aula 12 - Árvores AVL

Estrutura de Dados

11 – Árvores AVL

Engenharia de Computação - Unipampa

• Revisão – Árvores Binárias

• Introdução

• Representação

• Inserção

• Remoção

Tópicos

• Uma árvore em que cada nodo tem zero, um ou dois

filhos, ou seja, de no máximo grau dois.

• Uma árvore binária é:

• Uma árvore vazia; ou

• Um nodo raiz com duas subárvores:

- a subárvore da direita (sad)

- a subárvore da esquerda (sad)

• ABB tem uma relação de ordem nas subárvores

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Revisão

• Problemas com ABB:

• Desbalanceamento progressivo

Revisão

1

13

24

27

56

Alternativa de solução:

• Árvores balanceadas

• AVL

• Árvores de altura balanceada ou de altura equilibrada

foram introduzidas em 1962 por Adelson-Velskii e Landis,

também conhecidas como árvores AVL.

• Devido ao balanceamento da árvore, as operações de

busca, inserção e remoção em uma árvore são otimizadas.

• O balanceamento mais comum e mais simples é aquele

que pressupõe uma distribuição uniforme dos acessos às

várias chaves. Com esse pressuposto, o balanceamento

passa a ser por altura, ou seja, busca-se minimizar a altura

da árvore, fazendo com que os nós sejam compactados

juntos a raiz.

Engenharia de Computação - Unipampa

Introdução

• Em razão do grande esforço exigido para manter uma

árvore completamente balanceada, que pode

não ser compensado pelo ganho em eficiência no

processo de busca, assumem importância as

árvores que apresentam balanceamento não

completo, mas sim, próximo dele.

• Estas árvores beneficiam o processo de busca,

exigindo

manutenção

pouco

onerosa

do

balanceamento.

• As árvores AVL entram nesse contexto.

Introdução

•  

Engenharia de Computação - Unipampa

Árvore AVL

• Exemplo:

• O fator de balanceamento ou fator de

equilíbrio de um nó a em uma árvore binária é

definido como sendo onde e são as alturas

das subárvores esquerda e direita de A,

respectivamente.

• Para qualquer nó a numa árvore AVL, o fator

de balanceamento assume o valor -1, 0 ou +1

• O fator de balanceamento de uma folha é zero.

Engenharia de Computação - Unipampa

Fator de Balanceamento

Engenharia de Computação - Unipampa

Fator de Balanceamento

Engenharia de Computação - Unipampa

Fator de Balanceamento

• Verifique os fatores de balanceamento de cada

nodo.

Exercícios de fixação

• Verifique os fatores de balanceamento de cada

nodo.

Engenharia de Computação - Unipampa

Exercícios de fixação - Respostas

01/02/2018 15 130 150 100 200 120 80 110 120 130 100 200 110 80 150

+1

-1

-1

0

0

0

0

0

₀

+1

-2

0

-1

AVL

Não AVL

• Verifique os fatores de balanceamento de cada

nodo.

Exercícios de fixação

• Verifique os fatores de balanceamento de cada

nodo.

Engenharia de Computação - Unipampa

Exercícios de fixação - Respostas

01/02/2018 17 42 88 15 63 27 6 ₉₄ 20 57 71 42 88 15 63 27 6 ₉₄ 42 88 15 63 27 20 _{57 71}

0

0

0

₀

₀

₀

0

AVL: completamente balanceada

0

0

0

0

₊₁

-1

0

0

0

0

0

0

0

+1

-2

0

+2

• Como manter uma árvore AVL sempre

balanceada após uma inserção ou exclusão?

• Através de uma operação de ROTAÇÃO

• São quatro operações

• Característica da operação

• preservar a ordem das chaves

• basta uma execução da operação de rotação para

tornar a árvore AVL novamente

• O processo de rebalanceamento é conduzido utilizando 4 tipos de rotações: Esquerda, Direita, Esquerda-Direita, Direita-Esquerda

• Esquerda e Direita são simétricas entre si assim como Esquerda-Direita e Direita-Esquerda

• As rotações são caracterizadas pelo ancestral mais próximo A do novo nó inserido Y

• Direita: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore esquerda de A

• Esquerda-Direita: Y inserido na subárvore direita da subárvore esquerda de A • Esquerda: Y inserido na subárvore direita da subárvore direita de A

• Direita-Esquerda: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore direita de A

• Seja B o filho de A no qual ocorreu a inserção de Y

• Direita (A = +2; B = +1) Esquerda (A = -2; B = -1)

