Análise limite de lajes via programação linear através do método dos elementos finitos

AHÁLISE LiftITE DE LAJES VIA PRÓGRAPffiÇÃO LINEAR

, ,

&TRAVES DO ME'fODO DOS ELEMENTOS FINITOS

,

Luis Fernando Nunes ftello

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS

,

-PROGRAMAS DE POS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS

( M, Se. ) EM ENGENHARIA CIVIL.

A.provada por,

( Co-orientador )

Prof. Fernando Luiz Lobo Barboza Carneiiro

Rio de Janeiro, RJ BRASIL DEZEMBRO DE 1987

,

MELLO, LUIS FERNANDO NUNES,

, ,

Atraves do l'letodo dos Elementos Finitos ( Rio de Janeiro), 198?.

xi, 262 p., 29,? cm ( COPPE/UFRJ, PI.Se., Enge-nharia Civi 11 198? )

Tese Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.

,

2. Analise Limite de Lajes

3. Teoria das Linhas de Ruptura

i i i

E,ste trabalho e dedicado a todos aqueles que

,

possuem um ideal e que lutam por aqui lo em que

,

a.creditam, porque se os ob9ta.oulos sao muito9, o

A Deus pela oportunidade de ser e oonstruir, sonhar e realizar, aprender e evoluir.

.

'

A minha familia pelo .carinho, pela

compreen-"'

sao, pelo incentivo, pela oonf iança, pela pac iencia e por todas aquelas outras coisas que nos dão força e vontade de ir sempre em frente.

Aos amigos, de hoje, de ontem e de sempre, pela conv1venc1a agradavel, • I\ • , pelas criticas oportunas, pela

,

ajuda constante e, principalmente, pela amizade.

'

Aos orientadores pela oonfianç,a, pelas

oriti-"'

oas sempre benvindas e pela paoienoia de ensinar.

Aos professores da COPPE pela camaradagem e

'

pelos ensinamentos recebidos e aos funcionarias por toda a

ajuda e atenção dispensadas.

Ao pessoal do NCE pela boa vontade e por

to-.

-dos os recursos coloca-dos a disposi9ao1 em especial a Luoia , Bruno pela gentileza e pela presteza em solucionar os inume-ros problemas que surgiram no decorrer desse trabalho.

Ao CNPq pelo apoio financeiro recebido, sem o qual a realização desse trabalho teria sido impossiuel.

V

'

Resumo da Tese apresentada a COPPE/UFRJ como parte dos

'

-requisitos necessarios para obten9ao do grau de

A

l'lestre em Ciencias ( l'I,. Se. )

ANÁLISE Lil'IITE DE LAJES VIA PROGRAl'IAÇÃO LINEAR

'

'

ATRAVES DO l'IETODO DOS ELEl'IENTOS FINITOS

Orientador,

Programa:

'

Luis Fernando Nunes l'lello Dezembro de 198?

Luiz Eloy Vaz Engenharia Civil

Com base na Teoria das Linhas de Ruptura ( Johansen, 1932 ) formulou-se um elemento finito

nao-conven-'

cional para a analise de lajes cuja lei constitutiva fica

definida atrav~s de uma curva momento versus rota9âo na

se-'

9ao tran5ver5al a linha de ruptura. Assim, apena5 com o

'

'

'

deslocamento perpendicular a superfioie media da laje em ca-da um dos quatro pontos noca-dais, o elemento mostra-se

exce-lente para representar e encontrar a oonfigura9ão e o fator de colapso a partir de uma discretiza9ão criteriosa e

racio-'

nal, podendo ser usado tanto na analise limite via

programa-' '

9ao linear quanto na analise elasto-plastica, considerando-se cargas crescendo proporcionalmente

ou independentemente umas das outras Adapta9ão da Estrutura ).

( Colapso Estatico

'

) ( Comportamento de

fulfillment of the requirements for the degree

oE

Master of Science (

n.

Se. )

LIMIT 8N8LYSIS OF SL8BS BY LINEAR PROGRAMMING THROUGH THE FINITE ELEMENT nETHOD

'

Luis Fernando Nunes Plello Deoember, 19 B7

Chairman1 Luiz Eloy Vaz Department1 Civil Engineering

Based upon the Yield-Line Theory ( Johansen, 1932 ) a non-oonventional Einite element is formulated for the analysis of slabs whose oonstitutive law is defined through a moment-rotat ion curve at the sect ion transversal to the yield-line. Thus only with the displacement perpendicular to the slab medium surface at each one of the Eour nodal points I the element shows to be eKcellent to represent and Eind the oonfiguration and the Eaotor oE oollapse beginning

Erom a oritil!!riou5 and rational discretization. It oan be used in the limit analysis by linear programming or in the elastic-plastic analysis, considering forces increasing

proportionally ( Static Collapse ) or independently Erom

vii I IDDICE I Introda9ão

...

1 I I I A Analise Liaite I I I

'

'

.1 - Os Princípios Extremos para ftateriais

Rigidc-'

p 1 a 5 t i CD 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 4 .1 - O Teorema do Limite Inferior

...

.2 - O Teorema do Limite Superior

.3 - O Teorema da Unicidade, Limites

Coincidentes

...

5

6

7

'

.2 - A Anali5e Limite em Laje5 •••••••••••••••••• 9

Os Fundaaentos da Teoria das Linhas de Raptara . . 15 .1 - Ductilidade, um Requisito Importante • . . . • . • 17 .2 - CondiçÕes de Formaçio da Configuraçio de

Colapsa . . . . 18

'

.3 - ftomentos Resistentes, o Criterio de

Escoamento ( Ruptura ) de Johansen . . . 23

.4 - n~todos para a Determinaçio da Carga de

Colapso . . . . 30

.1 - Trabalhos Virtuais • • • . . • . . • . . ••••••••• 31 .2 - Equações de Equilibrio • • • . . • • . . • . • • • . • 33 .5 - Configura9Ões de Colapso Aproximadas, o

'

netodo da Tentativa-e-erro .6 - A Comprovaçio Experimental

35 38

,

IV O Rodeio Teorico Proposto

V .1 - A Concepção do Elemento-Charneira: o .2 -CHARPLAS A Formulayio do Elemento ••••••• . . . . 40 42 .1 - O Sistema Looal de Coordenadas

Genera 1 i zada 5 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 42 .2 - A Equação de Compatibilidade . • . . • • • • • • 43

• 3 - A Equação de

,

Equilíbrio . . . . 50

.4 - A Matriz de Rigidez Tangente •••. •••••• 52 .5 - As Forças Nodais Equivalentes ..••••••• 58 .1 - Força Concentrada em Ponto Interno 60

,

• 2 - Força Uniformemente Di,.tribuida • • 60 . 3 - Momento ao Longo do Lado • . . • . . • • . 62

,

.4 - Momento Uniformemente Distribuído 62 ,

.5 - Força Linearmemente Distribuída 65 .6 - Força Uniforme e Parcialmemente

,

Di5tribuida • • • . . • • • • . . • .

,

.6 - As Forças Elastioas Interna"

67

68 .3 - O Sistema Global de Coordenadas

Genera 1 i zadas . • . • • . . . . • • . • • • • . . • . . • . . • . . 69

, ,

.4 - O Elemento-Rotula Elasto-Plastico: o ROTPLAS 73

,

Analise Liaite ••••••

.1 - O Problema das Cargas Proporcionais .1 - Formulação .2 - A Dualidade e a Aproximação do 77 79 79 Mecanismo . . . • . . . • . . . • . . . . • • • . . • . . • • • 82

iK

,3 - M~todo de Solu9ão1 o Algoritmo de

Livesley . . . . 88

.1 - Os Esforços Internos e o Fator de

Colap5o . . . . 89

,2 - A Contigura9ão de Colapso,,,, ••.•• 97 .2 - O Problema das Cargas Independentes

-

'

.1 - O Teorema da Adapta9ao da Estrutura as

Cargas . . . .

.

... .

...

101 107 114

'

-.3 - Metodo de Solu9ao: o Algoritmo Simplex . 116

I I

-VI A Analise Elasto-Plastioa aoao Op9ao

A os Problemas de Canvergencia 118 .2 - O M~canismo de Calap5o . . . 124

-

'

Redu9ao do Numero Total de Graus de L i b e r d a d e . . . 126

VII A I1:pleaenta9ão Co,:putaaional do Rodela.•••••••• 130

'

.1 - O Pre-Processador

...

• 2 - O Proct!55ador . . . • . . .

'

,3 - O Pos-Processador

...

VIII - Aplica9Ões

...

'

131 133 134 147 .1 - Problemas de Colapso Estatico •• , ••• , ••••••• 148

,1 - Exemplo 1: Laje Quadrada Simplesmente

Apoiada, Carregada no Centro • • • . • . • . . 148 .2 Exemplo 2: Laje Quadrada Simplesmente

Apoiada, Carregada Uniformemente • . . • . 155

.3 - Exemplo 3: Laje Retangular Simplesmente Apoiada, Carregada no Centro , • . • • . . . . 160

Apoiada com Furo Retangular, Carregada

Unii'ormemente . . . • . . . • . . 172

h

.5 - Exemplo 51 Laje Retangular com Tres Lados Adjaoentes Engastados e o Outro

Livre, Carregada Unii'ormemente •.••••• 174 .6 - Exemplo 61 Laje Quadrada Apoiada num

Lado e numa Coluna, Carregada

Uniformemente . •• • •• • •. • .• • . . • • . • • • • 176 .7 Exemplo 71 Laje Circular Engastada,

Carregada Uniformemente •..•.••••••••• 185 .8 - Exemplo 81 Laje Quadrada Simplesmente

Apoiada, com Momentos Resistentes

, ,

-Ultimos Diferentes em Varias Se9oes,

Carregada Uniformemente . . . 189

.9 - Exemplo 9: Laje Circular Apoiada em Oito Colunas Dispostas Circularmente,

Carregada Uniformemente • . . • . . . • . • . • • • 192

.10 - Exemplo 101 Laje Retangular Apoiada

num do5 Lados e em Duas Colunas,

Carregada Unii'ormemente

.2 - Problemas de Adapta9ão da Estrutura

.1 - Exemplo 1: Viga Continua de Dois vãos

Iguai5 1 Carregada no Centro de Cada

-196 198

Vao • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 199

, .2 - Exemplo 2: Laje Retangular Continua

de Dois vãos Iguais, Carregada no

xi

'

.3 - Exemplo 31 Laje Retangular Continua

de Dois vãos Iguais, Carregada

Uniformemente em Cada vão , , , •...••••• 207

'

.4 - EKemplo 41 Laje Retangular Continua

de Dois vãos Desiguais, Carregada

Unitornemente . . . 212

IX Conolu5Ões, Discussões, BeooDE!ndaçÕes e Sugestões para llovos Es todas . . . . 2 21

A

APEIIDICE A . . . • . . . • • . . . • • . • • . . . • . • . . . 230

A

Curva AproKimada Momento Versus Curvatura para Seç;es Retangulares de Concreto armado com Armadura Dupla.

APEIIDICE B . . . . • • • • • • • • • • . . . • • • • • • • • . . .

Prova da Derivação do Modo de Colapso,

A

241

APEIIDICE C . . . • . • • . . . • . . . • • . . • • . . . • 2 44

Procedimentos e Algoritmos Utilizados na Implementa-ção do Programa CHAPLIN para DeterminaImplementa-ção de Cargas e Configuraç;es de Colapso em Lajes,

A I

CAPÍTULO I

IDTBODUÇÃO

'

'

O principal objetivo da analise estrutural e

ga-'

'

rantir a seguran9a da estrutura contra a ruina atraves de um fator adequado, mantendo, entretanto, a sua funcionalidade para cargas em serviço.

'

'

Apesar do uso generalizado, a analise elastica oo-_, base para o projeto estrutural tem as suas limitações. A

'

-

-'IINlior delas e nao fornecer uma indioa9ao precisa do fator de segurança ~ ruptura, justamente porque I nessa cond i9ão I os

aateriais pod•m comportar-se plastioamente, violando assim a

' '

hipotese de comportamento elastio.o. Uma das op9Ões para

so-' ' '

lucionar esse impasse e a analise elasto-plastioa1 contudo, a descri9Ão das propriedades do material não-linear••

ter-' '

-aos matematioos aplicaveis, freqüentemente nao possui preci-sao suficiente para justificar o enorme esfor90

coaputacio-'

nal geralDll!nte envolvido nesse procedimento. Isso e espeoi-almente verdade para muitas estruturas de concreto armado.

No caso particular das lajes, a Teoria das Linhas de Ruptura aparece oomo alternativa. Apesar de não fornecer qualquer informação do comportamento em serviço, e

'

sempre possivel a obten9ão de um valor realistioo da carga de rup-tura para muitas situações de carregamentos e geometrias. Al~m disso, a relativa facilidade de aplioa9ão em casos não

2

muito complexos e a comprovaçao experimental de muitas das soluções previstas fazem com que se destaque entre os outros

,

metodos de mesma filosofia.

, ,

Todavia, como em quase todos os metades analíticos em engenharia, a aplicação pr~tioa efetiva dessa teoria fica limitada a lajes de espessura constante, geometria simples, distribuição de armadura uniforme e submetidas a

oarregamen-'

,

-tos tambem nao muito complexos. Apesar do elevado numero de

'

soluções eHistentes para o uso pratico, como, por exemplo, as muito bem desenvolvidas por VAN LANGENDOCK [01), a

utili-'

zaçao em problemas reais e, portanto, mais oompleKos, e

de-'

morada, dispendiosa e, por vezes, muito trabalhosa devido a

'

variedade de passiveis mecanismos de ruptura que precisam ser investigados.

A intenção do presente trabalho e,

'

t!nt ão, mostrar

,

,

um me todo para tentar superar alguns desses obstaoulos. Atrav~s da formulação de um elemento baseado no l'letodo dos

,

Elementos Finitos, com enfoque pelo l'lodelo de

Deslocamen-'

tos, mostra-se ser possível encontrar o Eator de colapso e o

,

correspondente mecanismo de ruptura diretamente via analise

'

limite, sem que haja a necessidade de conhecer a historia

,

Pelas oaraoteristioas do elemento proposto

e a consideração de materiais perfeitamente pl~stioos, pode-se formular o problema em termos dos teoremas dos limites interior e superior, chegando-se naturalmente a um problema de Programação Pia tema ti ca, tão , em evidencia

"

atualmente pela

potencialidade de atiliza9ão no dimensionamento e na

onalmente e aleatoriamente entre dois limites,

respectiva-I

111ente, colapso estatico e colapso incremental. Alem de al-I goritmos eticientes para a solu9ão do problema de programa-9Ão linear, apresenta-se, tambem, as bases do programa com-I

I

-putacional desenvolvido pelo autor para analise e avalia9ao do modelo proposto.

4 •

11r==================---==-====n

I CAPITULO II I A AHALISE LIIIITE

'

'

II.1 - Os Principies Extremos para Materiais

Rígido-'

Plasticos

'

'

'

Um material rigido-plastico perfeito e definido

-

'

-como aquele para o qual nao ha detorma9ao alguma quando as

tensões estão abaixo de certo limite, o ponto de escoamento, Nesse ponto, grandes deforma9Ões podem ocorrer sem que haja qualquer mudan9a nas ten5Ões, Apesar de nio existirem

cor-' '

pos de comportamento rigido-plastico perfeito, o modelo pode ser usado sempre que as deforma9Ões

'

maiores que as elasticas.

'

plasticas forem muito

Quando as cargas sao aumentadas monotonioamente

'

-

'

ate o ponto em que a estrutura nao consiga mais suporta-las,

'

o corpo e dito haver atingido o colapso. A carga

correspon-'

dente e chamada carga de oo I apso, oarqa de ruptura, oarqa

'

ui tinta ou 011.pao idade de aarqa, entre outros. O estado de

detorma9ão do corpo nesse instante~ conhecido como

mecanis-mo d~ aalapso, mecanismecanis-mo d#!! ruptura, aanFiguraçãa de ruptura

ou conFiquração de colapso, entre outros, A teoria para a determinação da carga de colapso em corpos rigido-plasticos I '

,

,

,

e denominada analise limite e utiliza os princípios extremos formulados primeiramente por GVOZDEV [02) em 1938 e indepen-dentemente por DRUCKER et alia [03) em 1952, Tratar-se-a

'

monstra9;0 completa pode ser obtida, por eHemplo 1 em

KACHAKOV [ O

4] .

11.1.1 - O Teorema do Limite Inferior

'"Se a carga atuante tem uma magnitude que permite encontrar um oampo de tensão correspondente a

ten-,

soes dentro ou sobre a superfioie de colapso,

sa-'

tisfazendo as oondi9Ões de equi l ibr io , e as oondi-

'

9;es est~tioas do contorno, então essa carga;

me-'

nor ou igual a carga de colapso da estrutura."

Um campo de tensão desse tipo e denominado

,

sequro

,

,

,

ou estaticamente admissível. E possível, claro, supor

oam-pos de tensão em equilÍbrio com a carga, mas em regioes

aoi-,

ma do ponto de escoamento; entretanto, somente se for

possí-vel encontrar um que corresponda a tensões, em qualquer

pen-'

to, abaiHo ou coincidentes com o ponto de escoame.nto e que

,

essa carga sera um limite interior da carga de colapso.

Der inindo-5e o carregamento eKterno ap l ioada por

"

um parametro estritamente positivo X de modo que as compo-nentes individuais das cargas lhe sejam proporcionais, tem-se o que tem-se chama carreqamento proporciona/ ou,

simplesmen-te, carqas proporcionais, O colapso provocado por esse tipo

'

,

de carregamento e conhecido como colapso estatioo. O teore-ma pode então ser utilizado para encontrar valores de carga

'

6

de proporcionalidade X, conhecido como Fator de aolap6o ou

e

'

Fator d• ruptura, dai o nome Teorema do Limite Inferior.

Então, para todos os carregamentos~ para os quais

'

um campo de tens;a seguro e esta t ioamente admiss ive l pode ser encontrado,

(II.01)

sendo a igualdade verificada quando surge a oonfigura9ão de

'

colapso. Tudo isso tambem se aplica quando parte do

carre-'

gamento e proporcional a X e o restante, por exemplo, peso

'

'

proprio, e constante.

11.1.2 - O Teorema do Limite Superior

.. Cons ideranda-sa um campo de de5 looamento

geome-'

trioallll!nte passivei, uma carga que realize

traba-'

lho externo maior do que o trabalho interno

pias-'

tico necessario para deformar o corpo sob um campo

-

'

de deforma9ao compatível com esse campo de

deslo-'

'

camento sera maior ou igua 1 a carga de colapso."

Atrav~s da mesma defini9ão de carregamento propor-cional, esse teore- pode ser usado para encontrar valores

'

de carga que sao maiores ou iguais a carga de colapso, isto

'

e, se valores de X forem determinados de modo que o trabalho

' A

rea 1 i zado seja igual a resistencia contra o campo de

,

'

a carga encontrada e maior ou igual a carga de colapso, ou seja,

(II.02)

sendo a igualdade verificada quando o mecanismo corresponde ao do colapso.

Deve-se ainda notar que as tensões oorrespondentes

-

,

ao oampo de deforma9ao geometricamente possivel nao necessi-tam satisfazer ~s condi9Ões de equilibrio,

,

Pode-se oonoluir1

deforma9ão geometricamente

então que, se varias aampos de

,

passiveis sao considerados, a

equa9ão do trabalho pode ser utilizada para encontrar

valo-'

res da capacidade de carga que sao maiores ou iguais a

ver-,

dadeira1 dai o nome Teorema do Limite Superior,

II.1.3 - O Teorema da Unicidade, Limites Coincidentes

,

De acordo com os dois teoremas da analise limite

, ,

para corpos rig ido-plast icos e carregamento proporcional 1 pode ser encontrada uma carga de forma que,

CONDIÇÃO 11 Exista um campo de tensão

estatica-,

'

-mente admissível correspondente as tensoes dentro ,

8

'

CONDIÇÃO 21 correspondentes as

tensões de acordo com a oondi9ão de escoamento ( ruptura ) podem ser obtidas a partir de um campo

'

de deslocamento geometrioa1Nnte possível,

'

'

Isso e verdade porque carregamentos satisfazendo a

'

sao menores ou iguais a carga de colapso, e

car-regamentos satisfazendo~ condição 2 são maiores ou iguais~ carga de colapso, Quando ambas as condi9Ões sao satisfeitas

'

'

siaultaneamente, a carga encontrada e igual a carga de co-lapso, que~ assim determinada de maneira unica.

'

Nem sempre o corpo todo "participa" do colapso. Freqüentemente ocorre que apenas parte esta deformada nesse

'

'

instante1 o restante do aes111C1 permanecendo rígido, impede que as tensões sejam determinadas de modo unioo1

'

sabe-se

'

apenas que correspondem a pontos dentro ou sobre a

superfi-' '

oie de colapso. Tambem ocorre de varias campos de

deforma-'

'

9ao geometricamente passiveis levarem a mesma capacidade de

'

carga. Contudo, pode ser mostrado que, quando se esta

tra-balhando .com dois desses campos de deformação

oorresponden-tes ao mesmo carregamento externa, as tensões sao identioas A nas partes da carpo ande1 nas dois casos, ocorrem

deforma-9oes não-nulas; isto e

'

1 nem o mecanismo de ruptura, nem o campo de tensão~ determinado de maneira ~nica paratÍm corpo

' '

rigido-plastico; apenas a carga de colapso.

Em resu11to _I l imi te5 inferiores e superiores para

teo-'

derando-se um mecanismo de colapso geometricamente possível

e resolvendo-se a equa9ao do trabalho. Um limite inferior pode ser obtido da oonsidera9ão de um campo de tensão esta-ticamente admissivel correspondendo a tensões dentro ou

se-'

bre a superfície de colapso.

Uma solu9ão exata requer a oonstru9ão de um campo de estaticamente admissível correspondendo a tensões

'

'

dentro ou sobre a superfioie de colapso no corpo todo, bem como a verifica9ão de que um campo de deforma9ão

geometrioa-' '

-mente possível, satisfazendo as equa9oes constitutivas, cor-responde a esse campo de tensão. Esse tipo de solu9ão,

en-'

'

tretanto, e apenas de interesse aatematioo, nao

representan-'

do ganho algum para a engenharia pratica.

'

II. 2 - A Analise Limite em Lajes

'

'

A analise limite reconhece que, devido a

plastici-dade, a redistribui9ão de esfor9os pode ocorrer antes que a carga de ruptura seja atingida. Por exemplo, em se9oes t i -

'

picas de concreto armado, uma vez alcan9ado o escoamento do

'

-

-a90 tracionado, ou seja, o inicio de plastifioa9ao da se9ao, o au,nento da curvatura provoca pouca mudan9a nos momentos. Assim, quando determinadas regioes atingem o momento de

'

tendem a manter a capacidade resistente

pro-,.

'

-xima da resistenaia a flexao, mes111D aam um aulM!nto adicional

de ourvatura1 com o aumento da carga, o escoamento da arma-dura propaga-se para as outras se9oes da laje. A analise

'

10

limite computa, então, a carga ~ltima e a distribui9ão dos momentos e esforços cortantes na oonfigura9ão de colapso

su-,

pondo que as se9oes da laje sejam suficientemente ducteis para permitir a requerida redistribui9ão de momentos

fleto-res. Para isso, pode ser usado o teorema do limite inferior

,

ou do limite superior ja apresentados.

O teorema do limite inferior requer uma distribui-9ao de momentos na laje tal que,

1. As condi9Ões de equilibrio sejam satisfeitas

,

em todos os pontos1

2. O orit~rio de escoamento ( ruptura ),

detinin-,.

,

do a resistenoia ultima das se9oes da laje, nao seja eKoedido em lugar algum1

3. As oondi9Ões de contorno em esfor9os sejam respeitadas.

,

A partir das equa9oes de equilibrio e da distribu-i9ao de momentos considerada, o teorema do limite inferior

,

fornece uma carga de colapso cujo valor e o correto ou abai-,

ao dele, ou seja, a capacidade de carga nunca e superestima-da.

O teorema do limite superior considera um

'

sejam maiores que os momentos resistentes ultimas

das sec;,Ões;

2, O meoani smo de oo lapso seja geometr ioamente

'

compativel,

'

'

O mecanismo de colapso e composto de partes

rígi-das da laje separarígi-das por regiÕes de plastificaç,io, sendo a

'

carga de ruptura calculada atraves desse mecanismo arbitra-do, Entretanto, essas partes rigidas nao são examinadas

'

pa-'

ra garantir que os moffll!ntas ai naa excedem os momentos

re-'

sistentes ultimas daquelas seç,oes, o que certamente

aconte-'

cera se for arbitrado um mecanismo outro que o correto. Pa-ra uma dada laje, o teorema do limite superior fornece uma

' .

carga de colapso que e a correta ou_ma~s alta que estai

oon-'

tudo, se todos os passiveis mecanismos de colapso forem

eKa-'

minados, o que fornecer a carga de ruptura mais baiKa sera o correto.

É

evidente que se o mecanismo correto nao Eor

usa-'

do, a carga de colapso estara sendo superestimada,

'

A diferenç,a entre os dois metadas pode ser

ilu5-trada para o oaso simples de uma laje retangular armada numa

direç,io, carregada uniEormeml!!nte na superf' ioie e

'

engastada

somente em dois dos lados opostos, conforme a figura

(II.Oi.a}. Os momentos resistente5 ultimas por unidade de

'

largura da laje ,.;o m' (negativo} em (positivo),

r r Para um

'

limite inferior, o diagrama elastico da figura (II,01.b) pc-de ser escolhido, Essa distribuiç,io de momentos~ uma

solu--

,

,

....

...

12

(a)

@

r

@

(9

1---·-1

~·rnr

ma

=m'r

(b)

(e)

@

~r

@

, 11l1611l1111111114

@

(d)

Fi~

li. 0 1 _ Exemplo Elucidativo

da

Aplicação

dos

'

brio sao atendidas. Como f ioa evidente pela estat ioa, a oarga de colapso por unidade de largura (q ) calculada para

r

'

esse diagrama esta muito baixa porque os momentos

resisten-' '

tes ultimes nao sao atingidos em todas as se9oes criticas, antes que a carga de ruptura seja calculada, e diagrama pre-cisa ser modificado para que isso aconteça, Alternativamen-te, para um limite superior, pode ser escolhido o mecanismo

'

de colapse da figura (II.OI.e). E evidente que a carga de

'

'

colapse prevista per esse mecanismo possivel e incorreta e

fornece um valar muito alto, oomo pode 9er visto no diagrama

de momentos limites da figura (II.OI.d), no qual e memento

'

'

resistente u 1 t i me pos i t i vc e excedi<!o. Esse exemple pede parecer trivial porque a sclu9ãc correta pede ser obtida simplesmente per inspeçao, viste que o mecanismo de colapse e a carga de ruptura corretos ocorrem quando as regioes de plastifica9ão se formam nos apoios e no meio de vao1

entre--

'

tanto, as solu9ces da analise limite em lajes com geometria

' '

e cond i9cies de contorno mais complexas e bem mais dificil e

'

-

-nem sempre e tac evidente se a solu9ao correta foi obtida.

A aproxima9ao do limite interior mai5 aomumente

'

'

'

usada e o tt~todo da Faixa d~ Rill~rborq[OS,06], que obtem a

distribuição de momentos e esfor9os cortantes substituindo a

laje por faixas em duas direç,Ões que repartem a carga. A

' '

aç,ao da faixa e um procedimento valido porque se o carrega-mento~ suportado inteiramente por flexão, satisfazendo des-sa maneira os requisitos da est~tioa, nenhuma consideraç,ão

'

necessaria. Ja foi mestrado em mui-

'

tos trabalhos que aproximaç,oes alternativas para o limite

14

inferior incluindo tor9ão sao difíceis de se obter em muitos

casos.

,

O teorema do limite superior para lajes e repre-sentado pela Teoria das Linhas de Ruptura, sendo adotada no presente t~abalho porque, aliada a simplioidade, a sua oom-'

,

prova9ao experimental mostra ser possivel obter um valor re-,

alistioo para a carga de ruptura para muitos casos; inclusi-,

ve₁ a analise pela Teoria das Linhas de Ruptura com configu-ra9~es simples parece ser a avalia9ão mais pr~xima da ruína real do que uma solu9ão do tipo limite inferior.

I

CAPITULO III

OS FUJIDAIIERTOS DA TEORIA DAS LIHBAS DE BUPTOBA

• I

Apesar de Ja haver sido introduzida por INGERSLEY [07] em 1923 e generalizada por JOHANSEN [08] em 1932, ate

'

cerca de 1950, a Teoria das Linhas de Ruptura permaneceu sob

'

unta certa descont ianç,a, parecia ser sempre possivel desco-brir. um novo mecanismo, ligeiramente mais compl ioado que o

'

anterior, cuja carga ultima apresentava-se pouco abaixo da

'

anteriormente encontrada. Parte desse problema so foi re-solvida quando PRAGER & HODGE [09] formulando de maneira

ri-'

gorosa os teorentas da analise limite, mostraram que a carga

'

'

ultima mais baixa seria determinada se fosse possivel en-centrar um limite inferior coincidente 00111 outro limite

su-perior. Dai em diante, parecia que

'

a Teoria das Linhas de Ruptura havia sido posta, pela primeira vez, sobre

fundamen-'

tos solidas. Tudo o que restava fazer era acumular uma se-

'

rie de limites inferiores e superiores coincidentes para se

'

'

conhecer a carga ultima de varias casos. Entretanto, apesar de um esforç,o generalizado, muito poucas soluç,Ões desse tipo puderam ser obtidas. A principal dificuldade com os limites inferiores era que as linhas de ruptura positivas e

negati-'

,.

'

vas so podiam encontrar-se em angulos retos, Ja que se

uti-lizava o conceito de momentos principais. Isso, juntamente com a presenç,a de descontinuidades dos campos de tensão en-tre duas regiÕes adjacentes, tornava o problema matematicc

'

'

pre-16

mente de 5e abandonar qualquer e5peran9a de encontrar

5olu-'

9oe5 ooincidente5. E5queoendo-5e por completo a ideia de

'

momento5 principai5, chegou-5e a um oriterio de e5coamento (

'

ruptura } que oon5idera 5omente o valor do momento normal a

linha de ruptura, f ioando a determina9ão da carga ultima

'

vinculada 5omente ~ oon5idera9ão da fleKão. Por

con5eguin-"

te, pode-se definir diretamente es5e momento normal apenas

"

'

-com referencia as tensoes normais no a90 e no oonoreto1 nao

'

"

sofrendo a expressao para o seu calculo qualquer interEeren-eia das outros componentes de tensão. Felizmente, essa

hi-'

'

potese simples e oon9 iderada conservadora quando comparada

com 05 re5ultado5 eKperimentai5.

'

A Teoria da5 Linha5 de Ruptura e e5pecialmente

'

aplicavel a lajes uniformemente armadas; como geralmente a

'

sera este o caso aqui analisado. A ~reada 5e9ão armada por unidade

' '

de largura e oon5iderada oon5tante atrave5 de toda a laje, podendo 5er diferente para armadura5 na5 dua5 dire9Õe5 e/ou

diferente para armadura5 inferiore5 e superiores. Assim, o

'

momento resistente ultimo por unidade de largura _(mr) tera

'

um valor constante ao longo de qualquer linha reta no plano

' '

da placa, A anali5e, atreves da Teoria das Linhas de Ruptu-ra, de lajes com armadura não-uniformemente distribuÍda

tam-'

'

'

bem e possível, ma5 eKi5tem alguns problema5 que impedem a generaliza9ão do proce5so ao nivel que

'

e5ta para a

'

arma9ao

'

"

'

-lapso depende tanto da resistenoia a E lexao das se9oes da laje quanto do carregamento e das oondi9Ões de contorno. Para Eormar a oonfigura9ão de oolapso, uma significativa re-distribui9ão de momentos f letores pode ser neoessar1a

'

.

1

im-'

plicando que essas se9oes sejam suficientemente ducteis para

- I - I

permitir a rota9ao plastioa das se9oes criticas enquanto a plastifioa9ão se desenvolve no resto da laje. Essa

duotili-'

dade disponivel depende, basicamente, da forma da curva mo-mente versus curvatura da se9ao. A figura (A.02) ilustra

'

'

uma curva momento versus curvatura tipioa. A relação e

'

aproximadamente trilinear com um trecho inicial ate a

pri-'

meira Eissura do ooncreto tracionado, um segundo trecho ate o escoamento do a90 tracionado e, finalmente, um trecho onde

'

'

e momento resistente permanece bem proximo ao valor ultimo

at~ que o concreto atinja a sua deEorma9ão limite.

'

Uma medida da ductilidade da se9ao e o Fator de duotilidade da curvatura, definido como a razão entre a cur-vatura quando ocorre o esmagamento do concreto e a curcur-vatura quando o a90 tracionado escoa; entretanto, nenhum

procedi-'

'

mente analítico simples foi ate agora imaginado para

permi-'

t i r o calculo do fator de ductilidade da curvatura para la-jes.

A presen9a de a90 .ao111primida nas se9oes pode

au-'

mentar a duotilidade disponivel. Contudo, testes evidencia-ram que, para a maior parte das laJes, as taxas de a90

tra-18

oionado !lerao !luf ioientemente baiKa!I para ª""egurar que

ª"

-

,

5e9oe!I !lejam razoavelmente duotei!I.

h '

-O aumento de re!li!ltenoia a fleKao devido ao endu-recimento (strain hardeninq) do aço, alem de !ler dificil de , ,

se incluir na formulação, ainda nao e oon!liderado pelo fato

-

, de nao !ler definida na!I e!lpeoifica9Õe,. a deformação na qual e!l!le endureg_imento se inicia.

Sendo a!l!lim, a Teoria da!I Linha" de Ruptura

con!li-, ,

dera que ha sempre ductilidade suficiente na!I !leçoe!I c r i t i

-ºª"

para permitir que a laje possa formar a !lua configura9ão ,

de cc lap!lo com os momento" re" i!ltente!I ul t imo!I mant ido!I em

toda"ª" regiÕe,. de pla!ltifioa9ão.

I I I . 2

-Considere-5e uma laje de oonoreto armado sendo ,

progre!l!livamente carregada ate a ruptura. Para carga" bai-Ka!I, ante" da fis!lur·aç,ão do concreto tracionado, a

di!ltri-buição do!I momento"

,

f letore!I e!lta de acordo com a Teor ia Depoi!I da fi!l!IUraç,ão, e""ª distri-,

Ela!ltica para Placa!I.

-

,

'

-buiçao muda devido ao decrescimo da rigidez a fleKao da!I

re-gioes fis!luradas. Continuando-se a carregar, eventualmente ocorre o e!looamento do a90 tracionado na(") 5e9ão ( Õe,.) de

,

momento f letor maKimo e a laje sofre uma grande mudança de , perl!l'Nlneoendo ai os ,mmentos praticamente constante" e iguais ao momento

resis-,

momento!! fletore!I, !!urgindo regioe!I de inten!la fi!l!lura9ão

'

nas quai!I o aç:o traoionado ja e!looou1 e que propagam-!le por

' '

toda a laje ate que !le formem em numero suficiente para

di-'

vidi-la em !legmento!I que componham um mecanismo de ruptura; nesse e!ltado, então, a laje não mai!I suporta qualquer aumen-to de carga.

Ape!lar do escoamento do a90 tracionado oome9ar primeiramente na !leç:ao onde o momento atuante atinge o

mo-mento resistente ~!timo, a plastitioa9;0 de!lenvolvida pelo

aumento crescente das oarga!I tem a(s) !lua(!!) dire9ão(Õe!1) guiada(s) pela disposi9ão da(s) armadura(!!), pela!! oondi9Ões de contorno e pelo tipo de carregamento.

'

Para os objetivo!! de anali!le1 a regiao plastifica-da e de intensa fis!lura9ão ~ idealizada por uma !limples li-nha no seu centro, conhecida como lili-nha de ruptura ou

ohar-' '

neira plastioa₁ sendo este o unioo ponto de descontinuidade

-

'

considerado entre dua!I regioes rígidas adjacente!!. As lajes

deformadas dessa maneira podem ser vistas como uma serie de

'

'

planos inclinadas interconeotados formando uma superf ioie

'

poliedrioa. A partir da interseo9ão desses planos !legue-!le

a conclusão de que as linhas de ruptura podem ser

considera-das como segmentos de reta I exceto para regioes totalmente

'

'

'

plastificadas, como e o caso de uma superfície esferica ou

h -

-conica sob a aç:ao de flexao pura; na verdade, serao o limite

' '

20

Para qul! a oont igura9ão dl! colapso SI! torwtl!,

l!n-tão,

e I neoessario que as regioes rígidas que se encontram I I

tl!nham as llll!smas dl!f ll!H;;l!s vl!rtioais, nao sl!ndo

oonsidl!ra-I

dos, por hipotl!sl! da Tl!oria das Linhas dl! Ruptura, as tor9as normais'" os moviml!ntos horizontais oorrl!spondentes no

oon-I

torno dl!ssas rl!giol!s. Dl!sdl! qul! apl!nas supl!rf ioil!s planas

I

se encontram nesse mecanismo idealizado, as uniaas

detorma-9oes que devem ser estudadas sio aquelas devidas ~s rota9;;es

'

nor111ais as linhas dl! ruptura; '"ainda mais, sl!ndo l!ssas

ro-ta9;;,.s resistidas apl!nas por moml!ntos normais, o oomp ll!HO

relacionamento entre os moml!ntos, as torças'" as dl!forma9;;es fica vinculado apl!nas ~ avaliação dl!SSl!S mowtl!ntos normais I! das suas rl!spl!otivas rota9;;es.

I I

Quando o mecanismo dl! ruina ja SI! dl!sl!nvolvl!u, as

I

plast ioas ao longo das linhas dl! ruptura sao

I

IIIU i to maiores do qul! as deforma9;;es l!lastioas dos sl!gmentos

I I

de laje entre as charneiras e, portanto, e razoavel nao

oon-I

sidera-las em presen9a das primeiras. Dessa Eorma, oom

ob-I

adota-se o matl!rial como

rigido-I

plastioo.

··"

Como oonsl!qul!noia de tudo o que foi discutido,

po-dl!-SI! concluir qul!1

1. Para poder fazer parte de uma oontigura9ão de

colapso, as linhas dl! ruptura devem sl!r segmentos de reta formando l!ixos dl! rot~9ão para os

movimen-tos dos segmenmovimen-tos de laje, tomando o conjunto o

I I

A '

conicas ou esfericas;

2, Os apoios da laje vao agir coMO eixos de

rota-9ao. Se um lado estiver engastado, uma linha de ruptura pode Eormar-se ao longo do mesma,

de rota9ão passam sobre colunas;

Eixos

3, Por compatibilidade de deEorma9ão, uma linha de ruptura deve passar pela intersec9ão dos eixos de rotação dos segmentos de laje adjacentes,

Na Eigura (III,01) podem ser vistas algumas

conEi-'

gura9oes de colapso passiveis, Note-se a relação de depen-d;ncia entre o mecanismo de ruptura e as condiçÕes de con-torno.

/}

/;/

/1

\"-

_\\

_.

"'-\\

"

\ \

"

\ \

. \ \ \ \ \ \ ' ffl17777:rTT17r""~

\:'

"-\_\

·,

\ \

"-· \ \ \ \ \ \ 1 22

---~

k ~ = ~ ·

( Ruptura ) de Johansen

No oaso comum de lajes armadas com barras dispos-tas ortogonalmente nas dire9Ões X e ! , os momentos resisten-tes ~ltimos por unidade de largura das duas dire9Ões serão,

'

geralmente, diferentes para areas de a90 e recobrimento

dis-'

tintos. Se a laje for armada em varias os

momen-'

tos resistentes ultimas em cada uma delas podem ser projeta-No caso geral de uma linha de

rup--

-

'

tura que nao seja ortogonal a nenhuma dessas duas dire9oes e

'

'

necessario determinar o momento resistente ultimo por

unida-'

de de largura ao longo da mesma, inclusive porque, alem dos w,mentos de flexão, existirão momentos torsores. Para lajes armadas nas duas faces, considera-se cada uma em separado, obtendo-se, desse modo, um par de momentos, positivo e

nega-tiva. Então, 0 5 momentos resistentes ultimas de flexão

'

e tor9ão atuando numa linha de ruptura qualquer podem ser

ob-'

'

tidos atraves do Criterio de Esooamento de Johansen₁ que

de-A '

fine a resistencia ultima de um dado elemento de laje

subme-'

tido a um campo de momentos generico. Assim1 no caso de

ar-madura nas dire9Ões X e ! , relaciona-se os momentos

resis-'

tentes ultimas por_unidade de largura ( m em ) do ele-rx ry

mento de laje aos momentos aplicados por unidade de largura

( 111

111 llly e m₁₁y ) devidos ao carregamento externo quando o

elemento escoa.

Considerando-se que o a90 nas duas dire9Ões

atra-vessando a linha de ruptura atinja o escoamento I o momento

'

rup-.,

24

h '

tura que faz um angulo qualquer com a armaçao e suposto como

'

devido as componentes dos momentos resistentes ultimes

'

nas

a

figura (III.02) mostra um elemento

'

de laje submetido a momentos genericos com uma linha de rup-tura na direção! que forma um ingulo a com o eixo Y.

a

l i

-' '

nha de ruptura real e substituída por uma .. escalonada .. , que

'

oonsi ste numa serie de pequenos degraus ortogonais a o ada

Na mesma

r

igura tem-se um

pe-queno elemento triangular abc dessa mesma linha de ruptura

'

momentos resistentes ultimes. O momento

re-sistente ~!timo normal, agindo na dire9âo ~ ao longo da l i

-'

nha de ruptura, e encontrada atrav;s da consideração do

'

-equilibrio do elemento tomando-se momentos em rela9ao a ab,

m ab • m ac oos a + m bc sena rn rx ry (III.01) 2 2 m

₌

m cos a + m sen a rn rx ry

(

)

2

=

m + m

-

m cos a rx rx ry (III.01')

'

'

E evidente que, no caso geral, o equilibrio do

h

elemento requer a existencia de um momento resistente torsi-anal (mrt) ao longo da linha de ruptura; esse momento e

'

en-'

-centrado tomando-se momentos tambem segundo a direçao ab,

Se m rx m rx ac sena - m bc aos a ry m ) c o s a sena ry m • m rx ry' então, (III.02) (III.02') (III.01) e (III.02), m _rn = m _rx Assim, para esse caso,

(a)

X 7 , ) 1 /

/

1

y

! 1 t' 1 1 t'

K<><

/

"...."'

1

,,,--,

'

~

_

/

_..

)~

1 " : ~ .. 1T) ;,( 1 '

J

1

'·

4=1

1

"'·

',

"'~A,,x

\

1

\

-my

\ \

\

i-nxy

(b)

/

/

C,

(

1

-rnrx

1 \

a.b

= 1

\

₁ bc. ~ ,AW o<.

\

cCl =

em

o<'..

Figura l 11 . 02- Consideração de uma li"lha

de

Ruptura num Elemen

to

de

laje Submetido a um Ccmpo de Momentos Genérico

26

'

os momentos resistentes ultimas normais por unidade de lar-gura sao iguais em todas as dire9Ões e o momento torsor por

'

unidade de largura ao longo da linha de ruptura e nulo.

Es-' '

se tipo de laje e dita isotropioa ou armada isotropioamente.

' '

Quando "'r~ ~ "'ry' e evidente que o momento resistente ultimo por unidade de largura depende da dire9ão da linha de

ruptu-ra, existindo um momento torsor ao longo da mesma. Essa

la-' '

je e dita ortotropioa ou armada ortotropioamente.

Devido ;. simplicidade, muitas das solu9Ões para

"

'

lajes tem sido obtidas para o caso de arma9ao isotropica;

'

entretanto, para a maioria das lajes, o uso da ortotropia e

'

desejavel em termos de economia porque possibilita seguir mais proKimamente a distribui9ão de momentos da Teoria El~s-tioa para Plaoas.

volveu um teorema

Sendo assi111, JOHANSEN

[oe]

que permite a obten9ão de

'

tambe111 desen-so l u9Õe s para lajes ortotr.;pioas baseadas em solu9Ões de lajes isotropi-

'

aas, o T~ar~•• da AFinidad~, mostrando que, alterando-se os

'

00111primentos dos lados e o oarregamento da laje ortotropioa por propor9Ões que dependem da rela9ão entre os momentos re-sistentes ~ltimos por unidade de largura nas duas dire9Ões,

' '

pode-se transforma-la numa laje isotropica equivalente e,

'

'

dessa forma, soluoiona-la com os criterios de isotropia de-senvolvidos.

'

Esse oriterio de esooamento supoe ainda que o

ele-"

'

mento alcan9a a sua resistenoia ultima quando o momento nor-mal (m) devido aos momentos das cargas aplicadas ( m, m e

n K y

mKY ) torna-se igual ao momento resistente (mrn), ou seja, requer que, para o elemento,

'

2 m cos a + m K

y

'

2 sen a + m xy m rn (III.03)

Exi5te uma 5erie de a5peoto5 no que diz re5peito

' '

-as hipote5es feit-as ou envolvid-as na deduçao d-as expressoes

'

do5 momento5 normal e tor5or, que tem oau5ado oontrover5ia e levado a inve5tiga9Õe5 na tentativa de encontrar expre55Õe5 ,...lhore5. Um dele5 ~ que es5a dedu9ão 5upÕe que 05 momento5 re5i5tente5 ~ltimo5 ( mrx e mry ) atuando na5 dire9Õe5 da5 armaduras não sao acompanhados por qualquer momento torsio-nal; ficam a5sim 5endo momento5 principai51 nao existindo,

•• A

como con5equencia, lados bc e ao do elemento. Essa hip.;tese bastante intuitiva leva a simplif'icaçÕes na dedução da equa9ao1 te5te5 posteriores indicaram que es5as

A '

tor9Õe51 quando existem, tem efeito irrelevante no oriterio

'

de e5ooamento. tambem1 a presença de um

momento torsional {mrt) ao longo da linha de ruptura

geral-mente não considerado, visto o orit~rio e5tar baseado apena5

na momento normal.

Um outro ponto~ que a adição dos componentes m rx em para encontrar m ao inv~s da determina9ão direta dos

ry rn

componentes das forças nas barras na direção~. leva a pe-queno5 erro5 no bra90 de alavanca interno do5 momento5

re-A ' '

5i5tentes ultimas; entretanto, essa diferença e muito

peque-'

na para a maioria das lajes que aparecem na pratica.

' A

Outro aspeoto e utilizar-se a resi5tenoia uniaHial de oompres5ão do concreto no o~loulo dos momento5 apesar de grande parte do concreto comprimido da laje estar, na

reali-28

dade, num estado de oompressao biaxial. Por exemplo, onde os 1M>mentos principais são ambos positivos ou ambos

negati-- I

vos, o efeito da oompressao biaxial e pequeno e praticamente

I I

oompensa o tambem pequeno erro no oa loulo do bra90 de

ala-I I

-vanoa interno. O oaso fica mais serio quando ha traçao numa

dire9ão e compressão na outra, pois ja foi mostrado que a I

,.

'

resistenoia a aompressao do concreto pode sofrer uma

signi-ficativa redução; contudo, uma vez fissurado o concreto, as

tra9~es transversais são aliviadas e não se nota mais dimi-~

I

nuiçoes relevantes no momento resistente ultimo normal.

I A

Aspecto interessante e o fenomeno conhecido como

'

Observou-se que, devido a largura

I

finita da fissura do oonoreta, a armadura que esta inclinada em rela9ão;, linha de ruptura pode ser '"arrastada'"

perpendi-'

oularmente a fissura e mudar de d ire9ão, conforme mostra a

figura (III. 03} • Dessa 111aneira1 haveria uma mudan9a no

va-I

ler do momento resistente ultimo na linha de ruptura1

oontu-I

da, os inumeros testes realizados parecem indicar que esse

I A

efeito pode ser negligenciado nos oalculos de resistencia.

I I

Convem ainda notar que esse oriterio de escoamento

I

somente pode ser utilizado quando nao ha efeitos de membrana

I I

na laje, pois e bem sabido que e momento resistente ultimo pode aumentar significativamente na presença de esforços de

1

A~y

c ~ - - - - , b

y

(a)

Sem Desvio

l~~y

1

- . ~ ~ - - , < . _

1 Y--~

O.. -..,~"

=

'!'ri l'l( Co5o(.

+

-mry~-<..

/

I

(b) Com Desvio Total

Fi~ra 111 . 03- Desvio das Barras das Arma duras

nas Fissuras

30

'

'

Em resumo, apesar de oonsideraveis criticas e

con-'

'

troversias, o momento resistente ultimo normal utilizado pe-lo crit;rio de escoamento ( ruptura ) de Johansen nio parece

"

requerer melhorias. O peso das evidencias experimentais

in-'

dica que a equa9ao e sutioientemente precisa para o uso ge-ral quando as Eor9a,o no plano da laje nio sio s igni E icat

i-vas.

111. 4 - n:todos para a Determina9io da Carga de Colapso

'

O primeiro passo em qualquer atraves da Teoria das Linhas de Ruptura; arbitrar uma contigura9io de

'

oolap,oo usando as regras ja estabelecidas.

em geral 1 conter.;_ dimensões desconhecidas que localizam as posi9Ões das linhas de ruptura, podendo eaistir mais de uma

'

Eami lia de linhas de ruptura para uma laje em part ioular. Deve-se, portanto, estar seguro da possibilidade de

repre-'

todos os passiveis mecanismos, visto ser o

cor-reto aquele que Eornecer a menor carga de ruptura; pois caso tal te alguma conr igura9ic,

carga de colapso obtida.

'

nao se podera ter conr ian9a na

A carga ~ltima pode ser encontrada da contigura9ão

'

de colapso usando o Principia das Trabalhas Virtuais ou as

N '

Equa9aes de Equilíbrio. Cada uma dessas aproaima9Ões tem as suas vantagens e desvantagens para algumas situa9Ões. Em

' '

geral, e mais simples utilizar o Principio dos Trabalhos Virtuais, embora haja alguma diticuldade de manipula9io

al-' '

'

tra Eorma de se apresentar o Principio dos Trabalhos

Virtu-ais.

III.4.1 - Trabalhos Virtuais

I I I

''Se a um corpo rigido em equilibrio estatico sob a

I

açao de um sistema de Eorças e d:i.do um pequeno

I

deslocamento virtual, o somatorio do trabalho

vir-I

tual realizado pelas Eor9a5 e nulo."

I

Para aplicar o Principio do5 Trabalho,. Virtuai51

I

-cada uma da5 partes rigida5 da conEigura9ao de colapso

arbi-I

trada pode 5er vista como um corpo rigido porque as deEorma-çÕes da laje, com conseqüente deEleHâo, ocorrem somente nas

I

linha5 de ruptura. Estando os segmentos de laje em equili-brio sob o carregamento externa, 05 momentos de e tor9âo e o esEorço cortante ao longo das linhas de ruptura,

escolhe-se um ponto conveniente para ser dado um

deslocamen-to virtual na dire9âo da carga. Então, os deslocamentos de todos os outros pontos e as rota9Ões dos segmentos de laje

'

ª"

linhas de ruptura sao oaloulados em Eun9;;:o

- I

desse deslocamento virtual dado e das dimensoes geometricas.

I

O trabalho sera realizado pelo carregamento eHterno ( t

raba-lha externo), e pelos esEorços internos ao longo das linhas de ruptura (trabalho interno). Por eHemplo, o trabalho

rea-I I

lizado por uma carga uniEormemente distribuída na superEioie

'

por unidade de area (qr) pode ser obtido considerando-se o trabalho de todos os segmentos:

32

( 11 I. 04)

I

onde Qr e a carga total num segmento da laje e ~ o

desloca-I

mento do seu centroide.

As reações nos apoios não

contribu-em j~ que estes não sofrcontribu-em deslocamento.

O trabalho interno

realizado pelos momentos torsionais e os esforços cortantes

I I I

e nulo quando se faz o somatorio sobre.toda a laje, ja que,

sendo as ações em cada lado da linha de ruptura iguais e

opostas, para qualquer deslocamento da configuração de

co-lapso, não existe movimento relativo entre os lados da linha

de ruptura correspondendo aos momentos torsionais e aos

es-forças cortantes.

Entretanto, desde que existe rotação

re-lativa entre os dois lados da linha de ruptura, existe

movi-mento relativo correspondendo aos momovi-mentos fletores.

Assim,

o trabalho interno total realizado ao longo de todas as

li-I

nhas de ruptura e devido exclusivamente aos momentos

flete-I

res ultimes e dado por

-m

_rn

.,. e

(111.05)

I

onde! e o comprimento da linha de ruptura e ~ a rotação

re-lativa sobre a linha de ruptura entre dois segmentos

adja-I

centes.

O

sinal e negativo porque os momentos fletores

es-tarão agindo na direção do carregamento.

do trabalho virtual pode ser escrita como

m

rn

.,. e

=

o

-Assim, a equaçao

camento virtual cancela-se na equaçao e a carga e dada em

'

termos das dimensões da laje e dos momentos resistentes

ul-timos. Nos oasos onde a configuração de colapso

ser desenhada sem se conhecer as dimensões que localizam as

'

pcsiçces das linhas de ruptura, deve-se inclui-las na equa-ção de trabalhe virtual, ficando a equaçac tamb~m em funequa-ção

'

Desde que esta sendo usada uma

aproxima-9ao pelo limite superior, os valore5 requeridos s;o aqueles

que minimizam e trabalhe virtual Q e pedem ser encontrados r

resolvendo-se e sistema de equaçoes gerado pela derivação da eHpressãc do trabalhe virtual em relação a cada uma das di-mensces desconhecidas, Substituindo-se esses valeres na

' ' '

equa9ao da oarga ultima, obtem-se a oarga de ruptura minima.

III.4.2 - Equa9Ões de EquilÍhrio

'

'

Nesse metada e considerado, individualmente, o equilibric de cada segmente da configuração de colapso sob a ação de momentos E letores I momentos tcrsores I estcrçcs

cor-tantes e torças eKternas. Geralmente, as equa9oes de

equi-' '

lihrio sao escritas em numero sur iciente tomando-se O!i

mo-ao serem re-solvidas simultaneamente permitem a elimina9ãa das dimensões

desconhecidas e e encontro da carga de ruptura, Nenhum

pro--

' '

cesso de deriva9ao e necessario e na maior parte dos ca5os a

manipulação alg~brica requerida para obter a solução~ menor

'

34

Pelo tato dos segmentos serem considerados separa-damente, numa solu9ão atrav~s das Equa9Ões de Equilibrio to-das as a9Ões na linha de ruptura preoisam ser conheoito-das an-tes que a solu9ão possa ser obtida, A expressão para o

mo-'

lllento torsional nas linhas de ruptura, dado pelo Criterio de Escoamento ( Ruptura ) de Johansen, esta

'

representada pela

equa9ao

(III.02),

Ja a dedu9ao dos estor9os cortantes atu-'

-' '

antes nas linhas de ruptura e o aspecto mais diticil na

Teo-'

ria das Linhas de Ruptura e tem causado oontroversias. Um

'

tratamento matematico rigoroso mostrou que alguns dos

teore--

"

mas originais de Johansen para a sua determin~9ao tem algu-mas limita9Ões; contudo, quando conhecidas permitem a sua

'

Em se considerando o equilíbrio

das partes como um todo, basicamente, esses teoremas propoem

001110 representar ·esses estor9os ao longo da 1 inha de ruptura por duas Eor9as conoentradas, de efeito estatioamante equi-valente, atuando nos pontos terminais da linha de ruptura,

'

Em resumo, para resolver uma laje via l'letcdo das Equa9Ões de Equilibrio, pode-se seguir o seguinte processo,

1, Arbitra-se uma conEigura9ão de colapso;

2. Calcula-se os valores das Eor9as nodais

neces-'

sarias1

'

3. Esoreve-se as equa9oes de equilibrio

tomando-se moffll!ntos em re la9ão a eixos de rotaç,ão e, se

preciso, achando as for9as verticais em cada

seg-' '