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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. Rui de Andrade Lima. A UTILIZAÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EM ABERTO NO ENSINO MÉDIO. RECIFE 2018.

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(3) UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. Rui de Andrade Lima. A UTILIZAÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS EM ABERTO NO ENSINO MÉDIO. Dissertação de mestrado apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal Rural de Pernambuco como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.. Orientador: Prof. Dr. Marcelo Pedro dos Santos. RECIFE 2018.

(4) Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) Sistema Integrado de Bibliotecas da UFRPE Biblioteca Central, Recife-PE, Brasil. L732u. Lima, Rui de Andrade. A utilização de problemas matemáticos em aberto no ensino médio / Rui de Andrade Lima. – Recife, 2018. 182 f.: il. Orientador: Marcelo Pedro dos Santos. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal Rural de Pernambuco, Programa de Pós-Graduação em Profissional em Matemática em Rede Nacional, Recife, BR-PE, 2018. Inclui referências. 1. Problemas em aberto 2. Teoria dos Números 3. Números primos 4. Combinatória 5. Geometria I. Santos, Marcelo Pedro dos, orient. II. Título CDD 510.

(5) RUI DE ANDRADE LIMA. A Utilização de Problemas Matemáticos em Aberto no Ensino Médio. Trabalho apresentado ao Programa de Mestrado Profissional em Matemática – PROFMAT do Departamento de Matemática da UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Matemática.. Aprovado em ____ /____/_____. BANCA EXAMINADORA. _____________________________________ Prof. Dr. Marcelo Pedro dos Santos (Orientador) – UFRPE. _____________________________________ Prof. Dr. Ernani Martins dos Santos – UPE. _____________________________________ Prof. Dr. Adriano Regis Melo Rodrigues da Silva – PROFMAT/UFRPE.

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(7) AGRADECIMENTOS A Deus pelo dom da vida. Aos meus pais pela formação humana. À Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE) e à Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) pela oportunidade de voltar a estudar. Aos colégios que fui ou sou professor pela formação profissional. A minha esposa Kellen pela compreensão, companheirismo e incentivo. As minhas filhas Clarinha e Lulu por se privarem de momentos familiares para a conclusão deste trabalho. Às pessoas que fizeram a diferença em minha vida pessoal e são responsáveis por essa conquista de alguma forma e não poderia deixar de agradecê-las. Então, agradeço pelo apoio e incentivo nas dificuldades ao meu irmão Ivan, aos meus tios e padrinhos Jairo e Valdecira, a minha tia Aita, aos amigos irmãos João Lins e Dani Viana, ao amigo Paulo André Rabelo e ao companheiro Gildo Passos (in memorian). Aos professores de matemática André Costa, Celso Mendonça, Cláudio Thor, Eduardo Belo, Guilherme Neves, Raul Duarte, Tiago Guimarães e Valdemar Santos pela parceria profissional e ao amigo matemático Josué Macário por me confiar seus materiais e pelas discussões de questões a distância. A todos os professores do mestrado Profmat da UFRPE, em especial ao professor e orientador Marcelo Pedro e a coordenadora professora Bárbara pela dedicação e disponibilidade. A todos os colegas do Profmat, em especial ao amigo Gustavo Duarte parceiro de estudos. A todos os alunos que tive, pois são a principal razão da produção desse trabalho..

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(9) Dedico às minhas filhas, Clarinha e Lulu, por serem a razão do meu viver..

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(11) "Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina." Cora Coralina.

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(13) DECLARAÇÃO. Eu, Rui de Andrade Lima declaro, para devidos fins e efeitos, que a dissertação sob título A Utilização de Problemas Matemáticos em Aberto no Ensino Médio, entregue como Trabalho de Conclusão de curso para obtenção do título de mestre, com exceção das citações diretas e indiretas claramente indicadas e referenciadas, é um trabalho original. Eu estou consciente que a utilização de material de terceiros incluindo uso de paráfrase sem a devida indicação das fontes será considerado plágio, e estará sujeito à processo administrativos da Universidade Federal Rural de Pernambuco e sanções legais. Declaro ainda que respeitei todos os requisitos dos direitos de autor e isento a Pós-graduação PROFMAT/UFRPE, bem como o professor orientador Marcelo Pedro dos Santos, de qualquer ônus ou responsabilidade sobre a sua autoria. . Recife, 14 de abril de 2018. Assinatura: _______________________________________________.

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(15) RESUMO Em matemática um problema em aberto é uma questão não resolvida. Esse trabalho visa apontar a importância da utilização de problemas matemáticos em aberto no ensino médio, quebrando a concepção de estudantes deste nível escolar de que todos os problemas matemáticos têm solução. A utilização de problemas em aberto incentiva o uso de atividades investigativas fundamentais para a construção do conhecimento, mas está ausente no ambiente escolar, acarretando prejuízos na formação dos estudantes. Assim, realizamos uma pesquisa de problemas matemáticos em aberto acessíveis ao estudante do ensino médio com desenvolvimento de conteúdos necessários à compreensão dos problemas pesquisados, abrangendo a Teoria dos Números com o Princípio da Indução Matemática e vários resultados sobre números primos, a Análise Combinatória com tópicos sobre Superpermutações mínimas, quadrados mágicos, diagramas e jogos e a Geometria com problemas de encontrar pontos com distâncias racionais aos vértices de um polígono regular, o problema de Fagnano e problemas de empacotamento. O trabalho apresenta três sugestões de atividades que relacionam conteúdos matemáticos do ensino médio com problemas em aberto, para professores utilizarem em sala de aula. A primeira atividade propõe inserir o Princípio da Indução Matemática no ensino médio através da busca de uma expressão para o número de diagonais de um polígono convexo e de problemas relacionados à sequência de Fibonacci, a segunda atividade trabalha as propriedades das progressões aritméticas através de quadrados mágicos e a terceira atividade aplica conceitos de geometria a um problema de empacotamento. A pesquisa apresenta uma seleção de questões que citam problemas matemáticos em aberto que pode servir como fonte de consulta para professores ou como lista de exercícios para o aluno que quer se aprofundar em matemática. Palavras-chave: Problemas em aberto. Teoria dos Números. Números primos. Combinatória. Geometria..

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(17) ABSTRACT In math an open problem is an unresolved question. This research aims to show out the importance of using open problems in teaching mathematics to high school students, breaking the conception of students of this school level that all mathematical problems have a solution. The use of open problems encourages the use of investigative activities that are fundamental for the construction of knowledge, but it is absent in the school environment, causing losses in the training of students. Thus, we performed a research of open mathematical problems accessible to the high school student with the development of contents necessary to understand the problems researched, including Number Theory with the Principle of Mathematical Induction and several results on prime numbers, Combinatorial Analysis with topics on minimal superpermutations, magic squares, diagrams and games, and Geometry with problems of finding points with rational distances to the vertices of a regular polygon, the Fagnano’s problem and packaging problems. The present study presents three suggestions of activities that relate mathematic contents of high school with open problems for teachers to use in the classroom. The first activity proposes to insert the Principle of Mathematical Induction in high school through the search for an expression for the number of diagonals of a convex polygon and problems related to the Fibonacci sequence, the second activity works the properties of arithmetic progressions through magic squares and the third activity applies geometry concepts to a packaging problem. The research presents a selection of questions that cite open mathematical problems that can serve as a source of inquiry for teachers or as a list of exercises for the student who wants to delve into math. Keywords: Open problems. Number Theory. Prime numbers. Combinatory. Geometry..