• Esquerda-Direita (A = +2; B = -1) Direita-Esquerda(A = -2; B = +1)

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Rotações

Rotação Direita

• Toda vez que uma subárvore fica com um fator:

• positivo e sua subárvore da esquerda também tem um 

fator positivo

ROTAÇÃO À DIREITA

110

100

80

+2

+1

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita

120

110

₁₅₀

100

80

130

200

120

110

₁₅₀

100

80

130

200

+1

0

0

0

+2

+1

0

Rotação Direita

120

110

150

100

80

130

200

120

100

150

80

110

130

200

+1

+2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

+1

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita

A

B

+2

+1

a

aux = a->esq; a->esq = aux->dir; aux->dir = a; a = aux;

T2

T3

T1

_T1

_,

_T2

_,

_T3

_e

_T4

_{são subárvores}

(vazias ou não)

Rotação Direita

A

B

a

aux = a->esq; a->esq = aux->dir; aux->dir = a; a = aux;    

T2

T3

T1

aux

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita

A

B

a

Assumindo a e aux ponteiros para as subárvores com raiz A e B:

aux = a->esq; a->esq = aux->dir; aux->dir = a; a = aux;    

T2

_T3

T1

aux

Rotação Direita

A

B

_a

Assumindo a e aux ponteiros para as subárvores com raiz A e B:

aux = a->esq; a->esq = aux->dir; aux->dir = a; a = aux;    

T2

_T3

T1

aux

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita

01/02/2018 27

A

B

a

subárvores com raiz A e B: aux = a->esq; a->esq = aux->dir; aux->dir = a; a = aux;    

T2

_T3

T1

aux

Rotação Direita

110

100

80

+2

0

+1

100

80

110

0

0

0

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita

42

15

₈₈

6

27

+1

0

0

0

₀

Incluir

4

42

15

₈₈

6

27

+2

0

+1

+1

₀

4

0

Rotação Direita

Rotação

Direita

42

15

₈₈

6

27

+2

0

+1

+1

₀

4

0

15

6

₄₂

4

₂₇

0

0

+1

0

₀

88

0

Ajustado!

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda

• Toda vez que uma subárvore fica com um fator:

• negativo e sua subárvore da esquerda também tem um 

fator negativo

ROTAÇÃO À ESQUERDA

130

150

200

0

-2

-1

Rotação Esquerda

120

100

₁₃₀

150

200

80

110

120

100

₁₃₀

150

200

80

110

-1

0

0

0

-2

-1

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda

120

100

₁₅₀

80

110

130

200

120

100

₁₃₀

150

200

80

110

-1

0

0

₀

0

-2

-1

0

0

0

0

0

₀

0

Rotação Esquerda

A

-2

-1

a

T2

T1

T1

,

T2

,

T3

e

T4

são subárvores

(vazias ou não)

T3

B

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda

01/02/2018 35

aux

Assumindo a e aux ponteiros para as subárvores com raiz A e B:

aux = a->dir; a->dir = aux->esq; aux->esq = a; a = aux;    

A

a

T2

T1

T3

B

Rotação Esquerda

Assumindo a e aux ponteiros para as subárvores com raiz A e B:

aux = a->dir; a->dir = aux->esq; aux->esq = a; a = aux;    

aux

A

T2

T1

T3

B

a

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda

01/02/2018 37

Assumindo a e aux ponteiros para as subárvores com raiz A e B:

aux = a->dir; a->dir = aux->esq; aux->esq = a; a = aux;    

aux

A

T2

T1

T3

B

a

Rotação Esquerda

Assumindo a e aux ponteiros para as subárvores com raiz A e B:

aux = a->dir; a->dir = aux->esq; aux->esq = a; a = aux;    

aux

A

T2

T1

T3

B

a

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda

150

130

200

130

150

200

0

-2

-1

0

0

0

Rotação Esquerda

42

15

₈₈

94

67

-1

0

0

0

₀

Incluir

90

42

15

₈₈

94

67

-2

-1

0

0

₁

90

0

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda

88

42

₉₄

90

67

0

+1

0

0

₀

15

0

42

15

₈₈

94

67

-2

-1

0

0

₁

90

0

Rotação

Esquerda

Ajustado!

Rotação Esquerda-Direita

• Toda vez que uma subárvore fica com um fator:

• positivo e sua subárvore da esquerda também tem um 

fator negativo

ROTAÇÃO À ESQUERDA-DIREITA

110

80

100

+2

-1

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda-Direita

DIREITA

120

110

₁₅₀

80

100

130

200

120

110

₁₅₀

100

80

130

200

120

100

150

80

110

130

200

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

T4

C

pA

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

T2

T4

C

T3

pA

pB

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

T4

C

pA

pB

pC

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

T2

T4

C

T3

pB->dir = pC->esq;    Rotação Esquerda! pC->esq = pB; pA->esq = pC->dir; pC->dir = pA; pA = pC;   

pA

pB

pC

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

T4

C

pA

pB

pC

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

T2

T4

C

T3

pA

pB

pC

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

C

pA

pB

pC

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda-Direita

A

B

T1

T2

T4

C

T3

pB

pC

_pA

Rotação Esquerda-Direita

42

15

₈₈

27

6

+1

0

0

0

Incluir

34

42

15

₈₈

27

6

+2

0

-1

-1

0

34

₀

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Esquerda-Direita

42

15

₈₈

27

6

+2

0

-1

-1

0

34

₀

0

PASSO 1

Rotação Esquerda

42

27

₈₈

34

15

+2

0

+1

+1

6

0

Rotação Esquerda-Direita

PASSO 2

Rotação Direita

42

27

₈₈

34

15

+2

0

+1

+1

0

6

0

27

15

₄₂

34

0

0

+1

0

6

0

88

0

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita-Esquerda

• Toda vez que uma subárvore fica com um fator:

• negativo e sua subárvore da esquerda também tem um 

fator positivo

ROTAÇÃO À DIREITA-ESQUERDA

130

200

150

-2

+1

0

Rotação Direita-Esquerda

DIREITA

120

100

₁₃₀

200

150

80

110

ESQUERDA

120

100

₁₃₀

150

200

80

110

120

100

150

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita-Esquerda

A

pA

B

T1

T2

C

T3

T4

Rotação Direita-Esquerda

A

pA

B

T1

C

T4

pB

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita-Esquerda

A

pA

B

T1

T2

C

T3

T4

pB

pC

Rotação Direita-Esquerda

pB = pA->dir; pC = pB->esq;

pB->esq = pC->dir;    Rotação Direita! pC->dir = pB; pA->dir = pC->esq; pC->esq = pA; pA = pC;   

A

pA

B

T1

C

T4

pB

pC

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita-Esquerda

A

pA

B

T1

T2

C

T3

T4

pB

pC

Rotação Direita-Esquerda

A

pA

B

T1

C

pB

pC

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotação Direita-Esquerda

A

pA

B

T1

T2

C

T3

T4

pB

pC

Rotação Direita-Esquerda

A

B

T1

C

pB

pC

pA

Engenharia de Computação - Unipampa

Rotações

01/02/2018 65

• Após uma rotação Direita ou Esquerda, os nós

A e B passam a ter fator de balanceamento

iguais a zero.

• No caso de rotações Esquerda-Direita e

Direita-Esquerda

• Os fatores de balanceamento dos nós A e B

podem ser recalculados com base no fator de

balanceamento do nó C.

• O novo fator de balanceamento do nó C passa a

ser zero.

Exercícios de fixação

• Realize as rotações necessárias:

40

30

50

55

45

20

25

30

26

15

17

12

Engenharia de Computação - Unipampa

Exercícios de fixação

01/02/2018 67

• Realize as rotações necessárias:

40

30

50

55

45

52

20

25

30

26

15

17

12

0

1

-2

-2

-1

Representação

• Vamos representar um nó AVL de forma similar

a um nó em uma árvore binária de busca,

contendo um campo adicionar altura que

manterá a altura de cada nó para o calculo do

fator de balanceamento:

Engenharia de Computação - Unipampa

Busca com Inserção

01/02/2018 69

• Para realizar as operações necessárias em cada nó

isolado é descrito a seguir um algoritmo recursivo.

• Por ser recursivo, é simples a incorporação de uma

operação adicional a ser executada no caminho de volta

ao longo do trajeto de busca.

• A cada passo é necessário saber se a altura da subárvore

em que foi feita a inserção cresceu ou não.

• Para tanto, serão utilizadas algumas funções auxiliares,

que calculam a altura da subárvore.

• O algoritmo de inserção deve ser chamado com o ponteiro

a como sendo a raiz da árvore.

Engenharia de Computação - Unipampa

Busca com Inserção

Busca com Inserção

• Funções auxiliares para realizar as rotações e

calculo da altura.

Engenharia de Computação - Unipampa

Busca com Inserção

01/02/2018 73

• Funções auxiliares para realizar as rotações e

calculo da altura.

Busca com Inserção

• Funções auxiliares para realizar as rotações e

calculo da altura.

