ESTUDO DO COMPORTAMENTO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE EM REDES ELÉTRICAS CONGESTIONADAS

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ESTUDO DO COMPORTAMENTO DOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

EM REDES ELÉTRICAS CONGESTIONADAS

Alessandra Macedo de Souza

Escola de Engenharia de São Carlos – USP Av Trabalhador Sãocarlense 400

13566-590 São Carlos - SP amacedo@sel.eesc.usp.br

Geraldo Roberto Martins da Costa

Escola de Engenharia de São Carlos - USP Av Trabalhador Sãocarlense 400

13566-590 São Carlos - SP geraldo@sel.eesc.usp.br

Resumo. Este artigo tem como objetivo apresentar o estudo do comportamento dos multiplicadores de Lagrange em sistemas de energia elétrica em condições de congestionamento. Os multiplicadores de Lagrange são obtidos através de um programa de fluxo de potência ótimo (FPO). O método utilizado na resolução do problema de FPO foi o primal dual barreira logarítmica. A partir de um estado da rede não congestionado, obtiveram-se os multiplicadores de Lagrange. Reduzindo-se os limites de fluxo de potência ativa na transmissão, o sistema é levado ao congestionamento. Desse modo, os novos multiplicadores de Lagrange são obtidos. Na condição de congestionamento, um acréscimo de carga é realizado para analisar o comportamento da função objetivo. Testes foram realizados em sistemas de 5 e 30 barras, onde pôde-se observar o comportamento dos multiplicadores de Lagrange e da função objetivo em diversas condições de estudo.

Palavras-Chave. Fluxo de potência ótimo, método dos pontos interiores, programação não linear.

1. Introdução

O problema de fluxo de potência ótimo (FPO) foi formulado por Carpentier (1962) no início da década de 60. Desde então, observou-se um crescente interesse neste assunto. A literatura especializada apresenta uma variedade de métodos de otimização aplicados à resolução do problema de FPO, sendo os métodos Lagrangianos os mais usados atualmente. Programas de FPO fornecem como resultado um ponto ótimo de operação para o sistema elétrico de potência. Isto é, fornecem o despacho ótimo de potência ativa e reativa, o ajuste de tap de transformadores, as tensões e os fluxos de potência ativa nas linhas de transmissão dentro de limites pré-estabelecidos. Além de todas as restrições operativas e físicas do sistema de potência serem obedecidas, o ponto ótimo também minimiza uma função objetivo. Esta função pode ser de natureza elétrica, como as perdas na transmissão de energia, ou de natureza econômica, como o custo na geração de potência ativa. Além do ponto ótimo de operação fornecido pelo FPO, temos também como resultado, um parâmetro de muita utilidade - tanto para análises de planejamento como para a comercialização da energia - que é o multiplicador de Lagrange. Esse parâmetro, também conhecido como custo marginal, indica a sensibilidade da função objetivo, quando ocorrem alterações nos dados do problema.

A rede elétrica está em constante mudança, pois a demanda do sistema está sempre variando ao longo do dia, por isso, gerenciar a transmissão do sistema elétrico é uma das maiores responsabilidades do operador do sistema. O limite na transmissão indica a capacidade máxima de transferência de energia em uma linha de transmissão sob certas condições operativas. Estes limites são determinados sob dados térmicos ou de estabilidade. Se a linha for curta, os limites serão determinados sob dados térmicos; se for longa, sob dados de estabilidade. Estes limites afetam o custo de operação do sistema (Xie et all 2001). Diz-se que o sistema está congestionado quando estiver operando no limite, ou muito próximo dele.

Neste trabalho o método aplicado para resolver o problema de FPO, com despacho ativo e reativo e restrição na transmissão, foi o primal dual barreira logarítmica (Granville 1994, Quintana et all 1995, Xie et all 2001). Esse método, que faz parte da classe dos métodos dos pontos interiores, tem sido considerado muito eficiente na solução de problemas não lineares e não convexos. Será apresentado, ainda, o comportamento dos multiplicadores de Lagrange quando o sistema se encontra congestionado. Os multiplicadores de Lagrange indicam onde seria mais vantajoso o aumento ou redução da demanda. Em condições de congestionamento e com o aumento da demanda do sistema, realizaram-se testes com objetivo de analisar as mudanças que ocorrem na função objetivo.

Este artigo será apresentado da seguinte forma; na seção 2, será apresentado o método primal dual barreira logarítmica, na seção 3, informações sobre a implementação computacional, na seção 4, testes e resultados utilizando sistemas de 5 e 30 barras e na seção 5, as conclusões do trabalho.

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2. Método Primal Dual Barreira Logarítmica

O problema de fluxo de potência ótimo pode ser representado da seguinte maneira:

u l x x x 0 ) x ( h 0 ) x ( g . a . s ) x ( f min ≤ ≤ ≤ = (1)

onde _x_∈_ℜn_{é o vetor das variáveis de estado do sistema;} u

lex

x são os limites inferiores e superiores das variáveis de estado; f(x), a função objetivo; g(x), as equações de balanço da rede e h(x), as restrições funcionais.

O método dos pontos interiores, conhecido como o método primal dual barreira logarítmica, vem sendo considerado como uma alternativa eficiente para problemas de otimização não linear. Para a aplicação desse método, algumas modificações deverão ser feitas no problema (1). Variáveis estritamente positivas, de folga e excesso, serão incluídas nas restrições de desigualdade do problema, para que estas se tornem em igualdades. Estas variáveis são introduzidas na função objetivo através da função barreira logarítmica. Assim podemos reescrever (1) da seguinte maneira: l l u u l u x s x x s x 0 s ) x ( h 0 ) x ( g . a . s ) s ln s ln s (ln ) x ( f min = − = + = + = + + µ − (2)

onde s,su,sl > são as variáveis de folga e excesso e 0 µ é o parâmetro de barreira, que decresce a cada iteração. Com o objetivo de tornar o problema restrito (2) em um problema irrestrito, a função Lagrangiana é construída.

) x s x ( ) x s x ( ) s ) x ( h ( ) x ( g ) s ln s ln s (ln ) x ( f L= −µ + u + l −λ −π + −πu + u − u −πl − l− l (3)

onde λ(irrestrito),π≤0,πu≤0,πl≥0, são os multiplicadores de Lagrange, os quais devem satisfazer às condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) (Bazaraa, 1990).

Considere o vetor z=[x,s,su,sl,λ,π,πu,πl], escrevendo as condições de KKT para (3), temos um sistema de equações da seguinte forma:

0 L

z =

∇ (4) Para a solução de (4), utilizamos o método de Newton. Cada equação é expandida em série de Taylor até primeira ordem, resultando em um sistema de equações do seguinte tipo:

L z z L z 2 2 −∇ = ∆ ∂ ∂

₍₅₎ onde ∂ ∂ z L 2 2

é a matriz Lagrangiana e z∆ o vetor de correções usado na atualização das variáveis.

A matriz Lagrangiana é esparsa e simétrica, e esta característica foi considerada na implementação do problema, onde somente os elementos diferentes de zero foram armazenados.

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As variáveis são atualizadas da seguinte maneira: l d k l 1 k l l p k l 1 k l u d k u 1 k u u p k u 1 k u d k 1 k p k 1 k d k 1 k p k 1 k s s s s s s s s s x x x π ∆ α + π = π ∆ α + = π ∆ α + π = π ∆ α + = π ∆ α + π = π ∆ α + = λ ∆ α + λ = λ ∆ α + = + + + + + + + + (6)

onde αpeαd são os passos primais e duais, e k é a iteração atual.

O máximo tamanho de passo é escolhido de modo a preservar a factibilidade do problema, e são calculados como segue: π ∆ π π ∆ π − π ∆ π − σ = α ∆ ∆ ∆ σ = α < π ∆ > π ∆ > π ∆ < ∆ < ∆ < ∆ 1 , min , min , min min 1 , s s min , s s min , s s min min l l 0 u u 0 0 d l l 0 s u u 0 s 0 s p l u l u (7) onde σ=0.9995.

O aspecto crítico do algoritmo implementado é a escolha do parâmetro de barreira (Souza, 1998). Este tem grande influência na convergência do método. Por ser um dado empírico, a sua atualização é feita usando um valor fixo, também determinado pelo usuário, isto é:

β µ =

µk+1 k ₍₈₎

onde β >1 é o atualizador de decrescimento de µ .

