UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas TABELAS DE VIGAS:

(1)

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Departamento de Engenharia de Estruturas

TABELAS DE VIGAS:

Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito

Revisão e adaptação:

Libânio Miranda Pinheiro

Bruna Catoia

Thiago Catoia

Colaboração:

Marcos Vinicius Natal Moreira

(2)

(3)

TABELA 3.1a

DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA

CASO VINCULAÇÃO E

CARREGAMENTO _w_max_xEQUAÇÃO DA ELÁSTICA

1 p



x EI p 8 1 _4 0



₄ ₃



EI 24 p4 _4 _ __ 2 p



EI p 30 1 _4 0



5 4



EI 120 p4 _5 _ __ 3 p



EI p 120 11 _4 0



₅ ₁₅ ₁₁



EI 120 p 4 ₅ ₄         4  P EI P 3 1 _3 0



3 2



EI 6 P3 _3_ __ 5  M EI M 2 1 _2 0





2 2 1 EI 2 M_ __ 6  p x EI p 384 5 _4  5 , 0



₂ ₁



EI 24 p4 _3_ _2_ 7 p



(*) 4 EI p 460 3 _ ₀_,₅₁₉_





7 10 3 EI 360 p4 _4 _ _2 _ 8



p EI p 120 1 _4  5 , 0





(**) 2 4 4 25 40 16 EI 960 p_  _ _ _ _ 9 P  2 2 EI P 48 1 _3  5 , 0





(**) 2 3 3 4 EI 48 P_  _ _ _ 10 P a b x ) b a (  3 2 2 3 b EI 3 Pb      _          3 b2 2 



2 2 2



x b EI 6 Pbx : a x _     EI 3 b Pa : a x 2 2 



2 2



x a x 2 EI 6 ) x ( Pa : a x  _     11



M EI M 3 9 1 _2  423 , 0



₃ ₂



EI 6 M2 _2_ __ 12 M a b ) 423 , 0 a (  _ 3 2 2 b 3 EI 3 M                 2 2 b 3 



2 3b2 x2



EI 6 Mx : a x _   



x 3a 2 x



EI 6 ) x ( M : a x  2  2  

Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.

 / x 

(4)

TABELA 3.1b

DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA

CASO VINCULAÇÃO E

CARREGAMENTO _w_max_xEQUAÇÃO DA ELÁSTICA

13  M M x 8EI M_2  5 , 0 



₁__



EI 2 M_2 14



p x (*) 4 EI p 554 3 _  422 , 0



4  3



4 3 2 EI 48 p_ 15 p



(*) 4 EI p 1258 3 _  447 , 0



5  3 



4 2 EI 120 p_ 16 p



(*) 4 EI p 328 1 _  402 , 0



₂ ₁₀ ₁₁ ₃



EI 240 p4 5 4 3 17  M EI 27 M_2  3 1





    3 2 2 2 EI 4 M_ 18



p x EI p 384 1 _4  5 , 0 4



4 3 2



2 EI 24 p_ _ _ _ __ 19 p



(*) 4 EI p 764 1  ₀_,₅₂₅_ 4



5 3 2



2 3 EI 120 p_ _ _ _ _ _ 20



p EI p 3840 7 _4  5 , 0





(**) 2 3 5 4 25 40 16 EI 960 p       21 P



2 2



EI P 192 1 _3  5 , 0





(**) 2 3 3 3 4 EI 48 P      22 p a

_

a x



2 3 3



a 3 a 6 EI 24 pa   



2 2



2 a 24 5 EI 384 p    a   5 , 0



3 2 2 3 2



a 6 x a 6 ax 4 x EI 24 px : 0 x     



3 2 2 2 3



a 6 x a 6 x 2 x EI 24 px : x 0           23



a a P P x



2a 3_



EI 6 Pa2 _ EI 8 Pa_2  a   5 , 0



x 3ax 3a



EI 6 Px : 0 x 2  



_



    x x EI 2 Pa : x 0

Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.

 / x 

(5)

TABELA 3.1c

DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA CASO VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO _w_max_x 24 p xa b





4 3 4 b b 4 3 EI 24 p   _  0 25 p a b





3 2 3 a a 10 20 EI 120 pa   _  0 26 p a _b c/2 c/2 _(*) 3 2 2 64 c 4 c a 2 a 2 ab EI 6 pc                    a 27 P a b P a x



2 2



a 4 3 EI 24 Pa _  0,5 28 P P  3  3 3 EI P 648 23 3  5 , 0 29 P P 4  4 4 P 4    EI P 384 19 _3  5 , 0 30 P P 5 5 5 P 5 P 5      _EI P 1000 63 _3  5 , 0 31 P 2 2   ₂₄₀5 P_EI 3  ₀_,₄₄₇_ 32 P P b a a x EI b Pa 24 1 2  5 , 0 33 p a _ x



3 2 3



a 4 a 3 EI 24 pa     a 34 p a _ x







20a 15a 7a 12



a EI 360 p 4 _ 2 2 _ 3 _ _    __a 35 P a _ x



a



EI 3 Pa2 __a 36 p a _





3 2 3 a 6 a 6 EI 48 pa     a 37 P a _ ₆_EI



4a 3



Pa2 _ __a 38 a M  x



2a



EI 4 Ma _  a

Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971).

Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. (*) Não corresponde necessariamente ao deslocamento máximo

(6)

TABELA 3.2a

MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO

A  B C  D E  F CARREGAMENTO MBA MCD MDC MEF 1 p 8 p_2  12 p_2 12 p_2  8 p_2 2 p a c a





2 2 _c 3 16 pc   _ 





2 2 c 3 24 pc   





2 2 _c 3 24 pc   _ 





2 2 _c 3 16 pc    3 p c b





2 2 2 2 c 2 8 pc _  _ 





2 2 2 2 c bc 4 b 6 12 pc _ _ 





2 2 2 c bc 4 12 pc _  





2 2 2 b 8 pc _   4 /2 p /2 2 p 128 7   2 p 192 11  2 p 192 5   2 p 128 9  5 p c a





2 2 2 a 8 pc   _ 





2 2 2 c ac 4 12 pc  





2 2 2 2 c ac 4 a 6 12 pc    





2 2 2 2 c 2 8 pc    6 p /2 /2 2 p 128 9   2 p 192 5  2 p 192 11   2 p 128 7  7 _a _a p



3 2a



4 pa2 _  _  6



3 2a



pa2 _   6



3 2a



pa2 _  _  4



3 2a



pa2 _   8 a a p p



₃ ₂_a



4 pa2 _  _ 





2 2 2 a 2 pa _  





2 2 2 a 2 pa _  _  4



3 2a



pa2 _   9 a P b



a



2 Pab 2   _  2 2 Pab  2 2 b Pa  



b



2 Pab 2   10 P /2 /2 16 P 3 _  8 P_ 8 P_  16 P 3 _ 11 a a P P



a



2 Pa 3   _ 



a



Pa   



a



Pa   _  2



a



Pa 3    12 P P /3 /3 /3 3 P_  9 P 2 _ 9 P 2 _  3 P_ 13 P P /4 P /4 /4 /4 32 P 15 _  16 P 5 _ 16 P 5 _  32 P 15 _ 14 P P a P P (*) a a a a 8n



n 1



P 2 _  



n 1



n 12 P 2 _





1 n n 12 P 2 _  



n 1



n 8 P 2 _ 15 a b M



2 2



2 3a 2 M   _  



3b 2



Mb 2 



2 3a



Ma 2   _ 





2 2 2 3b 2 M    16 P P a/2 P P (*) a a a a/2 ₁₆_n



2n 1



P 2 _  



2n 1



n 24 P 2_





1 n 2 n 24 P 2 _  



2n 1



n 16 P 2_

Extraída de SOUZA; ANTUNES (1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973) e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. (*) n/a

(7)

TABELA 3.2b

MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO

A  B C  D E  F CARREGAMENTO MBA MCD MDC MEF 17 p 15 p_2  30 p_2 20 p_2  120 p 7 _2 18 p 120 p 7 _2  20 p_2 30 p_2  15 p_2 19 p /2 /2 2 p 480 17   30 p_2 2 p 160 3   2 p 960 41  20 p /2 /2 2 p 960 41   2 p 160 3  30 p_2  2 p 480 17  21 p /2 /2 2 p 1920 53   2 p 960 7  2 p 960 23   2 p 1920 37  22 p /2 /2 2 p 1920 37   2 p 960 23  2 p 960 7   2 p 1920 53  23 p /2 /2 2 p 64 5   2 p 96 5  2 p 96 5   2 p 64 5  24 p p /2 /2 2 p 64 3   32 p_2 32 p_2  2 p 64 3  25 parábola p p 2 120 11   20 p_2 15 p_2  12 p_2 26 parábola p 24 p_2  60 p_2 30 p_2  30 p_2 27 parábola p 10 p_2  15 p_2 15 p_2  10 p_2 28 p parábola p /2 /2 2 p 80 7   2 p 120 7  2 p 120 7   2 p 80 7  29 a 3a EI 2   6aEI 2   6aEI 2   3aEI 2   30  3 EI    2 EI    4 EI    --- 31  --- 4 EI    2 EI    3 EI    32 h t+t t 2h t EI 3 t   t h EI t   t h EI t   t h 2 EI 3 t  

Extraída deSOUZA; ANTUNES(1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973) e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER.

(8)

TABELA 3.2c

MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO A  B C  D E  F



a (a c) 2c (2a c)



8 p M 4 4 2 2 BA       



 





3 3 4 4



2 CD 4 (b c) b 3 (b c) b 12 p M  _      



 





3 3 4 4



2 DC 4 (a c) a 3 (a c) a 12 p M  _       33 p a c b



b (b c) 2c (2b c)



8 p M 4 4 2 2 EF                             c 20 a 30 c 28 a 45 4 c ac 12 ) a ( 9 ) c 2 a 3 ( 108 pc M_BA ₂ _2 2 2 



2 2 3



2 CD 10(3b c) (3a 2c) 15c (3b ) 17c 540 pc M     _  



2 2 3



2 DC 10(3b c)(3a 2c) 15c (3a ) 28c 540 pc M     _   34 p a c b                     c 90 b 270 c 17 b 45 9 1 c bc 6 ) b ( 9 ) c b 3 ( 108 pc M_EF ₂ _2 2 2                       c 90 a 270 c 17 a 45 9 1 c ac 6 ) a ( 9 ) c a 3 ( 108 pc M_BA ₂ _2 2 2 



2 2 3



2 CD 10(3a c)(3b 2c) 15c (3b ) 28c 540 pc M     _  



2 2 3



2 DC 10(3a c) (3b 2c) 15c (3a ) 17c 540 pc M     _   35 p a c b                     c 20 b 30 c 28 b 45 4 c bc 12 ) b ( 9 ) c 2 b 3 ( 108 pc M_EF ₂ _2 2 2  ) c 3 5 ( c 30 p M 2 2 2 2 BA     ) c 6 c 15 10 ( c 30 p M 2 2 2 2 CD      ) c 4 c 5 ( c 20 p M_DC  ₂ 2 _ 2  36 p c b ) c 12 c 45 40 ( c 120 p M 2 2 2 2 EF     

Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER.

(9)

TABELA 3.2d

MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO A  B C  D E  F



2 2



2 2 BA c 40 45c 12c 120 p M  _  _ 



2



2 2 CD c 5c 4c 20 p M  _ 



2 2



2 2 DC c 10 15c 6c 30 p M  _  _  37 p a c



2 2



2 2 EF c 5 3c 30 p M  _  



2 2



2 2 BA c 20 15c 3c 120 p M  _  _ 



2



2 2 CD c 5c 3c 60 p M  _ 



2



2 2 DC c 10a 3c 60 p M  _  38 p a c



2 2



2 2 EF c 10 3c 120 p M  _  



2 2



2 2 BA c 10 3c 120 p M  _  



2



2 2 CD c 10b 3c 60 p M  _ 



2



2 2 DC c 5c 3c 60 p M  _  39 p c b



2 2



2 EF 20 15c 3c 120 p M  _  _ 



3 2 3



BA 2a a 8 p M  _  _ 



3 2 3



CD 2a a 12 p M  _  _ 



3 2 3



DC 2a a 12 p M  _  _  40 p a c a



3 2 3



EF 2a a 8 p M  _  _ 

Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER.

(10)

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ISNARD, V.; GREKOW, A.; MROZOWICZ, P. Formulario del ingeniero:

metodos practicos de calculo de obras de ingenieria. Bilbao, Urmo, 1971.

JIMENES MONTOYA, P.; GARCIA MESEGUER, A.; MORAN CABRE, F.

Hormigon Armado, 2v. 7.ed. Barcelona, Gustavo Gili, 1973.

PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1986.

SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. v.1. 6.ed. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1976.

SCHREYER, H. Estática das construções. v.2. Porto Alegre, Globo, 1965.

SOUZA, João Carlos A. O.; ANTUNES, Helena M. C. C. Estática das estruturas:

temas complementares. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos,