Formulações de elementos finitos bi e tridimensionais para simulação em paralelo de escoamentos em reservatórios de petróleo

SIMULAÇÃO

EM

PARALELO DE

ESCOAMENTOS EM

RESERVATÓRIOS DE

PETR

Ó

LEO

Eduardo

L

úcio Mendes Garcia

TESE

SUBMETIDA

AO CORPO DOCENTE DA

COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE P

Ó

S-GRADUA

ÇÃ

O DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDA

-DE

FEDERAL

DO

RIO

DE

JANEIRO COMO

PARTE DOS REQUISITOS

NE-CESSÁ RIOS

PARA OBTEN

ÇÃ

O DO GRAU

DE

.DOUTOR EM CIÊNCIAS EM

ENGENHARIA

CIVIL

.

Aprovada por:

Prof.

Liiiz

Landau

.

D. Sc. (Presidente

)

ProfKybimael

F

.

D. Loula

, D

.Sc.

Prof. Alvaro L. G. A. Coutinho

,

D

.

Sc.

Prof. Clov

4

Ri

í

laliskVPhD

.

Prof

.

Luis Felipe F

.

Pereira

,

PhD

.

RIO DE JANEIRO

,

RJ-BRASIL

GARCIA

,

EDUARDO LUCIO MENDES

Formulaçõesde Elementos Finitos Bi e Tridimensionais para Simulação em Paralelo de Escoamentosem Reservatórios de Petróleo

[

Rio de Janeiro

]

1997

VIII

,

114p

.,

29.7 cm

,

(COPPE

_/

UFRJ,

D.Sc.

,

ENGENHARIA DE CIVIL1997

)

TESE- Universidade Federal do Riode Janeiro

,

COPPE 1-Métodos de Elementos finitos 2-Computação paralela

3-_{Escoamentos miscíveis 4}- Engenharia de reservatórios 5-Meios porosos

Ao

meu pai

F

á

bio

,

à

filha

May

ã

,

por

la

ços

do amor

e

à

Patricia

por

la

ç

o

da

paix

ão

Agradecimentos

Ao meu orientadore amigo Abimael Loula peloestímuloao meu trabalho e seu olhar positivodiante da vida que tanto me influencia.

Ao professor Luiz Landau pelo apoioe convicção nomeu trabalho.

Aos amigos Elson Toledoe JoãoGuerreiro pelas constantes aulas de engenharia e profunda amizade.

Ao amigo

,

sempre presente

,

RenatoSimões pelas discussões e sugestões.

\

A Sandra Mara porsua disposição ao trabalho em conjunto edemais colegas do LNCC: Regina Célia

,

Miriam

,

Fernanda

,

Ana

Teresa,

Izar,

José

Karam

,

Salgado

,

H

élio e Galeão.

Aos colegas Alvaro Coutinhoe José Alves pelas discussões

,

sugestões e incentivo à computaçãode alto desempenho

.

Aos colegas da Engenharia Civil

,

em especial a Marcos Queija, Mário, Sagrilo

,

Bia, Rosane

,

Assise Paulinho.

Ao RamiroWillmersdorf peloapoio em computação.

Aos demais colegas do LNCC

,

que no convívio diário contribuíram de diversas formeis para este trabalho

.

AoCNPq

,

CAPES e FAPERJ pelo suporte financeiro durante este trabalho.

Ao CENPES

_/

PETROBRAS pelo projeto de cooperação científica em conjunto com a COPPEe o LNCC que motivou este trabalho.

Ao LNCC pelo apoioà pesquisa em computação científica.

A minha eirmã Lúciae ao Ronaldo peloseu apoio incondicional ao meu cresci -mento.

para a obtenção do grau de

Doutor

em Ciências (D

.

Sc

.

)

Formulaçõesde Elementos Finitos Bi eTridimensionais para Simulação em ParalelodeEscoamentos em Reservatórios dePetróleo

EduardoLúcio Mendes Garcia Agosto

_/

1997

Orientadores: Abimael F

.

D. Loula e Luiz Landau Programa: Programade Engenharia Civil

São propostos e analisados formulações de elementos finitos para simulação de escoamentos miscíveis incompressíveis em meios porosos rígidos utilizando computa

-dores paralelos de memória distribuída

,

comaplicaçãona engenharia dereservatórios de petróleo.

O

modelo matemáticoé compostopor um sistemade equações diferenciaispar -ciais composto por um sub-_{sistema elí}ptico, que fornece a pressão e a velocidade total da mistura

,

e uma equaçãodeconvecção-_difusão

_,

_{quefornece em cadainstante} de tempoo valor da concentração do fluido injetado.

A variável de maior interesse é

.

sem dúvida

,

a concentração do fluido injetado

,

entretanto

,

em se tratando deescoamentos predominantemente convectivos, é cru -cial a determinação precisa da velocidade

.

Atençãoespecial é dada à aproximação da velocidade através de técnicas de pós-processamento globais e locais

. Para

a equação da concentração é utilizada uma formulação de Petrov-_{Galerkin (SUPG}

₎

_, paradiscretização espacial

,

combinadacom umaaproximaçãoimplícita de diferenças finitas no tempo.

A metodologia proposta foi implementada em computadores paralelos de memória distribuída utilizando métodos iterativos para resolução dos sistemas de equações combinado com uma técnica de elemento-por-_elemento para armazena -mento das matrizes. Esta implementação mostrou

_-

se bastante eficiente para res

-oluçãode problemas de grande porte

.

/

Sãoapresentados resultados de simulaçõesde processosde injeçãocontinua com razão de mobilidadeadversaeinjeção detraçadoresem reservatóriosde petróleo em duas e três dimensões

.

Abstract of Thesispresented to

COPPE

_/

UFRJ as partial fulfillment of therequire -ments for degree

of

Doctor of

Science (

D. Sc.

)

Two and Three Dimensional Finite

Elements

Formulationsto

Parallel Simulation of Petroleum Reservoir

Flows

Eduardo Lúcio Mendes Garcia August

_/

1997

Thesis

Supervisors: Abimael F.

D

.

Loula

and Luiz Landau

Department:

Civil

Engineering

Finite element formulations oriented to distributed memory parallel machines are proposed and

analized

to simulate incompressible miscibleflow in porous

media

with applicationto petroleum reservoir engineering.

The mathematical model consists in a system ofa partial differential equations given by an elliptic subsystem which describes

the

pressure

and

the velocity of mixture, and a convection-

diffusion

equation which describes the concentration of

the injected fluid.

Globaland local post-processingtechniquesareemployed toaccurately compute thevelocity field. A stabilized consistent Petrov-Galerkin method is applied to the

concentration equation combined with a implicit finite difference scheme in time.

To solve the large systems of linear equations iterative Krylov projection type

methods combined with an element-by-elementstrategy are implemented in a par

-allel

machine.

Numerical results for two and three dimensional simulations of tracer injection

and

tertiary recover processes arecarried out showing the good performanceof the proposed numerical formulationsand efficiency of parallel implementation.

Indice

1 1 Introdução

6 2 Modelo Matemático

2.1 Sistema de Equações Diferenciais Parciais 2.2 Discretização no Tempo

2.2.1 Método Implícitona Pressão e Explícito na Concentração . . .

2.2.2 Método Totalmente Implícito

2.2.3 Método Implícito Sequencial

2.3 Condições de Contorno para Pressão e Velocidade 2.3.1 Remoção deSingularidade

2.4 Condições Iniciais

2.4.1 Modelo Axissimétrico Para a Concentração

6 8 8 9 9 10 11 13 13 3 Métodos de Elementos Finitos para Pressão e Velocidade

3.1 Método de Galerkin paraa Pressão

3.2 FormulaçãoMista de Raviart

-

Thomas paraPressão e Velocidade . . . 19 3.3 Técnicasde

P

ós-

Processamento

para a Velocidade

3.3.1 Pós-Processamento Global 3.3.2 Pós-Processamento Local 3.4 Experimentos Numéricos 3.4.1 Exemplo1 3.4

.

2 Exemplo 2 15 16 23 23 27 30 30 34

4 Métodos de Elementos Finitos para Escoamentos Miscíveis 4.1 Análise Numérica do Problema Acoplado

,

M

_>

1

4.1.1 Cálculo da Pressão e da Velocidade

37 38 38

4.2 Análise Numérica de Injeção deTraçador

4.2.₁ Método das Característicascom Malha Móvel

4.2.2 Método das Linhas de Fluxo 4.3 ResultadosdasSimulações Numéricas

4.3.1 Modelo Bidimensional de Processode Recuperação Terciária . 49

4.3.2 Modelos Bidimensionais de Injeção de Traçador

4.3.3 Modelo Tridimensional de Processode Recuperação Terciária. 67

4.3.4 Modelo Tridimensional de Injeção deTraçador

43 44 46 48 58 78 5 Solu

çã

o em Ambiente

Paralelo

5.1 Decomposição do Domínio

5.2

Os

Sistemas de Equações Algébricas

5.2.1 Armazenamento das matrizes por elemento 5.3

M

étodositerativos

5.3.1 Método dos gradientes conjugados

5.3.2 Método dos Resíduos Mínimos Generalizados

(

GMRES

(

m

)

) 93 5.3.3 Precondicionadores 5.4 Implementação 5.5 Análise de Desempenho. . 82 83 85 86 88 89 95 96 98 6 Conclusões 106

Cap

í

tulo 1

Introdu

çã

o

0 desenvolvimento de novos métodos numéricos aliado ao contínuo crescimento dos recursos computacionais muito tem contribuído para o aprimoramento da si -mulação numérica de escoamentos em meios porosos. Em particular, na engenharia de petróleo a simulaçãonuméricatem atualmente grandeaplicação

na

caracterização de reservatórios e na otimização dos processos de recuperação

.

Este trabalho tem como objetivo a análise e o desenvolvimento de métodos de elementosfinitos para cálculo da solução aproximada do sistema de equações dife -renciais parciais utilizado para modelar o escoamento miscível em reservatórios de petróleo

,

dando especial atençãoparao cálculo docampode velocidadeeutilizando computadores paralelos de memória distribuída

.

No início do processo de extração

,

a pressão no interior do reservatório é

,

em geral

,

suficientementealta paraforçar a saída do petróleo naturalmente ou por meio de bombeamento. Entretanto, com a queda de pressão pela saída de material a eficiência cai rapidamente e apenas 10

%

a15

%

deóleo podeser retirado utilizando esta técnica denominada de recuperação primária.

Através de técnicas de recuperaçãoque alteram as condições naturaisé possível aumentar a produção e a vida útil do reservatório. Pela injeção de fluidos (água

,

vapord’água

,

polímeros

,

gás)

,

nointeriordoreservatório,atravésdepoçosinjetores, aumenta-se a pressão interna e a vazão nos poços produtores. O fluido injetado

ocupa os poros antes preenchidos pelo petróleo e o empurraforçando

-

oa sair pelos poços produtores

.

Quanto maior for o volume ocupado pelo fluido injetado, antes dele próprio atingir os poços produtores

,

melhor será o rendimentodeste processo

.

Estas técnicas denominadas derecuperação secundária

,

no casode injeção de água

,

eterciária

,

no caso deinjeçãodegás ou solventes,sãomaiseficientes quantomaisse conhecem os mecanismos que determinam oescoamento nointerior doreservatório,

principalmente na regiãode interface entre o fluido residente e o fluido injetado.

Na realidade o reservatório não contém unicamente óleo

,

mas uma mistura de óleos

,

gáses e água

,

com várias componentes, que durante o escoamento interagem entre si podendo inclusive ocorrer mudança de fases

.

Outros fatores ainda concor -rem para aumentar a complexidade dos processos e a dificuldade na construção de simuladores.

A

presenç

a

de diferentes escalas

,

do poro ao poço, do poço ao reser

-vatório

,

demanda a adoção de modelos macroscópicos baseados em médias

,

como é o caso

,

por exemplo

,

da lei de Darcy que relaciona

a

velocidade ao gradiente da pressão usando um tensor de permeabilidademédia do meio.

Modelos simplificados são comumente empregados como aproximações para os fenômenos que ocorrem no interior do reservatório

.

Dentre estes destacam-se mo -delos composicionais (black oil) frequentemente utilizados na indústriade petróleo. Modelos simples de escoamentos miscíveis (óleo

_-

gás

)

e imiscíveis

(

óleo-água

)

são amplamenteutilizadoscomocampo detestes paraos métodosnuméricos porconter as principais dificuldades inerentes ao problema: instabilidades (fingering

)

e não

-linearidades

[

1

]

.

O

modelo matemático que descreve o escoamento de fluidos incompressíveis miscíveis em um meio poroso rígido é composto por um sistema de equações di -ferenciais parciais acoplado sujeito a condições de contorno e condições iniciais

[

2

]

,

Do pontode vista de análise,subdivide-se estesistema em um sub-_{sistemaelíptico} envolvendo os camposde pressãoe velocidade

,

e uma equaçãodeconvecção-_difusão predominantemente convectiva associada à concentração.

O

sub-sistema elíptico é

constituído pela lei de Darcy que relaciona o gradiente de pressão com o campo de velocidades através de um tensor que depende da permeabilidade do meio e da viscosidade damistura,que porsua vezdepende daconcentração do fluidoinjetado

.

Este modelo também é utilizado na simulação da injeção de traçadores em reser

-vatórios. Traçadores são elementos químicos ou radioativos adicionados ao fluido

injetado que permitem inferir sobre propriedades dos reservatórios ecaracterísticas do escoamento.

O

tempo de chegada e a concentração do traçador nos poços de

produção são informações importantes para se identificar caminhos preferenciais do escoamento, falhas geológicas

,

propriedades do meio poroso

,

etc.

A

variável de maior interesse é, sem dúvida, a concentração do fluido injetado

,

entretanto, em se tratando de escoamentos predominantemente convectivos

,

é cru -cial a determinação precisadocampo de velocidades

[

3

],

principalmente emcasosde escoamentos miscíveis com razão de mobilidade adversa

,

i.e.

,

quando a viscosidade do fluido injetado é menor do que ado fluido residente. Portanto, atenção especial

tem sido dada à aproximação da velocidade.à formulação de Galerkin guns com -portamentos não-_físicos

_,

_tais como efeitos de orientação de malhas

,

observados em simulações numéricasdeescoamentos miscíveis eatribuidosprincipalmente a insta -bilidades e imprecisões na resoluçãoda equação de transporte

,

foram identificados e relacionados com imprecisõesno campo de velocidade utilizado

[

4

]

.

