Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Dezembro de 2011
LIGA D’ELFOS2012 MATCH1
Pagodes de Hanoi
À semelhança do jogo das torres de Hanoi, no jogo dos pagodes de Hanoi são dadas k ≥ 3 hastes A1, A2, . . . , Ak, a primeira contendo um pagode composto por r1+· · ·+rm
discos de madeira, onde os primeiros r1 discos (de baixo para cima) têm todos um
certo diâmetro, os seguintes r2 discos têm todos igual diâmetro, estritamente inferior
ao diâmetro dos r1 discos precedentes, os seguintes r3 discos têm todos igual diâmetro,
estritamente inferior ao diâmetro dos r2 discos precedentes, etc. Como no jogo das
torres de Hanoi, o objectivo é transferir o pagode do eixo A1 para o eixo A2, usando os
restantes eixos (sempre que for necessário), movendo apenas um disco em cada jogada e nunca colocando um disco por cima de outro cujo diâmetro é estritamente inferior que o seu. Denotemos o número mínimo de jogadas em que é possível fazê-lo por Hk(r1, . . . , rm).
1. Suponham que k = 3 e m = 4. Calculem H3(1, 1, 1, 1).
2. Calculem H3(1, 3, 2, 2) e H4(1, 3, 2, 2).
3. Se k ≥ m + 1, mostrem que Hk(r1, . . . , rm) = Hm+1(r1, . . . , rm).
4. Suponham que r1 = · · · = rm = 1. Calculem H3(1, . . . , 1).
5. Num jogo de pagodes de Hanoi com k = 3 hastes, em que r1 = · · · = r11 = 1, i.e.,
jogado com 11 discos de diâmetros diferentes, em que os discos do pagode inicial são enumerados de 1 a 11, debaixo para cima e que é jogado de forma a minimizar o número de jogadas, que peça está a ser movida na jogada 2011?
6. Calculem H3(r1, . . . , rm).
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Janeiro de 2012
LIGA D’ELFOS2012 MATCH2
Eliminatórias
1. [Pt] Determinem todos os números primos p e q, para os quais os q números p, p + q + 1, p + 2(q + 1), . . . , p + (q − 1)(q + 1)
são também primos.
2. [Es] Sejam a, b, c números reais positivos. Mostrem que a b + c + b c + a + c a + b + r ab + bc + ca a2 + b2 + c2 ≥ 5 2. Para que valores de a, b e c é atingida a igualdade?
3. [Fr] Determinem todas as funções f : R\{0} → R\{0} que satisfazem a condição xf (x/2) − f (2/x) = 1, ∀ x ∈ R \ {0} .
4. [De] Num triângulo rectângulo, ABC, o incírculo é tangente à hipotenusa AB no ponto P . Denotem d = AP e e = BP . Mostrem que a área de ABC é igual a de. 5. [Pl] Determinem os inteiros positivos n tais que nn + 1 e (2n)2n + 1 são primos. 6. [Hu] Considerem um cubo com aresta de comprimento n; composto por n3 cubos
de aresta unitária. Considerem as faces dos cubos de aresta unitárias que compõem as faces do cubo maior. Há 6n2 dessas faces. Qual é o valor máximo de k para qual é possível escolher k faces de aresta unitária pertencentes às faces do cubo maior, tais que quaisquer duas delas não tenham arestas em comum?
7. [Ro] Determinem todas as funções f : {1, 2, . . . , 10} → {1, 2, . . . , 100}, estrita-mente crescentes, tais que, para quaisquer x, y ∈ {1, 2, . . . , 10}, x + y divide xf (x) + yf (y).
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 11 de Fevereiro de 2012
LIGAD’ELFOS2012 MATCH3
Quadrados Latinos
Seja n um inteiro positivo. Um quadrado latino de ordem n é um arranjo de inteiros na forma de uma tabela n × n de forma a que em cada linha e em cada coluna desse quadrado figurem os números de 1 a n exactamente uma vez. Dois quadrados latinos dizem-se ortogonais se os pares de números formados pelas entradas de cada quadrado na mesma linha e na mesma coluna aparecem numa nova tablela sem repetição; como se ilustra com o exemplo sequinte:
1 2 3 2 3 1 3 1 2 e 1 2 3 3 1 2 2 3 1 → (1,1) (2,2) (3,3) (2,3) (3,1) (1,2) (3,2) (1,3) (2,1)
1. Calculem todos os quadrados latinos de ordem 2 e mostrem que nenhum par de quadrados latinos de ordem 2 é ortogonal.
2. Calculem o número de quadrados latinos de ordem 3.
3. Calculem um par de quadrados latinos de ordem 3 ortogonais diferente do exemplo que demos anteriormente.
4. Mostrem que não existem 3 quadrados latinos de ordem 3 ortogonais dois a dois. 5. Calculem o número de quadrados latinos de ordem 3 ortogonais a um dado
qua-drado latino de ordem 3.
6. Calculem um par de quadrados latinos ortogonais de ordem 4.
7. Suponham que n é um inteiro ímpar. Seja A o quadrado n × n que na linha i e coluna j tem o menor resto positivo da divisão inteira por n de i + j; e seja B o quadrado n × n que na linha i e coluna j tem o menor resto positivo da divisão inteira por n de 2i + j. Mostrem que A e B são dois quadrados latinos ortogonais.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 17 de Março de 2012
LIGA D’ELFOS2012 MATCH4
Geometria Olímpica
1. [Pt] Sejam C e D pontos de uma circunferência tais que CD seja um diâmetro. Os pontos A e B estão em arcos opostos de CD. Seja E o ponto de AB tal CE ⊥ AB e F o ponto de AB tal que DF ⊥ AB. Sabendo que AE = 1, determinem BF . 2. [Es] Num triângulo ABC temos∠B = 2∠C e 2∠A > π. Seja D o ponto da recta
de suporte de AB tal que CD ⊥ AC e seja M o ponto médio do segmento BC. Mostrem que∠AMB = ∠DM C.
3. [Fr] Sejam A, B, C, D quatro pontos distintos sobre uma circunferência, tais que as rectas de suporte a AC e BD se intersectem em E, as rectas de suporte a AD e BC se intersectem em F e tais que as rectas de suporte a AB e CD não sejam paralelas. Mostrem que C, D, E, F estão sob uma circunferência se e só se EF ⊥ AB. 4. [De] Seja ABC um triângulo. Sejam E ∈ AC e F ∈ BC tais que AE = BF .
As circunferências determinadas por A, C, F e B, C, E intersectam-se em C e num ponto adicional que denotamos por D. Mostrem que CD bissecta∠ACB.
5. [Pl] Seja ABCD um tetraédro cujas quatro alturas são concorrentes num ponto H. Suponham que a recta de suporte a DH intersecta o plano determinado por ABC num ponto P e intersecta a esfera circunscrita em ABCD em D e num ponto adicional que denotamos por Q. Mostrem que P Q = 2HP .
6. [Hu] Seja ABCD um quadrilátero convexo. Seja P um ponto no interior do qua-drilátero tais que os triângulos ABP e CDP são ambos rectângulos em P e isósce-les. Mostrem que existe um ponto Q tal que os triângulos BCQ e ADQ são ambos rectângulos em Q e isósceles.
7. [Ro] Seja ABC um triângulo. Considerem D ∈ BC, E ∈ CA e F ∈ AB tais que BD DC = CE EA = AF F B.
Mostrem que se os circuncentros dos triângulos DEF e ABC coincidem então ABC é equilátero.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 14 de Abril de 2012
LIGAD’ELFOS2012 MATCH 5
O grau mínimo de um grafo
Para os nossos fins, um grafo é um conjunto finito de vértices (que podemos representar como pontos no plano) e um conjunto de arestas unindo esses vértices. Dados dois vértices (distintos) pode ou não existir uma e uma única aresta que os una. O grau de um vértice de um grafo é o número de arestas que partem dele. O mínimo dos graus dos vértices de um grafo designa-se por grau mínimo do grafo e denota-se por δ. Um caminho num grafo é uma sequência de vértices (v1, . . . , vk) tal que para cada i, vi
é distinto de vi+1 e existe a aresta entre estes vértices. Se v1 = vk então o caminho
(v1, . . . , vk) designa-e por ciclo. O comprimento de um ciclo é o número de arestas
percorridas, ou seja k − 1. Um grafo diz-se conexo se dados quaisquer dois vértices v e u existe um caminho (v, . . . , u), caso contrário, o grafo diz-se disconexo.
1. Dêem exemplos de grafos disconexos para n = |V | = 2, 3, 4, 5, . . . e δ = bn2c − 1. 2. Mostrem que um grafo, com conjunto de vértices V , é disconexo se e só se existem dois subconjuntos U e W de V , não-vazios, tais que V é reunião disjunta de U e W e qualquer aresta do grafo tem os seus dois vértices em U ou em W .
