Equações integrais lineares : sua aplicação à resolução do problema de Dirichlet

Equações integrais lineares

SUA APLICAÇÃO A RESOLUÇÃO

PROBLEMA DE DIR1CHLET

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PORTO I M P R E N S A P O R T U G U E S A 116, Kua formos», HO 1929

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EQUAÇÕES INTEGRAIS LINEARES

SUA APLICAÇÃO A RESOLUÇÃO

DO PROBLEMA DE DIRICHLET

Equações integrais lineares

SUA APLICAÇÃO À RESOLUÇÃO

PROBLEMA DE DIRICHLET

PORTO

I M P R E N S A P O R T U G U E S A 116, 1'n.i I . . . ., 116

Dissertação para o exame de doutoramento

em Scicncias Matemáticas, na Faculdade

de Scicncias da Universidade

do

Porto.

E

INDICE

PÃO.

PREPACIO XI

INTRODUÇÃO I

CAPÍTULO I

Equação de Volteira de 2." espécie. Sua resolução 3 CAPÍTULO II

Resolução da equação de Volterra de I." espécie 27 CAPÍTULO III

Resolução da equação de Fredholm 33 CAPÍTULO IV

Aplicação da analise de Fredholm A resolução do problema de Dirichlet,

num domínio a trfis dimensões 73

CAPÍTULO V

Aplicação da analise de Fredholm à resolução do problema de Dirichlet,

Problemas diversos de Análise pura e também de Mecânica e Física, conduzem-nos naturalmente, a equações integrais.

Assim, pareceu-nos interessante, um estudo sobre estas equações. Não poderíamos pensar em realizar um trabalho completo, sobre um assunto que, embora moderno, é extremamente vasto. Limitamo-nos à resolução de equações lineares, com uma só função desconhecida.

Entretanto, procuramos tratar completamente, a resolução de trás tipos de equações integrais, que frequentemente aparecem em problemas de

Análise e Física.

Os dois primeiros capítulos desta dissertação dizem respeito à

resolução das equações de Volterra de 1." e 2." espécie: —tipos de equações a limites variáveis.

0 terceiro capítulo trata a resolução duma equação, a limites fixos, a equação de Fredholm.

Para mostrar seguidamente, que é útil o estudo destas equações,

no quarto e quinto capítulos tratamos em domínios a trás e duas

dimensões, os Problemas de Dirichlel e Neumann, problemas de

And-lise, que a Física Matemática aplica a variadas questões, dando-lhes

forma adequada ao fim que tem em vista.

Certamente, os Ex.mos Professores que teem de julgar este tra-balho, notar-lhe-háo grandes deficiências.

Foi, entretanto, nossa preocupação dar rigor e clareza a todos os assuntos, modificando por vezes, a exposição dos livros empregados no nosso estudo.

Para que naturalmente, apareçam todas as funções necessárias para a resolução das equações, empregamos o método de indução seguido por Volterra, isto é, o método da passagem ao limite, ou da passagem do finito ao infinito.

É és/e método, de largas aplicações, que dá origem á Análise funcional em cujo campo as equações integrais teem o seu lugar,

embora o seu estudo possa ser feito com os elementos que a Análise ordinária nos fornece.

É dentro do campo da Análise ordinária, que vamos apresentar a nossa dissertação.

1) Definições. — As equações funcionais, em que as funções desconhecidas aparecem sob o sinal de integral, denominam-se

equações integrais.

Consideremos equações integrais, em que apenas existe uma função desconhecida.

Se a função desconhecida não entra na equação senão no 1.° grau, a equação integral diz-se linear.

Uma equação integral linear denomina-se de l.a espécie, se tem

a forma:

O a

Uma equação integral linear denomina-se de 2." espécie, se é da forma:

<f(.v) = „(.v)+). f K{x,Z)u(Z)dt v a

u(x) é a função desconhecida, y(x) e K(x, £) funções dadas, e X um parâmetro.

A função A^(.v, cj) chama-se núcleo.

Se ambos os limites (a, b) são constantes, as equações dizem-se do tipo de Fredholtn; se, pelo menos, um dos limites, é variável, as equações dizem-se do tipo de Voltcrra.

CAPÍTULO I

EQUAÇÃO DE VOLTERRA DE 2 / ESPÉCIE. SUA RESOLUÇÃO

1) Consideremos a equação de Volterra de 2." espécie, quando apenas é variável o limite superior do integral:

(1)

f

( * ) - « ( * ) + / * * ( *

S)«(é)<«.

Representamos por u(x) a função desconhecida, por z(x)

e K(x, Í ) duas funções dadas, continuas no triângulo limitado pelas rectas •; = o, z = x, x = b, e de modo que, designando por M um

número finito positivo I K(x, £) I <M.

Supomos o parâmetro >. = 1, mas o que se segue, verifica-se

para qualquer valor de X.

2) Método de indução. — Tomemos a equação funcional:

u

(2) <p (*) = «(*)

+ 2

*U £/)«($/) A/,

< = !

que se obtém dividindo o intervalo (o, x) em n intervalos, de ampli-tude In, e em que £,• representa um valor de Sj do intervalo corres-pondente a

hi-Podemos considerar a equação (1), como o caso limite da

equa-ção algébrica (2), quando o número de incógnitas u(x), «(£1),

«(£.,)... cresce indefinidamente. A resolução da equação (2), depende da resolução do sistema:

s - [

(3) <p(Ç«) = «(5*) + Yi KCis,-i)i>(li)IH [s= I. 2... ,/].

/ = 1

Vamos procurar obter também a solução de (1), partindo da solução do mesmo sistema, e empregando o método da passagem

ao limite, para n = <x>.

Mais explicitamente, podemos escrever:

/?(Si)=«(Si)

«p(S8) = «(Ç8J + ^(e8.Sa)«(Çi)Ai = û8i«(Si) + «(Ça) <p (S3) = " (Ss) + *(ss. si) " (si) »1 + /f (5s,Ss) » (sa) /'2 = (3)< = Û 3 1 " ( S 1 ) + Û 3 2 " ( £ 2 ) + "(S3) •f(S„) = "(în) + ^(cn,Si)«(si)/-:+-.+^(^,^.,)//(5,,.,)//,,-^ = « „ | « (îl) + «„2 " (CS.) + ••• + a„,n - 1 " (Sn - I ) + « (ï„ ) pondo: «,/=*(£*,£/) A/. O determinante do sistema é: A = 1 0 0 . 0 «21 1 0 . 0 « 3 1 «32 1 . 0 " « 1 « « 2 "ni •• 1

O valor das incógnitas tf (Ss) I

[s­l,2 . . . n ] é:

«(£,) =

Desenvolvendo este determinante, em ordem aos elementos da última coluna, resulta:

s - l

(4) «(6.) —T­(6i) + 2

c

ii*(W­

designando por Í:S, o menor que se deriva do último determinante, suprimindo a coluna de ordem s e a linha de ordem i, isto é, o

determinante seguinte: 1 0 0 .. 0 0 0 . . . 0 "21 1 0 . . 0 0 0 . . . 0

e.H­lJH­*

" i ­ l 1a/ ­ ,2 a/—1,3 • .. 1 0 0 . . . 0 B/+l, 1 °/+ , 2f l/ + l , 3 • ..a + !,'' ­\ai­\­ .,■ I ... 0 «Sl "s 2 " s 3 » » • « # , / ­ ! "í< ° » , / + l ", a# . « ­ I

: ( - l ) t + -"/+!,<' ' 0/+2,/ 0/+2,/+1 I .. 0 .. 0 asi "s,i+\ as,i+2 ••• as, s-\

Vemos que csi são polinómios do grau s — i, relativamente

aos a a. Para se efectuar a passagem ao limite, convém ex-primir csl- por meio duma soma de polinómios homogéneos do

1.°, 2.° . . . (s — i) graus, relativamente aos mesmos aa. Resolva-mos o último determinante, em ordem aos elementos da-última linha: cs < = — asi + "s, /+1 fl/+1, i — as, 1+2 "i+\,i ' ai+2,i 0/+2,(+1

+ ...+

+ ( - | ) s - /

a _{s, s — I} OU (5) 0 / + i , / I O °/ + 2,i 0/ + 2,/+1 ' as-\,i "s-l, /+l °Î— I./+2 i - 1 r=/+l ' s - l , s - 2

Designemos por fl,),a^{ . . . fl,'-'1 os polinómios homo-géneos do 1.°, 2.° . . . (s — i) graus relativamente aos aa,

corres-pondentes a cs/, e por a{}] , a\\ . . . Û J . '-' ' os polinómios homo-géneos que correspondem a cri.