Substituindo a lei de Darcy na equação de

conserva

ção de massa da mistura

,

obtém-se uma equação diferencial parcial de segunda ordem para a pressão defácil resolução por métodos clássicos como

,

por exemplo, aqueles resultantes de aprox -imaçõesconformesbaseadasnométodo de Galerkin,paraosquaistêm-seestimativas de erro

com

taxas deconvergência ótimas. Umaaproximação natural para a veloci -dadeé

ent

ãoobtidadiretamente pela lei de Darcy por derivaçãoda aproximaçãoda pressão. Porém aaproximaçãoda velocidade assim obtida apresenta alguns incove

-nientessérios

,

taiscomo: i)imprecisão

-

uma ordemdeconvergênciaa menosque a aproximaçãoda pressão;

ii)

nãosatisfaçãode forma forte da condiçãodefluxo nulo nocontorno; Ui

)

nãoconservação de massa local no nível dos elementos.

Como

alternativa à esta formulação natural, a formulação mista de elementos finitos desenvolvida por Raviart e Thomas

[

5

]

tem sido amplamente utilizada na área de reservatóriosde petróleo

[

3

,

1

,

6

,

7

,

8

,

9, 10,11

,

12

,

13

]

. Envolvendo aproxi -mações simultâneas dos campos de velocidade e de pressão, esta formulação apre -sentamelhor aproximaçãoparaocampodevelocidades emdetrimento ao campo de pressão

,

com satisfação da condiçãode fluxo nulo de forma forte e com

conserva

ção de massa local. Por adotardiferentes ordens de interpolação para a pressão e para a velocidade

,

visando a satisfação das condições de estabilidade dos modelos mis -tos

(LBB),

[

14

]

e por gerar sistemas de equações não-_positivos definidos

,

a imple

-mentação computacional e a resolução dosistema de equações associadoa esta for -mulação exige tratamentoespeciais. Métodositerativos associados à decomposição de domínios com implementações em paralelo têm sido utilizados com sucesso na solução dos sistemas resultantes

[

9, 12

,

13

]

.

Neste trabalho são utilizados campos de velocidade obtidos a partir do pós -processamento do campo de pressão anteriormente calculado pelo método de Galerkin. Através de técnicas de pós-_{processamento global}

,

_{em todo o domí}nio

[

15, 4

],

e locais

,

por elemento ou por macro-elementos

[

16

]

, é possível obteraproxi

-mações para a velocidade com taxasde convergência ótimaou quase-ótimas usando interpolações lagrangianas, iguais às usadas para o cálculo da pressão, ou mesmo interpolações de Raviart-Thomas

,

resultando sempre em sistemas de equações

simétricos e positivos definidos. O pós-_{processamento global é obtido por uma} formulação que combina resíduos de mínimos quadrados da lei de Darcy

,

com a pressão conhecida, e da equação de balanço de massa em todo o domínio. Já o pós-processamento local combina resíduo da leide Darcy, restritaaos pontosde su -perconvergênciado gradiente da pressão

,

com os resíduos daequaçãode balanço de massa e do rotacional nulo no nível de macroelementos ou elementos, dependendo se são utilizadas aproximações lineares ou de ordem mais alta

,

respectivamente. Discretizações com elementos triangulares e quadriláteros em duas dimensões e de hexaedros em três dimensões usando interpolação linear ou de maisaltaordem são facilmenteobtidas com esta formulação etêmsido utilizada comsucessoem modelo de escoamento miscível para reservatórios de petróleo

[

17

,

18

,

19

,

20, 21

,

22

]

.

Para aequaçãode transporte uma formulação estabilizadaé utilizada

[

23

],

obtida adicionando

-

seàformulaçãode Galerkin termosdependentes da malha noníveldos

/

elementos nas regiões de fortes gradientes da soluçã

o

. E uma formulação consis -tente

,

ou seja a soluçãoexatasatisfaz aequação original

,

não alterando o problema

,

como

ocorre

em métodos clássicos de difusão artificial. Esta formulação é de uti -lizaçãogerale defácil implementação por adotar interpolaçãolagrangiana de mesma ordem que as utilizadas para a pressão e para a velocidade

,

típicas dos elemen -tos isoparamétricos que incorporam naturalmente elementos distorcidos e malhas não-

_estruturadas

. Bons resultados foram obtidos com esta formulação para pro

-blemas

em

duas e três dimensões. Para o casode traçadores em modelos

bidimen-sionais

a

técnica derefinamentoauto-adaptativofoiavaliada

[

18.24

]

. Experimentos numéricos foram realizadoscom métodosdas características com malha móvel

[

19

]

apresentando boas perspectivas para a simulação de injeção de traçadores com al -gumas semelhanças com o método de acompanhamento da frente de concentração do traçador utilizado em

[

7

]

.

M

étodos daslinhasde fluxo também foram utilizados

[

25

]

e se mostram bastante eficientes na análise do problema do traçador em duas dimensões.

Na

formulação numérica geral do problema de escoamentos miscíveis

,

a cada passo de tempo

,

trêssistemas deequações algébricas

s

ão resolvidos: doissimétricos positivos e definidos, para a pressão e velocidade; e um não simétrico para a con -centração. A resoluçãodestes sistemasequaçõesconsomem a maior parte do tempo

durante asimulação. Métodoseficientes devem

,

portanto,ser adotados na resolução destes sistemas. Métodos diretos

,

como o de eliminação de Gauss, e métodos ite

-rativos

,

como o método dos gradientes conjugadose método dos resíduos mínimos generalizados,sãoempregados. Parasimulaçõesem três dimensões

,

aarmazenagem da matriz global dos sistemas

,

necessária aos métodos diretos

,

faz com que rapi

-damente se atinja os limites de memória.

M

étodos iterativos associados à técnica de armazenamentoelemento-por-_elementoque não _{necessitam montar as matrizes}

globais dos sistemassão utilizados nestes casos. Para grandessistemasde equações

,

mesmo se tratando de modelos bidimensionais, métodos iterativos podem ser mais eficientes computacionalmente

,

e até mesmomais precisos por contornar problemas

numéricos relacionados com erros de arredondamento

[

26

]

.

Além disso métodos iterativos são maisapropriadosa implementação em para -lelo. Esta característica é explorada

,

e formulações de elementos finitos são imple

-mentadasemcomputadores paralelos dememóriadistribuída utilizandoalinguagem

FORTRAN

. As simulações numéricas foram realizadas no IBM-_SP com 8 proces -sadoresinstalado no LNCC

_/

CNPq, utilizandoMPI

(

MessagePassing Interface)

[

27

]

como sistema de troca de mensagens necessárias a este tipo de programação dis -tribuída

.

Com pequenas alterações o código desenvolvido pode utilizar uma rede de estações de trabalho heterogénea, ou até mesmo rede de microcomputadores

,

operandosob osistema Unix,comoéfeito em

[

28, 29

,

30, 31

]

parasoluçãoem para

-lelodesistemasde equações como auxíliode ferramentas apropriadascomooPVM

(

Parallel Virtual Machine)

[

32

].

