XX SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GRUPO DE ESTUDO DE PRODUÇÃO TÉRMICA E FONTES NÃO CONVENCIONAIS - GPT

(*) Av. Sete de Setembro, n˚ 4476 – 3° andar – CEP 80.250-210, Curitiba, PR, Brasil. Tel: (+55 41) 3023-3343 – Fax: (+55 41) 3023-3343 – Email: alvaro@electrapower.com.br DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA XXX.YY 22 a 25 Novembro de 2009 Recife - PE GRUPO – II

GRUPO DE ESTUDO DE PRODUÇÃO TÉRMICA E FONTES NÃO CONVENCIONAIS - GPT UM MODELO ANALÍTICO PARA MÁQUINAS SÍNCRONAS DE ROTOR CILÍNDRICO

Alvaro Augusto de Almeida (*) ELECTRA POWER GERAÇÃO DE ENERGIA S.A.

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR

RESUMO

O presente artigo apresenta o desenvolvimento, a partir de soluções de harmônicos cilíndricos, de um modelo analítico para o campo magnético de uma máquina síncrona de rotor cilíndrico, funcionando a vazio, e cujo rotor é excitado por uma única bobina de N espiras por polo. A seguir, os resultados são analisados do ponto de vista das variações radial e tangencial das induções e intensidades magnéticas. Dentre outras conclusões, mostra-se também que o modelo prevê corretamente que as distribuições no entreferro podem ser suavizadas (i.e., ser tornadas mais senoidais) com o uso de mais de uma bobina rotórica por polo.

PALAVRAS-CHAVE

Harmônicos, Laplace, Modelo, Analítico, Magnetização. 1.0 - INTRODUÇÃO

O estudo das distribuições de induções magnéticas em máquinas elétricas de corrente alternada pode ser feito em dois níveis bastante diferentes. O primeiro deles parte de considerações qualitativas a respeito dos campos magnéticos no rotor, estator e entreferro e de grandes simplificações, como a de que toda a relutância do caminho magnético está concentrada no entreferro. Tais considerações são geralmente feitas por economia de tempo e também por facilidade de análise (1). Por outro lado, durante o projeto e dimensionamento de máquinas elétricas, os engenheiros empregam atualmente métodos computacionais, geralmente associados a elementos finitos, os quais permitem um segundo nível de análise muito mais detalhado e preciso (2). A desvantagem desse método reside na dificuldade de se realizar estudos paramétricos de otimização, nos quais vários parâmetros devem ser alterados sucessivas vezes.

Uma terceira alternativa viável é o da solução analítica das equações de Laplace para a máquina elétrica. Embora tal alternativa não possa ser adotada para geometrias e situações operacionais complexas (e.g., uma máquina saturada de pólos salientes), é possível mostrar que algumas soluções analíticas são possíveis para geometrias e situações mais simples. Esse é o caso das máquinas de pólos cilíndricos operando na região linear do material ferromagnético. As soluções analíticas também têm inegáveis vantagens didáticas, além de contribuirem para o entendimento do funcionamento da máquina e poderem ser usadas nas etapas preliminares do projeto da máquina, mostrandos-se assim adequadas a estudos paramétricos iniciais.

Modelos magnéticos analíticos têm sido propostos para vários tipos de máquinas desde, pelo menos, a década de 30, quando F. Ollendorf publicou um trabalho no qual a teoria eletromagnética de Maxwell foi pela primeira vez aplicada rigorosamente ao estudo e projeto de máquinas elétricas (3). Muitas das análises existentes adotam

hipóteses simplificadoras a respeito das permeabilidades de ímãs permenentes e de demais materiais ferromagnéticos usados na máquina. Contudo, Zhu e Chan (4) mostraram recentemente que é possível resolver as equações de Laplace e quase-Poisson para uma máquina de corrente contínua sem escovas (BLDC) sem que tais hipóteses sejam adotadas. Kumar e Bauer (5) desenvolveram um modelo analítico aperfeiçoado para máquinas BLDC, mostrando que, mesmo nos casos em que o efeito das ranhuras é levado em conta, tais modelos fornecem boas respostas em comparação aos cálculos por elementos finitos, sendo, portanto, úteis e adequados aos processos iniciais de otimização multiobjetivo das máquinas.

