Estudo comparativo de métodos de otimização de redes malhadas pressurizadas.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

ESTUDO COMPARATIVO DE MÉTODOS DE

OTIMIZAÇAO DE REDES MALHADAS PRESSURIZADAS

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ANTONIO FARIAS LEAL

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ANTONIO FARIAS LEAL

ESTUDO COMPARATIVO DE MÉTODOS DE

OTIMIZAÇAO DE REDES MALHADAS PRESSURIZADAS

Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil da Universidade Federal da Paraíba, em cumprimento às exigências para obtenção do Grau de Mestre.

Orientador: HEBER PIMENTEL GOMES

Campina Grande, Paraíba 1995

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Aos meus queridos pais João e Odacir, OFEREÇO. A minha mui amada esposa Sandra e aos

meus filhos Rayssa, Jéssica e Matheus, DEDICO.

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AGRADECIMENTOS

A Deus, de quem provém o conhecimento e, principalmente, a sabedoria.

A UFPB, pelo apoio financeiro durante a vigência do Curso e ao Departamento de Engenharia Agrícola, pela liberação das atividades e pelo incentivo a capacitação docente.

Ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Civil pelo acolhimento e aos professores da Área de Engenharia de Recursos Hídricos pelos ensinamentos ministrados.

Ao Prof. Heber P. Gomes, pela orientação e experiência compartilhada.

À CAGEPA, na pessoa do amigo Eng5 Laudízio da Silva Diniz, pelo empréstimo

dos projetos de redes de distribuição de algumas localidades.

Ao Prof. Carlos Galvão, pelo apoio recebido e o fornecimento do método WADISO. Aos colegas de curso pelo esforço em conjunto para um melhor aprendizado.

Aos funcionários do Laboratório de Recursos Hídricos.

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LISTA DE QUADROS

Pag.

QUADRO 3.1 - Planilha de Cálculo para o Método dos Anéis 43 QUADRO 3.2 - Planilha de Cálculo para o Método dos Nós (Hardy Cross) 44

QUADRO 5.1 - Soluções não Inferiores 66 QUADRO 6.1 - Vazões Requeridas nos Nós de Cada Anel 87

QUADRO 6.2 - Pressões Requeridas em Todos os Nós dos Anéis 88 QUADRO 6.3 - Preços e Coeficientes de Hazen-Williams das Tubulações 89 QUADRO 6.4 - Resultados para os Trechos do Grande Anel - CAGEPA 90 QUADRO 6.5 - Resultados para os Nós do Grande Anel - CAGEPA 90 QUADRO 6.6 - Resultados para os Trechos do Anel 3 - CAGEPA 91 QUADRO 6.7 - Resultados para os Nós do Anel 3 - CAGEPA 92 QUADRO 6.8 - Resultados para os Trechos do Anel 4 - CAGEPA 93 QUADRO 6.9 - Resultados para os Nós do Anel 4 - CAGEPA 94 QUADRO 6.10 - Resultados para os Trechos do Anel 5 - CAGEPA 95 QUADRO 6.11 - Resultados para os Nós do Anel 5 - CAGEPA 96 QUADRO 6.12 - Resultados para os Trechos do Grande Anel - GRANADOS1 98

QUADRO 6.13 - Resultados para os Nós do Grande Anel - GRANADOS1 98

QUADRO 6.14 - Resultados para os Trechos do Anel 3 - GRANADOS1 99

QUADRO 6.15 - Resultados para os Nós do Anel 3 - GRANADOS1 100

QUADRO 6.20 - Resultados para os Trechos do Grande Anel - WADISO1 105

QUADRO 6.21 - Resultados para os Nós do Grande Anel - WADISO1 105

QUADRO 6.22 - Resultados para os Trechos do Anel 3 - WADISO1 106

QUADRO 6.23 - Resultados para os Nós do Anel 3 - WADISO1 107

QUADRO 6.27 - Resultados para os Nós do Anel 5- WADISO1 111

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QUADRO 6.29 - Resumo das Pressões nos Nós (VMAX = Martins (1973)) 113

QUADRO 6.30 - Resultados para os Trechos do Grande Anel - GRANADOS2 116

QUADRO 6.31 - Resultados dos Nós do Grande Anel - GRANADOS2 116

QUADRO 6.38 - Resultados para os Trechos do Grande Anel - WADISO2 123

QUADRO 6.39 - Resultados dos Nós do Grande Anel - WADISO2 123

QUADRO 6.46 - Resumo dos Diâm. dos Trechos (VMAX = Granados (1990)) 130

QUADRO 6.47 - Resumo das Pressões nos Nós (VMAX = Granados (1990)) 131

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LISTA DE FIGURAS

Pag-FIGURA 2.1 .a - Rede Ramificada 18 FIGURA 2.1 .b - Rede Malhada 18 FIGURA 2.2 - Linha Piezométrica entre os Pontos 1 e 2 23

FIGURA 2.3 - Diagrama de Moody 26 FIGURA 2.4 - Variação das Pressões Estáticas e Dinâmicas em uma Tubulação 30

FIGURA 3.1 - Continuidade em um Nó 36 FIGURA 3.2 - Critério dos Sinais em Cada Anel 37

FIGURA 3.3 - Ilustração do Seccionamento Fictício de uma Rede Malhada 38

FIGURA 3.4 - Princípio do Método de Newton-Raphson 48 FIGURA 5.1 - Algoritmo de Enumeração (WADISO) 64

FIGURA 5.2 - Soluções Não-Inferiores 66 FIGURA 5.3 - Linha Piez. Sobre uma Rede de Dist. à Cota de Cabeceira Zo 71

FIGURA 5.4 - Curva dos custos Mínimos de uma Rede em Função da

Cota Piezométrica de Cabeceira 75 FIGURA 5.5 - Curva que Representa a Otirnização Conjunta Rede de Distribuição

+ Bombeamento 76 FIGURA 5.6 - Algoritmo da Junção do Mét. Hardy Cross com o Mét. Granados 80

FIGURA 6.1 - Traçado Geral da Rede da Praia do Bessa 83

FIGURA 6.2 - Traçado do Grande Anel 85 FIGURA 6.3 - Trechos e Nós do Anel 3 85 FIGURA 6.4 - Trechos e Nós do Anel 4 86 FIGURA 6.5 - Trechos e Nós do Anel 5 86

LISTA DE TABELAS

pag

TABELA 2.1 - Coeficiente de Atrito C da Fórmula de Hazen-Williams 27 TABELA 2.2 - Escala de Acréscimo da Pressão Estática e Dinâmica em Função

do Diâm. da Tubulação Segundo Granados (1990) 31 TABELA 2.3 - Limites de VMAX em Função dos Diâm. das Tubulações 34

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SUMÁRIO pag RESUMO ABSTRACT CAPÍTULO I PWTRODUÇÃO 14 CAPÍTULO n

ANÁLISE DE REDES HIDRÁULICAS PRESSURIZADAS 17

2.1 - Classificação das Redes Hidráulicas 17 2.2 - Fundamentos Hidráulicos Básicos 21

2.2.1 - Equações Fundamentais 21 2.2.2 - Perda de Carga por Atrito em Uma Tubulação 23

2.2.3 - Perda de Carga Localizada 28 2.2.4 - Pressões Máximas nas Tubulações 30 2.2.5 - Velocidade Máxima Admissível 32 CAPÍTULO m

DETERMINAÇÃO DE FLUXOS E PRESSÕES EM REDES MALHADAS 35

3.1 - Considerações Iniciais 35 3.2 - Métodos de Análise de Redes Pressurizadas Malhadas 37

3.2.1 - Seccionamento Fictício 37 3.2.2 - O Método Hardy Cross 39

3.2.2.1 - O Método dos Anéis 39 3.2.2.2 - O Método dos Nós 43 3.2.3 - O Método Newton-Raphson 47

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CAPÍTULO rv

OmUZAÇÃO DE REDES PRESSURIZADAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA 50

4.1 - Classificação 50 4.2 - Trabalhos Mais Destacáveis Realizados Até Hoje (1995) 52

4.2.1 - Os Métodos Tradicionais 52 4.2.2 - Métodos de Otirnização para Redes com Vazões Fixas 53

4.2.3 - Métodos de Otirnização para Redes com Vazões Variáveis 54

4.3 - Alguns Problemas Existentes 55 CAPÍTULO V

MÉTODOS DE OTPMIZAÇÃO SELECIONADOS 57

5.1 - Apresentação....» 58 5.2 - O Método WADISO 58

5.2.1 - A Técnica de Enumeração Exaustiva 58 5.2.2 - Redução do Número de Soluções Candidatas 60