Temos:

7

Atendendo a (5), podemos escrever:

a

c)

+B

w

+ .

.

.

+

„(»­')

=

_

tt

_ y

B

„ < ; ;

_

s < ' s / ' ' st s' CJ

,­ = /+1

V (2) V (*­'­'>

/­=/+1 /­=/+1

Desta identidade, resultam as relações seguintes, que são fór­ ínulas de recorrência para o cálculo dos a s ] :

• ! ! ­ ■ ­ M

«<

2

'.=-y«

«<;>

s/ £j sr ri /•=/ + 1 s - l (3) V (2) a . = — >_{s/ £j sr} a a _ri . r=i+l s—l ­ í ­ l ] /■=/+!

E, destas fórmulas, deduz­se também a fórmula de recorrên­ cia, mais geral:

Ponhamos:

As fórmulas (7), (6), (5) e (4) tomam a forma seguinte: s —I

(8) KO')(lSiii)=YiK(k)^s;rr)KV'-k)^rli),lr [A=| ...-(A-!))

/•=/+1 (9) (10)

S(M/)=£*W(S,,Ç/)

y = i i - i 5 ( ^ ^ ) + ^ ( ^ ^ ) = - ^ ^ ( = , , ^ ) 5 ( = ^ , ) ^ /•=/+1 s - l (11

_{) " ( î ^ ï l U + ^ ^ c / l ' i U / ) " , - .}

i = l

O conjunto destas fórmulas resolve completamente o sis-tema (3).

Façamos crescer n indefinidamente, ao mesmo tempo que os h b

tendem para zero, de modo que qs tenda para x.

As fórmulas que acabamos de escrever, transformam-se nas seguintes, para n = oo:

• 13) s'(*,Ê) = T KU)(X,C)

J = «

(14.) S(x,i) +

KU^)^-j'"K(x,z)S(z,i)

l

iz .

(15) «(*) = ?(*)+ r*SUe)<p(Ç)d£. S/ 0

O conjunto destas formulas resolve a equação de Volterra proposta, se fôr legítima a passagem ao limite operada.

Para provar essa legitimidade, basta demonstrar:

1.° Podemos determinar funções K(J)(x,z), finitas e

contí-nuas, que satisfaçam à fórmula de recorrência (12) e tais que a série V KU)(x,^) seja uniformemente convergente no campo

defi-nido. É o Principio da convergência.

2.° A soma desta série S (x, £), satisfaz à fórmula (14) —

Principio cia reciprocidade.

3.° A fórmula (15) determina uma função contínua, solução única di equação (1) —Princípio da inversão.

São estes três princípios que vamos estabelecer.

3) Princípio da convergência. — Consideremos as seguintes funções, denominadas núcleos iterados:

AMD (.v,e) = _ A ' ( . v , f )

A-12) (A )j ) = _ f AAC(.v,2)A'0> (z,£) di

(16) K(3) (*;ej = - J * * / C ( J C , Í ) K < 2 ) (z,=)rfz

Todas estas funções são limitadas e contínuas.

Os núcleos iterados satisfazem d fórmula de recorrência (12).

Com efeito, esta fórmula é evidentemente satisfeita, paray'=2. Para mostrar que se dá o mesmo, qualquer que seja o grau ■de iteração, basta verificar que, supondo a fórmula verdadeira

para o grau n, ela também o é para o grau n + \. Ora, temos:

AM") (*,£)= f K(*)(jr,*)/C<"^*)(*,S)<fc [«»1,­2 ... {n—i)].

Portanto, é:

K ("+') (.v,í) = ­ Ç K(x,z)dz(\ K(*)(z,*i) /v'(«­*)(z1,;)(/íl.

O segundo membro é um integral duplo, referido à área do triângulo, limitado pelas rectas zX = Í, Z = X, zt = z, compreendido

no triângulo inicialmente considerado.

Invertendo a ordem das integrações (fórmula de Diriclilet), resulta:

A'(" + D(.v,;) = ­ P*/C<"­*>'(*1, ÊM'1 V K(x,z)K^)(z,zi)(lz =

— //*<*+■)(*,*)K(»­*M«,S)<fc [« = 0,1,2... (n—1)].

E, também podemos escrever:

A'(«+D(.v, : ) = f Kl*)(x,z) A'(« • >­/.)(*,:) ,/z [ * = 1 . 2 . . . n],

11

A série (13) é uniformemente convergente.

Partimos da hipótese de que o núcleo K(x, £) é uma função continua, com limite superior Aí,

Temos portanto:

I K< ">{*,£) | <M

I À - < 2 ) ( . v , t ) | < / l !2' ^

\KÙi{x,i)'\ < ^

;H T - Z

Os módulos dos termos da série (13) são, a partir do pri-meiro, inferiores aos da série uniformemente convergente:

,,1,+,,^

+

, , ^ ^

+

... + ^ ^ + . . ^

=

^ ^ . - = )

A série (13) é pois, uma série de termos contínuos, uniforme-mente convergente.

A sua soma S(x, Sj) é uma Junção continua, denominada núcleo resolvente da equação integral de Volterra de 2." espécie.

4) Princípio da reciprocidade.

A função S(x,l) satisfaz à fórmula (14).

Designemos por R„ o resto da série (13). Temos:

Podemos escrever, como consequência da fórmula (12) e da convergência uniforme da série:

K»=f,

Kl*){x,z)

Y *«-»)(*,£)& =

= P ^(«)(.r,í)S(í,q)rfí= f S(x,2)/C(")(2,g)<b.

Pondo n = l , vem a fórmula:

(14) S (.v, t) -|- A' (.v, f) = -JX K (X, z)S{z, Ç) <b =

= —Ç S(x,z)K(z,f),lz.

Para bem justificar o nome de principio cie reciprocidade, dado ao princípio que a fórmula (14) representa, vamos estabelecer, baseando-nos nessa fórmula, o seguinte:

Conhecida a /unção K(x,z), podemos determinar, como vimos, por quadraturas a função S(x, ç).

Reciprocamente, conhecida a função S(x,z ), podemos determinar, do mesmo modo, K ( X, ; ).

Ou, por outras palavras:

Se uma função continua S ( x, \ ) é o núcleo resolvente da equa-ção (1), a funequa-ção K(x, c|) é o núcleo resolvente da seguinte equaequa-ção de Volterra:

(i7) u (A) = *(*) +fA s u s ) » m</«.

•J o

13

Com efeito, consideremos as funções, núcleos iterados, relati-vamente a S (x, :;):

S ( D = — S(.v,:)

S(2) = — P*S(x,*j S <:')(*,£)<**

s</)=—

r'sfjt.ijsw-nuç)

</Z

Em virtude do princípio da convergência, a função:

r(.v,:) = £ S(y')(.v,:)

/ = i

é finita e contínua.

Vamos demonstrar que é:

7-(.v,:) = * ( * , £ ) . Com efeito, temos segundo a fórmula (14):

(18) r'(*,Ç) +S{x,t) = -£"s(x,z)T(z,l)dx =

= -j'X T(.x,z)S(z,f)dz.

e K{x, £). Vem, subtraindo membro a membro as igualdades (18) e (14):

T(x,Í)­K(x,\)­9{x,Í)=z­Ç

X

S(x,z)c(x,Í)dz

=

•J ; = P S (x, z) dlj S(zlzl)3{zul)dz1= ... =■■ = ±rs(x,z)dzj'Zi.S(z,z1),lz1...j''H­2S(z,l_2>zn_^^zll_i,l)'lzn_u

Ora, S(x, Í ) é uma função limitada, o mesmo acontecendo a T(x, £) e portanto a ?(x, £).

Suponhamos no campo considerado:

| S ( - v , : ) l < ' V | 3(.v,--) | < " '

A' e m sendo dois números finitos, convenientemente determina­ dos. Temos:

, V » | i ­ t ) «

| g ( « 6 ) l < » „! •

Esta desigualdade deve verificar­se para qualquer valor de «. Mas, ^"^'"T'— é o termo geral da série, cuja soma é a exponen­ cial eN(x~ 6), e, portanto: lim. /n S—r-s*- = tf. « ! n = oo Temos pois: 0( . v , f ) = 0 ou A'(.r, ?) = r ( . v , f ) ,

15

5) Princípio da inversão. — Mostremos que a inversão da equação integral proposta, conduz à equação:

«(.r) = » ( * ) + ÇXS(x,Z)<í (?)</£ [fórmula (15)].

