QUANTIFICAÇÃO DA INCERTEZA PARA O MODELO DE WALKER VIA METODOLOGIA “FAST CRACK BOUNDS”
Marco van der Meer1, Claudio Roberto Ávila da Silva Jr1, Bruno dos Santos1, Thiago
Castro Bezerra1, Gracielle Lima de Oliveira1.
1Universidade Tecnológica Federal do Paraná; Rua Deputado Heitor Alencar
Furtado, 5000, 81280-340, Curitiba, PR, Brasil; NuMAT/PPGEM. santos.engenheiro@outlook.com
RESUMO: Um componente com trinca submetido a esforços cíclicos tende a falhar por fadiga. Este estudo apresenta cotas que “envelopam” a solução numérica aproximada da evolução da trinca e estimam os momentos estatísticos das cotas superior e inferior, para obter resultados mais realísticos relativos à propagação da trinca, visto a existência de incerteza sobre os parâmetros dos modelos de evolução da trinca. As cotas são determinadas via metodologia “Fast Crack Bounds”, sendo esta comparada com a solução numérica aproximada obtida pelo método de Runge-Kutta de quarta ordem. A randomização dos parâmetros é executada pela simulação de Monte Carlo. Para quantificar a incerteza, considera-se um dos exemplos “clássicos” da mecânica da fratura, o da placa com largura finita e uma trinca na aresta. São apresentados os desvios relativos do primeiro e segundo momento estatístico e os ganhos computacionais na resolução do problema de valor inicial que descrevem a propagação da trinca.
Palavras-chave: Modelo de Walker; Mecânica da fratura linear elástica; Momentos
estatísticos do tamanho de trinca; Método “Fast Crack Bounds”. INTRODUÇÃO
Uma metodologia para avaliar a “vida” sob fadiga do material é a Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE). Esta metodologia é aplicável em situações em que não há deformação plástica significativa durante a fratura (ANDERSON, 2005). Na MFLE vários modelos de propagação de trincas foram desenvolvidos sob condições de Carregamentos com Amplitude de Tensão Constante (CATC).
O modelo de propagação de trincas de Walker (1970), assim como o Paris-Erdogan (Paris e Paris-Erdogan, 1963), abrange apenas a região II do diagrama log(𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑⁄ ) × log(𝛥𝛥𝛥𝛥), Figura 1.
FIGURA 1 - Regiões da propagação de trincas Fonte: Adaptado de Schijve (2009)
Outros modelos, como Forman (1967) e Priddle (1976), representam mais de uma região, regiões II e III e regiões I à III, respectivamente. Os modelos de propagação de trincas, são geralmente definidos por um problema de valor inicial (PVI), equação A.
⎩ ⎨
⎧Encontrar 𝑑𝑑 ∈ 𝐶𝐶1([𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1]: ℝ+), tal que:
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 = ℎ(𝜶𝜶, ∆𝛥𝛥), ∀𝑑𝑑 ∈ (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1), 𝑑𝑑(𝑑𝑑0) = 𝑑𝑑0.
(A)
Sendo ℎ(𝛼𝛼, ∆𝛥𝛥) é uma lei de evolução de trincas e 𝜶𝜶 é um vetor de
parâmetros específicos de cada modelo.
METODOLOGIA “FAST CRACK BOUNDS”
Para soluções dos PVI, é possível utilizar de métodos numéricos, dentre os quais o Método Runge-Kutta de quarta ordem (RK4) é o mais usado por ser uma combinação de simplicidade, alta precisão e economia (CUNHA, 2000). Porém em muitos casos, devido a complexidade do problema, a solução numérica torna-se cara computacionalmente.
A metodologia Fast Crack Bounds (FCB) consiste em determinar cotas superiores e inferiores para a função tamanho de trinca do modelo de propagação de trincas considerado. As cotas devem “envelopar” a solução numérica aproximada
do PVI referente a função tamanho de trinca. Esta metodologia foi apresentada no trabalho de Ávila e Santos (2015), e no trabalho de Machado Jr. (2015) foi denominada de Fast Crack Bounds.
Para aplicar a metodologia FCB ao modelo de propagação de trincas, é necessário realizar hipóteses na lei de evolução de trincas. Por outro lado, a partir destas hipóteses assegura-se para a função tamanho de trinca a sua representação via série de Taylor de segunda ordem com resto de Lagrange, equação B (SANTOS, 2015).
𝑑𝑑(𝑑𝑑) = 𝑑𝑑0(𝑑𝑑0) + �𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑑𝑑0)� (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0) +12 �𝑑𝑑 2𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑2(𝜂𝜂)� (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0)2, com 𝜂𝜂 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑]. (B)
Por definição, as cotas inferior e superior atendem a seguinte desigualdade, equação C.
𝑑𝑑(𝑑𝑑) ≤ 𝑑𝑑(𝑑𝑑) ≤ 𝑑𝑑(𝑑𝑑), ∀𝑑𝑑 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑]. (C)
Sendo 𝑑𝑑(𝑑𝑑), 𝑑𝑑(𝑑𝑑) e 𝑑𝑑(𝑑𝑑) as cotas inferior e superior do tamanho de trinca e a função tamanho de trinca, respectivamente (Ávila et. al., 2016).
As referidas cotas obtidas através da metodologia FCB são comparadas com a solução numérica aproximada obtida por RK4 e são validadas como cotas se atenderem a equação C.
Modelo de Walker
Walker propôs uma modificação no modelo de Paris, levando em consideração a razão das tensões mínima e máxima (𝑅𝑅). O modelo de Walker de propagação de trincas é capaz de descrever a segunda região do gráfico na figura 1, conforme equação D.
⎩ ⎨
⎧Determinar 𝑑𝑑 ∈ 𝐶𝐶𝑑𝑑𝑑𝑑 1([𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1]; ℝ+), tal que 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑤𝑤[(1 − 𝑅𝑅)𝑌𝑌𝑤𝑤−1Δ𝛥𝛥]𝑚𝑚𝑤𝑤, ∀ 𝑑𝑑 ∈ (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1). 𝑑𝑑(𝑑𝑑0) = 𝑑𝑑0.
(D)
sendo 𝐶𝐶𝑤𝑤, 𝑚𝑚𝑤𝑤 e 𝑌𝑌𝑤𝑤 parâmetros do modelo de Walker e Δ𝛥𝛥 a variação do fator intensidade de tensão.
Cotas para o modelo de Walker
Aplicando a expansão em série de Taylor com resto de Lagrange, equação B, considerando a seguinte hipótese (SANTOS, 2015):
𝐻𝐻1�
𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶1(ℝ);
0 < 𝑓𝑓(𝑑𝑑0) ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≤ 𝑓𝑓(𝑦𝑦), 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦, ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1];
𝑓𝑓′(𝑑𝑑
0) ≤ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) ≤ 𝑓𝑓′(𝑦𝑦), 𝑥𝑥 ≤ 𝑦𝑦, ∀𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1].
Fazendo a segunda derivada da equação D, 𝑑𝑑2𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑2�𝑑𝑑(𝑑𝑑)� = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝑑𝑑(𝑑𝑑)�� = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝑑𝑑(𝑑𝑑)�� 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 �𝑑𝑑(𝑑𝑑)� (E) 𝑑𝑑2𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑2�𝑑𝑑(𝑑𝑑)� = 𝑚𝑚𝐶𝐶𝑤𝑤2[(1 − 𝑅𝑅)𝑦𝑦𝑤𝑤−1∆𝛥𝛥]2𝑚𝑚� 1 2𝑑𝑑 + 𝑓𝑓′(𝑑𝑑) 𝑓𝑓(𝑑𝑑) �. (F)
Obtêm-se as cotas superior e inferior, respectivamente, equação G (SANTOS, 2015). ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 𝑑𝑑(𝑑𝑑) − 𝑑𝑑0 ≤ 𝐶𝐶𝑤𝑤 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧[(1 − 𝑅𝑅)𝑦𝑦𝑤𝑤−1∆𝛥𝛥(𝑑𝑑0)]𝑚𝑚+ �𝑚𝑚𝑤𝑤𝐶𝐶𝑤𝑤 2 � [(1 − 𝑅𝑅)𝑦𝑦𝑤𝑤−1∆𝛥𝛥(𝑑𝑑∗)]2𝑚𝑚 �2𝑑𝑑1∗+𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑑𝑑′(𝑑𝑑∗∗) � (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑) 0) ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0), ∀𝑑𝑑 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1] 𝑑𝑑(𝑑𝑑) − 𝑑𝑑0 ≥ 𝐶𝐶𝑤𝑤 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧[(1 − 𝑅𝑅)𝑦𝑦𝑤𝑤−1∆𝛥𝛥(𝑑𝑑0)]𝑚𝑚+ �𝑚𝑚𝑤𝑤𝐶𝐶𝑤𝑤 2 � [(1 − 𝑅𝑅)𝑦𝑦𝑤𝑤−1∆𝛥𝛥(𝑑𝑑0)]2𝑚𝑚 �2𝑑𝑑1∗+𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑑𝑑′(𝑑𝑑0) 0) � (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0) ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (𝑑𝑑 − 𝑑𝑑0), ∀𝑑𝑑 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1] (G)
Momentos estatísticos para a metodologia FCB
Considerando que os parâmetros do modelo são variáveis aleatórias absolutamente continuas em um espaço de probabilidade (𝛺𝛺, ℱ, 𝑃𝑃), sendo 𝛺𝛺 um espaço amostral, ℱ uma σ-álgebra de eventos e 𝑃𝑃 uma medida de probabilidade (JAMES, 1981), a equação D pode ser reescrita conforme a equação F (LOPEZ e ÁVIA, 2015).
⎩ ⎨
⎧Determinar 𝑑𝑑:𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1) × (Ω, 𝐹𝐹, 𝑃𝑃) → ℝ+, tal que 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑤𝑤(𝜔𝜔) �(1 − 𝑅𝑅)𝑌𝑌𝑤𝑤−1�𝜋𝜋𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝜔𝜔)𝑓𝑓�𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝜔𝜔)�Δ𝜎𝜎�
𝑚𝑚𝑤𝑤(𝜔𝜔)
, (𝑑𝑑, 𝜔𝜔) ∈ (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1) × (Ω, 𝐹𝐹, 𝑃𝑃).
𝑑𝑑(𝑑𝑑0, 𝜔𝜔) = 𝑑𝑑0(𝜔𝜔), ∀𝜔𝜔 ∈ (Ω, 𝐹𝐹, 𝑃𝑃).
(H)
sendo 𝜔𝜔 eventos randômicos do espaço de probabilidade (𝛺𝛺, ℱ, 𝑃𝑃).
Para o PVI da equação H, são analisados os momentos estatísticos de primeira e segunda ordem.
A estimativa do primeiro momento estatístico é o valor esperado e a do segundo momento estatístico é a relação entre variância e valor esperado.
Moura (2017) apresenta o lema que define os estimadores dos momentos estatísticos de primeira e segunda ordem para a função tamanho de trinca.
De acordo com Moura (2017), “seja �𝑑𝑑(𝜔𝜔1), 𝑑𝑑(𝜔𝜔2), … , 𝑑𝑑�𝜔𝜔𝑁𝑁𝑠𝑠��, �𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝜔𝜔𝑖𝑖)�𝑖𝑖=1𝑁𝑁𝑠𝑠 e {𝑑𝑑(𝑑𝑑, 𝜔𝜔𝑖𝑖)}𝑖𝑖=1𝑁𝑁𝑠𝑠 o conjunto de um dado modelo CATC, equação F e as cotas inferior e
superior, respectivamente”, então obtém-se das seguintes desigualdades, equação I: (𝑖𝑖) 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(𝑑𝑑) ≤ 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(𝑑𝑑) ≤ 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(𝑑𝑑), ∀𝑑𝑑 ∈ (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1);
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2)(𝑑𝑑) ≤ 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2)(𝑑𝑑) ≤ 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2)(𝑑𝑑), ∀𝑑𝑑 ∈ (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1);
(I)
Sendo 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(𝑑𝑑), 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(𝑑𝑑) e 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(𝑑𝑑) estimativas dos momentos estatísticos valor esperado da cota inferior do tamanho de trinca, função tamanho de trinca e cota superior do tamanho de trinca, respectivamente, e 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2)(𝑑𝑑), 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2)(𝑑𝑑) e 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2)(𝑑𝑑) estimativas dos momentos estatísticos de segunda ordem para a cota inferior do tamanho de trinca, função do tamanho de trinca e conta superior do tamanho de trinca, respectivamente.