5.2.2.1 - Agrupamento de Trechos 60 5.2.2.2 - Teste Sobre a Lista de Diâmetros 61

5.2.2.3 - Teste de Custo 61 5.2.2.4 - Teste de Diâmetro 62 5.2.3 - Algoritmo de Enumeração 63 5.2.4 - Soluções Otimas-Paralelas 65 5.2.5 - Dados Requeridos para Otirnização 67

5.3 - O Método GRANADOS 68 5.3.1 - Etapas Iniciais 68 5.3.2 - Detenninação da Solução Inicial 69

5.3.3 - Processo de Otirnização de Granados 70 5.3.4 - A Utilização do Programa Granados 77 5.3.5 - Utilização do Método Granados em Redes Malhadas 78

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CAPÍTULO VI

RESULTADOS E DISCUSSÃO 81 6.1 - Generalidades 81 6.2 - O Sistema de Distribuição Escolhido 82

6.2.1 - As Partes Componentes do Sistema Escolhido 82

6.2.1.1 - Linha Tronco 82 6.2.1.2 - O Grande Anel de Distribuição 84

6.2.1.3 - Anéis Secundários 84 6.2.2 - Dados e Demandas do Sistema 87 6.2.3 - Resultados Obtidos pela CAGEPA 89 6.3 - Aplicação com Velocidades Máximas Recomendadas por Martins (1973) 97

6.3.1 - Método Granados com Velocidades Máximas Recomendadas por

Martins (1973) 98 6.3.2 - Método Wadiso com Velocidades Máximas Recomendadas por

Martins (1973) 105 6.4 - Aplicação com Velocidades Máximas Recomendadas por Granados (1990).115

6.4.1 - Método Granados com Velocidades Máximas Recomendadas por

Granados (1990) 116 6.4.2 - Método Wadiso com Velocidades Máximas Recomendadas por

Granados (1990) 123 CAPÍTULO VII

CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES 134 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 138

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RESUMO

Os computadores tornaram os métodos de Hardy Cross bastante usuais para o dimensionamento de redes pressurizadas de distribuição de água. Entretanto, esses métodos, assim como outros considerados clássicos ou convencionais, não levam em consideração a minimização do custo total do sistema sobre a sua vida útil esperada. Essa dissertação estuda em profundidade dois métodos (GRANADOS e WADISO) para o dimensionamento económico de redes pressurizadas e estende o método GRANADOS para redes malhadas, o qual foi originalmente planejado para redes ramificadas. Tal adaptação é feita através da associação com a metodologia dos anéis de Hardy Cross. Esse trabalho mostra como os métodos são implementados em programas de computador e como aplicá-los para encontrar uma nova solução para um sistema já projetado; compara a nova solução com a previamente encontrada e mostra que os métodos reduzem de forma significativa os custos. Também compara-se um método ao outro, chegando a algumas generalizações e a algumas diretrizes de como escolher e utilizar essas ferramentas para determinadas aplicações. Como conclusão, pode-se assegurar que com os métodos de otirnização se consegue alcançar uma economia tão significante que, definitivamente, garante que os mesmos sempre sejam usados para dimensionamento de redes pressurizadas de distribuição de água.

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ABSTRACT

Computers have made Hardy Cross methods widely used for sizing pressured water distribution networks. These techniques, like other classic or conventional ones, however, do not per se take into account the minirnization of the system's total costs over its expected life span. This dissertation: a) in-depth surveys two methods (GRANADOS' and WADISO's) for economic sizing of pressured networks and extends GRANADOS' method from branched to looped networks; b) shows how these methods are implemented in computer programs and how to apply them to find a new solution to an already dimensioned real-world sistem, comparing the new solutions against the previous one; c) compares one optimization method against the other, arriving at some generalizations and at some guidelines on how to choose and apply them to particular applications. The conclusion is that cosi optimization methods bring such a significative cosi economy that defmiti vely grants them to be almost mandatoríly advisable for sizing pressured water distribution systems.

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CAPÍTULO I INTRODUÇÃO

Há muitos séculos, a humanidade vem construindo sistemas de distribuição de água, e na maioria do mundo desenvolvido, os consumidores podem ter certeza de que quando abrirem suas torneiras, água, na pressão adequada, irá fluir. Nenhum desses consumidores, entretanto, pode dizer com convicção que aquele sistema de distribuição de água é o sistema de menor custo que poderia ter transportado a água.

Após o surgimento do computador digital de alta velocidade e das potentes técnicas de otirnização, na década de 1950, e também depois da discussão do problema de redes hidráulicas em artigos teóricos na década de 1960, parecia ser só uma questão de tempo até que os projetisías pudessem fornecer alguns dados ao computador e este determinaria a rede de tubulação ótima para um sistema qualquer (ótima neste trabalho, refere-se àquela rede que atende às demandas com o custo mínimo). Já na década de 1980, os métodos de otirnização de redes começaram a ser desenvolvidos e, em pouco tempo, foram aplicados a problemas reais. Mesmo assim, atualmente a otirnização de redes de distribuição não é ainda considerada uma ferramenta básica para os engenheiros projetisías. Poucos são os que realmente usam esses métodos de otirnização para resolver problemas de rede de tubulação. Para a grande maioria dos projetisías, as normas práticas e a técnica de teníaíiva-e-erro permanecem como ferramentas indispensáveis com relação ao problema de selecionar os componentes dos sistemas de distribuição de água.

No Brasil, a quase inexistência, até bem pouco tempo, de metodologias de otirnização de redes pressurizadas de distribuição de água e a falta de

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15 conhecimento de outras desenvolvidas no exterior, que tenham bons programas aplicáveis a computador, leva a supor que esses seriam os motivos da não utilização dessas ferramentas nos projetos de redes hidráulicas pressurizadas.

Afortunadamente, através de algumas metodologias com programas mais acessíveis que estão se tornando disponíveis aos pesquisadores e aos engenheiros interessados nessa área de pesquisa, esse quadro está começando a mudar. No momento existem duas metodologias com essas caracteristicas: WADISO (Gessler and Walski, 1985) e GRANADOS (Granados, 1990).

A metodologia de otirnização conhecida por WADISO - Water Distribution System Optimization (Gessler and Walski, 1985), foi desenvolvida pelo US Army Corps of Engineers (EUA). Esse método utiliza as técnicas de Enumeração Exaustiva e de Hardy Cross, e um programa em Fortran para encontrar a melhor solução para uma rede.

A metodologia de otirnização balizada de GRANADOS (Granados, 1990), foi desenvolvida na Espanha pelo Prof. Alfredo Granados. Originalmente planejado para redes hidráulicas ramificadas, o método utiliza um algoritmo iterativo de redução dos excessos de pressão existentes na rede, através de uma técnica chamada de Gradiente de Câmbio. Nesse trabalho esse método é aplicado em redes malhadas com a ajuda da técnica de Hardy Cross para o balanceamento de fluxos e pressões.

O objetivo desse trabalho será conhecer, utilizar e comparar as metodologias de otirnização de redes hidráulicas pressurizadas malhadas. Para isso, essa dissertação é composta de um único volume com sete capítulos.

No capítulo II, Análise de Redes Hidráulicas Pressurizadas, são mostrados os fundamentos teóricos para o estudo e dimensionamento de redes de distribuição de água. No capítulo III, Determinação de Fluxos e Pressões em Redes Malhadas, apresentam-se os métodos de determinação da distribuição de fluxos e

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16 pressões mais usados em redes hidráulicas malhadas. No capítulo IV, Otirnização de Redes de Distribuição de Água, descreve o "estado da arte" em otirnização de dimensionamento de redes hidráulicas. No capítulo V, Métodos de Otirnização Selecionados, detalha-se as metodologias de otirnização mais relevantes, escolhidas para o estudo comparativo. No capítulo VI, Resultados e Discussão, apresenta-se a utilização dos métodos em uma situação real de dimensionamento de tubulações e faz-se uma comparação dos resultados obtidos. No capítulo VIL Conclusões e Recomendações, são expostas as conclusões finais e são feitas algumas sugestões para pesquisas vindouras.