•J o

Multipliquemos ambos os membros da equação (1) por

S(z,x)dx e integremo-los entre os limites (o,z). Temos:

P <p (A) S (Z, X) dx = P u (A) S(Z,X) dx +

+f"s [z, x) dxj" K(x, S) u (£) rfÇ.

Aplicando a fórmula de Dirichlet e atendendo a (14), vem:

J" ' O ( A" ) S ( Z, X ) dX = J ' ' U ( A' ) S ( Z, X ) dX +J ' «(g) rfg J ' K ( A, g ) S ( *, A ) ,/.*

ou

J " «p (A-) S (z, x) dx =j"„ (x)S(z, x) dx -j" a (Ç) [S (*,£J + K(z,ç)] rfg

ou, atendendo à equação (1):

« ( * ) — <í(z)=\ S(z,x)*(x) dx 'J o

• z

ou ainda:

' ' ( 0 = ?(v)-!-J'Js(v,E)-f(E)^

Do mesmo modo, dada a equação (17), onde-<f (x) é a função desconhecida, a inversão desta equação conduz-nos à fórmula:

(x)

=

u(.x)+f^K(

X

,l)"(-J«'z.

A solução (15), finita e contínua, da equação proposta, é única.

Com efeito, suponhamos que existem duas soluções finitas e contínuas Ui(x) e u.,(x).

É finita e contínua a diferença: "a(*) — "iU) = MO-Temos:

V O

A diferença entre as duas soluções de (1) deve ser uma solu-ção finita e contínua da equasolu-ção homogénea (19).

Mostremos que esta solução não pode ser diferente de zero. Vem:

u. (jt) = ± ÇX K (x,£) dZ Ç K(i, z) úz ("K (z, ZÍ) úzx ...

J o <J O •' O

Seja m um limite superior de I \L(X) I .

Para qualquer valor de n:

Mn x"

17

Concluímos pois:

As fórmulas (12), (13), (14) e (15) conduzem-nos à solução única, .finita e contínua, da proposta equação de Volterra de 2." espécie.

6) Método das aproximações sucessivas.—Consideremos ainda a equação de Volterra de 2." espécie:

(20) n (.v) = 9 (.v) - ï.f*aK(x,%) u (£) rf£.

As funções que entram nesta equação, continuam a satisfazer às condições estabelecidas anteriormente, X é um parâmetro real ou complexo.

Procuremos satisfazer formalmente à equação proposta, su-pondo u (x) a soma duma série ordenada, segundo as potências inteiras e positivas de X.

(21) « (.v) = u0 {.x)+Xuj. (x) + > .2«2 (.v) + . . . +lnun (x) + . . .

Isto equivale a tomar em sucessivas aproximações, para valor de u(x), o primeiro termo da série, a soma dos dois primeiros termos, etc.

Determinemos, seguindo este raciocínio, as funções «, (x). Temos: Numa 1." aproximação: u(x)*=uQ{x)=.<p (*). Numa 2." aproximação: «(*)== "<>(*) +X«i(*) e 2

Numa 3.a aproximação:

«(.v) = «0(.v)+).«1(.v)+X2«2(.v)

•i(*)-f**

w

(*6)?(6)«.

t / 0

Assim, a série (21), escreve-se:

(22) « (.v) = ? (*) + X f * X <»> (.V, s) ? (!) dl + V 0

+ X2 CXRW (x, f ) Ç (Ç) </£+ . . . + X" f'V A-<") (x, I) <f (£) « + . . .

Formemos ainda a série:

(23) S (.(,t; X) = A ' " > (.v,f) + * A'<2) U 5) + • • • +

+ X " - ' A ' < " » ( . Ï , S ) + . . .

É uma série de termos contínuos, uniformemente conver-gente, como se pode verificar, seguindo o caminho estabelecido no parag. 3.°, para qualquer valor de /., de módulo finito.

Define uma função contínua S(x, £;X), núcleo resolvente da

equação (20). Temos pois:

19

Esta fórmula determina a única solução finita e continua da equação de Volterra (20).

Para demonstrar esta proposição, não temos mais que seguir os raciocínios dos parágs. 4.° e 5.°.

São satisfeitos os princípios da convergência, reciprocidade e inversão.

Notemos que o desenvolvimento em série (22), da solução finita e contínua da equação (20), é precisamente o desenvolvi-mento de Mac-Laurin:

(25) « (X,.v) = n lo,x)-j-\u(o,x)+j-,it" (o,x) -\-...

É fácil verificar as igualdades:

«• («.xj^'x^U.gJf

(E)<

li" (o, x) = 2 ! Ç K<2> (x, i) <p d) dl

A solução da equação (20) é, para cada valor de x, uma função

holouwrfa de X.

Do mesmo modo, é uma função holomorfa de "k o núcleo resolvente S(x,

S|;X)-Supondo, em (20) \ I, temos a solução obtida anterior-mente.

7) Equação de Volteira de 2.a espécie, com funções de duas variáveis. —Seja a equação de Volterra de 2." espécie:

(26) <t(x,y) = u{x,j/)+'kÇ Ç ff(jt,.j>;g,i))a(ë.i))dgtfi}'

O o O o

Supomos que, no campo:

o < £ < -t < a , o <t\<y <i>

/((*,;>; £,r() e <?(x,y) são funções contínuas dadas, e u(x,y) uma

função desconhecida. O limite superior de I/C(x,^;S,r,) I é um número finito M, e X representa um parâmetro real ou complexo.

A equação (26) admite uma solução única, para cada valor de X, limitada e continua, dada pela fórmula:

(27) u (x,y) - <? (x,y) + kÇ* Ç S(x,y;l,H | X) <p (£, rj) d£rfí).

S(jt,j;;c;,r( I X) continua a denominar-se «wcteo resolvente da

equação.

Os núcleos iterados são as funções contínuas:

21

Princípio da convergência:

Os núcleos iterados satisfazem à fórmula de recorrência:

KkHHx,y;^)=jX^K(kHx,y;z,t)l6h­k)(x,t;%,­i\)dzát [*=­1,2...(/,­1)].

A série:

K(,)(*. j;fci|)+*K(,,(*.P.­& í) + > ...+ *.""' Kwl*,JHÍH) + ­ •• é uniformemente convergente, para qualquer valor de X. Define a função contínua:

s

(*,M.i l '■) = £ ^

- 1

x

U)

(JW;M)-y=i

Para fazer as demonstrações, não temos mais que seguir o caminho anteriormente indicado.

Principio da reciprocidade:

Esta função satisfaz às equações funcionais:

= — x T P" S(x,y:z,t\'i­)K(z,t;t,­t\)dzdl =

Princípio da inversão:

Para verificar que a função definida por (27), satisfaz à equa-ção proposta, multipliquemos ambos os membros desta equaequa-ção por S(z,t;x,y\'t.)dxdy e integremo-los, relativamente à área do rectângulo limitado pelas rectas:

í x = o í y = o

\ x = z Í 0 < * < « J (j> = í [o<l<b].

Temos:

f Ç S(z, t;x,y | X) o (x,y) dx dy =

= Ç Ç H ( v,y ) S (z,t; x,y | >.) dx dy

-j-+ >. Ç* Ç dxdy f" í'} S(z,í;x,y\l)K(x,y;lrl)u{Z,y\)dZdr, O o O o Vovó

Invertendo a ordem das integrações, vem:

'/. Ç* dx f dy (X 4 Ç1 «| I S (z, t;x,y | >.) £(«//&*) « (ÊVT})1 =

t / 0 t / o e/o e/o L J

= \ Ç"dx f V ; Ç dy F du I S(z,/;x,y | ).) ...1 = e/o e/o e/o e/o L

= *J*J<*/**rf.v/

o

'«ftjj*

*

[ S(2,

/,-.v,^ |

).)...] =

Ï3 Ou, fazendo as substituições:

SI S'"'

"

(

"'

r

'

)

K

(

*'

y

'' "'

7

'

' "''

dr

'

=

= ­ J * * f o S (x,y; :, r, | X) <p (£, r, ) «g rfij,

Daqui resulta a formula (27), que pretendíamos verificar.

Para demonstrar que a solução finita e contínua dada por (27)

é única, basta seguir o caminho já nosso conhecido.

