Teoria dos jogos Algorítmica e Otimização Combinatória

Atol Fortin de Oliveira

Orientadora: Cristina Gomes Fernandes

Instituto de Matemática e Estatística

Universidade de São Paulo

Casamentos estáveis

Leilões para publicidade associada à busca

Alocação de bens indivisívei*

Conteúdo

1

_{Casamentos estáveis}

Problema

Definições

Algoritmo para encontrar uma solução estável

Propriedades

2

Leilões para publicidade associada à busca

Problema

Definições

Casamentos estáveis

Dados um conjunto H de homens e um conjunto de M

mulheres de tamanho n.

Dada uma

ordem de preferência de cada pessoa para

pessoas do outro grupo.

Conteúdo

1

_{Casamentos estáveis}

Problema

Definições

Algoritmo para encontrar uma solução estável

Propriedades

2

Leilões para publicidade associada à busca

Problema

Definições

Ordem de preferência

Notação : h

1

m

h

2

Então, para toda mulher m de M temos sua ordem de

preferência sobre os homens de H:

Estabilidade - Par bloqueador

Um grupo de casamentos é estável se não existe um

par

bloqueador.

Um par (h

1

,

m

2

)

é bloqueador em uma determinada

alocação se existem dois casais (h

1

,

m

1

)

e (h

2

,

m

2

)

tal que:

Exemplo de um grupo de casamentos

Considerando as seguintes ordens de preferência

h

1

:

m

2

h

m

1

h

m

3

h

2

:

m

1

h

m

3

h

m

2

h

3

:

m

1

h

m

2

h

m

3

m

1

:

h

1

m

h

3

m

h

2

m

2

:

h

3

m

h

1

m

h

2

m

3

:

h

1

m

h

3

m

h

2

O grupo de casamentos (h

1

, m

1

), (h

2

, m

2

), (h

3

, m

3

) não é

estável.

Conteúdo

1

_{Casamentos estáveis}

Problema

Definições

Algoritmo para encontrar uma solução estável

Propriedades

2

Leilões para publicidade associada à busca

Problema

Definições

Algoritmo

Vamos ver apenas uma ideia do algoritmo da Proposta

Masculina.

Algum homem solteiro faz uma prosposta à mulher de

maior preferência que ainda não o rejeitou.

A mulher que recebe a prosposta decide se prefere

continuar com seu atual marido, ou se aceita a nova

proposta.

O algoritmo termina quando não existem mais homens

solteiros.

Simulando para o exemplo

h

1

:

m

2

h

m

1

h

m

3

h

2

:

m

1

h

m

3

h

m

2

h

3

:

m

1

h

m

2

h

m

3

m

1

:

h

1

m

h

3

m

h

2

m

2

:

h

3

m

h

1

m

h

2

m

3

:

h

1

m

h

3

m

h

2

Simulando para o exemplo

h

1

:

m

2

h

m

1

h

m

3

h

2

:

m

1

h

m

3

h

m

2

h

3

:

m

1

h

m

2

h

m

3

m

1

:

h

1

m

h

3

m

h

2

m

2

:

h

3

m

h

1

m

h

2

m

3

:

h

1

m

h

3

m

h

2

O homem h

1

faz proposta à mulher m

2

que o aceita. Temos a

Simulando para o exemplo

h

1

:

m

2

h

m

1

h

m

3

h

2

:

m

1

h

m

3

h

m

2

h

3

:

m

1

h

m

2

h

m

3

m

1

:

h

1

m

h

3

m

h

2

m

2

:

h

3

m

h

1

m

h

2

m

3

:

h

1

m

h

3

m

h

2

O homem h

2

faz proposta à mulher m

1

que o aceita. Temos a

Simulando para o exemplo

h

1

:

m

2

h

m

1

h

m

3

h

2

:

m

1

h

m

3

h

m

2

h

3

:

m

1

h

m

2

h

m

3

m

1

:

h

1

m

h

3

m

h

2

m

2

:

h

3

m

h

1

m

h

2

m

3

:

h

1

m

h

3

m

h

2

O homem h

3

faz proposta à mulher m

1

que o aceita, rejeitando

Simulando para o exemplo

h

1

:

m

2

h

m

1

h

m

3

h

2

:

m

1

h

m

3

h

m

2

h

3

:

m

1

h

m

2

h

m

3

m

1

:

h

1

m

h

3

m

h

2

m

2

:

h

3

m

h

1

m

h

2

m

3

:

h

1

m

h

3

m

h

2

O homem h

2

faz proposta à mulher m

3

que o aceita. Temos a

alocação (h

1

,

m

2

), (h

2

,

m

3

), (h

3

,

m

1

), chegando ao fim do

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_{Casamentos estáveis}

Problema

Definições

Algoritmo para encontrar uma solução estável

Propriedades

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Leilões para publicidade associada à busca

Problema

Definições

Propriedades

O algoritmo encontra uma solução em tempo O(n

2

).

A solução encontrada é um grupo de casametos estável.

O algoritmo encontra um

grupo de casamentos ótimo

para os homens.

Ótimo masculino

O algoritmo encontra um grupo de casamentos X ótimo

para os homens.

Ou seja, não existe um grupo de casamentos Y estável tal

que Y (h) 

h

X (h), para todo h ∈ H.

Prova de estratégia

E também, o algoritmo é à prova de estratégia para os

homens.

Ou seja, nenhum homem pode se beneficiar ao declarar

um ordem de preferência que não seja sua real

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_{Casamentos estáveis}

Problema

Definições

Algoritmo para encontrar uma solução estável

Propriedades

2

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Problema

Definições

Leilões para publicidade associada à busca

Leilões para publicidade associada à busca

Dado um conjunto I de compradores de tamanho n.

Dado um conjunto J de itens de tamanho k .

Dados preços mínimos r

i,j

.

Dados valores ideais v

i,j

.

Dados preços máximos m

i,j

.

Queremos encontrar uma

alocação ótima de itens aos

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Problema

Definições

Algoritmo para encontrar uma solução estável

Propriedades

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Problema

Definições

Alocação ótima

Uma alocação é ótima se não existe nenhuma outra

alocação que deixe todos os compradores mais felizes.

(sem piorar a satisfação de nenhum deles)

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Definições

Algoritmo para encontrar uma solução estável

Propriedades

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Problema

Definições

Ideia do algoritmo

O algoritmo consiste em encontrar

caminhos alternantes

de peso mínimo em um grafo bipartido definido pelos

compradores e pelos itens.

O algoritmo é polinomial em n e k .

O algoritmo encontra uma solução ótima.

O algoritmo é à prova de estratégia.

Finalizando

Os algoritmos foram implementados e as propriedades

garantidas por eles foram testadas e confirmadas, dentro

do possível.

Ainda falta concluir algumas provas.

Podemos estudar as variantes e extensões de cada

problema.