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17

CAPÍTULO II

ANÁLISE DE REDES HIDRÁULICAS PRESSURIZADAS

2.1 - CLASSIFICAÇÃO DAS REDES HIDRÁULICAS

Rede Hidráulica é a denominação usada para o conjunto de estruturas usadas para o transporte de água de uma determinada fonte até os consumidores finais. Tendo em vista a pressão de funcionamento, a rede pode ser classificada em:

• Redes de Superfície Livre, ou seja, aquelas em que a água apresenta uma superfície livre sobre a qual reina a pressão atmosférica. As seções transversais não tem, necessariamente, o perímetro fechado, e quando isto acontece, a seção funciona parcialmente cheia. O movimento se faz sempre no sentido decrescente das cotas topográficas. Pode-se citar como exemplo, as redes de esgotos pluviais e sanitários e os canais de irrigação.

• Redes Pressurizadas, ou seja, aquelas em que a pressão interna é diferente da pressão externa (atmosférica). Onde as seções tranversais são sempre fechadas e a água as enchem completamente. O movimento da água pode efetuar-se em qualquer sentido dentro de um tubo. São redes pressurizadas, por exemplo, as

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18

redes urbanas de abastecimento, as redes de distribuição usadas na irrigação para sistemas pressurizados, as redes de combate a incêndios, etc.

As redes pressurizadas podem ser ramificadas ou malhadas. A rede ramificada (figura 2.1 .a) tem como característica que a água flui sempre em um mesmo sentido. É composta essencialmente de uma tubulação primária, a qual se ramifica em tubulações secundarias e estas se ramificam em terciárias, e assim por diante.

Nas redes malhadas (figura 2.1.b), as tubulações principais se comunicam umas com as outras, formando circuitos fechados (anéis ou malhas) e se caracterizam pelo fato de que a alimentação das tubulações pode ser feita por suas duas extremidades indistintamente, segundo a demanda e o comportamento das tubulações adjacentes, de maneira que o senti lo da vazão nem sempre é o mesmo.

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19 É evidente que pode ser adotado um sistema misto, no qual exista a utilização das duas, ou seja, combinam-se os dois tipos de distribuição para que a solução obtida seja a mais viável, tanto economicamente como hidraulicamente falando.

O sistema ramificado tem as seguintes vantagens:

a) O dimensionamento dos tubos é mais fácil de ser calculado, já que o sentido de circulação da água é conhecido, ou seja, a vazão que passa em cada tubo pode ser determinada com exatidão;

b) é sempre mais económica, pois requer menores comprimentos de tubulação. Suas desvantagens são:

a) Um problema em um trecho pode resultar na paralização do fornecimento parcial ou total de água ao sistema a jusante desse trecho;

b) as extremidades de uma ramificação apresentam o inconveniente da água ficar parada, sendo necessário fazer descargas periódicas para evitar contaminações. c) a economia que resulta do menor comprimento da rede pode não representar

muito, já que é necessário maiores diâmetros para superar as perdas de pressão, uma vez que a alimentação de cada trecho acontece por só um lado desse.

O sistema malhado, por sua vez, tem as seguintes vantagens: a) Liberdade no sentido da circulação da água;

b) melhor distribuição da pressão;

c) maior segurança no serviço, já que um problema em um ponto determinado não acarretará um corte no fornecimento de água como no caso anterior, pois a vazão pode ser fornecida por outros trechos da malha. O trecho avariado pode

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ser isolado para a reparação, e isto será possível se forem projetados registros que permitam esse tipo de operação.

As desvantagens deste tipo de rede são. principalmente, relativas aos custos mais elevados e às dificuldades dos cálculos para obtenção das distribuições de pressões e vazões. Uma vez que é necessário estabelecer por hipótese as distribuições iniciais da rede e em seguida utilizar alguma técnica de aproximação para obter os valores corretos dentro de uma precisão pré-estabelecida. No entanto, com o aumento da velocidade de processamento dos computadores e a criação de bons programas, essa dificuldade já esteja sendo superada.

Quanto ao sistema de pressurização as redes podem ser classificadas em bombeadas ou por gravidade. Nas redes bombeadas a pressão é fornecida através de um sistema de bombeamento. Nessas redes podem haver variações da altura de bombeamento dependendo da necessidade de uma maior ou menor pressão. Nas redes pressurizadas por gravidade, a pressão é fornecida por reservatório(s) elevado(s), cuja cota de trabalho deve atender aos requesitos da rede. Existe a limitação de uma pressão máxima em função dessa altura de trabalho. Este(s) reservatório(s) pode(m) ser alimentado(s) por bombas que funcionam nos horários mais económicos e de acordo com a necessidade de reabastecimento desse(s) reservatório(s).

Existe a opção de se combinar esses dois tipos de pressurização em uma rede mista, onde exista a necessidade de uma maior pressão em horário de pico ou em locais críticos, e onde o aumento da altura geométrica do reservatório não seria viável ou economicamente (muito caro) ou topologicamente (muito alto). Nesse caso, seria usado um sistema de bombeamento para fornecer uma pressão extra necessária nos horários de pico ou nos locais críticos, e no restante, a rede seria atendida normalmente através do reservatório.

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21 2.2 - FUNDAMENTOS HIDRÁULICOS BÁSICOS

2.2.1 - Equações Fundamentais

A condução de água através de tubulação forçada está regida basicamente por duas equações fundamentais, conhecidas como equação da continuidade e equação da energia.

A equação da continuidade estabelece que, para um escoamento permanente, a vazão (Q) é mantida constante ao longo de um conduto. Ou seja:

Onde A é a área da seção transversal da tubulação e V é a velocidade de circulação da água.

Essa equação também é respeitada nos nós de uma rede, verificando-se que a soma das vazões que entram é igual a soma das que saem do nó, ou seja:

A equação da energia, também conhecida como equação de Bernoulli, pode ser expressa da seguinte forma:

Q = AV = cte (2.1)

EQentram = iQsaem (2.2)

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22 Em que:

p/y = energia de pressão, p = a pressão, e / - peso específico do fluído. Z = energia potencial

V2/2g = energia cinética, V = velocidade média.

Ji-2 = perdas de energia ou carga entre as seções 1 e 2

A equação, da energia (eq. 2.3) estabelece que em um escoamento permanente entre duas seções de um conduto a soma das energias de pressão, potencial e cinética na seção 1, é igual à soma destas mesmas energias na seção 2, mais as perdas de energia produzidas entre as duas seções (J^).

Devido a velocidade média nas redes variar entre valores menores do que 1,0 m/s até valores próximos a 3,0 m/s, o termo que representa a energia cinética (V2/2g) é muito pequeno, quando comparado com os das outras energias da equação

de Bernoulli, não mterferindo no resultado geral das cotas piezométricas ao longo das tubulações das redes de distribuição. Dessa forma, a relação entre as cotas piezométricas de dois pontos ao longo das tubulações das redes de distribuição pode ser reduzida a:

Hx+Z! = H2 + Z2 + Jx.2 (2.4)

Onde H representa a energia de pressão por unidade de peso, que se expressa em termos de altura de coluna d'água (H = p /y).

Denomina-se Linha Piezométrica a representação gráfica das cotas piezométricas (H + Z) ao longo de uma tubulação (figura 2.2). A linha piezométrica é uma reta, pois a perda de carga ao longo de uma tubulação é linear.

(23)

23

L.P.

Figura 2.2 - Linha piezométrica entre os pontos 1 e 2. (Gomes, 1994)

2.2.2 - Perda de Carga por Atrito em Uma Tubulação

A perda de carga (energia) por atrito ao longo de uma tubulação é a energia dissipada que se transforma em calor devido ao efeito da viscosidade da água (atrito interno), juntamente com os choques entre as partículas do fluido e as paredes do tubo (turbulência). Essa perda depende das características físicas do fluido (viscosidade e massa específica) e das características geométricas da tubulação (diâmetro interno (D) e a rugosidade absoluta (e) das paredes internas do tubo).

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7 A

Para se determinar as perdas de carga por atrito em um escoamento uniforme e permanente, são usadas fórmulas empíricas. A escolha de uma fórmula empírica para o dimensionamento das perdas de carga dependerá do nível de precisão desejado, bem como da semelhança entre as condições hidráulicas do dimensionamento e as utilizadas no desenvolvimento da fórmula. (Gomes, 1994)

Uma das fórmulas mais conhecidas, é a fórmula empírica de Darcy-Weissbach, também chamada de fórmula universal da perda de carga. Nesta fórmula, todos os parâmetros básicos dos quais depende a perda de carga contínua estão incluídos, e é dada pela equação:

f V2

Onde:

j = perda de carga unitária. f = coeficiente de atrito.

D = diâmetro interno da tubulação. g = aceleração da gravidade.

V = velocidade média de circulação da água pela seção.

Quando combinada com a equação da continuidade (Q = AV), a equação de Darcy-Weissbach torna-se igual a:

f Q2

j=°'81DTg ( 2 6 )

A perda de carga total (J) ao longo da tubulação de comprimento (L) se obtém diretamente pelo produto (j.L). Essa será dada em metros de coluna d'água (mca), quando as variáveis V, Q, D e g, das equações 2.5 e 2.6 e L do produto total são expressas em unidades métricas (m/s, m3/s, m, m/s2 e m, respectivamente).

(25)

25 A fórmula de Darcy-Weissbach. em virtude da dificuldade existente para a obtenção do coeficiente de atrito f, não era muito usada até alguns anos passados. Atualmente, devido a facilidade oferecida pelos cálculos automatizados, a fórmula de Darcy-Weissbach é a que possui melhor aceitação prática, principalmente, nas aplicações que requerem maior precisão. (Gomes, 1994)

Na determinação do coeficiente de atrito (f), que é um fator adimensional, são utilizados dois parâmetros: o número de Reynolds (Re) e a rugosidade relativa do tubo (e/D), onde e é a rugosidade absoluta.

Para um fluxo em regime laminar (Re < 2000), a rugosidade relativa não influi na perda de carga por atrito, ou seja, o coeficiente (f) não depende do material da tubulação. Nesse caso aplica-se a fórmula de Poiseuille, dada por:

(2.7) Para o regime crítico (2000 < Re < 4000), não existe uma função definida para a determinação do coeficiente de atrito (f). Quando se trata de um escoamento em regime turbulento (Re > 4000), no qual trabalham a grande maioria dos sistemas de distribuição de água, o coeficiente f pode ser determinado por várias fórmulas, uma das mais usadas é a de Colebrook-White, dada por:

1

„ í

í

2,50

Outra maneira de determinar o coeficiente de atrito é dada graficamente através de um ábaco (figura 2.3), conhecido como Diagrama de Moody. Neste, o coeficiente de atrito (f) é determinado diretamente a partir do número de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa do tubo (e/D).

(26)

2v

NÚMERO DE REYNOLDS (RO

Figura 2.3 - Diagrama de Moody. (Gomes, 1994)

A rugosidade absoluta (e) depende do material e da qualidade da tubulação. Os valores médios ou intervalos de valores médios da rugosidade absoluta para diversos materiais de fabricação das tubulações hidráulicas são indicados no quadro da parte superior direita da figura 2.3. Os fabricantes de tubos devem fornecer valores mais precisos de e, e também dos coeficientes de atrito das fórmulas empíricas mais utilizadas para deterrninação das perdas de carga continuas.

(27)

Existem outras equações empíricas para a determinação da perda de carga em escoamento permanente e uniforme. Dentre elas, uma das mais empregadas no dimensionamento das tubulações dos sistemas de distribuição pressurizados, além da fórmula de Darcy-Weissbach, é a fórmula de Hazen-Wrilliams. Dada por:

j = 10,66 (Q/C)1'852 D"117 (2.9)

Onde:

j = perda de carga unitária, m/m. Q = vazão, em m3/s.

D = diâmetro interno da tubulação, em m.

C = coeficiente de atrito ou coeficiente de Hazen-Williams.

Para se determinar a perda de carga total (J) ao longo da tubulação de comprimento (L), faz-se o produto (j.L). Os coeficientes de Hazen-Williams recomendados para diversos materiais das tubulações estão indicados na tabela 2.1.

TABELA 2.1 - Coeficiente de atrito C da fórmula de Hazen-Williams. Material da tubulação C Polietileno 150 PVC 145 Cimento-amiantc 135 Alumínio 130 Aço galvanizado 125

Concreto (acabamento liso) 130 Concreto (acab. comum) 120 Ferro fundido (novo) 130 Ferro fundido (15 anos) 100

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28 Quanto à escolha da fórmula para calcular a perda de carga. Gomes (1994) faz algumas observações :

• No dimensionamento de sistemas sempre existirão incertezas sobre o grau de exatidão alcançado no cálculo da perda de carga, independendo da fórmula utilizada. Uma margem de imprecisão de até 10 % nos valores das perdas contínuas calculadas para o dimensionamento dos sistemas de distribuição não tem importância prática.

• Não adianta tentar alcançar uma melhor precisão na fórmula de cálculo empregada quando existem outros fatores que não podem ser seguramente calculados e que influem no resultado final da perda de energia, tais como as perdas de carga localizadas, ou a própria rugosidade dos tubos, que não podem ser avaliadas com exatidão e têm grande influência sobre o resultado total da perda de energia.

2.2.3 - Perda de Carga Localizada

A perda de carga localizada em uma singularidade ou peça especial do conduto depende de diversos parâmetros de difícil determinação. Pode ser avaliada como uma porcentagem da carga cinética (V /2g), existente imediatamente a jusante do ponto onde ocorre a perda, e pode ser dada por:

V2

J = K,— (2.10) _2g

(29)

2o J = perda de carga localizada, em mca

Ki = coeficiente da perda correspondente à peça especial considerada V = veloc. média do fluxo imediatamente a jusante da peça, em m/s g = aceleração da gravidade = 9.8 m/s2

O valor do coeficiente da perda de carga (K^) é calculado experimentalmente e depende do tipo e do diâmetro da peça especial. A sua determinação é bastante complexa, pois par^ cada tipo de peça, existe uma grande variedade de modelos e de fabricantes.

A perda de carga localizada pode ser estimada através de um comprimento fictício de tubulação de diâmetro igual ao da peça considerada. Esse deve produzir uma perda por atrito equivalente à perda singular provocada pela peça. O comprimento equivalente da tubulação é obtido quando a equação 2.10 for igual à fórmula universal da perda de carga contínua (equação 2.5). Ou seja, o comprimento equivalente L será dado por:

L = (Kj/f)D (2.11) A determinação desse comprimento equivalente para cada peça

especial é muito trabalhoso e improdutivo, pois causa grande incerteza do resultado final. Na prática, as perdas de carga localizadas de todas as peças especiais são estimadas como uma porcentagem das perdas totais por atrito da rede (p.e.: 10%). Outro procedimento prático, seria superestimar o coeficiente de atrito utilizado no cálculo das perdas contínuas, imbutindo assim, as perdas de carga localizadas. (Gomes, 1994)

(30)

30 2.2.4 - Pressões Máximas nas Tubulações

As tubulações das redes de distribuição d'água estão submetidas a esforços hidráulicos internos produzidos pelas pressões estáticas e dinâmicas, e por sobrepressões e depressões originadas dos possíveis golpes de aríete que geralmente ocorrem nas redes. Os esforços hidráulicos máximos atuantes deverão ser conhecidos, para uma correta escolha das pressões nominais (classes) dos tubos.

Pressões Estáticas " — _{! [} —• — _^ J Pressões Dinâmicas ~~~~~ 1 r i) ( nó inicial nó final

Figura 2.4 - Variação das Pressões Estáticas e Dinâmicas em uma Tubulação. A variação das pressões estáticas e dinâmicas ao longo de um trecho de tubulação é mostrada na figura 2.4, onde (Hd) é a carga disponível no ponto inicial,

(Hr) é a pressão requerida no final do trecho e (J) é a perda de carga ocorrida.

A rede de distribuição estará submetida à pressão estática (representada pela linha piezométrica horizontal) sempre que a vazão transportada por esta seja nula (rede em repouso). Esta situação extrema é característica da maior parte dos sistemas de distribuição de médio e pequeno porte e se apresenta nos momentos de consumo nulo. Ou seja, a rede hidráulica estará submetida à pressões

(31)

31 estáticas iguais à diferença entre a cota piezométrica de cabeceira e a cota do terreno em cada ponto onde a tubulação está instalada. Quando a rede está em pleno funcionamento, com todos os pontos de saída d "água abertos, uma outra situação extrema ocorrerá. Desta feita, as tubulações estarão submetidas às pressões dinâmicas de projeto, que são as pressões mínimas necessárias para alimentar a rede.

Numa rede de distribuição também atuam fenómenos hidráulicos transitórios, chamados de golpes de aríete, e s?o provocados pelo ajuste do fluxo em algum ponto da rede. Podem ocorrer no fechamento de um registro, na expulsão do ar contido no interior das tubulações, na interrupção do bombeamento, etc. As tubulações deverão estar devidamente dimensionadas para suportar as sobrepressões e as depressões produzidas pelos golpes de aríete, combinados com ambas situações extremas descritas ou com qualquer outra intermediária possível.

