Processamento digital de sinais
e imagens
2018-II
Lista II - Transformada de Fourier
1. Um circuito A recebe como entrada tensões variáveis de uma fonte V (t) cujas formas de onda são funções T −periódicas e as decompõe em suas séries de Fourier complexas, fornecendo na saída o conjunto das magnitudes dos coe cientes |cn| (vide Figura 1).
Naturalmente, o sistema não consegue fornecer um número in nito de harmônicos, mas sim 2M + 1, em que M é um inteiro positivo nito. Isto é, o sistema opera da seguinte forma:
A[f ] =|cn|; n ∈ [−M, M ], M ∈ Z+ .
Figura 1: Transformação realizada pelo circuito em questão.
Devido à banda limitada do sistema, representada pelo número nito de harmônicos, nenhum sinal poderá ser representado perfeitamente por este circuito. Para se observar a qualidade da representação, fornecem-se em duas ocasiões distintas dois sinais de entrada:
f1(t) = t2 e f2(t) =
(
1; t ∈0,T2 0; t ∈T2, T , ambos de nidos em t ∈ [0, T ]. Com base nestas informações, faça:
(a) Determine a expressão dos coe cientes de Fourier cne de suas magnitudes |cn| para
os dois sinais considerados.
(b) Qual destes sinais será melhor representado em relação às suas versões originais para um número M xo de harmônicos? Justi que e faça uso de grá cos de |cn|em
função de n para auxiliar na argumentação.
2. A representação de um sinal f(t) em série de Fourier truncada em 2M + 1 termos não pode ser perfeita. De fato, observa-se o chamado Fenômeno de Gibbs, em que desconti-nuidades são representadas por porções oscilatórias do sinal, que não diminuem conforme M aumenta. Considere uma representação fM(t) truncada em 2M + 1 termos. Mostre
que ela é dada por uma convolução entre o sinal original e o núcleo de Dirichlet, DM, isto
é, fM(t) = (f ∗ DM)(t), em que DM(t) ≡ sen 2M +12 w0t sen ω0t 2 .
3. Dados três sinais, f1(t), f2(t) e f3(t), veri que as seguintes propriedades do produto de convolução: (a) Comutatividade: f1(t) ∗ f2(t) = f2(t) ∗ f1(t); (b) Associatividade: f1(t) ∗ (f2(t) ∗ f3(t)) = (f1(t) ∗ f2(t)) ∗ f3(t); (c) Distributividade: f1(t) ∗ (f2(t) + f3(t)) = f1(t) ∗ f2(t) + f1(t) ∗ f3(t); (d) Mostre que f1(t) ∗ f2(t) 6= f1(t) se f2(t) = 1 ∀x ∈ R;
(e) Mostre que f1(t) ∗ f2(t) = f1(t) se f2(t) = δ(t);
(f) Por m, mostre que F [f1(t) ∗ f2(t)] = F1(ω) · F2(ω).
4. De posse da transformada de Fourier De um sinal f(t), F [f] (ω) = R∞
−∞
e−jωtf (t)dt,faça: (a) Mostre que a transformada de Fourier é um operador linear. Isto é, mostre que
dados α, β ∈ C e f(t), g(t) duas funções integráveis, vale F [αu + βv] (ω) = α F [f ] (ω) + β F [g] (ω). (b) Mostre que F [f(t ± t0)] = e±jωt0F [f (t)];
(c) Mostre que F f(n)(t) = (jω)nF [f ] (ω);
(d) Mostre que se f(t) é real, F(−ω) = F∗(ω);
(e) Mostre, com base no resultado do item anterior, que o espectro de potência de um sinal real é simétrico em relação à origem.
5. Um sinal f em tempo contínuo é dado por
f (t) = u(t)e−αt, α > 0; em que u(t) é a função degrau:
u(t) = (
1, se t ≥ 0; 0, caso contrário.
O sinal em questão é observado em um intervalo nito, isto é, t ∈ [0, τ], sendo o valor de τ pré-determinado.
(a) Qual o valor mínimo de τ de forma que a energia da parte suprimida do sinal seja menor que uma parcela K da energia total? Isto é, para qual valor de τ ocorre
E[f (t)]|∞τ ≤ KE[f (t)]|∞−∞,
sendo E[f(t)] ≡ R∞
−∞
(b) Note que f(t) é real. Logo, seu espectro é simétrico em relação à origem. Supondo que o conteúdo espectral de f esteja contido em ω ∈ [−B, +B], realize a mesma análise do item anterior, mas agora determinando o valor de B tal que a desigualdade entre as energias seja satisfeita.
6. A caracterização de sistemas lineares invariantes ao deslocamento (sistemas LSI) se dá pela análise do sistema quando o input é a delta de Dirac, δ(t). Formalmente, a delta de Dirac não é uma função e deve ser de nida por
hδ, f i = f (0).
