Estratégia híbrida de otimização sem derivadas para a inversão completa da forma da onda

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA – CT

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA – CCET

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E ENGENHARIA DE PETRÓLEO - PPGCEP

TESE DE DOUTORADO

ESTRATÉGIA HÍBRIDA DE OTIMIZAÇÃO SEM DERIVADAS PARA A INVERSÃO COMPLETA DA FORMA DA ONDA

FRANCISCO IRANILDO FERREIRA DO NASCIMENTO GOMES

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena Co-orientador: Prof. Dr. Álvaro Barroca Neto

ESTRATÉGIA HÍBRIDA DE OTIMIZAÇÃO SEM DERIVADAS PARA A INVERSÃO COMPLETA DA FORMA DA ONDA

FRANCISCO IRANILDO FERREIRA DO NASCIMENTO GOMES

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Gomes, Francisco Iranildo Ferreira do Nascimento.

Estratégia híbrida de otimização sem derivadas para a inversão completa da forma da onda / Francisco Iranildo Ferreira do Nascimento Gomes. - 2017.

142f.: il.

Tese (Doutorado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo, Natal, 2017.

Orientador: Liacir dos Santos Lucena. Coorientador: Álvaro Barroca Neto.

1. Inversão sísmica - Tese. 2. Inversão completa da forma da onda - Tese. 3. Otimização sem derivadas - Tese. I. Lucena, Liacir dos Santos. II. Neto, Álvaro Barroca. III. Título.

FRANCISCO IRANILDO FERREIRA DO NASCIMENTO GOMES

Estratégia Híbrida de Otimização sem Derivadas para a Inversão Completa da Forma da Onda.

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo PPGCEP, da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciência e Engenharia de Petróleo.

Aprovado em de de 2017.

_________________________________________________________________ Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena

Orientador – UFRN

_________________________________________________________________ Prof. Dr. Álvaro Barroca Neto

Co-Orientador – UFRN

_______________________________________________________________ Prof. Dr. Luciano Rodrigues da Silva

Membro Interno - UFRN

_______________________________________________________________ Prof. Dr. Marcos Vinícius Cândido Henriques

Membro Externo - UFERSA

______________________________________________________________ Prof. Dr. Iderval Alves Barbosa

i

GOMES, Francisco Iranildo Ferreira do Nascimento - Título. Tese de Doutorado, UFRN, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo. Área de Concentração: Pesquisa e Desenvolvimento em Ciência e Engenharia de Petróleo. Linha de Pesquisa: Física Aplicada à Exploração e à Produção de Petróleo e Gás Natural, Natal – RN, Brasil.

Orientador: Prof. Dr. Liacir dos Santos Lucena Co-orientador: Prof. Dr. Álvaro Barroca Neto

RESUMO

Na exploração sísmica, investiga-se as características de subsuperfície usando técnicas de inversão completa, da forma da onda (Full Waveform Inversion - FWI), a qual foi abordada como um problema de otimização não linear. A técnica FWI, tradicionalmente, usa métodos matemáticos baseados em derivadas e, portanto, falha quando a função objetiva é não diferenciável. Ademais, isso acarreta um alto custo computacional e uma precisão limitada a mínimos locais. Portanto, neste trabalho foi adotada uma metodologia sem derivadas, Derivative-Free Optimization (DFO), para encontrar o mínimo global. Neste tipo de abordagem, utiliza-se as técnicas Salto Aleatório (RJT), Busca Aleatória Controlada (CRS) e Simplex Adaptativo de Nelder-Mead (ANMS). Desenvolveu-se um algoritmo, FWI-DFO, que resolve numericamente a equação da onda acústica 2D pelo Método das Diferenças Finitas (FDM) e se utiliza de um método híbrido RJT-CRS-ANMS como técnica de otimização para a inversão sísmica. A estratégia é balancear automaticamente as buscas globais e locais iterativamente pelo CRS e ANMS, respectivamente. Aplicou-se a metodologia em cinco modelos sintéticos de subsuperfície. Os resultados mostraram uma concordância significativa com os modelos sintéticos. O tempo computacional apresentou valores razoáveis e a função objetivo mostrou ser bastante sensível a pequenas alterações nos parâmetros do modelo para os casos aqui analisados. Em síntese, a metodologia, FWI-DFO, empregada mostrou-se bastante promissora na inversão sísmica.

Palavras-Chaves: Inversão sísmica, Inversão completa da forma da onda, Otimização sem derivadas.

ii ABSTRACT

In the seismic exploration, the subsurface characteristics have been investigated using Full Waveform Inversion (FWI) techniques which was approached as a nonlinear optimization problem. The FWI technique traditionally uses mathematical methods based on derivatives and therefore fails when an objective function is non differentiable. In addition, this entails a high computational cost and a precision limited to local minimum. Therefore, in this work, a Derivative-Free Optimization (DFO) methodology was adopted to find the global minimum. In this type of approach, the Random Jump (RJT), Controlled Random Search (CRS) and Adaptive Nelder-Mead Simplex (ANMS) techniques were used. A FWI-DFO algorithm which numerically solves the 2D acoustic wave equation by the Finite Differences Method (FDM) and uses a hybrid method RJT-CRS-ANMS as the optimization technique for the seismic inversion was developed. The strategy is to automatically balance global and local searches iteratively by CRS and ANMS, respectively. The methodology to five synthetic subsurface models was applied. The results showed a significative agreement with the synthetic models. The computational time presented reasonable values and the objective function showed to be very sensitive to small changes in the model parameters for the cases analyzed here. In summary, the FWI-DFO methodology proved to be very promising in the seismic inversion.

iii

“No princípio criou Deus o céu e a terra. A terra, porém, estava vazia e nua; e as trevas cobriam a face do abismo, e o Espírito de Deus era levado por cima das águas. Disse Deus: “Faça-se a luz!”. Fez-se a luz. E viu Deus que a luz era boa; e dividiu a luz, das trevas. E chamou à luz dia, e às trevas noite, e da tarde e da manhã se fez o dia primeiro.”

iv

v

AGRADECIMENTOS A Deus.

A minha família, pelo suporte, incentivo e compreensão durante todo o percurso.

A minha esposa Gercleide, pelas horas certas e principalmente pelas incertas, enfim, por você estar ao meu lado sempre.

Ao Professor Doutor Liacir dos Santos Lucena pelo incentivo, integridade profissional, compreensão, orientação e, acima de tudo, pela paciência durante todo esse tempo no qual aprendi bastante.

Ao Professor Doutor Álvaro Barroca Neto pelo incentivo, paciência, orientação, companhia, tolerância, excepcional direcionamento no desenvolvimento e na execução deste trabalho. E também pelo exemplo de ética profissional, cidadão e ser humano que motiva qualquer estudante a seguir em frente com perseverança, vigor, vitalidade e alegria de viver como cientista.

Ao Professor Doutor Iderval Alves Barbosa pela paciência, amizade, cuidados, aprendizado, tolerância, escuta ao longo dessa caminhada, motivando-me a seguir sempre em frente e pelas contribuições inesquecíveis para a melhoria deste trabalho. E sem falar da adoção e cuidados que recebi e que me foram transmitidos afavelmente na forma das suas conhecidas frases que culminaram no refinamento da minha educação e me doutrinaram para as estradas da vida. Ao Professor Doutor Luciano Rodrigues da Silva por ter aceitado o convite para participar da banca de defesa da referida Tese e pelas contribuições para a melhoria deste trabalho. Pela grande satisfação de tê-lo em minha banca de Tese.

Ao Professor Doutor Marcos Vinícius Cândido Henriques por ter aceitado o convite para ser leitor crítico deste trabalho e por todas as contribuições ao longo dessa jornada.

Ao Professor Doutor Gilberto Corso pelo aprendizado, crescimento ao longo do curso e por ter participado da banca de Qualificação da referida Tese.

Ao Professor Doutor Hugo pelas contribuições para a melhoria deste trabalho.

Ao Professor João Medeiros por ter aceitado o convite para participar da banca de Qualificação da referida Tese e pelas contribuições para a melhoria deste trabalho.

Ao Doutorando Yuri Shalom de Freitas Bezerra pelas contribuições, parceria e amizade. À Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, em especial ao Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Petróleo – PPGCEP, pela oportunidade que me foi dada de realizar o curso de Doutorado.

Ao Programa de Recursos Humanos Petrobrás PRH-PB 221 pelo suporte financeiro. Ao CNPq pelo suporte financeiro.

vi SUMÁRIO 1. Introdução Geral 1 1.1 - Considerações Gerais 2 1.2 – Objetivo geral 4 1.3 – Objetivo específico 5

1.4 – Justificativas e relevância do trabalho 5

1.5 – Motivação 6

1.6 – Organização desta tese 7

2. Formulação matemática do FWI, DFO e FDM 9

2.1 – Introdução 10

2.2 – O problema direto sísmico (Direct Seismic Problem - DSP) 10

2.3 – O problema inverso sísmico (Inverse Seismic Problem - ISP) 12

2.4 – Modelagem 2D 14

2.4.1 – A equação de onda acústica 14

2.4.2 – Discretização pelo método das diferenças finitas (FDM) 16

3. Problema de Otimização 30

3.1 – Introdução 31

3.1.1 – Otimização Linear – Problema de Programação Linear – PPL 32

3.1.2 – Otimização não Linear - Problema de Programação Não Linear – PPNL 32

3.1.3 – Características de técnicas de DFO 33

3.2 – Métodos de Busca Direta 34

3.2.1 – Problemas de reflexão sísmica 34

3.2.2 – Métodos híbridos 35

3.2.3 – Técnica de salto aleatório (RJT) 36

3.2.3.1 – Exemplo de aplicação da técnica de salto aleatório – RJT 36

3.2.3.2 – Fluxograma da técnica de salto aleatório – RJT 40

3.2.4 – Método de busca aleatória controlada (CRS) 41

3.2.4.1 – Características do CRS 44

3.2.4.2 – Algumas variações do método CRS 44

3.2.4.3 – Exemplo de aplicação Método de Busca Aleatória Controlada – CRS 44

3.2.4.4 – Fluxograma do algoritmo CRS de Price 49

3.2.5 – Busca simplex padrão de Nelder-Mead (SNMS) 50

vii

3.2.5.2 – Algumas definições importantes 54

3.2.5.3 – Fluxograma SNMS 59

3.2.5.4 – Sobre a convergência do método de Nelder-Mead 60

3.3 – Exemplos práticos 60

3.3.1 – Resultados 60

3.3.2 – Figura 3.14 a) simplex – SNMS 61

3.3.3 – Figura 3.14 b) simplex – ANMS 61

3.3.4 – Figura 3.14 c) simplex – RJT 61

3.4 – Revisitando o exemplo de aplicação com a função Peaks f(x) utilizando vários métodos combinados 61

3.4.1 – Solução pelo método SNMS 61

4. Metodologia 70

4.1 – Introdução 71

4.1.1 – Algoritmo híbrido DFO=RJT-CRS-ANMS 71

4.2 – Modelagem sísmica 2D 73

4.2.1 –Sobre os modelos de velocidades 74

5. Resultados e discussões 77

5.1 – Introdução 78

5.2 – Resultados para o modelo [V] 78

5.3 – Resultados para o modelo [VH] 85

5.4 – Resultados para o modelo [VHI] 87

5.5 – Resultados para o modelo [VHD] 90

5.6 – Resultados para o modelo [VHS] 92

6. Conclusões e Sugestões 98

6.1 – Conclusões e Sugestões 99

7. Referências 101

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 (a) Esquema do Problema Direto Sísmico (DSP). Figura adaptada: Martins, 2015. 11

Figura 2.2 (b). Fluxograma ilustrativo da metodologia (a) FWI tradicional; (b) FWI - DFO. 12

Figura 2.3 Problema Inverso Sísmico (ISP). Figura adaptada: Martins, 2015. 14 Figura 2.4 (a) Malha de pontos 2D com seus nós; (b) Detalhe ou stencil. 17 Figura 3.1 (a) Gráfico da função Peaks

f x

( )

r

e (b) Curvas de nível de

f x

( )

r

. 37 Figura 3.2 (a) Gráfico do espaço de busca da função Peaks

f x

( )

r

para iterações de sucesso do RJT. 38

Figura 3.3 (a) Gráfico dos valores da função Peaks

f x

( )

r

para as 15 iterações de sucesso do RJT. 39

Figura 3.4 Diagrama de fluxo de algoritmo RJT (Lima, 2006). 40 Figura 3.5 Mostra processo de busca pelo CRS para um simplex 2D. 44 Figura 3.6 Fluxo de encolhimento das soluções factíveis para o método CRS. 46 Figura 3.7 À esquerda o reservatório de Modelos de Parâmetros Inicial (AI) e Final (AF) para o método CRS. Pontos de mínimos locais (asteriscos pretos); À direita detalhes da região próxima ao ótimo. 48 Figura 3.8 Fluxograma do algoritmo CRS de Price (Lima, 2006). 49 Figura 3.9 Mostra as cinco transformações no simplex 2D: (a) Reflexão x , (b) Expansão _r

e

x , (c) Contração para fora x , (d) Contração para dentro _c x e (e) Redução. _c Figura adaptada: [ http://www.scholarpedia.org/article/Nelder-Mead_algorithm]. 53 Figura 3.10 Manipulação do simplex básico, no caso de duas dimensões, um triângulo em

um esforço para encontrar o mínimo. 56 Figura 3.11 Gráfico de contorno do movimento do simplex down hill em torno do mínimo.

57

ix

Figura 3.13 Fluxograma do SNMS (Lima, 2006). 59 Figura 3.14 Diferentes maneiras de simplex inicial a) SNMS, tamanho do simplex [1 1 1], b) ANMS, tamanho do simplex [1,41 1,41 1,41] c) RJT, tamanho do simplex [0,79 0,22 1]. 60 Figura 3.15 Contorno da função Peaks com seus pontos de mínimos locais e seus simplex iniciais. 62 Figura 3.16 Transformações no simplex (triângulo) e operações para as iterações iniciais do exemplo para a função f x( ). Polo do simplex (ponto vermelho) e ponto

refletido/contraído (ponto azul). 63 Figura 3.17 a) Mostra o simplex inicial e as 38 iterações correntes; b) Mostra um detalhe (ampliação) das últimas iterações para o exemplo f x( ). 64

Figura 3.18 a) Gráfico da evolução dos valores das coordenadas do ponto ótimo versus iteração; b) Gráfico da evolução dos valores da função objetivo versus iteração. 65