Os cálculos dos esforços hidráulicos decorrentes dos golpes de aríete são bastante complicados (Gomes, 1994). Na prática, as cargas estáticas ou di-nâmicas que atuam na rede podem ser acrescidas de um certo valor, assegurando dessa forma a resistência das tubulações. Granados (1990) recomenda uma escala de acréscimo sobre as pressões estáticas ou dinâmicas (escolhe-se a mais desfavorável) em função do diâmetro da tubulação, apresentada na tabela 2.2.

Cabe ao projetista estimar as situações mais desfavoráveis dos esforços hidráulicos para determinar as pressões máximas nos trechos da rede (pressões de trabalho). A tubulação de cada trecho da rede deverá possuir uma pressão nominal (classe) adequada à pressão de trabalho que possa atuar sobre ela para uma maior segurança da rede.

(32)

32 TABELA 2.2 - Escala de acréscimo da pressão estática e dinâmica em

função do diâmetro da tubulação segundo Granados (1990). Diâmetro Acréscimo sobre a pressão (Atm)

(mm) estática dinâmica <200 3,0 4,0 250 2,0 3,5 300 1,0 3,0 350 0,5 2,5 400 0,5 2,0 450 0,5 1,5 >500 0,5 1,0

2.2.5 - Velocidade Máxima Admissível

No transporte de uma determinada vazão (Q) por uma tubulação, sabe-se através da equação da continuidade (Q = AV), que quanto maior for a velocidade do fluxo menor será o diâmetro necessário do tubo, e consequentemente, uma tubulação mais barata. Porém, ao aumentar a velocidade de circulação da água, ocorrerão maiores perdas de carga, as tubulações poderão ser danificadas pelos golpes de aríete, haverão maiores desgastes nos tubos e nas demais peças (conexões, registros, válvulas, etc.), a rede sofrerá maiores vibrações e outros fenómenos associados ao aumento da velocidade do fluxo.

As técnicas tradicionais de dimensionamento baseam-se no critério da velocidade máxima para a determinação do menor diâmetro comercial admissível para cada trecho da rede. As vazões devem ser atendidas de forma que o limite máximo de velocidade do diâmetro escolhido para cada trecho não seja ultrapassado.

(33)

3?

Dessa forma, a combinação de diâmetros obtida é a de menor custo. Entretanto, a cota de cabeceira necessária é muito elevada, elevando assim, o custo de bombeamento e também o custo da solução final.

Recentemente, os limites de velocidade máxima praticados em dimensionamento de tubo vêm sendo extrapolados por diversos pesquisadores. A tendência de aumentar-se os valores recomendados está baseada em critérios empíricos adquiridos através da experiência prática dos autores que os recomendam. Eles asseguram que os limites existentes são muitos baixos e, objetivando compatibilizar o custo da tubulação com a segurança da rede, estabelecem novos limites para a velocidades máxima do fluxo nas tubulações em função dos seus diâmetros, dos custos dos tubos e do risco de danos admitido.

Em sistemas de distribuição de água em geral, Granados (1990) admite valores de velocidades máximas até 2,0 m/s para diâmetros menores ou iguais a 250 mm, para os diâmetros entre 300 e 1000 mm recomenda velocidades entre 2,1 e 3,0 m/s e para diâmetros acima de 1000 mm ele propõe a fórmula VMÀX = 2 + D, em metros. Já Clement-Galant (1986) recomendam valores entre 1,8 a 3,0 m/s, enquanto Walski (1985) admite velocidades máximas menores que 2,4 m/s na hora de pico de vazão em sistemas de abastecimento urbano. Tárrega et al (1987) comenta que a Comisión de Estúdios Número 3 da AEAS propôs velocidades entre 0,6 e 2,25 m/s. E Silvestre (1982) declara : "De um modo geral, as velocidades devem variar de 1,0 m/s a 2,0 m/s".

Atualmente as redes de abastecimento urbano já trabalham com velocidades acima de 1,0 m/s. Muitas delas foram projetadas com velocidades mais baixas, mas devido ao aumento da demanda, precisam fornecer maiores vazões e, para isso, as velocidades de fluxo são incrementadas. Existe uma preocupação especial com as tubulações que diretamente abastecem os consumidores (geralmente, ò<100mm), para as quais recomendam-se velocidades abaixo de 1,0 m/s, visando

(34)

obter uma maior segurança para as edificações. A tabela 2.3 fornece alguns limites de velocidade máxima recomendados por alguns autores, em função do diâmetro das tubulações.

TABELA 2.3 - Limites de VMAX em função dos diâmetros das tubulações.

Diâmetro (mm) Vmax (m/s) I

_n

i

m

<100 0,60 1,80 2,00 150 0,80 1,95 2,00 200 0,90 2,05 2,00 250 1,10 2,15 2,00 300 1,20 2,25 2,10 350 1,30 2,30 2,20 400 1,40 2,50 2,30 450 1,50 2,85 2,40 500 1,60 2,85 2,50 600 1,80 3,10 2,60 > 1000 > 2,00 - _{2+D (m)}

I - Valores recomendados por Martins et al. (1973). II - Idem por Clément-Galant (1986). (Gomes, 1994) III - Idem por Granados (1990). (Gomes, 1994)

(35)

CAPÍTULO III

DETERMINAÇÃO DE FLUXOS E PRESSÕES EM REDES MALHADAS 3.1 - CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Como já foi dito anteriormente no item 2.1, a rede malhada é aquela em que os condutos estão ligados uns aos outros, criando uma série de circuitos ou malhas. Neste tipo de rede de distribuição, ao contrário das redes ramificadas, a água pode circular em distintos sentidos, segundo se distribua o consumo por parte dos usuários, o que afetará também a distribuição das pressões.

A determinação de fluxos e pressões em redes malhadas tem ocupado a atenção de muitos pesquisadores, iniciando com o conhecido estudo de Hardy Cross (Cross, 1936). Essa determinação tem sido um dos mais complexos problemas computacionais, devido a natureza iterativa das técnicas de determinação, resultantes da não-linearidade das relações existentes. Entretanto, o advento dos computadores digitais facilitou a utilização dessas técnicas.

A rede de distribuição de água é considerada dimensionada, quando as pressões em todos os nós e as vazões em todos os trechos da rede são conhecidas, tal que duas condições estejam satisfeitas, ou seja:

1. A Continuidade em todas as junções (nós) e

(36)

36 As condições que devem ser satisfeitas para a solução dos fluxos hidráulicos e pressões na rede hidráulica são análogas às Leis de Kirchoff em redes elétricas e podem ser mostradas, matematicamente, da seguinte forma:

1. Equação dos Nós: para cada nó da rede, a soma algébrica das vazões (Qi) será zero (fig. 3.1), ou seja:

£ Q Í = 0 (3.1)

Figura 3.1- Continuidade em um nó.

2. Equação dos Anéis: para cada anel da rede, a soma algébrica das perdas de carga de seus trechos (Jj) será zero (fig. 3.2), ou seja:

(37)

37

Figura 3.2 - Critério dos sinais em cada anel.

Basicamente, para determinação das distribuições de pressões e vazões em redes malhadas, são requeridas as seguintes informações pelo método:

• O comprimento, diâmetro, e coeficiente de rugosidade para cada seção de tubo, e também o traçado dos trechos (layout);

• A vazão que sai de cada nó ( demanda pelo consumidor); • A altura manométrica e a vazão para cada nó de entrada; • A relação perda de carga-vazão para cada tubulação.

3.2 - MÉTODOS DE ANÁLISE DE REDE PRESSURIZADA EM MALHA

3.2.1 - Método do Seccionamento Fictício

Este método é bastante simples e serve como pré-dimensionamento para as redes hidráulicas. Está baseado na transformação fictícia de uma rede malhada em uma rede ramificada através de pontos de seccionamento, que dão origem a extremidades livres, que na realidade não existem. Para facilitar os cálculos

(38)

38 e a seleção dos diâmetros das tubulações é conveniente simplificar a rede original, transformando-a em uma outra rede equivalente, porém de manejo muito mais fácil. Trata-se de um seccionamento fictício da rede, desfazendo-se as malhas através de alguns "cortes" em pontos estratégicos. Criando-se assim uma rede ramificada equivalente (fig. 3.4).

Figura 3.3 - Ilustração do seccionamento fictício de uma rede malhada.