3. Implementação computacional

A matriz Lagrangiana não deve ser construída diretamente, pois sua dimensão geralmente é muito elevada e uma grande parte de seus elementos são nulos. Esta matriz é do tipo esparsa e simétrica, e esta característica foi considera na implementação do problema.

Para resolver o sistema de equações dadas em (5), utilizou-se um programa elaborado em Fortran pelo grupo de Algoritmos Numéricos do Laboratório Harwell do United Atomic Energy Authority. A subrotina utilizada foi a MA57, a qual utiliza a parte triangular superior da matriz Lagrangiana.

O programa de FPO foi desenvolvido em linguagem C++, e a subrotina MA57 em Fortran, por esta razão, foi realizado um link entre estas duas linguagens.

O critério de convergência adotado foi em relação as restrições de igualdade do problema.

4.Testes e Resultados

Para o mercado livre de energia, os multiplicadores de Lagrange indicam onde seria mais vantajoso o incentivo de consumo ou geração de energia (Freire, 2002). Esses multiplicadores possuem a informação da mudança marginal do valor ótimo da função objetivo, enquanto a demanda ou recursos do sistema são modificados. Com o objetivo de verificar o comportamento dos multiplicadores de Lagrange quando o sistema elétrico se encontra congestionado, apresentamos 2 sistemas exemplos, de 5 e 30 barras. Nessa situação, foram realizados testes onde a demanda do sistema foi incrementada, com o objetivo de verificar onde este aumento causaria um maior custo para o sistema.

O problema de despacho ótimo ativo e reativo, com restrição na transmissão, foi implementado em linguagem C++ versão 6.0 em computador Pentium 4 microprocessador de 2GHz com 256 MB de RAM.

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4.1. Sistema de 5 barras

O sistema de 5 barras mostrado na Fig.(1) (Xie et all 2000), foi utilizado para mostrar de forma detalhada, o comportamento dos multiplicadores de Lagrange, associados as restrições de igualdade de potência ativa, quando o sistema se encontra em condições de congestionamento.

Figura 1. Sistema de 5 barras.

Os dados de barras e de linhas do sistema se encontram no Apêndice A. G1 e G5 são unidades geradoras. A função

objetivo utilizada foi a de custo na geração de potência ativa. Esta função foi escolhida para que os multiplicadores indiquem a sensibilidade do custo da operação devido ao congestionamento. O problema de despacho ótimo ativo e reativo, com restrição na transmissão é:

3 2 linha a para ; P ) , V ( P 5 , 1 m ; P P P 5 , 1 m ; Q Q Q 5 , 4 , 3 , 2 , 1 j ; V V V 4 , 3 , 2 k ; 0 ) , V ( Q Q Q 4 , 3 , 2 k ; 0 ) , V ( P P P . a . s ) C P B P A ( ) C P B P A ( ) P , P ( C min max 23 23 max Gm Gm min Gm max Gm Gm min Gm max j j min j k esp k k k esp k k 5 5 G 5 2 5 G 5 1 1 G 1 2 1 G 1 5 G 1 G − ≤ θ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤ = = θ − = ∆ = = θ − = ∆ + + + + + = (9)

onde C é a função custo na geração de potência ativa; ∆ P e ∆ Q as equações de balanço do sistema; V e θ o módulo e a fase da tensão para cada barra; QG e PG as gerações de potência reativa e ativa para as barras de geração e P23 o fluxo

ativo na linha entre as barras 2 e 3.

Aplicando a metodologia descrita anteriormente, para resolver o problema de FPO, obtivemos o ponto de operação ótimo do sistema. A Tab.(1) apresenta o estado ótimo da rede e a Tab. (2) os fluxos nas linhas de transmissão.

Tabela 1. Solução ótima do sistema – dados de barra. Barra V

(pu) (grau) θ Geração (MW) Geração (MVAr) 1 1,0500 0,0 25,6 30,5 2 1,0282 -0,5 3 1,0262 -1,2 4 1,0321 -0,8 5 1,0498 3,6 124,6 41,4 D2 5 3 2 4 1 D3

~

G5 G1

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Tabela 2. Solução ótima do sistema – fluxo nas linhas.

