Apresentação

Geometria

Analítica

“O ENSINO DE GEOMETRIA

ANALÍTICA POR MEIO

DO SOFTWARE GEOGEBRA.”

Professora: Rosangela Prestes

Atividade Inicial:

Construa as figuras abaixo, após compartilhe com seus colegas no Facebook da matéria:

a) Uma flor b) Um carro c) Uma casa d) Um barco

Construção do sistema cartesiano regular

Todo ponto do plano está associado a um par ordenado no qual o primeiro elemento é sua abscissa (x) e o segundo é sua ordenada (y); (x,y).

(0,y) (x,0) Os pontos em que:

(x,y) é denominado 1º quadrante (-x,y) 2º quadrante

(-x,-y) 3º quadrante (x,-y) 4º quadrante

Esse método de localização de pontos com pares ordenados num sistema de eixos foi criado por René Descartes. Aliando a Álgebra à Geometria, ela possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas. Desse modo, as figuras podem ser representadas por pares ordenados.

Exercícios:

1) Marque os pares ordenados no plano cartesiano: A=(0,-3) B=(0,1) C=(1,2)

D=(-1,2) E=(-2,1) F=(2,1) G=(2,0) H=(2,-1) I=(1,-2) J=(-3,-2)

2) De quais quadrantes os pontos do exercício anterior estão?

3) Observando o mapa de Santo Ângelo e descreva as ordenadas os pontos

marcados (com os pontos aproximados sempre para a coordenada mais perto Ex: 3,88 = 4; 3,66=3,5):

4) Marque as possíveis coordenadas de sua residência no mapa da Cidade:( , ) 5) Obtenha os valores de a e b para que os pontos A(a² - 8, 1) e B(4, b – 4) Sejam respectivamente, ao eixo das ordenadas e ao eixo das abscissas:

Distância entre dois pontos

 Atividade 1:

•Clique na janela 2 e selecione a opção “Novo Ponto”.

•Clique em dois pontos da malha que estejam em mesma linha ou coluna, e conte a unidade de espaços entre os dois pontos.

•Clique na 8ª janela em “Distância, Comprimento ou Perímetro”, e selecione os pontos.

Obs: Observe que a distancia entre os pontos marcados é a mesma que o numero de unidades de espaço contado.



• Clique na janela 2 e selecione a opção “Novo Ponto”.

• Marque dois pontos quaisquer na malha de modo que ambos os pontos não estejam na mesma linha ou coluna, (Aparecerá automaticamente a esquerda da tela, o nome do ponto e as respectivas coordenadas).

• Clicar na janela 3 e selecionar a opção “segmento definido por dois pontos”, assim selecionando os pontos.

• Clique na janela oito opção “Distância, Comprimento ou Perímetro” e selecione o segmento construído.

• Por meio deste segmento desenhado, vamos determinar a equação para o cálculo da distância entre os dois pontos:

• Ainda com a opção “segmento”, fazer um triângulo retângulo utilizando o segmento AB construído.

• E assim aplicar teorema de Pitágoras, para descobrir à distância entre os dois pontos. • Para mudar cor e outras propriedades, clique no botão direito do mouse, selecione

“propriedades”, “cor” e escolha a cor de sua preferencia.

Atividades Extra:

• _{Marcar três pontos A, B e C usando a ferramenta da 2º janela, opção “Ponto”.}

• _{Traçar os lados do triângulo ABC, usando a ferramenta da 3ª janela opção “Segmento”.}

• _{Marcar os pontos médios M de AB, N de AC e P de BC, usando a ferramenta na 2ª janela opção “Ponto} Médio ou Centro e selecione os segmentos”.

• Traçar as medianas usando a ferramenta da 3ª janela “Segmento” clicando em A e medianas de BC, em B e medianas de AC e em C e medianas de AB.

• Marcar o baricentro (ponto G) do triângulo usando a ferramenta na 4ª janela “reta perpendicular”. • _{Na 3ª janela opção “segmento”; partindo do ponto G, construa há todos os pontos, clicando em BC e}

no cruzamento das medianas, em BA e no ponto G e em AC e novamente no cruzamento G.

• _{Na 1ª janela opção mover, pressionando um lugar qualquer da tela e fora do desenho em seguida} arraste até selecionar toda a figura. Clicando no botão direito do mouse, selecione propriedades e em exibir rótulo, opção “nome e valor”, após “Enter”.

Preencha os espaços abaixo, de acordo com os dados obtidos na figura construída. A = (... , ...) B = (... , ...) C = (... , ...) D = (... , ...) E = (... , ...) F = (... , ...) G = (... , ...) AG = ... GF = ... AG = ... GF BG = ... GE = ... BG = ... GE CG = ... GD = ... CG = ... GD

Exercícios:

1) Observando o mapa, qual a distancia entre a escola e a URI:

2) Uma pessoa percorreu com seu carro da Catedral Angelopolitana ao Ginásio para assistir a um jogo. Após o jogo ele voltou pelo mesmo caminho. Ao todo, qual a distancia que ele percorreu?

3) Dados os pontos A(-2,m) e B(1,3), determine m para que a distancia entre A e B seja de 5 unidades:

4) Qual o perímetro do triangulo formado pela URI, o Odão e a rodoviária? 5) Helena saiu do cinema e ao ir para sua casa andou 2 quadras para o norte,

5 para o oeste e virou 1 quadra novamente para o norte. Qual a distancia do cinema para a casa de Helena?

6) Determine o ponto P(m, 2m) equidistantes (distancias iguais) ao ponto A(-7, 0) e B(3,0):

Ponto médio

• Ponto médio é o ponto exatamente que divide um segmento em duas partes iguais.

• Clique exibir e depois em Malha

• Clique na segunda janela opção “ponto”; selecione 2 pontos quaisquer que não estejam na mesma linha ou coluna.

• Na terceira janela; opção “segmento”, e selecione os dois pontos escolhidos.

• Na segunda janela opção “ponto médio ou centro”, em seguida selecione o segmento. • Após na terceira janela opção “segmento”, ligue todos os pontos em linha reta aos

eixos X e Y, como mostra na figura anterior:

Observe que o ponto médio do segmento se localizou exatamente no ponto médio do eixo das ordenadas e das abcissas, destacadas pelos segmentos postos.

Concluindo assim o Teorema de Tales: M=()

 Atividade:

1) Determine no Geogebra o ponto médio entre A=(-4,1) e B=(-2,5).

Diga uma semelhança entre o segmento AC e o segmento CB:____________________

Baricentro:

Num triângulo é denominado baricentro o ponto de intersecção dos pontos médios de seus três lados: que é dada pela fórmula:

Xm=xa+xb

+

Ym=ya+yb+

3

 Atividade:

• _{Clique na 5ª janela, opção “Polígono”. Marque 3 pontos não alinhados e clique} no primeiro ponto novamente na malha.

• _{Clique na segunda janela, opção “Ponto Médio ou Centro”, e selecione os pontos} AB, BC e CA.

• Na 3ª janela, em “Reta Perpendicular”; e selecione ponto D e segmento AB, ponto E segmento BC e o ponto F com o segmento CA.

• Na segunda janela opção “Ponto”, e construa um ponto G, na intersecção das retas formadas.

• _{Na primeira janela, opção “Mover”, pressione um dos pontos do triangulo e o} mova, observando o que acontecera.

• Verificando assim que o baricentro não precisa necessariamente ser interno ao triangulo, também pode ser externo ou estar no próprio ponto médio.

• Para mudar cor e outras propriedades, clique no botão direito do mouse, selecione “propriedades”, “cor” e escolha a cor de sua preferencia.

Exercícios:

1) Dado os pontos A(5,1) e B(7,-9), determine o ponto médio M() do segmento

2) Uma pessoa se localiza no ponto e outra no e querem se encontrar; para ambos não cansarem, decidiram andar de forma igualmente até se encontrarem no meio do caminho. Qual é a coordenada do ponto que ira ocorrer este encontro?

3) Determine as coordenadas de B sabendo que M(-1,-1) é o ponto médio de com A(-1,1)

4) Qual o baricentro do triângulo formado pela URI, escola Odão e a Catedral Angelopolitana?

5) Dois vértices do losango ABCD é A(2,4) e C(6,4), e a distância =4,47. Calcule as coordenadas dos pontos B e D:

Condições de alinhamento

É possível verificar se três pontos são distintos dois a dois, estão alinhados? Então vamos estudar agora qual esta condição.

• Clique na segunda janela opção “ponto”; selecione os pontos (1,2), (3,4) e (7,8).

• Na segunda janela e selecione “Segmento definido por Dois Pontos”, prolongue uma reta de A até C, outra de A que pare alinhado com o ponto B, construindo o ponto D, e outro do ponto D alinhado com C,

obtendo ponto E..

• Após, com a mesma ferramenta, ligue os pontos B e D, e os pontos C e E. • Na 8ª janela clique em “ângulo”, e após BDA e CEA’.

• Clique na 8ª janela opção “Distância, Comprimento ou Perímetro”, e selecione todos os segmentos. • Os triângulos retângulos ABD e ACE, que são semelhantes.

Assim decorre a proporção EADA = CEBD , que pode ser escrita como:

Desenvolvendo essa expressão, obtemos: ( x3- x1)(y2- y1) - ( x2- x1) ( y3- y1) = o

• Que pode ser escrito da forma

• E assim se tem a formula podendo identificar se os pontos são alinhados ou não.

• Para mudar cor e outras propriedades, clique no botão direito do mouse, selecione “propriedades”, “cor” e escolha a cor de sua preferencia.

 Atividade:

1. Verifique se os pontos A=(1,5), B=(3,2) e C=(6,-2) estão alinhados.

• No cálculo: • No Geogebra:

Exercícios:

1. Verifique se os pontos ABC estão alinhados ou não: A(2,5) B(3,7) e C(5,11)

A(3,9) B(3,6) e C(3,10) A(2,6) B(5,6) e C(9,6) A(4,5) B(8,7) e C(1,1)

2. Determine o valor de k para que A(k,7), B(2,-3) e C(k,1) sejam os vértices de um triangulo ( para que ABC sejam um triângulo, basta não estarem alinhados, sendo assim determinante d≠0):

3. Determine uma relação entre as coordenadas de um ponto P(x,y) para que ele esteja alinhado com A(2,3) e B(5,4):

4. Observe no mapa e descubra se o Odão e os pontos e são colineares (alinhados) ou não:

5. Para que o ponto P(x,y) esteja alinhado a A(5,3) e B(-2,1) que condições são necessárias para que:

Coeficiente angular

Sejam A(xa,ya) e B(xa,ya) ponto distintos de uma reta r não paralela ao eixo y. A medida α, é a inclinação da reta, denominada coeficiente angular da reta.

• Construção da reta r dados dois pontos distintos A e B.

• Construa dois pontos distintos A e B. Somente para facilitar a análise e visualizações futuras, (sugestão: construir os pontos no 1º quadrante de maneira que A esteja mais próximo dos eixos que B).

• Logo em seguida, clique na janela 3 e selecione a opção “reta definida por dois pontos”, clique em A depois em B e terá a reta que passa por A e contém B.

• Cálculo do coeficiente angular da reta: Clique na janela 8 e selecione a opção “declive”. O Geogebra automaticamente dará o valor de m na pasta dos objetos dependentes.

• Cálculo do ângulo β criado entre a reta e o eixo x.

• Clique na janela 8 e selecione a opção “Ângulo”. Após clique na reta e no eixo x, e obterá o valor do ângulo.

