• Nenhum resultado encontrado

Magnetismo em sistemas de tamanho finito

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Magnetismo em sistemas de tamanho finito"

Copied!
146
0
0

Texto

(1)

M A G N E T IS M O

E M

S IS T E M A S D E

T A M A N H O

F IN IT O

Vanessa Souza Leite

April 8, 2006

(2)

A g r a d e c im e n to s

E m p rim eiro lu g a r, g o sta ria d e a g ra d ecer a o P ro fesso r W a g n er: p elo s q u a se o ito a n o s d e o rien ta »c~a o , p ela p a ci^en cia , a ten »c~a o , d ed ica »c~a o e ca rin h o . P o r m e en sin a r q u e a n o b reza d e u m g ra n d e m estre est¶a em su a sim p licid a d e, so b retu d o d ia n te d e to d o o seu co n h ecim en to .

E m seg u id a , g o sta ria d e a g ra d ecer µa P ro fesso ra B a rtira : p elo in cen tiv o , p elo ca rin h o d e m ~a e, p o r to d a a a ju d a e p ela a m iza d e, m esm o d ep o is d e eu ter in va d id o su a sa la .

M eu s P a is, m in h a irm ~a , m eu cu n h a d o ta m b ¶em fo ra m m u ito im p o rta n tes d u ra n te to d o o p er¶³o d o d e m eu d o u to ra d o . A v o c^es, o m eu m u ito o b rig a d a p o r to d a a p a ci^en cia , in cen tiv o , a p o io e fo r»ca n estes a n o s.

G o sta ria d e a g ra d ecer ta m b ¶em a o M a u r¶³cio G o d oy, p ela co la b o ra »c~a o em d o is d o s tra b a lh o s a p resen ta d o s n esta T ese, p o r to d a a a ju d a p rin cip a lm en te n o in¶³cio d o m eu d o u to ra d o , p elo s papers in d ica d o s, p ela co m p a n h ia n o s en co n tro s d e C a x a m b ¶u , n a s esco la s d e S ~a o C a rlo s e em ta n to s o u tro s en co n tro s.

M u ito o b rig a d a ta m b ¶em a o M a u r¶³cio G ira rd i, p ela a ju d a em to d o s o s m eu s p ro b lem a s co m p u ta cio n a is e p ela b o a v o n ta d e em so lu cio n ¶a -lo s.

O b rig a d a a to d o s o s p ro ¯ ssio n a is d o D ep a rta m en to d e F ¶³sica d a U F S C q u e d e a lg u m a fo rm a co la b o ra ra m em m eu tra b a lh o d u ra n te esses q u a tro a n o s n o B lo co G d a F ¶³sica .

G o sta ria d e a g ra d ecer a to d o s o s a m ig o s e p esso a s q u erid a s q u e p a ssa ra m p o r m im d u -ra n te esse tem p o , e q u e m esm o sem sa b er, m e d e-ra m a p o io , in cen tiv o e m e im p u lsio n a -ra m p a ra a ¯ n a liza »c~a o d este tra b a lh o .

F in a lm en te, m eu s a g ra d ecim en to s a o C N P q , p elo ¯ n a n cia m en to d e m eu s q u a tro a n o s d e b o lsa e p elo a u x¶³lio tese, a trav ¶es d o q u a l p u d e p a rticip a r d e d iv erso s en co n tro s d u ra n te o m eu d o u to ra d o .

(3)

S u m ¶a r io

L ista d e F ig u r a s iii

R e su m o v iii

A b str a c t ix

1 In tr o d u »c ~a o 1

2 P a r t¶³c u la a n tife rr o m a g n ¶e tic a 9

2 .1 M o d elo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 2 .2 A p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 4 2 .3 S im u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 6 2 .4 R esu lta d o s e co n clu s~o es : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8 2 .5 P ersp ectiva s d e tra b a lh o s fu tu ro s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 5

3 P a r t¶³c u la fe r r im a g n ¶e tic a : s p in s m isto s 2 7

3 .1 M o d elo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9 3 .2 A p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 0 3 .3 S im u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 2 3 .4 R esu lta d o s e co n clu s~o es : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5 3 .5 P ersp ectiva s d e tra b a lh o s fu tu ro s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1

4 P a r t¶³c u la fe r r o m a g n ¶e tic a tr id im e n s io n a l 4 3

4 .1 M o d elo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 4 4 .2 A p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6 4 .2 .1 P a rt¶³cu la iso tr¶o p ica : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 6 4 .2 .2 E ix o f¶a cil p a ra lelo a o ca m p o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 7 4 .2 .3 E ix o f¶a cil p erp en d icu la r a o ca m p o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 8 4 .3 S im u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 9 4 .4 R esu lta d o s e co n clu s~o es : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 0 4 .5 P ersp ectiva s d e tra b a lh o s fu tu ro s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 6

(4)

5 D ia g r a m a d e fa se s d e p a r t¶³c u la s a n tife r r o m a g n ¶e tic a s 5 7

5 .1 M o d elo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 0 5 .2 A p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 1 5 .3 S im u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 4 5 .4 R esu lta d o s e co n clu s~o es : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5 5 .4 .1 C a m p o p a ra lelo a o eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 5 5 .4 .2 C a m p o p erp en d icu la r a o eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 1 5 .5 P ersp ectiva s d e tra b a lh o s fu tu ro s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5

6 C o n c lu s~o e s 7 6

A p ^e n d ic e s 7 8

A A p r o x im a »c ~a o d e c a m p o m ¶e d io v ia d e sig u a ld a d e d e B o g o liu b o v 7 9

A .1 D esig u a ld a d e d e B o g o liu b ov : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 9 A .2 C ¶a lcu lo d e G C M : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 0

B U so e a b u so d a a p r o x im a »c ~a o d e c a m p o m ¶e d io 8 7

B .1 A p rox im a »c~a o co rreta : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 7 B .2 A b u so d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : I : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 2 B .3 A b u so d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : II : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4

C D e te r m in a »c ~a o d e c u r v a s d e h iste re se 9 6 D S iste m a fe r r im a g n ¶e tic o d e sp in s m isto s 1 0 4

D .1 M o d elo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 4 D .2 A p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 5 D .3 S im u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 6 D .4 R esu lta d o s e co n clu s~o es : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 0

E E n e r g ia liv re d e u m a p a r t¶³c u la c o m sp in s c o n t¶³n u o s 1 1 6

E .1 C ¶a lcu lo d e G C M n o ca so d e u m a p a rt¶³cu la iso tr¶o p ica : : : : : : : : : : : : 1 1 7 E .2 C ¶a lcu lo d e G C M q u a n d o o eix o f¶a cil d a p a rt¶³cu la ¶e p a ra lelo a o ca m p o : : : 1 2 0 E .3 C ¶a lcu lo d e G C M q u a n d o o eix o f¶a cil d a p a rt¶³cu la ¶e p erp en d icu la r a o ca m p o 1 2 4

(5)

L is ta d e F ig u r a s

2 .1 R ep resen ta »c~a o esq u em ¶a tica d e u m a p a rt¶³cu la d e seis ca m a d a s, d isp o sta em

u m su b stra to h ex a g o n a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 2 .2 M a g n etiza »c~a o p o r sp in d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica a ca m p o m a g

-n ¶etico -n u lo em fu -n »c~a o d a tem p era tu ra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 9 2 .3 C u rva s d e h isterese p a ra u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , o b tid a s a trav ¶es

d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 0 2 .4 C u rva s d e h isterese d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , o b tid a s a trav ¶es

d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1 2 .5 C u rva s co m p leta s d e h isterese d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , o b tid a s

n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e a trav ¶es d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo : 2 2 2 .6 C u rva s d e h isterese d e ca m a d a s d a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , o b tid a s

a tra v ¶es d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo : 2 3 2 .7 C u rva s d e h isterese d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica co n sid era n d o su

-p erf¶³cies -p erfeita s e co m lig a »c~o es q u eb ra d a s en tre seu s s-p in s : : : : : : : : : 2 4 3 .1 R ep resen ta »c~a o esq u em ¶a tica d e u m a p a rt¶³cu la ferrim a g n ¶etica d e seis ca

-m a d a s, d isp o sta s e-m u -m su b stra to h ex a g o n a l : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 9 3 .2 M a g n etiza »c~a o to ta l d e u m a p a rt¶³cu la ferrim a g n ¶etica e to ta l p a ra ca d a su b

-red e em fu n »c~a o d a tem p era tu ra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 4 3 .3 T em p era tu ra cr¶³tica em fu n »c~a o d o n ¶u m ero d e ca m a d a s d a p a rt¶³cu la , n : : : 3 5 3 .4 V a lo r m ¶³n im o d e J2 em fu n »c~a o d o ca m p o crista lin o , p a ra o a p a recim en to

(6)

3 .5 V a lo res m ¶³n im o e m ¶a x im o d e ¡ J em fu n »c~ao d o cam p o cristalin o, p ara o3

a p a recim en to d e u m p o n to d e co m p en sa »c~a o d a p a rt¶³cu la ferrim a g n ¶etica : : 3 8 3 .6 D ep en d ^en cia s d e Tco m p e Tc co m o ca m p o crista lin o : : : : : : : : : : : : : 3 9 3 .7 D ep en d ^en cia s d e Tco m p e T co m o va lo r d a in tera »c~a o d e tro ca en tre o s sp in sc

p rim eiro s v izin h o s d o tip o ¾ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 0 3 .8 D ep en d ^en cia s d e Tco m p e T co m o va lo r d a in tera »c~a o d e tro ca en tre o s sp in sc

p rim eiro s v izin h o s d o tip o S : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 1

4 .1 R ep resen ta »c~a o esq u em ¶a tica d e u m a p a rt¶³cu la esf¶erica d e seis ca m a d a s, in -scrita em u m a red e c¶u b ica sim p les : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 5 4 .2 M a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in e su scep tib lid a d e d e u m a p a rt¶³cu la ferro

-m a g n ¶etica iso tr¶o p ica a ca -m p o n u lo o b tid a n a a p ro x i-m a »c~a o d e ca -m p o -m ¶ed io 5 1 4 .3 T em p era tu ra cr¶³tica d e u m a p a rt¶³cu la iso tr¶o p ica em fu n »c~a o d e seu n ¶u m ero

d e ca m a d a s, n , o b tid a n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : 5 2 4 .4 T em p era tu ra cr¶³tica d e u m a p a rt¶³cu la co m eix o d e f¶a cil m a g n etiza »c~a o p a

-ra lelo a o ca m p o em fu n »c~a o d e seu n ¶u m ero d e ca m a d a s, n , e d o va lo r d a co n sta n te d e a n iso tro p ia , o b tid a n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : 5 2 4 .5 M a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in e su scep tib lid a d e d e u m a p a rt¶³cu la ferro

-m a g n ¶etica iso tr¶o p ica a ca -m p o n u lo o b tid a s n a s si-m u la »c~o es d e M o n te C a rlo 5 3 4 .6 T em p era tu ra cr¶³tica d e u m a p a rt¶³cu la iso tr¶o p ica em fu n »c~a o d e seu n ¶u m ero

d e ca m a d a s, n , o b tid a n a s sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : : : : : : : 5 4 4 .7 T em p era tu ra cr¶³tica d e u m a p a rt¶³cu la co m eix o d e f¶a cil m a g n etiza »c~a o p a

-ra lelo a o ca m p o em fu n »c~a o d e seu n ¶u m ero d e ca m a d a s, n , e d o va lo r d a co n sta n te d e a n iso tro p ia , o b tid a n a s sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo : : : : : : 5 5

5 .1 R ep resen ta »c~a o esq u em ¶a tica d o d ia g ra m a d e fa ses d e u m sistem a a n tiferro m a g n ¶etico u n ia x ia l co m ca m p o m a g n ¶etico ex tern o a p lica d o (a ) p a ra lela -m en te e (b) p erp en d icu la r-m en te a o eix o f¶a cil d o siste-m a : : : : : : : : : : : 5 8

(7)

5 .2 M a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in e m a g n etiza »c~a o staggered d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica n u m ca m p o H = 1 ;0 J a p lica d o p a ra lela m en te a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 6 5 .3 M a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in e m a g n etiza »c~a o staggered d e u m a p a rt¶³cu la

a n tiferro m a g n ¶etica n u m ca m p o H = 8 ;0 J a p lica d o p a ra lela m en te a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 7 5 .4 D ia g ra m a d e fa ses n o p la n o tem p era tu ra versu s ca m p o m a g n ¶etico d e u m a

p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica co m seis ca m a d a s su b m etid a a u m ca m p o p a -ra lelo a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 8 5 .5 M a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in e m a g n etiza »c~a o staggered d e u m a p a rt¶³cu la

a n tiferro m a g n ¶etica n a tem p era tu ra T = 0 ;4 0 J = kB em fu n »c~a o d o ca m p o a p lica d o p a ra lela m en te a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9 5 .6 D ia g ra m a d e fa ses n o p la n o tem p era tu ra versu s ca m p o m a g n ¶etico d e u m a

p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica d e d iferen tes ta m a n h o s su b m etid a a u m ca m p o m a g n ¶etico p a ra lelo a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 0 5 .7 M a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in e m a g n etiza »c~a o staggered d e u m a p a rt¶³cu la

a n tiferro m a g n ¶etica n u m ca m p o H = 5 :0 J a p lica d o p erp en d icu la rm en te a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 2 5 .8 D ia g ra m a s d e fa ses n o p la n o tem p era tu ra versu s ca m p o d e u m a p a rt¶³cu la

a n tiferro m a g n ¶etica d e seis ca m a d a s n u m ca m p o m a g n ¶etico p erp en d icu la r a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 3 5 .9 D ia g ra m a d e fa ses n o p la n o tem p era tu ra versu s ca m p o d e p a rt¶³cu la s a n

tifer-ro m a g n ¶etica s d e d iferen tes ta m a n h o s n u m ca m p o m a g n ¶etico p erp en d icu la r a o seu eix o f¶a cil : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4 C .1 C u rva s d e h isterese o b tid a s p a ra u m sistem a in ¯ n ito co m sp in s d e Isin g e

q = 6 , n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8 C .2 S o lu »c~a o d a eq u a »c~a o C .6 p a ra u m sistem a in ¯ n ito co m sp in s d e Isin g e q = 6 9 9

(8)

C .3 E n erg ia liv re p o r sp in p a ra u m sistem a in ¯ n ito co m sp in s d e Isin g e q = 6 , em fu n »c~a o d e su a m a g n etiza »c~a o p a ra T = 1 ;0 J = kB : : : : : : : : : : : : : :1 0 0 C .4 E n erg ia liv re p o r sp in p a ra u m sistem a in ¯ n ito co m sp in s d e Isin g e q = 6 ,

em fu n »c~a o d e su a m a g n etiza »c~a o p a ra T = 5 ;0 J = kB : : : : : : : : : : : : : :1 0 1 D .1 R ep resen ta »c~a o esq u em ¶a tica d e u m sistem a in ¯ n ito ferrim a g n ¶etico d e sp in s

m isto s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 5 D .2 M a g n etiza »c~a o to ta l e d e ca d a su b -red e d e sp in s d o sistem a ferrim a g n ¶etico

em fu n »c~a o d a tem p era tu ra : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0 8 D .3 C u m u la n tes d e q u a rta o rd em d o sistem a in ¯ n ito ferrim a g n ¶etico , o b tid o s

p a ra a s red es L = 8 , L = 1 6 , L = 3 2 e L = 6 4 . S u scep tib ilid a d e e ca lo r esp ec¶³¯ co em fu n »c~a o d a tem p era tu ra p a ra a red e L = 6 4 : : : : : : : : : : 1 0 9 D .4 T em p era tu ra d e co m p en sa »c~a o em fu n »c~a o d o ta m a n h o lin ea r d a red e h ex a

-g o n a l : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 0 D .5 V a lo r m ¶³n im o d e J2 em fu n »c~a o d o ca m p o crista lin o , p a ra o a p a recim en to

d e u m p o n to d e co m p en sa »c~a o : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 1 D .6 V a lo res m ¶³n im o s e m ¶a x im o s d e ¡ J em fu n »c~ao d o cam p o crista lin o, p ara o3

a p a recim en to d e u m p o n to d e co m p en sa »c~a o : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 2 D .7 D ep en d ^en cia d e Tco m p e T co m o ca m p o crista lin o : : : : : : : : : : : : : : 1 1 3c

D .8 D ep en d ^en cia d e Tc o m p e T co m o va lo r d a in tera »c~a o d e tro ca en tre o s sp in sc

p rim eiro s v izin h o s d o tip o ¾ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1 4 D .9 D ep en d ^en cia d e Tc o m p e Tc co m o va lo r d a in tera »c~a o d e tro ca en tre sp in s

(9)

R e s u m o

N este tra b a lh o estu d a m o s a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s d e sistem a s ¯ n ito s, em p a rticu la r, d e p eq u en a s p a rt¶³cu la s fo rm a d a s p o r u m red u zid o n ¶u m ero d e m o m en to s m a g n ¶etico s. C o n -sid era m o s m o d elo s sim p li¯ ca d o s o n d e o s sp in s p o d em ser rep resen ta d o s p o r va ri¶a v eis d e Isin g o u co n t¶³n u a s. N o ca so em q u e a s va ri¶a v eis d e sp in s~a o d iscreta s, o s m o d elo s fo ra m estu d a d o s em red es b id im en sio n a is co m sim etria h ex a g o n a l. P a ra u m a p a rt¶³cu la cu jo s sp in s se a co p la m a n tiferro m a g n etica m en te em seu n ¶u cleo , m o stra m o s q u e a s cu rva s d e h isterese e a s su a s co rresp o n d en tes a ssim etria s d ev em ser a trib u¶³d a s a u m a d eso rd em m a g n ¶etica d o tip o v id ro d e sp in n a su p erf¶³cie d a p a rt¶³cu la . M o stra m o s a in d a q u e p a ra u m a p a rt¶³cu la ferrim a g n ¶etica , fo rm a d a p o r ca m a d a s a ltern a d a s d e sp in s d e Isin g ¾ = 1 = 2 e S = 1 n u m a red e h ex a g o n a l, o p o n to d e co m p en sa »c~a o o co rre so m en te se o a co p la m en to en tre o s sp in s ¾ fo r ferro m a g n ¶etico . N o ca so d e sp in s co n t¶³n u o s, estu d a m o s m o d elo s d e H eisen b erg cl¶a ssico s em tr^e d im en s~o es, ta n to ferro - q u a n to a n tiferro m a g n ¶etico s, em fu n »c~a o d a tem p era tu ra , d a a n iso tro p ia u n ia x ia l e d o ca m p o m a g n ¶etico . P a rticu la rm en te, n o ca so d e in tera »c~o es a n tiferro m a g n ¶etica s, d eterm in a m o s o d ia g ra m a d e fa ses d o sistem a n o p la n o ca m p o m a g n ¶etico versu s tem p era tu ra , n o s ca so s em q u e o ca m p o ¶e p a ra lelo o u p erp en d icu la r a o eix o d e f¶a cil m a g n etiza »c~a o d a p a rt¶³cu la . O s ca m p o s d e tra n si»c~a o e su a s d ep en d ^en cia s n a tem p era tu ra fo ra m d eterm in a d o s em fu n »c~a o d o d i^a m etro d a p a rt¶³cu la co n sid era d a . E m to d o s o s estu d o s rea liza d o s n este tra b a lh o u tiliza m o s sistem a tica m en te sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo e a p rox im a »c~o es d e ca m p o m ¶ed io .

(10)

A b st r a c t

In th is w o rk w e stu d y th e m a g n etic p ro p erties o f ¯ n ite sy stem s, in p a rticu la r, sm a ll p a rticles fo rm ed b y a red u ced n u m b er o f m a g n etic m o m en ts. W e co n sid er sim p le m o d els w h ere th e sp in s ca n b e rep resen ted b y Isin g o r co n tin u o u s va ria b les. W h en w e u se d iscrete va ria b les, th e m o d els w ere stu d ied in tw o -d im en sio n a l la ttices w ith h ex a g o n a l sy m m etry. F o r a p a rticle w h o se sp in s h av e a n a n tiferro m a g n etic co u p lin g in its co re, w e sh ow th a t th e h y steresis cu rv es a n d th eir sh ifts a re d u e to th e sp in -g la ss m a g n etic d iso rd er a t th e su rfa ce o f th e p a rticle. W e a lso sh ow th a t fo r a ferrim a g n etic p a rticle, w h ich is fo rm ed b y a ltern a te lay ers o f Isin g sp in s ¾ = 1 = 2 a n d S = 1 in a h ex a g o n a l a rray, th e co m p en sa tio n p o in t o ccu rs o n ly fo r a ferro m a g n etic co u p lin g b etw een th e ¾ sp in s. F o r co n tin u o u s sp in s sy stem s, ferro m a g n etic a s w ell a s a n tiferro m a g n etic, cla ssica l H eisen b erg m o d els w ere co n sid ered in th ree d im en sio n s, a s a fu n ctio n o f tem p era tu re, u n ia x ia l a n iso tro p y a n d m a g n etic ¯ eld . P a rticu la rly, in th e ca se o f a n tiferro m a g n etic in tera ctio n s, w e d eterm in e th e p h a se d ia g ra m o f th e sy stem in th e m a g n etic ¯ eld versu s tem p era tu re p la n e, fo r th e ca ses w h ere th e m a g n etic ¯ eld is p a ra llel o r p erp en d icu la r to th e ea sy m a g n etiza tio n a x is o f th e p a rticle. T h e tra n sitio n ¯ eld s a n d th eir d ep en d en ces o n tem p era tu re w ere fo u n d a s a fu n ctio n o f th e p a rticle d ia m eter. In a ll th e stu d ies, w e sistem a tica lly em p loy M o n te C a rlo sim u la tio n s a n d m ea n -¯ eld a p p rox im a tio n s.