Linha Fluxo (MW) Limite de fluxo(MW)

1-4 25,62 -

4-3 31,70 -

4-2 -6,08 -

2-3 68,61 100,00

2-5 -124,61 -

Para este ponto de operação, a função custo foi de $2001,89. O sistema convergiu em 4 iterações com 0,02 segundos de CPU. O critério de convergência adotado foi de um máximo erro de 10-3_{para as equações de balanço do}

sistema. Apenas uma restrição atingiu o limite, max 1

1 V

V = e todos os multiplicadores associados as restrições satisfizeram as condições de KKT.

Com o objetivo de verificar o comportamento dos multiplicadores de Lagrange e da função objetivo, quando o sistema se encontra congestionado, foram realizados testes onde o limite de fluxo ativo na linha entre as barras 2 e 3 foi reduzido. Verificou-se a influência do decrescimento do limite de fluxo ativo nos multiplicadores de Lagrange e na função objetivo. Na barra 2, o multiplicador de Lagrange decresce, enquanto que na barra 3, cresce. Indicando que seria mais vantajoso para o sistema o incentivo de aumento de carga na barra 2 em situações de congestionamento..

Figura 2. Comportamento dos multiplicadores de Lagrange das barras 2 e 3.

O valor da função objetivo apresentou uma tendência crescente, oscilando apenas entre os limites 80 e 70 MW, devido a não linearidade e não convexidade do problema. Isto indica que, é mais econômico para o sistema operar abaixo dos limites de transmissão do que no limite. Ou seja, situações de congestionamento deverão ser evitadas. O multiplicador de Lagrange da barra 4, permaneceu praticamente inalterado diante do congestionamento do sistema.

Figura 3. Comportamento da função objetivo e dos multiplicadores de Lagrange associados as restrições ∆ P.

-0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 M ul tip lic ad or d e La gr an ge d a ba rr a 2 100 80 70 67 63 60,5

Limite de fluxo da linha 2-3

Comportamento dos Multiplicadores de Lagrange

0 0,5 1 1,5 2 2,5 M ul tip lic ad or d e La gr an ge d a ba rr a 3 100 80 70 67 63 60,5

2001,89 2001,892 2001,894 2001,896 2001,898 2001,9 2001,902 2001,904 2001,906 Fu nç ão C us to 100 80 70 67 63 60,5

Função Custo Variação dos Multiplicadores de Lagrange devido

a diferentes limites de fluxo ativo na linha 2-3

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 2 3 4 Barras M ul tip lic ad or es Fluxo Max = 65MW Fluxo Max = 63MW Fluxo Max = 61MW Fluxo Max = 60,5MW Fluxo Max = 60MW

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4.1.1. Aumento da demanda para o sistema de 5 barras em situação de congestionamento

O crescimento da demanda do sistema implica em aumento de custo, pois se deve gerar mais para atender a nova carga. Os multiplicadores de Lagrange indicam onde seria mais vantajoso o incentivo de aumento de carga. A barra com menor multiplicador seria a melhor opção para a instalação de novas cargas.

Em caso do sistema operar no limite da transmissão em uma de suas linhas, o aumento de carga, se ocorrer, deverá acontecer na barra inicial, pois o crescimento do multiplicador de Lagrange na barra final, indica que o custo ali seria maior do que o custo na barra inicial. A Fig. (4) mostra o crescimento da função custo devido o aumento de carga, que foi percentual em cada barra. Como os multiplicadores de Lagrange indicaram, o aumento da demanda na barra 3 causou maiores valores de custo.

Comportamento da função objetivo devido o aumento de carga - caso congestionado

2001,8600 2001,8800 2001,9000 2001,9200 2001,9400 2001,9600 2001,9800 2002,0000 2002,0200 1 2 5 6

Percentual de aumento de carga (%)

Fu nç ão o bj et iv o Aumento de D2 Aumento de D3

Figura 4. Função objetivo com o aumento de carga para o caso congestionado.

Para esta situação do sistema, congestionamento e aumento de demanda, os multiplicadores de Lagrange nas barras 2 e 3, apresentaram o seguinte comportamento.

Figura 5. Multiplicadores de Lagrange para o sistema congestionado com aumento de carga.

Com o aumento de carga na barra 2, o multiplicador de Lagrange associado a esta barra cresceu, aliviando um pouco o congestionamento do sistema, e por isso o multiplicador associado a barra 3 decresceu. Devido o aumento da demanda na barra 3, o multiplicador de Lagrange da barra 2 decresce e da barra 3 cresce. Nesta situação, o aumento de carga, se ocorrer, deve acontecer na barra 2. Pois desta forma, o aumento do custo do sistema não seria tão elevado.