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(19) LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 – Órbita do número 3 na conjectura de Collatz Figura 2 – Espiral de Ulam. . . . . . . . . . . . . . . 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. Figura 3 – Números primos na espiral de Ulam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. Figura 4 – Espiral de Ulam 200x200 com primos na cor preta . . . . . . . . . . . . 48 Figura 5 – Espiral de Ulam centrada no número 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Figura 6 – Números de Fibonacci no triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . 73 Figura 7 – Quadrado mágico de ordem 3 com k = 36 . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Figura 8 – Quadrado mágico de ordem 3 com k = 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Figura 9 – Quadrado mágico de ordem 3 genérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Figura 10 – Cantos do quadrado mágico de ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Figura 11 – Quadrado mágico de ordem 3 numerado de 1 a 9 . . . . . . . . . . . . 77 Figura 12 – Quadrado mágico de Euler de quadrados perfeitos de ordem 4 . . . . . 78 Figura 13 – Quadrado de quadrados perfeitos de Lee Sallows de ordem 3 . . . . . . 78 Figura 14 – Quadrado mágico de Euler de ordem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Figura 15 – Quadrado mágico de números primos de Sayles . . . . . . . . . . . . . 79 Figura 16 – Quadrado mágico de ordem 3 de números em PA . . . . . . . . . . . . 79 Figura 17 – Quadrado mágico de ordem 3 de números primos em PA . . . . . . . . 79 Figura 18 – Diagrama de Venn para 3 conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Figura 19 – Diagramas de Venn para 2 conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Figura 20 – Falsa representação para 4 conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Figura 21 – Região convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Figura 22 – Diagramas de Venn para 4, 5 ou 6 conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . 83 Figura 23 – Diagramas de Venn para 4 conjuntos com triângulos . . . . . . . . . . 83 Figura 24 – Diagramas de Venn para 6 conjuntos com triângulos . . . . . . . . . . 84 Figura 25 – Torre de Hanoi de 3 pinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Figura 26 – Torre de Hanoi de 3 pinos - movimento 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Figura 27 – Torre de Hanoi de 3 pinos - movimento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Figura 28 – Torre de Hanoi de 3 pinos - movimento 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Figura 29 – Torre de Hanoi de 4 pinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 30 – Torre de Hanoi de 4 pinos - movimento 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 31 – Torre de Hanoi de 4 pinos - movimento 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 32 – Torre de Hanoi de 4 pinos - movimento 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 33 – Cubos de Langford com 3 pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Figura 34 – Cubos de Langford com 4 pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88.

(20) Figura 35 – Soluções do problema das 8 rainhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Figura 36 – Classificação de um triângulo quanto aos ângulos . . . . . . . . . . . . 98 Figura 37 – Ponto médio de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Figura 38 – Retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Figura 39 – Cevianas do vértice C de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Figura 40 – Mediana de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Figura 41 – Altura de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Figura 42 – Bissetriz interna de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Figura 43 – Triângulo retângulo com lados a, b e c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. Figura 44 – Demonstração do teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Figura 45 – A fórmula de Herão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Figura 46 – A lei dos cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Figura 47 – Relação de Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Figura 48 – Triângulo com lados divididos na mesma razão k . . . . . . . . . . . . 110 Figura 49 – Medida de uma mediana de um triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Figura 50 – O problema de Fagnano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Figura 51 – Parte 1 da resolução da problema de Fagnano . . . . . . . . . . . . . . 112 Figura 52 – Parte 2 da resolução da problema de Fagnano . . . . . . . . . . . . . . 113 Figura 53 – Reflexão de uma partícula num bilhar triangular . . . . . . . . . . . . . 113 Figura 54 – Ponto no interior de um triângulo equilátero . . . . . . . . . . . . . . . 114 Figura 55 – Ponto no interior de um triângulo equilátero - Resolução . . . . . . . . 115 Figura 56 – Ponto no interior do triângulo equilátero de lado 112 . . . . . . . . . . 116 Figura 57 – Ponto no interior de um quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Figura 58 – Quadrado de lado n num sistema cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . 117 Figura 59 – Tijolo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Figura 60 – Empacotamento com 3 círculos na forma linear . . . . . . . . . . . . . 120 Figura 61 – Empacotamento com 3 círculos na forma triangular . . . . . . . . . . . 121 Figura 62 – Empacotamento com 4 círculos na forma linear . . . . . . . . . . . . . 121 Figura 63 – Empacotamento com 4 círculos na forma quadrada . . . . . . . . . . . 122 Figura 64 – Empacotamento com 4 círculos na forma de losango . . . . . . . . . . . 122 Figura 65 – Empacotamento do plano com círculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Figura 66 – Triângulo equilátero empacotando de 1 a 15 círculos. . . . . . . . . . . 124. Figura 67 – Ladrilhamento do plano com polígonos regulares . . . . . . . . . . . . . 125 Figura 68 – Empacotamento do plano com heptágono regulares . . . . . . . . . . . 126 Figura 69 – Embalagem para 7 círculos na forma linear . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Figura 70 – Embalagem para 7 círculos na forma hexagonal . . . . . . . . . . . . . 127 Figura 71 – Embalagem de 7 esferas na forma linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Figura 72 – Embalagem de 7 esferas na forma hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . 128 Figura 73 – Arranjo cúbico de face centrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129.

(21) Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura. 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83. – Parte de um arranjo cúbico de face centrada . . . . . . . . . – Arranjo hexagonal compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Quatro esferas tangentes duas a duas . . . . . . . . . . . . . – Poliedros regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Preenchimento espacial com cubos . . . . . . . . . . . . . . – Tetraedro regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Combinação de 5 tetraedros regulares . . . . . . . . . . . . . – Preenchimento espacial com tetraedros e octaedros regulares – Problema do número de formas de beijar . . . . . . . . . . . – Quadratura de um quadrado de lado 112 . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. 129 130 130 131 131 132 133 133 134 135. Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura Figura. 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98. – Polígonos com 3, 4, 5, 6 ou 7 lados . . . . . . . . . . . . . – Polígonos com k + 1 lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . – Torre de Hanoi com 1 disco . . . . . . . . . . . . . . . . . – Torre de Hanoi com k + 1 discos . . . . . . . . . . . . . . – Torre de Hanoi restrita - movimento 1 . . . . . . . . . . . – Torre de Hanoi restrita - movimento 2 . . . . . . . . . . . – Torre de Hanoi restrita - movimento 3 . . . . . . . . . . . – Torre de Hanoi restrita - movimento 4 . . . . . . . . . . . – Torre de Hanoi restrita - movimento 5 . . . . . . . . . . . – Diagonais de uma matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . – Quadrado mágico de ordem 3 numerado de 1 a 9 . . . . . – Quadrado mágico de ordem 3 numerado de a+1 a a+9 . . – Quadrado mágico de ordem 3 numerado de r a 9r . . . . . – Quadrado mágico de ordem 3 numerado de a + r a a + 9r – Quadrados mágicos pitagóricos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 138 139 140 140 140 141 141 141 141 149 149 150 150 151 152. . . . . . . . . . . . . . . ..