No presente artigo, uma função magnetização não uniforme é incialmente proposta e então expandida em série de Fourier. A seguir, tal magnetização é empregada para se resolver a equação de Laplace para o caso de uma máquina síncrona de rotor cilíndrico e estator a vazio. A partir de considerações analíticas e gráficas, algumas conclusões são extraídas a respeito do conteúdo harmônico da indução magnética no entreferro. Embora as distribuições de induções ao longo do entreferro, para uma única bobina por polo, não sejam senoidais, mostra-se que distribuições aproximadamente senoidais podem ser obtidas usando-se mais de uma bobina rotórica por polo.

2.0 - FORMULAÇÃO DO MODELO PARA MAGNETIZAÇÃO ROTÓRICA NÃO UNIFORME

Considere-se inicialmente uma máquina bipolar com a configuração básica ilustrada na Figura 1. O rotor de raio

a

é cilíndrico e tem permeabilidade magnética

µ

2. O estator tem raio interno

b,

raio externo

c

e permeabilidade

magnética µ1. As coordenadas cilíndricas são

r

e

θ. A máquina tem

p

pares de polos. Considere-se ainda as

seguintes hipóteses: (a) os materiais ferromagnéticos do rotor e do estator são magneticamente uniformes e isotrópicos e operam na região linear das respectivas curvas de magnetização; (b) a magnetização rotórica é produzida unicamente por uma densidade superficial de correntes de magnetização e as densidades volumétricas de corrente de magnetização são consideradas desprezíveis, assim como as densidades de corrente convencionais; (c) por simplicidade, os campos são calculados apenas sobre o plano equatorial da máquina, desconsiderando-se o efeito das extremidades. O modelo resultante será, portanto, bidimensional; (d) supõe-se, ainda, a existência de potencias escalares magnéticos ϕ em cada região do espaço e desconsidera-se o efeito das ranhuras do estator e do rotor.

A nulidade das densidades de corrente convencionais garante a validade da equação de Laplace para o potencial escalar, ou seja,

∇

2

ϕ

=

0

. A intensidade magnética em cada região, em A/m, pode então ser obtida por derivação

imediata dos potenciais escalares:

=

−

∇

ϕ

r

r

H

.

FIGURA 1 – Configuração básica de uma máquina monofásica bipolar de rotor cilíndrico.

Por causa da simetria da máquina, os potenciais podem ser escritos em função de harmônicos cilíndricos, os quais são soluções conhecidas da equação de Laplace (6). Adotando-se os sub-índices

i=0

para o entreferro

(a≤r≤b)

,

i=1

para o estator

(b≤r≤c)

,

i=2

para o rotor

(r≤a)

e

i=3

para a região externa ao estator

(r≥c)

, e ainda denotando-se o harmônico genérico por

h=2n+1

, com

n

inteiro positivo, os potenciais escalares podem ser escritos como um somatório de harmônicos cilíndricos ímpares

(

,

)

(

)

cos

(

)

,

1

∑

∞ = −

_×

+

=

h hp ih hp ih i

r

θ

A

r

C

r

hp

θ

ϕ

(1)

sendo

i=0, 1, 2, 3

e onde

A

ih e

C

ih são coeficientes a serem obtidos a partir das condições de contorno,

conforme procedimento descrito no item 3.0. Em seguida, as intensidades magnéticas podem ser obtidas por derivação direta dos potenciais escalares da relação (1)

,

0,1,2,3

,

ˆ

ˆ

₋

1

_∂

₌

−∂

=

∇

−

=

−

i

a

r

a

H

i

ϕ

i r

ϕ

i r θ

ϕ

i θ

r

r

(2) onde os símbolos

∂

_r e

∂

_θ representam as respectivas derivadas em relação a

r

e θ, e

aˆ

_r e

aˆ

_θ representam os versores nas direções

r

e θ, respectivamente. Aplicando-se (1) em (2), vem

(

)