Conforme Vuolo (1996), a variância calculada pela equação J é a melhor estimativa experimental para a variância.
𝜎𝜎𝑎𝑎2(𝑑𝑑) =𝑑𝑑 1 𝑠𝑠− 1 �(𝑑𝑑 − 𝜇𝜇̂𝑎𝑎) 2(𝑑𝑑), ∀(𝑑𝑑) ∈ (𝑑𝑑 0, 𝑑𝑑1). 𝑁𝑁𝑠𝑠 𝑁𝑁=1 (J)
Sendo 𝜎𝜎𝑎𝑎2(𝑑𝑑), 𝜎𝜎𝑎𝑎2(𝑑𝑑) e 𝜎𝜎𝑎𝑎2(𝑑𝑑) a variância da cota inferior, função tamanho de trinca e cota superior, respectivamente.
Desta forma, podemos determinar o estimador do momento estatístico de segunda ordem pela equação K.
𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2)(𝑑𝑑) = 𝜎𝜎𝑎𝑎2(𝑑𝑑) +𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠
𝑠𝑠− 1(𝜇𝜇̂𝑎𝑎)
2, ∀(𝑑𝑑, 𝜔𝜔) ∈ (𝑑𝑑
0, 𝑑𝑑1) × (𝛺𝛺, ℱ, 𝑃𝑃) (K)
Para determinar as cotas superior e inferior da função tamanho de trinca para um modelo de propagação de trincas, hipóteses devem ser estabelecidas. Elas devem assegurar a existência dos termos que definem a serie de Taylor.
A modelagem da incerteza aplicada ao modelo de propagação de trincas de Walker é realizada através de variáveis randômicas com distribuição uniforme. Os parâmetros com incerteza são apresentados na equação L.
⎩ ⎨ ⎧𝐶𝐶𝑝𝑝(𝜔𝜔) = 𝜇𝜇𝐶𝐶𝑝𝑝+ √3 𝛿𝛿𝐶𝐶𝑝𝑝𝜉𝜉(𝜔𝜔), ∀𝜔𝜔 ∈ Ω; 𝑚𝑚𝑝𝑝(𝜔𝜔′) = 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑝𝑝 + √3 𝛿𝛿𝑚𝑚𝑝𝑝𝜉𝜉(𝜔𝜔′), ∀𝜔𝜔′∈ Ω; 𝑑𝑑0(𝜔𝜔′′) = 𝜇𝜇𝑎𝑎0 + √3 𝛿𝛿𝑎𝑎0𝜉𝜉(𝜔𝜔′′), ∀𝜔𝜔′′ ∈ Ω. (L)
Sendo �𝜇𝜇𝐶𝐶𝑝𝑝, 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑝𝑝, 𝜇𝜇𝑎𝑎0� e �𝛿𝛿𝐶𝐶𝑝𝑝, 𝛿𝛿𝑚𝑚𝑝𝑝, 𝛿𝛿𝑎𝑎0� médias e coeficientes de dispersão das variáveis randômicas, respectivamente. As variáveis aleatórias 𝜉𝜉(∗) são uniformes (𝑈𝑈[−1,1]) e estatisticamente independentes.
Os estimadores dos momentos estatísticos das cotas superiores e inferiores são comparados com os estimadores obtidos para a solução numérica aproximada, método de RK4.
SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO
Conforme Elishakoff (1999) o método de Simulação de Monte Carlo (SMC) é baseado na geração e simulação de amostras. O método consiste normalmente em três etapas:
1. Geração de amostras, seguindo uma lei de probabilidade; 2. Para cada amostra, obter a solução do problema;
3. Análise estatística dos resultados.
Neste trabalho, o método SMC é utilizado para obter estimativa dos momentos estatísticos do processo estocástico “tamanho de trinca”. A aproximação numérica das realizações do processo estocástico que descreve a propagação da trinca é avaliada usando um método RK4. Assim, para a i-ésima realização dos parâmetros {𝛼𝛼(𝜔𝜔𝑖𝑖), 𝑑𝑑0(𝜔𝜔𝑖𝑖)}, a solução numérica aproximada da i-ésima realização do processo estocástico “tamanho de trinca” é dada pela equação M.
⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎧Determinar 𝑑𝑑𝑘𝑘+1(𝜔𝜔𝑖𝑖) ∈ 𝑖𝑖∗, para cada 𝜔𝜔𝑖𝑖 ∈ Ω;
𝑑𝑑𝑘𝑘+1(𝜔𝜔𝑖𝑖) = 𝑑𝑑𝑘𝑘(𝜔𝜔𝑖𝑖) + �∆𝑑𝑑6 �(𝑘𝑘1 + 2𝑘𝑘2+ 2𝑘𝑘3 + 𝑘𝑘4)(𝜔𝜔𝑖𝑖), ∀𝑘𝑘 ∈ {0,1, … , 𝑛𝑛} 𝑘𝑘1(𝜔𝜔𝑖𝑖) = 𝐶𝐶𝑤𝑤[(1 − 𝑅𝑅)𝑌𝑌𝑤𝑤−1Δ𝛥𝛥]𝑚𝑚𝑤𝑤; 𝑘𝑘2(𝜔𝜔𝑖𝑖) = 𝑑𝑑𝑘𝑘(𝜔𝜔𝑖𝑖) + �∆𝑑𝑑2 � 𝑘𝑘1(𝜔𝜔𝑖𝑖); 𝑘𝑘3(𝜔𝜔𝑖𝑖) = 𝑑𝑑𝑘𝑘(𝜔𝜔𝑖𝑖) + �∆𝑑𝑑2 � 𝑘𝑘2(𝜔𝜔𝑖𝑖); 𝑘𝑘4(𝜔𝜔𝑖𝑖) = 𝑑𝑑𝑘𝑘(𝜔𝜔𝑖𝑖) + (∆𝑑𝑑)𝑘𝑘3(𝜔𝜔𝑖𝑖); 𝑑𝑑0(𝜔𝜔𝑖𝑖) = 𝑑𝑑(𝑑𝑑0, 𝜔𝜔𝑖𝑖). (M) RESULTADOS NUMÉRICOS
Para obtenção dos resultados a este modelo de propagação de trincas, utilizaram-se os dados apresentados por Al-Rubaie et. al. (2007), para uma Liga de Inconel 600. Além dos dados do material, outros são necessários, como tamanho de trinca inicial e variação da tensão, todos os dados utilizados para as simulações estão apresentados na Tabela 1. A cada parâmetro com incerteza, foram geradas 10.000 amostras randômicas, para a estimativa dos momentos estatísticos.
TABELA 1 – Dados utilizados nas simulações para o modelo de Walker
Parâmetro Valor Unidade
𝜇𝜇𝐶𝐶𝑝𝑝 2,55 10−8 m/ciclo 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑝𝑝 1,151 Adimensional 𝜇𝜇𝑎𝑎0 40,08 MPa√m 𝛿𝛿𝐶𝐶𝑝𝑝 (1 10⁄ ) 𝜇𝜇𝐶𝐶𝑝𝑝 m/ciclo 𝛿𝛿𝑚𝑚𝑝𝑝 (1 10⁄ ) 𝜇𝜇𝑚𝑚𝑝𝑝 Adimensional 𝛿𝛿𝑎𝑎0 (1 10⁄ ) 𝜇𝜇𝑎𝑎0 MPa√m ∆𝜎𝜎 100 MPa 𝑅𝑅 0,1 Adimensional 𝑏𝑏 0,1 m 𝑑𝑑 900.000 Ciclos
Fonte: Próprio Autor (2018)
Adiciona-se aos valores descritos na tabela 1, outro dado muito importante, que é o valor de 𝑑𝑑∗. Conforme Santos (2015) o valor de 𝑑𝑑∗ é determinado por inspeção, ele deve assegurar que a cota superior não seja violada pela solução numérica aproximada. Caso a cota superior seja violada pela solução numérica, um novo 𝑑𝑑∗ deve ser determinado.
