Curso T´ecnico de Transa¸c˜oes Imobili´arias
Angelo Pereira do Carmo N´ucleo de Matem´atica
Departamento de Educa¸c˜ao e Ciˆencias IF Sudeste MG - Cˆampus Juiz de Fora
1 Apresenta¸c˜ao do Curso
2 Cap´ıtulo 1 - Conceitos B´asicos
3 Cap´ıtulo 2 - Juros Simples e Compostos
4 Cap´ıtulo 3 - Taxas de Juros
5 Cap´ıtulo 4 - S´eries Uniformes
1 Estabelecer as rela¸c˜oes necess´arias para que os futuros corretores
possam exercer suas atividades de forma cr´ıtica e consciente.
2 Fomentar discuss˜oes sobre as pr´aticas financeiras atuais. 3 Introduzir conceitos que possam auxiliar nas escolhas de
investimentos e/ou empr´estimos.
4 Introduzir l´ogica matem´atica simples que possa auxiliar na resolu¸c˜ao
de problemas em matem´atica financeira.
5 Discutir problemas simples com o aux´ılio de calculadoras cient´ıficas
e/ou financeiras.
6 Organizar planilhas financeiras para financiamentos da casa pr´opria ou
1 Juros Simples e Compostos 2 Taxas de juros:
Taxa efetiva
Taxas Proporcionais - Juros Simples Taxas Equivalentes - Juros Compostos
3 S´eries Uniformes de pagamentos
S´eries Uniformes Postecipadas S´eries Uniformes Antecipadas S´eries Uniformes Diferidas
S´eries Uniformes com parcelas adicionais S´eries Uniformes Perp´etuas.
4 Planos Equivalentes de Financiamentos
O Sistema Price: Presta¸c˜oes iguais
[1] Livro: Matem´atica Financeira Objetiva e Aplicada Autor: Abelardo de Lima Puccini
Editora: Saraiva Ano: 2003 (6a edi¸c˜ao)
[2] Livro: Matem´atica Financeira
Autores: Samuel hazzan e Jos´e Nicolau Pompeo
Editora: Saraiva Ano: 2003 (5a edi¸c˜ao)
[3] Notas de Aula (disponibilizadas no xerox!!!) P´agina do Curso:
Google ⇒ N´ucleo de Matem´atica ⇒ Professores ⇒ Angelo(Atividades) ⇒
[1] Primeira Avalia¸c˜ao Conte´udo: Cap´ıtulos 1,2 e 3 Valor: 40 Pontos
Forma: Individual e com consulta. [2] Segunda Avalia¸c˜ao
Conte´udo: Cap´ıtulo 4 Valor: 40 Pontos
Forma: Individual e com consulta [3] Terceira Avalia¸c˜ao
Conte´udo: Cap´ıtulo 5 Valor: 20 Pontos
Quest˜ao 1
Se vamos fazer um empr´estimo ´e melhor que nos cobrem Juros Simples ou Compostos?
Quest˜ao 2
Uma loja oferece duas op¸c˜oes para a compra de uma TV cujo pre¸co ´e R$ 1.000,00:
1. `a vista com desconto de 10%.
2. em duas presta¸c˜oes iguais de R$ 500,00 sendo a primeira no ato da compra e a segunda 30 dias ap´os a compra.
Se uma determinada aplica¸c˜ao financeira remunera o capital aplicado com uma taxa de 25% ao mˆes, qual ´e a melhor op¸c˜ao de pagamento?
Quest˜ao 3
Quais s˜ao as taxas semestral e anual equivalentes a 3% ao trimestre? E o que s˜ao taxas nominais? Isto ´e, o que significa express˜oes como ”12% ao ano, capitalizados mensalmente”?
Quest˜ao 4
´
E sempre verdade que comprar em 3 presta¸c˜oes de R$ 21,00 ´e melhor que comprar em 2 presta¸c˜oes de R$ 32,00?
Quest˜ao 5
Um im´ovel de R$ 200.000,00 foi financiado em 15 anos com presta¸c˜oes mensais e iguais. Ap´os o pagamento da presta¸c˜ao de n´umero 120 resolvi quitar a d´ıvida. Se a taxa anunciada pelo banco era de 1% ao mˆes, quanto devo pagar?
Quest˜ao 6
No problema anterior, se as presta¸c˜oes decrescem linearmente com o tempo, qual ser´a o valor da parcela de n´umero 120?
Quest˜ao Aplicada
´
E comum no mercado imobili´ario se usar de tabelas que facilitam o c´alculo das presta¸c˜oes iguais em um financiamento. Um corretor que trabalha vendendo terrenos, por exemplo, costuma ter em m˜aos uma tabela dessas
que oferece os COEFICIENTES DE FINANCIAMENTO. Esses n´umeros
s˜ao ´uteis por que ao serem multiplicados pela quantia financiada fornecem (de imediato!!!) o valor das presta¸c˜oes. Mas, de onde vem esses
Defini¸c˜ao
Matem´atica Financeira ´e o ramo da matem´atica que tem como objetivo estudar o comportamento do dinheiro ao longo do tempo.
Nota¸c˜ao:
C ⇒ Capital J ⇒ Juros
M ⇒ Montante (M = J + C ) i ⇒ Taxa de Juros (i = CJ)
Exemplo 1
L´ucia tomou um empr´estimo de R$100,00. Dois meses ap´os, pagou R$140,00. Ent˜ao... J = 40 C = 100 i = 10040 = 0, 40 (40% ao bimestre) M = C + J = 140 n = 1 (um bimestre)
Nota: L´ucia e seu credor concordaram que R$100,00 hoje, equivale a R$140,00 daqui a dois meses.
Juros Simples ⇒ ´E calculado sempre em cima do mesmo capital
Exemplo 2
Mˆes In´ıcio do Mˆes Juros do Mˆes Montante no Final do Mˆes
1 1000 1000.0,10=100 1000+100=1100
2 1100 1000.0,10=100 1100+100=1200
3 1200 1000.0,10=100 1200+100=1300
4 1300 1000.0,10=100 1300+100=1400
Nota: No regime de Juros Simples, o crescimento do capital ´e Linear, isto ´
e, a cada t´ermino de per´ıodo o aumento no capital ´e sempre o mesmo (R$ 100,00 no exemplo acima).Isso faz com que o c´alculo do montante para uma quantidade de per´ıodos maiores seja imediato.
Juros Compostos ⇒ ´E calculado em cima do capital que j´a foi acrescido de juros (popularmente conhecido como Juros sobre Juros)
Exemplo 3
Mˆes In´ıcio do Mˆes Juros do Mˆes Montante no Final do Mˆes
1 1000 1000.0,10=100 1000+100=1100
2 1100 1100.0,10=110 1100+110=1210
3 1210 1210.0,10=121 1210+121=1331
4 1331 1331.0,10=133,1 1331+133,1=1464,1
Nota: No regime de Juros Compostos, o crescimento do capital
N˜ao ´e Linear. Por isso, n˜ao ´e t˜ao imediato a determina¸c˜ao do montante quando a quantidade de per´ıodos ´e grande. Qual seria o montante no exemplo acima no final do mˆes 48?
Ideia Fundamental 1
O valor do capital depende da ´epoca a qual ele se refere.
Coment´ario: No exemplo 1, R$ 100,00 hoje tem o mesmo valor de R$
140,00 depois de dois meses.
Ideia Fundamental 2
Valores em datas diferentes s˜ao grandezas que s´o podem ser comparadas e
somadas algebricamente ap´os serem movimentadas para uma mesma data,
com a correta aplica¸c˜ao de uma taxa de juros.
Coment´ario: Pode n˜ao ser verdade que comprar em 3 presta¸c˜oes de R$ 21,00 seja melhor do que comprar em 2 presta¸c˜oes de R$ 32,00. Embora 63 < 64.
Fluxos de Caixa
´
E uma representa¸c˜ao da opera¸c˜ao financeira, isto ´e, ´e uma representa¸c˜ao de entradas e sa´ıdas de dinheiro ao longo do tempo.
Exemplo 4
Eduardo aplicou R$ 50.000, 00 por 12 meses, ao final deste per´ıodo resgatou o capital aplicado mais R$ 6.500, 00 de juros. Fa¸ca o Fluxo de Caixa da opera¸c˜ao.
Exemplo 5
Um vendedor de autom´ovel acaba de vender um dos seus ve´ıculos em 4 presta¸c˜oes mensais de R$ 14.000, 00. Sabendo que a primeira presta¸c˜ao foi dada no ato da assinatura do contrato e que o pre¸co `a vista era de R$ 47.000, 00, fa¸ca o fluxo de caixa do ponto de vista do comprador.
Exemplo 6
Marcos ao consultar seu gerente resolveu investir em um fundo. Para isso, imediatamente saber da existˆencia do fundo depositou R$ 3.000,00 e no mˆes seguinte depositou mais R$ 2.000,00. Nos 9 meses seguintes ao ´
ultimo dep´osito ele fez retiradas de R$ 1.000,00 deste investimento. Fa¸ca o fluxo de caixa do ponto de vista de Marcos.
Considere um capital C aplicado a uma taxa i num determinado per´ıodo. Temos:
juros ap´os 1 per´ıodo : J1 = Ci
juros ap´os 2 per´ıodos: J2 = Ci + Ci = (Ci )2
juros ap´os 3 per´ıodos: J3 = Ci + Ci + Ci = (Ci )3
. . .
Juros ap´os n per´ıodos: Jn= Ci + Ci + ... + Ci = (Ci )n
Assim quando o ´ındice n n˜ao nos confundir podemos omit´ı-lo. Portanto para juros simples temos que,
J = Cin Fica imediata a f´ormula do montante:
Exemplo 7
Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado a Juros Simples durante 3 anos, `a taxa de 12% a.a..
a) Obtenha os juros b) Obtenha o montante.
Exemplo 8
Qual o capital que rende Juros Simples de R$3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa for de 2% a.m. ?
Exemplo 9
Um capital de R$ 7.000,00 foi aplicado a juros simples durante um ano e
meio obtendo-se um montante de R$ 8.680,00. Qual ser´a a taxa semestral
Exemplo 10
Quanto tempo um capital de R$ 2.200,00 deve ficar aplicado a uma taxa de 3%a.m para alcan¸car um montante de R$ 3.322,00?
Exemplo 11
(Sobre Imposto de Renda)
Uma aplica¸c˜ao financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples `a taxa de 22% a.a. e paga imposto de renda igual a 20% do juro; o imposto ´e pago no resgate.
a) Qual o montante l´ıquido de uma aplica¸c˜ao de R$ 8.000,00? (Montante l´ıquido ´e igual ao montante menos o imposto de renda.)
b) Qual o capital que deve ser aplicado para gerar um montante l´ıquido de R$ 9.500,00?
Temos:
M1= C + Ci = C (1 + i )
M2= M1+ M1i = M1(1 + i ) = C (1 + i )(1 + i ) = C (1 + i )2
M3= M2+ M2i = M2(1 + i ) = C (1 + i )2(1 + i ) = C (1 + i )3
...
Ap´os n per´ıodos completos teremos
Mn = C (1 + i )n
Caso n˜ao haja possibilidade de confus˜ao podemos omitir o n e escrever para juros compostos que:
Exemplo 12
Um Capital de R$6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, `a taxa de 2% a. m..
a) Qual o montante? b) Qual o total de juros?
Exemplo 13
Qual o capital que, aplicado a juros compostos `a taxa de 2,5%a.m.,
Exemplo 14
Um capital de R$2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante 4 meses, produzindo um montante de R$3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?
Exemplo 15
Durante quanto tempo um capital de R$1.000,00 dever ser aplicado a
Exemplo 16
Uma casa ´e vendida `a vista por R$ 318.000,00 ou a prazo por R$ 90.000,00 de entrada, mais 3 presta¸c˜oes mensais e iguais de R$ 80.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mˆes ap´os a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro `a taxa de 3% a.m.?
Exemplo 17
O corretor Carlos prop˜oe a um cliente a compra de um terreno. Qual o melhor plano de pagamento para o comprador, sabendo-se que a taxa de
juros compostos de mercado ´e de 3% a.m.?
Plano A: Um ´unico pagamento de R$50.000,00 daqui a 12 meses.
Plano B: Uma entrada de R$10.000,00 mais uma parcela de R$33.000,00 daqui a 6 meses.
Exemplo 18
Uma empresa deve investir R$180.000,00 num projeto de amplia¸c˜ao da capacidade produtiva, para obter benef´ıcios das entradas de caixa de R$ 40.000,00 por ano, durante os pr´oximos 6 anos. Se a taxa de atratividade da firma for 6% a.a., o projeto deve ou n˜ao ser aceito?
Exemplo 19
Joana tem duas op¸c˜oes de pagamento para a compra de um liquidificador:
1 Trˆes presta¸c˜oes mensais de R$ 50,00 ou, 2 Cinco presta¸c˜oes mensais de R$ 31,00.
Se a primeira presta¸c˜ao ´e sempre paga no ato da compra e ela pode investir seu dinheiro a 5% am, qual a melhor op¸c˜ao de compra? (juros compostos)
Uma pergunta
Um investimento A remunera suas aplica¸c˜oes a uma taxa mensal de 3,5% a.m., um outro investimento B remunera a uma taxa de 48% a.a..
Sabendo que o regime adotado ´e o composto, qual investimento ´e melhor?
Defini¸c˜ao
Duas ou mais taxas s˜ao equivalentes num certo regime de capitaliza¸c˜ao se, aplicadas num mesmo capital, durante o mesmo per´ıodo de tempo, geram o mesmo montante.
C ⇒ Capital aplicado
n ⇒ N´umero de per´ıodos que o Capital C ficou aplicado
im ⇒ Taxa mensal
ia ⇒ Taxa anual
Supondo que im e ia sejam Taxas Equivalentes a Juros Simples temos:
Mm = Ma ⇒ C .(1 + im.12) = C .(1 + ia.1) ⇒ im.12 = ia⇒ ia= 12.im
Generalizando podemos escrever que:
Exemplo 20
Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.?
Exemplo 21
C ⇒ Capital aplicado
n ⇒ N´umero de per´ıodos que o Capital C ficou aplicado
im ⇒ Taxa mensal
ia ⇒ Taxa anual
Supondo que im e ia sejam Taxas Equivalentes a Juros Compostos temos:
Mm= Ma ⇒ C .(1 + im)12= C .(1 + ia)1 ⇒ (1 + im)12= 1 + ia
Generalizando a conta feita acima podemos escrever que:
Exemplo 22
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2%a.m.?
Exemplo 23
Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?
Exemplo 24
S˜ao taxas em que o per´ıodo de capitaliza¸c˜ao ´e diferente do per´ıodo da taxa.
Exemplo 25
24% ao ano com capitaliza¸c˜ao semestral significa 12% ao semestre 1% ao mˆes capitalizado trimestralmente significa 3% ao trimestre 6% ao ano com capitaliza¸c˜ao mensal significa 0,5% ao mˆes.
Exemplo 26
Jo˜ao investe seu dinheiro `a taxa de 6% ao ano com capitaliza¸c˜ao mensal. Qual a taxa anual de juros `a qual est´a investido o capital de Jo˜ao?
Exemplo 27
Infla¸c˜ao ´e o fenˆomeno conhecido como o aumento persistente dos pre¸cos de bens e servi¸cos. A consequˆencia disso ´e que a moeda perde seu poder aquisitivo.
Exemplo Extra 1
Paulo aplicou um capital durante um ano num fundo que rendeu 15,5% neste per´ıodo. Se a taxa de infla¸c˜ao no mesmo per´ıodo foi de 5%, qual foi o ganho real de Paulo?
Em Geral, se...
θ ´e a taxa de infla¸c˜ao ia⇒ ´e a taxa aparente
ir ⇒ ´e a taxa real
Ent˜ao...
Exemplo Extra 2
Vit´oria aplicou seu capital num investimento que prometeu um ganho pr´e-fixado de 12% ao ano (sem qualquer desconto), ao resgatar o
investimento ap´os o per´ıodo ela percebeu que seu ganho real foi de 6,75%. Qual foi a taxa de infla¸c˜ao desse ano?
Exemplo Extra 3
Qual ´e a taxa que dever´a ser anunciada por um banco se ele promete 3% de ganho real e a estimativa para a infla¸c˜ao do per´ıodo for de 4,25%?
Exemplo Extra 4
Considere o quadro abaixo de INFLAC¸ ˜AO x REAJUSTES de uma
categoria profissional.
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4
Infla¸c˜ao 12% 9% 8% 7%
Reajustes 5% 10% ????
Para que os reajustes se equiparem com a infla¸c˜ao nos ´ultimos 4 anos, qual deve ser o reajuste a ser dado no ano 4?
Para resolvermos o problema anterior precisamos do conceito de Taxa Acumulada.
Defini¸c˜ao
Considere um capital C que vai ser capitalizado sucessivamente pelas taxas i1, i2, i3, ..., in. A taxa acumulada Ia ´e a taxa que aplicada uma ´unica vez se
equivale `as taxas anteriores. Temos:
C (i1+ 1)(i2+ 1)(i3+ 1) · · · (in+ 1) = C (Ia+ 1)
Logo,
Assim para que os reajustes se equiparem com a infla¸c˜ao do per´ıodo ´e necess´ario que as Taxas Acumuladas da infla¸c˜ao e dos reajustes sejam iguais. Temos: (1, 12).(1, 09).(1, 08).(1, 07) = (1.05).(1, 10).(i4+ 1) 1, 41075 = 1, 155(i4+ 1) 1, 41075 1, 155 − 1 = i4 Portanto,
i
4= 0, 2214
⇒
22,14%
Exemplo Extra 5
Os funcion´arios de uma f´abrica de ve´ıculos tiveram o ´ultimo aumento salarial no in´ıcio de 2011. No final do ano de 2015, ap´os uma greve geral, conseguiram negociar e o aumento proposto foi de 45%. Se as taxas da infla¸c˜ao medidas pelo IPCA foram de 6,5%, 5,83%, 5,91%, 6,41% e 10,67% respectivamente nos anos de 2011, 2012, 2013, 2014 e 2015, qual foi o ganho real desses funcion´arios?
Defini¸c˜ao 1
Uma s´erie de pagamentos de mesmo valor e igualmente espa¸cadas no
tempo, recebe o nome de S´erie Uniforme de Pagamentos.
Tipos Principais de S´eries Uniformes
Quando a s´erie uniforme tem in´ıcio um per´ıodo ap´os o principal P dizemos que a s´erie ´e uma S´erie Uniforme Postecipada, j´a se a s´erie tem in´ıcio no mesmo per´ıodo que o principal P dizemos que a s´erie ´e uma
Fluxo (S´erie Uniforme Postecipada)
Valor Presente de Uma S´erie Uniforme Postecipada
O Valor Presente P de uma S´erie Uniforme Postecipada ´e dado por
P = R. 1 − (1 + i )
−n
i
Valor Presente de Uma S´erie Uniforme Antecipada
O Valor Presente Pa de uma S´erie Uniforme Antecipada ´e dado por
Pa= Ra(1 + i ).
1 − (1 + i )−n
i
Exemplo 28
Um terreno ´e vendido em 4 presta¸c˜oes mensais e iguais de R$ 150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada um mˆes ap´os a compra. Se a taxa do financiamento for 4% a.m., qual o pre¸co `a vista?
Exemplo 29
Um bem, cujo pre¸co ´e R$120,00, ´e vendido em 8 presta¸c˜oes mensais iguais, a primeira sendo paga um mˆes ap´os a compra. Se os juros s˜ao de 8% ao mˆes, determine o valor das presta¸c˜oes.
Exemplo 30
Um banco de investimentos financia a venda de equipamentos num certo prazo n, com uma taxa efetiva de 3% ao trimestre, no regime de juros compostos. Se para um equipamento cujo pre¸co `a vista ´e de R$ 20.000,00
Exemplo 31
Um bem, cujo pre¸co `a vista ´e R$120,00, ´e vendido em 6 presta¸c˜oes mensais iguais, antecipadas (isto ´e, a primeira presta¸c˜ao ocorre na data da assinatura do contrato). Se os juros s˜ao de 10% ao mˆes, determine o valor das presta¸c˜oes.
Exemplo 32
Um televisor, cujo pre¸co `a vista ´e de R$400,00, ´e vendido em dez
presta¸c˜oes mensais iguais. Se s˜ao pagos juros de 6% ao mˆes sobre o saldo devedor, determine o valor das presta¸c˜oes, supondo a primeira presta¸c˜ao paga:
Exemplo 33
Um Investidor aplica mensalmente R$2.000,00 em um fundo de
investimentos que remunera as aplica¸c˜oes `a taxa de juros compostos de 2%a.m.. Se o investidor fizer 7 aplica¸c˜oes, qual o montante no instante do ´
ultimo dep´osito ?
Exemplo 34
No caso do exemplo anterior, qual ser´a o montante se o investidor sacar somente dois meses ap´os o ´ultimo dep´osito?
Frequentemente, nas opera¸c˜oes de m´edio e longo prazo, por raz˜oes
metodol´ogicas e/ou cont´abeis, as opera¸c˜oes de empr´estimos s˜ao analisadas per´ıodo por per´ıodo, no que diz respeito ao pagamento dos juros e `a devolu¸c˜ao propriamente dita.
Desta forma cada parcela de um empr´estimo ´e composta por duas partes. Uma ´e destinada a pagar a d´ıvida propriamente dita enquanto que a outra se refere aos juros do per´ıodo. Ent˜ao podemos escrever que, sendo R o valor da parcela, J o valor dos juros do per´ıodo e A a amortiza¸c˜ao do empr´estimo naquele per´ıodo, temos:
R = A + J
Neste cap´ıtulo abordaremos dois tipos de Amortiza¸c˜oes de empr´estimos: o Sistema de Amortiza¸c˜oes Constantes (SAC) e o Sistema Francˆes de
O sistema de amortiza¸c˜oes constantes ´e bastante usado na pr´atica. Tal sistema consiste em se fazer com que todas as parcelas da amortiza¸c˜ao sejam iguais. Assim, considerando um Principal P a ser amortizado em n parcelas A1, A2, A3, ..., An e supondo os pagamentos dos juros em todos os
per´ıodos, teremos:
A1 = A2 = A3 = ... = An=
P
n = A
onde A ´e o valor das amortiza¸c˜oes constantes. Observa¸c˜ao
Podemos mostrar que neste sistema de amortiza¸c˜ao as presta¸c˜oes formam uma progress˜ao aritm´etica decrescente e cuja n-´esima presta¸c˜ao ´e dada por:
Exemplo 35
Um empr´estimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido em 5 presta¸c˜oes semestrais pelo SAC `a taxa de 4% a.s..Obtenha a planilha financeira desta opera¸c˜ao.
Exemplo 36
Um Empr´estimo de R$ 40.000,00 deve ser devolvido pelo SAC com 40
presta¸c˜oes mensais. Sabendo-se que a taxa de juros ´e de 2% am., obtenha a amortiza¸c˜ao, juros, presta¸c˜ao e saldo devedor corresposdente ao 21o mˆes. Use uma Planilha Eletrˆonica.
Tal sistema se desenvolveu na Fran¸ca no s´eculo XIX, por´em foi concebido pelo matem´atico inglˆes Richard Price no s´eculo XVIII (da´ı a denomina¸c˜ao
Sistema Price, ou Tabela Price, como ´e comumente chamado).
Neste sistema as presta¸c˜oes s˜ao iguais e consecutivas (a partir do instante em que come¸cam a ser pagas as amortiza¸c˜oes)e, se forem conhecidos a taxa da opera¸c˜ao, o n´umero de presta¸c˜oes e o valor do empr´estimo, podemos calcular o valor das presta¸c˜oes pela f´ormula das s´eries uniformes postecipadas do cap´ıtulo 4, a saber:
P = R. 1 − (1 + i )
−n
i
.
Exemplo 37
Um empr´estimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo sistema francˆes em 5 presta¸c˜oes semestrais `a taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha
financeira desta opera¸c˜ao.
Exemplo 38
O Senhor Jo˜ao Mineiro recebeu um financiamento de R$ 5.000,00 para a
compra de um bem, sendo adotado o Sistema Price `a taxa de 1,5% a.m.
para pagamento em 180 meses. Fa¸ca uma planilha eletrˆonica constando o estado da d´ıvida no 64o mˆes.
[1] PUCCINI, Abelardo de Lima. Matem´atica Financeira Objetiva e Aplicada. S˜ao Paulo: Saraiva, 2003.
[2] HAZZAN, Samuel & POMPEO, Jos´e Nicolau. Matem´atica
Financeira. S˜ao Paulo: Saraiva, 2003.
[3] LIMA, Elon Lages. A Matem´atica do Ensino M´edio - vol. 2 / Elon
Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto C´esar
Morgado. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
[4] DANTE, Luiz Roberto. Matem´atica Contexto e Aplica¸c˜oes. S˜ao Paulo: ´Atica, 2000.
[5] MORGADO, Augusto C´esar. Progress˜oes e Matem´atica
Financeira / Augusto C´esar Morgado , Eduardo Wagner, Sheila C. Zani. -5.ed. - Rio de Janeiro: SBM, 2001.