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(23) LISTA DE TABELAS Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela Tabela. 1 2 3 4 5 6 7 8. – – – – – – – –. Período de Pisano . . . . . . . . . . . . Sucessor do produto de números primos Conjectura de Goldbach . . . . . . . . . Conjectura fraca de Goldbach . . . . . . Conjecturas forte e fraca de Goldbach . Números perfeitos . . . . . . . . . . . . Conjectura de Lemoine . . . . . . . . . . Conjectura de Beal . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 28 35 49 49 50 59 62 63. Tabela 9 – Comprimento das superpermutações míninas . . . . . . . . . . . . . . 69 Tabela 10 – Arranjos de Langford para 7 pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Tabela 11 – Triplas pitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Tabela 12 – Número de diagonais de um polígono convexo . . . . . . . . . . . . . . 138 Tabela 13 – Quadrado mágico de ordem 4 com números em P A . . . . . . . . . . . 151.

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(25) LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS BBC. Emissora pública de rádio e televisão do Reino Unido. Enem. Exame Nacional do Ensino Médio. OBF. Olimpíada Brasileira de Física. OBM. Olimpíada Brasileira de Matemática. OBMEP. Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. OPEMAT. Olimpíada Pernambucana de Matemática. OPM. Olimpíada Paulista de Matemática. Profmat. Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional. PUCPR. Pontifícia Universidade Católica do Paraná. SBM. Sociedade Brasileira de Matemática. UEL. Universidade Estadual de Londrina. UFG. Universidade Federal de Goiás. UFPE. Universidade Federal de Pernambuco. UFRPE. Universidade Federal Rural de Pernambuco. UFTM. Universidade Federal do Triângulo Mineiro. UNB. Universidade de Brasília. UNESP. Universidade Estadual Paulista. Unicamp. Universidade Estadual de Campinas. UPE. Universidade de Pernambuco.

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(27) LISTA DE SÍMBOLOS œ. Pertence. œ /. Não pertence. µ. Está contido. =. Igual. ”=. Diferente. ¥. Aproximadamente. >. Maior. <. Menor. Ø. Maior ou igual. Æ Ô. Menor ou igual. x Ô n x. Raiz quadrada de x. INú. Conjunto dos números naturais não-nulos. ’. Qualquer que seja. ﬁ. União. ﬂ. Interseção. |x|. Módulo ou valor absoluto de x. ∆. Implica. ≈. Recíproca. (x, y). Ponto do plano cartesiano com coordenadas x e y. Raiz n-ésima de x. sen(x). ‚ Ângulo ABC. cos(x). Cosseno do ângulo x. ABC ”. Seno do ângulo x. Como queríamos demonstrar.

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(29) SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2 PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. 25. 2.1. A Caracterização dos Números Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1. 2.2. . . . .. Princípio de Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. Os Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1. O Teorema Fundamental da Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . 31. 2.2.2. O crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. 2.2.3. A infinitude dos números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 2.3. Números Primos em Progressão Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36. 2.4. Números Primos Gêmeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40. 2.5. Fórmulas que Geram Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 2.6. A Espiral de Ulam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. 2.7. A Conjectura de Goldbach 2.7.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. Outros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50. 2.8. Primos Palíndromos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 2.9. Números Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 2.10 Os Números Primos de Sophie Germain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.11 Outros Problemas em Aberto sobre Números Primos . . . . . . . . . . . . 60 3 PROBLEMAS EM ABERTO DE COMBINATÓRIA. . . . . . . . . .. 65. 3.1. O Problema da Superpermutação Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65. 3.2. Números Binomiais e o Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 69. 3.3. Quadrados Mágicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74. 3.4. 3.3.1. Quadrados mágicos de quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . . . 77. 3.3.2. Quadrados mágicos de números primos . . . . . . . . . . . . . . . . 79. Operações entre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4.1. O Diagrama de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81. 3.5. A Torre de Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85. 3.6. Os Cubos de Langford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88. 3.7. O Problema das Rainhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91. 3.8. As Frações Egípcias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. 3.9. A Sequência de Kolakoski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94. 4 PROBLEMAS EM ABERTO DE GEOMETRIA . . . . . . . . . . . . 4.1. 97. Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.

(30) 4.2 4.3 4.4 4.5. 4.6. A Fórmula de Herão . . . . . . . . . . . . . . . Pontos com Distâncias Racionais aos Vértices de O Tijolo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de Empacotamento . . . . . . . . . . 4.5.1 O empacotamento de círculos . . . . . . 4.5.2 A Conjectura da Salsicha . . . . . . . . . 4.5.3 O empacotamento de esferas . . . . . . . 4.5.4 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . Divisão do Quadrado . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . um Polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5 APLICAÇÕES EM SALA DE AULA . . . . . . . . . 5.1 Princípio da Indução Matemática . . . . . . . . . . . . 5.2 Quadrados Mágicos e Progressões Aritméticas . . . . . 5.3 Empacotamento de Latas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Questões que Citam Problemas em Aberto . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. 106 114 119 120 120 126 128 131 135. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . 137 . . 137 . . 147 . . 156 . . 162. 6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 REFERÊNCIAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177.

(31) 21. 1 INTRODUÇÃO O objetivo deste trabalho é apontar a importância da utilização de problemas matemáticos em aberto no ensino médio, quebrando a concepção de alunos dos ensinos básico e médio de que todos os problemas matemáticos têm solução, desenvolvendo no aluno o poder de duvidar, fundamental na formação do pensamento crítico, promovendo a investigação matemática e aproximando a matemática ensinada nas escolas de ensino médio das pesquisas feitas nos centros universitários. Sobre a importância da pesquisa matemática D’Ambrosio destaca que: Assim como no processo de construção da Matemática como disciplina, a essência do processo é a pesquisa, na construção do conhecimento para cada aluno, a essência do processo tem que ser a pesquisa. Dificilmente o aluno de Matemática testemunha a ação do verdadeiro matemático no processo de identificação e solução de problemas. O professor faz questão de preparar todos os problemas a serem apresentados com antecedência; consequentemente, o legítimo ato de pensar matematicamente é escondido do aluno, e o único a conhecer a dinâmica desse processo continua sendo o professor. O professor, com isso, guarda para si a emoção da descoberta de uma solução fascinante, da descoberta de um caminho produtivo, das frustrações inerentes ao problema considerado e de como um matemático toma decisões que facilitam a solução do problema proposto. O que o aluno testemunha é uma solução bonita, eficiente, sem obstáculos e sem dúvidas, dando-lhe a impressão de que ele também conseguirá resolver problemas matemáticos com tal elegância. (D’AMBROSIO, 1993, p. 36).. Definição 1: Um problema matemático em aberto é uma questão não resolvida, ou seja, uma questão em que a solução não foi encontrada ou não se provou que a questão não tem solução. Os problemas em aberto podem despertar o interesse do aluno pela investigação matemática, pois existem problemas que são fáceis de enunciar, mas cujas soluções ainda não foram encontradas e que despertam um fascínio especial. Um problema desse tipo é a conjectura de Collatz (1910-1990) ou Problema 3n + 1 cujo enunciado é: Problema em Aberto 1 (Conjectura de Collatz): Dado um número natural, n, e a sequência que segue a seguinte lei de formação: Y ]. n ; 2 [ ii) se n f or ímpar, o próximo termo será igual a 3n + 1. i) se n f or par, o próximo termo na sequência será. Esta sequência termina sempre em 1?.

(32) 22. Capítulo 1. INTRODUÇÃO. Por exemplo, começando com o número 3, obtém-se: 3 æ 10 æ 5 æ 16 æ 8 æ 4 æ 2 æ 1 Definição 2: Chama-se de órbita do número n a sequência de números gerada através deste processo até chegar a 1. Figura 1 – Órbita do número 3 na conjectura de Collatz. Fonte: Elaborada pelo autor A conjectura de Collatz é um problema matemático em aberto com enunciado acessível ao estudante da educação básica e já testado para milhares de números com uso de supercomputadores sempre terminando em 1, mas matematicamente ainda não foi provado. Acredita-se que a solução da conjectura de Collatz abrirá novos caminhos para a matemática e o seu poder em motivar alunos à pesquisa matemática pode ser constatado nas palavras do matemático Derek Jennings outra razão é que, por ser fácil de apresentar e entender, tem potencial de atrair jovens para a matemática. Eu mesmo soube de sua existência no ensino médio e não resisti ao seu encanto (BBC BRASIL, 2016).. Para uma abordagem mais completa da Conjectura de Collatz o leitor pode consultar o trabalho The 3n+1 conjecture de Laarhoven (2009)..

(33) 23. O uso de problemas em aberto no ensino da matemática é fundamental para criar um ambiente interativo entre o aluno e o professor e proporcionar o aprendizado através da investigação, permitindo a construção de um conhecimento mais sólido. Assim, é contraditório o professor de matemática não apresentar problemas em aberto aos seus alunos, como destaca Sacristán Penso que o mais importante é a dicotomia entre as atividades de ensinar e aprender, introduzida artificialmente por uma prática escolar inadequada. O pesquisador /professor aprende principalmente investigando, mas, no momento em que entra na sala de aula, esquece que o estudante, para aprender, precisa investigar. Assim separa as duas atividades, pois não percebeu que são interligadas, ou por que não se interessa em aprender a utilizar métodos adequados para conectá-las. Outros motivos também se fazem presentes, como a ideia de que a investigação é reservada a um grupo especial de pessoas, assim como a ideia de que a descoberta só é importante quando alguém a faz pela primeira vez conforme os registros acadêmicos. Ocorre também, por parte dos professores, o receio de se depararem, durante a aula, com problemas cuja resposta não conhecem de imediato. Com essa concepção se perde a motivação pedagógica da descoberta e se reduz o ensino à transmissão do produto histórico da investigação, perdendo-se o valor da compreensão do processo de produção desse conhecimento (SACRISTÁN, 1998, p. 60).. A matemática não pode ser entendida ou apresentada ao aluno como uma disciplina que já está pronta e deve ser aprendida e estudada, desqualificando-a como ciência e sim mostrar o seu caráter investigativo para solidificar o conhecimento. Neste sentido, Siegel e Borasi (1994, p. 205) indicam algumas consequências do conhecimento através da investigação: o conhecimento matemático é falível; o conhecimento matemático é criado através de um processo não-linear no qual a geração de hipóteses tem um papel chave; a produção do conhecimento matemático é um processo social que ocorre com a comunidade de prática; e o valor verdadeiro do conhecimento matemático é construído através de práticas retóricas.. Percebemos, então, que o uso de problemas em aberto valoriza a construção do conhecimento promovendo a investigação que possibilita ao aluno aprender matemática numa dinâmica que permita reflexões e descobertas. Apesar do uso de atividades investigativas se mostrar fundamental para o aprendizado em matemática, está ausente no cotidiano escolar da educação básica, o que não acontece no ensino superior com os projetos de iniciação científica que incentivam os estudantes de graduação à pesquisa. Assim, o propósito deste trabalho se concentra na investigação de problemas matemáticos em aberto e na formulação de estratégias para apresentá-los aos alunos do ensino médio..

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(35) 25. 2 PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS Neste capítulo, discutiremos sobre a Teoria dos Números e, especificamente, sobre os números primos, apresentando problemas em aberto com enunciados de fácil compreensão para um estudante do ensino médio. Alguns termos básicos foram suprimidos por serem usuais aos estudantes deste nível, e para uma abordagem completa o leitor pode consultar o livro Aritmética de Hefez (2016). Os números primos guardam muitos segredos e mistérios que podem estimular o estudante da educação básica a refletir sobre a Teoria dos Números e suas aplicações, estimulando o pensamento crítico e a construção de ideias que fomentem a pesquisa e, consequentemente, estimule o aluno a aprender matemática, como destaca Abramo Hefez Esses números desempenham papel fundamental e a eles estão associados muitos problemas famosos cujas soluções têm resistido aos esforços de várias gerações de matemáticos (HEFEZ, 2016, p.122). Existem problemas aparentemente simples e fundamentais sobre os números primos que têm permanecido sem resposta como as conjecturas de Goldbach e a dos Primos Gêmeos. Por isso, os alunos e professores de matemática da educação básica não podem deixar de lado o conhecimento sobre estes problemas.. 2.1. A Caracterização dos Números Naturais. Nesta seção, tendo como referência a abordagem de Lima et al. (1997, p. 29-31), iremos mostrar a construção dos números naturais IN, de forma axiomática, ou seja, a partir de uma lista de fatos descritos como axiomas podem ser deduzidos teoremas. A origem e o conceito de número ocorreram simultaneamente com o nascimento e desenvolvimento da matemática e foram as exigências matemáticas e as necessidades do ser humano que alavancaram o desenvolvimento deste conceito. No desenvolvimento deste trabalho iremos considerar IN = {1, 2, 3, 4, 5,...} o conjunto dos números naturais e ZZ = {...,-2,-1,0,1,2,...} o conjunto dos números inteiros formado pelos naturais, seus opostos negativos e o zero. Os números naturais 1, 2, 3, 4, 5, ... surgiram como uma escala padrão que nos permite a operação de contagem e a sua totalidade o conjunto dos números naturais IN = { 1, 2, 3, 4, 5,. . . } foi formalizada por Giussepe Peano (1858-1932) a partir dos seguintes axiomas:.

(36) 26. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. i. Todo número natural tem um único sucessor; ii. Números naturais diferentes têm sucessores diferentes; iii. Existe um único natural chamado de um e denotado por 1, que não é sucessor de nenhum número natural; iv. Seja X é um conjunto de números naturais. Se 1 é elemento de X e o sucessor de todo elemento de X é elemento de X, então X= IN. Os fatos acima são conhecidos como Axiomas de Peano. O axioma iv), chamado de axioma da indução, serve como método de demonstração para proposições referentes aos números naturais como veremos a seguir:. 2.1.1. Princípio de Indução Matemática. A abordagem desta subseção pode ser encontrada em notas de Indução matemática de Hefez (2009). Definição 3: Uma sentença matemática P (n) que dependa de uma variável natural n é dita aberta sobre o conjunto dos naturais se possui valor lógico verdadeiro ou falso quando substituímos n por um número natural dado qualquer. Por exemplo, considere P (n): n é par, temos P (1) é falsa, pois 1 é ímpar e P (2) é verdadeira, visto que 2 é par. O axioma de indução pode ser enunciado usando uma sentença matemática aberta da seguinte maneira: Princípio de Indução Matemática: Seja P (n) uma sentença aberta sobre IN. Suponha que i. P (a) é verdadeira para algum a natural; e ii. qualquer que seja k natural, k Ø a, sempre que P (k) é verdadeira, segue que P (k + 1) é verdadeira. Então, P (n) é verdadeira para todo n natural maior ou igual a a. Como ilustração, observemos o seguinte exemplo: Exemplo 1: Vamos mostrar que a soma Sn = 1 + 2 + 3 + · · · + n dos n primeiros números naturais é dada por Sn =. n(n + 1) . 2.

(37) 27. 2.1. A Caracterização dos Números Naturais. Considerando a sentença P (n): 1 + 2 + · · · + n = rais, note que P (1) é verdadeira, pois 1 = P (k) é verdadeira, ou seja,. n(n + 1) sobre os números natu2. 1 · (1 + 1) . Supondo que, para algum k natural, 2. k(k + 1) “somando k + 1 a ambos os membros” 2 k(k + 1) 1 + 2 + ··· + k + k + 1 = +k+1 2 k 1 + 2 + · · · + k + k + 1 = (k + 1)( + 1) 2 (k + 1)(k + 2) (k + 1)[(k + 1) + 1] 1 + 2 + ··· + k + k + 1 = = 2 2 1 + 2 + ··· + k =. A última igualdade mostra que P (k + 1) é verdadeira. Assim, P (n) é verdadeira para todo natural n. Em determinadas situações, ao fazer uma demonstração por indução, na passagem de k para k + 1, sente-se a necessidade de admitir que a proposição é válida não apenas para k mas para todos os números naturais menores ou iguais a k. A justificativa de um raciocínio deste tipo se encontra no Segundo Princípio da Indução Matemática, conforme é apresentado a seguir: Segundo Princípio de Indução Matemática: Seja P (n) uma sentença aberta sobre IN. Suponha que i. P (a) é verdadeira para algum a natural; e ii. qualquer que seja k natural, k Ø a, P (a) e P (a+1) e . . . e P (k) ∆ P (k +1) é verdadeira. Então, P (n) é verdadeira para todo n natural maior ou igual a a. Uma aplicação do segundo Princípio da Indução Matemática é provar que na sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .), conhecida como a sequência de Fibonacci (1170-1250), 1 2n qualquer termo na posição n é menor que 74 , para qualquer n natural. Na sequência de Fibonacci os dois primeiros termos são iguais a 1 e cada termo, a partir do terceiro, é soma dos dois imediatamente anteriores. Assim, podemos defini-la, recursivamente, da seguinte maneira: Seja Fn uma sequência de números naturais tal que Y ] [. F1 = F2 = 1 Fn = Fn≠2 + Fn≠1 , se n natural e n > 2.

(38) 28. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. Considerando a proposição P (n) : Fn < ( 74 )n sobre os números naturais n, observe que P (1) e P (2) são verdadeiras, pois F1 = 1 < 47 e F2 = 1 < ( 74 )2 . Seja n > 2, vamos supor que P (i) : Fi < ( 74 )i é verdadeira para todo natural i tal que 1 Æ i Æ k. Assim, Fk+1 = Fk≠1 + Fk < ( 74 )(k≠1) + ( 74 )k = ( 74 )k · ( 74 )≠1 + ( 74 )k = ( 74 )k · ( 47 + 1) < ( 74 )k · 74 = ( 74 )k+1 .. Em outras palavras, mostramos que se a proposição P (i) é válida para todos os valores naturais menores ou iguais a k, então P (k + 1) é válida. Logo, pelo Segundo Princípio da Indução Matemática, a proposição P (n) é válida para todo natural n. Considerando a sequência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, . . . e encontrando os restos da divisão dos termos desta sequência por 2, obtemos uma sequência que se repete a cada três termos, ou seja, periódica de período 3 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . . O período desta sequência é chamado de período de Pisano. Se encontrarmos os restos da divisão dos termos da sequência de Fibonacci por 3, encontramos a sequência 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, . . . que tem período de Pisano 8. Em geral, o período de Pisano é o período que a sequência dos restos das divisões dos termos da sequência de Fibonacci por um natural n com o qual se repete. Tabela 1 – Período de Pisano. n parte periódica período de Pisano 1 0 1 2 011 3 3 01120221 8 4 011231 6 5 01123033140443202241 20 6 011235213415055431453251 24 Fonte: elaborada pelo autor. Apesar de trabalhoso, não é difícil encontrar a sequência dos restos das divisões dos termos da sequência de Fibonacci por n, mas, sobre o Período de Pisano, a seguinte questão encontra-se não resolvida: Problema em Aberto 2: Encontrar uma fórmula geral para o período de Pisano em termos de n. Resultados parciais deste problema podem ser encontrados no trabalho The Fibonacci Sequence Under Various Moduli de Renault (1996, p. 17-34)..

(39) 29. 2.2. Os Números Primos. 2.2. Os Números Primos. Nesta seção, trabalharemos com os números primos, conceituando-os e provando a sua infinitude. Algumas definições, teoremas e demonstrações foram extraídos do livro Elementos de Aritmética de Hefez (2006). Entre os números naturais existem números que funcionam como blocos básicos que permitem a construção de todos os números naturais maiores que 1 pela multiplicação, ou seja, existem números primitivos que não podem ser gerados pela multiplicação de outros números, como 2, 3 e 5 e outros números secundários gerados a partir da multiplicação de números primitivos, como o 6 = 2 · 3 e o 10 = 2 · 5. Os números primos são conhecidos pela humanidade há muito tempo e sobre os primeiros trabalhos com estes números Jucimar Peruzzo menciona Há indícios de que também no antigo Egito já se tinha algum conhecimento sobre este tipo de números. No entanto, os registros mais antigos de um estudo sobre números primos deve-se aos gregos (PERUZZO, 2008, p. 19).. Definição 4: Dados dois números inteiros a e b, com b ”= 0, diremos que b divide a, denotado por b | a, se existir k natural tal que a = kb. Nesse caso, diremos também que a é múltiplo de b ou b é divisor de a. Por exemplo, 4 é divisor de 20, pois 20 = 5 · 4. Teorema 1 (Divisão Euclidiana): Sejam a e b inteiros com b ”= 0. Existem dois únicos números inteiros q e r tais que a = bq + r, com 0 Æ r < |b|. A demonstração deste teorema pode ser encontrada no livro Elementos de Aritmética de Hefez (2006, p. 35-36). Por exemplo, o quociente e o resto da divisão de 17 por 3 são, respectivamente, 5 e 2, pois 17 = 3 · 5 + 2 e a divisão de -19 por 5 tem quociente -4 e resto 1, pois ≠19 = 5 · (≠4) + 1. Quando dividimos um número inteiro a por 2, temos a = 2k + r com k œ ZZ e r = 0 ou 1. • Se r = 0, então a = 2k e a é par; • Se r = 1, então a = 2k + 1 e a é ímpar. Classificar um número inteiro em par ou ímpar é classificá-lo quanto à paridade..

(40) 30. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. Definição 5: Um número natural d é dito divisor comum de a e b se d|a e d|b. Por exemplo, 4 é divisor comum de 12 e 32. Definição 6: O número natural d é o maior divisor comum (mdc) de a e b naturais, se possui as seguintes propriedades: i. d é divisor comum de a e b; e ii. se c é divisor comum de a e b, então c|d. Por exemplo, o mdc(12, 18) = 6. Para provar a existência do maior divisor comum entre dois números inteiros não-negativos, Euclides (330 a.C - 285 a.C.) utilizou o seguinte resultado: Lema 1 (Lema de Euclides para o mdc): Sejam a, b e n números inteiros. Se existe mdc(a, b ≠ an), então mdc(a, b) = mdc(a, b ≠ an).. Demonstração: Sendo d = mdc(a, b ≠ an), então d|a e d|(b ≠ an), mas b = b ≠ an + an, segue que d|b. Logo, d é divisor comum de a e b. Se existe c divisor comum de a e b, então c|a e c|(b ≠ an). Assim, c|d e d = mdc(a, b). Exemplo 2: Vamos calcular o mdc(162, 372). Pela divisão Euclidiana, 372 = 162 · 2 + 48 e pelo Lema de Euclides mdc(162, 372) = mdc(162, 372 ≠ 162 · 2) = mdc(162, 48).. Repetindo o mesmo procedimento, 162 = 48 · 3 + 18 e. mdc(162, 48) = mdc(162 ≠ 48 · 3, 48) = mdc(18, 48),. mais uma vez, 48 = 18 · 2 + 12 e. mdc(18, 48) = mdc(18, 48 ≠ 18 · 2) = mdc(18, 12) = 6.. O procedimento acima é conhecido como Algoritmo de Euclides, podendo ser sistematizado e repetido até encontrarmos uma divisão que deixe resto zero. Definição 7: Um número natural p maior que 1 é primo se possui como divisores apenas 1 e ele próprio, ou seja, 1 e p. Por exemplo, 5 é primo..

(41) 2.2. Os Números Primos. 31. Definição 8: Um número natural n maior que 1 que não é primo é dito composto e pode ser expresso como produto de dois naturais n1 e n2 tais que 1< n1 , n2 < n, ou seja, n = n1 n2 . Por exemplo, 12 é composto, pois 12 = 4 · 3. Definição 9: Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou co-primos se possuem apenas o número 1 como divisor comum. Por exemplo, 9 e 14. Note que segue da definição de máximo divisor comum que se os números naturais a e b são primos entre si, então mdc(a, b) = 1.. 2.2.1. O Teorema Fundamental da Aritmética. Nesta subseção, abordaremos um dos principais teoremas da Teoria dos Números que garante que um número natural maior que 1 pode ser escrito como produto de números primos. Por exemplo, 2100 é escrito de maneira única, a menos pela ordem dos fatores, como 22 · 31 · 52 · 71 . Lema 2 (Lema de Euclides): Sejam a, b, p números inteiros com p primo. Se p|ab, então p|a ou p|b. Corolário 1: Se p, p1 , p2 , . . . , pn são primos e, se p|p1 · p2 · . . . · pn , então p = pi para algum i = 1, 2, . . . , n. Demonstração: Usando indução, a proposição é verdadeira para n = 1, pois se p1 |p então p1 = p. Supondo que p|p1 · p2 · . . . · pk , então p = pi para algum i = 1, 2, . . . , k, mas se p|p1 · p2 · . . . · pk · pk+1 , então, pelo Lema de Euclides, p|p1 · p2 · . . . · pk ou p|pk+1 . Observe que se p|pk+1 , então p = pk+1 , e se p|p1 · p2 · . . . · pk , a hipótese de indução garante que p = pi para algum i = 1, 2, . . . , k. Teorema 2 (Teorema Fundamental da Aritmética) : Todo número natural maior que 1 ou é primo ou se escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como produto de números primos. Demonstração: Se n é primo não há o que provar, mas se n é composto vamos utilizar o Segundo Princípio de Indução Matemática. Considere P (n) a seguinte sentença aberta sobre os números naturais: P (n): n se escreve de modo único como produto de números primos.

(42) 32. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. Observe que P (2) é verdadeira, pois 2 é primo. Supondo que P (k) é verdadeira para todo natural 2 Æ k < n. Pelo fato de n ser composto, n = n1 .n2 com 2 Æn1 , n2 < n. Dessa forma, por hipótese de indução, temos que n1 e n2 podem ser escritos como produto de primos e, consequentemente, n também vai ser escrito como produto de primos. Para provar unicidade suponha, por absurdo, que n possa ser escrito de duas maneiras diferentes a menos da ordem de seus fatores, ou seja, n = p 1 · p 2 · . . . · p k e n = q1 · q2 · . . . · qt ,. com pi e qj números sendo i œ {1,2,. . . ,k} e j œ {1,2,. . . ,t}.. Observe que p1 é divisor de n = q1 · q2 · . . . · qt , pois n = p1 · p2 · . . . · pk , e dessa forma n = p1 · a com a natural. Assim, n = p1 · a = q1 · q2 . . . . · qt e p1 divide q1 .q2 · . . . · qt .. Como p1 é primo e todos os fatores qj também são primos, conclui-se que p1 = qj para algum j e podemos reordenar os qj de forma que p1 = q1 sem perda de generalidade. Segue que p1 · p2 · . . . · pk = p1 · q2 · . . . · qt e como p1 é não-nulo podemos simplificar a igualdade acima e obter p2 · . . . · pk = q2 · . . . · qt . Repetindo este procedimento, chegaremos a conclusão que k = t e após um rearranjo dos índices de qj , encontramos p1 = q1 , p2 = q2 , . . . , pk = qk , provando a unicidade. O Teorema Fundamental da Aritmética não recebe este nome por acaso, pois justifica a construção de todos os números naturais através dos números primos. Em 1801, Gauss escreveu um livro-texto avançado sobre teoria dos números, o Disquisitiones Arithmeticae. Entre tópicos de alto nível, ele ressaltou que não devemos perder de vista duas questões muito básicas: “O problema de distinguir os números primos dos números compostos e o de resolver os últimos em seus fatores primos é conhecido como um dos mais importantes e mais úteis em aritmética."(STEWART, 2014, p. 27).. Assim, dizemos que os números primos são aqueles que geram os demais a partir da operação de multiplicação e a representação única para todo e qualquer número natural abre diversas possibilidades de aplicação, como em criptografia que estuda métodos de se codificar e decodificar uma mensagem. A criptografia com números primos é bastante utilizada e se baseia na escolha de dois números primos grandes que são multiplicados gerando um produto que será um grande número composto. A mensagem, então, é convertida numa sequência de números por algum método convencional e a seguir é codificada por uma operação baseada nesse grande número, produto dos dois números primos. A mensagem só poderá ser decodificada por uma segunda operação matemática baseada no conhecimento dos dois números primos originais. Logo, se alguém conseguir fatorar o grande número gerado, terá a chave para decifrar a mensagem..

(43) 2.2. Os Números Primos. 33. A teoria da criptografia mostra que um sistema criptografado que utiliza números primos é tão mais seguro quanto maiores forem os números primos utilizados na sua estrutura, despertando uma busca por números primos grandes, inclusive há prêmios em dinheiro para quem descobrir primos muito grandes (LEMOS, 2010). Até hoje não se conhece uma maneira simples de encontrar números primos grandes. Essa questão tem motivado matemáticos e Eratóstenes (276 a.C a 196 a.C) criou um método para encontrar números primos que discutiremos na próxima subseção.. 2.2.2. O crivo de Eratóstenes. É um algoritmo simples que permite encontrar todos os primos possíveis até um determinado número natural que funciona da seguinte forma: 1. Verifica-se o maior valor a ser testado. Este valor corresponde a raiz quadrada de n, arredondado pra baixo; 2. Cria-se uma lista com os valores inteiros de 2 até n; 3. Encontra-se o primeiro elemento da lista, o número primo 2; 4. Removem-se da lista todos os múltiplos de 2 encontrados; 5. O próximo número da lista é primo; 6. Todos os números múltiplos desse número devem ser removidos da lista; 7. Os passos 5 e 6 são repetidos até que o próximo item da lista seja o maior valor Ô a ser testado n. Se o número n ainda estiver na lista ele é primo, caso contrário composto. Este algoritmo é eficiente mas muito lento, já que requer uma grande quantidade de passos para que o problema seja resolvido, e só convém aplicá-lo para valores pequenos de n. A ideia principal é dividir o número natural n, sucessivamente, pelos números primos Ô que não excedam a n e a razão de o maior valor a ser testado para um número natural Ô n não poder exceder n se deve ao fato de que n sendo composto, então n = bc com b e c naturais tais que 1 < b, c < n. Supondo que b Æ c, temos que b2 Æ bc, ou seja, b2 Æ n o Ô que implica em b < n. Exemplo 3: Vamos aplicar aplicar o crivo de Erastótenes para encontrar os números primos menores que 50: Ô 1o passo: O maior valor a ser testado é 7, pois 8> 50; 2o passo: Criando uma lista de valores de 2 a 50;.

(44) 34. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40, 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 3o e 4o passos: Encontra-se o primeiro elemento da lista e remove-se os múltiplos de 2; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40, 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 5o passo: 3 é primo e remove-se os múltiplos de 3; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40, 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 6o passo: 5 é primo e remove-se os múltiplos de 5; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40, 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 7o passo: 7 é primo e remove-se os múltiplos de 7; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30, 31,32,33,34,35,36,37,38,39,40, 41,42,43,44,45,46,47,48,49,50 8o passo: Os números primos de 1 até 50 são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47..

(45) 35. 2.2. Os Números Primos. 2.2.3. A infinitude dos números primos. Ao se estudar os números primos um dos primeiros questionamentos que surge é sobre quantos números primos existem. Euclides provou, em sua obra Os Elementos, a existência de infinitos números primos, conforme apresentado no próximo teorema: Teorema 3 (Euclides): O conjunto formado pelos números primos é infinito. Demonstração: Para qualquer conjunto finito {p1 , p2 , ..., pr } de números primos, considere o número n = p1 · p2 · ... · pr + 1. Este número n não é divisível por nenhum número primo pi , (1 Æ i Æ r), logo n é primo ou divisível por um primo diferente de p1 , p2 , ..., pr . Assim, o conjunto {p1 , p2 , ..., pr } não pode ser a coleção de todos os números primos. Sobre a prova de infinitos primos proposta por Euclides surge uma questão interessante:. Problema 1: O sucessor do produto dos r primeiros primos consecutivos é primo para qualquer valor natural de r? Resolução: Estamos interessados em saber se o conjunto {p1 , p2 , ..., pr } de números primos usado na demonstração anterior fosse formado pelos r primeiros números primos, então o número n = p1 · p2 · ... · pr + 1 é primo? A resposta é que para alguns valores de r o número n é primo e podemos verificar isto por inspeção. Tabela 2 – Sucessor do produto de números primos. r números primos n = 2 · 3 · . . . · pr + 1 Fatoração 1 2 2+1=3 3 2 2e3 2·3+1=7 7 3 2,3 e 5 2 · 3 · 5 + 1 = 31 31 4 2, 3, 5 e 7 2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211 211 5 2,3,5,7 e 11 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2311 2311 6 2,3,5,7,11 e 13 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30031 59 · 509 Fonte: elaborada pelo autor. Verificamos que sucessor do produto dos seis primeiros números primos é o número 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 + 1 = 30031 = 59 · 509 que não é primo. Definição 10 : O primordial de um número natural n é o produto de todos os números primos menores ou iguais a n, sendo denotado por n#. Por exemplo, 10# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210. Observe a seguinte questão não resolvida sobre o número primordial:.

(46) 36. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. Problema em Aberto 3: Existem infinitos primos da forma n# + 1 ou n# ≠ 1? Uma abordagem mais completa deste problema pode ser consultada no artigo On the Primality of n! ± 1 and 2 ◊ 3 ◊ 5 ◊ · · · ◊ p ± 1 de Caldwell e Gallot (2001). Problema 2: Mostrar que existem infinitos números primos da forma 6n + 5 com n natural. Resolução: Ao dividirmos um número natural por 6 o resto da divisão pode ser 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, ou seja, todo número natural pode ser escrito como 6n, 6n + 1, 6n + 2, 6n + 3, 6n + 4 ou 6n + 5 e desses os únicos que podem ser primos são 6n + 1 e 6n + 5, pois 6n, 6n + 2 e 6n + 4 são pares e 6n + 3 é múltiplo de 3. O produto de números da forma 6n + 1 é também da forma 6n + 1, visto que (6n1 + 1) · (6n2 + 1) = 6 · (6n1 .n2 + n1 + n2 ) + 1. Agora vamos usar um argumento semelhante ao usado por Euclides para mostrar que existem infinitos números primos. Supondo, por absurdo, que existe uma lista finita de primos da forma 6n + 5, ou seja, 6n1 + 5, 6n2 + 5, . . . , 6nr + 5, o número N = 6 · (6n1 + 5) · (6n2 + 5) · . . . · (6nr + 5) + 5, não é divisível por nenhum dos primos da lista 6n1 + 5, 6n2 + 5, . . . , 6nr + 5 e, consequentemente, deve ser divisível por números primos da forma 6n + 1. Logo, N é um produto de números da forma 6n + 1 sendo também da forma 6n + 1, o que é um absurdo, pois N é da forma 6n + 5. Então, existem infinitos números primos da forma 6n + 5.. 2.3. Números Primos em Progressão Aritmética. Nesta seção, abordaremos a distribuição dos números primos e, especificamente, resultados sobre sequência de números primos em progressão aritmética. Para uma análise mais detalhada desse tema, o leitor pode consultar o artigo "Recorrências, progressões aritméticas e teoria ergódica: teoremas de van der Waerden e de Green-Tao", publicado na revista Matemática Universitária, n. 48, 2010, p. 39-51, indicado nas referências. Definição 11: Uma progressão aritmética, denotada por PA, é toda sequência numérica em cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante r chamada razão da PA. Por exemplo, a sequência (2, 5, 8, 11, . . .) é uma PA com primeiro termo a1 = 2 e razão r = 3..

(47) 2.3. Números Primos em Progressão Aritmética. 37. Um termo qualquer de uma PA, com primeiro termo a1 e razão r, é dado por a1 + (n ≠ 1) · r, para todo n natural. Assim, a sequência formada pelos números da forma 6n + 5 = 11 + (n ≠ 1) · 6 é uma progressão aritmética e constata que é possível encontrar infinitos primos em progressões aritméticas. Um resultado importante sobre este tema foi encontrado por Dirichlet (1805 - 1859). Teorema 4 (Dirichlet): Se a e b são números naturais primos entre si, então a progressão aritmética a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . possui infinitos números primos. Ao encontrar progressões aritméticas com infinitos termos primos, por exemplo 6n + 5, com n natural, cujos termos são 11, 17, 23, 29, 35, 41, . . ., observe que, apesar de ter infinitos números primos, não são todos os termos primos, visto que 35 = 6 · 5 + 5 não é primo. Existe uma busca por progressões aritméticas formadas somente por números primos, por exemplo, a sequência 3, 5 e 7 é uma progressão aritmética formada só por três números primos e as maiores já encontradas contém 26 primos (ANDERSEN, 2017). Em 2016, Takeshi Nakamura encontrou uma destas progressões aritméticas dada por 149836681069944461 + 7725290 · 23# · n sendo #23 = 2 · 3 · 5 · . . . · 23 = 223092870 e n inteiro tal que 0 Æ n Æ 25.. Sobre progressões aritméticas formadas apenas por números primos observe os seguintes resultados: Teorema 5: Não existe progressão aritmética formada por três ou mais números primos distintos cujo primeiro termo é 2 ou cuja razão é um número ímpar. Demonstração: O primeiro termo a1 da PA não pode ser 2, senão a PA(2, 2 + r, 2 + 2r, . . .) teria pelo menos dois dos três primeiros termos números primos pares, o que é um absurdo, pois 2 é o único primo par. Então, a1 é primo ímpar e razão r da PA(a1 , a1 + r, a1 + 2r, . . .) não pode ser ímpar, senão teria o segundo termo a1 + r primo par, outro absurdo. Teorema 6 (Teorema de Corput): Existe uma infinidade de progressões aritméticas formadas por três números primos. Por exemplo, (3, 11, 19), (5, 11, 17), (7, 19, 31) e (11, 29, 47)..

(48) 38. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. Teorema 7 (Teorema de Green e Tao): Dado um número natural n qualquer, existem primos p1 , p2 , . . . , pn tais que pi+1 ≠ pi = pi ≠ pi≠1. para todo i natural tal que 2 Æ i Æ n ≠ 1.. Em outras palavras, Green e Tao (2008) provaram a existência de progressões aritméticas só formadas por números primos de tamanhos arbitrários. Sobre progressões aritméticas infinitas, o resultado a seguir mostra que não é possível só possuir números primos. Teorema 8: Não existe uma progressão aritmética com infinitos termos formada apenas por números primos. Demonstração: Seja a progressão a, a + b, a + 2b, a + 3b, . . . , suponha, por absurdo, que a + nb = p onde p é primo para todo n natural. Se colocarmos N = n + kp, k natural, temos: a + N b = a + (n + kp)b = a + nb + kpb = p + kpb = p(1 + kb) então, a + N b é divisível por p e, consequentemente, não é primo, o que é um absurdo. Sobre progressões aritméticas formadas por números primos existem as seguintes questões não resolvidas: Problema em Aberto 4: Existem infinitas progressões aritméticas formada por três números primos distintos cujo primeiro termo é 3? Em 1939, Van der Corput (1890-1975) provou o Teorema 6 sobre a existência de infinitas progressões aritméticas de 3 primos, mas não necessariamente iniciadas pelo número 3. Várias progressões aritméticas iniciadas por 3 são conhecidas, mas não se sabe se há uma infinidade delas. Por exemplo, (3, 5, 7), (3, 11, 19), (3, 13, 23), (3, 17, 31), (3, 23, 43), (3, 31, 49), (3, 37, 71). Problema em Aberto 5: Existem sequências arbitrariamente longas de números primos consecutivos em progressão aritmética? Em 1967, Lander e Parkin encontraram a primeira sequência de 6 primos consecutivos em PA, com primeiro termo 121174811 e razão 30. A maior sequência já encontrada possui 10 números primos consecutivos em uma PA cujo primeiro termo é um número de 93 algarismos e razão 210 (DUBNER et al., 2001)..

(49) 2.3. Números Primos em Progressão Aritmética. 39. Olhando para a sequência dos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . . . é difícil perceber uma regularidade na frequência com que aparecem na sequência dos números naturais, pois as vezes estão separados por três números compostos consecutivos como 13 e 17 e as vezes por cinco como 23 e 29. Problema 3: Mostre que existem 1000 números compostos consecutivos. Resolução: Para responder esta pergunta precisamos do conceito de fatorial. Definição 12: O fatorial de um número natural n, denotado por n!, é dado por n! =. Y ]. 1, se n = 0 [ n(n ≠ 1)!, se n > 0. Como consequência, temos 0! = 1! = 1 e o fatorial de um número n natural maior que 1 é o produto dos n primeiros números naturais. Por exemplo, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.. Voltando para a pergunta de encontrar 1000 números compostos consecutivos, considere a seguinte sequência de números naturais 1001! + 2; 1001! + 3; 1001! + 4; . . . ; 1001! + 1000; 1001! + 1001 e note que temos 1000 números consecutivos compostos, pois o número 1001! + k é divisível por k para todo k natural tal que 2ÆkÆ 1001. Assim, existem 1000 números compostos consecutivos e percebe-se que não existe uma regularidade entre a quantidade de números compostos entre dois números primos consecutivos e de fato a sequência (n + 1)! + 2; (n + 1)! + 3; (n + 1)! + 4; . . . ; (n + 1)! + n; (n + 1)! + (n + 1) para cada n natural, é formada por n números naturais compostos consecutivos. O resultado acima prova a existência de intervalos arbitrariamente longos de números naturais nos quais todos os números são compostos, nenhum é primo. Sobre a distribuição de números primos existe um importante resultado que garante a existência de primo em um intervalo do tipo ]n, 2n[ postulado por Joseph Bertrand (1822-1900) em 1845 e demonstrado por Chebyschev (1821-1894) em 1852 (AIGNER; ZIEGLER, 2002). Teorema 9 (O Postulado de Bertrand): Para cada número natural n, existe algum número primo p tal que n < p < 2n. A demonstração deste teorema pode ser encontrada em As provas estão n’o Livro de Aigner (2002, p. 9-12)..

(50) 40. Capítulo 2. PROBLEMAS EM ABERTO DE TEORIA DOS NÚMEROS. Uma outra questão mais geral que o Postulado de Bertrand permanece não resolvida: Problema em Aberto 6: Se k é um número natural, existe sempre número primo entre kn e (k + 1)n? Note que se k = 1 é verdadeira, pois é o Postulado de Bertrand. Para k = 2 é verdadeira e foi resolvida por Bachraoui (2006) e Loo (2011) provou ser verdadeira o caso k = 3.. 2.4. Números Primos Gêmeos. A abordagem desta seção se baseia no artigo Primos gêmeos e outras conjecturas de Pantoja (2012). Os números naturais primos cuja diferença é 2 são chamados primos gêmeos, ou seja, pares de números primos da forma (p, p + 2). Por exemplo, (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), e assim sucessivamente. Sobre a quantidade de números primos gêmeos existe a seguinte questão não resolvida: Problema em Aberto 7 (Conjectura dos Primos Gêmeos): Existem infinitos pares de números primos gêmeos? Acredita-se na existência de infinitos pares de números primos gêmeos e Zhang (2013) descobriu que há infinitos pares de primos que estão a menos de 70 milhões de unidades uns dos outros. Apesar de 70 milhões parecer um número muito grande, a existência de qualquer fronteira finita, não importando seu tamanho, significa que os intervalos entre números primos consecutivos não continuam crescendo para sempre. Os primeiros pares de primos gêmeos menores do que 250 são (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43),(59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151),(179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241). Curiosamente, com exceção de (3, 5), todos esses pares de primos podem ser escritos como (6k ≠ 1, 6k + 1) e a justificativa é que todo número natural pode ser escrito como 6k ≠ 2, 6k ≠ 1, 6k, 6k + 1, 6k + 2 ou 6k + 3 e desses os únicos que podem ser primos são 6k ≠ 1 e 6k + 1, pois os outros são múltiplos de 2 ou de 3. O teorema de Dirichlet prova a existência de infinitos primos da forma 6k ≠ 1 e 6s + 1, k e s naturais, mas não é possível concluir a partir deste fato que existem infinitos pares de números primos gêmeos, visto que (6k ≠ 1, 6s + 1) é um par de primos gêmeos se 6k ≠ 1 e 6s + 1 são primos e k e s são iguais..