(11)

C a p ¶³tu lo 1

In tr o d u »c ~a o

N o s ¶u ltim o s a n o s im p o rta n tes av a n »co s t^em sid o a lca n »ca d o s n a d ire»c~a o d o d esen -v o l-v im en to d a n a n o ci^en cia e d a n a n o tecn o lo g ia em to d o o m u n d o . T a n to a n a n o ci^en cia q u a n to a n a n o tecn o lo g ia t^em co m o o b jetiv o s cria r n ov o s m a teria is e d esen v o lv er n ov o s p ro d u to s e p ro cesso s, b a sea d o s n a crescen te ca p a cid a d e d a tecn o lo g ia m o d ern a d e v er e m a n ip u la r ¶a to m o s e m o l¶ecu la s, e n a ca p a cid a d e d a ci^en cia d e ex p lica r e p rev er a s d iferen tes p ro p ried a d es o b serva d a s em d im en s~o es t~a o p eq u en a s. A s p o ss¶³v eis a p lica »c~o es d o s resu lta d o s d a s p esq u isa s em sistem a s ca d a v ez m en o res s~a o in ¶u m era s: a u m en to d a ca p a cid a d e d e a rm a zen a m en to e p ro cessa m en to d e d a d o s d o s co m p u ta d o res, cria »c~a o d e n ov o s m eca n ism o s m a is seg u ro s e m en o s p reju d icia is n a tra n sfer^en cia d e m ed ica m en to s a o s p a cien tes, cria »c~a o d e m a teria is m a is lev es e m a is resisten tes d o q u e m eta is e p l¶a stico s, q u e p o d eria m ser u sa d o s n a co n stru »c~a o d e p r¶ed io s, a u to m ¶o v eis, av i~o es; e m u ita s o u tra s in ov a »c~o es em d esen v o lv im en to o u q u e a in d a n ~a o fo ra m n em seq u er im a g in a d a s.

A p o ssib ilid a d e d e se fa b rica r estru tu ra s m a g n ¶etica s a rti¯ cia is n a esca la n a n o -m ¶etrica te-m leva d o a o su rg i-m en to d e n ova s ¶a rea s d e p esq u isa b ¶a sica e-m -m a g n etis-m o , estim u la d a s p ela d esco b erta d e n ov o s fen ^o m en o s. O s ch a m a d o s n a n o m a g n eto s, d ev id o a o fa to d e p o ssu¶³rem ta m a n h o s ex trem a m en te p eq u en o s, p o ssu em p ro p ried a d es m a g n ¶etica s m u ito d iferen tes d a q u ela s o b serva d a s em u m a a m o stra m a cro sc¶o p ica d o m esm o elem en to . A m a io ria d essa s p ro p ried a d es ¶e d ev id a a o s efeito s d e su p erf¶³cie, e co m o esses sistem a s n a n o estru tu ra d o s p o d em ter a t¶e 5 0 % d e seu s ¶a to m o s n a su p erf¶³cie, n ova s p ro p ried a d es

(12)

m a g n ¶etica s p o d em ser o b tid a s e estu d a d a s co m o o b jetiv o d e serem a p lica d a s n o d esen v o lv im en to d e n ova s tecn o lo g ia s. O d esen v o lv im en to e estu d o d e m a teria is n a n o estru tu -ra d o s o co rreu p rin cip a lm en te a p ¶o s a d esco b erta d o fen ^o m en o co n h ecid o p o r m a g n eto re-sist^en cia g ig a n te [1 , 2 ], in icia lm en te em m u ltica m a d a s m a g n ¶etica s [3 ], e p o sterio rm en te em sistem a s g ra n u la res. A p esa r d o g ra n d e im p u lso n o estu d o d esses sistem a s n a n o sc¶o p ico s ter se o rig in a d o p rin cip a lm en te d ev id o µa s en o rm es p ersp ectiva s d e seu u so em sistem a s co m p u ta cio n a is, h ¶a u m a in ¯ n id a d e d e o u tra s p o ss¶³v eis a p lica »c~o es, ta is co m o : p ro d u »c~a o d e ¶³m ~a s a in d a m a is p o d ero so s, d e m a teria is m a g n ¶etico s d o ces co m p erd a s en erg¶etica s m en o res, n a p ro d u »c~a o d e m icro sen so res, n o d ia g n ¶o stico m ¶ed ico , n a in d ¶u stria d e m ed ica -m en to s, p ig -m en to s e cer^a -m ica s [4 , 5 ].

D o p o n to d e v ista a ca d ^em ico , o s sistem a s m a g n etica m en te estru tu ra d o s a p resen -ta m u m a g ra n d e va ried a d e d e p ro p ried a d es f¶³sica s in teressa n tes e fo rm a m u m co n ju n to ¶u n ico p a ra se estu d a r d iv erso s p ro b lem a s em f¶³sica d a m a t¶eria co n d en sa d a , co m o su -p er-p a ra m a g n etism o [6 , 7 , 8 , 9 ], cin ¶etica d e n u clea »c~a o e crescim en to d e g r~a o s [1 0 , 1 1 ], fru stra »c~a o e co m p eti»c~a o , q u e s~a o co m p o rta m en to s t¶³p ico s d o s v id ro s d e sp in [1 2 , 1 3 ], etc. D ev id o µa su a co m p lex id a d e, a resp o sta d e u m a n a n o estru tu ra µa s ex cita »c~o es ex tern a s ¶e ex trem a m en te d if¶³cil d e se m o d ela r e p rev er. P o r isso , a p esa r d esses sistem a s n a n o crista -lin o s esta rem sen d o in ten sa m en te estu d a d o s n o s ¶u ltim o s a n o s, eles a p resen ta m d iv ersa s ca ra cter¶³stica s q u e p erm a n ecem in co m p reen d id a s.

E x istem d iv erso s m ¶eto d o s d e p ro d u »c~a o d e p a rt¶³cu la s s¶o lid a s u ltra ¯ n a s. C o m o ex em p lo , p o d e-se cita r a s t¶ecn ica s d e d ep o si»c~a o d e va p o r, spu tterin g, m elt-spin n in g, eletro d ep o si»c~a o e m o a g em m ec^a n ica [4 , 5 ]. A essa s t¶ecn ica s esp ec¶³¯ ca s s~a o a crescid a s d iferen tes fo rm a s d e tra ta m en to t¶erm ico [1 4 , 1 5 ] n a fo rm a »c~a o d a n a n o estru tu ra ¯ n a l. C o m o resu lta d o , o b t¶em -se sistem a s co m u m a g ra n d e va ried a d e d e p ro p ried a d es f¶³sica s in teressa n tes, q u e a l¶em d a s j¶a cita d a s a n terio rm en te, p o d e-se in clu ir a in d a , a m a g n eto re-sist^en cia t¶u n el [1 6 ] e o efeito H a ll g ig a n te [1 7 ].

O s sistem a s m a g n ¶etico s n a n o sc¶o p ico s d e v ¶a ria s p a rt¶³cu la s s~a o m u ito m a is co m -p lica d o s d e se tra ta r d o q u e u m sistem a fo rm a d o -p o r u m a ¶u n ica -p a rt¶³cu la iso la d a , -p o is

(13)

d ev e-se co n sid era r a co n trib u i»c~a o d e p a rt¶³cu la s co m d iferen tes ta m a n h o s e fo rm a s, a l¶em d a s p r¶o p ria s in tera »c~o es en tre ela s. Q u a n d o essa s p a rt¶³cu la s est~a o su ¯ cien tem en te p r¶o x im a s, o ca m p o g era d o p o r u m a d ela s ser¶a sen tid o p ela s o u tra s a trav ¶es d e u m a in tera »c~a o d ip o la r e, p o rta n to , a s in tera »c~o es en tre to d a s a s p a rt¶³cu la s d ev em ser co n sid era d a s p a ra se d escrev er d e m o d o co rreto a s p ro p ried a d es o b serva d a s.

N a ten ta tiva d e se elu cid a r a s p ro p ried a d es d in ^a m ica s d esses sistem a s d e n a n o p a r-t¶³cu la s m a g n ¶etica s, d iferen tes m o d elo s te¶o rico s t^em sid o p ro p o sto s [1 8 , 1 9 , 2 0 ]. E m a lg u n s d eles, a s in tera »c~o es en tre a s p a rt¶³cu la s s~a o co n sid era d a s a trav ¶es d e u m a sim p les va ria »c~a o n a s b a rreira s d e en erg ia v ista s p ela s p a rt¶³cu la s iso la d a s, d e m o d o a ex clu ir o co m p o rta -m en to -m a g n ¶etico co letiv o d o siste-m a [1 9 ], en q u a n to q u e e-m o u tro s, a co n sid era »c~a o d o co m p o rta m en to co letiv o to rn a -se a p rin cip a l ca ra cter¶³stica d o m o d elo [2 0 ]. T a is m o d elo s s~a o em p reg a d o s d e a co rd o co m a s ca ra cter¶³stica s d e ca d a sistem a o b serva d o (ta m a n h o , fo rm a , co n cen tra »c~a o d e p a rt¶³cu la s m a g n ¶etica s) e d o efeito q u e se d eseja estu d a r. P o r o u tro la d o , o estu d o d o co m p o rta m en to d e u m a ¶u n ica p a rt¶³cu la , fo rm a d a in tern a m en te p o r v ¶a rio s m o m en to s m a g n ¶etico s q u e in tera g em en tre si a trav ¶es d e u m a co p la m en to d e tro ca en tre p rim eiro s v izin h o s, j¶a se a p resen ta co m o u m p ro b lem a b a sta n te in teressa n te. P a ra esse tip o d e sistem a , p o d em o s cita r o in teresse p elo estu d o d o s m ¶eto d o s d e re-v ers~a o d a m a g n etiza »c~a o d a p a rt¶³cu la n a p resen »ca d e ca m p o s m a g n ¶etico s: p a ra p eq u en a s a n iso tro p ia s sa b e-se q u e a rev ers~a o se d ¶a d e fo rm a co eren te, en q u a n to q u e p a ra va lo res su ¯ cien tem en te g ra n d es d a a n iso tro p ia crista lin a , o m eca n ism o d e rev ers~a o se d ¶a a trav ¶es d o p ro cesso d e n u clea »c~a o .

O s p rim eiro s estu d o s te¶o rico s n essa ¶a rea se co n cen tra ra m p rin cip a lm en te n o d e-sen v o lv im en to d e eq u a »c~o es p a ra o co n t¶³n u o , o n d e o c¶a lcu lo d a s estru tu ra s m a g n ¶etica s e d e su a rev ers~a o so b o efeito d a tem p era tu ra e d o ca m p o m a g n ¶etico ¶e rea liza d o su p o n d o -se q u e a s co n trib u i»c~o es d e tro ca , d e a n iso tro p ia crista lin a e d ip o la res va ria m co n tin u a m en te [2 1 ]. M a is recen tem en te, m ¶eto d o s b a sea d o s em co m p u ta »c~a o d e la rg a esca la t^em sid o u tiliza d o s p a ra in v estig a r o s efeito s d e tem p era tu ra ¯ n ita n o s fen ^o m en o s d e n u clea »c~a o e crescim en to d e estru tu ra s m a g n ¶etica s [2 2 , 2 3 ].

(14)

C o m o p ro b lem a s esp ec¶³¯ co s d e n o sso in teresse, en co n tra m -se o s sistem a s n a n o s-c¶o p ico s h etero g^en eo s, o u seja , p a rt¶³cu la s q u e p o ssu em in tera »c~o es ferro m a g n ¶etica s e a n ti-ferro m a g n ¶etica s co m p etin d o en tre si, o s sistem a s d e sp in s m isto s, o estu d o d a d ep en d ^en cia d a m a g n etiza »c~a o d e p a rt¶³cu la s ferro m a g n ¶etica s co m o ^a n g u lo en tre o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o e o eix o d e f¶a cil m a g n etiza »c~a o d a p a rt¶³cu la , e, ¯ n a lm en te, a in v estig a »c~a o d o s es-ta d o s d e eq u il¶³b rio d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica su b m etid a a ca m p o s m a g n ¶etico s eleva d o s.

O s m o d elo s d e n a n o p a rt¶³cu la s h etero g^en ea s o ferecem u m a v is~a o u m p o u co m a is rea lista d e u m a n a n o p a rt¶³cu la [2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 ]. E m g era l, a d eso rd em m a g n ¶etica e estru tu ra l ex isten te n a s b o rd a s d esses sistem a s leva a u m a co m p eti»c~a o en tre a s d ife-ren tes in tera »c~o es n a s p rox im id a d es d a su p erf¶³cie d a n a n o p a rt¶³cu la , o q u e a ca b a se re-° etin d o n a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s d a s ca m a d a s m a is in tern a s d a m esm a . N o ca so d e n a n o p a rt¶³cu la s a n tiferro m a g n ¶etica s, ta l d eso rd em a ca b a p o r g era r esta d o s o n d e a n a n o p a rt¶³cu la co m p o rta -se co m o u m ferro m a g n eto fra co [3 0 , 3 1 , 3 2 ].

N o ca so d e sistem a s m isto s, o p rin cip a l o b jetiv o ¶e a co n sid era »c~a o d e m a teria is ferrim a g n ¶etico s, e a in v estig a »c~a o d a p o ss¶³v el ex ist^en cia d e u m a tem p era tu ra d e co m p en sa »c~a o a b a ix o d e su a tem p era tu ra cr¶³tica , o n d e a s m a g n etiza »c~o es d e su a s v ¶a ria s su b -red es ca n cela m -se. A ex ist^en cia d e u m p o n to d e co m p en sa »c~a o to rn a esse tip o d e m a teria l p o ten cia lm en te in teressa n te p a ra d iv ersa s a p lica »c~o es tecn o l¶o g ica s, esp ecia lm en te a q u ela s q u e em p reg a m m ¶eto d o s d e g rava »c~a o term o m a g n ¶etica [3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 ]. A lg u n s m o d elo s te¶o rico s sim p les j¶a fo ra m em p reg a d o s n a in v estig a »c~a o d a tem p era tu ra d e co m p en sa »c~a o d e sistem a s in ¯ n ito s d e sp in s m isto s. N o ca so d e red es q u a d ra d a s, m u ita s t¶ecn ica s d e a n ¶a lise fo ra m e co n tin u a m sen d o em p reg a d a s n o estu d o d esses sistem a s, ta is co m o : ex p a n s~o es em s¶eries d e a lta s tem p era tu ra s [3 7 ], g ru p o d e ren o rm a liza »c~a o [3 8 , 3 9 ], teo ria s efetiva s d e ca m p o m ¶ed io [4 0 , 4 1 ] e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo [4 2 , 4 3 ].

S a b e-se q u e p a rt¶³cu la s su ¯ cien tem en te p eq u en a s co m p o rta m -se co m o u m d o m ¶³n io ¶u n ico , d e fo rm a q u e to d o s o s seu s m o m en to s m a g n ¶etico s g ira m co eren tem en te n a d ire»c~a o d e u m ca m p o m a g n ¶etico ex tern o [4 4 ]. P o r o u tro la d o , q u a n d o o ta m a n h o d a p a rt¶³cu la

(15)

cresce, a co n ¯ g u ra »c~a o d e u m ¶u n ico d o m ¶³n io d eix a d e ser en erg¶etica m en te fav o r¶a v el. N esse ca so , q u a n d o o s m o m en to s m a g n ¶etico s d a p a rt¶³cu la g ira m n a d ire»c~a o d e u m ca m p o m a g n ¶etico ex tern o , ela a ssu m e u m a co n ¯ g u ra »c~a o d e m ¶u ltip lo s d o m ¶³n io s. Q u a n d o a p a rt¶³cu la p o d e ser d escrita p o r u m ¶u n ico d o m ¶³n io , ela a p resen ta cu rva s d e m a g n etiza »c~a o b a sta n te d iferen tes d ep en d en d o d o ^a n g u lo en tre o ca m p o e o seu eix o f¶a cil. N o ca so d e p a rt¶³cu la s ferro m a g n ¶etica s n ~a o t~a o p eq u en a s p a ra serem co n sid era d a s co m o u m d o m ¶³n io ¶u n ico , d ev ese leva r em co n ta q u e seu s m o m en to s m a g n ¶etico s, a p esa r d e in tera g irem en -tre si, n ~a o s~a o n ecessa ria m en te co eren tes. D esta fo rm a , a p a rt¶³cu la co m o u m to d o p o d e a p resen ta r u m co m p o rta m en to b a sta n te d iferen te d a q u ele v eri¯ ca d o n o ca so d e u m ¶u n ico d o m ¶³n io . A d eterm in a »c~a o d a m a g n etiza »c~a o d e p a rt¶³cu la s q u e n ~a o s~a o co n sid era d a s m o -n o d o m ¶³-n io s se rev ela i-n teressa -n te, p o is o s resu lta d o s o b tid o s -n o s ca so s em q u e o ca m p o m a g n ¶etico ¶e p a ra lelo o u p erp en d icu la r a o eix o f¶a cil d iferem d a q u eles co n h ecid o s p a ra p a rt¶³cu la s co m u m ¶u n ico d o m ¶³n io [4 4 ].

N o ca so d e p a rt¶³cu la s a n tiferro m a g n ¶etica s u n ia x ia is, ¶e d e in teresse se estu d a r o s d iferen tes esta d o s d e eq u il¶³b rio q u e este tip o d e sistem a a p resen ta q u a n d o su b m etid o a ca m p o s m a g n ¶etico s in ten so s. A in v estig a »c~a o d e a n tiferro m a g n eto s u n ia x ia is n o lim ite term o d in ^a m ico m o stra a ex ist^en cia d e u m rico d ia g ra m a d e fa ses, p rin cip a lm en te q u a n d o o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o e o eix o f¶a cil d a p a rt¶³cu la s~a o p a ra lelo s. E sse d ia g ra m a d e fa ses a p resen ta lin h a s d e tra n si»c~a o d e p rim eira e seg u n d a o rd em , o n d e a d ep en d ^en cia d o ca m p o co m a tem p era tu ra ¶e b em co n h ecid a [4 5 , 4 6 , 4 7 , 4 8 , 4 9 ]. O o b jetiv o d e se estu d a r esse tip o d e sistem a ¶e o d e se in v estig a r o s efeito s d e ta m a n h o ¯ n ito e d e su p erf¶³cie so b re seu s esta d o s d e eq u il¶³b rio , b em co m o a d ep en d ^en cia d a s lin h a s cr¶³tica s n o s p a r^a m etro s d o h a m ilto n ia n o d o sistem a .

N o s ca p¶³tu lo s seg u in tes, a p resen ta m o s a lg u n s m o d elo s sim p li¯ ca d o s u tiliza d o s n o estu d o d a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s d e u m a p eq u en a p a rt¶³cu la m a g n ¶etica iso la d a . E m to d o s o s m o d elo s su p ~o em -se q u e o s m o m en to s m a g n ¶etico s s~a o lo ca liza d o s e d istrib u¶³d o s d iscreta m en te n u m a red e. N o d o is p rim eiro s m o d elo s, co n sid era -se u m a p a rt¶³cu la b id i-m en sio n a l, fo ri-m a d a p o r u i-m sp in cen tra l en v o lv id o p o r a n ¶eis co n c^en trico s d e sp in s. A

(16)

red e u tiliza d a co m o b a se p a ra o a rra n jo d o s sp in s a p resen ta sim etria h ex a g o n a l [5 0 ]. N o C a p¶³tu lo 2 , co n sid era -se u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica [5 1 , 5 2 ], fo rm a d a p o r u m n ¶u cleo d e sp in s a n tiferro m a g n etica m en te a co p la d o s e u m a su p erf¶³cie co m estru tu ra d o tip o v id ro d e sp in [5 3 ]. A l¶em d a in tera »c~a o d e tro ca ex isten te en tre o s sp in s p rim eiro s v izin h o s d o sistem a , co n sid era -se ta m b ¶em o efeito d a a p lica »c~a o d e u m ca m p o m a g n ¶etico ex tern o . O m o d elo , q u e p o d e ser u tiliza d o co m o u m a sim p li¯ ca »c~a o p a ra u m a n a n o p a rt¶³cu la a n tifer-ro m a g n ¶etica , fo i estu d a d o a trav ¶es d a a p tifer-rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo [5 4 ]. E ssa s t¶ecn ica s d e a n ¶a lise n o s p o ssib ilita ra m estu d a r o co m p o rta m en to d o m o d elo em fu n »c~a o d a tem p era tu ra e d o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o . C o m o ser¶a v isto , a p esa r d e b a sta n te sim p li¯ ca d o , o m o d elo co n sid era d o rep ro d u z a lg u n s d o s resu lta d o s ex p erim en ta is o b serva d o s em n a n o p a rt¶³cu la s rea is [3 0 , 3 1 ].

N o C a p¶³tu lo 3 tra ta m o s u m a p eq u en a p a rt¶³cu la ferrim a g n ¶etica m ista co m sp in s d o tip o Isin g ¾ = 1 = 2 e S = 1 [5 5 ]. O a rra n jo d e sp in s n esse sistem a ¶e to m a d o d e fo rm a q u e ca d a ca m a d a d a p a rt¶³cu la seja fo rm a d a p o r u m ¶u n ico tip o d e sp in , e p o ssu a ca m a d a s v izin h a s co m sp in s d o o u tro tip o . P o r ex em p lo , se o sp in cen tra l fo r u m sp in ¾ = 1 = 2 , a p rim eira ca m a d a d ev e ser co n stitu¶³d a so m en te p o r sp in s S = 1 , a seg u n d a ca m a d a so m en te p o r sp in s ¾ = 1 = 2 , e a ssim su cessiva m en te, a t¶e u m lim ite m ¶a x im o d e ca m a d a s co n sid era d a s. A l¶em d a in tera »c~a o d e tro ca en tre o s sp in s p rim eiro s v izin h o s d a p a rt¶³cu la (q u e n este m o d elo p o d e ser d o tip o ¾ ¡ S , ¾ ¡ ¾ e S ¡ S ), tam b ¶em leva -se em con ta o efeito d o ca m p o crista lin o so b re o s sp in s d o tip o S . N ova m en te, em p reg a -se a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo p a ra in v estig a r a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s d o m o d elo . E m p a rticu la r, ¶e d a d o ^en fa se n a d eterm in a »c~a o d a tem p era tu ra d e co m p en sa »c~a o d o sistem a , co n sid era n d o a s co n trib u i»c~o es d e ca d a term o d o h a m ilto n ia n o d o m o d elo . O m esm o tip o d e a n ¶a lise rela tiva m en te a o p o n to d e co m p en sa »c~a o em sistem a s m a cro sc¶o p ico s j¶a h av ia sid o rea liza d o p a ra sistem a s em red es d o tip o hon eycom b e q u a d ra d a [4 0 , 4 1 , 4 2 , 4 3 ] co m d u a s su b -red es in terp en etra n tes. N esses sistem a s, a s in tera »c~o es d e tro ca en tre sp in s p rim eiro s v izin h o s s~a o to d a s d o tip o ¾ ¡ S . N o m o d elo ap resen ta d o n esta T ese, assim co m o n o ca so d e u m sistem a m a cro sc¶o p ico fo rm a d o p o r ca m a d a s d e d o is tip o s d iferen tes

(17)

d e sp in s [5 6 , 5 7 ], co n sid era -se, a l¶em d o a co p la m en to ¾ ¡ S , in tera»c~oes d e tro ca d o tip o ¾ ¡ ¾ e S ¡ S en tre p rim eiros v izin h os. C o m o v erem os a segu ir, o s resu ltad os ob tid os co n sid era n d o -se u m a p eq u en a p a rt¶³cu la s~a o q u a lita tiva m en te sim ila res a o s o b tid o s n o ca so d e u m sistem a in ¯ n ito (resu lta d o a p resen ta d o n o A p ^en d ice D ).

N o C a p¶³tu lo 4 d esta T ese, co n sid era m o s u m a p a rt¶³cu la trid im en sio n a l, fo rm a d a p o r u m sp in cen tra l en v o lv id o p o r esfera s co n c^en trica s d e sp in s. A s esfera s s~a o cir-cu n scrita s em u m a red e c¶u b ica e o s sp in s lo ca liza d o s em ca d a s¶³tio d a red e p o d em g i-ra r em q u a lq u er d ire»c~a o d e u m sistem a d e refer^en cia ca rtesia n o . O m o d elo ¶e d escrito p o r u m h a m ilto n ia n o d e H eisen b erg cl¶a ssico , co m in tera »c~o es ferro m a g n ¶etica s en tre o s sp in s p rim eiro s v izin h o s, u m a in tera »c~a o co m o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o e u m term o d e a n iso tro p ia u n ia x ia l d e ¶³o n ¶u n ico [5 8 ]. C o m a u tiliza »c~a o d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e a trav ¶es d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo o b tiv em o s a d ep en d ^en cia d a m a g n etiza »c~a o d o sistem a em fu n »c~a o d a tem p era tu ra n o s ca so s d e ca m p o p a ra lelo o u p erp en d icu la r a o eix o f¶a cil.

N o ¶u ltim o ca p¶³tu lo d esta T ese, co n sid era m o s u m a p eq u en a p a rt¶³cu la a n tiferro -m a g n ¶etica co -m sp in s in tera g in d o en tre si a trav ¶es d e u m a co p la m en to d e tro ca en tre p rim eiro s v izin h o s, d a d o p elo h a m ilto n ia n o d e H eisen b erg cl¶a ssico . A l¶em d essa in tera »c~a o d e tro ca , ta m b ¶em leva -se em co n ta o efeito d o ca m p o crista lin o , a trav ¶es d a co n trib u i»c~a o d e u m a a n iso tro p ia u n ia x ia l d e ¶³o n ¶u n ico , b em co m o o a co p la m en to co m u m ca m p o m a g n ¶etico ex tern o . C o n sid era m o s o s ca so s em q u e o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o ¶e p a ra lelo e p erp en d icu la r a o eix o f¶a cil d a p a rt¶³cu la . A trav ¶es d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo o b tiv em o s o s esta d o s d e eq u il¶³b rio d o sistem a , d eterm in a n d o o seu d ia g ra m a d e fa ses n o p la n o ca m p o m a g n ¶etico versu s tem p era tu ra .

P a ra o estu d o d e to d o s o s m o d elo s d escrito s a cim a , u tiliza m o s co m o u m a d a s ¶

ferra m en ta s d e a n ¶a lise a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io . E im p o rta n te sa lien ta r q u e n esses sistem a s a u tiliza »c~a o d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io req u er u m p o u co m a is d e tra b a lh o d o q u e n o ca so d o s sistem a s in ¯ n ito s. N o ca so d e u m sistem a ¯ n ito , d ev id o µa q u eb ra d e sim etria tra n sla cio n a l, n ~a o se p o d e co n sid era r q u e o ca m p o efetiv o so b re ca d a m o m en to

(18)

seja o m esm o , in d ep en d en tem en te d e su a p o si»c~a o . N a v erd a d e, d ev e-se co n sid era r q u e o ca m p o efetiv o ¶e d ep en d en te d a p o si»c~a o d o sp in n a p a rt¶³cu la e, d esta fo rm a , d ev e-se leva r em co n ta u m n ¶u m ero b a sta n te g ra n d e d e eq u a »c~o es a co p la d a s. P a ra u m a m elh o r d iscu ss~a o d o u so co rreto d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io n o s tip o s d e sistem a s co n sid era d o s n esta T ese, a p resen ta m o s n o s A p ^en d ices A e B u m a d escri»c~a o sim p li¯ ca d a d a a p rox im a »c~a o co n sid era d a p a ra o s m o d elo s q u e em p reg a m va ri¶a v eis d e Isin g , b em co m o n o A p ^en d ice E , p a ra o ca so d e sistem a s co m h a m ilto n ia n o s d e sp in s co n t¶³n u o s.

A o u tra ferra m en ta u tiliza d a n o estu d o d o s m o d elo s d escrito s a cim a s~a o a s si-m u la »c~o es d e M o n te C a rlo . A id ¶eia d o si-m ¶eto d o d e M o n te C a rlo co n siste esi-m se esco lh er a d eq u a d a m en te u m a seq Äu ^en cia d e co n ¯ g u ra »c~o es q u e o b ed ecem a u m a ca d eia d e M a rk ov . A p a rtir d o h a m ilto n ia n o d e ca d a m o d elo estu d a d o , u tiliza m o s g era d o res d e n ¶u m ero s a lea t¶o rio s p a ra sim u la r a co n trib u i»c~a o esta t¶³stica d o s d iferen tes esta d o s d o m o d elo , a ¯ m d e q u e a s co n ¯ g u ra »c~o es g era d a s ev o lu a m p a ra a d istrib u i»c~a o d e eq u il¶³b rio co rreta . A lg u m a s co n ¯ g u ra »c~o es in icia is s~a o g era d a s lo n g e d o eq u il¶³b rio , m a s µa m ed id a q u e o tem p o p a ssa o a lg o ritm o u tiliza d o leva a m u ita s co n ¯ g u ra »c~o es t¶³p ica s d e eq u il¶³b rio d o sistem a q u e p o d em , en t~a o , ser em p reg a d a s n o c¶a lcu lo d a s g ra n d eza s term o d in ^a m ica s d e in teresse [5 9 , 6 0 ]. O m ¶eto d o d e M o n te C a rlo ¶e p o r d e¯ n i»c~a o u m m ¶eto d o d e estu d o d o s esta d o s d e eq u il¶³b rio , en treta n to , ¶e b a sta n te co m u m o seu em p reg o p a ra a a n ¶a lise d e esta d o s esta cio n ¶a rio s, co m o em tra n si»c~o es d e fa ses fo ra d o eq u il¶³b rio [6 1 ]. N esta T ese, a l¶em d o u so d a s sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo p a ra a o b ten »c~a o d o s esta d o s d e eq u il¶³b rio d o s sistem a s co n sid era d o s, b em co m o p a ra ca lcu la r su a s p ro p ried a d es term o d in ^a m ica s, este m ¶eto d o ta m b ¶em ¶e em p reg a d o p a ra d escrev er a s cu rva s d e h isterese e o s esta d o s m eta est¶a v eis a lca n »ca d o s p elo sistem a . N este sen tid o , a p resen ta m o s n o A p ^en d ice C u m a b rev e d iscu ss~a o so b re a d eterm in a »c~a o d e u m a cu rva d e h isterese e u m a d escri»c~a o so b re co m o sim u la »c~o es s~a o u tiliza d a s n o s ca so s d e n ~a o eq u il¶³b rio term o d in ^a m ico .

A p esa r d e n o ¯ n a l d e ca d a ca p¶³tu lo a p resen ta rm o s a s co n clu s~o es e a s p ersp ectiva s d e tra b a lh o s fu tu ro s, n o C a p¶³tu lo 6 a p resen ta m o s a s co n clu s~o es g era is so b re o s estu d o s rea liza d o s n esta T ese.

(19)

C a p ¶³tu lo 2

P a r t¶³c u la a n tife r r o m a g n ¶e tic a

O estu d o d e p eq u en a s p a rt¶³cu la s a n tiferro m a g n ¶etica s tem receb id o m u ita a ten »c~a o n o s ¶u ltim o s a n o s, p rin cip a lm en te d ev id o a o fa to d e a p resen ta rem a lg u m a s ca ra cter¶³stica s m a g n ¶etica s d e o rig em a in d a n ~a o su ¯ cien tem en te escla recid a s (a p resen »ca d e u m a p e-q u en a m a g n etiza »c~a o p erm a n en te) o u n ~a o esp era d a s (co m o p o r ex em p lo , o p o ten cia l e-q u e essa s p a rt¶³cu la s a p resen ta m d e rev ers~a o d e su a m a g n etiza »c~a o p o r tu n ela m en to q u ^a n tico [6 2 , 6 3 ]). E ssa s p a rt¶³cu la s p o ssu em u m a g ra n d e ra z~a o en tre su a su p erf¶³cie e seu v o lu m e e, p o rta n to , p a rece ser ra zo ¶a v el co rrela cio n a r a lg u m a s d essa s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s co m o co n seq Äu ^en cia d o s efeito s d e su a su p erf¶³cie. P o r o u tro la d o , n o ca so d e u m a p eq u en a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , o n ¶u m ero d e sp in s em ca d a su b red e p o d e n ~a o esta r co m p en -sa d o em b a ix a s tem p era tu ra s, e esta ca ra cter¶³stica p o r si s¶o p o d e ser o fa to r resp o n s¶a v el p ela em erg^en cia d e u m a fa se ferro m a g n ¶etica fra ca , p o r ex em p lo .

A lg u n s resu lta d o s ex p erim en ta is o b tid o s a trav ¶es d o esp a lh a m en to d e n ^eu tro n s p o la riza d o s [6 4 ], M Äo ssb a u er [6 5 ] e m ed id a s d e m a g n etiza »c~a o [2 4 ] em n a n o p a rt¶³cu la s fer-rim a g n ¶etica s e a n tiferro m a g n ¶etica s co rro b o ra m a id ¶eia d e q u e essa s p eq u en a s p a rt¶³cu la s seja m fo rm a d a s p o r u m n ¶u cleo d e sp in s a n tiferro m a g n etica m en te a co p la d o s, en v o lto p o r u m a ca m a d a m a g n etica m en te d eso rd en a d a . O s efeito s d e ta m a n h o ¯ n ito s~a o in eren tes a essa s p a rt¶³cu la s, e o n ¶u m ero d e co o rd en a »c~a o red u zid o d o s sp in s d a su p erf¶³cie seria o resp o n s¶a v el p ela d eso rd em m a g n ¶etica d a su p erf¶³cie q u e, p o r su a v ez, d eterm in a ria o co m -p o rta m en to m a g n ¶etico d a s ca m a d a s m a is in tern a s d e s-p in s d a n a n o -p a rt¶³cu la . A l¶em d isso ,

(20)

a ex ist^en cia d e u m a ca m a d a m a g n etica m en te d eso rd en a d a n essa s n a n o p a rt¶³cu la s, to rn a im p o ss¶³v el a tra d icio n a l a n ¶a lise d o a n tiferro m a g n etism o b a sea d a n a d iv is~a o d o sistem a em d u a s o u m a is su b -red es in terp en etra n tes, d ev id o µa b a ix a sim etria tra n sla cio n a l.