4.2. Sistema de 30 barras

Com o objetivo de verificar, se o comportamento dos multiplicadores seria o mesmo para sistemas maiores, utilizou-se o sistema elétrico IEEE 30 barras (Zhu et all 1998), cujos dados das unidades geradoras e limites de tensão estão no Apêndice A. Este sistema tem 41 linhas de transmissão, 1 barra slack, 5 barras de geração, 24 barras de carga e 4 taps de transformadores. O problema de despacho ativo e reativo, para este sistema convergiu em 19 iterações, com um tempo de processamento de 0,15 segundo. Para este ponto ótimo de operação, sem restrição na transmissão, a função custo foi de $1526,79. Decrescendo o limite de fluxo ativo na linha entre as barras 9 e 10, obteve-se o seguinte comportamento para os multiplicadores de Lagrange.

Comportamento dos Multiplicadores de Lagrange devido o aumento de carga na barra 2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 1 2 5 6

Percentual de aumento de carga (%) M ul tip lic ad or es d e La gr an

ge Multiplicador de_{Lagrange da barra 2}

Multiplicador de Lagrange da barra 3

Comportamento dos Multiplicadores de Lagrange devido o aumento de carga na barra 3

-2 -1 0 1 2 3 1 2 5

Percentual de aumento de carga

M ul tip lic ad or d e La gr an

ge Multiplicador de_{Lagrange da barra2}

Multiplicador de Lagrange da barra 3

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Figura 6. Comportamento dos multiplicadores de Lagrange das barras 9 e 10.

Novamente, verificou-se que o multiplicador da barra inicial decresce com a diminuição do limite de fluxo, e da barra final cresce. Indicando o congestionamento da operação. Na Fig. (7) tem-se os gráficos da função custo e dos multiplicadores de Lagrange em todas as barras de carga do sistema. Observe que para este sistema, todos os multiplicadores foram sensíveis ao congestionamento, especialmente os multiplicadores das barras 9 e 10.

Figura 7. Comportamento da função objetivo e dos multiplicadores de Lagrange associados as restrições ∆ P.

4.2.1. Aumento da demanda para o sistema de 30 barras em situação de congestionamento

Aumentando a demanda nas barras 9 e 10, novamente observou-se que o custo na geração sofre um aumento maior devido o acréscimo de carga na barra final, ou seja, na barra 10. Devido o multiplicador associado a esta barra ser maior do que o multiplicador da barra inicial.

Comportamento da função objetivo devido o aumento de carga - caso congestionado

1745 1750 1755 1760 1765 1770 1775 1 2 8

Percentual de aumento de carga (%)

Fu nç ão o bj et iv o Aumentdo de D9 Aumentdo de D10

Figura 8. Função objetivo com o aumento de carga para o caso congestionado.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 M ul tip lic ad or d e La gr an ge d a ba rr a 9 100 80 60 40 30 25

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 M ul tip lic ad or d e La gr an ge d a ba rr a 10 100 90 80 70 60 50 40 35 30 29 25

LImite de fluxo da linha 9-10 Comportamento dos Multiplicadores de Lagrange

1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 Fu nç ão C us to 100 90 80 70 60 50 40 35 30 29 25

Função Custo Variação dos multiplicadores de Lagrange devido a diferentes limites de fluxo ativo na linha 9-10

0 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 17 19 21 23 25 27 29 Barras M ul tip lic ad or es Fluxo Max = 40MW Fluxo Max = 35MW Fluxo Max = 30MW Fluxo Max = 29MW Fluxo Max = 25MW

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5. Conclusão

Neste trabalho foi implementado o problema do despacho ótimo de potência ativa e reativa, com restrição na transmissão. O método de programação não linear utilizado foi o primal dual barreira logarítmica. Como esse método faz parte da classe dos métodos Lagrangianos, obtêm-se além do ponto ótimo de operação do sistema, os multiplicadores de Lagrange associados às restrições do problema. Fez-se, ainda, um estudo sobre o comportamento dos multiplicadores associados às restrições de balanço de potência ativa. Verificou-se que o limite imposto na transmissão exerce grande influência nos multiplicadores e no custo de operação do sistema. Quando o sistema se encontra em condição de congestionamento, os multiplicadores da barra inicial decrescem, enquanto os da barra final crescem. Na situação congestionada, testes com o aumento da demanda também foram realizados. Verificou-se que o aumento de carga deve acontecer na barra onde há o menor multiplicador, pois desta forma, o custo de operação do sistema não teria um valor muito elevado.

A informação fornecida pelos multiplicadores de Lagrange é de grande importância para análises econômicas e técnicas, pois serviria como uma base de estudos para determinação de tarifas de energia.

6. Referências

Bazaraa, M.S.; Jarvis, J.J.; Hanif, D.S., 1990, “Linear Programming and Network Flow”, Second Edition, John Wiley & Sons, 560p. Carpentier, J.L., 1962, “Contribution a L’etude du Dispatching Economique”, Bull-Soc. Fr. Elec. Ser. B3, p. 431 - 447.

Freire, L.M., Monticelli, A.J., Garcia, A.V., 2002, “Aplicação dos Resultados do Fluxo de Potência Ótimo na Nova Estrutura do Setor Elétrico Brasileiro”, XIV Congresso Brasileiro de Automática, pp 2072-2077.

Granville, S., 1994, “Optimal Reactive Dispatch Through Interior Point Methods”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 9, February, pp. 136-146.

Quintana, V.H., Gomez, A., Martinez, J.L., 1995, “Nonlinear Optimal Power Flows by Logarithmic-Barrier Primal-Dual Algorithm” IEEE NAPS Meeting.

Souza, A.M., Costa, G.R.M, 1998, “O Método Primal Dual Barreira Logarítimica Aplicado ao Problema de Fluxo de Carga Ótimo”, Dissertação de Mestrado, Universidade de São Paulo, Escola de Engenharia de São Carlos, 92p. Xie, K., Song, Y.H., Stonham. J., Yu, E. and Liu, G., 2000, “Decomposition Model and Interior Point Methods for

Optimal Spot Pricing of Electricity in Deregulation Environments”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 15, no 1, February, pp. 39-50.

Xie, K. and Song, Y.H., 2001, “Power Market Oriented Optimal Power Flow via an Interior Point Method”, IEE Proc-Gener. Transm. Distrib., Vol. 148, no 6, November, pp. 549-556.

Zhu, J.Z., Irving M.R., Xu, G.Y., 1998, “A New Approach to secure economic power dispatch”, Electrical Power & Energy Systems, Vol. 20, no 8, pp 533-538.

7. Apêndice A

7.1. Dados do sistema de 5 barras

Limites das tensões:

0,95≤Vk ≤1,05; k=1,2,3,4,5 Tabela 3. Dados dos Geradores

Gerador Pmin Pmax Qmin Qmax A B C

G1 0 100 -20 100 0,5 1,2 1000

G5 110 200 -20 50,5 0,2 1,0 1000

Tabela 4. Demanda do Sistema

Barra MW MVAr

2 50 40

3 100 20

Tabela 5. Dados de Linhas

Linha R(pu) X(pu)

1-4 0 0,06189

4-3 0,004298 0,02198 4-2 0,025210 0,06917 2-3 0,003390 0,01777

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7.2. Dados do sistema de 30 barras

Limites das tensões:

0,95≤Vk ≤1,10; k=1,...,30 Tabela 6. Dados dos Geradores

Gerador Pmin Pmax Qmin Qmax A B C

G1 50 200 -9999 9999 37,5 200 0 G2 20 80 -40 50 175 175 0 G5 15 50 -40 40 625 100 0 G8 10 35 -10 40 83,4 325 0 G11 10 30 -6 24 250 300 0 G13 12 40 -6 24 250 300 0

Title:Study of the Behavior of Lagrange Multipliers in Congested Power Systems.

Abstract: This paper presents the study of the behavior of Lagrange multipliers in electrical power systems congested. The Lagrange multipliers are obtained through an optimal power flow program (OPF). We used the primal dual logarithmic barrier method to solve the OPF problem. First, the lagrange multipliers are obtained in a uncongested state of the net. Then, the net is brought to congestion reducing the limits of transmission systems. In this situation, the new multipliers are found. In the congested case, a load increment is accomplished to analyze the behavior of the objective function. Tests were accomplished in 5 and 30 bus systems, where the Lagrange multipliers behavior and objective function could be observed in several study conditions.