A escolha dos pontos de seccionamento deve ser feita de modo que o percurso da água desde a cabeceira até eles, seja o menor possível. Esses cortes imaginários normalmente são feitos nos nós onde haja convergência de fluxos. Após os cortes, a rede malhada torna-se igual a uma rede "ramificada", onde a vazão de cada trecho é conhecida. Um primeiro dimensionamento pode ser realizado através das vazões máximas admissíveis para cada cada diâmetro de tubo, onde cada trecho recebe um diâmetro de acordo com a vazão que ele transporta. Essas vazões máximas admissíveis são obtidas através da equação Q = AV, onde V é a velocidade máxima para cada diâmetro. Desta forma, cada trecho terá um diâmetro inicial e a sua perda de carga será calculada através das fórmulas empíricas.

(39)

39 As alturas piezométricas (pressões) em cada um dos extremos dos nós seccionados são calculadas. Em seguida, é verificado se para cada nó onde houve o seccionamento de um ou mais trechos, todos os extremos têm a mesma altura piezométrica (com uma precisão de + 10%). Caso ocorra essa "igualdade", esse dimensionamento pode ser usado. Caso as alturas piezométricas não sejam tão próximas assim, deve-se variar, ou os diâmetros anteriormente escolhidos ou o local de seccionamento, e repetir esse processo até que os valores das alturas piezométricas satisfaçam essa condição.

3.2.2 - O Método Hardy Cross

O mais antigo método para solução sistemática de rede hidráulica, e ainda o mais comumente usado, é o proposto por Hardy Cross (1936). Este método é bem aceito por ser fácil de entender e adaptável à programação informática. Hardy Cross apresentou duas metodologias de resolver o problema de análise de fluxo e pressão em redes malhadas. São elas: o Método dos Anéis e o Método dos Nós. Estas duas metodologias serão explicadas mais detalhadamente a seguir.

3.2.2.1 - O Método dos Anéis

Este método faz o balanceamento das pressões nos nós, através da correção de uma distribuição de vazões inicialmente assumida. Tal distribuição deve satisfazer a equação dos nós (equação 3.1) em cada nó. O conceito chave para o método do anel é impor uma correção de vazão em todos os tubos de um anel. Aplicando essa correção, a distribuição inicial de fluxo assumida é repetidamente

(40)

40 corrigida até que a equação dos anéis (equação 3.2), esteja satisfeita para cada anel, dentro de limites práticos aceitáveis.

O início do dimensionamento através do método dos anéis assemelha-se ao início do método do assemelha-seccionamento fictício, pois consiste em identificar a demanda de cada ponto de saída de água da rede e os pontos onde existe convergência de fluxos. Em seguida, uma distribuição inicial das vazões circulantes em cada trecho é assumida. Essa distribuição inicial determinará o sentido e a quantidade do fluxo que passa em cada trecho e deverá cumprir a equação da continuidade em todos os nós, de maneira que a soma das vazões que chegam a cada nó seja igual a soma das vazões que saem. Ou seja:

S Q i W = E Q i w (3.3) Logo após a distribuição dos fluxos iniciais, os diâmetros de cada

trecho são escolhidos em função da vazão transportada e da velocidade máxima inicial de fluxo admitida para cada diâmetro de tubo escolhido. Assim, cada trecho terá um diâmetro inicial definido, e em seguida, através das fórmulas empíricas as perdas de carga são calculadas.

Usando este método, a solução do grupo de equações não-lineares dos fluxos das redes é encontrada pela iteração ou pelas sucessivas correções para uma dada distribuição inicial de um anel qualquer. O procedimento é repetido até que algum critério pré-estabelecido de precisão esteja satisfeito.

A expressão da correção, que é sucessivamente usada para um anel, pode ser obtida da expressão geral da relação perda de carga-vazão seguinte:

J = r Q" (3.4) Onde:

(41)

41 J '- perda de carga no trecho;

r = constante obtida no trecho, em função do seu diâmetro, do seu comprimento e da fórmula adotada;

Q = vazão no trecho;

n = potência que depende da fórmula usada.

As perdas de carga calculadas para todos os trechos de um anel qualquer, são somadas, ou seja:

I J = I r Qn (3.7)

Se a distribuição inicial no anel fosse a ideal, o somatório acima seria igual a zero, dispensando qualquer correção. Geralmente, na distribuição inicial isto não ocorre, ou seja : 2 J = 0. Assim, deve-se fazer correções nas vazões dos anéis, até que essa igualdade seja alcançada . A correção de cada anel será chamada de AQ e a equação 3.7 passará a ser escrita da seguinte forma:

Xr(Q + AQ)n = 0 (3.8)

Desenvolvendo a equação 3.8 em uma série de potências, ela terá a seguinte forma:

Lr [ Qn + nQn 1 AQ + (n(n-l)/2)Q""2(AQ)2 + ...] = 0 (3.9)

Como o valor de AQ é pequeno quando comparado com Q, todos os termos que contenham AQ elevados a uma potência igual ou superior a 2, podem ser desprezados. Então, a equação 3.9 ficará reduzida a:

(42)

42 Substituindo agora a equação 3.7 na equação 3.10, a correção em cada anel será dada por:

AQ= -IJ (3.11) nS(J/Q)

Onde AQ é a correção do fluxo a ser aplicada em um anel, devendo para cada anel ser calculada uma correção. Qualquer precisão desejada dentro de um limite prático prescrito pode ser alcançada rodando mais iterações. A magnitude, bem como o sinal, da correção a ser aplicada para cada anel é governada pelo total de erro dentro de cada anel.

No caso de um único anel, é fácil ver que existe apenas uma taxa de correção da vazão em cada trecho do anel após cada iteração, até que a equação dos anéis (IJ, = 0) esteja atendida. É importante n tar que após a aplicação da taxa de correção AQ, a equação de continuidade (I Oj = 0) em todos os nós também estariam satisfeitas.

No caso de mais de um anel, poderão existir alguns trechos comuns a mais de um anel. A correção a ser aplicada em cada um desses trechos, seria igual a correção do anel em questão, menos a correção dos outros anéis, aos quais esse trecho pertence, mu dando-se assim o balanço realizado no primeiro anel. Como as correções a serem feitas em um anel são afetadas pelas outras devido a existência de trechos comuns, o número de tentativas é maior para a obtenção do resultado

definitivo. Devido a essas novas correções, a convergência é muito lenta e piora com o aumento do sistema. Este problema pode ser superado pela resolução da equação 3.2 para todos os anéis, simultaneamente. A técnica baseada na solução simultânea da equação 3.2 para todos os nós, mostra excelente convergência e o número de iterações é independente do tamanho da rede.

(43)

43 O Quadro 3.1, mostra um exemplo de planilha que agiliza os cálculos no método dos anéis. O método dos anéis tem sido usado por muitos profissionais, devido requerer pouca memória de computador em relação aos métodos mais modernos, que requerem grandes espaços de memória. Muitos programas têm sido escritos para fornecer a análise desse método, e muitos estudos têm sido feitos para acelerar a sua convergência.

QUADRO 3.1 - Planilha de cálculo para o método dos anéis.

Anel Trecho n D L Q J J/Q yj IJ/Q AQ

—-—^—

3.2.2.2 - O Método dos Nós

Logo após Hardy Cross ter apresentado os seus dois métodos, o método dos nós não foi muito usado. Esse requer a resolução de muitas equações, tantas quanto forem os nós com pressões desconhecidas. Se as equações serão resolvidas manualmente, é fácil entender porque as pessoas preferiram o método dos anéis, pois em um sistema pequeno, geralmente existem muito mais nós do que anéis. Essa diferença sempre tende a desaparecer quando são considerados grandes sistemas.

O método dos nós é a técnica de balancear a vazão dos trechos ligados a um nó qualquer, por meio da correção de uma pressão inicial assumida para esse nó. Através da pressão inicial estimada em cada nó, pode-se calcular uma vazão para cada trecho ligado a ele. Se o sistema fosse perfeitamente balanceado, o somatório

(44)

44 dos fluxos que entram com os que saem de cada nó seria zero (I Q, = 0). Mas, baseado nas alturas estimadas, haverá um residuo de vazão a ser corrigido.

O método dos nós assume que as alturas manométricas nos nós adjacentes estão correias e ajusta a altura do nó em questão, tal que as vazões fiquem balanceadas. A equação resultante é novamente não-linear e é resolvida através da linearização. Hardy Cross resolveu somente uma equação de cada vez, o que resultou em um algoritmo extremamente condensado e simples. Entretanto, como no método dos anéis, a convergência é fraca. Alternativamente, pode-se ajustar a altura manométrica de todos os nós, resolvendo-se todas essas equações de correção simultaneamente. O algoritmo resultante desse procedimento mostra uma excelente convergência.

A lista seguinte, mostra algumas das características do método dos nós: • O número de equação é igual ao número de nós menos o número de

reservatórios que abastecem a rede.

• Não existe a necessidade de se estabelecer o layout dos anéis. As informações requeridas são as cotas de cada nó, o comprimento, diâmetro, coeficiente de rugosidade e os nós, inicial e final, de cada trecho.

• As variáveis primárias são as alturas (pressões). Além disso, as vazões também estão disponíveis durante todo o processo iterativo. • No caso de resolução simultânea de todas as equações, a última

correção em um nó será uma excelente medição para a precisão da pressão alcançada nesse local.

(45)

45 • Tubos com vazão zero causam uma singularidade nos cálculos dos

ajustes de pressão. Uma atenção especial deve ser dada a esses tubos.

No método dos nós, o procedimento para a identificação dos trechos é fácil e também é muito simples estimar as pressão nos nós onde não são inicialmente conhecidas. O grupo de pressões assumido é sucessivamente corrigido até que a equação da continuidade esteja satisfeita, em cada nó, dentro de limites práticos de erro aceitável. Entretanto, o tempo de computador necessário, será maior do que no método dos anéis.

No mesmo caminho usado para o método dos anéis, a expressão da correção, que é sucessivamente usada para cada nó, pode ser derivada da expressão geral da relação perda de carga-vazão (J = r Qn). As vazões calculadas para todos os

trechos que chegam ou partem de um nó qualquer são somadas, e a equação 3.4 pode ser escrita da seguinte forma:

I Q = S(l/r),/nJ1,n (3.12)

Se a distribuição inicial de altura de carga no nó fosse a ideal, o somatório acima seria igual a zero, dispensando qualquer correção. Geralmente, na distribuição inicial isto não ocorre, ou seja : I Q" # 0. Devendo ser feita uma correção nas cargas dos nós. Essa correção da altura de carga em cada nó será chamada de AJ e a equação 3.12 será:

I (l/r1/nXJ + AJ)1/n = 0 (3.13)

Desenvolvendo a equação 3.13 em uma série de potências, ela terá a seguinte forma:

(46)

46 Como o valor de AJ é pequeno quando comparado com J, todos os termos que contenham AJ elevados a uma potência igual ou superior a 2, podem ser desprezados. Então, a equação 3.14 ficará reduzida a:

I (l/r1/nX J1/n + (l/n) J(1/nV1 AJ) = 0 (3.15)

Substituindo agora a equação 3.12 na equação 3.15, a correção em cada nó será dada por:

AJ= -IO (3.16) l/nI(Q/J)

Onde, AJ é o fator de correção, cuja unidade é altura de carga, para ser aplicada nos nós, visando convergir para uma solução correta. No entanto, no método dos nós existe um problema de convergência lenta, que é uma dificuldade a ser superada com muitas técnicas que estão disponíveis. O Quadro 3.2 mostra um tipo de planilha que agiliza os cálculos no métodos dos nós.

QUADRO 3.2 - Planilha de cálculo para o método dos nós (Hardy Cross). Nó Trecho n D L J Q Q/J SQ EQ/J AJ

Durante as primeiras iterações, a rede pode ser mal balanceada com altos valores de correção de pressão. Caso esses valores de correção não sejam limitados em um certo valor para cada iteração (p.e.: + 1,0 mca), haverá a chance dos cálculos não convergirem para uma solução. Algumas técnicas para aumentar a convergência são propostas por Dillingham (1967). Porém, todos as técnicas usadas

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47 para aumentar a taxa de convergência são arbitárias, baseadas na experiência e na intuição, e não têm base matemática ou algoritmo satisfatório.(El-Jumaily, 1981)

Em geral a maior dificuldade em obter um balanço matemático, surge quando a rede possui algum tubo de pequeno comprimento, com um grosso calibre, e com uma pequena vazão (mal-condicionamento). Isto resultaria em um grande valor de (Q/J), o que aumentaria o valor de S(Q/J), reduzindo a correção (AJ) a um valor muito pequeno. Portanto, seriam necessárias muitas iterações para uma apreciável mudança na carga.

Erros acidentais ou dados não-coerentes podem causar uma divergência ou levar a um longo tempo de cálculo. Por esta razão, o número de iterações deve ser limitado tal que, se esse número máximo de iteração for alcançado antes de ser atingida a precisão, o programa interromperá automaticamente. De acordo com requesitos iniciais, uma vantagem do método dos nós é que é relativamente simples programar um computador para apontar a distribuição de carga inicial assumida.

3.2.3 - O Método Newton-Raphson

Esta metodologia utiliza a técnica de Newton-Raphson para um grupo de equações lineares simultâneas e está sendo aplicada em análise de rede de distribuição de água. A técnica de Newton-Raphson é bem conhecida em análise numérica e foi usada pela primeira vez em um programa de computador por Martin e Peters (1963), para determinar as pressões desconhecidas nos nós de uma rede de tubos.

(48)

48 Desde então, muitos pesquisadores e projetistas têm confiado nesse método para as investigações de sistemas de distribuição de água, e ele tem sido utilizado para incluir vários componentes hidráulicos à rede. Isto porque esse método é aproveitado para ajustar todas as vazões assumidas para cada anel simultaneamente.

A convergência é muito mais rápida do que a obtida pela técnica de Hardy Cross, especialmente, quando os valores iniciais assumidos estão bem orientados para a solução real. Isto acontece devido a sua característica de boa convergência. Porém, uma estimativa dos valores iniciais mal feita, pode levar a uma lenta convergência, e em alguns casos, a solução pode não ser encontrada.

Y

Figura 3.4 - O princípio do método de Newton-Raphson.

O princípio do método é explicado, mais simplesmente, pela referência da equação y = f (x), (fig. 3.4). A regra de Newton declara que, se (x) é uma aproximação para a raiz de f(x), então (x + ôx) é a melhor aproximação onde :

(49)

49

Sx = -f(x) = -f(x) (3.20) tan(f(x)) f'(x)

A fórmula da iteração Newton-Raphsom é escrita da seguinte maneira:

Xn = X,,.! - (fíX^O/fXX^)) (3.21)

Por outro lado, Lam e Wolla (1972) mencionam que o método iterativo de Newton-Raphson tem algumas desvantagens. A primeira é que os valores iniciais assumidos devem ser muito perto da solução real. Na verdade, a solução real não é conhecida e isto dificulta a escolha de uma combinação inicial que seja próxima da solução real. A segunda desvantagem é a dificuldade para obter derivadas parciais. Finalmente, a terceira desvantagem, é que esse método consome muito tempo, devido à natureza numérica dos cálculos produzirem um grande número de equações a serem avaliadas.

Logo em seguida, baseados no método de Newton-Raphson, Lam e Wolla (1972) usaram uma técnica que deriva o algoritmo que resolve os sistemas de equações e não requer derivadas parciais. Eles a chamaram de Método Newton-Raphson Modificado e usaram-na em estudo de redes distribuição de água. Nesse estudo, um grupo de equações não-lineares é então gerado para cada rede e resolvido pelo algoritmo Newton-Raphson Modificado, que reduz os cálculos requeridos.

(50)

50 CAPÍTULO IV

OTIMIZAÇÂO DE REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA

Muitas pesquisas sobre a aplicação de métodos de otirnização de sistemas de distribuição de água têm sido realizadas desde a década de 1960. O objetivo desse capítulo será descrever o estado da arte em otirnização de redes de distribuição. Isto será feito, primeiramente, apresentando uma classificação dos problemas, seguida de uma descrição dos trabalhos mais destacáveis realizados até o momento. Finalmente, será discutido os problemas em relação a prática da otirnização de redes de distribuição.

4.1 - CLASSIFICAÇÃO

Os problemas de otirnização de redes de tubos podem ser classificados de várias maneiras. As duas classificações mais expressivas são:

1. Quanto ao tipo da distribuição de vazão: (vazões fixas x vazões variáveis) e; 2. Quanto ao sistema de pressurização:

(sist. por gravidade (reservatório) x sist. por bombeamento). Os sistemas nos quais a distribuição de vazão é fixada inicialmente e existe somente um nó com carga hidráulica constante (ex. tanque, bomba) são menos complexos, porque a vazão de um trecho qualquer não muda quando o seu diâmetro é mudado. Os sistemas ramificados simples e as longas linhas de tubulação com

(51)

51 ocasionais saídas. Pequenos sistemas de irrigação por condutos fechados e pequenos sistemas de abastecimento d'água estão nessa categoria.

