervalosdeIntegraçãoparao sinalimpulso,

δ(t)

.

Lista de Exer í io

QuestõesreferentesaoCapítulo3.

Exer í io 3.1 Como exer í io,mostreque: a.

x(t)δ(t) = x(0)δ(t)

; b.

x(t)δ(t − t

0

) = x(t

0

)δ(t)

.

R

t

−∞

δ(τ − t

0

)dτ = u(t − t

0

)

d.

d

dt

u(t − t

0

) = δ(t − t

0

)

Exer í io 3.2 Expresseaparterealdesinalnaforma

Ae

−αt

_{cos (ωt + φ)}

,denindo asvariáveis

A

,

α

,

ω

e

φ

. a.

x

1

(t) = −2

; Solução:

ℜ{x

2

(t)} = −2 = 2e

0t

_{cos (0t + π)}

b.

x

2

(t) =

√

2e

jπ/4

cos (3t + 2π)

Solução:

ℜ{x

2

(t)} =

√

2(cos (

π

4

)+j sin (

π

4

)) cos (3t + 2π) =

√

2 cos (

π

4

) cos (3t + 2π) =

cos (3t) = e

0t

_{cos (3t + 0)}

.

x

3

(t) = e

−

t

_{sin (3t + π)}

Solução:

ℜ{x

3

(t)} = e

−

t

_{sin (3t + π) = e}

−

t

_{cos (3t +}

π

2

)

Exer í io 3.3 Determine se os sinais ontínuos no tempo, que se segue, são periódi osounão. Caso sejaperiódi o, determineoperíodo do sinal.

(a)

x(t) = 10 cos (10πt)

; (b)

x(t) = e

j2t

; ( )

x(t) = 2 cos (4t +

π

3

)

;

Solução: Periódi o, Período:

=

2π

4

=

π

2

(d)

x(t) = e

j(πt−1)

;

Solução: Periódi o, Período:

=

2π

π

=

π

2

(e)

x(t) =



cos (2t −

π

3

)



2

. Solução:

x(t) =



1 + cos (4t −

2π

3

)



/2

Periódi o, Período:

=

2π

4

=

π

2

Exer í io3.4 Usando arelação de Euler,mostre asseguintesigualdades: (a)

cos θ =

1

2

e

jθ

_{+ e}

−jθ

(b)

sin θ =

1

2j

e

jθ

_{− e}

−

jθ

( )

cos

2

_{θ =}

1

2

(1 + cos 2θ)

(d)

sin θ sin φ =

1

2

cos (θ − φ) −

1

2

cos (θ + φ)

(e)

sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ

Exer í io3.5 Cal ule adaintegral:

(a)

R

4

0

e

j

πt

2

dt

(b)

R

6

0

e

j

πt

2

dt

( )

R

8

2

e

j

πt

2

dt

(d)

R

∞

0

e

−

(1+j)t

_dt

(e)

R

∞

0

e

−

t

_{cos (t)dt}

(f)

R

∞

0

e

−

2t

_{sin (3t)dt}

Exer í io3.6 Determine

P

∞

e

E

∞

para: (a)

x(t) = e

−2t

_u(t)

(b)

x(t) = e

j(2t+

π

4

)

( )

x(t) = cos (t)

Di a:

cos

2

_{(t) =}

1+cos(2t)

2

Exer í io3.7 Seja

x(t)

osinal mostradona Figura3.16. Esbo e: (a)

x

1

(t) = x(t − 2)

(b)

x

2

(t) = 3x(2t)

( )

x

3

(t) = x(2t − 2)

(d)

x

4

(t) =

1

5

x(t + 1)

(e)

x

5

(t) = x −

t

2

(f)

x

6

(t) = x −

t

2

+ 1

Figura3.16:

Figura3.17:

Exer í io 3.8 Determine analiti amente egra amente: (a)

y(t) =

d

dt

x(t)

,em que

x(t) = −2u(t − 1) + u(t − 2)

(videFigura3.17a); (b)

y(t) =

R

t

−∞

x(τ )dτ

,emque

x(t) = −3δ(t+2)+2δ(t+1)+2δ(t−1)−δ(t−2)

(videFigura3.17b).

Exer í io 3.9 Esbo eosseguintessinais: (a)

x(t) = t

2

_{[δ(t − 1) + δ(t + 1) + 3δ(t − 5)]}

; (b)

x(t) = e

3t



_{u(t) − u t −}

1

3



.