05 - Função Polinomial de 2º Grau(1)

Matemática Básica

Prof. Allyson J. S. Brito

P I T Á G O R A S

P I T Á G O R A S

Faculdade

Tema

Função Polinomial do

2º Grau

 Equação do 2º Grau

 Solução do Equação de 2º Grau  Função do 2º Grau

 Inequações do 2º Grau

Roteiro

Roteiro

Equação de 2º Grau

Resolver uma equação significa

encontrar um valor desconhecido, ou seja, o valor de uma variável ou incógnita,

Equação de 2º Grau

Vamos aprender como resolver as

equações que apresentam uma variável com expoente quadrático. Tais equações podem ser representadas pela forma geral numa

equação equivalente na forma:

0

2 _{bx  c }

ax

em que é a variável, , e são números racionais, de modo que .

x a b

0  a

Exemplos

0 5

3

2z2  z   é uma equação de 2º grau na incógnita z

10 3 8x2  x  x2  12 5 2 _{ y } y 5 2 3n2 _{ n } 125 3 _ x x incógnita na grau 2º de equação uma é y incógnita na grau 2º de equação uma é n incógnita na grau 2º de equação uma é grau 2º de equação uma é não

Equação de 2º Grau

Solução de Equação de 2º Grau

Chama-se solução ou raiz de uma

equação a um valor real que, substituído na equação, a torne verdadeira.

existirem se res denominado os e parênteses os eliminar : Passo 1º



x 3



x 5x 2 2   2  x x x 2.3 5 2 2   2  x x x 6 5 2 2   2 

Equação de 2º Grau

equação da termos os todos membro 1º o para passar : Passo 2º s semelhante termos os reduzir : Passo 3º delta) (ou nte discrimina o Calcular : Passo 4º c a b2  4. .   0 5 6 2x2   x2  x  0 6 5 2 _{ x  } x

 

5 2  4.

   

1 . 6   24 25   1  

Equação de 2º Grau

bhaskara de fórmula da através raízes as calcular : Passo 5º a b x . 2    

 

 

1 . 2 1 5     x 2 1 5   x

Podemos observar que teremos dois valores possíveis para a variável x, pois a 1ª opção é quando assumimos o valor positivo para 1 e a 2ª opção é quando assumimos o valor negativo para 1.

OPÇÃO ª 1 2 ªOPÇÃO 2 1 5 1   x 2 1 5 2   x 2 6 1  x 2 4 2  x 3 1  x x2  2

Portanto, encontramos a solução da

equação de 2º grau. Se substituírmos ou na equação , observaremos que o lado esquerdo da equação será exatamente igual ao lado direito da equação. Isso é

encontrar a solução de uma determinada equação.

Equação de 2º Grau

1 x x₂ 0 6 5 2 _{ x  } x

Função Polinomial do 2º Grau

Função Polinomial do 2º Grau (ou

Função Quadrática) é qualquer função representada por , onde são

números racionais, com .

Exemplo 2 7 3 ) (x  x2  x  f R R f :  c bx ax2   a,b e c 0  a 3  a _{b  7} c  2

Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau

O gráfico de ou , com é uma parábola com eixo de simetria

paralelo ao eixo . Para desenhar o gráfico da função quadrática basta determinar alguns

pontos da parábola. Para isso, devemos atribuir alguns valores para a variável e

determinar os valores corrrespondentes para a variável .  x ax bx c f  2   y y x 0  a c bx ax y  2  

Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau

Exemplos

.

Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau

Exemplos

.

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção com o eixo y

As funções quadráticas reais são representadas

graficamente por parábolas que interceptam o eixo y em um ponto notável.

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção com o eixo y

Nesse gráfico, o ponto representa a interseção da parábola com o eixo . Na função o

coeficiente fornece o valor exato onde a função quadrática corta o eixo , representamos o ponto de interseção como sendo .

P y y  ax2 bx  c c y Exemplo 6 3 2 _{ }   x x y

Nesse exemplo, podemos afirmar que a função quadrática corta o eixo

em .

Portanto, podemos representar o ponto de interseção como sendo o .

y _{y  6} 0,6  P  c P  0,

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Vértice da Parábola

Um ponto importante para a construção do gráfico de uma função quadrática é o vértice da parábola. Conhecido o do vértice, basta determinar dois ou três valores menores que o e dois ou três valores maiores que o . Podemos encontrar através da equação abaixo: V x V x V x x_V a b x_V 2  

Exemplo – Vértice da Parábola Desenhar o gráfico da função .y  x2  2x 3

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

a b x_V 2      1 . 2 2    V x 1  V x

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

Um ponto que pertence ao eixo tem valor igual a para . Assim, para descobrir os pontos em que a parábola de equação , com ( )

intercepta o eixo , basta sustituir por , obtendo a equação quadrática .

x 0 c bx ax y  2   a  0 x y 0 0 2 _{ bx  c } ax y

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

x

º 2

Os valores que representarão as soluções dessa equação corresponderão às abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo . As soluções reais dessa equação do grau recebem o nome de raízes da função.

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

ac b2  4   0 2 _{ bx  c } ax       _{  }  a b x 2

Resolvendo a equação pela fórmula

resolutiva com , temos três possibilidades:

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

x

0  

► . Nesse caso, há duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo em dois pontos.

► . Nesse caso, há uma raiz real e a parábola intercepta o eixo em apenas um ponto.

► . Nesse caso, há uma raiz real e a parábola não intercepta o eixo .

0   x 0   x

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

O gráfico da função , com tem concavidade para cima ou para baixo.

c bx ax y  2   0  a

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

A parábola pode interceptar o eixo de três

maneiras diferentes. Para cada uma delas, existem duas possibilidades: a concavidade pode ser

voltada para cima ou para baixo. Logo, as parábolas que representam os gráficos de funções

quadráticas possuem diferentes configurações. x

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

► Se , a parábola intercepta o eixo em dois pontos diferentes, e : 0   x 1 x _x2

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

► Se , a parábola intercepta o eixo em um único ponto, : 0   x 2 1 x x 

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x

► Se , a parábola não intercepta o eixo , pois a função não possui raiz real:

0 

Com as informações sobre o , o

coeficiente , o coeficiente e o coeficiente é possível fazer um esboço do gráfico da função quadrática sem descobrir pontos da parábola. Em muitas situações, o esboço é suficiente para analisar a função.



Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Observação

a _b

1. Esboçar o gráfico das funções quadráticas: a) b) c) d) 3 2 2    x x y

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Exemplos: x x y  2  1 2 2 _{ }   x x y 2 2 _{ }   x x y

)

a

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Solução: 2  a c a b2 _ 4. .   0   1   b _{b  0} 3   c c  0  1 2  4.   2 . 3   25   0  a

Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da

párabola é voltada para cima; a função quadrática corta o eixo quando está

descendo; a função corta o eixo em e possui duas raízes reais e distintas. 0  a 0  b y 3   c y 3   y _{ 0} 3 2 2 _{ }  x x y

)

b

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Solução: 1   a c a b2 _ 4. .   0   2  b _{b  0} 1   c c  0  2 2  4.   1. 1   0   0  a

Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da

párabola é voltada para baixo; a função quadrática corta o eixo quando está

subindo; a função corta o eixo em

e possui duas raízes reais e iguais. 0  a 0  b y 1   c y 1   y _{ 0} 1 2 2 _{ }   x x y

)

c

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Solução: 1  a c a b2 _ 4. .   0   1  b _{b  0} 0  c c  0  1 2  4.   1 . 0   1   0  a

Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da

párabola é voltada para cima; a função quadrática corta o eixo quando está

subindo; a função corta o eixo em

e possui duas raízes reais e distintas. 0  a 0  b y 0  c y 0  y   ₀ x x y  2 

)

d

Pontos Notáveis de uma Função

Polinomial do 2º Grau

Solução: 1   a c a b2 _ 4. .   0   1  b _{b  0} 2   c c  0  1 2  4.   1.  2   8    0  a

Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da párabola é voltada para baixo; a função quadrática corta o eixo quando

está subindo; a função corta o eixo em e não possui raízes reais.

0  a 0  b y 2   c y 2   y _{ 0} 2 2 _{ }   x x y

Domínio e Imagem da Função

Quadrática

O domínio da função, isto é, os valores de para os quais a expressão , tem sentido, é formado por todos os números reais. O conjunto imagem é determinado a

partir das coordenadas do vértice.

Esboçar o gráfico da função , dar o domínio e o conjunto imagem. 5 4 2 _{ }  x x y

Domínio e Imagem da Função Quadrática

Exemplo Solução 1  a c a b2  4. .   0   4   b _{b  0} 5   c c  0 36   0  a   4 2  4.   1 . 5  

Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da

párabola é voltada para cima; a função quadrática corta o eixo quando está

descendo; a função corta o eixo em e possui duas raízes reais e distintas. 0  a 0  b y y 5   c 5   y   0

Para descobrir o conjunto imagem, dependemos do vértice da parábola. a y_V . 4   

Domínio e Imagem da Função Quadrática

Solução 4 36   V y 9   V y Logo

 



f x

 

x R



D  

 



 

/ 9



Im f x  y  R y  

Máximo ou Mínimo de uma Função

Quadrática

Toda função quadrática apresenta uma particularidade importante, ou seja, possui

sempre um valor máximo ou um valor mínimo (valores extremos da função). Geralmente,

nas aplicações das funções quadráticas, a descoberta desse valor extremo é

Máximo ou Mínimo de uma Função

Quadrática

Examinando os gráficos a seguir, você pode perceber que:

A resolução de uma inequação do 2º grau, isto é, a determinação dos valores de qua a

satisfazem, envolve o estudo dos sinais de uma função do 2º grau.

► ►

► ►

Inequação de Função Polinomial

do 2º Grau

x 0 2 _{bxc } ax 0 2 _{bxc } ax 0 2 _{bxc } ax 0 2 _{bxc } ax

Inequação de Função Polinomial

de 2º Grau

0 8 6 2 _{ x } x Exemplo  _{x  x}2 _6_{x }8 f 0 8 6 2 _{ x } x  6 2 4.   1.8     0 o Fazendo f x  Equação a Resolvendo 1  a , b  6 e c 8 32 36   4    6 2 4.   1. 8   32 36   4   Raízes as Encontrar a b x 2       1 . 2 4 6     x 2 2 6  x Logo 2 2 6 1   x 2 8 1 x x₁4 2 2 6 2   x 2 4 2  x x2 2   / 2   4  x R x S  6 2 4.   1.8  

Considerando e funções da

variável , chamamos de inequação-produto desiguadades como: ► ► ► ►

Inequação-Produto de Função

Polinomial do 2º Grau

 x g    x .g x  0 f  x f x    x .g x  0 f    x .g x  0 f    x .g x  0 f

A resolução de uma inequação-produto pode ser feita com o estudo dos sinais das funções, separadamente, seguido da

determinação dos sinais do produto de e e, posteriomente, identificando os valores de que satisfazem a inequação-produto.

Inequação-Produto de Função

Polinomial do 2º Grau

 x g  x f x

_x2 _{ x }2_{ x}2 _2_x3 _ 0 Exemplo  x f  _{x  x}2 _{ x}2 f  Delta Calcular c a b2_4. .    124.   1.2 9 Raízes as Encontrar a b x . 2     2 3 1 1   x 2 4 1  x x₁ 2

Inequação-Produto de Função

Polinomial do 2º Grau

 x g e _g _{x  x}2 _2x3

Para resolvermos a inequação é necessário encontrarmos as raízes de e separadamente para representarmos na reta real.

 x f g x  x  0 f 0 2 2 _{ x } x    1 . 2 9 1     x Logo 2 3 1 2   x 2 2 2   x x₂ 1

Raízes as Encontrar a b x . 2     2 4 2 1 _    x 2 2 1  _ x x₁ 1

Inequação-Produto de Função

Polinomial do 2º Grau

Na sequência teremos que

encontrar as raízes de para representarmos na reta real.

 x  0 g  x g c a b2 _4. .    2 2 4.   1. 3    1 . 2 16 2     x Logo 2 4 2 2 _    x 2 6 2 _   x x₂ 3 0 3 2 2 _{  }  x x  Delta Calcular 12 4   16   2 4 2     x

Inequação-Produto de Função

Polinomial do 2º Grau

Na sequência faremos o jogo de sinais e encontraremos os valores que satisfaça a inequação-produto _x2 _{ x }2_{ x}2 _2_x3 _ 0

  /2  3

 x R x S

Considerando e funções da

variável , chamamos de inequação-produto desiguadades como:

Inequação-Quociente de Função

Polinomial do 2º Grau

 x g    x  0 g x f  x f x    x  0 g x f    x  0 g x f    x  0 g x f , , ou

Na resolução de uma inequação-quociente devemos lembrar que o

denominador deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, tanto para

multiplicação como para divisão, no conjunto dos reais.

Inequação-Quociente de Função

Polinomial do 2º Grau

    0 3 4 6 2 2      x x x x Exemplo  x f  _{x  x}2 _{ x}6 f  Delta Calcular c a b2_4. .    124.   1.6 25 Raízes as Encontrar a b x . 2     2 5 1 1    x 2 4 1  x x₁ 2

Inequação-Quociente de Função

Polinomial do 2º Grau

 x g e _g _{x  x}2 _4x3

Para resolvermos a inequação é necessário encontrarmos as raízes de e separadamente para representarmos na reta real.

 x f g x  x  0 f 0 6 2 _{ x } x    1 . 2 25 1    x Logo 2 5 1 2    x 2 6 2   x x₂ 3 2 5 1   x

Raízes as Encontrar a b x . 2     2 2 4 1   x 2 6 1 x x₁ 3

Inequação-Quociente de Função

Polinomial do 2º Grau

Na sequência teremos que

encontrar as raízes de para representarmos na reta real.

Como o está no

denominador, os valores que encontrarmos como raízes não podem fazer parte da solução.

 x  0 g  x g c a b2 _4. .    4 2 4.   1. 3      1 . 2 4 4     x Logo 2 2 4 2   x 2 2 2  x x₂ 1 0 3 4 2 _{ x } x  Delta Calcular 12 16   4   2 2 4  x  x g

Inequação-Quociente de Função

Polinomial do 2º Grau

Na sequência faremos o jogo de sinais e encontraremos os valores que satisfaça a inequação-produto .

  /3 1ou 2  3  x R x x S     0 3 4 6 2 2      x x x x

Observação: Lembre-se que o

intervalo para as raízes

encontradas para a função deve ser aberto, senão, o

denominador vai assumir valor zero, o que não podemos permitir que aconteça.

 x g

• SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA,

Ermes Medeiros da. Matemática Básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.

• DANTE, Luis Roberto. Matemática: volume único:

contexto&aplicações: ensino médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2008.

• LEITHOLD, Lois. O cálculo com geometria analítica: volume 1. 3.

ed. São Paulo: Harbra, 1994.