A maior parte dos sistemas de distribuição de água, entretanto, contêm anéis e múltiplas fontes de suprimento, alguns dos quais podendo ser nós de carga constante. A distribuição de vazão não é conhecida, e a vazão em qualquer trecho é determinada pelo diâmetro dele e o de todos os outros trechos da rede. Resolver este tipo de problema é muito mais difícil por causa das interaçôes entre os trechos e entre as suas variáveis no dimensionamento.

As técnicas desenvolvidas também diferem entre sistemas pressurizados por bombeamento e por gravidade. Em sistemas pressurizados por gravidade, a pressão disponível é fixada através da altura do reservatório. O dimensionamento desses sistemas tenderá a dissipar todo o excesso de pressão através de tubos de pequenos diâmetros afim de minimizar os custos, devendo ser consideradas as pressões nominais (classes) dos tubos. Em sistemas por bombeamento, a pressão disponível não é fixa, e pode ser alterada mudando a altura de bombeamento. Para isso, os custos dessa mudança deverão ser confrontados com o aumento dos custos dos equipamentos de bombeamento e da energia extra necessária.

Os métodos usados neste trabalho possuem uma única fonte de suprimento, mas a distribuição de vazão varia de acordo com a variação do diâmetro do tubo, ou seja, sempre que a rede é otimizada e novos diâmetros são escolhidos, o balanço hidráulico do sistema é realizado em seguida, através dos métodos de Hardy Cross. Desta forma, as vazões são atualizadas de acordo com as mudanças nos diâmetros de cada trecho.

(52)

52 4.2 - TRABALHOS MAIS DESTACÁVEIS REALIZADOS ATÉ HOJE (1995). 4.2.1 - Os Métodos Tradicionais

A abordagem tradicionalmente usada pelos engenheiros projetisías para dimensionar tubos para sistemas pressurizados pode ser descrita assim:

a) Escolher um método de dimensionamento adequado para o sistema. b) Simular demandas futuras e situações de emergência através do método. Isto possibilita aos engenheiros identificar as áreas problemáticas do sistema.

c) Identificar as possíveis soluções. Para isso são testados vários diâmetros e cotas de cabeceira através do método.

d) Calcular os custos para algumas das melhores alternativas e encontrar uma solução a ser recomendada.

Nesse processo o projetista geralmente dispõe de algumas diretrizes para chegar a uma solução que seja viável para um sistema urbano de abastecimento de água. Essas diretrizes, segundo Walski (1985) são:

1. Velocidades menores do que 2,4 m/s no pico do fluxo; 2. Velocidades na ordem de 0,6 mys no fluxo médio;

3. Pressões entre 40 e 55 mca sob condições normais; 4. Pressões mínimas de 15 mca durante incêndio;

5. Diâmetro rnínimo de 150 mm para sistemas com proteção contra incêndio;

6. Diâmetro rnínimo de 50 mm para sistemas sem proteção contra incêndio;

7. Tipo e número de bombas adequados, tal que a demanda de projeto possa ser atendida através de uma bomba de reserva.

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53 Armados com um bom método e diretrizes como essas, os engenheiros têm sido hábeis a projetar sistema de distribuição com um custo razoável. Podem haver algumas modificações quanto a esses requerimentos em função do objetivo da rede.

4.2.2 - Métodos de Otirnização para Redes Pressurizadas com Vazões Fixas

Para a otirnização de sistemas pressurizados através de reservatório, o primeiro trabalho foi o de Camp (1939). Deb (1973) e Walski (1984) apresentaram métodos que confiam essencialmente nas clássicas técnicas de otirnização, como Multiplicadores de Lagrange.

Quando o problema torna-se suficientemente complicado, como é o caso de grandes sistemas ramificados, as técnicas clássicas de otirnização e a robustez da tentativa-e-erro tornam-se impraticáveis. Nesses casos, a programação linear pode ser usada para selecionar tubos de diâmetros ótimos; uma vez que os custos são uma função linear apenas do comprimento, é esse comprimento do tubo, para um dado diâmetro, que pode ser determinado por um programa de computador. Karmeli, Gadish e Meyers (1968), Lai e Schaake (1969) e Bhave (1979) desenvolveram algoritmos em programação linear para solucionar sistemas com vazões conhecidas. Liang (1971), Kareliotis (1984) e Granados (1990) basearam-se na programação dmâmica para otimizar sistemas ramificados.

Quando um bombeamento é disponível ou requerido em um sistema, a otirnização de dimensionamento de tubos pode ser vista como um intercâmbio entre custos de capital e de energia sujeito as restrições de pressão. Osbome e James (1973), Deb (1981) e Walski (1984) desenvolveram métodos para encontrar dimensionamento ótimo de tubos. O método PIPEOPT (Ainsworth (1979)) é

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54 baseado na técnica de tentativa-e-erro para encontrar soluções ótimas para o dimensionamento de tubos. Walski (1984) desenvolveu nomogramas dos quais é possível ler diâmetros de tubos quando são dados a vazão de pico e a vazão média, o custe de energia, e o índice do custo de construção.

Pemold (1974) apresentou um método para dimensionamento de sistemas bombeados para irrigação com demandas variadas baseado em regras heurísticas (empíricas, baseadas na experiência prática). Granados (1990) utilizou a relação entre os custos da tubulação e o custo da energia de bombeamento, onde as classes dos tubos (pressões nominais) também são levadas em consideração.

De uma forma geral, os métodos que realizam somente um intercâmbio entre custos de capital e de energia tendem a prever diâmetros menores do que os costumeiramente usados. E importante que os diâmetros selecionados por cada método sejam checados para assegurar que são hidráulicamente possíveis sem necessitarem de excessiva pressão de cabeceira. Granados (1990) realiza uma checagem, verificando se as pressões de trabalho na rede não comprometem as pressões nominais dos tubos (classes).

4.2.3 - Métodos de Otirnização para Redes Pressurizadas com Vazões Variáveis Em muitos dos sistemas reais, as vazões nos tubos não são fixas, mas variam de acordo com os diâmetros selecionados, e isto aumenta consideravelmente a dificuldade de elaborar um método para a determinação da solução ótima para uma rede de distribuição. Muitos dos métodos usados para resolver problemas com vazões variáveis, primeiramente fixam a vazão e encontram a solução ótima, então ajustam as demais amostras de vazões usando técnicas de aproximações sucessivas. Shamir (1974), Alperovits e Shamir (1977), e Quindry, Brill e Liebman (1981) sugeriram variações neste tipo de aproximação. Bhave (1983) e Kikacheishvilli (1984) também desenvolveram métodos incorporando programação linear.

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55 Gessler e Walski (1985) usaram uma eficiente técnica de enumeração para identificar não só a solução ótima, como também algumas soluções atrativas bem próximas da ótima (WADISO). Outros pesquisadores conciliaram mudanças no layout da rede com a otirnização da mesma. Rowell e Barnes (1982) apresentaram um procedimento de dois passos para determinar o layout bem como os diâmetros dos tubos. Morgan e Goulter (1985) usaram programação linear para determinar o layout. otimizando a rede em seguida.

4.3 - ALGUNS PROBLEMAS EXISTENTES

A mais comum peculiaridade dos métodos citados acima é que eles quase nunca estão disponíveis para os engenheiros projetistas. Somente os métodos de Gessler e Walski (1985) e Granados (1990) estão realmente disponíveis ao uso dos projetistas, bem como apoiados por programas de computador, manuais e documentação do programa. O programa WADISO de Gessler e Walski (1985) contém técnicas de otirnização que são "menos elegantes" do que muitas das outras descritas acima. O programa GRANADOS, Granados (1990), utiliza-se de um algoritmo que se aproxima do método clássico da programação dinâmica e possui uma interface bastante amigável com o usuário, embora tenha sido desenvolvido somente para atender a sistemas ramificados.

Por que muitas das sofisticadas metodologias descritas anteriormente não têm sido transferidas para a prática? A grande barreira é que a otirnização de sistema de distribuição de água é um problema difícil de ser resolvido. Nenhum dos programas desenvolvidos ainda pode resolver por completo os problemas de otirnização de sistemas muito complexos. Lischer (1979) comenta:

"... baseado na minha experiência em sistema de distribuição, o projeto ótimo de novos sistemas, e de melhoria de velhos sistemas, não pode ser realizado somente por exercício matemático ou computacional. Um julgamento experimentado seria necessário para selecionar as opções e a metodologia do sistema operacional antes das técnicas computacionais de análises de redes serem aplicadas." (tradução nossa).