Figura 3.19 a) Gráfico do espaço de busca da função Peaks

f x

( )

r

para iterações do ANMS referente ao primeiro simplex inicial. 66 Figura 3.20 a) Gráfico do espaço de busca da função Peaks

f x

( )

r

para iterações do ANMS referente ao segundo simplex inicial. 67 Figura 3.21 a) Gráfico do espaço de busca da função Peaks

f x

( )

r

para iterações do ANMS referente ao terceiro simplex inicial. 69 Figura 4.1 a) Geometria do modelo base de camadas; b) Modelo de velocidades de camadas horizontais, Modelo [V]. 74 Figura 4.2 Modelos de velocidades: (a) [VH], (b) [VHI], (c) [VHD] e (d) [VHS], respectivamente. 75 Figura 5.1 a) Reservatório de modelos inicial (AI) _{e final} (AF), e solução ótima (Bsol); b) Valores da função objetivo (m) _{versus visita ao reservatório de modelos} AI _{para o modelo [V]. 78} Figura 5.2 a) Reservatório de modelos inicialAI _{e final} AF; b) Contração do simplex na visita de nº6 _{para o modelo [V]. 79}

x

Figura 5.3 a) Evolução dos valores dos parâmetros V V₁, ₂ e V₃; b) Valores da função objetivo (m) _{versus visita ao reservatório} A _{para o modelo [V]. 80} Figura 5.4 a) Evolução dos pontos ótimos locais para as seis visitas ao reservatório A

1 2 3 4 5 6

( ,L L L L L, , , eL ) pelo ANMS; b) Comparação do modelo real e calculado

para o modelo [V]. 81 Figura 5.5 a) e b) São instantâneos da propagação do campo de ondas nas três camadas do

modelo [V] para a janela de tempo t0,54s _e t 0, 65s, respectivamente. c) e d) são representações 3D desses casos. 83 Figura 5.6 a) e c) Sismogramas para os dois melhores valores da função custo (m); b) e d) Traços na posição central do sismograma para estes valores para o modelo [V]. 84 Figura 5.7 a) Reservatório de modelos inicial

 

AI e final

 

AF , e Solução ótima



Bsol



5; b) Valores da função objetivo (m) versus visita ao reservatório de modelos AI para o modelo [VH]. 8 Figura 5.8 a) Evolução dos valores dos parâmetros



V V V h h ; b) valores da função _{1 2 3 1 2}



objetivo (m) versus visita ao reservatório A para o modelo [VH]. 86 Figura 5.9 a) Evolução dos pontos ótimos locais para as seis visitas ao reservatório A

1 6 8 14 17 18

( ,L L L L L e L, , , ) pelo ANMS; (b) Comparação do modelo real e calculado para o modelo [VH]. 87 Figura 5.10 a) Reservatório de modelos inicial

 

AI e final

 

AF , e Solução ótima



Bsol



; b) Valores da função objetivo (m) versus visita ao reservatório de modelos AI para o modelo [VHI]. 88 Figura 5.11 a) Evolução dos valores dos parâmetros



V V h h ; b) Valores da função _{1 2 1 2}



objetivo (m) versus visita ao reservatório A para o modelo [VHI]. 89 Figura 5.12 a) Evolução dos pontos ótimos locais para as seis visitas ao reservatório A

1 3 6 10 15 20

( ,L L L L L e L, , , ) pelo ANMS; (b) Comparação do modelo real e calculado para o modelo [VHI]. 89

xi

Figura 5.13 Reservatório de modelos inicial

 

AI e final

 

AF , e Solução ótima



Bsol ; (b)



Valores da função objetivo (m) versus visita ao reservatório de modelos AI para o modelo [VHD]. 90 Figura 5.14 a) Evolução dos valores dos parâmetros



V V h h ; b) valores da função _{1 2 1 2}



objetivo (m) versus visita ao reservatório A para o modelo [VHD]. 91 Figura 5.15 a) Evolução dos pontos ótimos locais para as seis visitas ao reservatório A

1 3 6 10 15 20

( ,L L L L L e L, , , ) pelo ANMS; b) Comparação do modelo real e calculado para o modelo [VHD]. 92 Figura 5.16 a) Evolução dos valores dos parâmetros V V h1, 2, e1 h2; b) Valores da função objetivo (m) _{versus visita ao reservatório} A _{para o modelo [VHS]. 93} Figura 5.17 a) Evolução dos pontos ótimos locais para as seis visitas ao reservatório A

1 3 6 10 15 20

( ,L L L L L, , , e L )pelo ANMS; b) Comparação do modelo real e calculado para o modelo [VHS]. 93 Figura 5.18 a) e b) Instantâneos da propagação do campo de ondas nas três camadas do modelo [VHS] para a janela de tempo t0, 28s _e t0, 60s. As camadas estão dividas pela superfície do domo de sal. c) e d) são representações 3D desses casos. A escala de cores muda com a faixa de intensidade naquele tempo. 94 Figura 5.19 a) Sismograma para solução ótima; b) Traço na posição central do sismograma

xii

LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 Os modelos e seus respectivos parâmetros reais. 76

Tabela 4.2 Os limites inferior (L_inf)e superior (L_sup), vínculos. 76

Tabela 5.1 Resultados e comparação para o modelo [V]. 78

Tabela 5.2 Resultados e comparação para o modelo [VH]. 85

Tabela 5.3 Resultados e comparação para o modelo [VHI]. 87

Tabela 5.4 Resultados e comparação para o modelo [VHD]. 90

xiii

ABREVIATURAS E SIGLAS

FWI - Inversão Completa da Forma da Onda ANMS - Simplex Adaptativo de Nelder-Mead CRS - Busca Aleatória Controlada

RJT - Técnica do Salto Aleatório SNMS - Simplex Padrão de Nelder-Mead FDM - Método das Diferenças Finitas DFO - Otimização Sem Derivadas PIS - Problema Inverso Sísmico PDS - Problema Direto Sísmico

Pi - i-ésimo ponto do simplex

f(Pi) - valor da função objetivo em Pi

Ph - ponto do simplex onde a função objetivo assume o maior valor

Ps - ponto do simplex onde a função objetivo assume o segundo maior valor

Pl - ponto do simplex onde a função objetivo assume o menor valor

C - centroide do simplex (não considerando Ph)

α - coeficiente de reflexão =1

β - coeficiente de contração=0,5

γ - coeficiente de expansão =2

AI - reservatório de modelos em seu estágio inicial AF - reservatório de modelos em seu estágio final SI - estágio inicial do simplex

Capítulo 1

Introdução Geral

2

1.1 - Considerações Gerais

Na indústria do petróleo e gás, a exploração sísmica para caracterizar e identificar um reservatório (meio geológico), através de um modelo é um grande desafio para os pesquisadores dessa área de pesquisa. Isso se deve em grande parte à alta complexidade das estruturas geológicas do subsolo onde muitos reservatórios estão localizados. A ocorrência de heterogeneidades em todas as escalas e o reduzido conhecimento, antes de perfurações, das propriedades das diferentes partes do subsolo são algumas das causas das dificuldades encontradas no processo de exploração sísmica. Outra adversidade é devida à natureza dos dados obtidos nos levantamentos sísmicos e do resultado que desejamos para representar o meio geológico, denominado problema inverso sísmico (Martins, 2015 & Rocha Jr., 2013).

