MODELAGEM DE PROCESSOS EM ENGENHARIA AULA 01
Introdução 1.1 − OS SISTEMAS DE CONTROLE
Ultimamente o significado da palavra sistema tem se tornado nebuloso. Assim comecemos definindo-a, primeiro abstratamente, em seguida de modo ligeiramente mais específico, em relação à literatura científica.
Definição 1.1a: um sistema é uma disposição, conjunto ou coleção de coisas conectadas ou relacionadas de tal maneira a formarem um todo.
Definição 1.1b: um sistema é uma disposição de componentes físicos, conectados ou relacionados de tal maneira a formar e/ou atuar como um conjunto.
A palavra controle é geralmente tomada para significar regular, dirigir ou comandar. Combinando as definições acima, temos
Definição 1.2: Um sistema de controle é uma disposição de componentes físicos, conectados ou relacionados de maneira a comandar, dirigir ou regular a si mesmo ou a outros sistemas.
No sentido mais abstrato é possível considerar cada objeto físico como sendo um sistema de controle. Todas as coisas alteram o seu meio ambiente de alguma maneira, senão ativamente então passivamente, assim como um espelho dirigindo um feixe luminoso que o atinge segundo um ângulo agudo. O espelho, fig. 1, pode ser considerado um sistema de controle elementar, controlando o feixe luminoso de acordo com a equação simples "o ângulo de reflexão α iguala o ângulo de incidência α".
Na Engenharia e na Ciência, nós geralmente restringimos o significado dos sistemas de controle para aplicá-lo àqueles sistemas cuja função principal é comandar, dirigir ou regular dinamicamente ou ativamente. O sistema mostrado na fig. 2, consistindo num espelho pivotado numa das extremidades e ajustado para cima e para baixo com um parafuso na outra extremidade, é apropriadamente denominado um sistema de controle. O ângulo da luz refletida é regulado por meio do parafuso.
1.2 − EXEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROLE
Os sistemas de controle abundam no ambiente humano. Mas, antes de exemplificá-los definiremos dois termos: entrada e saída, que ajudarão na identificação e definição do sistema de controle.
Definição 1.3: A entrada é o estímulo ou excitação aplicada a um sistema de controle por meio de uma fonte de energia externa, geralmente de modo a produzir uma resposta específica do sistema de controle.
Definição 1.4: A saída é a resposta presente, obtida de um sistema de controle. Ela pode ser ou não igual à resposta específica inferida da entrada.
Fig. 1
Fig. 2
A finalidade do sistema de controle geralmente identifica ou define a saída ou a entrada. Se a saída e a entrada são dadas, é possível identificar ou definir a natureza dos componentes do sistema.
Os sistemas de controle podem ter mais de uma entrada ou saída. Freqüentemente, todas as entradas e saídas são bem definidas pela descrição do sistema. Algumas vezes elas não o são. Por exemplo, uma tempestade elétrica atmosférica pode interferir intermitentemente com a radiorrecepção, conduzindo a uma saída não desejada de um alto-falante, na forma de estática. Esta saída, "ruído", não é geralmente especificada para a simples identificação de um sistema de radiorrecepção, é parte da saída total como acima foi definido. Para a finalidade de simplesmente identificar o sistema, as entradas espúrias produzindo saídas não desejadas, não são geralmente consideradas como entradas e saídas na descrição do sistema. Mas, é geralmente necessário considerar cuidadosamente estas entradas e saídas extras, quando o sistema é examinado em detalhe.
Há três tipos básicos de sistemas de controle: 1. Sistemas de Controle Artificiais
2. Sistemas de Controle Naturais, incluindo os biológicos.
Exemplo 1.1.
Um comutador elétrico é um sistema de controle artificial, controlando o fluxo da eletricidade. Por definição, o aparelho ou pessoa que aciona o comutador não é uma parte desse sistema de controle.
O acionamento do comutador para ligado ou desligado pode ser considerado como a entrada. A entrada pode ser um dos dois estados - ligado ou desligado. A saída é o fluxo ou não fluxo (dois estados) da eletricidade.
O comutador elétrico é provavelmente um dos sistemas de controle mais rudimentares. Exemplo 1.2.
Um aquecedor ou estufa, termostaticamente controlado, regulando automaticamente a temperatura de uma sala ou de uma caixa, é um sistema de controle. A entrada para este sistema é uma temperatura de referência, geralmente especificada pelo ajuste apropriado de um termostato. A saída é a temperatura desejada da caixa. Quando o termostato detecta que a saída é menor que a entrada, a estufa proporciona calor até que a temperatura da caixa se tome igual à entrada de referência. Então a estufa é automaticamente desligada.
Exemplo 1.3.
O ato aparentemente simples de apontar para um objeto com o dedo requer um sistema de controle biológico, consistindo principalmente dos olhos, do braço, da mão, do dedo e do cérebro de um homem. A entrada é a direção precisa do objeto (deslocando-se ou não) com respeito a alguma referência e a saída é a direção apontada presentemente com respeito a alguma referência.
Exemplo 1.4.
Uma parte do sistema de controle humano de temperatura é o sistema de perspiração. Quando a temperatura do ar exterior à pele torna-se muito elevada, as glândulas sudoríparas segregam fortemente, induzindo ao resfriamento da pele por evaporação. As secreções são reduzidas quando o efeito de resfriamento desejado é obtido ou quando a temperatura do ar cai suficientemente.
A entrada para este sistema é a temperatura "normal" ou confortável da pele. A saída é a temperatura presente da pele.
Exemplo 1.5.
O sistema de controle, consistindo num homem dirigindo um automóvel, tem componentes que são claramente artificiais e biológicos. O motorista deseja manter o automóvel na faixa apropriada da rodovia. Ele consegue isto observando constantemente o rumo do automóvel com respeito à direção da estrada. Neste caso, a direção da estrada, representada pelas guias ou linhas de cada lado de sua faixa, pode ser considerada a entrada. A orientação do automóvel é a saída do sistema. O motorista controla esta saída medindo constantemente com os olhos e cérebro, corrigindo-a com
as mãos sobre o volante. Os componentes principais desse sistema do controle são: as mãos, os olhos e o cérebro do motorista, e o veículo.
1.3 − CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS DE CONTROLE
Os sistemas de controle são classificados em duas categorias gerais: sistemas em malha aberta e em malha fechada. A distinção é determinada pela ação de controle, que é a quantidade responsável pela ativação do sistema para produzir a saída.
Definição 1.5: O sistema de controle em malha aberta é aquele no qual a ação de controle é independente da saída.
Definição 1.6: O sistema de controle em malha fechada é aquele no qual a ação de controle depende, de algum modo, da saída.
As características marcantes dos sistemas de controle de malha aberta são:
1. Sua aptidão para desempenhar precisamente é determinada pela sua calibração. Calibrar significa estabelecer ou restabelecer a relação entrada-saída para obter uma desejada precisão do sistema.
2. Eles não são geralmente perturbados com problemas de instabilidade, um conceito a ser subseqüentemente explicado em detalhe.
Os sistemas de controle em malha fechada são mais comumente chamados de sistemas de controle com realimentação como veremos com mais detalhe na próxima seção. A fim de classificar um sistema de controle como em malha aberta ou em malha fechada, os componentes do sistema devem ser claramente destacados dos componentes que com eles interagem, mas não são partes do sistema. Por exemplo, o operador humano pode ou não ser um componente do sistema.
Exemplo 1.6.
Um torrador automático é um sistema de controle em malha aberta, porque ele é controlado por um marcador de tempo. O tempo exigido para fazer uma "boa torrada" deve ser determinado pelo utilizador, que não é uma parte do sistema. O controle sobre a qualidade da torrada (a saída) é removido uma vez que o tempo, que é ao mesmo tempo a entrada e o controle da ação, tenha sido fixado.
Exemplo 1.7.
O mecanismo do piloto automático e o avião que ele controla é um sistema de controle em malha fechada (retroação). A sua finalidade é manter a rota do avião, a despeito das variações atmosféricas. Ele executa essa tarefa, medindo continuamente a orientação do avião, ajustando automaticamente suas superfícies de controle (leme, aletas, etc.), de modo a manter a orientação do avião em correspondência à rota determinada. O piloto humano ou operador, que pré-ajusta o piloto automático, não é parte do sistema de controle.
1.4 − RETROAÇÃO (REALIMENTAÇÃO)
Retroação é aquela característica do sistema de controle em malha fechada que o distingue do sistema em malha aberta. O estudo dos sistemas de controle com retroação é o principal objetivo desta disciplina.
Definição 1.7: Retroação é a propriedade do sistema em malha fechada que permite comparar a saída (ou alguma outra variável controlada do sistema) com a entrada do sistema (ou uma entrada de outro componente situado internamente ou subsistema), de modo que a ação apropriada de controle pode ser formada como alguma função da saída e entrada.
Geralmente a retroação é produzida num sistema quando existe uma seqüência fechada de relações de causa e efeito entre variáveis no sistema.
Em essência, cada sistema passivo (aquele não contendo fonte de energia) pode ser visto como um sistema de retroação. Consideraremos apenas aqueles sistemas de controle em malha fechada em que a existência e finalidade da retroação são facilmente identificadas.
Exemplo 1.8.
O conceito de retroação é claramente explicado pelo mecanismo do piloto automático do exemplo 1.7.
A entrada é a rota especificada, que pode ser afixada sobre o painel de controle do avião e a saída é a orientação do momento determinada pelos instrumentos automáticos de navegação. Um dispositivo de comparação observa continuamente a entrada e a saída. Quando as duas estão em correspondência, a ação de controle não é exigida. Quando existe uma diferença entre a entrada e a saída, o dispositivo de comparação emite um sinal de ação de controle para o controlador, o mecanismo de piloto automático. O controlador proporciona os sinais apropriados para os controles de superfície do avião, a fim de reduzir a diferença entrada-saída.
A retroação pode ser efetuada por uma conexão mecânica ou elétrica dos instrumentos de navegação, que medem a orientação, para o dispositivo de comparação.
1.5 − CARACTERÍSTICAS DA RETROAÇÃO
As mais importantes características que a presença da retroação confere a um sistema são as seguintes:
1. Precisão aumentada. Por exemplo: a capacidade de reproduzir fielmente a entrada. 2. Sensibilidade reduzida da razão saída para entrada às variações nas características
do sistema.
3. Efeito reduzido das não linearidades e distorção.
4. Largura de faixa aumentada. A largura de faixa de um sistema é a faixa de freqüência (da entrada) na qual o sistema responderá satisfatoriamente.
1.6 − PROBLEMAS DE ENGENHARIA NOS SISTEMAS DE CONTROLE
A essência da engenharia de sistema de controle é a consideração de dois problemas: a análise e o projeto de uma configuração de sistema de controle.
Análise é a investigação das propriedades de um sistema existente. O problema do projeto é a escolha e disposição dos componentes dos sistemas de controle para desempenharem uma tarefa específica.
Existem dois métodos de projeto: 1. Projeto por análise 2. Projeto por síntese
O projeto por análise é realizado modificando as características de uma configuração do sistema padrão ou existente, e projeto por síntese, definindo a forma do sistema diretamente das suas especificações.
1.7 − REPRESENTAÇÃO DO PROBLEMA: O MODELO
A fim de resolver um problema de sistema, a especificação ou descrição da configuração do sistema e dos seus componentes deve ser posta numa forma apropriada à análise, projeto e avaliação.
Três representações básicas (modelos) de componentes físicos de sistema são extensamente empregadas no estudo dos sistemas de controle:
1. Equações diferenciais e outras relações matemáticas 2. Diagrama de bloco
3. Diagrama de fluxo de sinal
Os diagramas de bloco e os diagramas de fluxo de sinal são representações gráficas resumidas, seja do diagrama esquematizado de um sistema físico ou do conjunto de equações matemáticas caracterizando as suas partes.
Os modelos matemáticos, na forma de equações, são empregados quando se deseja relações detalhadas. Cada sistema de controle pode teoricamente ser caracterizado por equações matemáticas. A solução dessas equações representa o desempenho do sistema. Freqüentemente essa solução é difícil, senão impossível de achar. Nestes casos, certas suposições simplificadoras devem ser feitas na descrição matemática. Para um grande número de sistemas de controle estas aproximações e simplificações conduzem a sistemas que, podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias. Além disso, as técnicas para resolver essas equações estão bem documentadas na literatura da Matemática e da Engenharia. Em conseqüência, a maior parte desta disciplina está restrita à consideração de sistemas de controle que podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias lineares. Para os alunos que têm conhecimento de cálculo e de números complexos elementares, as aulas posteriores proporcionam um tratamento das equações diferenciais ordinárias lineares e sua solução. O material é apresentado do ponto de vista de sua aplicação aos sistemas com retroação e à teoria dos modernos
1.8 − CIÊNCIA DOS SISTEMAS DE CONTROLE
A maior ênfase na tecnologia moderna de controle é o desenvolvimento de modelos matemáticos para situações físicas. Princípios matemáticos e físicos comuns são também utilizados, a fim de compreender as características dos sistemas de controle com retroação no que elas se relacionam à transmissão ou processamento da quantidade abstrata, informação. Assim, a engenharia dos sistemas de controle cobre não somente as ciências da Engenharia em sua plenitude, como as ciências biológicas e sociais. Estas dimensões adicionadas criaram tantos problemas novos que a análise de sistemas e o projeto tomaram-se virtualmente uma ciência.
A fim de obter comunicação com o maior número possível de alunos, a ênfase da disciplina está nos princípios matemáticos e físicos, a linguagem básica das ciências. As aplicações específicas deste princípio, tomadas principalmente da Engenharia e das Ciências Biológicas, são encontradas nos problemas resolvidos ao fim de cada aula.
AULA 02
Sistema carro com pêndulo
Nessa aula vamos aprender como obter as equações de movimento para um sistema mecânico partindo do modelo do sistema. O sistema usado no exemplo é o carro com pêndulo, cujo modelo é dado na Fig. 3.
Fig. 3 – Modelo de um carro com pêndulo.
Exemplo. Obtenha as equações que descrevem esse sistema (uma equação para o movimento horizontal do carrinho de massa M, que vamos chamar de equação (1), e duas equações, uma horizontal e outra vertical, para o pêndulo de massa m, que vamos chamar de equação (2) e (3), respectivamente). F é a força de tração na haste de comprimento l – considerada sem peso e inextensível. Desconsidere o atrito entre o carro e a pista. u(t) é uma força aplicada ao carro para controlá-lo.
Solução:
Primeiramente obtêm-se os diagramas de corpo livre para as massas do sistema. Deve ser construído um diagrama para cada massa, onde são indicadas todas as forças que atuam sobre a massa. A Fig. 4 mostra o diagrama de corpo livre para o corpo de massa M. Não há movimento na direção vertical (Fig. 4c). A força líquida na direção vertical é zero (a força peso, Mg, e a componente Fcosθ, apontadas para baixo, são canceladas pelas normais à superfície P1 e P2). Portanto, na direção vertical há equilíbrio estático,
ou seja,
( )
0 cos 2 1+P −Mg−F t = P θ .O vetor força líquida na direção horizontal (Fig. 4d), u + Fsinθ, aponta no sentido convencionado para o vetor aceleração, o que está de acordo com a 2ª Lei de Newton,
a M
FrLiq = r, que apregoa que os vetores força líquida e aceleração têm o mesmo sentido. Assim,
( )
t F( )
t Ms( )
t u + sinθ = && . (1)( )
t θ( )
t s M u( )
t m l(b) (a)
Obs.: Adota-se que os vetores posição, velocidade e aceleração têm o mesmo sentido (apontam para a direita).
(c) (d)
Fig. 4 – Parte do modelo de um carro com pêndulo mostrando as forças atuantes sobre a massa M, incluindo a força interna ao sistema F.
A Fig. 5 mostra o diagrama de corpo livre para o corpo de massa m. O vetor força líquida na direção horizontal (Fig. 5c), Fsinθ, aponta no sentido oposto ao convencionado para o vetor aceleração, contrariando a 2ª Lei de Newton, FrLiq =mar, que afirma que os vetores força líquida e aceleração têm o mesmo sentido. Portanto, para concordar com o sentido convencionado, deve-se trocar o sinal do vetor força líquida que entra com o sinal negativo na equação de movimento horizontal, ou seja,
( )
t m[
s( )
t l( )
t]
Fsinθ dtd sinθ 2 2 + = − . (2)O vetor força líquida na direção vertical (Fig. 5d), mg − Fcosθ, aponta no sentido convencionado para o vetor aceleração, o que está de acordo com a 2ª Lei de Newton,
a m
FrLiq = r, que afirma que o vetor força líquida e o vetor aceleração têm o mesmo sentido. Assim,
( )
t m[
l( )
t]
F mg dt d θ θ cos cos 2 2 = − . (3) F θ cos F θ sin F( )
t θ( )
t s M u( )
t F M θ cos F Mg 2 P 1 P( )
t s M( )
t u θ sin F(b) (a)
(c) (d)
Obs.: Adota-se que os vetores posição, velocidade e aceleração têm o mesmo sentido. Para o movimento horizontal apontam para a direita. Para o movimento vertical apontam para baixo.
Fig. 5 – Parte do modelo de um carro com pêndulo mostrando as forças atuantes sobre a massa m, incluindo a força interna ao sistema F.
Resumo da aula
O objetivo da aula é ensinar como obter as equações de movimento de um sistema mecânico partindo do modelo do sistema. Foram obtidas as equações de movimento para o sistema mecânico carro com pêndulo. São elas:
( )
t F( )
t Ms( )
t u + sinθ = && . (1)( )
t m[
s( )
t l( )
t]
Fsinθ dtd sinθ 2 2 + = − . (2)( )
t m[
l( )
t]
F mg cosθ dtd cosθ 2 2 = − . (3) ExercícioRefaça todos os passos do exemplo dessa aula. Anote as dúvidas para perguntar para o professor.
( )
t θ m mg( )
t lcosθ( )
t l( )
t s + sinθ F F θ cos F θ sin F m( )
t l( )
t s + sinθ θ sin F m mg( )
t lcosθ θ cos FAULA 03
Sistema carro com pêndulo
Na aula passada (Aula 02) aprendemos como obter as equações de movimento para um sistema mecânico partindo do modelo do sistema. Nessa aula vamos aprender a eliminar as forças internas das equações de movimento e a colocar as equações no formato adequado para a próxima etapa do processo de modelamento. O sistema usado como exemplo é o carro com pêndulo, cujo modelo é dado na Fig. 1 (Aula 02).
Primeiramente vamos eliminar a força F das equações (1), (2) e (3) da Aula 02. A Força F que aparece no equacionamento é uma força interna ao sistema. Toda força interna pode ser retirada das equações de movimento.
Exemplo. Obtenha a equação diferencial ordinária eliminando F de (1) e (2). Classifique essa equação diferencial.
Solução:
Somando (1) e (2) e derivando a expressão entre colchetes duas vezes com relação a t, obtém-se
(
M +m) ( )
s t +mlθ&&( )
t cosθ( )
t −mlθ&2( )
t sinθ( ) ( )
t =u t&& . (4)
Classificação: Equação diferencial ordinária não-linear de 2ª ordem em s(t) e em θ(t). Variável independente: t; variáveis dependentes: s, θ e suas derivadas em relação a t. Exemplo. Obtenha a equação diferencial ordinária eliminando F de (2) e (3). Classifique essa equação diferencial.
Solução:
Derivando as expressões entre colchetes em (2) e (3) duas vezes com relação a t, obtém-se
( )
t ms( )
t ml( )
t( )
t ml( )
t( )
t Fsinθ θ&& cosθ θ&2 sinθ&& + − =
− ,
( )
t ml( )
t( )
t ml( )
t( )
t Fmg− cosθ =− θ&& sinθ − θ&2 cosθ . Multiplicando a primeira por −cosθ
( )
t e a segunda por sinθ( )
t , obtém-se( )
t( )
t ms( )
t( )
t ml( )
t( )
t ml( )
t( )
t( )
t Fsinθ cosθ cosθ θ&& cos2θ θ&2 sinθ cosθ&& − +
−
= ,
( )
t F( )
t( )
t ml( )
t( )
t ml( )
t( )
t( )
t mgsinθ − sinθ cosθ =− θ&& sin2θ − θ&2 sinθ cosθ . Somando as duas últimas expressões e cancelando m de todos os termos, obtém-se( )
t +gsin( ) ( )
t +s t cos( )
t =0Classificação: Equação diferencial ordinária não-linear homogênea de 2ª ordem em s(t) e em θ(t). Variável independente: t; variáveis dependentes: s, θ e suas derivadas em relação ao tempo t.
Exemplo. Obtenha uma equação diferencial ordinária não-linear de 2ª ordem em s(t). Chame essa equação de (6). Obtenha uma equação diferencial ordinária não-linear de 2ª ordem em θ(t). Chame essa equação de (7).
Solução:
As equações (4) e (5) são equações diferenciais de 2ª ordem em s(t) e em θ(t). Vamos obter uma equação diferencial de 2ª ordem para s(t) e outra para θ(t). Isolando lθ&& em
( )
t (5) e substituindo em (4), obtém-se( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
t m m M t u t t mg t t ml t s θ θ θ θ θ 2 2 cos cos sin sin − + + + = & && . (6) Substituindo (6) em (5), obtém-se( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
t t m m M t u t t mg t t ml l t l g t θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos cos sin sin 1 sin 2 2 − + + + − − = & && . (7) Resumo da aulaO objetivo da aula é aprender a eliminar as forças internas das equações de movimento e a colocar as equações no formato adequado para a próxima etapa do processo de modelamento. As equações de movimento no formato adequado são as equações (6) e (7), ou seja,
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
t m m M t u t t mg t t ml t s θ θ θ θ θ 2 2 cos cos sin sin − + + + = & && . (6)( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
t t m m M t u t t mg t t ml l t l g t θ θ θ θ θ θ θ θ cos cos cos sin sin 1 sin 2 2 − + + + − − = & && . (7) Exercícios1) Obtenha a equação (4) partindo das equações (1) e (2). 2) Obtenha a equação (5) partindo das equações (2) e (3).
AULA 04
Sistema carro com pêndulo
Na Aula 02 aprendemos como obter as equações de movimento para um sistema mecânico partindo do modelo do sistema. Na Aula 03 aprendemos a eliminar as forças internas e a colocar as equações no formato adequado para as próximas etapas do procedimento de modelagem. Nessa aula vamos aprender a definição de estado de um sistema e vamos aprender a colocar as equações de movimento na forma de um conjuto de equações diferenciais de 1ª ordem.
Definição de estado de um sistema
O estado de um sistema é um vetor cujos elementos são as variáveis dependentes (ou uma combinação linear das variáveis dependentes) que descrevem o sistema e que gostaríamos de controlar. O número de variáveis (dimensão do vetor) é igual à ordem das equações de movimento. O sistema que estamos estudando possui duas equações de 2ª ordem - equações (6) e (7). Logo, o vetor de estado tem 4 variáveis de estado.
Exemplo. Definindo o estado como sendo
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
≡ ≡ t t t s t s t x t x t x t x t x θ θ & & 4 3 2 1reduza as equações (6) e (7), de 2a ordem, para um sistema de equações diferenciais de 1a ordem, escrito na forma
( )
t
f
(
x
u
t
)
x
&
=
,
,
,x
( )
t
0
=
x
0
,onde x0 =
(
x10,x20,x30,x40)
T é o vetor de condições iniciais, ou seja, o vetor contendo os valores das variáveis de estado no instante inicial, t = t0.Solução:
De acordo com a definição do estado
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= = t t t s t s t x t x t x t x t x θ θ & & 4 3 2 1 .( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= = t t t s t s t x t x t x t x t x θ θ && & && & & & & & & 4 3 2 1 .Assim, as equações (6) e (7) (Aula 03) podem ser re-escritas nas novas variáveis, ou seja,
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
t x m m M t u t x t x mg t x t mlx t x 3 2 3 3 3 2 4 2 cos cos sin sin − + + + = & . (8)( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
x( )
t t x m m M t u t x t x mg t x t mlx l t x l g t x 3 3 2 3 3 3 2 4 3 4 cos cos cos sin sin 1 sin − + + + − − = & . (9)Da derivada do vetor de estados, tem-se
( )
( )
( )
t x( )
t x t x t x 4 3 2 1 = = & & (10)(8) a (10) podem ser reunidas num conjunto de equações de 1ª ordem, ou seja,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
cos( )
. cos cos sin sin 1 sin cos cos sin sin 3 3 2 3 3 3 2 4 3 4 4 3 3 2 3 3 3 2 4 2 2 1 t x t x m m M t u t x t x mg t x t mlx l t x l g t x t x t x t x m m M t u t x t x mg t x t mlx t x t x t x − + + + − − = = + − + + = = & & & &Uma equação diferencial tem muitas soluções. Para escolhermos uma dentre as tantas é necessário fornecer as condições iniciais. Suponha que as condições iniciais sejam:
( )
0 10 s ts ≡ , que é o deslocamento do carro no instante t0;
( )
020 s t
s ≡ & , que é a velocidade do carro no instante t0;
( )
010 θ t
θ ≡ , que é o ângulo do pêndulo com a vertical no instante t0;
( )
020 θ t
θ ≡ & , que é a velocidade angular do pêndulo no instante t0. Na forma matricial, tem-se
( )
t
f
(
x
u
t
)
x
&
=
,
,
,x
( )
t
0
=
x
0
,( )
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
− + + + − − = = + − + + = = = t x t x m m M t u t x t x mg t x t mlx l t x l g t u x f t x t u x f t x m m M t u t x t x mg t x t mlx t u x f t x t u x f t x t x t x t x 3 3 2 3 3 3 2 4 3 4 4 3 3 2 3 3 3 2 4 2 2 1 4 3 2 1 cos cos cos sin sin 1 sin , , , , cos cos sin sin , , , , & & & & ,( )
≡ = = 20 10 20 10 40 30 20 10 0 0 θ θ s s x x x x x t x . (12) Resumo da aulaOs objetivos da aula são: aprender a definição de estado de um sistema e aprender a colocar as equações de movimento num conjuto de equações diferenciais de 1ª ordem na forma
( )
t
f
(
x
u
t
)
x
&
=
,
,
,x
( )
t
0
=
x
0
.Exercícios
4) Obtenha as equações (8) e (9) partindo das equações (6) e (7), usando as novas variáveis (variáveis de estados).
AULA 05
Sistema carro com pêndulo
Na Aula 02 aprendemos como obter as equações de movimento para o sistema mecânico carro + pêndulo, partindo do modelo do sistema. Na Aula 03 aprendemos a eliminar as forças internas e a colocar as equações no formato adequado para as próximas etapas do procedimento de modelagem. Na Aula 04 vimos a definição de estado de um sistema e aprendemos a colocar as equações de movimento na forma de um conjuto de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) não-lineares de 1ª ordem. Nessa aula vamos aprender como se obtém um conjunto de EDOs lineares de 1ª ordem a partir de um conjunto de EDOs não-lineares de 1ª ordem.
LINEARIZAÇÃO
O sistema da equação (12) (Aula 04) é um sistema de EDOs não lineares de 1ª ordem. Na análise e projeto de sistemas há um vasto ferramental para sistemas lineares e escassas ferramentas para sistemas não-lineares. Além disso, em geral os sistemas operam nas vizinhanças de pontos de equilíbrio do vetor de estado, onde os sistemas não-lineares podem ser aproximados por sistemas lineares sem muita perda de informação. Então, há um forte apelo para transformar as equações não-lineares em equações lineares. É isto que veremos nessa aula.
Considere o sistema autônomo - que não depende explicitamente do tempo - e não linear, como é o caso do sistema carro com pêndulo em estudo
( )
t f( )
x ux& = , . (13)
Suponha que x0 seja um ponto de equilíbrio do sistema - e não mais as condições
iniciais como vínhamos trabalhando até agora. Num ponto de equilíbrio, para u(t) = u0
constante, tem-se
( )
(
0, 0)
00 t = f x u =
x& . (14)
Agora vamos definir o estado x(t) como a soma de x0 e um novo estado x*(t) que é uma
variação em torno de x0, ou seja,
x(t) = x0 + x*(t). (15)
Da mesma forma, vamos definir u(t) como tendo uma parte constante u0 mais uma
variação u*(t) em torno deu0, ou seja,
u(t) = u0 + u*(t). (16) Substituindo (15) e (16) em (13), tem-se
( )
(
*, *)
(
,) (
*, *)
( , *, , *) * 0 0 0 0 0 0 0 x t f x x u u f x u f x u g x x u u x& + & = + + = + + . (17)Expandindo (17) em série de Taylor e usando apenas os termos lineares da expansão, tem-se
( )
*( ) *( ) * t J x t J u tx& = x + u , (18)
onde Jx e Ju são as matrizes jacobianas que devem ser calculadas nos pontos de
equilíbrio x = x0 para u = u0, ou seja,
( )
*( ) *( ) * 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 t u u f u f u f u f u f u f u f u f u f t x x f x f x f x f x f x f x f x f x f t x o o u u x x m n n n m m u ux x n n n n n n = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = M M M M L L M M M M L L & , (18)onde n é a dimensão do vetor de estado x(t) e m é o número de entradas, ou seja, a dimensão do vetor u(t).
Exemplo. Obter a matriz Jacobiana Jx para o exemplo estudado (carro com pêndulo).
Solução:
Para o exemplo em estudo tem-se que
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
cos( )
. cos cos sin sin 1 sin , , cos cos sin sin , 3 3 2 3 3 3 2 4 3 4 4 3 3 2 3 3 3 2 4 2 2 1 t x t x m m M t u t x t x mg t x t mlx l t x l g f t x f t x m m M t u t x t x mg t x t mlx f t x f − + + + − − = = + − + + = =Os pontos de equilíbrio do sistema são encontrados igualando a zero as funções f1 a f4.
Assim, tem-se
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
cos( )
0. cos cos sin sin 1 sin , 0 , 0 cos cos sin sin , 0 3 3 2 3 3 3 2 4 3 4 4 3 3 2 3 3 3 2 4 2 2 1 = − + + + − − = = = = − + + + = = = t x t x m m M t u t x t x mg t x t mlx l t x l g f t x f t x m m M t u t x t x mg t x t mlx f t x f Obtendo-se( )
0 2 t = x , (19)( )
sin 3( )
sin 3( )
cos 3( ) ( )
02 4 t x t +mg x t x t +u t = mlx , (20)
( )
0, 4 t = x (21)( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
cos( )
0. cos cos sin sin 1 sin 3 3 2 3 3 3 2 4 3 = − + + + − − x t t x m m M t u t x t x mg t x t mlx l t x l g (22) Substituindo (20) em (22), obtém-se( )
0 , inteiro. sinx3 t = ⇒x3 =kπ k (23) De (19), (21) e (23), verifica-se que os pontos de equilíbrio são valores do vetor do estado os quais o carro e pêndulo estão parados. A posição do carro (x1) pode serqualquer, mas a velocidade deve ser nula (x2 = 0). As posições possíveis de equilíbrio
para o pêndulo são infinitas, mas, na realidade, se traduzem em apenas duas (x3 = 0 e x3
= π) com velocidade angular nula (x4 = 0). Para x3 = kπ (k par) tem-se um ponto de
equilíbrio estável. Para x3 = kπ (k ímpar) tem-se um ponto de equilíbrio instável
(pêndulo invertido).
Se um sistema está num ponto de equilíbrio estável e sofrer qualquer perturbação na entrada, a tendência é oscilar e retornar para o ponto de equilíbrio. Se um sistema está num ponto de equilíbrio instável e sofrer qualquer perturbação na entrada, a tendência é que ele escape e não retorne mais para o ponto de equilíbrio.
Além do mais, substituindo (21) e (23) em (20) obtém-se que u(t) deve ser nula para que o sistema permaneça num ponto de equilíbrio.
Passemos a calcular as derivadas parciais para obter as matrizes jacobianas Jx e Ju (n = 4
e m = 1). A Fig. 6 mostra o cálculo das derivadas. Sendo assim as matrizes jacobianas ficam sendo
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = 4 4 3 4 4 2 3 2 4 4 3 4 2 4 1 4 4 3 3 3 2 3 1 3 4 2 3 2 2 2 1 2 4 1 3 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f Jx ,
( )
( )
( )
[
]
− + − − + = ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ = t x m m M l t x t x m m M u fu fu fu f Ju 3 2 3 3 2 4 3 2 1 cos cos0 cos 1 0 .( )
( )
( )
( )
( )
[
( )
( )
( )
( ) ( )
]
( )
[
]
( )
[
]
[
( )
( )
(
( )
( )
)
]
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[
( )
( )
( )
( ) ( )
]
( )
[
]
( )
[
]
[
( )
( )
(
( )
( )
)
]
( )
[
]
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
[
cos( )
( )
]
. cos ; cos 1 ; 0 , sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos cos sin sin sin cos 2 1 cos , cos cos sin 2 , 0 . 0 ; 1 . cos sin cos cos cos cos cos sin sin sin cos 2 , cos sin 2 ; 0 . 0 ; 1 3 2 3 4 3 2 2 3 1 3 3 2 3 3 3 2 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 2 3 2 3 3 3 2 4 3 3 3 3 4 3 2 3 3 4 4 4 2 4 1 4 3 3 2 3 1 3 4 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 2 3 2 3 3 3 2 4 3 3 3 2 3 23 4 4 2 2 2 1 2 4 1 3 1 1 1 2 1 t x m m M l t x u f t x m m M u f u f u f t x t x m m M t u t x t x mg t x t mlx t x t x m m M t x t x mg t x t mlx t x m m M t x m m M t u t x t x mg t x t mlx t x t x m l t x l g x f t x m m M t x t x t mx x f x f x f x f x f x f x f t x m m M t x t x mg t x t mlx t x m m M t x m m M t u t x t x mg t x t mlx t x t x m x f t x m m M t x t mlx x f x f x f x f x f x f x f − + − = ∂ ∂ − + = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ − + + + − − + − + − + + − + + + − − − = ∂ ∂ − + − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ + − − + − + + − + + + − = ∂ ∂ − + = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂Fig. 6 - Derivadas parciais para obter as matrizes jacobianas Jx e Ju para o sistema
mecânico carro + pêndulo (n = 4 e m = 1).
As matrizes jacobianas devem ser calculadas no ponto de equilíbrio. Vamos tomar o ponto de equilíbrio estável x0 = (x1, 0, 0, 0)t. Então, tem-se
( )
(
)
+ − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 4 3 4 4 2 3 2 1 0 Ml g m M M mg x f x f x f x f J , , , x x x t .( )
( )
( )
[
]
( ) − = − + − − + = = lM M t x m m M l t x t x m m M J , , , x x u t 1 0 1 0 cos cos0 cos 1 0 0 0 0 3 2 3 3 2 1 0( )
(
)
+ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 4 4 3 4 4 2 3 2 1 0 Ml g m M M mg x f x f x f x f J , , , x x x t π .( )
( )
( )
[
]
( ) = − + − − + = = lM M t x m m M l t x t x m m M J , , , x x u t 1 0 1 0 cos cos0 cos 1 0 0 0 3 2 3 3 2 1 0 π .Exemplo. Vamos apresentar outra forma de fazer a linearização. Escreva as equações (8) e (9) (Aula 04) linearizadas. Quando é que esse sistema é válido? Se o sistema é linear então x&
( )
t = f(
x,u,t)
, x( )
t0 = x0 pode ser escrito da seguinte forma( )
t
Ax
( )
t
Bu
( )
t
x
&
=
+
,x
( )
t
0
=
x
0
.Qual é a dimensão do espaço de estados? Mostre as matrizes A e B. Solução:
Considerando x3 e x4
( )
θ eθ& pequenos (isto é, pequenos ângulos e pequenas velocidadesangulares), pode-se aproximar sinx3 = x3, cosx3 = 1 e desprezar termos não-lineares nas
variáveis x3 e x4. Assim, (8), (9) e (10) (Aula 04) ficam
( )
( ) ( )
M t u t mgx t x = 3 + 2 & . (24)( )
( )
( ) ( )
+ − − = M t u t mgx l t x l g t x 3 3 4 1 & . (25)( )
( )
( )
t x( )
t x t x t x 4 3 2 1 = = & & . (26)(24) a (26) podem ser colocadas na seguinte forma matricial
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
u Ml M t x t x t x t x g Ml m M g M m t x t x t x t x − + + − = 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 3 2 1 4 3 2 1 & & & & onde(
)
= − = + − = 20 10 20 10 0 e 1 0 1 0 ; 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 θ θ s s x Ml M B g Ml m M g M m A .A dimensão do espaço de estados é n = 4 e a equação de estados é válida para x3(t) e
x4(t) próximos de zero. Isto é, este sistema foi linearizado, nas componentes x3 e x4, em
torno de zero.
Se o interesse é observar o deslocamento do carro, s, e o ângulo do pêndulo, θ, a cada instante de t, mas não as velocidades, a saída teria que ser dada por
( )
t x( )
t Cx y = = 0 1 0 0 0 0 0 1 . Resumo da aulaNessa aula foram vistas técnicas de linearização de sistema.
Exercício. Compare os resultados dos dois métodos. Utilizando os métodos do último exemplo encontre o sistema linearizado considerando x3 (θ) próximo de π e x4
( )
θ&pequeno. Neste caso, pode-se aproximar sinx3 = – x3, cosx3 = – 1 e desprezar termos
AULA 06
SISTEMAS DE NÍVEL DE LÍQUIDO
Na análise de sistemas envolvendo fluxo de fluídos verifica-se a necessidade de distinguir os regimes de escoamento em fluxo laminar e fluxo turbulento, de acordo com o valor do número de Reynolds. Se o número de Reynolds é maior que, aproximadamente, 3.000-4.000, então o fluxo é turbulento. O fluxo é laminar se o número de Reynolds é menor que, aproximadamente, 2.000. No caso laminar o fluxo se dá através de linhas de escoamento, sem turbulência. Sistemas envolvendo escoamento turbulento, na maioria das vezes, têm de ser representados por equações diferenciais não-lineares, enquanto sistemas envolvendo escoamento laminar podem ser representados por equações diferenciais lineares (processos industriais quase sempre envolvem o escoamento de líquidos através de reservatórios e de tubulações. O fluxo nestes processos geralmente é turbulento e não-laminar).
Nesta aula serão deduzidos modelos matemáticos de sistemas de nível de líquidos. É possível descrever as características dinâmicas de tais sistemas através de formas simples introduzindo os conceitos de resistência e de capacitância de sistemas de nível de líquidos.
Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido
Considere-se o fluxo através de uma pequena tubulação interligando dois reservatórios. A resistência R ao fluxo de líquido nesta restrição é definida como a variação na diferença de nível (a diferença entre os níveis de líquido nos dois reservatórios) necessária para causar uma variação unitária na vazão, isto é,
/s m vazão, na Variação m nível, de diferença na Variação 3 = R .
Uma vez que a relação entre a vazão e a diferença de nível difere no escoamento laminar e no escoamento turbulento, ambos os casos serão considerados a seguir.
Seja o sistema de nível de líquido indicado na Fig. 7(a). O líquido flui através da válvula de carga na lateral do reservatório. Se o escoamento através desta restrição for laminar, a relação entre o valor de regime permanente da vazão e o valor de regime permanente da altura de líquido no reservatório, em relação à restrição, é dada por
Q = KH,
onde Q é o valor de regime permanente da vazão de líquido, m3/s, K é um coeficiente, m2/s, e H é o valor de regime permanente do nível de líquido, m.
Note-se que a lei que governa o fluxo laminar é análoga à lei de Ohm que estabelece que a corrente elétrica é diretamente proporcional à diferença de potencial.
Q H dQ dH
Rl = = .
A resistência no escoamento laminar é constante e é análoga à resistência elétrica.
444444
Fig. 7 - (a) Sistema de nível de líquido; (b) curva de altura de coluna versus vazão. Se o escoamento através da restrição for turbulento, o valor em estado estacionário da vazão é dado por
H K
Q= . (27)
onde Q é o valor de regime permanente da vazão de líquido, m3/s, K é um coeficiente, m2,5/s e H é o valor de regime permanente do nível de líquido, m.
A resistência Rt para escoamento turbulento é obtida a partir de
Q H dQ dH Rt = = . De (27) obtém-se dH H K dQ 2 = , resultando Q H Q H H K H dQ dH = 2 = 2 = 2 . Assim, Q H Rt = 2 . (28)
O valor da resistência Rt em regime turbulento depende da vazão e da altura do nível de
Usando-se a resistência para escoamento turbulento, a relação entre Q e H pode ser dada por t R H Q=2 .
Tal linearização é válida se as variações na altura do nível e na vazão, em relação aos seus respectivos valores em estado estacionário sejam pequenas.
Em muitos casos práticos, o valor do coeficiente K em (27), que depende tanto do coeficiente de escoamento como da área da restrição, não é conhecido. A resistência pode ser então determinada construindo-se o gráfico da curva altura de coluna versus vazão, com base em dados experimentais, e calculando-se posteriormente a inclinação da curva condição de operação. Um exemplo de um gráfico deste tipo é mostrado na Fig. 7(b). Na figura, o ponto P é o ponto operação em estado estacionário. A linha tangente à curva no ponto P intercepta a ordenada no ponto
(
−H,0)
. Portanto, a inclinação desta tangente é 2H /Q . Uma vez que a resistência Rt no ponto de operaçãoP é dada por 2H /Q , a resistência Rt é a inclinação da curva no ponto de operação.
Considere-se a condição de operação na vizinhança do ponto P. Definam-se um pequeno desvio da altura da coluna partir do valor de regime estacionário como h e a correspondente pequena variação da vazão como q. Então, a inclinação da curva no ponto P pode ser dada por
t R Q H q h P= =2 = ponto no curva da Inclinação .
A aproximação linear é baseada no fato de que a curva real não difere muito da reta tangente se a condição de operação não variar demasiadamente.
A capacitância C de um reservatório é definida como sendo a variação na quantidade de líquido armazenado, necessária para causar uma variação unitária no potencial (altura do nível de líquido) (o potencial é a grandeza que indica o nível de energia do sistema).
m potencial, no Variação m , armazenado líquido de volume no Variação 3 = C .
Deve-se notar que a capacidade (m3) e a capacitância (m2) são grandezas diferentes. A capacitância do reservatório é igual à área de sua seção reta. Se esta for constante, a capacitância é constante para qualquer altura do nível de líquido.
Sistemas de nível de líquido
Seja o sistema mostrado na Fig. 7(a). As variáveis são definidas como se segue: Q é o valor de vazão em regime estacionário (antes da ocorrência de qualquer variação), m3/s; qi é um pequeno desvio da vazão de entrada em relação a seu valor de regime
estacionário, m3/s; q
regime estacionário, m3/s; H é a altura do nível em regime estacionário (antes da
ocorrência de qualquer variação), m e h é um pequeno desvio na altura do nível em relação a seu valor em regime estacionário, m.
Como estabelecido anteriormente, um sistema pode ser considerado linear se o fluxo for laminar. Mesmo que o fluxo seja turbulento, o sistema pode ser linearizado se as variações nas variáveis forem mantidas pequenas. Baseado na hipótese de que o sistema seja linear ou linearizado, a equação diferencial deste sistema pode ser obtida como se segue: uma vez que a vazão de entrada menos a vazão de saída, durante um pequeno intervalo de tempo dt, é igual à quantidade adicional armazenada no reservatório, constata-se que
Cdh = (qi – qo)dt.
Considerando-se a definição de resistência, a relação entre qo e h é dada por
qo = h/R.
A equação diferencial para este sistema para um valor constante de R é a seguinte RCdh/dt + h = Rqi. (29)
Note-se que RC é a constante de tempo do sistema. Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os membros de (29), supondo condição inicial nula, obtém-se
(RCs + 1)H(s) = RQi(s),
onde
H(s) = ℒ[h] e Qi(s) = ℒ [qi].
Admitindo-se qi como grandeza de entrada e h como grandeza de saída, a função de
transferência do sistema é
( )
( )
= RCs+1 R s Q s H i .Se, contudo, for escolhida a vazão qo como grandeza de saída, a função de transferência
é, então,
( )
( )
1 1 + = RCs s Q s Q i o ,com base na relação
( )
H( )
s R sQo = 1 .
Sistemas de nível de líquido com interação
Seja o sistema mostrado na Fig. 8. Neste sistema, os dois reservatórios interagem. Assim, a função de transferência do sistema não é o produto das duas funções de transferência de primeira ordem.
No que se segue, consideram-se apenas pequenas excursões nos valores das variáveis, em tomo dos respectivos valores de regime estacionário. Utilizando-se os símbolos definidos na Fig. 8, obtêm-se as seguintes equações para o sistema:
1 1 2 1 q R h h − = , (30) 1 1 1 dt q q dh C = − , (31) 2 2 2 q Rh = , (32) 2 1 2 2 q q dt dh C = − . (33)
Q ≡ Valor estacionário de vazão; H ≡ Valor estacionário de altura de coluna do 1 reservatório 1; H ≡ Valor estacionário de altura de coluna do reservatório 2. 2
Fig. 8 - Sistema de nível de líquido com interação
Admitindo-se a vazão q como grandeza de entrada e q2 como variável de saída, a função
de transferência do sistema é
( )
( )
(
)
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 + + + + = s C R C R C R s C R C R s Q s Q . (34)É instrutivo obter (34), função de transferência do sistema interativo, a partir da redução de diagrama blocos. A partir de (30-33), são obtidos os diagramas de blocos elementares assinalados na Fig 9(a). Conectando-se convenientemente os sinais em função dos vínculos estabelecidos, é obtido o diagrama de bloco mostrado na Fig. 9(b). Este diagrama pode ser simplificado, conforme é visto na Fig. 9(c). Simplificações adicionais geram o resultado mostrado nas Figs. 9(d) e 9(e). A Fig. 9(e) é equivalente à (34).
Como veremos posteriormente, há uma similaridade e uma diferença entre as funções de transferência dada em (34) e àquela obtida para dois circuitos elétricos RC em cascata. Na (34) aparece no denominador o terno R2C1s que mostra a interação entre os
função de transferência do sistema elétrico, que representa a interação entre os dois circuitos RC.
Fig. 9 - (a) Elementos do diagrama de blocos do sistema mostrado na Fig. 2; (b) diagrama de blocos do sistema; (c)-(e) reduções sucessivas do diagrama de blocos.
AULA 07
Exercícios:
(1) No sistema de nível de líquido da Fig. 10, considere que a vazão Q m3/s através da válvula de saída se relaciona com o valor da coluna H por intermédio da expressão
H H
K
Q= =0,01 .
Considere também que, para uma vazão Qi constante e igual a 0,015 m3/s, o valor da
coluna H se mantenha constante. No instante t = 0 a válvula de entrada é fechada de modo que a vazão de entrada seja nula para t ≥ 0. Determinar o intervalo de tempo necessário para esvaziar o reservatório até que o valor da coluna seja metade do valor inicial. A capacitância C do reservatório é de 2 m2.
Fig. 10 - Sistema de nível de líquido.
Solução. Para que o valor da coluna permaneça estacionário, a vazão de entrada deve ser igual à vazão de saída. Assim, o valor H0 da coluna no instante t = 0 é obtido de
0 01 , 0 015 , 0 = H . ou 25 , 2 0 = H m.
A equação do sistema para t > 0 vem de CdH = (Qi – Q)dt. Uma vez que Qi = 0 para t >
0, tem-se – CdH = Qdt. ou 2 01 , 0 H C Q dt dH − = − = . Em conseqüência dt dH H 0,005 1 =− .
Considere-se, agora, que no instante t = t1, H = 1,125 m. Integrando ambos os membros
1 0 125 , 1 25 , 2 005 , 0 005 , 0 1 1 t dt dH H t − = − =
∫
∫
. Segue-se que(
)
1 125 , 1 25 , 2 2 2,25 1,125 0,005 2 H = − =− t . ou t1 = 175,7.E, por conseguinte, o valor da coluna se torna igual à metade do valor inicial (2,25 m) em 175,7 s.
(2) Seja o sistema de nível de líquido mostrado na Fig. 11. Em estado estacionário, os valores das vazões de entrada e de saída se igualam a Q e a vazão entre os reservatórios é nula. Os valores de coluna em ambos os reservatórios 1 e 2 são iguais a H . Em t = 0, a vazão de entrada muda, instantaneamente, de Q para Q +q, sendo q uma pequena variação da vazão de entrada. As variações resultantes nos valores de coluna de fluido (h1 e h2) e de vazões (q1 e q2) são consideradas pequenas. As capacitâncias dos
reservatórios 1 e 2 são, respectivamente, C1 e C2. A resistência da válvula entre os
reservatórios é R1 e a da válvula de saída é R2. Deduzir modelos matemáticos para o
sistema quando a grandeza de entrada for q e a de saída for (a) h2, (b) q2 e (c) h1.
Fig. 11 - Sistema de nível de líquido. Solução. (a) Para o reservatório 1, tem-se
C1dh1 = q1dt, onde 1 1 2 1 R h h q = − . Consequentemente, 2 1 1 1 1 h h dt dh C R + = . (35)
Para o reservatório 2, obtém-se
(
q q q)
dt dh1 1 2 1 R h h q = − , 2 2 2 R h q = . Segue-se, então, 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 R h R q R h h R R dt dh C R + + = + . (36)
Derivando (36) em relação ao tempo, obtem-se
dt dq R dt dh R R dt dh dt h d C R dt dh 1 2 2 1 2 22 2 2 1 1 = + + − . (37) Substituindo (37) em (35), tem-se − + + − = dt dq R dt dh R R dt dh dt h d C R C R h h 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 . (38) Substituindo (38) em (36), tem-se
(
)
R q dt dq C R R h dt dh C R C R C R dt h d C R C R 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 22 2 2 2 1 1 + + + + = + . (39)Tomando a transformada de Laplace de (39), sob condições iniciais nulas, tem-se a seguinte função de transferência,
( )
( )
(
(
)
)
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 + + + + + = s C R C R C R s C R C R s C R R s Q s H .Este é o modelo matemático desejado no qual q é considerada a grandeza de entrada e h2 a grandeza de saída. (b) Substituindo h2= R2q2 em (39), tem-se
(
)
q dt dq C R q dt dq C R C R C R dt q d C R C R + + + 2 + 2 = 1 1 + 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 .Esta equação é um modelo matemático do sistema quando se consideram q a grandeza de entrada e q2 a grandeza de saída. Em termos de função de transferência, tem-se
( )
( )
(
)
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 + + + + + = s C R C R C R s C R C R s C R s Q s Q .(c) Derivando (1) em relação ao tempo, obtem-se
dt dh dt dh dt h d C R 1 2 21 2 1 1 + = . (40)
Substituindo (35) e (40) em (36), tem-se
(
)
h R q dt dh C R C R C R dt h d C R C R 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 + + + + = . (41)Tomando a transformada de Laplace de (41), sob condições iniciais nulas, tem-se a seguinte função de transferência,
( )
( )
2(
1 1 2 2 2 1)
1 2 2 1 1 2 1 + + + + = s C R C R C R s C R C R R s Q s H .Que é um modelo matemático do sistema quando se consideram q a grandeza de entrada e h1 a grandeza de saída.
(3) Seja o sistema de nível de líquido mostrado na Fig. 12. No sistema, Q1 e Q são 2 valores estacionários das vazões de entrada, e H1 e H os valores estacionários de 2 coluna de fluido. As grandezas qi1, qi2, h1, h2, q1 e qo são consideradas como tendo
valores pequenos. Obter uma representação do sistema no espaço de estados, quando se consideram h1 e h2 como grandezas de saída e qi1 e qi2 como grandezas de entrada.
Fig. 12 - Sistema de nível de líquido. Solução. As equações para o sistema são
C1dh1 = (qi1 – q1)dt, (42) 1 2 1 1 R h h q = − , (43) C2dh2 = (q1 + qi2 – qo)dt, (44) 2 2 R h qo = . (45) Substituindo (43) em (42), obtém-se − − = 1 2 1 1 1 1 1 R h h q C dt dh i . (46)