Engenharia de Computação - Unipampa

Exemplo - Inserção

01/02/2018 75

Inserções

• Inserido x=7

• A inserção produz uma

árvore balanceada

Engenharia de Computação - Unipampa

Inserções

01/02/2018 77

• Inserido x=7

• A inserção produz uma

árvore balanceada, cujo

balanceamento envolve

uma rotação Esquerda

Inserções

Engenharia de Computação - Unipampa

Inserções

01/02/2018 79

Inserções

• Inserido x=2

• Inserir x=1

Engenharia de Computação - Unipampa

Inserções

• Inserido x=2

• Inserido x=1

• Ocorre

desbalanceamento da

subárvore de raiz 4...

Inserções

• Inserido x=2

• Inserido x=1

• Ocorre

desbalanceamento da

subárvore de raiz 4,

que é corrigido por

uma rotação Direita

Engenharia de Computação - Unipampa

Inserções

01/02/2018 83

Inserções

• Inserido x=3

• Ocorre desbalanceamento

da subárvore de raiz 5...

Engenharia de Computação - Unipampa

Inserções

• Inserido x=3

• Ocorre

desbalanceamento da

subárvore de raiz 5, que

é corrigido por uma

rotação

Esquerda-Direita

Inserções

Engenharia de Computação - Unipampa

Inserções

• Inserido x=3

• Ocorre desbalanceamento

da subárvore de raiz 5...

Inserções

• Inserido x=6

• Ocorre

desbalanceamento da

subárvore de raiz 5,

que é corrigido por uma

rotação

Engenharia de Computação - Unipampa

Inserção

01/02/2018 89

• INSERÇÃO A DIREITA

• Três casos distintos podem ocorrer:

• Caso 1:

h = 1 antes da inclusão

h -> 0, altura não se altera. Encerra.

• Caso 2:

h = 0 antes da inclusão

h -> -1, altura se altera, mas não provoca desbalanceamento.

Devem ser examinados os ancestrais do nó

• Caso 3:

h = -1 antes da inclusão

h -> -2, nodo fica desbalanceado. Aplicar a rotação adequada

e encerrar, pois a altura volta a ser igual à anterior.

Busca com Inserção

120

100

₁₅₀

1

₁₂₀

100

₁₅₀

0

155

120

150

0

-1

Engenharia de Computação - Unipampa

Busca com Inserção

01/02/2018 91

• INSERÇÃO A ESQUERDA

• Três casos distintos podem ocorrer:

• Caso 1:

h = -1 antes da inclusão

h -> 0, altura não se altera. Encerra.

• Caso 2:

h = 0 antes da inclusão

h -> 1, altura se altera, mas não provoca desbalanceamento.

Devem ser examinados os ancestrais do nó

• Caso 3:

h = 1 antes da inclusão

h -> 2, nodo fica desbalanceado. Aplicar a rotação adequada

e encerrar, pois a altura volta a ser igual à anterior.

Busca com Inserção

120

100

150

-1

₁₂₀

100

150

0

140

120

110

0

100

1

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

01/02/2018 109

• A remoção em árvores AVL é similar à remoção em

uma árvore binária de busca

• Todavia, é preciso verificar o balanceamento e, se

necessário, aplicar algumas das rotações.

• O algoritmo de remoção deve ser chamado com o

ponteiro a como sendo a raiz da árvore.

• As rotações aplicadas são ao contrário das utilizadas

na inserção:

• Quando inseria na esquerda as rotações eram Direita ou

Esquerda-Direita. Agora se excluo na direita as rotações são

Esquerda ou Direita-Esquerda.

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

Engenharia de Computação - Unipampa

Remoção

01/02/2018 113

Exercícios de fixação

• Inserir em AVL, refazendo a árvore quando tiver

rotação e anotando as rotações realizadas. Na

inserção de quais elementos será necessário fazer

rotação?

50, 40, 30, 45, 47, 55, 56, 1, 2, 3

• Realize a inserção dos seguintes nodos fazendo as

devidas rotações quando necessárias:

Engenharia de Computação - Unipampa

Exercício de fixação -

Resposta

• Implemente a semipresencial 6

Engenharia de Computação - Unipampa

Referências

01/02/2018 117

• Horowitz, E. & Sahni, S. Fundamentos

deEstruturas de Dados. Editora Campus,

1984.

• Wirth, N. Algoritmos e Estruturas de Dados,

Pretince/Hall do Brasil, 1989.

• Baseado no material elaborado por José

Augusto Baranauskas.