Nessa conjuntura, o método sísmico se apresenta como instrumento essencial para uma melhor compreensão e interpretação das estruturas geológicas ocultas na subsuperfície e se fundamenta na aplicação de ondas sísmicas que, por sua vez, se propagam no interior da Terra por meio das camadas geológicas sofrendo fenômenos físicos de reflexão, refração, espalhamento, difração etc. As camadas da subsuperfície juntamente com esses fenômenos físicos são visualizados pelo sismograma e são registrados pelos geofones localizados, geralmente, no interior dos poços petrolíferos ou na superfície da Terra e também pelos hidrofones colocados no mar. Sismologia de exploração é o nome dado ao método sísmico quando este tem por finalidade a exploração e desenvolvimento de hidrocarbonetos (Martins, 2015 & Yilmaz, O., 2001).

Diante deste cenário surge o Método da Sondagem Sísmica que é o mais usado, mas envolvendo um problema de espalhamento inverso, apresenta grandes dificuldades matemáticas. Acrescente-se a isto a existência de fortes heterogeneidades no meio, a ocorrência de ruídos de vários tipos (alguns deles coerentes) e o desconhecimento das velocidades das ondas sísmicas. A análise e interpretação dos dados sísmicos é, portanto, complexa e abrange várias etapas como filtragem, atenuação de ondas múltiplas (no caso de poços submarinos), deconvolução, empilhamento, migração etc. Em algumas situações o resultado não é satisfatório e o imageamento pode não levar a interpretações conclusivas. Em virtude desses fatos expostos, surge a necessidade de criar uma nova ferramenta que venha suprir essa importante lacuna do imageamento sísmico, onde pretende-se concentrar a atenção em etapas críticas do processamento sísmico e percebe-se que uma melhoria pode ser obtida com a aplicação de desenvolvimentos recentes da Física e da Matemática e, em particular, da Física Estatística e da Física dos Sistemas Complexos.

3 Logo, na busca por maior precisão das características da subsuperfície na exploração sísmica, novas técnicas de inversão foram desenvolvidas, como a Inversão Completa da Forma de Onda, Full Waveform Inversion (FWI). A modelagem FWI é uma técnica numérica para obtenção de parâmetros de modelos das propriedades da subsuperfície do meio; no caso das velocidades de propagação da onda nas rochas que compõem as camadas geológicas, a partir de um conjunto de dados sísmicos em que esses parâmetros são estimados através da resolução de um problema inverso. Geralmente, na resolução de problemas inversos sísmicos, o conjunto de dados advém de um levantamento sísmico em que, a partir de uma fonte sísmica, gera-se um campo de onda que se propaga através de um modelo de terra. Os efeitos de propagação, como reflexões, refrações, difrações, atenuações etc., são registrados por receptores posicionados na superfície da Terra. Esses registros (dados) são representados por sismogramas sintéticos ou reais. Isso objetiva utilizar todas as informações contidas nele, inclusive a fase e a forma da onda, tempo de trânsito que precisam ser processados e interpretados com o intuito de se identificar e caracterizar estruturas de subsuperfície das camadas do meio (Martins, 2015; Rocha Jr., 2013; Fichtner, 2011; Menke, 2012).

Por sua vez, o processo de inversão está intrinsecamente relacionado ao problema direto. É através da solução do problema direto que se obtêm as respostas associadas ao modelo físico, uma vez conhecidos os parâmetros físicos que o definem, juntamente com a Equação que descreve o fenômeno. Essas respostas (dados calculados) obtidas pelo problema direto são utilizadas no esquema de inversão que, através de um processo iterativo de otimização, buscam os parâmetros do modelo que, por sua vez, tentam replicar os dados registrados (dados observados) por algum aparato experimental (sismograma) (Martins, 2015).

Faz-se importante ressaltar que o problema direto resolve o sistema de equações diferenciais parciais que modela o fenômeno físico inúmeras vezes. Isso decorre do fato de se usar técnicas de otimização, em que se define uma função custo (função objetivo) que quantifica o desajuste (misfit) entre os dados calculados e os observados a cada passo do algoritmo iterativo de otimização utilizado. Como consequência da minimização da função objetivo, os parâmetros do modelo tomados como verdadeiros são aqueles para os quais o desajuste entre os dados seja menor que um valor predeterminado (tolerância). Portanto, esses parâmetros caracterizam e identificam o modelo geológico pela inversão sísmica (Mrinal, 2006 & Menke, 2012).

Em suma, o FWI tradicionalmente usa métodos baseados em derivadas, a exemplo Gradiente Descendente (Steepest Gradient), Gradiente Conjugado (CG), Quase-Newton (L-FBGS) (Thomassen, 2008) etc., para otimizar a função custo. Isso apresenta e acarreta um alto

4 custo computacional e uma precisão limitada a mínimos locais. Com a finalidade de torná-lo mais robusto e competitivo, alguns autores utilizaram métodos de otimização livre de derivadas, Derivative-Free Optimization (DFO) (Bark, 2013 & Conn et al., 2009). Nessa perspectiva, o desenvolvimento e a aplicação de técnicas baseadas em DFO para otimizar o problema sísmico inverso são de grande interesse (Lima, 2006; Diniz-Ehrhardt, 2010).

Dentre as várias técnicas DFO, existem aquelas que se enquadram na classe de métodos de busca direta. Estes são métodos iterativos em que um conjunto de pontos ou modelos são testados a cada iteração, associados a uma estratégia que usa somente avaliações da função objetivo para definir a aproximação seguinte e podendo ser aplicada na presença (ou não) de vínculos. Os métodos baseados em DFO geralmente são bem-sucedidos, robustos, fáceis de implementar e hoje representam uma alternativa em ocasiões nas quais outros métodos podem falhar. Isto pode ocorrer pela impossibilidade, proibição ou dificuldade de se calcular as derivadas necessárias ao problema. Consequentemente, neste trabalho foi adotada uma metodologia híbrida com base em DFO. Utilizamos as Técnicas DFO: Técnica do Salto Aleatório, Random Jump Technique (RJT), Busca Aleatória Controlada, Controlled Random Search (CRS), o método de busca Simplex Adaptativo de Nelder-Mead, Adaptive Nelder-Mead Simplex (ANMS) (Lima, 2006; Diniz-Ehrhardt et al., 2011; Gao & Han, 2012).

A finalidade desta pesquisa é a recuperação do modelo de velocidades utilizando a técnica FWI. O objetivo específico desta pesquisa é a elaboração de um algoritmo FWI-DFO para resolver o problema sísmico inverso em cinco modelos sintéticos construídos. A modelagem direta resolve numericamente a Equação da onda acústica sísmica e a técnica DFO que usa uma estratégia híbrida com base nos métodos RJT-CRS-ANMS foi utilizada no processo de otimização. Trata-se, portanto, de um problema de física, cálculo numérico, matemática aplicada e inversão.

Em resumo, neste trabalho, desenvolve-se com grande êxito, uma série de pesquisas importantes para o desenvolvimento de nosso Estado e do país. Algumas dessas investigações estão começando a fornecer resultados que certamente darão uma grande contribuição para a nossa tecnologia, com reflexo direto na nossa economia.

1.2 – Objetivo geral

O propósito deste trabalho é a realização de pesquisas sobre a inversão da equação de ondas sísmicas em FWI onde o foco do estudo está na construção e implementação de um algoritmo computacional para resolver o FWI em duas dimensões (2D), no domínio do tempo

5 utilizando uma métodologia de otimização que não utiliza derivadas no processo da inversão sísmica. Logo, pretende-se recuperar os modelos de velocidades de um meio geológico utilizando a técnica FWI.

1.3 – Objetivo específico

O objetivo específico desta pesquisa é a elaboração de um algoritmo FWI-DFO para resolver o problema sísmico inverso em cinco modelos sintéticos construídos que são: modelo de velocidades de camadas horizontais (modelo [V]); modelo de velocidades de camadas e posição dos refletores (modelo [VH]); modelo de velocidades de camadas e posição dos refletores inclinados (modelo [VHI]); modelo de velocidades de camadas com difração (modelo [VHD]); modelo de velocidades de camadas com domo de sal (modelo [VHS]). A modelagem direta resolve numericamente a Equação da onda acústica sísmica que simula a propagação em duas dimensões (2D) no domínio do tempo usando o Método das Diferenças Finitas, Finite Difference Method (FDM). A técnica DFO que usa uma estratégia híbrida com base nos métodos RJT-CRS-ANMS foi utilizada no processo de otimização que resolve o problema sísmico inverso. Isso caracteriza uma modelagem FWI com estratégia híbrida de otimização baseada em DFO.

1.4 – Justificativas e relevância do trabalho

Sinais sísmicos são gerados por uma fonte, como em uma explosão, sofrem fenômenos de refração, reflexão, espalhamento, atenuação durante a passagem deles nas camadas da subsuperfície. Após isso, esses mesmos sinais sísmicos, que conseguem retornar à superfície, são gravados passando a constituir os dados e guardam dentro de si informações preciosas sobre as velocidades das ondas sísmicas nas camadas da subsuperfície, as profundidades em que estão localizadas os reservatórios petrolíferos etc. Para tal propósito, foram desenvolvidas e aplicadas na sondagem sísmica técnicas cujas bases são a óptica geométrica. No entanto, com o acentuado grau de dificuldade de imagear regiões de dificílimo acesso surge a necessidade de criar novas técnicas que garantam uma maior precisão nos dados em questão. Nesse contexto aparece a Inversão Completa da Forma da Onda.

Com a liderança do experiente Professor Liacir dos Santos Lucena (UFRN) e com o suporte financeiro do CISCPET, CNPq, FINEP, CTPETRO, FAPERN, CAPES, UFRN, IFRN,

6 IFCE e da Rede Cooperativa de Pesquisa em Geofísica de Exploração conseguiu-se, com muito sucesso, a elaboração de um algoritmo FWI-DFO para resolver o problema sísmico inverso, no domínio do tempo, em cinco modelos sintéticos construídos. Em um campo de pesquisa cujos estudos avançam a cada dia, por se tratar de uma importante tecnologia emergente, simboliza uma contribuição bastante significativa da equipe de pesquisadores do laboratório CISCPET. Deve-se ficar patente que este trabalho também é um dos bons resultados obtidos pela UFRN no consórcio SINBAD que contou com a participação da University of British Columbia (UBC), do Imperial College London e do BG group.

A atual situação sócio-político-econômica do Brasil sofre uma profunda crise em que a falta de empregos, a falência de empresas e a carência de empreendimentos são alguns aspectos notáveis. Nesse contexto, é oportuno frisar a importância da pesquisa científica voltada para otimizar a exploração de riquezas e, consequentemente, estimular a economia tanto em âmbito nacional quanto local.

1.5 – Motivação

Hidrocarbonetos são importantes para a sociedade moderna, pois além de fazerem parte da constituição de diversos materiais sintéticos dos quais o homem tira proveito ainda servem de fonte energética. Obviamente, devido a essas inúmeras qualidades os hidrocarbonetos ocupam posição de destaque na matriz energética e na economia de muitos países, inclusive do Brasil.

Para obter informações sobre os reservatórios de petróleo recorremos à etapa da exploração sísmica chamada aquisição de dados que, por sua vez, é realizada a partir da superfície na maioria dos casos. Convém observar que dados detalhados acerca das formações geológicas da subsuperfície de uma região, tanto terrestre quanto marítima, detentora das jazidas de hidrocarbonetos são, por conseguinte, bastante valiosos para as companhias de petróleo acabando por oferecer oportunidades muito lucrativas para todos os envolvidos e, consequentemente, alavancam a economia das cidades e pequenos municípios próximos da região comtemplada com tal riqueza.

A aquisição e registro de dados incorretos da subsuperfície e o posterior uso dos mesmos pelas companhias petrolíferas podem resultar na perfuração errada dos poços, em um grande prejuízo financeiro das companhias e pode colocar em xeque a existência dessas empresas (no caso das pequenas companhias) haja vista que a perfuração de poços é uma atividade muito cara.

7 Durante décadas tem-se usado na exploração sísmica métodos baseados na óptica geométrica (Leis da refração e Leis da reflexão) para encontrar com maior precisão as características da subsuperfície, a exemplo das técnicas como a migração que são exemplo de aplicação em problemas de inversão e que utilizam o traçado de raios. Embora funcionem, técnicas como essas não têm se mostrado satisfatórias, ou seja, o limite de eficácia desses métodos chegou ao seu extremo sendo necessário o desenvolvimento de novas técnicas de inversão que utilizam a equação da onda, a exemplo da inversão completa da forma da onda (FWI). A exigência e necessidade, por parte da indústria, da criação dessas novas técnicas aparece, por exemplo, com o desafio de imagear com maior acurácia regiões como a do Pré-Sal brasileiro que está localizado em alto mar, à profundidades consideráveis e cuja estrutura é complexa.

Nesse contexto, a técnica de inversão FWI enquadra-se como uma alternativa e constitui-se, tradicionalmente, como um processo de otimização de busca local que se baseiam em métodos do gradiente, ou seja, métodos que usam cálculo de derivadas para otimizar a função objetivo do problema. Neste trabalho, utiliza-se métodos sem derivadas não pelo fato de serem melhores do que os métodos tradicionais, mas sim pelas possíveis situações nas quais se pode deparar em que não se tenha a função propriamente dita para derivar (a função desajuste). Portanto, há duas abordagens diferentes: uma tradicional, muito utilizada pela indústria e que vem funcionando na medida do possível; e outra focada em uma metodologia que não emprega derivadas e que é tratada nesta tese.

1.6 – Organização desta tese

O restante do documento está disposto de maneira que no Capítulo 2, Formulação matemática do FWI, DFO e FDM, aborda-se o formalismo matemático aplicado à equação de onda acústica não homogênea cuja fonte é uma wavelet de Ricker e explica como o método das diferenças finitas foi aplicado ao problema, modelando-o computacionalmente, criando um ambiente para aplicação do FWI. Vale destacar que o tipo de Condições de Contorno (CC) empregadas foram as Condições de Bordas Absorventes (ABC) para evitar as reflexões nas bordas e que na discretização utilizou-se um esquema centrado de segunda ordem para representar as derivadas de segunda ordem da equação de onda acústica.

No Capítulo 3, Problema de otimização, define-se o que vem a ser um problema de otimização, descreve de maneira geral alguns métodos de busca e de maneira específica os

8 métodos RJT, CRS e ANMS, que irão otimizar a função objetivo no processo de inversão sísmica, utilizados neste trabalho, exemplificando-os.

No Capítulo 4, Metodologia, descrevem-se o algoritmo híbrido DFO=RJT-CRS-ANMS, a modelagem sísmica 2D e os modelos de velocidades. É preciso destacar que utilizou-se um conjunto de parâmetros misto.

No Capítulo 5, Resultados e discussões, apresentam-se os resultados obtidos por meio do algoritmo híbrido FWI-DFO aplicado aos modelos [V], [VH], [VHI], [VHD] e [VHS], com os seus devidos esclarecimentos.

No Capítulo 6, Conclusões e sugestões, apresentam-se as conclusões e as sugestões para os próximos trabalhos.

No Capítulo 7, Referências, apresentam-se as referências utilizadas nesta tese. E, finalmente, nos Anexos mostram-se alguns resultados gerados pelo algoritmo híbrido de otimização FWI-DFO para o modelo [V].

Capítulo 2

10

2.1 - Introdução

Nesta seção serão revistos, brevemente, alguns aspectos da modelagem FWI aplicada ao Problema Inverso Sísmico, Inverse Seismic Problem (ISP). Basicamente, a técnica FWI se constitui nos seguintes passos: com base nos parâmetros de modelos estimados pela inversão, podemos predizer os dados (dados calculados) resolvendo o Problema Direto Sísmico, Direct Seismic Problem (DSP). O DSP que descreve o fenômeno de propagação da onda acústica em um meio contínuo provocado por uma fonte sísmica foi resolvido numericamente pelo Método das Diferenças Finitas (Finite Difference Method, FDM). Dessa forma, podem-se comparar os dados calculados com os dados observados do experimento sísmico, registrados em sismogramas (reais ou sintéticos) através da norma l₂como medida que quantifica a distância entre eles. Essa medida é comumente chamada de função custo ou função objetivo. O ISP se utiliza de um método de otimização livre de derivada (DFO) para minimizar a função objetivo e encontrar o melhor conjunto de parâmetros de modelo que se ajuste aos dados reais, caracterizando e identificando, assim, o meio geológico através dos dados observados.

2.2 - O problema direto sísmico (Direct Seismic Problem - DSP)

O DSP consiste na determinação do campo de propagação da onda a partir de um conjunto de parâmetros (parâmetros de modelo) que caracterizam o meio geológico, através da Equação matemática (Equação da onda) que relaciona os parâmetros do modelo aos dados (dados calculados). Com isso, é possível prever se os dados observados, registrados em um sismograma, correspondem a certo modelo que represente o meio geológico. Essas respostas (dados calculados) serão utilizadas em um esquema de inversão que busca identificar os parâmetros do modelo que descrevem com a melhor aproximação possível os dados observados. Portanto, a formulação do problema direto e o processo de obtenção de suas soluções consistem nas primeiras tarefas a serem realizadas em qualquer abordagem de problemas inversos (Martins, 2015; Lima, 2006). Logo, o DSP consiste em: tendo-se m e G, obtém-se d _{pela Equação (1). A Figura 2.1 mostra o esquema do DSP.}

Portanto, o FWI é visto como um problema de otimização não linear, ou seja, um problema de minimização de um funcional (o quadrado da norma l₂ do resíduo). Tradicionalmente, o FWI se constitui como um processo de otimização de busca local. Para resolver esse tipo de problema, usam-se métodos iterativos que usam derivadas e um único ponto de partida – ver Figura 2.1. Entretanto, existem métodos iterativos de otimização livre de

11 derivadas (Derivative-Free Optimization - DFO), que não exigem a especificação de um único ponto de partida e que podem escapar de mínimos locais.

Figura 2.1. Esquema do Problema Direto Sísmico (DSP). Figura adaptada: Martins, 2015.

Para melhorar o processo de busca pelo ótimo global – ver Figura 2.2 (b) –, a proposta desta pesquisa é substituir o processo de otimização tradicional do FWI por uma metodologia híbrida baseada em DFO.

12

Figura 2.2. (b). Fluxograma ilustrativo da metodologia (a) FWI tradicional; (b) FWI - DFO.

Resumidamente, a modelagem direta resolve a Equação de onda numericamente em um sistema de equações não linear para simular a propagação das ondas em um meio acústico, modelo a ser otimizado. O processo de inversão está intimamente relacionado ao problema direto. É através da solução do problema direto que se obtêm as respostas dos campos associados a um dado modelo físico inicial. O processo de otimização adotado (utilizando derivadas ou DFO) faz a modelagem direta inúmeras vezes na tentativa de aproximar, a partir de um chute inicial, um modelo (teste) que seja compatível com os dados reais. Basicamente, a técnica FWI consiste em determinar o conjunto de parâmetros de modelo que caracterizam o modelo geológico real a partir de um conjunto de dados (sismograma). A metodologia FWI tradicional pode ser sintetizada na forma do fluxograma da Figura 2.2 (a), enquanto que a modelagem FWI-DFO é sintetizada na Figura 2.2 (b).

2.3 - O problema inverso sísmico (Inverse Seismic Problem - ISP)

Pode-se definir o ISP ou inversão como um conjunto de técnicas matemáticas para extrair de dados observados (registro de efeitos) os parâmetros físicos correspondentes ao sistema, considerando um modelo físico-matemático que explique a relação entre ambos (Almeida, 2013). Abordando-se matematicamente a teoria da inversão, define-se: d _{como o} vetor de dados; m como o vetor de parâmetros do modelo (ou apenas modelo), e G é um

13 operador matemático (equações governantes) _{que relaciona os parâmetros do modelo m aos}

dados d (i.e. a física governante). Estas grandezas estão relacionadas pela Equação:

( )

G

d = m (1) Logo, o ISP consiste em: tendo-se d _e G, obtém-se m. Nesse tipo de problema, métodos de otimização são os mais utilizados, uma vez que o objetivo é minimizar de alguma forma o resíduo (erro) entre dado predito (calculado) e dado observado (Rocha, 2013). Comumente, os parâmetros são os valores de velocidades, densidades e posições de refletores. Entretanto, eles podem ser qualquer conjunto de parâmetros que sejam suficientes para descrever o modelo de terra considerado. Os dados são valores registrados em sismogramas.

Segundo Tarantola (2006), a inversão acústica do campo de ondas completo é um processo iterativo de ajuste de dados que se propõe a fornecer informações quantitativas, do campo de velocidades da subsuperfície. Esse processo é baseado na modelagem do campo de ondas completo, e tem como objetivo minimizar a diferença entre os dados observados dobs (registrados em sismogramas pela exploração sísmica) e os dados calculados em um modelo inicial de parâmetros dcal, denominado desajuste (misfit), resíduo r = dobs- dcal.

O desajuste é quantificado pela norma do vetor de resíduos r = dobs- dcal. No contexto da técnica de mínimos quadrados, a métrica utilizada é a norma l₂dada por

2

2 ( ) .( ) ( ( )).( ( ))

t t

obs cal obs cal obs obs

r  d d d d  d G m d G m (2) Neste trabalho, a função objetivo



_{utilizada no procedimento de inversão quantifica a} diferença entre as amplitudes calculadas e observadas da onda compressional refletida (onda acústica, onda P). Portanto, o melhor ajuste dos dados calculados aos observados está associado ao valor mínimo de



, dado pela expressão (2.3) (Lima, 2006):





2 , , obs cal j k j k j k A A  



 (3) onde o índice j _{refere-se ao número do traço registrado; o índice} k _{refere-se ao número da}

amostra dentro da janela de tempo; obs

A _{são as amplitudes observadas no sismograma} registrado; calc

A _{são as amplitudes do sismograma sintético calculado em função dos} parâmetros do modelo



V hi, i



que correspondem à velocidade da onda na i-ésima camada e à profundidade do i-ésimo refletor, respectivamente. A Figura 2.3 mostra o esquema do ISP.

14

Figura 2.3. Problema Inverso Sísmico (ISP). Figura adaptada: Martins, 2015.

2.4 - Modelagem 2D

2.4.1 - A Equação de onda acústica

O problema direto corresponde ao modelo matemático da propagação da onda acústica, Equação da Onda (Wave Equation, WE), em duas dimensões (2D), juntamente com suas Condições Iniciais, Initial Conditions (IC) e Condições de Contorno, Boundary Conditions (BC) é dado pelo operador matemático ( )m u representado pelo conjunto de Equações (4A, 4B, 4C e 4D) como segue:

15 (WE) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) ) , ( 1 2 2 2 u x z t f t x xs z zs t t z x u z x c      

_

_

(4A) (IC) u x z t( , , )0, para t0 (4B) ( )m u   0 0 0 ( , , ) ( , , ) 1 0 ( , ) u x z t u x z t c x z t x  _ _   LFS Direção x (4C) (BC-ABC) 1 ( , , ) ( , , ) 0 ( , ) nx nx nx u x z t u x z t c x z t x       RHS 0 0 0 ( , , ) ( , , ) 1 0 ( , ) u x z t u x z t c x z t z  _ _   TOP Direção z (4D) ( , , ) ( , , ) 1 0 ( , ) nz nz nz u x z t u x z t c x z t z       BOT

em que c _{é a velocidade de propagação da onda,} m _{é o vetor de parâmetros do modelo (ou} apenas modelo), u _{o campo de amplitudes, ou pressão.}



(xx_s) e



(z z _s)são distribuições conhecidas por função delta de Dirac. Elas têm a finalidade de localizar espacialmente a função fonte sísmica f t( ) na posição ( , )x zs s . Esta é um pulso que é usualmente aproximado pela derivada da gaussiana, conhecida como wavelet de Ricker (Ricker, 1940). É da forma

 









2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 1 2 t t f t     tt e   (5A) sendo 0 0 6 2 t   (5B)

onde para t _{é janela do tempo}( )s _{utilizada na amostragem sísmica,}



0 em Hertz (Hz) é a frequência de corte ou de pico e (t t ₀) é o tempo defasado. E  , o operador Laplaciano dado pela Equação (6): 2 2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) u x z t u x z t u x z t x z        (6)

16 Para as CC utilizamos a Condição de Bordas Absorventes, Absorbing Boundary Conditions (ABC). Esta condição é um artificio matemático que introduzimos na modelagem da WE para evitar que tenhamos reflexões indesejáveis nas fronteiras de um domínio computacional limitado para apenas uma parte do verdadeiro domínio físico de interesse. Isto aumenta a eficiência computacional permitindo, assim, modelar um meio infinito além das bordas do modelo geológico de interesse (Fichtner, 2011). As Equações correspondentes advém da hipótese feita por d'Alembert para a solução analítica da Equação da onda 1D. Esta é fatorada para se obter as equações de onda de primeira ordem que se propagam em sentidos opostos na direção cartesiana x. Em 2D utilizamos a mesma solução referente ao caso de uma dimensão 1D, para a direção x(Esquerda, Left - LFT e Direita, Right-Hand Side - RHS) e z(Topo, Top - TOP e Fundo, Bottom - BOT), respectivamente para o caso 2D (Reynolds, 1978).

2.4.2 - Discretização pelo método das diferenças finitas (FDM)

Como visto, o problema direto é descrito por sistemas de Equações Diferenciais Parciais, (Partial Differential Equations (PDE) – Equação da onda – (WE). Geralmente, não existem soluções analíticas para elas. Então, lançamos mãos de técnicas numéricas para resolvê-las aproximadamente. Existem vários métodos que podem ser usados para este fim: o Método dos Elementos Finitos, Finite Elements Method (FEM), o Método das Diferenças Finitas (FDM), entre outros. Neste trabalho, utilizamos a técnica FDM.

O FDM é um modelo clássico para aproximação numérica de PDE. Foi um dos primeiros métodos numéricos desenvolvidos sendo, até hoje, bastante utilizado em diversas áreas de pesquisa por causa da sua simplicidade e facilidade de implementação computacional. Basicamente consiste na discretização dos operadores diferenciais transformando o problema de valor de contorno em um sistema de equações lineares, mais fácil de resolver. Portanto, a essência desse método numérico consiste em um esquema de discretização que transforma o domínio contínuo u x zt( , ), em um domínio discreto t

ij

U , sendo u Ut( t) _{a solução da WE em}

cada ponto do domínio considerado no nível de tempo t. Este procedimento leva a construção

de uma malha de pontos nodais t ij

U , geralmente, regularmente espaçados de    x z h em cada direção coordenada (graus de liberdade do sistema). Desta forma, qualquer quantidade de interesse é calculada nestes nós (pontos nodais). Consequentemente, para cada ponto desta malha as derivadas são aproximadas por diferenças finitas entre os valores t( , ) t

ij

U x z U , da solução da PDE, nestes pontos nodais.

17 A aproximação das derivadas por diferenças finitas é feita por manipulação da série de Taylor que através de uma expansão truncada, até certo termo da série, fornece o valor de uma função qualquer na vizinhança de um ponto base (Cunha, 2009) - ver Figura 2.4.

Figura 2.4. (a) Malha de pontos 2D com seus nós; (b) Detalhe ou stencil.

A Figura 2.4 (a) mostra a malha de pontos 2D com seus nós, identificando os pontos internos (azuis) e os extremos (de contorno, vermelhos); (b) detalhes ou stencil, mostrando o ponto base (marrom) e seus vizinhos (verdes). O stencil contém a lista de pontos nodais usados no esquema de aproximação por diferenças finitas. O tamanho da malha correspondente ao domínio contínuo discretizado é (n_x  1 n_z 1). A precisão do FDM depende fortemente do Stencil empregado, porque é ele quem dita quantos pontos serão utilizados no processo de discretização e também do tamanho da malha que adequadamente refinada aproxima, cada vez mais, a solução numérica da exata. Nesta figura, cada coordenada xe zé associada a um sub-índice i e j, respectivamente, correspondente à coordenada dos pontos nodais. Como visto, o processo de discretização pelo FDM transforma as equações diferenciais WE e BC do problema direto em equações de diferenças. Isto leva a um sistema de equações algébricas lineares. Este sistema é expresso em termos dos valores da função incógnita U_ijt para os pontos da malha utilizada juntamente com as propriedades físicas do problema de propagação de ondas. Desde que o critério de estabilidade do esquema de aproximação das derivadas por diferenças finitas,

18 critério de Courant-Friedrichs-Lewy ou condição CFL, seja satisfeito, o sistema converge para a solução desejada, [http://pysit.readthedocs.io/en/stable/exercises/part_1.html]. Ver Equação (7): max 1 / 6 ( ) h t com Critério CFL C       (7)

em que té o passo do tempo, h   x zo espaçamento da malha regular e uniforme, e C_max

é a velocidade máxima de propagação da onda no modelo de velocidades. Resumidamente teremos que:

 Solução Analítica: A solução analítica da Equação de PDE(s) _{não é conhecida salvo para} casos simples;

 Solução Numérica: uso de Métodos Numéricos adequados com abordagem computacional;

 Métodos Numéricos: Método das Diferenças Finitas; Método dos Elementos Finitos, Método dos Elementos de Contorno Finito, Método dos Volumes Finitos Baseado em Elementos, etc.