No Capítulo 2 é apresentado o modelo matemático utilizado e comentadas al

-gumas dificuldades quesurgem na imposiçãodas condições de contorno e condições iniciais

. O

método de discretização notempo utilizadono modelo numéricotambém é apresentado no Capítulo 2. No Capítulo 3 o sub-sistema elíptico da pressão e velocidadeé estudadoisoladamente

,

semacoplamentocom aequação de convecção

-difusão. Analisa

-

se então algumas possibilidades de aproximações para ocampo de

velocidadeobtidos por métodosfrequentementeutilizadosem escoamentosemmeios porosos e apresenta

-

se uma nova técnica de pós-processamento local naturalmente paralelizável e com taxas de convergência ótima para a velocidade

.

No Capítulo 4 retorna

-

se ao sistema acoplado e analisa-se o método

SUPG

para aproximação da equação de convecção-_{difusão para simula}çãode processos de recuperação terciária e injeçãode traçadores em reservatórios de petróleo. Resultados de simulações uti -lizando modelos bi e tridimensionais são apresentados. O Capítulo 5 é dedicado aos métodos iterativos

,

à apresentação dosdetalhes da implementação em paralelo e análise de desempenho dos métodos apresentados nos capítulos anteriores. Fi

-nalmente no Capítulo 6 são apresentadas as conclusões e propostas de trabalhos futuros visando aperfeiçoamento dos métodos numéricos para simulação de escoa -mentos miscíveisem meios porosos.

Cap

í

tulo 2

Modelo

Matemá

tico

Neste capítulo é apresentado o sistema de equações diferenciais usado na modela -gem do fenômeno de escoamento de fluidos miscíveis incompressíveis em um meio poroso rígido. Apresentam

-

se as hipótesesadotadas e comentam-se algumas dificul

-dades e limitações do modelo. O escoamento é monofásico, com no máximo duas

componentes.

São discutidas também algumas possibilidades de esquemas de integração no tempoque utilizam aproximaçõesde diferenças finitas parao termo da derivada no tempo

,

frequentemente adotadas na simulação de escoamentos em reservatórios de petróleo.

2.1

Sistema

de

Equa

çõ

es

Diferenciais Parciais

Seja O um domínio aberto limitado em

Rd

,

d

₌

1,2

,

3

,

com froteira d Q _{regular e}

T G R um número fixo. O sistema diferencial em fl x

[

0

,

T

],

nas variáveis p

,

u e c

,

respectivamente, a pressão total do sistema, a velocidade total de escoamento da mistura e aconcentração do fluido injetado

,

normalmente usado para modelar um escoamento miscível incompressível em um meio poroso rígido é constituído pelas seguintes equações

[

2

]

: lei de Darcy

K

(

x

) (2.1) Vp 11

=

p

(

c)

conservação de massa damistura

(

2.2

)

divu

_{= /}

com condiçãode contorno u•n

=

0 em d Q

conservação de massa dofluido injetado

d c

(

2.3

)

+

div

(

uc

)

—

div

(

DVc)

₌

c f

^

dt

com condição de contorno D

(

u

)

Vc n

₌

0

econdiçãoinicial c(x, 0)

₌

co

(

x

)

onde íp é a

.

porosidade do meio, c é o valor da concentração do solvente nos poços

de injeção e concentração residual nos poços de produção

,

p

(

c

)

é a viscosidade da misturadadaemtermosdaconcentraçãodofluido injetado porumarelaçãoempírica do tipo

(

2.4

)

l

_^

res ß_res (2.5

)

M

—

ßinj

e as viscosidades dos fluidos residente e injetado respectivamente. sendo

Duas

situações serão consideradas: M

—

1que corresponde a viscosidades iguais

res

paraofluido residente e o fluidoinjetado

,

é o caso deinjeção de traçadores, quedada a sua pequena quantidade adinite-se que esta não altera as propriedades do fluido injetado; e M

>

1

,

que corresponde ao caso do modelo de recuperação terciária em que o fluido injetado (solvente

)

é menos viscoso que o fluido residente

(

óleo

),

podendo ocorrer problemasde instabilidades na frente de mistura.

Em 2.1

,

K ( x)é umtensorsimétrico e positivodefinidocuja matriz

,

no casogeral de três dimensões

,

é dada por

,

( _{kg k}>_xy

^

xz

^

K( x )

₌

fcyx

_^

y fcyz (2.6)

Emboraseja mais usado nasua forma diagonal

, com

_kx

,

ky

e

_kz

sendo as permeabi

-lidades nasdireções x

,

y e

z

respectivamente, aconsideração dasua formacompleta em algunscasos

ter

á um papel relevante.

Se

kx

=

ky

₌

kz

,

e

kxy

—

kxz

=

kyz

₌

0 o meio é isotrópico, e neste caso não há direção preferencial para o escoamento. Nas simulações numéricas apresentadas verifica-se a influência desta propriedade para

casos

em duas e três dimensões.

Ainda na equação

(

2.2

) ,

_/

representa os termos de fonte associados aos poços de injeção e produção

,

queserão consideradoscomo deltasde Dirac nas simulações apresentadas.

Em (

2.3) D é o tensor de dispersão-_difusãodado por

[

2

]

:

(

^

+

«

_d

|U|

i

)

&_L

—

&_T

(

2.7

)

1

₊

D

₌

u<g>u u

onde (p e r são, respectivamente

,

a porosidade e a tortuosidade do meio poroso

,

enquanto que amoi

,

e OLT são coeficientes de difusão molecular e de dispersão

hidrodinâmica longitudinale transversal respectivamente

,

e osímbolo ® representa o produto tensorial. A equação da concentração é uma equação de transporte convectivo-_difusivo

,

predominantemente convectiva, ou seja, o valor numérico do termoconvectivodiv

(

uc

)

é superior ao valor numéricodo termodifusivodiv

(DVc)

.

2.2

Discretizaçã

o no

Tempo

A análisenuméricadeste sistema passa inicialmente pela escolha de umaesquemade discretizaçãono tempo. Nesta seçãosãodiscutidasalgumasdiscretizações notempo para estesistemaedestacadaa opção escolhida.

Os

esquemasapresentadosaseguir

,

usam aproximações de diferençasfinitas de primeiraordem comumente empregadas na discretização temporal em problemas deescoamentosem reservatóriosde petróleo

[

1

,

33

,

22

]

,

Método Implícito na Pressão e Explícito na Concentração

2.2

.

1

O

problemaresultante desta discretizaçãoconsiste em

Para n — 0

,

1

,

2

,

....N achar

un

,

pn

e

cn

+1 _{em OX}

_[

₀

_,

_T

_]

_satisfazendo divu"

₌

fn

*

(

x

)

V p n u71 — p(

cn

)

cn

+l

_

—

+

div(

uncn

)

—

div( D(

un

)

Vcn

)

₌

cn

_/

n.

Dadaa formaexplicitadeaproximação daequaçãodaconcentração

,

este método

,

normalmente referido como

IMPES,

apresenta propriedades de estabilidade condi

-cionada a

AT

<

ATc

onde

_ATC

depende da discretizaçãoespacial.

2.2.2 Método Totalmente Implícito

O

problema resultante desta discretizaçãoconsiste

em

:

Para n

=

0

,

1,2,...

.

N achar u

_”

+1

_,

_pn

₊1_{e c}n₊l _{Q X}

_[

₀ ,T

]

satisfazendo

em

divun+1

₌

fn+1 A

-

(

x

)

71+1

un

+1

=

Vp //(

cn

+1

)

rn

+1

_

^

AT

—

+

div(

un

+1

cn

₊l

₎

_-div(D

₍

un

₊1_{) Vcn+}1

₎

=

cn

+1

/

Tl+1 .

A cada intervalo de tempo o sistema constituido pelas equações da pressão

,

velocidade e concentraçãoé resolvidode forma acoplada.

Ao contráriodométodoIMPES

,

este método totalmenteimplícito apresenta boas propriedades de estabilidade

,

podendo

,

em princípio, ser adotado qualquer valor do passodetempo na discretizaçãotemporal permitindointervalo detempoadaptativo

[

22

]

.

2.2.3 Método Implícito Sequencial

Desenvolvendo o termo div{uc) da equação

(

2.3) e considerando a equaçao (2.2) têm-seque

div

(

uc

)

₌

u Vc

₊

cdivu

₌

u

Vc

_{+ /}

c

,

(2.8

)

e o método implícito sequencialé apresentado como:

Para n

_—

0

,

1

,

2,...

,

N achar

un

,

pn

e

cn

+1em Q _x

_[

₀

_,

_T

_]

_{satisfazendo a}

divun

₌

fn (2.9)

*

(x) Vpn

un

=

(2.10)

cn

+l

_

cn

+

Un

Vcn

+1

-

div(D

(

un

)

Vcn

+1)

+

cn

+1

/

n+1

=

cn

+1 ,

r

+1

.

(2.11)

v

> AT

Este esquema será o adotado neste trabalho. Ele combina as vantagens do

método IMPES e do método totalmente implícito. A forma desacoplada e lin -earizada de resolução das equações

,

juntamente com a estabilidade decorrente da aproximação implícitada concentração

,

são atrativos naturais para a escolha deste método para aproximação temporal do problema miscível. Além disso

,

diferen -tes intervalos de integração podem ser adotados na discretização das equações da pressão

_/

velocidade e da concentração. Como a velocidade varia mais lentamente

no tempo do que a concentração pode

_-

se adotar AT para a pressão maior que o adotado paraa concentração e extrapolar a velocidade nos instantesintermediários de resolução da equação da concentração

,

com um ganho significativo do tempo computacionalsem perda de precisão

[

1,12, 22

]

.

Com esta formulação implícita sequencial a cada passo de tempo resolvem-se separadamenteosistemaelíptico

,

constituído pela lei de Darcy e da equaçãodecon

-servaçãodemassadamistura

,

eaequaçãode transportedaconcentração

.

Portanto

,

nos capítulos seguintes serão tratados isoladamente os problemas de aproximação da velocidade e pressão

(

Capítulo 3

)

e da concentração

(

Capítulo 4

)

.

De

acordo

com equação

(

2.1

)

a aplicaçãode traçador não modifica as propriedades da faseem que ele é adicionado e as velocidades não dependerão da concentração da mistura e por conseguinte a pressão e a velocidade não se alteram com o tempo e são cal -culadas uma única vez durante todo o processo. Desta forma a evolução temporal restringe

-

se a equação da concentração.

2.3

Condi

çõ

es

de Contorno

para

Press

ã

o e

Velocidade

As solicitações sobre o reservatório assim como a sua resposta se processam e se observam basicamente atravésdos poços deinjeção e produção. Entretanto ospoços têm dimensões geométricas

,

como diâmetros por exemplo, des

-

prezíveis quando comparadas com asdimensõesdo reservatório

,

eeste fato traz grandes dificuldades matemáticasenuméricasnamodelagem dospoços ena caracterizaçãoda resposta do reservatório

.

A seguir discutimos brevemente a questão da imposição de condições de contorno associadas aos poços

.

Substituindo a lei de Darcy (eq. 2.1

)

na equação de conservação de massa da

mistura

(

eq. 2.2

)

e explicitandoo termo deforça do lado direito obtém

-

se aequação paraa pressão

(

2.12

)

Vp)

_{= /}

em O X

[

0,T

_\

.

—

div

(

Nas simulações numéricas realizadas e apresentadas nas seções seguintes

,

para a solução desta equação adota-se a prescrição de vazão nos poços

,

desta forma a pressão fica determinada a menosde umaconstante. A forma escolhida de levantar a indeterminação é prescrevendo a pressão em um ponto qualquer do domínio de maneira quea solução

pn

tenha média nula

,

ou seja

f

_pn

_d,Q

=

0

.

Jn

Esta condição aliada à restrição de que a integral das vazões prescritas, em todo o domínio

,

deve ser nula

,

_J

q dÇ₂

₌

₀

_,

_{torna este problema bem posto}

_,

_{e compatível}

com as hipóteses de incompressibilidadedoescoamento e do reservatórioser selado

,

isto é, fluxo nulo no contorno do domínio

K _dQ X

[

0, T

]

, Vp71 •n

=

0 em

un

-n

=

-" 7

—

t ß{

cn)

Para simulações com poços localizados no interior do reservatório, suficiente-menteafastados docontorno

,

nãoimporfortementeesta condiçãopodem nãoafetar significativamente os resultados da simulação. Porém no modelo doscinco poços, casopadrãopara testesde formulaçõesnuméricas

,

comumenteencontradosnalitera

-tura

,

a localizaçãodos poçosnocontorno do domíniocomputacional

,

podeacarretar imprecisõessignificativas na imposiçãodesta condição.

Além disso os poços têm dimensões de centímetros enquanto o reservatório em geraltem dimensões dequilómetros. Arepresentaçãodasvazõesdos poçospordeltas de Diracéumaconsequência natural destadiferenç

a

deescalas. Porém modeloscom fontes singulares tornam-_{se tamb}ém fontes de dificuldades. Modelos de poços

[

33

]

ou técnicasde remoçãodesingularidade

[

3

]

têm sido utilizados paracontornar estas dificuldades.

2.3.1 Remoção de Singularidade

Para um arranjode

_Ns

poços

,

emcada passo de integração ndecompomosocampo de velocidades

un

em

[

3

,

34

,

4

]

:

(

2.13

)

u

_“

₌

u

;

₊

_ic

onde u

^

é a partesingular conhecida de u71

, tal que N s

<

=

_£

<

"

1 com divu

_”

’1

=

h

A pressão no instante n é onde f i é & fonte singular correspondente ao poço i.

igualmente decomposta em

pn

₌

p

_”

₊

p

_?

com N s N s _Qi

E

p

_?

₌

E

_PT

l n

_\

x

—

X i

\

2

_viKi

_/

t f

)

i-1 ¿=1 e

Ki

n,i

_

—

vp

;

7

-

1 u

„

onde

Ki

—

K

(

x j

)

e püf

—

p(

cn

(x¿)) sao os valoresde K e p no poçoi no instante n.

A presente decomposição resulta no seguinte sistema em u

_”

ep

"

:

^

(

Kßl

{

cn

)

ß

(

cn

)

Ki

K

(

x

)

^

Pr

+

E

-1

<

’1

(

2.14

)

P Í=1

(

2.15

)

divu

₌

0

.

com condiçãode contorno não homogéneas em u"

(2.16

)

-

u

?s

K

*n

=

n.

Substituindo (2.14) em

(

2.15

),

têm-se a seguinte expressão para a equação da pressão: N s _{K ( x}

₎

_pf K -

Ediv

₍

_iK

_’1 Vp

_?

—

div p

{

cn

)

_Ki

p

{

cn

)

_ï-1

Para

M

—

la segunda parcela da equação (2.14

)

se anula

,

e a lei de Darcy relaciona a parte regular do gradiente de pressãocom aparte regular davelocidade

,

como no casogeralsem remoção de singularidade.

O

resultadodestas operações é umasistema em u

"

ep71 _com

maisregularidade

,

sem termos de fontes

(

2.15

)

mas com condições de contorno não homogéneas por causa dadecomposição

(

2.16).

2.4

Condiçõ

es

Iniciais

Singularidadesocorrem também nas condições iniciais usualmente adotadas para a concentração. Por exemplo

,

é comum autilizaçãode condições iniciaisdo tipo

c(x,0

)

₌

CQ

(

X

)

em Q

incompatíveis com as condiçõesde contorno nos poços de injeção c

(

xjj

t

) CQ

(

X¿,í

)

i

₌

1

,

2

,

. . .,

_Ns

.

2.4.1

Modelo

Axissimétrico Para a Concentração

Admitindo que o escoamento próximo aos poços de injeção tem simetria radial

,

um modelo axissimétrico é adotado e em seguida a solução obtida é projetada na malha bidimensional e desta forma esta solução é considerada como umacondição inicial paraasimulaçãoem duas dimensões. Destemodo, na vizinhaça de cada poço de injeção a concentração dofluido injetado pode

ser

aproximada pela solução do problemaaxissimétrico

d2_{c 1dc} r dr

dc f dc

^

dt 2

-

nrdr -D dr2

=

0,

(

2.17

)

com condição inicial

c

(

r,0

)

₌

0

,

e condição de contorno c

(

0

,

í)

₌

1.

Esta aproximação resultado fatode que vizinho ao poço

/

dc

u V c

—

2TTRdr

A Figura 2.1 ilustra esta situação na vizinhança de um poço de injeção onde c0

(

x

,

0

)

=

co

(

r

,

0

)

=

0 e

c(

0

,

t )

=

1.

Seguindo a proposta de Douglas e co-autores

[

16

],

umareduçãode tempo compu

-tacional significativa e

,

principalmente

,

um ganho de precisão nos instantes inici

-ais do processo de deslocamentos miscíveis podem ser alcançados resolvendo-se a equação

(

2.17) até o instante de tempo correspondente a injeçãode 1

%

do volume poroso

,

e projetando em seguida a solução assim obtida no espaço de elementos finitos bidimensional

[

34

]

. A principal vantagem deste procedimentodecorredo fato

1 “ I “1 Sol.axissimetrica i ! 0.8 0.8r; ! O U § u 0.6 0.6 ri É s_{c g} u c _{0.4 0.4r} o o o 0.2 _r 0.2 0L 0 1 .1

—

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 20 40 60 80 100 120 140 160 r r

(b) Regularizaçãoda condiçãoinicial

(a) condiçãoinicial singular

Figura 2.1: Singularidade na condiçãode contornodaconcentração nos poços

do ponto de vista computacional, a obtenção de aproximações precisas parao pro -blemabidimensional. Notequeocustocomputacionalde uma malha unidimensional

refinadaé praticamente desprezível frente à equivalente bidimensional

.

Destaformaa solução unidimensional projetada namalha bidimensional é vista como uma condição inicial para o escoamento bidimensional. Esta idéia pode ser

Cap

í

tulo

3

M

é

todos

de

Elementos Finitos

para

Pressã

o

e

Velocidade

Neste

capítulosão tratadas as aproximações da pressão e da velocidade de maneira desacopladada equaçãodaconcentração.

Esta

análise é diretamente aplicada aopro -blemade aproximação do campo de velocidades associado a escoamentos miscíveis com razão de mobilidadeunitária

(

M

₌

1

)

bem como de injeçãode traçador. Pode também ser adaptada, como veremos no Capítulo 4

,

ao problema geral

(M

>

1

)

considerandoque oesquema implícito sequencial adotado para adiscretização tem

-poral, a cada passo de tempo, desacopla o sub-_{sistema elí}ptico para a velocidade e pressão daequação daconcentração.

Deste

modo, para facilitar a manipulação das equações

, neste

capítulo

,

abandona-seo indicennas equações

(

2.9

)

e(2.10) , e define

-seA-1 _{— /é}

₍

_x)-

_V

₍

_c

₎

> naequação

(

2.9) , admite-se/¿(c

)

comouma funçãoconhecida

,

sem qualquer aproximação da concentração

,

e analisamoso seguinte problema D, satisfazendoa Achar os campos de pressãoe velocidade uep em

(

3.1

)

divu

₊

_/

₌

0

A

*

u

₌

Vp (3.2

)

(

3.3

)

u •n

=

0 em P

onde A 1 _{éum tensor de segunda ordem simétricoe positivo definido}

_,

_{isto é, existe}

a

_>

0 tal que

A

_

1_{v •v}

_>

ctv •v V v

^

O

São apresentadas as técnicas de pós-processamento global e local utilizadas no modelo de escoamentos miscíveis desenvolvido, porém inicialmente são revistos o método deGalerkineo métodomisto deRaviart

-

Thomas,comumente utilizadosem simulaçõesdereservatóriosde petróleo. Não seráapresentadaumaanálise detalhada

dos métodosnuméricos considerados mas apenas resumidos os principaisresultados destas análises tais como estabilidade, convergência e estimativas de erro. An_álise

detalhada destes métodos podeser encontrada nas referênciascitadas no texto

.

Comparaçõessão feitas com resultados numéricosobtidos para situaçõesencon -tradas nas referências da área de meios porosos.

Mé

todo de Galerkin para a Press

ã

o

3.1

Uma formulação natural para o problema proposto envolvendo o campo p apenas

é facilmente obtida eliminando

_-

se o campo u, pela substituição de

(

3.2

)

em (3.1) ,

resultando

(

3.4

)

div

(

AVp

)

₌

_/

em

n

,

com condição de contorno AVp•n= 0

cuja forma variacional é:

Problema P: Achar p £

V

tal que

(3.5

)

A

( p,q

_{) -}

f

(

q

)

V g

V

com

{ q e H l

{

Q

₎

,

¡

_nQdQ

₌

₀

_}

A(

p

,

q)

₌

í

AVp

-

Vçdfí V p

,

q <

E V

,

JÍ7 f

(

q

_{) =}

[

f q d n Vç

Existênciae unicidadede soluçãoparaeste problemasãoassegurados pelolema de Lax

,

uma vez que a forma bilinear A

(

-

,

-

)

é contínua e U-_elíptica

,

i.e.

,

existem constantes M

_<

oo e a

>

0 tais que:

V

₌

(

3.6

)

(

3.7

)

e

V

.

A

{

q

,

q)

>

u

_\\

q

_\\

l

V qGV

sendo

«

lit

=

/

_n(

92

₊

|V_?|2)<iSÎ

Para a análise deaproximações de elementosfinitos admitimos, por simplicidade, queíí é um domíniopoligonaldiscretizadoporumamalha uniforme de

_Ne

elementos tal que N e

o

₌

(

j

ã

e

Pl

çÿ

₌

₀

_l

_ï

_J

_,

com e₌l

onde denota o interior do e

-

ésimo elemento

,

e

Cle

seu fecho. Denota-se por

h

₌

max

_fie

,

o parâmetroda malha,sendo

_he

odiâmetro do elementoe

.

Seja5

_£

(

Q₎ o espaço das funções de interpolação de elementos finitos de classe C

_°

,

portanto polinomiaiscontínuas por partesdegrau k em cada uma dasvariáveis

,

paraelemen

-tos quadriláteros ou em ambas variáveis para elementos triangulares. Em outras

palavras 5

^

(0

)

são os espaços de elementos finitos lagrangianos isoparamétricos usuais de graus k composto por funçõescontínuas na interface dos elementos. Para

elementos quadriláteros

onde

_Pi

é oconjuntodos polinómiosdefinidos em com grau menor ou igual aie jem e respectivamente

,

e paraoselementos triangulares

s

_í

(

n

)

₌

{

q

„

e H

'

(

a

)

,

<

&

ePk

(

S

2

'

)

}

onde

Pj

{Qe

₎

_{é oconjuntodos polinómiosdefinidos}em Qe

_,

_{com grau menorou igual}

a j em x\x%.

A aproximação de elementos finitos, baseada no método de Galerkin

,

para a equação da pressão, nosubespaçoV

£

₌

Sfc

C V

,

é dada por:

Problema P/

,

: Achar p¡t GV

£

tal que

A

{

ph,Qh

)

=

f

{

Qh

)

V ph,qhGV

£

.

Como V

_£

C V

,

as propriedades de elipticidade e continuidade de A

(

.,.) no espaço

de dimensão infinita

,

são transferidas imediatamente para o problemaaproximado

,

ou seja

,

são válidas as propriedades decontinuidade,

(

3.8

)

M f k

, «

_J

<

_MIIPJIIVIMV

V Ph

,

(_jh£

vh

A

{

qh

,

qh)

>

a||_?fc||v V qh G

Vh

e consistencia ¿

₍

_P

>Qh)

=

f(Qh

)

V qh G

Destas propriedades resulta aseguinteestimativa para a aproximação pt¿

\\

P -_Pk

\\

_{v C}

\\

p

-

qh

\\

v V

q h e V k

.

Fazendo usode resultados deinterpolação própriosdo método dos elementos finitos

[

35

],

ouseja

,

Dadouma função p G

Hk

+l

(

Q

)

,

existe uma interpolante p¡x G talque:

IIP

-

_Pfcll

+

A

|

|Vp

-

Vp

_*

||

< C

„

ft

‘

+1|p

|

Ä+1?

(

3.9) têm-seas seguintes taxas de convergência para o gradiente de

II

Vp-

Vpjllo

_<

CA

*

|

p|

_*

₊1> (3.10

)

e usando otruque de Nitsche

II

?

-

Pillo

<

CAl

+1

|

p|_fc- (3,11

)

f1

válidas para soluções regulares do Problema P, ou seja para p G Hm+l

(

Çl

)

m

>

k. Considerando dado pelalei de Darcy

,

ou seja:

com

uh

=

-AVph

têm

-

se:

|u

—

_Uftllo

<

Ch

“

|p

|

t₊1.

(

3.12

)

Estasestimativas sãoválidas para soluçõessuficientemente regulares

,

istoé, para

p G

Hk

+1

(

£l

)

,

que infelizmente não ocorre nos problemas reais de simulação de

reservatórios de petróleo. Por exemplo admitindo que os diâmetros dos poços são desprezíveis frente às dimensões dos reservatóriossimula-se os termos de fonte asso-ciadosàsvazões nos poços como deltasde Dirac. Nestecaso pode-seter

,

nomáximo

,

p G

Hl (

Q

)

oque implica nas seguintes estimativas:

Ib

-

_Phll

<

Ch

_\

p

_\

₁

l

ou seja convergência de primeira ordem para a aproximação da pressão em L2_(Q)

e não^convergência para a aproximação da velocidade. A situação

,

na realidade

,

não chega a ser tão dramática. Trata-se de singularidades nos poços de injeção e produção

.

Excluindo-se pequenas regiões vizinhas aos poços recuperam

-

se as taxas de convergência

,

no restante do domínio

[

4

]

. Alternativamente

,

tem-se utilizado a técnica de remoção de singularidade, apresentada no capítulo anterior

,

visando obtenção de aproximações de elementosfinitos mais precisas

.

Mesmopara soluçõesregularesalgumas limitações aindapersistemparaaaproxi -mação

(

3.12

)

docampode velocidades, taiscomo:

(

i

)

taxa de convergência de ordem k comparada com k

₊

1para a pressão,

(

ii

)

não conservação local de massa

,

i

.

e.

,

/

divuhdf¿e

^

f

fdQe

J& J W

(

iii

)

não atendimento

,

de formaforte

,

da condição de contorno uh n

=

0, já que

esta é uma condição natural para a formulação variacionaladotada

.

Para contornar estas limitações uma formulação mista nas variáveis pressão e velocidade é frequentemente utilizadaem

escoamentos

em meios porosos e é apre -sentada na seçãoseguinte

.

Formula

çã

o Mista de Raviart

-

Thomas

para

Press

ã

o e

3.2

Velocidade

Esta formulação

,

construída com a pressão em L2_{(£l) e a velocidade em if}

₍

_div)

_,

difere do método anterior por requerer interpolações para a pressão e velocidade independentes. Assim

,

definindo osespaços:

para a velocidade

0 em T

₌

<

9

Í1

}

W

₌

{

v

e

H (div) V•n

=

para a pressão

Q

₌

{

q

e

L2(Q₎

,

J

_qdtt

₌

₀

_}

a formulaçãomistade Raviart-_Thomas para o problemacontínuo consiste em Problema MRT: Achar

(

u, p

)

GW x Q tal que

a(u

,

v

)

₊

6

{

v,p

)

₌

0 V V

e

W b{ u

,

q)

₌

f{q) V g e Q sendo a(u

,

v)

₌

(À 1u

,

v) Vu,v

e

PF ò

(

v

,

p

)

₌

—

(divv

,

q) V v G VF V q e Q

,

f

(

q

)

=

(

_/

>q

)

GQ.

Existência e unicidade de soluçãoparaesta classe de problemas sao asseguradas pelo teorema de Brezzi

,

que requer a satisfação dasseguintes condições:

(a) Continuidade de

_/

(•

)

\

f

(

q)

_\

C

_\\

q

_\\

V q e Q

,

C

<

o o

(

b

)

Continuidade de a

(

-,

)

|o

(

u,v

)|

<

Mjull

í

qdivjllvll

.fqdiv} V u,v GW

(

c

)

Continuidade de b

(

-

,

)

IHV

-

?