3. Considerem um grafo qualquer com n vértices. Mostrem que se δ ≥ bn2c então o grafo é conexo.
4. Mostrem que se δ ≥ 2, então existe um ciclo de comprimento pelo menos δ + 1. 5. Exibam um grafo com 6 vértices e δ = 3 que não contenha nenhum ciclo de
com-primento 3.
6. Mostrem que se existe um grafo com n vértices e δ = 3 que não contém nenhum ciclo de comprimento 3 então existem grafos com n + r vértices e δ = 3, para qualquer inteiro não negativo r, que não contêm ciclos de comprimento 3.
7. Calculem uma estimativa para o número mínimo de vértices que pode ter um grafo com δ = k e sem ciclos de comprimento k.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 28 de Abril de 2012
LIGAD’ELFOS2012 MATCH 6
Coordenadas Trilineares
Seja ABC um triângulo. Dado um qualquer lado de ABC, o semiplano positivo por ele definido é, por definição, aquele semiplano que contém o triângulo. Assim, para qualquer ponto P do plano, a distância de P a um lado do triângulo ABC pode ser afectada do sinal “+”, caso o ponto se encontre no semiplano positivo definido por esse lado, ou do sinal “−”, caso contrário. Tal número designa-se por distância orientada de P a um lado do triângulo. Denotemos por dA, dB e dC, respectivamente as distâncias
orientadas de P aos lados BC, AC e AB. As coordenadas trilineares de P relativamente a ABC são uma qualquer expressão da forma (kdA, kdB, kdC) com k ∈ R>0. Por
exemplo, (1, 2, 3), (2, 4, 6) e (0.5, 1, 1.5) são todas coordenadas trilineares do mesmo ponto. No que se segue, fixemos um dado triângulo ABC.
1. Mostrem que nenhum ponto do plano tem negativas todas as suas distâncias orien-tadas aos lados de ABC.
2. Calculem coordenadas trilineares do centro do incírculo de ABC.
3. Mostrem que o baricentro de ABC (a intersecção das medianas de ABC) tem coordenadas trilineares 1a,1b, 1c, onde a é o comprimento do lado BC, b é o com-primento do lado AC e c é o comcom-primento do lado AB.
4. Mostrem que o centro da circunferência circunscrita a ABC tem coordenadas tri-lineares (cos(∠A), cos(∠B), cos(∠C)), onde ∠A designa o ângulo ao vértice A, ∠B o ângulo ao vértice B e ∠C o ângulo ao vértice C.
5. Suponham que um ponto tem coordenadas trilineares (α, β, γ), onde α > 0, β > 0 e γ > 0. Mostrem que as distâncias de P a cada um dos lados de ABC são dadas por (kα, kβ, kγ) onde k = αa+βb+γc2∆ , com a, b, c os comprimentos dos lados de ABC (como descrito anteriormente) e ∆ a área de ABC.
6. Mostrem que para quaisquer (α, β, γ) com α > 0, β > 0 e γ > 0 existe um único ponto que tem coordenadas trilineares (α, β, γ).
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 19 de Maio de 2012
LIGAD’ELFOS2012 MATCH 7
Números de Newton
O número de Newton de uma circunferência do plano euclidiano é o número máximo de circunferências de igual raio que se podem dispor à sua volta tais que cada uma delas seja tangente à circunferência original e que sejam quando muito tangentes, i.e., cujos círculos abertos que definem sejam disjuntos; resulta, como veremos abaixo, que para o número de Newton estas circunferências “osculantes” são realmente tangentes entre si; mas isso, a priori, não é necessário. No espaço de dimensão ≥ 3 também se define o número de Newton das hiper-esferas correspondentes. Em particular, o número de Newton da esfera em R3 é o número máximo de esferas de igual raio que se conseguem dispor à sua volta de forma a que cada uma seja tangente à esfera original e que as bolas abertas que elas definem sejam disjuntas 2 a 2. A noção de número de Newton pode ser generalizada para outras figuras do plano e do espaço. Por exemplo, o número de Newton de um quadrado é 8. Isto quer dizer que o número máximo de quadrados congruentes com um dado quadrado que podem ser dispostos à volta deste, que lhe são tangentes e cujos interiores não se sobrepõem é 8.
1. Indiquem, justificando, o número de Newton da circunferência.
2. Mostrem que o número de Newton de um triângulo isósceles com ângulo da base igual a π/6 é ≥ 21.
3. Mostrem que o número de Newton de um quadrado é 8, i.e., que não existem mais do que 8 quadrados tangentes ao quadrado original que não se sobreponham. 4. Mostrem que o número de Newton de um pentágono regular é ≥ 6.
5. Mostrem que o número de Newton da esfera é ≥ 12.
6. Conseguem determinar um arranjo de 12 esferas tangentes a uma dada esfera no qual seja possível mover algumas dessas esferas sem mover as restantes?
7. Qual é a vossa melhor estimativa para o número de Newton de um tetraedro? (Justifiquem!)
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 2 de Junho de 2012
LIGAD’ELFOS2012 MATCH 8
Team Selection Tests
1. Suponham que hoje havia 42 délficos no Delfos e que cada délfico era amigo de exactamente 20 outros participantes. Mostrem que seria possível dividir os délfi-cos em 2 ou em 21 grupos com o mesmo número de elementos (i.e. com 21 ou 2 elementos, respectivamente) tais que cada 2 délficos de cada grupo fossem amigos. 2. Seja ABC um triângulo. Sejam M e K pontos pertencentes às semi-rectas −→AB e
−−→
CB tais que AM = AC = CK. Mostrem que o raio do circumcírculo do triângulo BKM é igual a OI onde O e I são os centros do circumcírculo e do incírculo de ABC, respectivamente, e mostrem que OI ⊥ M K.
3. Seja C um círculo e sejam E, F e G pontos colineares com E e G no exterior de C e F no interior de C. Mostrem que se ABCD for um quadrilátero inscrito em C tais que E, F e G pertençam às rectas de suporte a AB, AD e DC, respectivamente, então (quando se varia o quadrilátero sujeito a estas condições) o lado BC passa por um ponto fixo, ponto esse que é colinear com E, F e G.
4. Dado m ∈ N≥0, seja σ(m) a soma de todos os divisores de m, incluindo 1 e
m. Seja f : N → N, tal que f (n) é dada pelo número de elementos do conjunto {1 ≤ m ≤ n : σ(m) é ímpar}. Mostrem que há infinitos n tais que f (n) divide n. 5. Determinem o número máximo de reis que se podem colocar num tabuleiro de
Xadrez de 12 × 12 casas de forma a que cada rei ataque um e um só dos restantes reis. (Para quem não sabe, no jogo de Xadrez, 2 reis estão em ataque se as suas casas se tocarem num vértice ou ao longo de um dos seus lados.)
6. Sejam a1, . . . , aninteiros positivos e a > 1 um inteiro que é divisivel por a1a2· · · an.
Mostrem que an+1+a−1 não é divisivel por (a+a1−1)(a+a2−1) · · · (a+an−1).
7. Determinem todos os ternos (a, b, c) de inteiros positivos que gozam da seguinte propriedade: dado um primo p qualquer, se n é resíduo quadrático módulo p então an2 + bn + c é resíduo quadrático modulo p.1
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 28 de Junho de 2012
LIGA D’ELFOS2012 MATCH9
Team Selection Tests II
1. Seja (xn)n≥1 definida por x1 = 1, x2 = 2011 e xn+2 = 4022xn+1− xn, para todo o
n ≥ 1. Mostrem que (x2012 + 1)/2012 é inteiro e quadrado perfeito.
2. Determinem todos os inteiros positivos n ≥ 2 tais que, para todos os inteiros i, j com 0 ≤ i, j ≤ n, os inteiros i + j e ni + nj tenham a mesma paridade.
3. Seja C o circumcírculo de um triângulo acutângulo, ABC. Seja D o ponto médio do arco BAC e I o incentro do triângulo ABC. Sejam E e F os pontos em que a reta DI interseta o segmento BC e a circunferência C pela segunda vez, respetivamente. Seja P um ponto da reta AF tal que a reta P E seja paralela a AI. Mostrem que P E é a bissetriz do ângulo∠BP C.
4. Sejam a1, a2, a3, a4, a5 números reais, tais que |ai− aj| ≥ 1 para todo o i 6= j.
Suponham que existe um número real k tal que a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 2k e
a21 + a22 + a23 + a42 + a25 = 2k2. Mostrem que então k2 ≥ 253 .
5. Mostrem que existe n ≥ 1 tal que o inteiro 1! + 2! + · · · + n! tem um divisor primo maior que 102012.
6. Seja f : N≥1 → N≥1 definida por f (1) = p + 1 e f (n + 1) = p +Qnk=1f (k), onde
p é um número primo. Determinem todos os números primos p para os quais existe n tal que f (n) é um quadrado perfeito.
7. Seja f : R+0 → R +
0 uma função que, para quaisquer a, b ∈ R +
0, satisfaz:
(a) f (a) = 0 ⇐⇒ a = 0; (b) f (ab) = f (a)f (b);
(c) f (a + b) ≤ 2 max {f (a), f (b)}.
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 18 de Julho de 2012
LIGA D’ELFOS2012 MATCH 10
Teorema de Mantel
Um grafo (simples, não-orientado) G é constituído por um conjunto finito V (G) cu-jos elementos se designam por vértices de G, e por um subconjunto E(G) ⊂ V (G)2 do conjunto de todos os subconjuntos de V (G) com 2 elementos. Se u, v ∈ V (G) e {u, v} ∈ E(G) então vamos denotar a aresta {u, v} simplesmente por uv ou vu (a ordem não importa). Por exemplo, o grafo G, constituído por V (G) = {1, 2, 3, 4} e E(G) = {12, 13, 23} pode ser representado desenhando quatro pontos no plano: 1, 2, 3, 4 e arestas entre os pontos 1, 2, 3, formando um triângulo. Dado v ∈ V (G) o grau dev, que se denota por δ(v) é, por definição, o número de vértices u ∈ V (G) \ v para os quais uv ∈ E(G); por outras palavras δ(v) é o número de vértices a que v está ligado. O Teorema de Mantel diz que se num grafo com n vértices não existe um triân-gulo, i.e., um conjunto de 3 vértices que estão, 2 a 2, ligados entre si, então o número de arestas |E(G)| é no máximo n2/4.
1. Determinem o número de grafos com |V (G)| = 4, i.e., com 4 vértices.
2. Mostrem que se num grafo G todos os vértices têm grau ≥ 2, então G contém necessariamente um ciclo de comprimento ≥ 3, i.e., existem v1, . . . , vk ∈ V (G)
tais que v1v2, . . . , vk−1vk, vkv1 ∈ E(G) e k ≥ 3.
3. Mostrem quePv∈V (G)δ(v) = 2 |E(G)|. 4. Mostrem queP
uv∈E(G)(δ(u) + δ(v)) =
P
v∈V (G)δ(v)2.
5. Suponham que n é par. Mostrem que existe G com n vértices, com n2/4 arestas e que não possui nenhum triângulo.
6. Suponham que um grafo G não possui nenhum triângulo. Mostrem que X
uv∈E(G)
(δ(u) + δ(v)) ≤ |V (G)| |E(G)| .
Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 7 de Setembro de 2012
LIGA D’ELFOS2012 MATCH FINAL
Semigrupos numéricos
Um subconjunto não vazio S de N, fechado para a adição, i.e., satisfazendo a, b ∈ S =⇒ a+b ∈ S, se um semigrupo. Se S for semigrupo, 0 ∈ S e N\S for finito, então S diz-se um diz-semigrupo numérico. O maior inteiro que não pertence a S designa-diz-se por número de Frobenius de S. A cardinalidade de N \ S designa-se por género de S. Estes dois invariantes de S denotam-se por F (S) e g(S), respectivamente. Dados n1, . . . , nk ∈ N
denotem por hn1, . . . , nki o conjunto {α1n1 + · · · + αknk ∈ N : α1, . . . , αn ∈ N}.
1. Sejam n1, . . . , nk ∈ N. Mostrem que hn1, . . . , nki é um semigrupo.
2. Calculem o número de Frobenius e o género do semigrupo h5, 7, 9i.
3. Calculem o número de semigrupos numéricos com número de Frobenius 5 e o número de semigrupos numéricos com número de Frobenius 6.
4. Mostrem que se hn1, . . . , nki for semigrupo numérico então mdc(n1, . . . , nk) = 1.
5. Reciprocamente, mostrem que se mdc(n1, . . . , nk) = 1 então hn1, . . . , nki é
semi-grupo numérico.
6. Mostrem que g(S) ≥ F (S)+12 .
7. Se S = ha, bi, com a, b ∈ N e mdc(a, b) = 1 mostrem que (i) F (S) = ab − a − b,