8) Equação com uma forma mais geral. — Consideremos ainda a seguinte equação de Volterra, onde, para abreviar, supomos X = 1 :

<28) <? (.x,y) = u (x,y) +f* Ki (.v,j,,P) «(&>) dg +

+J Kg (*,.!',• Kj) « (V, Y)) dí] +

+ fA f'1 A'Kl'.■S.r1)«(g1 íl)dgdl).

e/ o t/ o

Podemos reduzir a resolução desta equação, à resolução de equa­ ções já estudadas, desde que as funções satisfaçam a todas as con­ dições, que sempre temos estabelecido.

Com efeito, ponhamos:

<29) T(x,y) = *(x,y)—\ K%(x,­y;i\).u{x,i)dn —

A última equação escreve-se:

(30) T(x,y)=u(x,y) + ÇXKi(x,y;Z)u(í,y)cll

V o

Se nesta equação, consideramos y como um parâmetro, temos:

" (x,y) = T(x,y)+ Ç'lS(x,y,Z)T(ly)dZ,

O o

sendo S(x,y;Z) uma função conhecida.

Substituamos T pela sua expressão (29). Vem uma equação* com a forma:

" (*,y ) = ?1 (*/>) —f A'2 (x,y; í] ) « (,v, r, ) dr, +

em que só é desconhecida a função «( *,>»). Escrevamos esta equação com a forma:

(31 ) « (x,y) = l'(x,^) -J""1 A'2 (x.yrrju (*,T))<ftj.

Consideremos .v como um parâmetro:

«r(*,» = Í'(v)+/J'0(x»-»''l) ^ 1 ) ^

25

Substituamos ainda V pela sua expressão. Vem a equação também já estudada:

(32) u(x,y)= <j- (x,y)-Ç* C* H(x,y;l*))o(S,r))rfS <A].

Assim, vimos que a resolução da equação proposta se reduz

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE VOLTERRA DE 1/ ESPÉCIE

1) Esta equação é da forma:

(I) 'f(-v)=J\-(.v,;)'<r:K;.

Comecemos por notar que K(x, £) e cf>(*) não podem ser funções contínuas no campo o<c,<x<b, dadas arbitrariamente, como acontecia com a equação de 2." espécie. Com efeito, supo-nhamos que pretendemos achar as soluções finitas e contínuas de (1), quando K(x, q) e 'f(x) são funções contínuas dadas.

A uma 2.° condição deve satisfazer <?(x), que é: 'f ( o ) = o.

Suponhamos que /<.(x,z) admite a derivada contínua T—;

-f (.v) também deve ter derivada contínua.

Além disso, é indispensável que procuremos apenas soluções finitas e contínuas, para que o problema da resolução da equa-ção (1) seja determinado. Para o verificar, basta considerar a mais simples das equações daquela forma, obtida pondo K(x, £) = 1, isto é, a equação:

28

O número de determinações para a função u(£) é infinito,

se apenas impomos as condições dela ser limitada e integrável. Para o reconhecer, basta notar que o valor de um integral definido não muda, se alteramos o valor da função a integrar num número limitado ou ilimitado de pontos do intervalo de integração,

contanto que estes possam encerrar-se num número finito de inter-valos, cuja soma seja inferior a um número Í, por mais pequeno que seja.

Suponhamos pois, que procuramos uma solução limitada e contínua de (1), quando no domínio o<z<x<b se realizam as condições:

1.» K ( x, S ) e, portanto, cp ( x ) são finitas e continuas, e<?(o) = o. 2." K(x, ç) e, portanto, <p (x) admitem derivadas finitas e conti-nuas em ordem a x.

2) Método de indução. —A equação (1) pode considerar-se, como a equação de 2." espécie, o caso limite para « = oo duma equação funcional:

n

<p(*-)=£

*('*J«)«(6/)A/.

Para seguir o método de indução, devemos começar por

resolver o sistema: s ?(?,) = 2 K(e.»S|)*«|)A| [»=1.2 . . . « ! . í = l O determinante do sistema é: A= I f AC(Ê„S,)A,. 1 I

Portanto, para este ter solução finita e determinada, a função

K(x, c.) deve satisfazer a uma nova condição: K(x,x) \-0.

Como veremos, esta condição nem sempre é indispensável,

para que (1) admita solução. Por isso, deixemos o método de indução. Aproveitemos trabalho já realizado, reduzindo a resolução

da equação de 1." espécie, à resolução duma equação de 2." espécie. 3) Derivando, em ordem a x, ambos os membros de (1), resulta a equação:

(2) <?>(x) = K(X,x)u(x)+C ^ l M l „ (fjr f:

OU

*J o

Qualquer solução de (1) satisfaz a (2) e reciprocamente. Na verdade, para uma função u (x), que satisfaça a (2), ambos os membros de (1) teem a mesma derivada e, portanto, não podem diferir senão duma constante. Esta é nula, porque ambos os mem-bros se anulam, para x = o.

Assim, podemos enunciar o teorema:

No intervalo (o,li), compreendido em (o,b), em que K(x,x) não é nula, a solução da equação (1) obtem-se, procurando a solução da

ax(*,6)

equação de Volterra de 2." espécie (2'), cujo núcleo é òx A

equa-K(x,x)

ção (1) tem uma única solução finita e contínua.

Suponhamos K(o,o) — o e K{x,x) identicamente nula, em todo o intervalo de integração, e cp'(0) = 0.

30

Derivando ambos os membros de (1), em ordem a x, vem:

W^'!#(Í)Í.

Se /v(.v, Ej) e, portanto, tp (.v) admitem derivadas segundas, fini-tas e contínuas, em ordem a x, temos:

(3) f"(*) = 2%2)«(*J

-J^»'

No intervalo (o,k), compreendido em (o,b), no qual se não

anula a derivada — r ^ > a solução de (1) obtem-se, achando a

solu-ção da equasolu-ção de 2." espécie (3).

Mais geralmente: Se K(o,o) = o e K(x,x) é identicamente nula, assim como as suas derivadas até h ordem / ) - 2 , e se a

derivada de ordem /; é contínua:

No intervalo (o,h), compreendido em (o,b) em que se não anula

ftP— * Kl x \\

a derivada _"'" ;, se !p(/;-"(o)=o, a solução finita e contínua

de (1) obtem-se, procurando a solução da equação de Volterra de

2." espécie:

(4)

,^

{X)=

^M^L)

UÍX)+

r-sgdUtò*

É claro, o método deixa de ser aplicável no caso K(o,o) = o, sem que K(x,x) seja identicamente nula.

Se a equação K(x,x) = o admite, no intervalo (o,b), um

número finito de raízes x1 x2 ... x„, que supomos ordenadas por

ordem crescente, podemos, pela aplicação do método anterior, deter-minar a função contínua u(x), para valores de x compreendidos entre o e xx\ mas não podemos fazer essa determinação para

valo-res de .v maiores que xv

4) Suponhamos que a derivada — ^ - ^ seja finita e con-tínua.

Uma integração, por partes, também nos permite transformar a equação (1) numa equação de 2." espécie.

Com efeito, ponhamos:

Vem:

As conclusões a tirar são as já expostas.

A equação (5) determina a função 0(x), nula para x = o, cuja

derivada é «(A).

5) Equação de Volterra de 1.» espécie, com funções de duas variáveis.— Suponhamos a equação:

(6) v(x,y)=Ç' ÇyK(x,y;t,7i)u(t,n)cHdti. •J O 'J o

Façamos as seguintes hipóteses:

qual-32

<\uer das variáveis toma o valor o, que admite as derivadas con-des dia t)2(5

tinuas ^ , jX, ^ - ^ no campo: p < * < a

2." AT(JC,^;Í, YJ) é uma função contínua dada, admitindo as

ÔK òK ÒÍK

derivadas continuas: T - . - S - , -3—3- no campo: o<t<x<a

ox ' òy ' oxdy r — — —

Procuremos as soluções finitas e contínuas de (6).

Não temos mais que seguir um caminho análogo ao seguido

anteriormente.

No domínio, que se compreende no anteriormente definido,

o<x<h, o<y<k, em que K(x,y;x,y) se não anula, a resolução da equação proposta, reduz-se à da equação de 2." espécie:

<)2<f

óxdy

=

K(x,y;x,y)u

(x,y)+Ç

d

Jíi^M>

„ (g,,) $

+

ò

K(x,y;x,r))

Ç òK(x,y;. - ) dy *J o

+f f

S2

e£

3

v»

,

».

ít

*

que estudamos.

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE FREDHOLM

1) A equação de Fredholm tem a forma:

<l) <P(.v) = «(.v)+xf*/C(.Y,ç)„(£K.

v a

K(x, £) e tp(jr) são funções conhecidas, finitas e contínuas,

no domínio D do rectângulo limitado pelas rectas x = a, x = b, £ = a, £ = b; u(x) é uma função desconhecida, e X um parâmetro

real ou complexo. Supomos que o limite superior de I K{x, £) I é Aí, e que b>a.

Estamos em presença duma equação integral a limites fixos. E esta equação é mais geral, que a equação de Volterra:

<p(*)

= «(*) +

x f \ ( * , 0 « ( S K .

w a

porque nesta última, o domínio em que se consideram as funções é o do triângulo limitado pelas rectas x = a, x = b, Ç = * Podemos considerar a equação de Volterra de 2." espécie, como um caso particular da de Fredholm, que se obtém, quando é K(x, £) = o,

para valores de £ > * .

É natural, que se procure resolver a equação (1), seguindo um 3

34

caminho análogo àquele que seguimos para a resolução da equa­ ção de Volterra.

É de prever, porém, que surjam singularidades, em conse­ quência da maior extensão do campo das funções.

2) Método das aproximações sucessivas. — Procuremos uma solução finita e contínua de (1), começando por aplicar o método das aproximações sucessivas.

Para isso, suponhamos essa solução susceptível dum desen­ volvimento em série, ordenada segundo as potências inteiras e positivas de \.

Temos:

(2) „(.v) = «0(.v) + >.«1(.v) + ).2«2(.v)­í­...+X"«„(.v)+... Calculemos os termos desta série, segundo o raciocínio ex­ posto, a propósito da equação de Volterra de 2." espécie.

Numa 1." aproximação é: " ( * ) = «<> ( * ) = <?(*)■ Numa 2." aproximação é: « (v) = "<,(*) + >•" |(V) e „|(x)=f\("(.v/?)<p(t)rff. O a Numa 3." aproximação é:

«(*) = «„(*)

.+ \u

l

(x)fk

2

u

2

{x)

e

*»(*)= fV

a,

(*,e)<p«) «?•

Usamos a notação já conhecida KU){x, ç), para representar

as funções denominadas núcleos iterados, que são definidas pelas fórmulas:

K( , ) (*,£) = - * ( * , 5)

Numa aproximação de ordem n, temos:

n — I

Se « cresce indefinidamente, vem a série de termos contínuos, que corresponde a (2):

(3) u(x) = <f(x) + \£a Kll>(x,t)<f(Z)dZ+

+ X2 f V 2 > (*,£)<? ( S K + . . . + ^ f A"^(.v,a)?(S)</£+...

Esta série definirá uma função continua que satisfaça a (1)?

A resposta a esta pregunta contem-se nos três princípios fundamentais, que passamos a expor.

36

3) Princípio da convergência. — Os núcleos iterados satisfazem à fórmula de recorrência:

(4) jr<*>(x,e)= ÇbKW(x,z)K<k-kHz.Z)dz [*=l,2 ... (*—l)].

Dispensamo-nos de fazer a demonstração, porque basta repe-tir o raciocínio seguido, a propósito da resolução da equação de Volterra de 2.° espécie.

A série (3) é uniformemente convergente, no interior dum círculo de centro na origem e raio igual a M,b_ay isto é> Para valores

de X, tais que seja I X I < Mib_a\ •

Com efeito, suponhamos que F(x) seja uma função

domi-nante (l), com relação a <p(jc), no domínio D. Se à resolução da equação:

(5) U(x) = F{x) + \ \ MU{t)dt _{') a}

aplicamos o método que estamos seguindo com relação à equação proposta, achamos o seguinte desenvolvimento em série:

(6) U0(x) + lUl(x)+lZU2(x) +

Os termos desta série, como se vê facilmente, são dominan-tes com relação aos termos da série (3). Mas, a equação (5)

(1) Oiz-se que uma função F(x), da variável real x, 6 dominante para uma outra função <p(.v), num intervalo (o, 6), quando /-(.v) 6 positiva e superior nc valor absoluto de tp (v), paru todo p valor de x do intervalo.

admite uma solução da forma U(x) = F(x) + C, em que a cons­ tante se determina directamente, fazendo as substituições:

1— \M(b — a) A solução de (5): » T MF{Í)dZ *J a U(x) = F(x) + \—lM(b — a)

é, para cada valor de x, uma Junção meromorfa de \.

No interior do círculo de centro na origem e raio—7­ ;, Uix)

0 M (b — a)

é susceptível de se desenvolver em série ordenada, segundo as

potências inteiras e positivas de X, isto é, esta função é definida por (6), que é uma série uniformemente convergente no campo D.

Se é I >• I < TTTT r, também a série (3) é uniformemente

M (b — a) y '

convergente, e define, portanto, uma função contínua u(x;\). Podemos ainda na equação de Fredholm, considerar uma fun­ ção denominada núcleo rcsolvente, que desempenha o mesmo papel do núcleo resolvente da equação de Volterra. Com efeito, consi­ deremos a série:

(7) A'(1 » (.v, g) + X A'<2> (.v, g) + . . . ­ j ­ V­' K(J"> (■*, Ç) + .. .,

cujos termos se calculam à custa da fórmula de recorrência (4). Temos:

| A ­( 1 )( . v , Ê ) | < M

| A '( 2 )( . v , E ) l < M2( f t ­ « )

38

A série:

Aï [l -f- | ). \M (b — a) + | X | 2 AI2 (b - a)2 + ...]

é convergente para todo o valor de X, de modo que seja:

A série (7), de termos contínuos, é uniformemente conver-gente no domínio D, para valores de X que satisfaçam à última condição, que é a mesma que foi estabelecida para a conver-gência uniforme de (3).

A série (7) define pois, no mesmo campo, uma função

S(x, S;"x) finita e contínua.

E, temos:

(8) u{x)^4{x)4-xJ**S UCiX)f(Ç) rfg.

À função S (x,ç;l) chamamos resolvente, ou núcleo résolvante da equação (1).

Não esqueçamos, entretanto, que o raio de convergência das séries que aqui nos aparecem, é finito, contrariamente ao que

sucede na equação de Volterra.

4) Princípio da reciprocidade. — As fórmulas que resumem este

princípio:

K(x,t)+ S (x, f ; X) = — X J K(x, z) S (z, g; X) dz

r"

K(*,t)+S(x,t;\) = — \\ K(z,t)S(x,z;\)<fz são verdadeiras, como facilmente se verifica.

5) Princípio da inversão.—/! função definida por (8) ou (3) è a solução única, finita e contínua, da equação de Fredholm, dentro da hipótese | X | <M(b_a)

-Façamos a inversão da equação. Se multiplicamos ambos os membros de (1) por S(z,x;K)dx, e os integramos entre os limi-tes (a,b), resulta:

U (A) S(z,x;l) dx= I <?(x)S.(z, x; I.) dx — a va -\Ç S (z, x;\) dx Ç " K(x,í) « (S) dg. v a va OU Ç u(x) S{z,x;l) dx = Ç y(x)S(z,x;l)dx — va va — Ç_{va va} "Ci)tlí.lÇ K(x,Z)S(z,x;l)dx, ou ainda, atendendo a (9):

-

f * " ( Ç ) * U e K =

Ç"

f (S) S

(x,Z;

).)</;•

va va

Fazendo as substituições em (1), resulta:

« ( 0 = <? (A) + l§* S U g;>.)? (g) dg,

como desejávamos provar.

Mostremos que a solução é única:

40

finita e contínua, ty(x) = u1(x) — u2(x), deveria satisfazer à equa-ção homogénea:

í-(JC) = - > . J ** ff (*,?)*(5) «£.

Esta equação, porém, apenas admite a solução ^(x) = or

como facilmente se verifica, pelo raciocínio seguido para chegar à mesma consequência, na equação de Volterra, atendendo a

qU e é'X | <A Í ( * ' a )

-Está resolvida a equação de Hredholm, mas apenas

parcial-mente, porque a fórmula (8), se o núcleo K(x, £) é uma função contínua qualquer, só nos dá a solução de (1), para valores do parâmetro, que obedeçam à condição | X | < ..

Porém, há núcleos para os quais a fórmula (8) dá a solução da equação, qualquer que seja o valor de \. Por exemplo, se o-núcleo é ortogonal de si mesmo, isto é, se /C(2)(JC, £) é

identica-mente nulo, todos os outros núcleos iterados são nulos, e o núcleo resolvente é —K{x, £), qualquer que seja o valor de X.

Passemos a resolver a equação de Fredholm, com maior generalidade.