)

I

^

2

||

v

||

ií{div)

lklU

2₍n₎

(

d

)

K-elipticidade de a

(

.

,

.

),

i.e., existe a

_>

0 tal que a

(

V

,

v

)

>

or

|

|v|

&

_(div) V v

e

A"

onde

K

—

{

v

e W

b

{

v

,

q

)

₌

0 V q e Q

}

(

e

) Condi

ção decompatibilidade

(

LBB

)

[

14

],

i.e.

,

existe ß

>

0

,

tal que

b{v

,

q

)

vÇW

IMIif

(div)

/

Pode-se verificar que estas condições são satisfeitas pelo Problema MRT. A

construção de aproximações de elementos finitosestáveis para este problema passa pelasatisfaçãode condiçõesequivalentesnos espaçosdeelementos finitos escolhidos.

Astrêsprimeirascondições sãosatisfeitasporqualquerescolha deespaços deaproxi

-ma

ções conformes,

Wk

C W e

Qlh

C Q. A maior dificuldade é quanto a satisfação das duas últimas condições.

Neste contexto sãofrequentemente empregados os espaços de Raviart-Thomas

[

5

j,

inicialmenteformulados para problemas bidimensionais e posteriormenteexten -didos para 3dimensões por Nedelec

[

36

]

. _{Restritos a}duasdimensões, osespaços de Raviart-_{Thomas de ordem} k

,

sãodefinidos comosegue:

Para quadriláteros:

m

X pk-_hk

(

ne

) }

{

v/l

w

, vl

e

Pk

_>k-1 Qh

₌

{

Qh Q

,

qeh E

Pk

(

«

*

)}

• Para triângulos:

wkh

{

vh

e

W

,veh

E

Pk

-i(Qe

)

X P

^

W

)

_{+ xPk}

_

l(

ne

)

}

Qh

—

{

<_ih £ Q

,

qeht .

Rfc

-_i

(

^

e

)}

-Estesespaços apresentam as seguintes propriedades:

(Pl

)

para todo qit E Q

\

existe\_h EW

¡

¡

tal que

_divvh

—

qh_\

(

P2

)

para todo E

Wfc

existe qk E Q

£

tal que qk

=

divv/i;

(P3) interpolação : para toda função v E

Hk

x

Hk

com divv E

Hk

existe uma interpolantevh EW

{

¡

tal que

||v-_Vft

_||

jy_(div)

<

Chk

(|

v

|

* +

|

divv|jk

).

Comoconsequênciadas propriedadesPle P2as versõesdiscretasdas condições

(

d) e (e

)

, respectivamente

,

(

d

)

h

iffc

-elipticidadede a

(

.,

.)

a

(

_vh

,

Y/

,

)

>

afc

||

vA

||

ff(d¡v) V vh E I

<

h

com

(e)h condiçãode compatibilidade

sup ¿

(

vfr>gfc)

vh£ W

¡

¡

IIv

/i

ll

íf (div)

ßh

\\

Qk

\\

L2₍n₎

saosatisfeitas com o¿_{h e} ß_h independentes de h. Este fato _assegura.que o problema

aproximado

Problema MRT/t: Achar U/!Ç.W

¡

¡

c

W

,

ph Q

*

C Q tal que

a

(

uft,v&

)

+

6

(

vfc,p&

)

=

0

Vvfc

W

*

K u h

,Q h

)

=

f

{

q h

)

V q h Z Q h t

tem solução únicae vale a seguinte estimativa.Mqh

e

Q

*

e v/i G W

*

|

u-_ufe

||

//(div)

+ ||

p-Ph

\\

L2₍s_í)

C

'

dlu

-_vh

||

_{ff (div)}

+ ||

p-g_/

ilU

^

n)

)

(3.13

)

Para soluçõessuficientemente regulares esta estimativa conduz àsseguintes taxas de convergencia

uji

í(div)

+

Ib

-p

&

|

U

_*(n)

< Chk

{

\

u

\

k

+

I

divu

I

)

lu

Esteresultadoé típicodeformulaçõesmistaseforneceestimativasacopladas para as aproximações da pressão e da velocidade em L2

₍

_Q

₎

_{e H}

₍

_div

₎

,

_{respectivamente.}

Observa-se ainda que, por construção

,

o Problema MRT

_\

apresenta as seguintes propriedades:

(

i

)

taxa de convergencia de ordem k para a pressão em L2

(

Q

)

e para a velocidade

em if

(

div),

(

ii

)

conservação de massa localisto é

,

divu

_^

dOg

₌

[

fdÇ

_t

_e?

(

iii

)

satisfação da condiçãode contorno u/, n

=

0 de formaforte,

(

iv

)

continuidade do fluxo normalaoslados dos elementos

,

muitoconveniente para simulação de escoamentos.

Do ponto de vista de implementação computacional esta formulação conduz a sistema de equações algébricas lineares não

-

positivos definidos, exigindo métodos especiais para a sua resolução. Em

[

12

,

9

]

métodos de decomposição de dominio são propostos visando implementaçãocomputacionaleficiente em computadoresde memóriadistribuída.

Naseçãoseguintesãoapresentadastécnicasde pós-processamento paraobtenção de aproximações mais precisas da velocidade que geram sistemas de equações simétricosepositivosdefinidos utilizando elementoslagrangianos usuais

,

ede mesma ordem que os empregados para aproximar a pressão via método de Galerkin

,

ou mesmo as interpolações de Raviart

-

Thomas para a velocidade, referidas anterior

-mente.

3.3

Té

cnicas

de Pó

s-

Processamento

para

a

Velocidade

Inicialmente é apresentada

a

técnicade pós-processamento globalquetêm sido em

-pregada com sucesso em diferentes casos de simulações de escoamentos imiscíveis

,

miscíveis e traçadores em modelos bidimensionais

[

17

,

18

,

37

,

4

,

19

,

22

,

24

]

e tridimensionais

[

20

,

21

]

,

Em

seguida é apresentada uma nova técnica de pó

s-processamento local por macroelementos que se apresenta como uma ótima opção para o cálculo das velocidades em meios heterogéneos

,

além de ser naturalmente paralelizável

[

20

,

21

]

,

3.3.1 Pós-Processamento Global

Estaformulação depós-processamento global édefinidaem umespaçode elementos finitos contido em íf

(

div) considerando o resíduo de mínimos quadrados da lei de Darcy

,

com

a

pressão conhecida, e resíduo da equação de balanço de massa da mistura

.

Seja ph G V

*

uma aproximação de elementos finitos para o campo p conhecida

.

Por exemplo, ph podeser a solução do Problema P

^

-formulação de Galerkin

-que como visto na expressão 3.11 apresenta taxas de convergência de ordem k

₊

1 em L2

₍

_Çl

₎

_.

_Conhecido

ph determinamos u/i em X

¿

C H {div

)

tal que

(

A-1

₊

Xph

,

v/i

)

+

¿

^

(

divu/i

+

/

,

divv/i)

=

0 Vv

^

e

Xlh

.

Integrando por partes o termo envolvendoVph

,

resulta o seguinte problema ProblemaPu/,: Dado ph V

£

achar u/,

Xlh

tal que

AT

Í

U/í

,

V/i

)

= Fr

(vh

)

Vv/i

Xlh

(

3.14

)

(

3.15) onde