A d eso rd em m a g n ¶etica d o s sp in s n a su p erf¶³cie d e u m a p eq u en a p a rt¶³cu la a n ti-ferro m a g n ¶etica o u ferrim a g n ¶etica p o d e ser esp era d a p o r m u ita s ra z~o es. O o rd en a m en to m a g n ¶etico d e u m m a teria l m a cro sc¶o p ico ferrim a g n ¶etico o u a n tiferro m a g n ¶etico en v o lv e o a co p la m en to d e sp in s co m co n sta n tes d e tro ca n eg a tiva s, e o sistem a p o d e ser d escrito p o r d u a s o u m a is su b -red es co m m o m en to s em d iferen tes d ire»c~o es o u sen tid o s. N o ca so d e a n tiferro m a g n eto s t¶³p ico s, a fo rm a »c~a o d essa s su b -red es ¶e esp o n t^a n ea , en q u a n to q u e n o s ferrim a g n eto s, ela d ep en d e d a co m p o si»c~a o a t^o m ica d o m a teria l. N o ca so d e u m a p eq u en a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , a red u »c~a o d o ca m p o efetiv o ex p erim en ta d o p elo s sp in s d e su a su p erf¶³cie (d ev id o a o seu red u zid o n ¶u m ero d e co o rd en a »c~a o ) ¶e su ¯ cien te p a ra p rov o ca r u m a d eso rd em m a g n ¶etica n esses sp in s. P o r o u tro la d o , n o ca so d e u m a p eq u en a p a rt¶³cu la ferrim a g n ¶etica , q u a n d o a lg u n s ¶³o n s d e ox ig^en io est~a o a u sen tes em su a su p erf¶³cie, o u lig a m -se a m o l¶ecu la s o rg ^a n ica s, a in tera »c~a o d e tro ca , u su a lm en te m ed ia d a p o r u m ¶³o n d e ox ig^en io , ¶e en fra q u ecid a , sen d o isto su ¯ cien te p a ra in d u zir a d eso rd em m a g n ¶etica n a su p erf¶³cie [2 4 , 2 5 , 3 0 , 3 1 ].

O efeito d o s sp in s q u e se en co n tra m n a su p erf¶³cie so b re o co m p o rta m en to m a g n ¶e-tico d a p a rt¶³cu la (ferro m a g n ¶etica , a n tiferro m a g n ¶etica o u ferrim a g n ¶etica ) tem sid o o b jeto d e estu d o d e m u ito s p esq u isa d o res. P o r ex em p lo , cita m o s o tra b a lh o d e T ro h id o u e B la ck -m a n [6 6 ], q u e co n sid era -m u -m a p eq u en a p a rt¶³cu la a n tiferro -m a g n e¶etica esf¶erica co -m sp in s d e Isin g . N esse tra b a lh o , o s a u to res in v estig a ra m o efeito d a su p erf¶³cie e d o n ¶u m ero d e sp in s n ~a o co m p en sa d o s n o co m p o rta m en to a n tiferro m a g n ¶etico d a p a rt¶³cu la . A s in -tera »c~o es d e tro ca fo ra m co n sid era d a s ig u a is em to d a a p a rt¶³cu la e o p a r^a m etro d e o rd em era a d iferen »ca en tre a m a g n etiza »c~a o d a s su b -red es a co p la d a s en tre si a n tiferro m a g n eti-ca m en te. A lg u n s a n o s m a is ta rd e, T ro h id o u e co la b o ra d o res ex a m in a ra m u m m o d elo u m p o u co m a is rea l¶³stico co m a u tiliza »c~a o d e sp in s d e H eisen b erg [6 7 , 6 8 , 6 9 ]. N esses tra b a -lh o s, eles co n sid era ra m u m a p a rt¶³cu la co m p leta m en te a n tiferro m a g n ¶etica , o n d e o n ¶u cleo

(21)

a p resen tava u m a a n iso tro p ia u n ia x ia l e a su p erf¶³cie a p resen ta a n iso tro p ia ta n to u n ia x ia l q u a n to ra d ia l. C o m esse m o d elo , o s a u to res in v estig a ra m o efeito d a a n iso tro p ia so b re o s sp in s d a su p erf¶³cie n a m a g n etiza »c~a o e co erciv id a d e d a p a rt¶³cu la e n o m eca n ism o d e rev ers~a o d e su a m a g n etiza »c~a o . N a m esm a lin h a , D im itrov e W y sin [7 0 , 7 1 ] u sa ra m a s eq u a »c~o es d e L a n d a u -L ifsh itz p a ra in v estig a r o efeito d a a n iso tro p ia n a su p erf¶³cie d e u m a p a rt¶³cu la ferro m a g n ¶etica esf¶erica . E m u m d esses tra b a lh o s [7 0 ] to d o s o s eix o s d e f¶a cil m a g n etiza »c~a o a p o n ta m em d ire»c~o es a lea t¶o ria s n a p a rt¶³cu la ; n o o u tro [7 1 ], a p en a s o s sp in s p r¶o x im o s µa su p erf¶³cie a p resen ta m a n iso tro p ia ra d ia l.

O u tro s tra b a lh o s m a is recen tes t^em sid o p u b lica d o s co m o o b jetiv o d e escla recer o p a p el d o s sp in s d a su p erf¶³cie d e u m a p eq u en a p a rt¶³cu la em su a s cu rva s d e m a g n etiza »c~a o e h isterese. P o r ex em p lo , n o ca so d e u m a p a rt¶³cu la ferro m a g n ¶etica , a s sim u la »c~o es rea liza d a s p o r D im ia n e K a ch ka ch i [7 2 , 7 3 ] e L a b ay e e co la b o ra d o res [7 4 ] a ju d a m a escla recer a rev ers~a o n ~a o u n ifo rm e d a m a g n etiza »c~a o d a p a rt¶³cu la . D im ia n e K a ch k a ch i estim a ra m a co n trib u i»c~a o d e u m a a n iso tro p ia ra d ia l n a su p erf¶³cie d e u m a p a rt¶³cu la en q u a n to seu n ¶u cleo ex p erim en tava u m a a n iso tro p ia u n ia x ia l. P o r o u tro la d o , L a b ay e e co la b o ra d o res estu d a ra m o efeito d a a n iso tro p ia ra d ia l d a su p erf¶³cie d a p a rt¶³cu la em fu n »c~a o d o ta m a n h o d a p a rt¶³cu la . N o ca so d e u m a p a rt¶³cu la ferrim a g n ¶etica , lem b ra m o s a in d a o s estu d o s rea liza d o s p o r Ig lesia s e L a b a rta [7 5 , 7 6 ], o n d e fo i iv estig a d a a d ep en d ^en cia d o m eca n ism o d e rev ers~a o d a m a g n etiza »c~a o d a p a rt¶³cu la co m a a n iso tro p ia d e su p erf¶³cie e a fo rm a d a p a rt¶³cu la .

C o n sid era n d o a s in v estig a »c~o es d escrita s a cim a , estu d a m o s n este C a p¶³tu lo u m m o d elo b id im en sio n a l sim p li¯ ca d o p a ra o estu d o d e a lg u m a s d a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s a p resen ta d a s p o r u m a p eq u en a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica . A ssu m im o s q u e a p a rt¶³cu la ¶e fo rm a d a p o r sp in s d o tip o Isin g , a n tiferro m a g n etica m en te a co p la d o s em seu n ¶u cleo , e m a g n etica m en te d eso rd en a d o s em su a su p erf¶³cie. O d eso rd en a m en to d a ca m a d a su -p er¯ cia l d a -p a rt¶³cu la ¶e re-p resen ta d o -p o r u m a d istrib u i»c~a o d e a co -p la m en to s en tre s-p in s p rim eiro s v izin h o s d o tip o v id ro d e sp in [5 3 ]. P a ra estu d a r o co m p o rta m en to m a g n ¶etico a p resen ta d o p o r este m o d elo , u tiliza m o s a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e sim u la »c~o es

(22)

d e M o n te C a rlo . N o resta n te d este C a p¶³tu lo , a p resen ta m o s o m o d elo e o s c¶a lcu lo s n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io (d eta lh es s~a o m o stra d o s n o p rim eiro a p ^en d ice d esta T ese), a d escri»c~a o d a s sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo e, ¯ n a lm en te, o s resu lta d o s o b tid o s, em q u e a p resen ta m o s o co m p o rta m en to m a g n ¶etico d o sistem a em fu n »c~a o d a tem p era tu ra e d o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o a p lica d o .

2 .1

M o d e lo

O m o d elo co n sid era d o p a ra a p a rt¶³cu la co n siste d e u m a rra n jo b id im en sio n a l d e sp in s, em q u e esses en co n tra m -se d isp o sto s em a n ¶eis h ex a g o n a is co n c^en trico s. N a ¯ g u ra 2 .1 v em o s u m ex em p lo d e u m sistem a d e seis ca m a d a s.

F ig u ra 2 .1 : R epresen ta»c~ao esqu em ¶atica de u m a part¶³cu la de seis cam adas, disposta em u m su bstrato hexagon al. O s c¶³rcu los in dicam os spin s da part¶³cu la.

N a a u s^en cia d e d eso rd em m a g n ¶etica n a su p erf¶³cie, este tip o d e p a rt¶³cu la a p resen ta sim e-tria h ex a g o n a l, d e fo rm a q u e a p a rt¶³cu la p o d e ser d iv id id a em su b -red es fo rm a d a s p o r g ru p o s d e sp in s q u e p o ssu em p o si»c~o es eq u iva len tes. E n treta n to , co m a q u eb ra d e sim etria im p o sta p ela su p erf¶³cie d eso rd en a d a , o s sp in s d e u m d a d o g ru p o d a p a rt¶³cu la d eix a m

(23)

d e ser eq u iva len tes en tre si, d e fo rm a q u e a ca d a sp in , p o d e ser a sso cia d a u m a su b -red e d iferen te.

S u p o m o s q u e o sistem a a p resen ta u m a fo rte a n iso tro p ia u n ia x ia l, d e fo rm a q u e seu s sp in s p o d em a p o n ta r a p en a s n u m a ¶u n ica d ire»c~a o . O s m o m en to s m a g n ¶etico s s~a o d escrito s p o r sp in s d e Isin g , o n d e ca d a va ri¶a v el d e sp in a ssu m e o s va lo res ¾ =i § 1 . N a in

-v estig a »c~a o d a s p ro p ried a d es d o m o d elo estu d a d o s~a o co n sid era d a s p a rt¶³cu la s d e d iferen tes n ¶u m ero s d e ca m a d a s, en treta n to , n a s a n ¶a lises a p resen ta d a s co n sid era m o s p a rticu la rm en te u m a p a rt¶³cu la co m seis ca m a d a s d e sp in s. E ssa p a rt¶³cu la p o ssu i u m a ra z~a o a p ro x im a d a -m en te ig u a l a 0 ;3 0 en tre o n ¶u -m ero d e sp in s n a su a su p erf¶³cie e n o seu v o lu -m e, to rn a n d o -se ra zo ¶a v el esp era rse q u e o s sp in s en co n tra d o s n a su p erf¶³cie d a m esm a , co n trib u a m su b sta n -cia lm en te p a ra a s su a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s.