 Solução por Métodos Numéricos: se obtém detalhes sobre o campo de interesse, como os de velocidades, de pressão, de temperatura, etc. A sua utilização permite a exploração e o desenvolvimento teórico de análises sobre o comportamento físico do problema baseado em formulações matemáticas indispensáveis na modelagem e análise.

 Tarefa básica de um Método Numérico: é transformar uma Equação diferencial, definida em um domínio contínuo D, em um sistema de equações algébricas lineares em um domínio discreto Dc. Substituição das derivadas por valores discretos. E maneira de fazer isto caracteriza o tipo de método numérico.

 Aspectos gerais que envolvem o uso de Métodos Numéricos: algoritmos numéricos para aproximação de funções, técnicas de discretização das equações diferenciais, critério de convergência e parada do processo numérico iterativo, técnica de geração de malha, imposição das condições de contorno, questões de estabilidade, modelagem no regime adequado, pós- processamento para análise gráfica e pontual de resultados (visualização de resultados), averiguar se a saída do computador é fisicamente significativa, etc.

A ordem de precisão usada para a expansão truncada na série de Taylor determina a ordem de precisão das aproximações das derivadas e quantos pontos da malha serão necessários para o seu cálculo. Geralmente a expressão para o erro leva em conta o tamanho da malha e se

19 escreve O(hn_{) para o erro de uma aproximação via diferenças finitas de ordem n. Se a precisão} for de ordem n teremos n+1 pontos na direção em que é calculada a derivada. A representação destes pontos para cada direção coordenada determina o stencil do MDF. Este conjunto de n+1 pontos inclui o ponto base, onde é aproximada a derivada desejada, e seus n vizinhos distantes kh, sendo h o espaçamento da rede com k um inteiro apropriado. Daí surge vários esquemas de aproximações para as derivadas, se o ponto base está no centro temos o esquema de aproximação centrado para as derivadas ou fórmula centrada de discretização das derivadas. Se o ponto base está deslocado do centro temos a fórmula deslocada de discretização. Sendo está fórmula atrasada ou avançada no caso do ponto base se localizar em um dos extremos do stencil, observar Figura (2.4b).

Portanto, a essência dos métodos numéricos reside na discretização do Domínio contínuo (D) tornando-o finito, domínio discreto (Dc), em uma malha de pontos que pertencem ao domínio D. Isto facilita a resolver o problema. Vamos definir a malha em um problema unidimensional. Seja x₀ um ponto qualquer de referência e x _{um número positivo. Então a}

malha de passo x associada a x₀ é o conjunto de pontos:

x_i   x₀ i x, i1, 2,... (8)

Nos pontos desta malha serão calculadas as aproximações de f x( ) e suas derivadas ( ) ( ) n n n f x f x x 

 _{ . Onde n é a ordem da derivada em questão. Vamos utilizar a ferramenta} matemática série de Taylor que aproxima o valor de f x( ) na vizinhança de um ponto x₀

próximo de xcom base em várias informações sobre a função no ponto x₀. Considerando a vizinhança x h, então para qualquer ponto x a série de Taylor se escreve:

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ! n n h h h f x h f x f x f x f x R n            (9)

onde R é o erro da aproximação dado por

1 1 ( ) ( ), ( 1)! n n h R f x x h ou x h x n               (10)

Supondo uma malha de pontos unidimensional x_i   x₀ i x, i1, 2,... com

,

0

x sh

com s

20 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ! n n i i i i i hs hs hs f x s f x f x f x f x R n            (11) ou 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1! 2! ! n n i s i i i i hs hs hs f f f f f R n            (12)

a seguir serão apresentadas algumas fórmulas ou esquemas de discretização para as derivadas: para n 1 e passo  x h, e desprezando o erro de aproximação R , teremos que

1 1 1 ( ) 1! i i i h f_  f f (13) explicitando a derivada f1( )x f x( )_x 1 i 1 i i f f f h    (14)

que é a fórmula avançada de 1a ordem para a discretização da derivada de 1a ordem de f x( ). De maneira análoga, para n 1 e passo   x h, e desprezando o erro de aproximação R , teremos que 1 1 1 ( ) 1! i i i h f_  f  f (15) explicitando a derivada f1( )x f x( ) x   _ 1 i i 1 i f f f h    (16)

que é a fórmula atrasada de 1a ordem para a discretização da derivada de 1a ordem de f x( ). Agora, para n 2 e passo  x h e   x h, respectivamente, e desprezando o erro de aproximação R , teremos que

21 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) 1! 2! 2 ( ) ( ) 1! 2! 2 i i i i i i i i i i i i i i h h h f f f f f hf f h h h f f f f f hf f               _{     }  (17)

somando as duas equações acima e Explicitando a derivada 2 2 2 ( ) x x f f_i  _ temo que 1 1 2 1 1 i-1 i i 1 j 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 [1 -2 1]. [ ]. i i i i i i i j j i i f f f f f f f f h h h h f f                    _{   }   _{ } _{ }        



(18)

O vetor [_i-1_i_i1][121] é denominado Coeficiente de Diferenças Finitas (Coefficient of Finite Differences, CFD) para o esquema de discretização adotado para aproximar as derivadas de f x( ). O vetor [f_i-1 f_i f_i1] representa os valores para f x( ) nos pontos nodais usado no esquema listados no conjunto  denominado de stencil. Vamos considerar um esquema genéricos de aproximações por diferenças finitas dado por

1 i-1 i i 1 j 1 ( ) 1 1 [ ]. ( ) ( ) i k i j k k k j i f f x f f x x x f                  _{    }        _  



₍₁₉₎ ou 1 i-1 i i 1 j 1 ( ) ( ) [ ]. i k k i j k j i f f x x f f x f                  _{ }           _  



(20)

que representa a derivada de ordem k com aproximação de ordem n_{. Para se determinar os}

CFD usamos a série de Taylor truncada até o termo de ordem de precisão n _{para calcular os}

valores de f x( ) _{nos pontos dados pelo stencil na vizinhança do ponto base} x_{i. Em seguida} utilizamos a Equação para aproximação das derivadas para gerar equações de identidades que permitem chegar a um sistema de Equações lineares que resolvido nos dará os valores dos CFD.

22 Para determinar a fórmula avançada de 2a _{ordem para a discretização da derivada de 1}a ordem de f x( ) devemos considerar o stencil.

Aplicando a série de Taylor para calcular Uj em cada ponto do stencil teremos

2 1 2 2 1 2 1 (2 ) (2 ) 2 i i i i xi xxi i i xi xxi U U U U hU h U U U h U h U        _{  }    _{  }  (21) então: j i i 1 i 2 1



i i 1 1 i 2 2



2 1 1 1 [ ]. i xi j i i i i j i U U U U U U U h h h U     _{  }  _{ } _{ }         _{ }      



(22)

substituindo as equações acima teremos

i i 1 2 i 2 2 1 1 1 (2 ) (2 ) 2 2 xi i i xi xxi i xi xxi U U U hU h U U h U h U h          _  _   _ _   _       (23)

reorganizando a Equação ficamos com









i i 1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 2 1 0 2 1 4 0 2 2 xi i xi xxi U U h U hU                        _   _   (24)

Para que esta Equação se torne uma identidade é necessário que o termo que multiplica Uix seja igual a 1 e o restante, para sejam iguais a 0. Então chegamos a um sistema de equações lineares abaixo