Neste trabalho a metodologia é aplicada ao um exemplo, no qual se considera uma placa com largura finita e uma trinca na aresta, com 𝑑𝑑∗ = 1,3 𝑑𝑑0.
Neste caso, Figura 2, a função de correção do fator de intensidade de tensão dado por Bannantine et al., 1989., equação (N):
𝑓𝑓(𝑑𝑑) = �1,122 − 0,231 � 𝑑𝑑 𝑏𝑏� + 10,55 � 𝑑𝑑 𝑏𝑏� 2 −21,72 �𝑑𝑑𝑏𝑏�3+ 30,39 �𝑑𝑑𝑏𝑏�4� , em (𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1) × (Ω, ℱ, 𝑃𝑃). (N)
FIGURA 2 – Placa com largura finita e uma trinca aresta Fonte: Próprio Autor (2018)
As estimativas do primeiro momento estatístico para a evolução da trinca, do parâmetro randômico 𝐶𝐶𝑝𝑝 podem ser observadas na Figura 3.
FIGURA 3 – Primeiro momento estatísticos – 𝐶𝐶𝑝𝑝 Fonte: Próprio Autor (2018)
As estimativas do segundo momento estatístico do parâmetro randômico 𝐶𝐶𝑝𝑝 podem ser observadas na Figura 4.
Δσ Δσ 𝑑𝑑0
FIGURA 4 – Segundo momento estatísticos – 𝐶𝐶𝑝𝑝 Fonte: Próprio Autor (2018)
Desvios relativos
Para avaliar a metodologia, foram definidas funções de desvio relativo para o primeiro e segundo momento estatístico. As Equações O e P representam os desvios do primeiro e segundo momento estatístico das cotas, respectivamente.
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝜀𝜀𝜇𝜇�𝑎𝑎(𝑑𝑑) = 100 �𝜇𝜇̂𝑎𝑎𝜇𝜇̂− 𝜇𝜇̂𝑎𝑎 𝑎𝑎 � (𝑑𝑑) [%], ∀𝑑𝑑 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1], 𝜀𝜀𝜇𝜇�𝑎𝑎(𝑑𝑑) = 100 � 𝜇𝜇̂𝑎𝑎− 𝜇𝜇̂𝑎𝑎 𝜇𝜇̂𝑎𝑎 � (𝑑𝑑) [%], ∀𝑑𝑑 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1]. (O) ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧𝜀𝜀𝜇𝜇� 𝑎𝑎 (2)(𝑑𝑑) = 100 �𝜇𝜇̂𝑎𝑎 (2)− 𝜇𝜇̂ 𝑎𝑎 (2) 𝜇𝜇̂𝑎𝑎 � (𝑑𝑑) [%], ∀𝑑𝑑 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1], 𝜀𝜀𝜇𝜇� 𝑎𝑎 (2)(𝑑𝑑) = 100 �𝜇𝜇̂𝑎𝑎 (2)− 𝜇𝜇̂ 𝑎𝑎 (2) 𝜇𝜇̂𝑎𝑎(2) � (𝑑𝑑) [%], ∀𝑑𝑑 ∈ [𝑑𝑑0, 𝑑𝑑1]. (P)
Nas Tabelas 2 e 3 estão descritos os desvios relativos do primeiro e segundo momento estatístico.
TABELA 2 – Desvio relativo do primeiro momento estatístico [%]
Parâmetro 𝑑𝑑 [105 ciclos]
1 3 6 9
𝐶𝐶𝑝𝑝 𝑑𝑑(𝑑𝑑) 0,36 𝑑𝑑(𝑑𝑑) −0,01 −0,51 −3,88 −11,88 2,62 6,29 5,53
𝑚𝑚𝑝𝑝 𝑑𝑑(𝑑𝑑)𝑑𝑑(𝑑𝑑) −0,02 −0,64 −4,72 −13,92 3,71 2,53 5,35 2,76
Fonte: Próprio Autor (2018)
TABELA 3 – Desvio relativo do segundo momento estatístico [%]
Parâmetro 𝑑𝑑 [105 ciclos]
1 3 6 9
𝐶𝐶𝑝𝑝 𝑑𝑑(𝑑𝑑) 0,73 𝑑𝑑(𝑑𝑑) −0,03 −1,02 −7,7 −22,74 5,33 13,04 11,16
𝑚𝑚𝑝𝑝 𝑑𝑑(𝑑𝑑)𝑑𝑑(𝑑𝑑) −0,04 −1,33 −9,96 −28,42 0,74 5,2 10,68 2,98
𝑑𝑑0 𝑑𝑑(𝑑𝑑) 0,68 𝑑𝑑(𝑑𝑑) −0,03 −1,03 −7,68 −22,55 4,84 11,07 7,61
Fonte: Próprio Autor (2018)
Os tempos computacionais para obtenção da solução numérica e das cotas também foram comparados, Tabela 4.
Sendo 𝜌𝜌 a razão entre o tempo obtido pela solução numérica e as cotas, equação Q:
𝜌𝜌 = 𝑑𝑑 �𝑑𝑑 e 𝑑𝑑�⁄ (Q)
TABELA 4 – Tempo Computacional Parâmetro 𝑑𝑑 e 𝑑𝑑 [𝑠𝑠] 𝑑𝑑 [𝑠𝑠] 𝜌𝜌 [%]
𝐶𝐶_𝑝𝑝 5,27 454,63 8.626,75
𝑚𝑚_𝑝𝑝 5,36 453,14 8.454,10
𝑑𝑑_0 95,16 473,36 497,43
Fonte: Próprio Autor (2018) CONCLUSÃO
Neste trabalho, foi realizada a quantificação da incerteza do modelo de propagação de trincas de Walker, utilizando-se a metodologia Fast Crack Bounds com o método de Simulação de Monte Carlo.
Foi utilizado um exemplo “clássico” da mecânica da fratura com uma placa com largura finita e uma trinca na aresta. Este exemplo foi escolhido por ser muito utilizado na análise de problemas de propagação de trincas e suas funções de correção do fator de intensidade de tensão são conhecidas.
Ao quantificarmos a incerteza para o exemplo, observou-se que as cotas para o primeiro e segundo momento estatístico, enveloparam a solução numérica, satisfazendo assim as desigualdades proposta pela equação G, cuja análise dos
desvios relativos demonstrou uma pequena variação da metodologia proposta em relação a solução numérica.
Apesar de realizarmos uma análise estocástica do tamanho de trinca, exigindo um esforço computacional maior, a metodologia Fast Crack Bounds, demonstrou-se muito eficaz, comparada a solução numérica. Pois os tempos computacionais das cotas foram inferiores a solução numérica do problema, tendo como a maior razão de tempos no parâmetro 𝐶𝐶𝑝𝑝 8.626,75% e a menor razão 497,43 no parâmetro 𝑑𝑑0.
Desta forma, é possível avaliar que a metodologia foi eficaz, para análise do fenômeno de propagação de trincas, pois apresentaram tempos relativamente inferiores as soluções numéricas com desvios relativos pequenos.
REFERÊNCIAS
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UNCERTAINTY QUANTIFICATION OF THE WALKER MODEL THROUGH THE METHODOLOGY FAST CRACK BOUNDS
A cracked component subjected to cyclic stresses tends to fail due to fatigue. This study presents bounds that "envelop" the approximate numerical solution of the evolution of the crack and estimate the statistical moments of the upper and lower bounds, to obtain more realistic results regarding the crack propagation, considering the uncertainty about the parameters of the evolution models of the crack. These bounds are determined using the Fast Crack Bounds method, being compared to the approximate numerical solution obtained by the fourth-order Runge-Kutta method. Randomization of the parameters is performed by Monte Carlo simulation. For the quantification of the uncertainty, a "classic" example of fracture mechanics is considered, the edge crack in an infinite plate. The work presents the relative deviations of the first and second statistical moments, as well as the computational gains in solving the initial value problem that describe the crack propagation.
Keywords: Walker Model, Fracture Mechanics, Fast Crack Bounds, Statistical