O h a m ilto n ia n o d o m o d elo p a ra a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica ¶e rep resen ta d o p o r

X X

1

H = ¡ J ¾ ¾ij i j ¡ H ¾ ;i (2 .1 )

2 < i;j > i

o n d e H ¶e o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o , e Jij ¶e a in tera »c~a o d e tro ca ex isten te en tre sp in s p rim eiro s v izin h o s. P o r ex em p lo , n a ¯ g u ra 2 .1 ex em p li¯ ca m o s u m sp in n o s¶³tio i e seu s seis p rim eiro s v izin h o s (j 1 ,..., j 6 ). Jij a ssu m e o va lo r Jij = J , co m J < 0 , q u a n d o ¾i

e ¾j s~a o sp in s q u e p erten cem a o n ¶u cleo d o sistem a . O n ¶u cleo in clu i o sp in cen tra l d a p a rt¶³cu la e to d o s o s d em a is a t¶e a su a q u in ta ca m a d a m a is in tern a . P o r o u tro la d o , o s sp in s d a su p erf¶³cie d a p a rt¶³cu la (n este m o d elo , a su p erf¶³cie co m p reen d e to d o s o s sp in s p erten cen tes µa sex ta ca m a d a ) a p resen ta m u m a d eso rd em m a g n ¶etica t¶³p ica d e u m v id ro d e sp in d e Isin g . P o rta n to , p a ra a s in tera »c~o es n a su p erf¶³cie, e en tre esta e o n ¶u cleo , a co n sta n te d e tro ca , J , d ev e sa tisfa zerij

X

Jij = 0 ; (2 .2 )

< i;j >

(24)

co m p elo m en o s u m sp in n a su p erf¶³cie. D esta fo rm a , p a ra o s a co p la m en to s en tre o s sp in s d a su p erf¶³cie e d estes co m o n ¶u cleo , a ssu m im o s a seg u in te d istrib u i»c~a o d e p ro b a b ilid a d e:

1

ps f(J ) =ij [± (Jij + J ) + ± (Jij ¡ J )] ; (2 .3 )

2 o n d e ± (x ) ¶e a d istrib u i»c~a o d elta d e D ira c.

A seg u ir a p resen ta m o s o s c¶a lcu lo s d a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e d a s sim u -la »c~o es d e M o n te C a rlo .

2 .2

A p r o x im a »c ~a o d e c a m p o m ¶e d io

O estu d o d a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s d a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , n a a p ro -x im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io , ¶e rea liza d o a p ¶o s a o b ten »c~a o d a s eq u a »c~o es a p ro-x im a d a s p a ra a s m a g n etiza »c~o es m ¶ed ia s d e ca d a sp in ¾ d o sistem a :i

X 1 ¡¯ H m i= < ¾ > =i ¾ ei ; (2 .4 ) Z f¾ gi P

o n d e o so m a t¶o rio ¾i ¶e rea liza d o so b re to d a s a s co n ¯ g u ra »c~o es d e sp in s d o sistem a e Z ¶e a su a fu n »c~a o p a rti»c~a o .

P a ra se o b ter essa s m a g n etiza »c~o es, u tiliza m o s a d esig u a ld a d e d e B o g o liu b ov , m o stra d a d eta lh a d a m en te n o A p ^en d ice A d esta tese. U tiliza n d o o h a m ilto n ia n o ten ta tiva

X

H 0 = ¡ n ¾ ;i i (2 .5 )

i

o b t¶em -se a en erg ia liv re d o sistem a co m o

½ ¾

X Jij X X

G C M (T ;H ;N ) = m mi j ¡ k TB ln 2 co sh [¯ (H + J mij j)] : (2 .6 )

2

< i;j > i j

G C M (T ;H ;N ) ¶e a en erg ia liv re d o sistem a n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io , q u e p o d e ser escrita co m o

(25)

X

G C M (T ;H ;N ) = gi(T ;H ;N ) : (2 .7 )

i

A m a g n etiza »c~a o m ¶ed ia to ta l d o sistem a , M , p o d e ser o b tid a a trav ¶es d a eq u a »c~a o d a ter-m o d in ^a ter-m ica ,

@ G C M (T ;H ;N )

M (T ;H ;N ) = ¡ : (2 .8 )

@ H

A ssim , a m a g n etiza »c~a o m ¶ed ia d e ca d a sp in d a p a rt¶³cu la p o d e ser escrita co m o

@ gi(T ;H ;N ) m i= ¡ ; (2 .9 ) @ H o b ten d o -se · µ X ¶¸ m i= ta n h ¯ H + J mij j : (2 .1 0 ) j

A eq u a »c~a o 2 .1 0 ¶e v ¶a lid a p a ra to d o s o s sp in s d a p a rt¶³cu la . P a ra o c¶a lcu lo d a

n

m a g n etiza »c~a o d o s sp in s q u e en co n tra m -se n o n ¶u cleo , m i , co n sid era -se o a co p la m en to a n tiferro m a g n ¶etico , d e fo rm a q u e a co n sta n te Jij a ssu m e u m ¶u n ico va lo r Jij = J < 0 . P o r o u tro la d o , p a ra a s in tera »c~o es d e tro ca n a su p erf¶³cie, e en tre esta e o n ¶u cleo , u tiliza -se a d istrib u i»c~a o d e p ro b a b ilid a d es d e¯ n id a n a eq u a »c~a o 2 .3 . A m a g n etiza »c~a o d esses sp in s,

s f

m i , ¶e o b tid a en t~a o , ca lcu la n d o -se a m ¶ed ia co n ¯ g u ra cio n a l, Z

s f

m i = m pi s f(J )d Jij ij : (2 .1 1 ) A s eq u a »c~o es 2 .1 0 e 2 .1 1 fo rn ecem u m sistem a d e eq u a »c~o es a co p la d a s p a ra a s m a g n etiza -»c~o es lo ca is d a p a rt¶³cu la n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io . P a ra a so lu »c~a o d esse sistem a d e eq u a »c~o es u tiliza -se a s su b -ro tin a s n u m ¶erica s d e co n v erg^en cia g lo b a l j¶a co n h ecid a s (v er C a p . 1 0 d o N u m erical R ecipes [7 7 ]).

E in teressa n te p erceb er co m o a lg u m a s a p rox im a »c~o es, d ita s d e ca m p o m ¶ed io , p o d em leva r a ex p ress~o es in co rreta s p a ra a en erg ia liv re, em b o ra p o ssa m resu lta r em ex -p ress~o es co rreta s -p a ra a m a g n etiza »c~a o d o sistem a . N a ten ta tiva d e m elh o r escla recer

(26)

esse p o n to , n o A p ^en d ice B a p resen ta m o s a lg u m a s v ers~o es d essa a p rox im a »c~a o a p lica d a s p a ra o m o d elo d e Isin g . M o stra m o s q u e a u tiliza »c~a o d a d esig u a ld a d e d e B o g o liu b o v leva µa ex p ress~a o co rreta p a ra a en erg ia liv re d o sistem a n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io p a rtin d o -se d e u m h a m ilto n ia n o ten ta tiva d e p a rt¶³cu la s n ~a o in tera g en tes.

F in a lm en te, reso lv en d o -se o sistem a d e eq u a »c~o es em fu n »c~a o d a tem p era tu ra e d o ca m p o m a g n ¶etico ex tern o , p o d em o s d eterm in a r a m a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in d a p a rt¶³cu la :

X 1

m = m i; (2 .1 2 )

N i

e a lg u m a s d a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s d a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io .

2 .3

S im u la »c ~o e s d e M o n te C a r lo

O m o d elo d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica d escrito n a s se»c~o es a n terio res fo i sim u la d o a trav ¶es d o m ¶eto d o d e M o n te C a rlo u tiliza n d o -se a a m o stra g em p o r im p o rt^a n cia . E m ca d a p a sso d e M o n te C a rlo (p M C ) fo ra m rea liza d a s N ten ta tiva s a lea t¶o ria s p a ra a in v ers~a o d e u m sp in d o sistem a . N o ca so d a p a rt¶³cu la d e seis ca m a d a s a q u i co n sid era d a , tem o s N = 1 2 7 sp in s d istrib u¶³d o s n o s seis a n ¶eis h ex a g o n a is m o stra d o s n a ¯ g u ra 2 .1 .

U tiliza n d o -se a a m o stra g em p o r im p o rt^a n cia , a s co n ¯ g u ra »c~o es d o s sp in s d o sis-tem a s~a o g era d a s esco lh en d o -se a lea to ria m en te em ca d a u n id a d e d e sis-tem p o u m sp in , e in v erten d o -o d e a co rd o co m a p rescri»c~a o d e M etro p o lis [5 4 , 7 8 ]. C o m esse p ro ced im en to , p a ra a o b ten »c~a o d o s va lo res m ¶ed io s d e in teresse p a ra ca d a p a r d e va lo res d e tem p era tu ra e d e ca m p o m a g n ¶etico ex tern o , u tiliza m o s em g era l 1 0 :0 0 0 p M C , o n d e o s 2 :0 0 0 p rim eiro s s~a o d esp reza d o s d ev id o a o p ro cesso d e term a liza »c~a o d o sistem a . A l¶em d a s m ¶ed ia s p a ra ca d a p a rt¶³cu la , u tiliza m o s a in d a cerca d e 2 5 0 d iferen tes a m o stra s d e p a rt¶³cu la s (co m d iferen tes d istrib u i»c~o es d a s co n sta n tes d e in tera »c~a o d e tro ca en tre o s sp in s d a su p erf¶³cie) n o c¶a lcu lo ¯ n a l d a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s.

(27)

N o a lg o ritm o d a sim u la »c~a o ca lcu la se a m a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r m o m en to m a g -n ¶etico d a p a rt¶³cu la em fu -n »c~a o d a tem p era tu ra e d o ca m p o m a g -n ¶etico ex ter-n o . E ssa m ¶ed ia ¶e rea liza d a p rim eiro en tre o s sp in s q u e co m p ~o em a p a rt¶³cu la d a seg u in te fo rm a :

N

X 1

m = m i; (2 .1 3 )

N i= 1

e em seg u id a , en tre o s v ¶a rio s p a sso s d e M o n te d e C a rlo co n sid era d o s, d e fo rm a a se o b ter < m > . F in a lm en te, ¶e rea liza d a a m ¶ed ia d o s va lo res en co n tra d o s p a ra < m > en tre a s d iferen tes a m o stra s d e p a rt¶³cu la s u tiliza d a s.

A l¶em d a m a g n etiza »c~a o m ¶ed ia d a p a rt¶³cu la , su a en erg ia m ¶ed ia e o d esv io d a m a g -n etiza »c~a o e d a e-n erg ia ta m b ¶em s~a o ca lcu la d o s. A e-n erg ia m ¶ed ia d a p a rt¶³cu la ¶e ca lcu la d a a p a rtir d a m ¶ed ia d o h a m ilto n ia n o d o sistem a (eq . (2 .1 )):

E = < H > : (2 .1 4 )

E , co m o n o ca so d a m a g n etiza »c~a o , em seg u id a co n sid era -se a m ¶ed ia en tre o s v ¶a rio s p a sso s d e M o n te d e C a rlo co n sid era d o s, o b ten d o -se < E > , e ¯ n a lm en te, en tre a s d iferen tes a m o stra s d e p a rt¶³cu la s u tiliza d a s.