5) Resolução geral da equação de Fredholm.—Sigamos, em parte, o método da passagem ao limite, fazendo depender a reso-lução da equação (1), da dum sistema de // equações algébricas-lineares a n incógnitas.

A equação (1) pode escrever-se:

?(*)

=

«(*)

+

Mim.

£ K(*,Íi)u(ti)/it,

O sistema a resolver é: *'«,) = « ( 6 . ) + *£ A'(£s,f.)«(£,)/'/ [ 5 = 1 , 2 . . . « ] , ou 1 = 1 «(Si)**(Mi>"j­t­«(6B) [I + *­*(58.Sa)*al + ... + + "(Ï„)>­A:(S2.£,()/'„ = <P(Ç2) u (¾) *.*(£„, Ej) //: + « (£„) X A'(£„ ,S8) ft,+ • ■• +

Este sistema, em que as incógnitas são « ( ís) , tem por deter­ minante:

(10) />().) =

1 + ^ ( ^ , ^ ) / ^ X/c(Sr£2)//2 ... }K(Ívín)h„

XK{tvït)àt I +>­A'(Ç2.e2)A2 ... U(£2,f„)A„

XK^iEj)/'! >^'(£„.S2)»2 ••• l+>­ K (fn,Zn)"n

Notemos a diferença, que existe entre este determinante e aquele, que se obtém para a equação de Volterra de 2." espécie.

42

No caso da equação de Volterra é D= 1, qualquer que seja o valor do parâmetro. Aqui, D é uma função de ')..

O núcleo resolvente da equação de Volterra é uma função holomorfa de k, e nós vamos ver que o núcleo resolvente da equa-ção de Fredholm é uma funequa-ção meromorfa de X.

O determinante (10) é uma função de X, susceptível de se desenvolver em série de Mac-Laurin, pois é um polinómio inteiro em X, do grau n.

\"

D(l) = D0 + >.D0+T]D0+... +-^ Dl (n)

Pela aplicação da regra que nos dá a derivada dum determi-nante, acham-se os coeficientes D0, D0, D'0 . . . Teem as seguintes expressões, atendendo a que são nulos os determinantes, com linhas ou colunas iguais:

D0 =\ D'O - J *( 6 / . 6 / )A * / = I

«t-ZZ

_{/ = i i = i} K (6/,6/) K(6/.6,) *(6,.6/) AT(6„6,') D„ n n n

III

/ = 1 s = l r = l K(6/.6/) M6/,6,) K(6/.6,) £(6,.6/) *(5,.6,) M=s.Sr) £(6,,6/) £(6,.6,) *(=,.?,) Ar A , A/

As incógnitas u ( £,) [s = 1, 2 ... ti], determinar-se-iam pelo

quociente de dois determinantes: u(£s)= s . Mas, nds segui-remos o método de indução, apenas parcialmente, como dissemos.

Temos:

' = I / = 1 s = 1

pondo:

Se n cresce indefinidamente, vem o determinante da equação

de Fredholm, que é a série seguinte:

(ID =(4

=

1+^/^6.1^ + ^ / ^ ( ^ 1 ) ^ ^ +

+...+^^..^(^---^,-^+-6) Derivadas de D (>.). — Como veremos, a série (11) é con-vergente. Formemos a série, cujos termos sáo as derivadas da pri-meira, em ordem a X.

-44

Temos:

v a O a O a v íli ;2/

Veremos que esta série é uniformemente convergente; define

D'(l).

Como é, ainda, uniformemente convergente a série:

a sua soma é uma função contínua D í l \\ J. Podemos pois escrever:

E, do mesmo modo, escrevemos:

^)(^)-(^..-.^0.(^-^1-1)-,^,...4,..

i/ a O a \ * l * 2 • • • x " I /

Designamos por Dl*1** ' ' *" x) uma função das variáveis v yi)'2 "' y * I /

(*/J>/) [ ' = 1,2 ... n] e do parâmetro l, função que é a soma

da série uniformemente convergente:

(12) n(xix*-x"\i) = K ( ^ -x » ) +

+

-^x:-.f>-(;::::;;j;:::t")^-^-7) Princípio da convergência. — As séries (11) e (12) são uni-formemente convergentes, em todo o plano da variável X e, portanto,

são legítimos os raciocínios feitos.

Atendendo a que é I K(x, É) I < M, e aplicando o teorema do

Sr. Hadamard, relativo ao máximo valor dum determinante, pode-mos escrever:

Hy;:;;)|<V^'.

Portanto, os termos da série:

\Jr\X\M{b-a) + ^ 2 2 J>12 ( / , - « ) * - [ - . . . _|_

+ LJÏÏP2 M"(b-a)P+ . . .

46

série é convergente, qualquer que seja o valor de X,, como se vê pela aplicação do critério D'Alembert:

i x i A

1 ( 6

_

a

) y

(i

+ ± y

lim. r ÍLJ­ — 0,

"= 0° V P + I

A série (11), de termos contínuos, é uniformemente conver­ gente, define a função inteira DÇK).

Do mesmo modo se estabelece a convergência absoluta e uni­ forme de (12).

(

.V. .v . . . xn I \

*■ }

y i ­ 2 ■ * ■ y « I

satisfaz às duas equações funcionais seguintes, que traduzem o prin­ cipio: V ^ a ■••yn\ ) 1 x \y2y3­­­yn\ ) +

(­\)>'­>K(*

v

y

n

)D{Y*­

x

;

k ) ­

(13)

o(

x

'

x

^­­

x

''U)

=

K(

Xvyí

)

D

(

x

f^­­

x

;\x)

+ ...

+

1

­\f>wK^;:::;:|ò*

Para verificar a 1." equação, consideremos o termo geral de (12) e desenvolvamos o determinante, segundo os elementos da

1." linha. Vem:

p ! Ja' J(, L( V l ,­y i ) AV /2. . . ^ , 5 ^ ­ ­ ^ ] •'■ +

\ / X •• • /«­1 *1 ••• s/j/J

+

+

íf\.,jr*r(­iw«

11

yz(>:­­^ M*"f)

^'«/'0 J « Lv i, si ' \­>i..­r«­i>«6a• • • 6,y

X"

"a va x ' 1 ­> ffl ­ 1 ­/> /

P I * Ja Ja V ^ i­ ­ ­ ^ n ­ 1 ?i ••• 5/)/

<V

48

Como a série (12) é absoluta e uniformemente convergente, podemos escrever: Li p\J a ,) a \y1y2...yn^1... \p) l " p=\

. ■'«K;::::;;)+

+!^/:­:J;<::::;:t"5;h­"<]

+

­

+

+Y^f\­­rX'

v

*'*

n 6 i

"tk­«/|­

^ Z j p U f l J a \ Í V > « - 1 Ê 1 ' " ^ ' J

•ou

­

+ ,

­ " " ­ '

A

­ " . ­ ­ >

D

( : : . : ; I , !

I

) ­

I

/ > V ^ ( : , : : : : : : | ' ­ ) ^

­que é a primeira fórmula (13).

Se desenvolvêssemos o determinante que entra no termo de ordem p de (12), em ordem aos elementos da l.a coluna, e reali­ zássemos cálculos análogos, chegávamos à 2." fórmula.

Consideremos, em particular, a função: D( | X J. Esta função satisfaz às seguintes equações funcionais:

,(14)

D

( \ I

x

)

=K(x

'

E)

°

{l)

~

l

Sl

K{x

'

x) D

( 11

x

)

rfx

D

{l\*)r

K

(

x

'ly

D

M­

l

f*

K

l'

c

>ti

D

(

x

í\

x

)*

■que, com facilidade, poderíamos deduzir directamente.

9) Princípio da inversão. — No caso de X não ser raiz da equação D (1) = 0, a solução única, finita e continua, da equação de Fredholm é:

r"

D

il\

l

)

50

Com efeito, multipliquemos ambos os membros da

equação-fl(Mi)

proposta por *' dx e integremo-los entre os limites (a,b):

r"

D

(

Z

V) r

b D

i

z

\ A

dx —

a

r"

r"

D

{

Z

\A

dx.

Atendendo à 2." fórmula (14), vem:

c"

D

C\'

L

) r"

D

C\

l

) n"

"

(x)

-lfw-

dx

=\ » W - T T t r * - | «(6)/C(*,6)</6+

-f^-H

°m

ou

r

b D

{'x\

x

)

r"

I *( x ) l){\) dx=\ tt(6)*(*,6)<*, ou ainda

í «(6)A'UE)rf6= P

_{(6)/CU6)rf6= y}

_(6)-

°Gh),

_{2 ¾}

_*•

Portanto, é verdadeira a fórmula (15), como pretendíamos mostrar.