Embora a delta não possa ser tomada como função, podemos entendê-la como uma sequên-cia in nita de funções bem-de nidas, {φn}∞0 . Para que as aproximações sejam válidas,
devem valer as seguintes propriedades: (a) φn≥ 0; (b) φn(t) = φn(−t); (c) R∞ −∞ φn(t)dt = 1; e (d) limn→∞hf, φni = f (0);
De posse destas propriedades, mostre que a delta de Dirac pode ser aproximada pelos seguintes limites:
(a) Pulso retangular: lima→0+φa(t), em que
φa(t) = ( 1 a, |t| ≤ a 2 0, caso contrário . (b) Lorentziana: lima→0+φα(t), em que
φα(t) =
1 π
α α2+ t2.
(c) Gaussiana: limσ→0+φσ(t), em que
φσ(t) = 1 √ 2πσ exp " − t √ 2σ 2# .
(d) Seno cardinal: Usando φa(t) dada no item (a) e sua transformada de Fourier,
mostre que
δ(t) = lim
a→∞a sinc (at) , em que sinc (t) ≡
sen (πt) πt .
7. Um dos requisitos básicos para a existência da transformada de Fourier de um sinal f (t)diz respeito à integrabilidade deste. Contudo, vários sinais sicamente realizáveis são representados por funções não-integráveis e, portanto, não deveriam possuir transformada de Fourier no sentido usual. Para determinar as transformadas destes sinais, recorre-se a outras representações, tais como distribuições, sendo o exemplo mais evidente a delta de Dirac. Com base nestas representações alternativas, calcule as transformadas de Fourier dos seguintes sinais:
(a) f(t) = cos(ω0t) (b) f(t) = sen (ω0t) (c) f(t) = u(t) = ( 1, t ≥ 0 0, caso contrário (d) f(t) = sign (t) = ( 1, t ≥ 0 −1, caso contrário
8. Dado um sinal f(t) integrável, faça:
(a) Mostre que um sinal f(t) pode ser representado por f(t) = R∞
−∞
f (t0)δ(t − t0)dt0. (b) Considere agora um sistema caracterizado por um operador linear A, que mapeia o
sinal original em sua versão processada: (
A : C → C f (t) 7→ A[f ](t)
Se adicionalmente à linearidade de A considermos que ele é invariante ao desloca-mento, isto é,
A[f (t)] = y(t) ⇒ A[f (t − t0)] = y(t − t0),
pode-se mostrar que o que o processamento y = A[f] é equivalente a y(t) = (f ∗ h)(t),
em que h é a resposta ao impulso do sistema, de nida por h(t) ≡ A[δ(t)]. Prove este fato.
9. Um sinal contínuo f(t) é submetido a um operador atraso, tal que A[f(t)] = f(t − t0),
em que t0 é uma constante real positiva.
(a) Mostre que A é linear e invariante ao deslocamento. (b) Dê a resposta ao impulso do sistema.
(d) De posse da fase φ(ω), mostre que o retardo de grupo τ (ω) ≡ − d
dωφ(ω)
é constante para o sistema estudado. Qual seu valor e o que a expressão acima signi ca?
10. Frequentemente aproximamos bordas e descontinuidades em sinais e imagens por funções degrau. Em uma dimensão temos
u(t) = (
1 se x ≥ 0; 0 caso contrário.
Mostre que uma borda modelada pela função degrau submetida a um detector de bordas ideal (diferenciador) responde segundo uma delta de Dirac, δ(t). Ou seja, mostre que
d
dt[u(t)] = δ(t).
Dica: Use o fato de que, dada uma função f que se anula no in nito,+∞R
−∞ u(t)f (t)dx = +∞ R 0 f (t)dx e use integração por partes.
11. Um sinal elétrico periódico da forma xin(t) = A0cos (ω0t), ω0 constante, é transmitido
em um canal ruidoso. O receptor da informação recebe um sinal com a forma
xout(t) = xin(t) + A0cos (ωnt) , (1)
em ωn é a frequência de oscilação do ruído.
(a) Calcule sua transformada de Fourier.
(b) Mostre que para observações in nitamente longas, a energia do sinal ruidoso xout(t)
é indeterminada.
(c) Proponha um processo de ltragem linear que recupere o sinal original a partir de sua versão ruidosa. Qual deve ser a relação entre ω0 e ωn para que um ltro linear
cumpra bem esta tarefa? Discuta brevemente os efeitos de se usar ltros ideais no processo.
(d) Por m, determine a energia do sinal xout quando observado ao longo do intervalo
t ∈ [0, τ ], em que τ é um instante de tempo arbitrário. Esboce um grá co da energia do sinal em função do tempo máximo de observação τ tomando as frequências ω0 e
ωn muito próximas entre si, isto é, ω0 ≈ ωn.
12. Um ltro possui resposta ao impulso dada por h(t) = √1 2πσ exp " − t √ 2σ 2# . Faça:
(a) Determine sua função de transferência, H(ω). Que tipo de ltro é h?
(b) Qual o efeito na função de transferência quando se aumenta inde nidamente σ? Isto é, que ltro se torna h?
(c) Qual o efeito na função de transferência quando se diminui inde nidamente σ? isto é, que ltro se torna h?