(

)

∑

(

)

(

)

∑

∞ = − ∞ = − − −

₋

_×

₊

₊

_×

=

1 1 ) 1 ( ) 1 (

_ˆ

cos

ˆ

h hp ih hp ih h r hp ih hp ih i

hp

C

r

A

r

a

hp

hp

C

r

A

r

a

sen

hp

H

r

θ

_θ

θ

(3)

Algumas considerações devem ser feitas para se obter os coeficientes dos harmônicos. No rotor, em

r=0

, o campo não pode ser infinito. Logo, o coeficiente

C

2h deve ser nulo. No exterior da máquina, o campo não pode ser

crescente. Assim, o coeficiente

A

3h também deve ser nulo. No momento não serão formuladas hipóteses

adicionais sobre os campos nas outras regiões da máquina.

Os demais coeficientes de (1) podem ser obtidos a partir das condições de contorno nas interfaces. Por exemplo, em

r=a

, a componente tangencial

H

hθ deve ser contínua, ou seja,

H

2hθ

= H

0hθ , ou

∂

θ

ϕ

2h

=

∂

θ

ϕ

0h, em termos

dos potenciais escalares. Calculando-se as derivadas, vem que

(

)

h

hp h

h

A

a

C

A

₂

−

₀

×

2

=

₀ . (4)

A segunda condição de contorno em

r

=

a

diz respeito à componente radial da indução magnética, que deve ser contínua, ou seja,

B

2hr

= B

0hr. Escrevendo-se essa expressão em termos da intensidade magnética

H

2hr e da

componente radial da magnetização

M

2hr vem que

µ

0

(H

2hr

+ M

2hr)=

µ

0

H

2hr (para

r=a).

Por outro lado,

escrevendo-se essa identidade em termos dos potenciais escalares, vem

h r hr h r

ϕ

2

+

M

2

=

−∂

ϕ

0

∂

−

. (5)

O próximo passo teórico é escolher a função magnetização não uniforme mais simples e analiticamente tratável, que possa ser usada na solução analítica da equação de Laplace. Para tanto, considere-se o rotor cilíndrico mostrado na Figura 2, cuja magnetização é produzida por dois condutores percorridos por corrente de intensidade

I

, localizados em

y=d e

y=

–

d

, pertencentes a uma única bobina de

N

espiras por polo. O potencial vetorial magnético produzido por esses dois condutores, medido sobre o plano equatorial do rotor, será

(

r

r

)

k

NI

A

ln

ˆ

2

1 2 2 2

π

µ

=

r

, (6)

ou, em termos das coordenadas cartesianas usuais

k

d

y

x

d

y

x

NI

A

ˆ

)

(

)

(

ln

4

2 2 2 2 2 2













+

+

−

+

×

=

π

µ

r

. (7)

A indução magnética pode ser calculada a partir de

B

₂

A

₂

r

r

r

×

∇

=

, convertida para coordenadas cilíndricas e a seguir generalizada para

p

pares de polos

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

ˆ

.

2

2

2

ˆ

2

cos

2

cos

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ

θ

θ

θ

θ

π

µ

θ

θ

θ

θ

π

µ

a

p

rdsen

d

r

p

dsen

r

p

rdsen

d

r

p

dsen

r

NI

a

p

rdsen

d

r

p

d

p

rdsen

d

r

p

d

NI

B

_r

×













+

+

−

+

−

+

−

+

+

×













+

+

+

−

+

=

r

(8)

FIGURA 2 – Enrolamento elementar de um rotor magnetizado não uniformemente.