O núcleo resolveníe de ( I ) é uma função meromorfa de X, pois ê dado pelo quociente de duas funções inteiras de 1.

A solução dada pela fórmula (15) é única, se fôr D(X)z\zo. Com efeito, supondo que existem duas soluções ut(x) e «2 (•*)

e pondo $(x) = uí(x) — u.i(x), esta nova função, finita e contínua, verifica a equação homogénea:

v a

Mostremos que esta equação apenas admite a solução <|i (x) = o D(Z\X)

Multipliquemos ambos os membros por —yH ' dx e inte­

gremo­los entre os limites (a,b)\

C\A

r" r»

B(*\A

Í; J a J a

(M

Atendendo ao princípio de reciprocidade, no qual não inter­ vém a função cp (*) da equação com 2.° membro, vem:

, * D

Ci

1

-)

/

M; r

*

(v)

a (1) *

= -

*

K)

*

t * 5)

*

+

«^ a

*i;lo

♦ •"-eftr*

52

ou

Portanto é '}(■?) ou I|J(J:) = O, como desejávamos provar.

A solução obtida para valores de )., tais que seja | X | < ^ ib­.a\ »

coincide com a dada pela fórmula (15), /w/s <7«e, neste caso, é:

»<*fe «­:

—

s U r ­

Para o mostrar, multipliquemos a série absolutamente con­ vergente (11) pela série também, nesta hipótese, absolutamente convergente:

S (.r,S;X) ­ A'(l> (x,Z) + \A(2> (*,£) + ... + X'~! A^> (*,?) + . . . Obtemos uma série que, ordenada segundo as potências intei­ ras e positivas de X, tem os seus termos formados como se segue:

1.° termo:

A'(I)US) = ­A'U£).

2.° termo:

3.° termo:

x2 [ A<3> (x, D -f-J*' A',2) U E)/C(g1,g1) a?i +

=^/

a

*J

,

«[

_ 2 / f (

*

, e i ,

*

( £ i , S 2 , / f ( Ê í , s ) +

=

Í T / /

fl

[

~

A

'

(x,e)A

'QÍ!)

+

*

(6

*

,6)K

i*ii)K(u*u)

-- Ktt^í) «(s.ll) K^.Zl) - K{Zvt) KUZJ K(Zítí2) + Termo de ordem p + 1 : Ï." [ A'"^1 > (.v, f) + J ^ ' A""" (*.£) A (?x, Çj) dÊ! +

+^^^^(^:)^+---+

+^--//^^^:^---^1=

54

Comparando a série assim obtida, com a série cuja soma é / ) [ , H vem como se queria provar:

/ j ( * | > . ) = - S ( . v , £ ; > . ) x / J ( X ) .

Resta­nos fazer o estudo da equação de Fredholm, para valo­ res de \, raízes da equação D(\) = o.

Comecemos por fazer o estudo da equação homogénea.

10) Equação homogénea. — Esta equação é da forma:

(16) u

:(*)

= ­cJ\/C(*,ç) a (g)rfg.

Se c não é raiz da equação D ("/.) = o, sabemos já que a equa­ ção (16) admite como única solução u(x) = o.

Suponhamos que c seja raiz da equação D(\) = o.

Notemos que estamos em presença do caso limite dum sistema de n equações algébricas lineares e homogéneas a n incógnitas, quando o número n cresce infinitamente, e quando o determinante formado pelos coeficientes das incógnitas é nulo.

É de prever a existência de soluções diferentes de zero. Como D('K) é uma função inteira de X, qualquer zero desta função tem um grau de multiplicidade finito e, portanto, as suas derivadas não podem ser todas nulas. Assim, uma pelo menos, das funções D[ * ■ " ' J'\c ), em que/ é um número finito, não

\ X^X 2 . . . Xj | /

é identicamente nula. A estas funções chamou Fredholm os meno­

res de D(X). Suponhamos identicamente nulos os menores obtidos

para j<n, mas não identicamente nulo o menor obtido quando

Sejam (?,­,>]/■) [r=\, 2 ... n] 2/z números, tomados no domínio D, tais que tenhamos:

Atendendo à 1." das fórmulas (13), vem:

D

(* ^■^^lA^ctx^Qdy^­'McU

Comparando esta igualdade com (16), concluímos que

1 V^ilg­­1^1 /

é uma solução da equação homogénea.

Da mesma forma, atendendo ao modo como foram estabele­ cidas as equações funcionais (13),

/,0)

=

^ ( ^ ­ ^ ­ ^ . ­ ^ 1 0 [/=.,2...,,]

\rtX ••■ Ui—\ H, ••• 1„ | /

são soluções de (16).

Fredholm designou por ®i(x) as soluções de (16), que se obteem dividindo as funções/,­ (x) por A.

56 Com efeito, notemos que é:

\ 1 l 1a- - - 1 « l ' J a ' V l i 12- - - 1 « l /

e que o primeiro membro é nulo para 1—2, 3 . . . n e se reduz a A para / = 1.

Assim,

V a

é igual a 1 se i=k; é igual a o se idpk.

Suponhamos então, que entre as soluções <I>, (x) existe uma relação da forma:

em que os A A são constantes.

Multiplicando ambos os membros da igualdade por K( %i,x) dx e integrando-os entre os limites (a,b), resulta: Ai —o \i—\,2...n\,

A relação escrita só é verdadeira para

/ t j — A2— . . . — An — o,

como desejávamos provar.

Qualquer solução de (16) é uma combinação linear das solu-ções ^i(x).

Na verdade, seja «I(JC) uma solução. Temos:

u1( í ) = — c \ K(s, z)ux(z)dz.

Multipliquemos ambos os membros desta igualdade por

\s rn ... 7j„ | ;

A

e integremo-los entre os limites (a,b):

Atendendo ao princípio da reciprocidade é:

-^,^-)H

s

,;...,„|

c

)

rfs

=H^...,j

c

)--

%2

)^

i£

'

r

''H

c

)+A'MH;'í

r

"!1

c

• 58

Portanto, fazendo as substituições, vem:

J K(x,z)Ul(z)clz= ^ 2 - ^ 1 i A K(ívz)ui(t)dz +

Kl£a.z) u*{z)dz+...-\

c\ K(i2,z)Uí\

V ^ - W l ^ . l - - ; / K(^,z)ai{z)dz,

•o que mostra que ul(x), solução da equação (16), é da forma:

H (x) =A1d>1 (*)••+ /12<1»2 (.v) + ... + An <!>„ (.v),

os A A sendo constantes, como pretendíamos provar.

Os valores de X raízes de equação D(X) = o chamam-se: valores característicos, valores singulares ou números fundamentais.

As soluções da equação homogénea que lhes corresponde são as

funções características, funções singulares ou funções fundamentais.

11) Equação homogénea associada. — Chamamos equação

ho-mogénea associada de (16) à equação:

(17) »(•<) =- c j ^ ' A ' ( S , *)>-(£) <e

O núcleo desta equação difere do núcleo da primeira, pela permutação das variáveis x, £.

Se c é um zero de D(l), esta equação admite também n solu-ções ll'/ (x) linearmente distintas, que se deduzem de D[ l * cl substituindo r(/ por x.

12) Passemos a resolver a equação com segundo membro, para

valores de \ que anulem D (X).

Suponhamos que, ainda neste caso, a equação de Fredholm admite uma solução uí{x).

A condição para que u2(x) seja também solução da

equa-ção é que:

<I8) *(*) = ->• r6À-UÊ)<r(S)tí$

•J a

admita soluções diferentes de zero.

Portanto, se (1) admite uma solução, admite um número infi-nito, as quais se obteem adicionando a uma delas, qualquer solu-ção da equasolu-ção homogénea (18), isto é, são soluções da referida equação todas as expressões da forma:

u (A) = H (A) +Al*í (*) + A2 <D2 (.v) + . . . + An <!>„ (x).

Mas, no caso que estamos estudando [£>(X) = o], admitirá aquela equação uma solução?

Para que isto se dê, deve a função <p(jc) satisfazer a condi-ções, que vamos determinar.

Continuemos a supor que (1) admite a solução a% (x), repre-sentemos por <D/(JC) [< = 1, 2 . . . n] as soluções linearmente dis-tintas de (18) e por M:/(jt) as soluções também linearmente distin-tas da equação homogénea associada.