• Se m = tg

 Atividade extra:

Determine a inclinação da reta formada pelos pontos A=(0,1) e B=(-3,4).

Exercícios:

1. Determine o coeficiente angular da reta r que passa pelos pontos A(2,3) e B(4,9)

2. Observe o mapa de Santo Ângelo e determine o coeficiente angular da reta formada pelos ponto da sua residência ao Odão:

3. Seja r uma reta determinada pelos pontos A(k,4) e B(0,1), com coeficiente angular m=3. Obtenha o valor de k

4. Obtenha o coeficiente angular da reta s eu passa pelo cinema e pelo hospital

5. Sendo a reta com um coeficiente angular de 45°, (cateto adjacente= 4 e A(2,1). Determine as coordenadas do ponto B

Equações da Reta

Equação fundamental da reta

Sob o ponto de vista algébrico, sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta. Da mesma forma, um ponto A( x1,y1) e a declividade m determinam uma reta r. Considerando A(x, y) um ponto genérico dessa reta, é possível determinar sua equação a partir dos números x1, y1 e m que é chamada equação da reta r, a qual o GeoGebra nos fornece automaticamente. Uma equação do tipo:

y - y1 = m ( x - x1),

Exercícios:

1. Determine a equação fundamental que passa pelo ponto P(-2,1) e tm coeficiente angular m=-3

2. Sabendo que a inclinação da reta que passa pelos pontos A(k,2) e B(-1,3) é de 45° determine o valor de k

3. Observe no mapa e responda qual a equação da reta que passa pelo cinema e pela rodoviária:

4. Qual a equação da reta que passa pelo hospital e pelo ginásio e ache mais dois pontos que pertençam a essa mesma reta.

5. Construa a equação formada pela reta que na figura está representada pela avenida que passa em frente a URI

Equação geral da reta • Clique exibir e depois em Malha

• Clique na segunda janela opção “ponto”; selecione 1 ponto qualquer.

• Na nona janela e selecione “Reflexão em Relação a um ponto”; escolha outro ponto qualquer, e em seguida selecionando o ponto anterior.

• Clique no ponto B’ e B no botão direito do mouse selecione “propriedades”, exibir rótulo selecione “nome e valor”

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r: A(, ) e B (, )

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r. ax+by+c=0

Em que:

a, b e c são números reais;

a e b não são simultaneamente nulos. QUESTÃO:

Exercícios:

1. Obtenha a equação geral da reta r que passa pelos pontos A(-1,3) e B(3,2)

2. Verifique se o ponto P(3,2) pertence à reta s, cuja equação é x-3y+3=0 3. Obtenha a equação geral da reta s, que passa pelos pontos A(3,1) e

B(2,4), e determine os pontos de intersecção da reta r com os eixos x e y.

4. Qual a equação da reta que passa pelo ginásio e pela rodoviária:

5. Qual a equação da reta que passa pelo Museu municipal e pela Catedral Angelopolitana:

Equação reduzida da reta

Q(0,q) q= ordenada em que a reta passa no eixo y

Já vimos que uma reta r que passa pelo ponto P(x0, y0) e tem coeficiente angular igual a m é y - y0= m(x - x0). Podemos então isolar y obtendo

y = mx + y0 - mx0

Fazendo q = y0 - mx0 (coeficiente linear = faz a intersecção da reta com o eixo y). Temos y = mx + q

Exercícios:

1. Escreva na forma reduzida a equação da reta que passa pelo ponto A(2,5) e tem coeficiente angular m=-1

2. Qual a equação da reta que passa pelo hospital e o museu:

3. Deter o coeficiente linear e o angular da reta de equação 6x-5y-30=0

4. Sendo y=10, qual o valor de x para que pertença a mesma reta que passa pelo ginásio e pelo cinema:

5. Que valor de y sara a coordenada quando a reta 6x-5y-30=0 encosta o eixo x: