INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 21076

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INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL | 21076

Resolução do E-Fólio B

1.

a) A rede que representa o projeto é dada abaixo, onde os nós foram numerados de 1 a 8 (com 1 o nó inicial e 8 o nó terminal).

Tendo em conta que as atividades E e C precedem a atividade F, terá de existir uma atividade fictícia do nó 4 para o nó 3. Por outro lado, como as atividades F e G precedem a atividade J, terá de existir uma atividade fictícia do nó 6 para o nó 7.

b) Para a determinação de

,

Uma vez que, por hipótese, a duração média total do projeto é de 30 semanas, então o tempo mais cedo no nó terminal, 8, da rede terá de ser 30. No que se segue, é apresentada a rede com os tempos mais cedo discriminados.

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A tabela abaixo apresenta os cálculos que justificam os valores dos tempos mais cedo indicados na rede.

Tempos Mais Cedo (tm) = 0 (nó inicial) = + 8 = 8 = + 2 = 10 = Máx( + 5; + 6) = 16 = Máx( + 3; ) = 16 = Máx( + 2; + 8) = 18 = Máx( + 5; ) = 18 = Máx( + 13; + 10; ) = Máx(29; 18 + ) = 30

O valor de pode então ser determinado, com base no cálculo de . Com efeito, se Máx(29; 18 + ) = 30, então 18 + = 30, ou seja, = 12.

Para determinar , há que caracterizar, de acordo com a técnica PERT, a variância do(s) caminho(s) crítico(s) médio(s) da rede. Para tal, há que determinar as atividades críticas médias da rede, o que requer o cálculo dos tempos mais tarde associados a cada nó da rede.

No que se segue, é apresentada a rede com os tempos mais tarde discriminados, conjuntamente com os tempos mais cedo estabelecidos previamente.

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A tabela abaixo apresenta os cálculos que justificam os valores dos tempos mais tarde indicados na rede.

Tempos Mais Tarde (TM) = = 30 (nó final) = - 12 = 18 =Min( ; - 10) = 18 = Min( - 8; - 5) = 10 = Min( ; - 13) = 16 = - 2 = 16 = Min( - 3; - 5; - 2) = 8 = - 8= 0

Podemos verificar que todos os nós da rede são críticos (tempos mais cedo são iguais aos tempos mais tarde), sendo por isso todas as atividades candidatas a ser críticas. Utilizando-se a notação genérica , para designar o tempo (mais cedo ou mais tarde) associado a cada nó crítico, i=1,…,8, analisemos, no que se segue, quais as atividades críticas médias da rede, isto é, aquelas cuja duração média é igual à diferença entre os tempos do nó de destino e de origem.

8 = = - = 8-0 = 8 2 = = - = 18-16 = 2 3 = ≠ - = 16-8 = 8 8 = = - = 18-10 = 8 5 = ≠ - = 16-8 = 8 5 = ≠ - = 18-10 = 8 2 = = - = 10-8 = 2 13 = ≠ - = 30-16 = 14 6 = = - = 16-10 = 6 12 = = - = 30-18 = 12

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De acordo com os cálculos anteriores, verificamos que A, D, E, F, G e J são as atividades críticas médias da rede. Assinalando-as a vermelho na rede abaixo, concluímos que existem dois caminhos críticos médios, e , dados por:

: A -> D -> E -> F -> J e : A -> D -> G -> J

Uma vez que em não intervém a atividade G, cujo valor do desvio padrão, , é desconhecido, podemos caracterizar, com exatidão, a distribuição estatística que caracteriza a duração do . Com efeito, de acordo com a técnica PERT:

Dur( ) N (30; ) , com = + + + + = 4 + 1 + 4 + 0 + 16 = 25 Como, por hipótese, sabemos que todas as atividades críticas médias existentes são caracterizadas pela mesma distribuição estatística, e, por consequência, todos os caminhos críticos médios, temos que:

Dur( ) N (30; 25) , com 25 = + + + = 4 + 1 + + 16 = 21 + , isto é, = 4 ⟺ = 2

c) Como a atividade L deve constituir, por si só, um caminho crítico médio da rede, então ela terá de ter origem no nó inicial, 1, e destino no nó terminal, 8, da rede. Uma vez que todos os caminhos críticos médios da rede são caracterizados pela mesma distribuição estatística, então, L N(30; 25), o que significa que:

= 30 e = 25 ⟺ = 5

A atividade L não tem assim qualquer precedência, nem precede qualquer tipo de atividade.

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Veja-se abaixo, um exemplo de inclusão da atividade L, a verde, na rede original.

d) Sendo y o montante do bónus e da penalização, sabemos, de acordo com a fórmula do valor esperado do lucro, que:

E [L] = 0 ⟺ y P (bónus) – y P (penalização) = 0 isto é,

P (bónus) = P (penalização).

De acordo com b), sabemos que a duração média total, DMT, do projeto é caracterizada por: DMT N(30; 25), pelo que:

Z =

=

N(0; 1)

Com base nesta informação, calculemos P (bónus) e P (penalização).

P (bónus) = P (DMT ≤ 28) = P = P ( Z = = 0.3446 , de acordo com a tabela da função de distribuição normal padrão.

Por outro lado, temos:

P (penalização) = P (DMT > ) = P = P

6 Pelo que,

P (bónus) = P (penalização) ⟺ 0.3446 = 1 –

= (0.6554) ⟺ = 0.4 ⟺ = 30 + 0.4 5 = 32. Concluímos, portanto, que o prazo limite, , é de 32 semanas.

e) Recordemos a rede do projeto, com a indicação das atividades críticas, a vermelho, estabelecida em b):

Por observação da rede, verificamos que, para reduzir a duração total média do projeto, podemos reduzir individualmente as atividades críticas A, D e J, ou então, reduzir de forma combinada as atividades críticas E + G e F +G , já que a atividade G determina a duração média total do projeto em paralelo com as atividades E e F.

Resumindo a informação do quadro fornecido no enunciado para as atividades alvo de redução, temos as seguintes hipóteses:

1ª Redução:

Atividades A D E + G F + G J

RedMax (semanas) 2 1 2 1 3

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Notemos, no quadro anterior, que para determinar RedMax para a redução combinada de atividades críticas, conta sempre o RedMax mínimo de cada uma delas, pois ambas as atividades têm de ser reduzidas na mesma quantidade de tempo e em simultâneo. Assim, RedMax (E+G) = 2, pois RedMax (E) = RedMax (G) = 2, e RedMax (F+G) = 1, pois RedMax (F) = 1 e RedMax (G) = 2.

Uma vez que se pretende a redução mais económica, há que considerar as hipóteses que impliquem um menor C.U.R. associado, como é o caso da redução simultânea das atividades F e G, com um custo associado de 3€. Contudo, esta redução só poderá ser de 1 semana, já que RedMax (F+G)=1. Verifica-se, após a redução simultânea de F e G em 1 semana, que a atividade I passa a ser crítica, pelo que terá de ser considerada como hipótese na 2ª redução.

Por outro lado, se considerarmos a redução com o 2º menor C.U.R., 4€, que envolve a atividade J, verificamos que reduzi-la em 2 semanas não permite reduzir a duração média total do projeto na mesma quantidade temporal por causa da atividade I. Deste modo, não deixando de lado a hipótese de envolver apenas a atividade J numa 1ª redução, esta só pode ser de uma semana.

Em qualquer um dos casos acima considerados, redução de 1 semana para F + G ou J, a atividade I passa a ser crítica e portanto a ser considerada numa 2ª redução. Nessas condições, e uma vez que a atividade I funciona ‘em paralelo’ com as atividades F, G e J, então para assegurar uma 2ª redução envolvendo a atividade I, há que considerar as combinações F + G + I e J + I, tendo em conta que F e G são atividades paralelas entre si. No quadro abaixo, analisemos as últimas hipóteses de redução, com as restantes hipóteses, A, D e E+G.

2ª Redução:

Atividades A D E + G F + G + I I + J

RedMax (semanas) 2 1 1 ou 2 0 ou 1 2 ou 3

C.U.R. (€/semana) 6 6 6 4 5

Notemos que o RedMax de E + G, F + G + I e de I + J está dependente de se ter feito a escolha F + G ou J para a 1ª redução, daí as alternativas indicadas. Contudo, não se considerará E + G para 2ª redução, por apresentar o maior valor de C.U.R.

Se considerarmos o 1º caso proposto para a 1ª redução, isto é, ser escolhida a combinação F + G, em primeiro lugar, para ser reduzida em 1 semana (máximo admissível), então, na 2ª redução, temos RedMax(F+G+I)=0, e, portanto, não podemos escolher a combinação F + G + I ( a que tem o C.U.R. mais baixo). Deste modo, para a 2ª

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redução, optamos pela hipótese passível de ser aplicada com uma redução de 1 semana, ao menor C.U.R. possível, o que corresponde a I + J, com um C.U.R de 5€. No total, obtemos um custo associado de 3€ + 5€ = 8€.

Se considerarmos o 2º caso proposto para a 1ª redução, isto é, ser escolhida a atividade J, em primeiro lugar, para ser reduzida em 1 semana, então, na 2ª redução, temos RedMax(F+G+I)=1 e RedMax(I+J)=2. Como o C.U.R. associado a F + G + I é o menor, 4€, escolhemos essa hipótese para 2ª redução em 1 semana. No total, obtemos um custo associado de 4€ + 4€ = 8€.

Verificamos então que existem duas formas de reduzir a duração média total da rede em 2 semanas, ao mais baixo custo, e que são:

Caso 1: Reduzir em 1 semana F + G e depois reduzir em 1 semana I + J Caso 2: Reduzir em 1 semana J e depois reduzir em 1 semana F + G + I

Para cada um dos casos acima, temos duas etapas de redução, para as quais são estabelecidas, no que se segue, as redes reduzidas, com a indicação dos tempos mais cedo e mais tarde associados a cada nó, e a indicação das atividades críticas.

Caso 1:

1ª Redução: (F+G em 1 semana)

9 Os cálculos dos tempos mais cedo e mais tarde associados a cada um de nós são justificados na tabela seguinte:

Tempos Mais Cedo (tm) = 0 (nó inicial) = + 8 = 8 = + 2 = 10 = Máx( + 5; + 6) = 16 = Máx( + 3; ) = 16 = Máx( + 1; + 7) = 17 = Máx( + 5; ) = 17 = Máx( + 13; + 10; + 12) = 29 ///////////////////////////////////////////////////////////////////// Tempos Mais Tarde (TM)

= = 29 (nó final) = - 12 = 17 =Min( ; - 10) = 17 = Min( - 7; - 5) = 10 = Min( ; - 13) = 16 = - 1 = 16 = Min( - 3; - 5; - 2) = 8 = - 8= 0

Na primeira rede reduzida todos os nós continuam críticos, já que os tempos mais cedo e mais tarde permanecem iguais em todos eles. Verifiquemos, no que se segue, que são mantidas todas as atividades críticas que já o eram na rede original, A, D, E, F, G e J, e que I surge ainda como nova atividade crítica.

8 = = - = 8-0 = 8 1 = = - = 17-16 = 1 3 = ≠ - = 16-8 = 8 7 = = - = 17-10 = 7 5 = ≠ - = 16-8 = 8 5 = ≠ - = 17-10 = 7 2 = = - = 10-8 = 2 13 = = - = 29-16 = 13 6 = = - = 16-10 = 6 12 = = - = 29-17 = 12

Apliquemos, no que se segue, a 2ª redução, que consiste em reduzir 1 semana ambas as atividades I e J.

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2ª Redução: (I+J em 1 semana)

A rede obtida após a 2ª redução aplicada é dada por:

Os cálculos dos tempos mais cedo e mais tarde associados a cada um de nós são justificados na tabela seguinte:

Tempos Mais Cedo (tm) = 0 (nó inicial) = + 8 = 8 = + 2 = 10 = Máx( + 5; + 6) = 16 = Máx( + 3; ) = 16 = Máx( + 1; + 7) = 17 = Máx( + 5; ) = 17 = Máx( + 12; + 10; + 11) = 28 ///////////////////////////////////////////////////////////////////// Tempos Mais Tarde (TM)

= = 28 (nó final) = - 11 = 17 =Min( ; - 10) = 17 = Min( - 7; - 5) = 10 = Min( ; - 12) = 16 = - 1 = 16 = Min( - 3; - 5; - 2) = 8 = - 8= 0

No que diz respeito ao apuramento das atividades críticas, os cálculos são os seguintes:

11 8 = = - = 8-0 = 8 1 = = - = 17-16 = 1 3 = ≠ - = 16-8 = 8 7 = = - = 17-10 = 7 5 = ≠ - = 16-8 = 8 5 = ≠ - = 17-10 = 7 2 = = - = 10-8 = 2 12 = = - = 28-16 = 12 6 = = - = 16-10 = 6 11 = = - = 28-17 = 11

Como podemos verificar, todas as atividades críticas, A, D, E, F, G, I e J, são mantidas da 1ª para a 2ª redução.

Analisemos agora, no que se segue, o 2º caso de redução mais económica.