60

Se multiplicamos ambos os membros de (1) por x\'i(x)dx e

os integramos entre os limites (a,b), resulta:

fa <?(*)T« (v)d*=§a "i (-<)l''í (*)* +

+ xf*«1(£)dSr6A'(x,$)T1.(^rf.v,

« / a e/ a

ou, permutando no integral duplo as letras x, Sj:

Concluímos pois:

«Se ( 1 ) admite uma solução, a função <p (*) satisfaz a a con-dições :

(19) f ?(*)¥, (*)<& = <> [/=1,2.../;]».

O a

Reciprocamente, vamos mostrar que se as condições (19) são satisfeitas, a equação (1) admite uma solução e, portanto, uma infinidade.

Demonstremos primeiro o seguinte lema:

tSe u (x) é solução da equação de Fredholm

<?(x) = u(x) + \ÇbK{x,Z)u^)a^

u a

satisfaz a uma infinidade de equações do mesmo tipo*.

Com efeito, seja H{x, £) uma função contínua, no campo que consideramos.

ambos os membros por KH(x, z)d!c, e os integramos entre os limi-tes (a, b), resulta:

tf a tf a

+ i

2

Ç" Ç

K{z,t)mx,z)u(t)dtdz.

tf a tf a

Ponhamos:

F( x,.g) = K ( .v, S ) + // ( x, í ) + XJ* ' A' ( Í, g ) li ( .r, / ) dl, depois de termos somado, membro a membro, a última igual-dade e (1).

Qualquer solução de (1) satisfaz à equação:

(20) v(x) + \f ? (?)//(.<,$) d£ = « ( * ) + x f F(x,l)u($)t%.

tf a tf a

Está demonstrado o lema, visto ser fi(x, cj) uma função con-tínua qualquer.

Ponhamos:

a \ í ijj • • • Tin | y

e resolvamos a equação de núcleo F(x, £), neste caso particular. Atendendo ao princípio da reciprocidade, vem:

.f^-Hx)

l>

,E

-

£,

"d:::tl

x

)

+

;:::t"t)]-(.2

Portanto, temos para solução de (20):

+ /!_•, (-v) + /t2 <I>2 (*)+••• + An *„ (*),

designando os A A constantes.

Esta função u(x) satisfaz também à equação (1),-quaisquer que sejam os valores das constantes, desde que se verifiquem as condições (19). É a sua solução geral, quando os A A representam constantes arbitrárias.

Para o justificar completamente, basta realizar a verificação, quando pomos A± = A2= ••• =An = o.

Fazendo as substituições, vem:

Ou, atendendo a (13):

\K(x, rií)f% (0 yi\ O d(+...+ >.A-(.v,Yi;l) §o <? (/) W„(l) dt = o,

igualdade que é verdadeira, em vista das hipóteses.

«(*) = ? ( * ) - >

Podemos, pois, enunciar o teorema de Fredholm:

tPara que a equação (1) admita solução, sendo D{\) = o, é

necessário e suficiente que seja:

Ç œ(.v)M-(. (.V)Í/.V = O [ i = l , 2 . . . « ] » .

w a

13) Resumindo o que fica dito, podemos enunciar as seguintes

propriedades da equação de Fredholm e suas soluções:

1.° A equação de Fredholm

O a

tem para cada valor de X uma solução única, dada pela fór-mula:

r" °('l\'

K

)

(15) „(v) = ?(.v) + x I 1 L L Z9 ( 5 ) < < £.

D(\) e D í >. j são as somas de duas séries, ordenadas

segundo as potências inteiras e positivas de \, uniformemente con-vergentes em todo o plano da variável >., isto é, duas funções inteiras de \.

<"'

e

w-

,+

Zvr/.'---./;*(fcS:::í;)w-^

P=I

64

2.° Para os polos c, raízes da equação J9(X) = °» a equação não tem, em geral, solução. Para que exista solução, a função

<p (x) deve obedecer a determinadas condições.

3.° A equação homogénea:

(21) «(*) = ­ / . J**/ir(x,e)ii(5)rf!

admite em geral uma solução única, u{x) — o. Se X é raiz da equa­ ção D('K) = O, a equação homogénea tem um número finito de soluções, não identicamente nulas, e linearmente independentes. 4.° A condição necessária e suficiente, para que a equa­ ção com 2.° membro (1), admita uma solução, quando X anula

D (X), é que considerando as n soluções linearmente distintas da

equação

(22) „(*) = ­ X Ç K{lx)v{i)dt, tf a

associada de (21), tenhamos:

Ç <?(x)ni(x)dx = o [ / = I , 2 . . . « J .

A solução geral de (1) é então:

^¾...¾ I /

■em que ( ^,­,7) / ) são números que não anulam D ( * *2 "' *" ). \ , ¢,­ (x)

as soluções linearmente distintas de (21) e A,­ constantes arbi­ trárias.

14) O nosso estudo foi feito, supondo o núcleo /\(x, £) uma função contínua.

Notemos, contudo, que se o núcleo é uma função simples­ mente limitada e integrável, o método a empregar na resolução da equação de Fredholm não sofre alteração. As conclusões são as mesmas.

O núcleo pode até tornar­se infinito, em alguns pontos e, ainda, o mesmo método tem aplicação, embora necessitemos de transformar a equação proposta, desde que um número finito de

iterações nos conduza a uma equação de núcleo limitado.

Com efeito, atendendo à equação (1), podemos escrever:

«(S)=<p(£)­Xj' /T(g,z)u(z)dz,

E, fazendo as substituições, resulta a nova equação:

i I') tf (,) ­lf"

a

K(x,f) ? (g) < = u(x) ­ l

2

J"

u

*<•>(»,ç,

u ( E

) „ : .

A resolução da equação (1) reduz­se à da equação (V). É claro que as iterações podem repetir­se um número finito de vezes.

15) Equação de Fredholm, com funções de duas variáveis.— Consideremos uma equação da forma:

66

Suponhamos que se realizam as condições:

'f(x,y) é uma função contínua.

K(x,y; Ê,vj) é uma função contínua, ou simplesmente limitada

e integrável.

Todos os raciocínios, empregados com funções duma só variá-vel, podem repetir-se.

Notemos apenas, que cada uma das variáveis x e ç, deve ser substituída pelos pares de variáveis (x,y) e (£,?i).

Assim, supondo

diferente de zero, a única solução de (23) é dada pela fórmula:

v u J a

16) Nas aplicações é frequente o aparecimento de equações de Fredholm com uma forma diferente de (23), da qual nós também faremos uso. Por isso a vamos considerar.

Seja S uma superfície fechada regular, admitindo um plano tangente único, em cada um dos seus pontos, definida pelas equa-ções:

x=fv{u,v)

y=f2(".v)

Suponhamos duas funções ?(AÍ) e K{M,M'), que tomam

funções que satisfazem ainda às condições estabelecidas no último parágrafo. Representemos por u (M) uma função desconhecida, do ponto Aí.

A equação:

(24) tf(M) = u(M) +1 Ç K(M,M')u(M')doM,

V(S)

é do tipo de Fredholm.

O que dissemos com relação à equação (23) é aplicável, com relação a (24).

17) Núcleos não limitados. — Na resolução do problema de Dirichlet, e na de muitos outros, temos de considerar núcleos não limitados. O exposto no número (14) é então aplicável.

Para tratarmos o problema de Dirichlet, sem dificuldades, vamos considerar, em especial, núcleos não limitados, da forma:

FlM M1)

-===—, em que F(M,M') é uma função limitada e integrável,

com relação a S, onde estão representados o ponto fixo M e o ponto corrente Aí'.

« Se a fôr um número positivo, inferior a 2, é possível,

empre-gando iterações sucessivas, reduzir a resolução duma equação da forma:

9(M) = U(M) + X | l_La'„(M/)rf33f<

(E)

C F(M,M<)

\ I — u |

68

Com efeito, substituindo sob o sinal de integral u(M') pela sua expressão deduzida da equação escrita, resulta:

C r(M,M') , „ (26) f ( * ) - X - ^ - f í M ' ) * *

J

P F(M, P) F{P,M') 1 ' -v J MP* PM"1 1 = u(M)—l (E) " <E> M

'U

p

.

que é uma equação de núcleo:

,,, „ Ç F(M,P)F(P,A

* W ' 'MP* PM'*

**<E)

SÊ a <? p /ore/w rfo/s números positivos inferiores a 2,

(27)

fiW)^.*)«,p

é infinito como [ =J=;1 , quando MM' tende para zero.

L M Al J

É evidente, que podemos substituir nos nossos raciocínios o integral (27) por