O s d esv io s d a s m ¶ed ia s s~a o ca lcu la d o s p ela s ex p ress~o es seg u in tes,

2

¢ m = j < m > ¡ < jm j> ¢ < jm j> j ; (2 .1 5 )

2

¢ E = j < E > ¡ < E > ¢ < E > j ; (2 .1 6 )

o n d e, co m o se sa b e, a su scep tib ilid a d e d o sistem a ¶e p ro p o rcio n a l a ¢ m ,

 ® ¢ m ; (2 .1 7 )

e o ca lo r esp ec¶³¯ co ¶e p ro p o rcio n a l a ¢ E ,

(28)

F in a lm en te, escla recem o s q u e a s b a rra s d e erro en co n tra d a s n o s resu lta d o s d a s sim u la »c~o es s~a o m en o res q u e o s s¶³m b o lo s u tiliza d o s p a ra id en ti¯ ca r o s p o n to s d a sim u la »c~a o e, d esta fo rm a , n ~a o s~a o m o stra d a s n a s ¯ g u ra s a p resen ta d a s n a p r¶o x im a se»c~a o .

2 .4

R e s u lta d o s e c o n c lu s ~o e s

In icia lm en te co n sid era m o s o co m p o rta m en to m a g n ¶etico d o sistem a em u m ca m p o m a g n ¶etico ex tern o n u lo . C o n fo rm e fo i cita d o a n terio rm en te, m esm o n o ca so d e u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica p erfeita (sem d eso rd em m a g n ¶etica em su a su p erf¶³cie e q u e p o d e ser d iv id id a em su b -red es d e sp in s a p o n ta n d o n a s d ire»c~o es p o sitiva e n eg a tiva ), o n ¶u m ero d e sp in s em ca d a su b -red e p o d e n ~a o esta r b a la n cea d o em b a ix a s tem p era tu ra s e isto , p o r si s¶o , p o d e ser o fa to r resp o n s¶a v el p ela ex ist^en cia d e esta d o s em q u e a p a rt¶³cu la a p resen ta u m a fra ca m a g n etiza »c~a o . P o r o u tro la d o , a co n sid era »c~a o d e u m a su p erf¶³cie d eso rd en a d a n a p a rt¶³cu la , in ° u en cia a s ca m a d a s m a is in tern a s d e sp in s d a m esm a e, efeti-va m en te, red u z o seu o rd en a m en to a n tiferro m a g n ¶etico . D esta fo rm a , d eseja -se in v estig a r se a co n trib u i»c~a o a n tiferro m a g n ¶etica d a p a rt¶³cu la p o d e ser d o m in a d a p ela ex ist^en cia d e sp in s q u e n ~a o p o ssu em o seu m o m en to m a g n ¶etico co m p en sa d o , o u p elo s efeito s d e su a su p erf¶³cie d eso rd en a d a . C o m este o b jetiv o , u tiliza -se a m a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in d o sistem a co m o seu p a r^a m etro d e o rd em , em lu g a r d a m a g n etiza »c~a o staggered , co m o em g era l ¶e co n sid era d o n o estu d o d a s p ro p ried a d es d e sistem a s a n tiferro m a g n ¶etico s in ¯ n ito s.

N a ¯ g u ra 2 .2 s~a o a p resen ta d a s a s cu rva s p a ra a m a g n etiza »c~a o m ¶ed ia p o r sp in d a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica em fu n »c~a o d a tem p era tu ra , o b tid a s n a a p ro x im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e a trav ¶es d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo . C o n fo rm e p o d e-se v eri¯ ca r n essa ¯ g u ra , em b a ix a s tem p era tu ra s o sistem a ex ib e esta d o s ferro m a g n ¶etico s fra co s, q u e s~a o

µ

ca ra cteriza d o s p o r u m a m a g n etiza »c~a o n ~a o -n u la , p o r¶em m u ito p eq u en a . A m ed id a q u e a tem p era tu ra cresce, a fa se ferro m a g n ¶etica fra ca d esa p a rece, e a cim a d e u m a d eterm in a d a tem p era tu ra , q u e co n sid era m o s co m o a tem p era tu ra cr¶³tica d esse sistem a , a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica p a ssa a co m p o rta r-se co m o u m p a ra m a g n eto . O b serva n d o -se a p o si»c~a o

(29)

d o va lo r m ¶a x im o d o ca lo r esp ec¶³¯ co d o sistem a , p o d e-se estim a r a tem p era tu ra cr¶³tica d o m esm o , o b ten d o -se Tc = 0 :2 2 J = kB a trav ¶es d a a p ro x im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e Tc = 0 :1 6 J = kB a trav ¶es d a s sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo .

F ig u ra 2 .2 : M agn etiza»c~ao por spin de u m a part¶³cu la an tiferrom agn ¶etica a cam po

m agn ¶etico n u lo em fu n »c~ao da tem peratu ra, obtida (a ) n a aproxim a»c~ao de cam po m ¶edio, e (b) atrav¶es das sim u la»c~oes de M on te C arlo. O s destaqu es da ¯ gu ra m ostram o calor espec¶³¯ co do sistem a. A tem peratu ra ¶e m edida em u n idades de J = k .B

E im p o rta n te sa lien ta r q u e a tem p era tu ra cr¶³tica o b tid a n a s sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo p a ra u m a p a rt¶³cu la a n tiferro m a g n ¶etica , ¶e n a v erd a d e, u m a tem p era tu ra p seu d o -cr¶³tica . C o n ceitu a lm en te u m sistem a ¯ n ito n ~a o p o d e a p resen ta r n en h u m a sin g u la rid a d e em su a s p ro p ried a d es m a g n ¶etica s n u m a tem p era tu ra ¯ n ita ; en treta n to , p o d e-se a sso cia r u m a tem p era tu ra p seu d o -cr¶³tica µa p o si»c~a o d o va lo r m ¶a x im o d o ca lo r esp ec¶³¯ co o u d a

0,0 0,1 0,2 m (a) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 100 200 300 T cV 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00 0,00 0,02 0,04 T m (b) 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 0 10 20 30 40 50 T cV

(30)

su scep tib ilid a d e d o sistem a [7 9 ]. A l¶em d isso , em to d a s a s sim u la »c~o es co m H = 0 , d ev e-se ca lcu la r o p a r^a m etro d e o rd em d o sistem a co m o < jm j> , u m a v ez q u e < m > tem sem p re u m va lo r n u lo .

F ig u ra 2 .3 : C u rvas de histerese para u m a part¶³cu la an tiferrom agn ¶etica, obtidas n a apro-xim a»c~ao de cam po m ¶edio n as tem peratu ras (a ) T = 0 ;0 5 J = k , (b) T = 0 ;5 J = kB B e (c)

T = 2 ;0 J = k . A ¯ m de m elhor visu alizar os diferen tes com portam en tos das cu rvas n osB

arredores de H = 0 , apen as u m a pequ en a parte da cu rva de histerese ¶e m ostrada.

N a s ¯ g u ra s 2 .3 e 2 .4 s~a o a p resen ta d a s a s cu rva s d e h isterese o b tid a s p a ra a p a rt¶³-cu la a n tiferro m a g n ¶etica n a a p rox im a »c~a o d e ca m p o m ¶ed io e a trav ¶es d e sim u la »c~o es d e M o n te C a rlo , resp ectiva m en te. A p esa r d o m ¶eto d o d e M o n te C a rlo ser, p o r d e¯ n i»c~a o , u tiliza d o p a ra o c¶a lcu lo d o s va lo res m ¶ed io s d e sistem a s n o eq u il¶³b rio , ele ta m b ¶em p o d e ser u tiliza d o n a o b ten »c~a o d e cu rv a s d e h isterese, u tiliza n d o -se p a ra ta n to , o s esta d o s m eta est¶a v eis d o

-0,2 0,0 0,2 (a)

m

-0,2 0,0 0,2 (b)

m

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 -0,1 0,0 0,1 (c)

H

m

(31)

sistem a (u m a d iscu ss~a o m a is a m p la ¶e rea liza d a n o A p ^en d ice C ). A s cu rva s fo ra m o b tid a s to m a n d o -se u m esta d o in icia l d esm a g n etiza d o p a ra H = 0 .

F ig u ra 2 .4 : C u rvas de histerese de u m a part¶³cu la an tiferrom agn ¶etica, obtidas atrav¶es de sim u la»c~oes de M on te C arlo n as tem peratu ras (a ) T = 0 ;0 5 J = k , (b) T = 0 ;2 0 J = kB B e (c)

T = 2 ;0 J = k . A ¯ m de m elhor visu alizar os diferen tes com portam en tos das cu rvas n osB

arredores de H = 0 , apen as u m a pequ en a parte da cu rva de histerese ¶e m ostrada.

A p a rtir d esse esta d o , o ca m p o m a g n ¶etico so b re a p a rt¶³cu la ¶e a u m en ta d o em p a sso s co n s-ta n tes, ± H = 0 ;0 5 J , leva n d o -a a o ess-ta d o sa tu ra d o . P a rtin d o -se d e u m ess-ta d o to s-ta lm en te sa tu ra d o , o ca m p o m a g n ¶etico ¶e d im in u¶³d o (ta m b ¶em em p a sso s co n sta n tes ± H = ¡ 0 ;05J ), a t¶e q u e seja a tin g id o o esta d o d e sa tu ra »c~a o n eg a tiva . N essa s ¯ g u ra s m o stra m o s a p en a s a s cu rva s t¶³p ica s o b tid a s a b a ix o (a ), n a s v izin h a n »ca s (b) e a cim a (c) d a tem p era tu ra cr¶³tica ca lcu la d a s a trav ¶es d e ca d a u m d o s m ¶eto d o s. A s cu rva s o b tid a s em tem p era tu ra s a b a ix o

-0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 (a ) m -0,4 -0,2 0 ,0 0,2 0,4 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 H (c) m -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 m (b )

Referências

Documentos relacionados

O aprofundamento que intentamos realizar nas tramas das telenovelas brasileiras co m representação homossexual tem como objetivo descobrir os mecanismos simbólicos intrínsecos

No período de 1974 a 1978, os dados obtidos pelos órgãos já citados acima na bacia do rio Ivaí foram avaliados e serviram de base para determinação de taxas de erosão em área do

Um novo estado de direito fundado no pluralismo, para vencer as injustiças consagradas pela redutiva igualação e elitização de direitos e refigurar esse padrão de sujeito de

Você acha que o exame influenciou os conteúdos abordados em sala de aula (isto é, o que você ensina)?. Justifique

Esse trabalho mostra uma forma de utilizar estruturas representativas chamadas AABBs e OBBs (Axis Aligned Bounding Boxes e Oriented Aligned Bounding Boxes, respectivamente) e

Esta cobertura garante ao(s) Beneficiário(s), durante o período de cobertura, o pagamento do Capital Segurado Líquido em caso de morte do Segurado seja natural,

alvo utilizando exemplos mais próximos do cotidiano deles que tenham relação com a participação política (exemplo: &#34;Quando você está no meio de uma partida de

No esquema da figura 4 identificámos algumas das possibilidades da explora- ção dos blogues enquanto recurso pedagógico, uma abordagem normalmente mais centrada no blogue