Caso 2:

1ª Redução: (J em 1 semana)

A rede obtida após a 1ª redução aplicada é dada por:

Os cálculos dos tempos mais cedo e mais tarde e a análise das atividades críticas fica como exercício.

12 2ª Redução: (F+G+I em 1 semana)

Podemos verificar que a rede final, após a 2ª redução, é igual à obtida para o Caso 1, pelo que os cálculos dos tempos mais cedo e mais tarde e apuramento das atividades críticas é inteiramente análogo.

2. a)

Seja N = “Nº de pontos obtidos no lançamento de um dado”.

Uma vez que um dado é equilibrado e composto por 6 faces, temos que:

n 1 2 3 4 5 6

P(N = n) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

P(N ≤ n) 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 1

A rotina que simula o lançamento do dado e posterior escolha da clínica participante, A ou B, em função da paridade do valor de n obtido, é dada no que se segue:

1) Geramos um NPA U[0;1] -> u.

2) Se u ≤ 1/6, então n=1; caso contrário, se u ≤ 1/3, então n=2; caso contrário, se u ≤ 1/2, então n=3; caso contrário, se u ≤ 2/3, então n=4; caso contrário, se u ≤ 5/6, então n=5; caso contrário, então n=6.

3) Se n é par, escolher a clínica A; caso contrário, escolher a clínica B.

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b)

i) Para determinar a função densidade de probabilidade, , recorremos ao conhecimento da área da região abaixo do traçado não-nulo de ser 1.

A referida região engloba um trapézio com base maior no intervalo [0; 6] e um triângulo retângulo com base no intervalo [6; 10].

Determinemos a altura, , do trapézio. Com efeito,

= 1 ⟺

= 1 ⟺ ⟺ = 1 ⟺ ⟺

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Estabeleçamos a equação da reta que contém o lado do trapézio que passa nos vértices (0; 0) e (2; 0.1), recorrendo à equação genérica, , onde é o declive e um ponto da reta. Com efeito,

Por outro lado, a equação da reta que contém a base menor do trapézio é Quanto à reta que contém o lado do triângulo retângulo que passa nos vértices (10; 0) e (6; 0.25), ela tem de equação:

Podemos assim estabelecer a expressão da função densidade, , dada por:

Em seguida, determinamos a função de distribuição acumulada:

15 Isto é,

Verificamos que e que

Deste modo, a rotina REDPES associada ao Método de Inversão é dada por:

1) Geramos um NPA U[0; 1] -> u.

2) Se u ≤ 0.1, então ⟺ , ( pois )

caso contrário, se u ≤ 0.5, então ⟺

⟺ caso contrário, ⟺ ⟺ . Como

está no intervalo [6;10], então

16 ii) O Método da Rejeição é aplicado ao domínio [0; 10] (a=0; b=10) da distribuição de X. Com efeito, por análise do gráfico da função densidade de probabilidade, , verificamos que a Moda ocorre em , com .

Deste modo, a rotina REDPES associada ao Método da Rejeição, é dada por: 1) Geramos um NPA U[0; 1] -> .

2) Determinamos 3) Determinamos: 4) Geramos um NPA U[0; 1] ->

5) Se , rejeitamos e retornamos a 1); caso contrário, aceitamos como NPA .

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O fluxograma associado à rotina anterior é dado por:

c)

TotPrem = “Total do montante, em €, de prémios atribuídos”

ContMes = “número total de tratamentos mensais realizados desde o início da experiência”

Tendo em conta que o montante máximo disponível para a atribuição de prémios é de 5000€ e que o montante de cada prémio, quando atribuído, é no valor de 200€, então o critério de paragem da rotina ocorrerá assim que TotPrem=5000, já que 5000 é múltiplo de 200.

A rotina NTMES que gera o número total de tratamentos mensais realizados até que o total do montante de 5000€ seja atribuído, é dado no que se segue:

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1) TotPrem=0 ; ContMes=0; (inicialização das variáveis TotPrem e ContMes) 2) Se TotPrem=5000, fim; Caso contrário -> 3 (Critério de paragem) 3) (Processar a realização do tratamento)

3.1) ESCLIN -> Z; (escolha da clínica responsável pelo paciente a ser submetido no tratamento)

3.2) REDPES -> X; (geração da redução do peso corporal do paciente)

3.3) ContMes = ContMes + 1; (atualização do número de tratamentos mensais realizados)

3.4) Se X>5, TotPrem = TotPrem + 200 (atribuição do prémio) 3.5) Ir para 2).