Sabendo-se que o rotor opera na região linear da curva de magnetização, tanto a permeabilidade magnética µ2

quanto a susceptibilidade magnética χ2 serão constantes. Logo, ter-se-á que

M

2

=

(χ

2/µ2)

B

2. É então possível

supor que uma candidata a função magnetização não uniforme para o rotor em questão pode ser escrita como

(

)

(

)

(

)

(

)













+

+

+

−

+

=

θ

θ

θ

θ

π

χ

p

rdsen

d

r

p

d

p

rdsen

d

r

p

d

NI

M

_r

2

cos

2

cos

2

2 2 2 2 2 2 , (9)

(

)

(

)

(

)

(

)













+

+

−

+

−

+

−

=

θ

θ

θ

θ

π

χ

θ

p

rdsen

d

r

p

dsen

r

p

rdsen

d

r

p

dsen

r

NI

M

2

2

2

2 2 2 2 2 2 . (10)

A solução da equação de Laplace para a magnetização proposta requer que esta seja expandida em uma série de Fourier de harmônicos ímpares. A expansão da componente radial da magnetização é dada por

( )

(

θ

)

π

χ

θ

NI

a

hp

M

h hr r

cos

2

₁ 2 2

∑

∞ =

=

, (11) onde

( )

(

)

∫

−

=

π π

θ

θ

θ

π

M

hp

d

a

_hr

1

_2r

cos

. (12)

Os coeficientes

a

hr, embora associados a integrais complicadas, podem ser obtidos analiticamente para

h=1

e a

seguir generalizados para

h>1

, por meio de integração numérica, resultando em

( )

* ( 1)

1

2

−

− −

=

h h h hr

d

r

a

,

r

≥

d

, (13)

( )

* ( 1)

1

2

−

− −

=

h h h hr

d

r

a

,

r

<

d

, (14)

onde

h

*

=h(h+1)/2+1

. Note-se que, para fins de aplicação das condições de contorno, o coeficiente de interesse é aquele para

r≥d

. A componente tangencial da magnetização, que será posteriormente necessária para o cálculo da componente tangencial da indução magnética no rotor, é dada por

( )

(

θ

)

π

χ

θ

θ θ

a

sen

hp

NI

M

h h

∑

∞ =

=

1 2 2

2

, (15)

com os seguintes coeficientes

( )

* ( 1)

1

2

−

− −

=

h h h h

d

r

a

_θ ,

r

≥

d

, (16)

( )

* ( 1)

1

2

−

− −

−

=

h h h h

d

r

a

_θ ,

r

<

d

. (17)

As Figuras 3 e 4 ilustram, respectivamente, as componentes radial e tangencial da magnetização, para o caso de uma máquina-teste bipolar com as seguintes características:

a

= 30 cm,

b

= 35 cm,

c

= 70 cm,

d

= 28 cm,

NI

= 150 Ae/pólo e µ1 = µ2 = 1.000µ0.

FIGURA 3

Componente radial da magnetização rotórica. Componente tangencial da magnetização rotórica. FIGURA 4

3.0 - RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Inserindo-se na equação (5) a magnetização dada por (11), com o coeficiente

a

hr dado por (13) e os potenciais

escalares dados por (1), têm-se a segunda equação de contorno

(

)

( ) h( p)

_{( )}

h h h p h h

A

a

C

a

NI

h

d

A

₂

−

₀ 21+

+

₀ 1−

=

_χ

₂

_π

−1 −1

−

1

* , (18)

As demais equações de contorno, em

r

=

b

e

r

=

c

, podem ser obtidas a partir de considerações semelhantes. O resultado é o seguinte sistema de seis equações e seis incógnitas

(

)

h hp h h

A

a

C

A

₂

−

₀

×

2

=

₀ (19)

(

)

h p

( )

h h h p h h h

A

a

C

a

NI

h

d

A

₂

−

₀

×

(1+ )

+

₀ (1− )

=

₂ −1 −1

−

1

*

π

χ

(20)

(

)

hp h h h h

A

C

C

b

A

_{1 0 0 1 1 0 0} 2 1 −

×

−

=

−

µ

µ

µ

µ

(21)

(

)

h hp h h

C

c

A

C

1 1 2 3 0 1 1

µ

µ

µ

−

×

−

=

(22)

(

)

hp h h h h

A

C

C

b

A

₀

−

₁

=

₁

−

₀

×

−2 (23)

(

)

hp h h h

C

C

c

A

₁

=

₃

−

₁

×

−2 (24)

( )

) 1 ( 2 0

2

1

* p h h h h

ha

d

NI

C

=

−

₋

π

χ

, (25)

₍

₎

hp

(

₍

)

₎

hp h h

b

c

C

A

_{2 2} 0 1 2 2 0 1 0 1 0 0 1

2

×

−

−

×

+

−

=

µ

µ

µ

µ

µ

µ

µ

, (26) hp h h

A

c

C

2 0 1 0 1 1 1



×











−

+

×

=

µ

µ

µ

µ

, (27)

A

_0h

=

A

_1h

+

b

−2hp

×

(

C

_1h

−

C

_0h

)

, (28) 0 1 1 1 3

2

µ

µ

µ

+

=

h h

C

C

, (29)

( )

h p h h h h

A

ha

d

NI

A

2 _{(1 ) 0} 2

2

1

*

+

−

=

₊

π

χ

. (30)

Apesar da grande simplicidade das soluções acima, uma vez substituídas nas expressões das intensidades magnéticas dadas por (3), as expressões resultantes tornam-se bastante extensas. Portanto, é mais interessante expressar as intensidades magnéticas de forma implícita, em função das constantes (25) a (30). As induções magnéticas nas diversas regiões da máquina decorrem das intensidades magnéticas, das relações constitutivas e das magnetizações. Para

r≥d

, por exemplo, vem que

(

₀ 1 ₀ 1

)

cos(

)

0 0 0 0

µ

H

µ

hp

C

r

A

r

hp

θ

B

h hp hp h hr hr − − −

−

=

=

, (31)

(

_{0 0}

)

(

)

0 0 0 0 θ

µ

H

θ

µ

hp

C

r

A

r

sen

hp

θ

B

h hp hp h h h

=

=

+

− , (32)

(

₁ 1 ₁ 1

)

cos(

)

1 1 1 1

µ

H

µ

hp

C

r

A

r

hp

θ

B

_hr

=

_hr

=

_h −hp−

−

_h hp− , (33)

(

_{1 1}

)

(

)

1 1 1 1θ

µ

H

θ

µ

hp

C

r

A

r

sen

hp

θ

B

h hp hp h h h

=

=

+

− , (34)

(

)

(

( )

1

1

)

cos(

)

2 1 1 1 2 0 2 2 0 2 *

θ

π

χ

µ

µ

H

M

h

NI

h

d

r

A

r

hp

B

hp h h h h hr hr hr − − − − −

₋

₋

=

+

=

, (35)

(

_{2 2}

)

₀

(

₂ 1 1

( )

1

1 ₂

)

(

)

0 2 *

θ

π

χ

µ

µ

_{θ θ} θ

H

M

h

NI

h

d

r

A

r

sen

hp

B

_h

=

_h

+

_h

=

− −

−

h h −h−

+

_h hp _{, (36)}

)

cos(

1 3 0 3 0 3

µ

H

µ

hpC

r

hp

θ

B

hr hr h hp − −

=

=

, (37)

)

(

3 0 3 0 3θ

µ

H

θ

µ

hpC

r

sen

hp

θ

B

h h h hp −

=

=

. (38)

O modelo magnético assim obtido pode ser implementado em um software numérico ou até mesmo em uma planilha eletrônica. As Figuras 5 e 6 mostram os resultados obtidos para as componentes radiais e tangenciais das induções magnéticas, respectivamente. Os campos no exterior da máquina não são mostrados, por serem desprezíveis em relação aos campos no interior. Os cálculos foram feitos para a mesma máquina-teste das Figuras 3 e 4 e foram incluídos os primeiros 51 harmônicos ímpares (

h

= 1 a

h

= 101).

FIGURA 5

Componentes radiais das induções magnéticas Componentes tangenciais das induções magnéticas. FIGURA 6

As Figuras 7 e 8 mostram a variação radial das componentes radial e tangencial da indução magnética, para vários valores do ângulo θ. Nota-se que o modelo apresenta problemas de convergência em torno de r = 28 cm, onde se localizam as bobinas. Todavia, as induções para

r<28

cm e

r>28

cm são calculadas corretamente, inclusive com a previsão das reduzidas induções tangenciais que se espera no entreferro (as simulações indicam

que, como esperado, o aumento da largura do entreferro resulta em correspondente aumento das componentes tangenciais da indução, especialmente para valores de θ próximos à linha magnética neutra do rotor). As Figuras 9 e 10 mostram a variação radial das componentes radial e tangencial da intensidade magnética, também para vários valores do ângulo θ. Como esperado, os maiores valores da intensidade magnética encontram-se na região do entreferro e praticamente se anulam para a região do estator e para a região externa à máquina.

FIGURA 7

Variação radial da componente Br

FIGURA 8

Variação radial da componente Bθ

FIGURA 9

Variação radial da componente Hr

FIGURA 10

Variação radial da componente Hθ

Embora a distribuição de induções ao longo do entreferro não seja senoidal, como fica evidente da Figura 5, o modelo prevê corretamente que é possível tornar mais senoidal essa distribuição, desde que se empregue mais de uma bobina de

N

espiras por polo no rotor. Isso é mostrado na Figura 12, para o caso do rotor de sete bobinas por polo da Figura 11.

FIGURA 11

Rotor cilíndrico de sete bobinas Distribuição de induções em r = 35 cm, FIGURA 12 produzida pelo rotor da Figura 11

4.0 - CONCLUSÕES

O modelo analítico desenvolvido prevê corretamente o comportamento das induções e intensidades magnéticas em uma máquina de rotor cilíndrico não uniformemente magnetizado a partir de uma única bobina, embora apresente problemas de convergência em torno de r = d, onde se localizam os lados da bobina. Trabalhos futuros poderão envolver a comparação do modelo analítico com os resultados advindos de uma simulação por elementos finitos, bem como a ampliação do presente estudo para o caso de um estator trifásico sob carga.

5.0 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

(1) McPHERSON, G., LARAMORE, R. An introduction to electrical machines and transformers. John Wiley & Sons, 1990.

(2) BASTOS, J.P.A. Eletromagnetismo e cálculo de campos. 3 ed, Florianópolis: UFSC, 1996. 452 p.

(3) SAUNDERS, R.M. Electromechanical energy conversion in double cylindrical structures. IEEE Trans. Power App. Sys., v. 82, n. 68, Oct. 1963.

(4) ZHU, Z.Q., CHAN, C.C. Improved analytical model for predicting the magnetic field distribution in brushless permanent-magnet machines. IEEE Trans. Mag., v. 38, n. 1, Jan. 2002.

(5) KUMAR, P., BAUER, P. Improved analytical model of a permanent-magnet brushless DC motor. IEEE Trans. Mag., v. 44, n. 10, Oct. 2008.

(6) REITZ, J.R., MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W. Fundamentos da teoria eletromagnética. Rio de Janeiro: Campus, 1991. 516 p.

6.0 - DADOS BIOGRÁFICOS

Alvaro Augusto de Almeida graduou-se em Engenharia Industrial Elétrica, ênfase Eletrotécnica, em 1989, pelo Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná – CEFET-PR, atual Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. De 1989 até 1992 trabalhou na área de engenharia biomédica, desenvolvendo projetos de respiradores artificiais eletrônicos. Entre 1992 e 1994 trabalhou como engenheiro na Telecomunicações do Paraná – Telepar e entre 1994 e 2001 trabalhou como engenheiro na Companhia de Energia do Paraná – Copel, nas áreas de Planejamento da Expansão e Operação da Geração. Em 1999 concluiu uma pós-graduação em Finanças Empresariais, pelo ISAE/FGV e, em 2001, uma pós-graduação em Desenvolvimento em Ambiente WEB, pela PUC-PR. Atualmente é assessor da diretoria da Electra Power Geração de Energia S.A. e professor do curso de Engenharia Industrial Elétrica da UTFPR, onde tem lecionado as disciplinas de Máquinas Elétricas, Sistemas Elétricos de Potência e Eletromagnetismo desde 1991 (graduação), bem como Engenharia Econômica desde 2005 (pós-graduação).