ESTATÍSTICA I
Professora Kelly Alonso
Probabilidade Total e Teorema de Bayes
2
Exercícios de Probabilidade
1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos,
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelo menos um esteja vivo.
H: homem vivo : homem morto M: mulher viva : mulher morta
H M
1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) ambos estejam vivos;
( )
P H ∩M = P H P M =( ). ( ) 2 2 4 5 3 = 15
b) somente o homem esteja vivo;
( )
P H ∩M = P H P M =( ). ( ) 2 1 2 5 3 = 15
c) somente a mulher esteja viva;
( )
P H ∩M = P H P M =( ). ( ) 3 2 6 5 3 = 15
1) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a probabilidade de que a mulher esteja viva daqui a 30 anos é 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
d) nenhum esteja vivo;
( )
P H ∩M = P H P M =( ). ( ) 3 1 3 5 3 = 15
e) pelo menos um esteja vivo;
( ) P H ∪M = P H( )+ P M( )− P H( ∩M) = 2 2 4 6 10 4 12 5 3 15 15 15 + − + − = = 1 P H( M) = − ∩ = 1 3 12 15 15 − = Obs: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 6 3 1 15 15 15 15 P H ∩M + P H ∩M + P H ∩M + P H ∩M = + + + =
2) Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; e P(A ∪ B) = 0,6. Calcular p considerando A e B: a) mutuamente exclusivos; b) independentes. ( ) 0 P A∩B = ( ) ( ) ( ) P A∪B = P A + P B ⇒ P B( ) = P A( ∪B)− P A( ) ( ) 0, 6 0, 2 0, 4 P B = − = ( ) ( ). ( ) P A∩B = P A P B
[
]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). 1 ( ) ( ) P A B P A P B P A B P A P B P A P B P B P A P A ∪ = + − ∩ = + − = − + ( ) ( ) 0, 6 0, 2 0, 4 ( ) 0,5 1 ( ) 1 0, 2 0,8 P A B P A P B P A ∪ − − = = = = − − b) independentes.3) Dado que um estudante, escolhido ao acaso, esteja matriculado no curso de Estatística. Analise o quadro e calcule a probabilidade desse estudante ser mulher.
200 85 115 Total 30 10 20 Computação 30 20 10 Estatística 30 15 15 Matemática aplicada 110 40 70 Matemática pura Total Mulheres Homens
A = {mulher} e B = {matriculado em estatística}
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
3
2
/
200
30
200
20
/
/
=
⇒
=
∩
=
B
A
P
B
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
a) ser da fábrica A;
b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A;
c) ser defeituosa;
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa.
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
a) ser da fábrica A;
( )
P A = 100 1
600 = 6
b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A;
( / ) P D A = 1 10
Probabilidade Total
c) ser defeituosa;Probabilidade Total
conjuntos disjuntos
eventos mutuamente exclusivos
A1 A2 A3 A4 A5 1 2 3 4 5 A ∪ A ∪ A ∪ A ∪ A = S 1 2 3 4 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P A + P A + P A + P A + P A = 1 1 ( ) 1 i i i i A S P A ∞ ∞ = = =
∑
=U
, i j A ∩ A = ∅ ∀i j i ≠ jProbabilidade Total
11
Probabilidade Total
1 2 5(
)
(
)
(
)
B
=
A
∩
B
∪
A
∩
B
∪
L
∪
A
∩
B
5 1( )
(
i)
iP B
P A
B
==
∑
∩
A1 A2 A3 A4 A5 B 5 1(
i). ( /
i)
iP A P B A
==
∑
O Teorema da Probabilidade Total pode ser
interpretado fisicamente como uma medida do peso de
cada um dos eventos
A
ina contribuição para formar o
Voltando ao exercício
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
c) ser defeituosa;
Probabilidade Total
( ) ( ) ( ) D = A∩D ∪ B∩D ∪ C ∩D ( ) ( ) ( ) ( ) P D = P A∩D + P B∩D + P C ∩D ( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) P D = P A P D A + P B P D B + P C P D C 1 1 2 1 3 1 10 10 3 23 ( ) 6 10 6 20 6 100 600 600 P D = + + = + + =2) Suponha que a população de uma cidade está formada por 60% de homens e 40% de mulheres. Suponha também que 50% dos homens e 30% das mulheres fumam. Determine a probabilidade que uma pessoa selecionada aleatoriamente
a) seja fumante;
Probabilidade Total
b) uma pesoa que fuma seja homem.
Temos que
P
( )
H
=
0
,
6
;
P
( )
M
=
0
,
4
;
P
(
F
/
H
)
=
0
,
5
;
P
(
F
/
M
)
=
0
,
3
( )
F
=
P
( ) (
H
P
F
/
H
)
+
P
( ) (
M
P
F
/
M
) (
=
0
,
6
×
0
,
5
) (
+
0
,
4
×
0
,
3
)
=
0
,
42
P
b) uma pesoa que fuma seja homem.
(
)
(
)
( )
(
)
(
) ( )
(
)
0
,
71
42
,
0
30
,
0
/
30
,
0
6
,
0
5
,
0
/
/
=
=
=
×
=
=
∩
∩
=
F
H
P
Logo
H
P
H
F
P
F
H
P
mas
F
P
F
H
P
F
H
P
Voltando ao exercício
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
a) ser da fábrica A;
b) ser defeituosa, sabendo que a peça provém da fábrica A;
c) ser defeituosa;
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa.
Teorema de Bayes
( /
)
Teorema de Bayes
O teorema de Bayes está intimamente relacionado ao
teorema da probabilidade total. Supõem-se as mesmas
condições (eventos
A
imutuamente exclusivos e exaustivos e
um evento
B qualquer). Basicamente, o teorema de Bayes
permite obter a probabilidade de que um dos eventos
A
iocorra,
Teorema de Bayes
Suponha que queremos saber P (Ai / B), para isso usaremos a
probabilidade condicional , mas não conhecemos P (Ai∩B) e P (B). Pela regra do produto temos:
P (Ai∩B) = P(B/Ai) . P(Ai) = P(Ai/B) . P(B) E pelo Teorema da Probabilidade total temos que:
Logo, o Teorema de Bayes é dado por:
( ). ( / ) ( / ) ( ) i i i P A P B A P A B P B = P (Ai ∩ B) 5 1 ( i). ( / i) i P A P B A = =
∑
P (B) ( i ) ( i). ( / i) ( ). ( i / ) P A ∩B = P A P B A = P B P A B ( ). ( / ) ( / ) ( ) i i i P A P B A P A B P B = A1 A2 A3 A4 A5 B 5 1 ( ). ( / ) ( ). ( / ) i i j j j P A P B A P A P B A = =∑
Teorema de Bayes
Voltando ao exercício
1) Considere 3 fábricas A, B e C, que produzem um determinado produto em lotes de 100, 200 e 300 peças, respectivamente. Um lote de cada fábrica é selecionado e as peças são misturadas. Suponha que a probabilidade de se encontrar peças defeituosas em cada uma das fábricas seja respectivamente de 10%; 5% e 1%. Selecionando-se uma peça ao acaso, calcule as seguintes probabilidades:
d) ser da fábrica A, sabendo que a peça é defeituosa;
( ). ( / ) ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) P A P D A P A D P A P D A P B P D B P C P D C = + + 1 1 1 1 600 10 6 10 60 ( / ) 1 1 2 1 3 1 23 60 23 23 6 10 6 20 6 100 600 P A D = = = = + +
Teorema de Bayes
2) Durante o mês de agosto a probabilidade de chuva em um dia determinado é de 4/10. O Fluminense ganha um jogo em um dia de chuva com probabilidade 6/10 e em um dia sem chuva com probabilidade de 4/10. Sabendo-se que o Fluminense ganhou um jogo naquele dia de agosto, qual a probabilidade de que choveu nesse dia?
( )
( )
(
)
(
)
10 4 / ; 10 6 / ; 10 6 ; 10 4 = = = = P C P F C P F C C P(
C
F
)
P
/
(
)
(
)
( )
(
)
( )
[
]
[
(
) ( )
]
(
) (
)
2 1 10 6 10 4 10 4 10 6 10 4 10 6 / / / / = × + × × = × + × × = C P C F P C P C F P C P C F P F C PSejam os eventos: F – Fluminense ganhar C – chover no dia
Temos que
Queremos saber . Pelo Teorema de Bayes:
