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programa
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computador
Renato Mendes Mineiro1
Marcos José Traldi 2
Resumo: Apresentaremos nesse artigo uma análise de respostas que alunos do 1º semestre de cursos da Escola de Negócios deram a três questões que envolviam conceitos matemáticos. Essa análise, desenvolvida à luz da Teoria dos Registros de Representação Semiótica (Duval, 1993), mostra diferenças importantes nos enunciados das questões e nos respectivos índices de
acerto, que nem sempre são levadas em conta nas situações de ensino e na elaboração de sequências didáticas. Pretendemos mostrar que a conversão de representações não congruentes, embora não seja algo natural e nem uma tarefa que possa ser realizada de modo automático, é fundamental para o processo de aprendizagem dos objetos da matemática. Ao final do artigo apresentaremos uma proposta para o estudo das funções, em que se procura, por meio de um programa de computador, fazer a mobilização de diferentes registros de representação semiótica, com transformações que incluem tratamentos e conversões, congruentes e não congruentes.
Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica; Tratamentos; Conversões; Funções.
Abstract: In this paper, we present an analysis from some answers which 1st semester students from the Business School gave to some questions which involved mathematics concepts. Such analysis, that was developed in 1 Professor do Curso de Administração do Complexo Educacional FMU (renato.mineiro@fmu.br). Mestre em Educação Matemática e Doutorando em Educação Matemática pela PUC-SP.
accordance to the Theory of the Registers of Semiotic Representations (Duval, 1993), shows some important differences which refers to the statements
of the questions and in the respective hit rate, which are not always taken into account at the teaching situations, when developing activities or when performing didactical sequences. We intend to show that the conversion of the non-congruent representations, although it is not natural or some kind of thing that can be done automatically, it is quite important for the learning process of the mathematics. At the end of this paper, we are going to show a proposal for the study of the functions by using a computer software, in order to try to do the mobilization of different registers of the representation of the same mathematical object in both activities of treatment and conversions, congruent and non-congruent ones.
Key words: Registers of Semiotic Representations; Treatments; Conversions; Functions.
1. INTRODUÇÃO
Em algumas áreas do conhecimento o acesso aos objetos de estudo pode ocorrer de forma direta, quando o acesso ao objeto em si é possível, ou indireta, por meio do acesso a um representante que possa suprir sua
ausência, como uma ilustração, uma foto, um mapa. Dessa forma, um biólogo pode, por exemplo, tanto recorrer à fotografia de um ser vivo cujo estudo lhe interesse (sua representação) quanto investigar diretamente o ser vivo (o objeto de estudo em si), dependendo de variáveis e restrições próprias de sua pesquisa. Em matemática, no entanto, o acesso aos objetos do estudo se dá unicamente por meio de suas representações. Essa característica tão peculiar faz surgir um paradoxo, conforme aponta Duval (1999): Como podem os estudantes não confundir a representação de um objeto matemático
com o objeto em si, se só podem acessá-lo por meio de sua representação? Compreender matemática implica saber distinguir entre o representante e o que é representado.
2. REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA,
TRATAMENTOS E CONVERSÕES DE REPRESENTAÇÕES
No final do século XIX, o filósofo e matemático norte-americano Charles Sanders Peirce (1839-1914) trouxe algumas das principais contribuições para a teoria da semiótica, o estudo dos signos. De acordo com essa abordagem, signo é qualquer coisa que comunique algo, a essência da linguagem. Um
signo tem uma estrutura triádica de significação, sendo ao mesmo tempo o
representamen (aquilo que representa algo para alguém), o objeto (o que é
representado) e o interpretante (o que se cria na mente de quem tem acesso ao signo). Tudo o que é apreendido pela mente, nessa concepção, é mediado por um sistema composto de signos, ou sistema semiótico.
Nos idos de 1990, quando trabalhava no Instituto de Pesquisas em Educação Matemática (IREM) de Estrasburgo, na França, apoiado nas ideias de Peirce, Raymond Duval desenvolveu uma teoria conhecida como Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Para Duval (2009), um sistema semiótico pode ser considerado como um registro de representação semiótica quando permite as três seguintes atividades cognitivas fundamentais: 1) a formação de uma representação identificável, como um registro numérico, um registro figural, ou um registro em língua natural, entre outros; 2) o tratamento, que consiste na transformação da representação dentro do próprio registro onde ela foi originada; e 3) a conversão, que consiste na transformação dessa em uma representação em outro registro, exterior ao registro original de partida. (Damm, 2003)
No Quadro 1 apresentamos a resolução de uma equação no registro de escrita algébrica. A busca pela solução consiste em uma sequência de transformações, apoiadas e justificadas por propriedades matemáticas, sem que haja mudança de registro, ou seja, todas as operações são realizadas no registro da escrita algébrica. Nesses casos, em que as transformações são internas ao registro, dizemos que essas transformações consistem em tratamentos.
Quadro 1 - Um exemplo de tratamento interno ao registro.
No Quadro 2 apresentamos dois registros de representação semiótica distintos. À esquerda temos o registro em língua natural, que chamamos de registro de partida e que nesse exemplo é o registro utilizado para que se apresente o enunciado do problema a ser solucionado. À direita temos o registro numérico da situação inicialmente apresentada, que chamamos de registro de chegada
e que, nesse caso, pode prestar-se mais propriamente para a resolução do problema proposto. À transformação que realizamos nas representações de um registro em direção ao outro damos o nome de conversão.
Quadro 2 - Um exemplo de conversão entre registros.
Registro de partida (língua natural) Registro de chegada (registro numérico)
Qual é o lucro obtido por uma empresa, se considerarmos uma receita de
R$1.200.000,00 menos uma despesa no valor de R$700.000,00?
Lucro = 1.200.000 – 700.000 Lucro = 500.000
De acordo com Duval (1993), o que garante a apreensão em matemática não é a quantidade de representações, mas a coordenação entre os vários registros de representação, por meio da conversão. Ao mobilizar representações do mesmo objeto em diferentes registros o aluno passa a fazer a distinção entre a forma pela qual o objeto é representado (a representação) e o conteúdo representado (o objeto em si), sendo essa distinção uma condição básica para que se dê a aprendizagem em matemática. Duval (1993) afirma que essa mobilização, além de não ser natural ou espontânea, costuma ser fonte de dificuldades para muitos alunos, como se a compreensão que eles têm de um objeto matemático estivesse limitada à forma de representação adotada. Alguns simplesmente não reconhecem o mesmo objeto após a mudança de registro.
Para Duval (1993) as conversões podem ser congruentes ou não congruentes. São chamadas conversões congruentes aquelas em que são atendidos os três seguintes critérios: 1) existe correspondência semântica (os símbolos têm o mesmo significado) entre as unidades significantes3 do registro de partida e o
de chegada, 2) existe a mesma ordem de apreensão das unidades significantes nas duas representações e 3) existe a univocidade semântica (cada unidade significante do registro de partida corresponde a uma só unidade significante no registro de chegada, e vice-versa). Conversões não congruentes são aquelas que deixam de atender a pelo menos um desses critérios. O nível dos casos de não congruência pode ser classificado como maior ou menor, dependendo da quantidade de critérios que são ou não atendidos. Uma conversão de não congruência máxima é aquela em que nenhum dos três critérios é atendido.
No exemplo apresentado no Quadro 2 é possível verificar que: 1) cada símbolo no registro de partida corresponde a um símbolo com o mesmo significado no registro de chegada (o significado de “lucro”, os valores numéricos, a palavra “menos” e o sinal “-“), ou seja, há correspondência semântica entre os registros, 2) cada símbolo no registro de partida corresponde a uma, e somente uma, unidade significante no registro de chegada, e vice-versa (há univocidade semântica) e 3) a ordem em que os dados são apresentados é a mesma ordem utilizada para a realização do cálculo. Conversões como a desse exemplo, que atendem a todos os critérios de congruência apontados por Duval, são chamadas de conversões congruentes.
No Quadro 3 apresentamos um exemplo distinto, em que se pode observar que nem todos os critérios de congruência são atendidos. Não há correspondência biunívoca entre as unidades significantes no registro de partida e o de
chegada. No registro em língua natural há uma referência ao valor negativo de R$ 4.500,00 porém no registro de chegada essa grandeza apresenta-se com valor positivo. No registro de chegada efetua-se a adição de uma grandeza pela outra, sem que haja qualquer referência à essa operação (“mais”, “ganha”, etc.) no registro de partida. A ordem em que são apresentados os dados difere de um registro para o outro. Transformações de representações desse tipo, em que um ou mais critérios de congruência deixam de ser
observados, são chamadas de conversões não congruentes.
Quadro 3 - Um exemplo de conversão não congruente.
Registro de partida (língua natural) Registro de chegada (registro numérico)
Qual é a variação correspondente ao saldo de uma conta corrente que no início do mês possuía um saldo negativo de R$4.500,00 e que ao final passou a apresentar um saldo positivo de R$1.200,00?
Variação = 1200 + 4500 = 5700
Apresentaremos a seguir três questões que foram propostas a alunos do 1º semestre dos cursos de Ciências Econômicas, Ciências Contábeis e Administração. Uma das questões implica uma conversão congruente de representações e as outras duas, conversões não congruentes. Pretendemos verificar, a partir da análise das conversões congruentes e não congruentes qual a relação que se estabelece entre o tipo de enunciado apresentado e os respectivos índices de acerto.
3. ANÁLISE DAS QUESTÕES
A primeira questão constava de uma prova unificada4 que foi respondida por
alunos do 1º semestre do Curso de Administração, conforme o enunciado do Quadro 4.
Quadro 4 - Questão 1.
Um taxista cobra a quantia fixa (bandeirada) de R$ 4,50 e mais R$ 2,75 por quilômetro rodado. Desconsiderando as outras eventuais taxas, tais como taxa de retorno, valor por tempo parado e taxa de bagagem, quanto será cobrado por uma corrida de 25 quilômetros?
Fonte: Prova Unificada de Administração – 1º Semestre de 2016 – questão adaptada
Esperava-se com essa questão verificar a compreensão dos alunos quanto a identificação de valores constantes de uma função (valor da bandeirada de R$ 4,50) e de valores que variam de acordo com uma regra pré-estabelecida por uma dada taxa de variação (R$ 2,75 por quilômetro rodado).
Uma das estratégias possíveis para a resolução da questão implica fazer a transformação do enunciado em língua natural em um registro que pode ser mais apropriado para a execução dos cálculos, como por exemplo, o registro numérico, conforme apontamos no Quadro 5.
Quadro 5 – Conversão do registro em língua natural para o registro numérico.
Registro de partida (língua natural) Registro de chegada (registro numérico)
Um taxista cobra a quantia fixa ... Preço = 4,50 + 2,75 x 25
No Quadro 6 apresentamos a correspondência entre as unidades
significantes do registro de partida (enunciado do problema em língua natural) e o registro de chegada, onde se efetua o cálculo da solução (o registro numérico). Observa-se que nesse caso, há transparência entre as informações de um registro e de outro e que os três critérios de congruência propostos por Duval (1993) são atendidos: 1) os símbolos em ambos os
registros têm o mesmo significado (correspondência semântica), 2) cada um dos termos do registro de partida corresponde a apenas um termo no registro de chegada e vice-versa (univocidade semântica) e 3) os dados são apresentados na mesma ordem (mesma ordem de apreensão).
4 Prova com 40 questões de múltipla escolha, aplicada em um mesmo dia para todos os alunos do Curso de Administração.
Quadro 6 - Correspondência entre unidades significantes no registro de partida e no registro de chegada.
Registro de partida (língua natural) Registro de chegada (registro numérico)
[… quantia fixa de R$ 4,50…] Valor de 4,50 do lado direito da equação. [… e mais…] Sinal de “+” (adição) do lado direito da
equação
[…R$ 2,75…] Valor de 2,75 do lado direito da equação. […por quilômetro rodado…] Sinal de “x” (multiplicação) do lado direito
da equação.
[…uma corrida de 25 quilômetros…] Valor de 25 do lado direito da equação.
Essa questão foi respondida por 803 alunos. Verificamos, após a computação das respostas que 511 alunos (aproximadamente 64 % do total) teve sucesso ao respondê-la.
A segunda questão, apresentada no Quadro 7, foi proposta em uma das avaliações continuadas previstas para turmas dos cursos de Ciências
Econômicas, Ciências Contábeis e Administração. A elaboração da questão levou em conta o noticiário da época, que se referia à resolução da Câmara de Regulação do Mercado de Medicamentos (CMED), órgão do governo formado por representantes de vários ministérios, que fixou em 12,5% o limite para o reajuste dos preços dos remédios em 01/04/2016.
Quadro 7 - Questão 2
Após um recente aumento de preços, um remédio passou a ser vendido por R$ 56,00. Qual era o preço do remédio antes do aumento, sabendo que o índice de reajuste foi de 12%?
Fonte: Questão elaborada pelos autores para Avaliação Continuada – 1º Semestre de 2016
A terceira questão, apresentada no Quadro 8, assim como a primeira, foi proposta aos alunos do 1º semestre do curso de Administração em uma das provas unificadas.
Quadro 8 – Questão 3
Uma loja de roupas tem uma peça cujo preço de tabela foi aumentado em 10,5%, passando a ser vendida por R$ 44,20. Qual era o preço de tabela do produto?
Fonte: Prova Unificada de Administração – 1º Semestre de 2016 – questão adaptada
que se encontre a solução. O conhecimento que se esperava avaliar com essas questões, além da aplicação básica dos conceitos de porcentagem, relacionava-se à identificação da base de cálculo, ou seja, esperava-se que o aluno identificasse a grandeza sobre a qual deveria ser aplicada a taxa percentual correspondente ao aumento.
No Quadro 9 apresentamos uma das possibilidades de conversão para a
resolução, adotando como registro de chegada o registro algébrico. Em ambos os casos tomamos a incógnita x para representar o valor dos produtos antes do reajuste de preços.
Quadro 9 - Conversão do registro em língua natural para o registro algébrico
Registro de partida (língua natural) Registro de chegada (registro numérico)
Após um recente aumento de preços, um remédio … 0,12x + x = 56 Uma loja de roupas tem uma peça cujo preço de tabela … 0,105x + x = 44,20
Diferentemente do que se pode observar na questão 1, nessas duas
questões não há transparência entre as unidades significantes do registro de partida e o registro de chegada. Ao comparar os registros, podem ser observados os seguintes aspectos: 1) A ordem em que as informações do enunciado são apresentadas não corresponde à mesma ordem em que se dá a resolução no registro algébrico; 2) A referência ao “preço antes do aumento” (ou analogamente à questão 3, “preço de tabela”) aparece uma vez no registro de partida e no registro de chegada aparece duas
vezes, representada pela incógnita x; 3) A palavra “aumento” em ambas as questões sugere que se deva fazer a “adição” da porcentagem de aumento com o valor inicial dos produtos, mas a referência não é tão clara como a questão 1 (“mais”).
A questão 2 foi respondida por 288 alunos, com índice de acerto em torno de 27%.
A questão 3 foi respondida por 803 alunos, com índice de acerto em torno de 39%.
A Tabela 1 mostra um resumo dos índices de acerto de cada uma das questões analisadas. Podemos observar índices inferiores de acerto nas questões que envolveram conversões não congruentes (questões 2 e 3), quando comparados ao índice de acerto da questão 1 (conversão congruente).
Tabela 1 – Comparação entre índices de acerto
Tipo de Conversão Questão Índice aproximado de acerto
Conversão Congruente Questão 1 64 %
Conversões não congruentes Questão 2 27 %
Questão 3 39 %
Essa característica, apontada em pesquisas com análises semelhantes à que fizemos aqui, como nos trabalhos de Damm (2003), Duval (2009) e Mineiro (2016), parece levar tanto alunos como professores a evitar situações que envolvam conversões não congruentes, como se o sucesso nos outros tipos de tarefa, por si só, possa significar que houve apreensão. É exatamente contra essa concepção que nos colocamos, ao defender uma proposta de estudo que contemple conversões congruentes e não congruentes, a fim de que se promova a aprendizagem em matemática.
4. UMA PROPOSTA PARA O ESTUDO DE FUNÇÕES, MEDIADA
POR UM PROGRAMA DE COMPUTADOR
Uma função é composta de um conjunto A de valores chamado de domínio da função, de um conjunto B de valores chamado de contradomínio da função, e de uma regra que associa cada um dos elementos do primeiro conjunto a apenas um elemento do segundo conjunto, ou simbolicamente f: A → B.
Uma função pode ser representada de diversas formas, como por diagramas de flechas, gráficos, notação algébrica, tabelas, língua natural, entre
outros. Quando essas representações permitem cada uma das três atividades cognitivas fundamentais (formação, tratamento e conversão) são chamadas de registros de representação semiótica (DUVAL, 1999).
Em nossa prática docente, temos observado que a simples representação de uma função em mais de um registro, como exemplificamos no Quadro 10, não tem sido suficiente para a apreensão desse conceito. Alguns alunos parecem não reconhecer o mesmo objeto (a função em estudo) quando apresentado de forma diferente.
Quadro 10 – Diferentes representações de uma mesma função
Representação em
língua natural Representação algébrica Representação gráfica
A função que associa ao valor de cada número
natural o dobro do seu valor.
f: ℕ → ℕ , tal que f(x) = 2x
Em busca de uma estratégia de ensino que, além de apresentar as funções em diferentes registros de representação, possibilitasse a mobilização entre esses registros, tivemos contato com um programa de computador chamado Geogebra (http://www.geogebra.org) de uso livre. Softwares como o
Geogebra são chamados comumente de softwares de geometria dinâmica, ao permitir a manipulação dinâmica dos objetos representados. A nosso ver, no entanto, uma definição mais adequada para esse tipo de programa seria o de software de manipulação dinâmica de geometria, tendo em vista que não é a geometria, ou a álgebra, que se tornam dinâmicas, mas sua manipulação. Embora o software possa ser utilizado para o estudo de uma variedade de conteúdos da matemática, gostaríamos de elencar nesse texto algumas das contribuições de sua utilização para o estudo das funções:
• A observação da taxa de variação de um valor a partir da manipulação de um outro valor arbitrário. Isso ocorre, por exemplo, quando nos propomos a estudar o comportamento da receita (variável dependente) a partir da alteração da quantidade comercializada de um bem (variável arbitrária ou independente). No exemplo apresentado na Figura 1 temos no eixo horizontal a quantidade de produtos vendidos e no eixo vertical a receita correspondente, de acordo com a regra específica desse exemplo: . O software permite que se clique sobre o ponto que representa a quantidade fazendo variar seu valor ao alterarmos sua posição horizontalmente,
observando simultaneamente a consequente alteração no valor da receita. Nesse exemplo, alteramos a quantidade de 2 para 3 unidades e observamos o aumento na receita, de R$ 16,00 para R$ 21,00. Um exemplo de como é possível construir tal relação no Geogebra foi disponibilizado na internet pelos autores através do link https://youtu.be/BleaCwMf-2I.
Figura 1 - Um exemplo de representação da função receita
Figura 2 – Variação da receita a partir da variação da quantidade
• A possibilidade de visualização global do comportamento de uma dada função. Além da observação do comportamento local, ponto a ponto, conforme indicamos no item anterior, é possível traçar o gráfico da função de acordo com os valores que se queiram estudar no domínio da função. Em nossas aulas, quando da investigação sobre qual é o lucro máximo que uma operação pode trazer em uma dada situação, temos recorrido tanto ao tratamento algébrico quanto à verificação no registro gráfico dos valores correspondentes, por meio da manipulação do software. Essa abordagem tem se demonstrado particularmente proveitosa, ao possibilitar a comparação das unidades significantes do registro de partida (registro algébrico) com as do registro de chegada (registro gráfico), em conversões congruentes e não congruentes.
Quadro 11 – Uma comparação entre o registro algébrico e gráfico para o estudo de máximos e mínimos
Registro de partida (registro algébrico) Registro de chegada (registro gráfico)
Determinação da derivada da função lucro e cálculo dos valores de x que correspondem à derivada igual à zero. Esse procedimento permite localizar os pontos em que o crescimento da função é nulo, ou seja, os pontos de máximo e de mínimo. A identificação sobre se um ponto é de máximo ou de mínimo pode ser feita pelo estudo da segunda derivada.
• A possibilidade de criação e compartilhamento de applets5, via internet, com
ênfase aos conteúdos abordados em sala de aula, para que os alunos possam fazer suas simulações, sem a necessidade de que conheçam a linguagem específica do Geogebra e sem a necessidade de que instalem qualquer outro programa adicional além do navegador de internet. Assim, um professor pode por exemplo, ao iniciar o estudo de conceitos que se referem ao ponto de nivelamento, criar e compartilhar um aplicativo que simule a variação da receita e do custo em função da quantidade de produtos produzidos e vendidos, permitindo que o aluno altere algumas variáveis, como preço de venda, custo fixo e custo variável por produto, por meio da movimentação de cursores, conforme representamos na Figura 3.
Figura 3 - Exemplo de estudo do ponto de nivelamento
5 Um applet é um programa de computador, ou aplicativo, com tarefas específicas, e que pode ser executado a partir de um navegador da internet, sem a necessidade de instalação de programas adicionais.
Podemos citar, além dos pontos que abordamos, alguns outros, como a rapidez com que se pode alterar o contexto da situação em pauta (customização do programa de acordo com o conteúdo em estudo, como demanda, oferta, preço, custo, receita, etc), ou a versatilidade com que é possível investigar o comportamento de funções nos extremos do domínio (útil no estudo dos limites), entre outras possibilidades. Entretanto, a tentativa de esgotar o assunto, além de difícil, situa-se além dos propósitos desse texto. Ao
contrário, esperamos que a partir dos exemplos apresentados, possamos ver surgir, entre os docentes de nossa escola, mais e mais aplicações do recurso computacional para o ensino da matemática e para uma aprendizagem que seja capaz de dar significado às diversas possibilidades que as ferramentas matemáticas podem oferecer quando aplicadas ao mundo dos negócios.
5. CONCLUSÃO
No presente artigo procuramos mostrar, por meio da comparação entre índices de acerto, que alguns tipos de questões parecem ser mais rápida e eficientemente resolvidos nos casos que apresentam conversões congruentes, enquanto outros, como nos casos de não congruência, correspondem às
menores taxas de sucesso observadas. Isso parece levar tanto professores como alunos a evitar situações de não congruência, como se de alguma
forma o fato do maior sucesso nas conversões congruentes pudesse garantir a apreensão dos conceitos.
O que ocorre, no entanto, é que situações de não congruência são
praticamente impossíveis de serem evitadas, tanto na vida acadêmica, como na trajetória profissional. É natural que, vez por outra, nos deparemos com problemas com os quais não estamos familiarizados e cuja solução exija conhecimentos matemáticos nunca aplicados àquele tipo de situação, ou em outras palavras, conhecimentos matemáticos a serem mobilizados em um contexto diferente daquele em que se deu a aprendizagem.
Conhecimentos utilizados unicamente para transformações em um tipo de registro (tratamentos) ou para conversões congruentes entre registros tornam-se rapidamente inutilizáveis, tornam-sendo frequentemente esquecidos, cedo ou tarde. Ao propor atividades desenvolvidas em um ambiente informático, com o
auxílio de um programa de computador, em que são mobilizados diversos registros de representação, como as que foram apresentadas nesse artigo, esperamos ter contribuído para a compreensão de que a conversão de
representações não congruentes, embora não seja natural, automática ou espontânea, pode ser desenvolvida por meio da adequada mediação.
REFERÊNCIAS
Damm, R. F. (2003). Representação, Compreensão e Resolução de Problemas Aditivos. Em Machado, S. D. A. (Org.). Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica (pp. 35-48). Campinas: Papirus.
Duval, R. (2009). Semiósis e pensamento humano: registros semióticos e aprendizagens intelectuais (fascículo I). Trad. Levy, L.F. e Silveira, M. R. A. São Paulo: Livraria da Física.
Duval, R. (1999). Representation, vision and visualization: cognitive functions in mathematical thinking. Basic issues for learning. In: Proceedings of the 21st Conference of the North American Chapter of the International Group for Psychology of Mathematics Education (pp. 3-26). Cuernavaca, Mexico: PME-NA.
Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives (pp. 37-64). Strasbourg: IREM – ULP.
Geogebra. Introduction to Geogebra. Disponível em: http://www.geogebra. org/book/intro-en.pdf.
Mineiro, R. M. (2016). Uma análise de situações de congruência e de não congruência em uma atividade de representação de circunferências (pp. 1-12). Anais do XII Encontro Nacional de Educação Matemática, São Paulo, SP, Brasil.
